Kung ang function ay pantay o kakaiba. Kahit at kakaibang mga function

Ang pag-asa ng isang variable na y sa isang variable na x, kung saan ang bawat halaga ng x ay tumutugma sa isang solong halaga ng y ay tinatawag na isang function. Para sa pagtatalaga gamitin ang notasyon y=f(x). Ang bawat function ay may ilang pangunahing katangian, tulad ng monotonicity, parity, periodicity at iba pa.

Tingnang mabuti ang parity property.

Tinatawag ang isang function na y=f(x) kahit na natutugunan nito ang sumusunod na dalawang kundisyon:

2. Ang value ng function sa point x, na kabilang sa domain ng definition ng function, ay dapat na katumbas ng value ng function sa point -x. Iyon ay, para sa anumang punto x, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay dapat masiyahan mula sa domain ng kahulugan ng function: f(x) = f(-x).

Graph ng pantay na function

Kung mag-plot ka ng graph ng pantay na function, ito ay magiging simetriko tungkol sa Oy axis.

Halimbawa, ang function na y=x^2 ay pantay. Tingnan natin ito. Ang domain ng kahulugan ay ang buong numerical axis, na nangangahulugang ito ay simetriko tungkol sa punto O.

Kumuha tayo ng arbitrary x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Samakatuwid f(x) = f(-x). Kaya, ang parehong mga kondisyon ay natutugunan, na nangangahulugan na ang pag-andar ay pantay. Nasa ibaba ang isang graph ng function na y=x^2.

Ipinapakita ng figure na ang graph ay simetriko tungkol sa Oy axis.

Graph ng isang kakaibang function

Ang isang function na y=f(x) ay tinatawag na kakaiba kung natutugunan nito ang sumusunod na dalawang kundisyon:

1. Ang domain ng kahulugan ng isang ibinigay na function ay dapat na simetriko na may paggalang sa point O. Iyon ay, kung ang ilang punto a ay kabilang sa domain ng kahulugan ng function, kung gayon ang kaukulang punto -a ay dapat ding kabilang sa domain ng kahulugan ng ibinigay na function.

2. Para sa anumang puntong x, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay dapat masiyahan mula sa domain ng kahulugan ng function: f(x) = -f(x).

Ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko na may kinalaman sa punto O - ang pinagmulan ng mga coordinate. Halimbawa, ang function na y=x^3 ay kakaiba. Tingnan natin ito. Ang domain ng kahulugan ay ang buong numerical axis, na nangangahulugang ito ay simetriko tungkol sa punto O.

Kumuha tayo ng arbitrary x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Samakatuwid f(x) = -f(x). Kaya, ang parehong mga kondisyon ay natutugunan, na nangangahulugan na ang pag-andar ay kakaiba. Nasa ibaba ang isang graph ng function na y=x^3.

Ang figure ay malinaw na nagpapakita na ang kakaibang function y=x^3 ay simetriko tungkol sa pinagmulan.

kahit, kung para sa lahat ng \(x\) mula sa domain ng kahulugan nito ay totoo ang sumusunod: \(f(-x)=f(x)\) .

Ang graph ng kahit na function ay simetriko tungkol sa \(y\) axis:

Halimbawa: ang function na \(f(x)=x^2+\cos x\) ay pantay, dahil \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Tinatawag ang function na \(f(x)\). kakaiba, kung para sa lahat ng \(x\) mula sa domain ng kahulugan nito ay totoo ang sumusunod: \(f(-x)=-f(x)\) .

Ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko tungkol sa pinagmulan:

Halimbawa: ang function na \(f(x)=x^3+x\) ay kakaiba dahil \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Ang mga function na hindi kahit na o kakaiba ay tinatawag na function pangkalahatang pananaw. Ang ganitong function ay maaaring palaging katangi-tanging kinakatawan bilang kabuuan ng isang even at isang kakaibang function.

Halimbawa, ang function na \(f(x)=x^2-x\) ay ang kabuuan ng even function \(f_1=x^2\) at ang kakaibang \(f_2=-x\) .

\(\blacktriangleright\) Ilang pag-aari:

1) Ang produkto at quotient ng dalawang function ng parehong parity ay isang even function.

2) Ang produkto at quotient ng dalawang function ng magkaibang parities ay isang kakaibang function.

3) Sum at pagkakaiba ng even functions - even function.

4) Kabuuan at pagkakaiba ng mga kakaibang pag-andar - kakaibang pag-andar.

5) Kung ang \(f(x)\) ay isang even function, ang equation na \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) ay may kakaibang ugat kung at kapag \( x =0\) .

6) Kung ang \(f(x)\) ay isang pantay o kakaibang function, at ang equation na \(f(x)=0\) ay may ugat na \(x=b\), kung gayon ang equation na ito ay kinakailangang magkaroon ng isang segundo ugat \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) Ang function na \(f(x)\) ay tinatawag na periodic sa \(X\) kung para sa ilang numero \(T\ne 0\) ang sumusunod ay: \(f(x)=f( x+T) \) , kung saan \(x, x+T\in X\) . Ang pinakamaliit na \(T\) kung saan nasiyahan ang pagkakapantay-pantay na ito ay tinatawag na pangunahing (pangunahing) panahon ng function.

U pana-panahong pag-andar anumang numero ng form \(nT\) , kung saan ang \(n\in \mathbb(Z)\) ay magiging tuldok din.

Halimbawa: anuman trigonometriko function ay pana-panahon;
para sa mga function na \(f(x)=\sin x\) at \(f(x)=\cos x\) pangunahing panahon ay katumbas ng \(2\pi\), ang mga function na \(f(x)=\mathrm(tg)\,x\) at \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) ay may pangunahing panahon na katumbas ng \ (\pi\) .

Upang makabuo ng graph ng isang periodic function, maaari mong i-plot ang graph nito sa anumang bahagi ng haba \(T\) (pangunahing panahon); pagkatapos ang graph ng buong function ay nakumpleto sa pamamagitan ng paglilipat ng constructed na bahagi sa pamamagitan ng isang integer na bilang ng mga tuldok sa kanan at kaliwa:

\(\blacktriangleright\) Ang domain \(D(f)\) ng function \(f(x)\) ay isang set na binubuo ng lahat ng value ng argumento \(x\) kung saan may katuturan ang function (ay tinukoy).

Halimbawa: ang function na \(f(x)=\sqrt x+1\) ay may domain ng kahulugan: \(x\in

Gawain 1 #6364

Antas ng gawain: Katumbas ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado

Sa anong mga halaga ng parameter \(a\) ginagawa ang equation

may iisang solusyon?

Tandaan na dahil ang \(x^2\) at \(\cos x\) ay kahit na mga function, kung ang equation ay may ugat \(x_0\) , magkakaroon din ito ng ugat \(-x_0\) .
Sa katunayan, ang \(x_0\) ay isang ugat, iyon ay, ang pagkakapantay-pantay \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) tama. Palitan natin ang \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Kaya, kung \(x_0\ne 0\) , ang equation ay magkakaroon na ng hindi bababa sa dalawang ugat. Samakatuwid, \(x_0=0\) . Pagkatapos:

Nakatanggap kami ng dalawang halaga para sa parameter na \(a\) . Tandaan na ginamit namin ang katotohanan na ang \(x=0\) ay eksaktong ugat ng orihinal na equation. But we never used the fact na siya lang. Samakatuwid, kailangan mong palitan ang mga resultang halaga ng parameter \(a\) sa orihinal na equation at suriin kung aling tiyak na \(a\) ang ugat \(x=0\) ay talagang magiging kakaiba.

1) Kung \(a=0\) , ang equation ay kukuha ng anyong \(2x^2=0\) . Malinaw, ang equation na ito ay may isang ugat lamang \(x=0\) . Samakatuwid, ang halagang \(a=0\) ay nababagay sa amin.

2) Kung \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , ang equation ay kukuha ng anyo \ Isulat muli natin ang equation sa anyo \ kasi \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), Iyon \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Dahil dito, ang mga halaga ng kanang bahagi ng equation (*) ay nabibilang sa segment \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Dahil \(x^2\geqslant 0\) , pagkatapos kaliwang bahagi ang equation (*) ay mas malaki sa o katumbas ng \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Kaya, ang pagkakapantay-pantay (*) ay masisiyahan lamang kapag ang magkabilang panig ng equation ay katumbas ng \(\mathrm(tg)^2\,1\) . At ito ay nangangahulugan na \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Samakatuwid, ang value na \(a=-\mathrm(tg)\,1\) ay nababagay sa amin.

Sagot:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Gawain 2 #3923

Antas ng gawain: Katumbas ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado

Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter \(a\) , para sa bawat isa kung saan ang graph ng function \

simetriko tungkol sa pinagmulan.

Kung ang graph ng isang function ay simetriko na may kinalaman sa pinanggalingan, kung gayon ang naturang function ay kakaiba, iyon ay, \(f(-x)=-f(x)\) hold para sa anumang \(x\) mula sa domain ng kahulugan ng function. Kaya, kinakailangan upang mahanap ang mga halaga ng parameter kung saan \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ kasalanan \dfrac(8\pi a-3x)4\kanan) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aligned)\]

Dapat masiyahan ang huling equation para sa lahat ng \(x\) mula sa domain ng \(f(x)\) , samakatuwid, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Sagot:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Gawain 3 #3069

Antas ng gawain: Katumbas ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado

Hanapin ang lahat ng value ng parameter \(a\) , para sa bawat isa kung saan ang equation \ ay mayroong 4 na solusyon, kung saan ang \(f\) ay isang periodic function na may period \(T=\dfrac(16)3\) tinukoy sa buong linya ng numero , at \(f(x)=ax^2\) para sa \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Gawain mula sa mga subscriber)

Dahil ang \(f(x)\) ay pantay na function, ang graph nito ay simetriko tungkol sa ordinate axis, samakatuwid, kapag \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Kaya, kapag \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), at ito ay isang segment ng haba \(\dfrac(16)3\) , function \(f(x)=ax^2\) .

1) Hayaan \(a>0\) . Pagkatapos ang graph ng function na \(f(x)\) ay magiging ganito:


Pagkatapos, upang ang equation ay magkaroon ng 4 na solusyon, kinakailangan na ang graph \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) ay dumaan sa puntong \(A\) :


Kaya naman, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(aligned)\end(gathered)\kanan. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( natipon)\tama.\] Dahil ang \(a>0\) , kung gayon ang \(a=\dfrac(18)(23)\) ay angkop.

2) Hayaan \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Kinakailangan na ang graph \(g(x)\) ay dumaan sa puntong \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end(gathered)\kanan.\] Mula noong \(a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Ang kaso kapag ang \(a=0\) ay hindi angkop, mula noon \(f(x)=0\) para sa lahat ng \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) at ang ang equation ay magkakaroon lamang ng 1 ugat.

Sagot:

\(a\sa \kaliwa\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\kanan\)\)

Gawain 4 #3072

Antas ng gawain: Katumbas ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado

Hanapin ang lahat ng mga halaga ng \(a\) , para sa bawat isa kung saan ang equation \

may hindi bababa sa isang ugat.

(Gawain mula sa mga subscriber)

Isulat muli natin ang equation sa anyo \ at isaalang-alang ang dalawang function: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) at \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
Ang function na \(g(x)\) ay pantay at may pinakamababang punto \(x=0\) (at \(g(0)=49\) ).
Ang function na \(f(x)\) para sa \(x>0\) ay bumababa, at para sa \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Sa katunayan, kapag ang \(x>0\) ang pangalawang module ay magbubukas nang positibo (\(|x|=x\) ), samakatuwid, anuman ang pagbubukas ng unang module, ang \(f(x)\) ay magiging pantay sa \( kx+A\) , kung saan ang \(A\) ay ang expression ng \(a\) , at ang \(k\) ay katumbas ng alinman sa \(-9\) o \(-3\) . Kapag \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Hanapin natin ang halaga ng \(f\) sa pinakamataas na punto: \

Upang ang equation ay magkaroon ng hindi bababa sa isang solusyon, kinakailangan na ang mga graph ng mga function \(f\) at \(g\) ay may kahit isang intersection point. Samakatuwid, kailangan mo: \ \\]

Sagot:

\(a\sa \(-7\)\cup\)

Gawain 5 #3912

Antas ng gawain: Katumbas ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado

Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter \(a\) , para sa bawat isa kung saan ang equation \

ay may anim na magkakaibang solusyon.

Gawin natin ang kapalit na \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Pagkatapos ang equation ay kukuha ng form \ Unti-unti nating isusulat ang mga kondisyon kung saan magkakaroon ng anim na solusyon ang orihinal na equation.
Tandaan na ang quadratic equation \((*)\) ay maaaring magkaroon ng maximum na dalawang solusyon. Anumang cubic equation \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) ay maaaring magkaroon ng hindi hihigit sa tatlong solusyon. Samakatuwid, kung ang equation na \((*)\) ay may dalawang magkaibang solusyon (positibo!, dahil ang \(t\) ay dapat na mas malaki kaysa sa zero) \(t_1\) at \(t_2\) , kung gayon, sa pamamagitan ng paggawa ng reverse pagpapalit, nakukuha namin: \[\left[\begin(gathered)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(aligned)\end(gathered)\right.\] Dahil ang anumang positibong numero ay maaaring katawanin bilang \(\sqrt2\) sa ilang lawak, halimbawa, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), pagkatapos ay ang unang equation ng set ay muling isusulat sa form \ Tulad ng nasabi na natin, ang anumang cubic equation ay hindi hihigit sa tatlong solusyon, samakatuwid, ang bawat equation sa set ay magkakaroon ng hindi hihigit sa tatlong solusyon. Nangangahulugan ito na ang buong set ay magkakaroon ng hindi hihigit sa anim na solusyon.
Nangangahulugan ito na para sa orihinal na equation na magkaroon ng anim na solusyon, ang quadratic equation \((*)\) ay dapat magkaroon ng dalawang magkaibang solusyon, at ang bawat resultang cubic equation (mula sa set) ay dapat magkaroon ng tatlong magkakaibang solusyon (at hindi isang solong solusyon ng ang isang equation ay dapat tumugma sa alinman -sa pamamagitan ng desisyon ng pangalawa!)
Malinaw, kung ang quadratic equation \((*)\) ay may isang solusyon, hindi tayo makakakuha ng anim na solusyon sa orihinal na equation.

Kaya, ang plano ng solusyon ay nagiging malinaw. Isulat natin ang mga kundisyon na dapat matugunan sa bawat punto.

1) Para ang equation na \((*)\) ay magkaroon ng dalawang magkaibang solusyon, ang discriminant nito ay dapat na positibo: \

2) Kinakailangan din na ang parehong mga ugat ay positibo (dahil \(t>0\) ). Kung ang produkto ng dalawang ugat ay positibo at ang kanilang kabuuan ay positibo, kung gayon ang mga ugat mismo ay magiging positibo. Samakatuwid, kailangan mo: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Kaya, nabigyan na natin ang ating sarili ng dalawang magkaibang positibong ugat \(t_1\) at \(t_2\) .

3) Tingnan natin ang equation na ito \ Para sa ano \(t\) magkakaroon ito ng tatlong magkakaibang solusyon?
Isaalang-alang ang function na \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Maaaring i-factorize: \ Samakatuwid, ang mga zero nito ay: \(x=-1;2\) .
Kung nahanap natin ang derivative \(f"(x)=3x^2-6x\) , pagkatapos ay makakakuha tayo ng dalawang extremum point \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Samakatuwid, ang graph ay ganito ang hitsura:


Nakikita namin na ang anumang pahalang na linya \(y=k\) , kung saan \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) ay may tatlong magkakaibang solusyon, kinakailangan na \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Kaya, kailangan mo: \[\begin(cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Agad din nating tandaan na kung magkaiba ang mga numerong \(t_1\) at \(t_2\), ang mga numerong \(\log_(\sqrt2)t_1\) at \(\log_(\sqrt2)t_2\) ay magiging naiiba, na nangangahulugang ang mga equation \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) At \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) magkakaroon ng magkakaibang ugat.
Ang system \((**)\) ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod: \[\begin(cases) 1

Kaya, natukoy namin na ang parehong mga ugat ng equation \((*)\) ay dapat nasa pagitan ng \((1;4)\) . Paano isulat ang kundisyong ito?
Hindi namin isusulat nang tahasan ang mga ugat.
Isaalang-alang ang function na \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Ang graph nito ay isang parabola na may mga pataas na sanga, na may dalawang punto ng intersection sa x-axis (isinulat namin ang kundisyong ito sa talata 1)). Ano dapat ang hitsura ng graph nito upang ang mga punto ng intersection sa x-axis ay nasa pagitan na \((1;4)\)? Kaya:


Una, ang mga halaga \(g(1)\) at \(g(4)\) ng function sa mga puntong \(1\) at \(4\) ay dapat na positibo, at pangalawa, ang vertex ng Ang parabola \(t_0\ ) ay dapat ding nasa pagitan ng \((1;4)\) . Samakatuwid, maaari naming isulat ang system: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4 Ang \(a\) ay laging may kahit isang ugat \(x=0\) . Nangangahulugan ito na upang matupad ang mga kondisyon ng problema ay kinakailangan na ang equation \

may apat na magkakaibang ugat, naiiba sa zero, na kumakatawan, kasama ng \(x=0\), isang pag-unlad ng aritmetika.

Tandaan na ang function na \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) ay pantay, na nangangahulugan na kung ang \(x_0\) ay ang ugat ng equation \( (*)\ ) , pagkatapos ay \(-x_0\) din ang magiging ugat nito. Pagkatapos ay kinakailangan na ang mga ugat ng equation na ito ay mga numerong inayos sa pataas na pagkakasunud-sunod: \(-2d, -d, d, 2d\) (pagkatapos ay \(d>0\)). Pagkatapos ang limang numerong ito ay bubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika (na may pagkakaibang \(d\)).

Upang ang mga ugat na ito ay maging mga numero \(-2d, -d, d, 2d\) , kinakailangan na ang mga numerong \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) ay ang mga ugat ng ang equation \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Pagkatapos, ayon sa teorama ni Vieta:

Isulat muli natin ang equation sa anyo \ at isaalang-alang ang dalawang function: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) at \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
Ang function na \(g(x)\) ay may pinakamataas na punto \(x=0\) (at \(g_(\text(itaas))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Zero derivative: \(x=0\) . Kapag \(x<0\) имеем: \(g">0\) , para sa \(x>0\) : \(g"<0\) .
Ang function na \(f(x)\) para sa \(x>0\) ay tumataas, at para sa \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Sa katunayan, kapag ang \(x>0\) ang unang module ay magbubukas nang positibo (\(|x|=x\)), samakatuwid, anuman ang pagbubukas ng pangalawang module, ang \(f(x)\) ay magiging katumbas sa \( kx+A\) , kung saan ang \(A\) ay ang expression ng \(a\) , at ang \(k\) ay katumbas ng alinman sa \(13-10=3\) o \(13+10 =23\) . Kapag \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Hanapin natin ang halaga ng \(f\) sa pinakamababang punto: \

Upang ang equation ay magkaroon ng hindi bababa sa isang solusyon, kinakailangan na ang mga graph ng mga function \(f\) at \(g\) ay may kahit isang intersection point. Samakatuwid, kailangan mo: \ Ang paglutas ng hanay ng mga sistemang ito, makukuha natin ang sagot: \\]

Sagot:

\(a\sa \(-2\)\cup\)

Ang pagiging pantay at kakaiba ng isang function ay isa sa mga pangunahing katangian nito, at ang parity ay tumatagal ng isang kahanga-hangang bahagi ng kurso sa matematika ng paaralan. Ito ay higit na tinutukoy ang pag-uugali ng function at lubos na pinapadali ang pagbuo ng kaukulang graph.

Tukuyin natin ang parity ng function. Sa pangkalahatan, ang pag-andar sa ilalim ng pag-aaral ay isinasaalang-alang kahit na para sa magkasalungat na mga halaga ng independiyenteng variable (x) na matatagpuan sa domain ng kahulugan nito, ang kaukulang mga halaga ng y (function) ay naging pantay.

Bigyan natin ng mas mahigpit na kahulugan. Isaalang-alang ang ilang function na f (x), na tinukoy sa domain na D. Ito ay magiging kahit na para sa anumang puntong x na matatagpuan sa domain ng kahulugan:

• -x (kabaligtaran) ay nasa saklaw din na ito,

• f(-x) = f(x).

Mula sa kahulugan sa itaas ay sumusunod sa kondisyong kinakailangan para sa domain ng kahulugan ng naturang function, ibig sabihin, symmetry na may paggalang sa punto O, na kung saan ay ang pinagmulan ng mga coordinate, dahil kung ang ilang punto b ay nakapaloob sa domain ng kahulugan ng isang even function, kung gayon ang kaukulang punto b ay nasa domain na ito. Mula sa itaas, samakatuwid, ang konklusyon ay sumusunod: ang kahit na function ay may isang form na simetriko na may paggalang sa ordinate axis (Oy).

Paano matukoy ang parity ng isang function sa pagsasanay?

Hayaang tukuyin ito gamit ang formula h(x)=11^x+11^(-x). Kasunod ng algorithm na direktang sumusunod sa kahulugan, sinusuri muna namin ang domain ng kahulugan nito. Malinaw, ito ay tinukoy para sa lahat ng mga halaga ng argumento, iyon ay, ang unang kondisyon ay nasiyahan.

Ang susunod na hakbang ay upang palitan ang kabaligtaran na halaga (-x) para sa argumento (x).
Nakukuha namin:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Dahil ang karagdagan ay nakakatugon sa commutative (commutative) na batas, malinaw na ang h(-x) = h(x) at ang ibinigay na functional dependence ay pantay.

Suriin natin ang parity ng function na h(x)=11^x-11^(-x). Kasunod ng parehong algorithm, nakukuha natin na h(-x) = 11^(-x) -11^x. Ang pagkuha ng minus, sa dulo mayroon kami
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Samakatuwid, ang h(x) ay kakaiba.

Sa pamamagitan ng paraan, dapat itong alalahanin na may mga pag-andar na hindi maiuri ayon sa mga pamantayang ito ay tinatawag na hindi kahit na o kakaiba.

Kahit na ang mga pag-andar ay may ilang mga kagiliw-giliw na katangian:

• bilang resulta ng pagdaragdag ng mga katulad na function, nakakakuha sila ng kahit isa;
• bilang isang resulta ng pagbabawas ng naturang mga function, ang isang kahit na isa ay nakuha;
• kahit, gayundin kahit;
• bilang isang resulta ng pagpaparami ng dalawang ganoong mga pag-andar, ang isang kahit isa ay nakuha;
• bilang isang resulta ng pagpaparami ng kakaiba at kahit na mga pag-andar, isang kakaiba ang nakuha;
• bilang isang resulta ng paghahati ng kakaiba at kahit na mga pag-andar, isang kakaiba ang nakuha;
• ang derivative ng naturang function ay kakaiba;
• Kung i-square mo ang isang kakaibang function, makakakuha ka ng even one.

Ang parity ng isang function ay maaaring gamitin upang malutas ang mga equation.

Upang malutas ang isang equation tulad ng g(x) = 0, kung saan ang kaliwang bahagi ng equation ay isang pantay na pag-andar, ito ay sapat na upang mahanap ang mga solusyon nito para sa mga hindi negatibong halaga ng variable. Ang mga resultang ugat ng equation ay dapat isama sa kabaligtaran na mga numero. Isa sa mga ito ay napapailalim sa pag-verify.

Matagumpay din itong ginagamit upang malutas ang mga hindi karaniwang problema sa isang parameter.

Halimbawa, mayroon bang anumang halaga ng parameter a kung saan ang equation na 2x^6-x^4-ax^2=1 ay magkakaroon ng tatlong ugat?

Kung isasaalang-alang natin na ang variable ay pumapasok sa equation sa kahit na kapangyarihan, kung gayon ito ay malinaw na ang pagpapalit ng x ng - x ay hindi magbabago sa ibinigay na equation. Ito ay sumusunod na kung ang isang tiyak na numero ay ang ugat nito, kung gayon ang kabaligtaran na numero ay ang ugat din. Ang konklusyon ay halata: ang mga ugat ng isang equation na naiiba sa zero ay kasama sa hanay ng mga solusyon nito "sa mga pares".

Malinaw na ang numero mismo ay hindi 0, iyon ay, ang bilang ng mga ugat ng naturang equation ay maaari lamang maging pantay at, natural, para sa anumang halaga ng parameter hindi ito maaaring magkaroon ng tatlong ugat.

Ngunit ang bilang ng mga ugat ng equation na 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 ay maaaring kakaiba, at para sa anumang halaga ng parameter. Sa katunayan, madaling suriin na ang hanay ng mga ugat ng equation na ito ay naglalaman ng mga solusyon "sa pares". Suriin natin kung ang 0 ay isang ugat. Kapag pinalitan natin ito sa equation, makakakuha tayo ng 2=2. Kaya, bilang karagdagan sa mga "ipinares", ang 0 ay isang ugat din, na nagpapatunay ng kanilang kakaibang numero.

Upang gawin ito, gumamit ng graph paper o isang graphing calculator. Pumili ng anumang bilang ng mga independent variable value x (\displaystyle x) at isaksak ang mga ito sa function upang kalkulahin ang mga halaga ng dependent variable y (\displaystyle y). I-plot ang mga nakitang coordinate ng mga punto sa coordinate plane, at pagkatapos ay ikonekta ang mga puntong ito upang bumuo ng graph ng function.

• Palitan ang mga positibong halaga ng numero sa function x (\displaystyle x) at mga katumbas na negatibong numerong halaga. Halimbawa, ibinigay ang function na . Palitan ang mga sumusunod na halaga dito x (\displaystyle x):
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3) ​​​​(\displaystyle (1,3)).
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). Nakakuha kami ng isang punto sa mga coordinate (2, 9) (\displaystyle (2,9)).
  • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3). Nakakuha kami ng isang punto sa mga coordinate (− 1 , 3) ​​​​(\displaystyle (-1,3)).
  • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9). Nakakuha kami ng isang punto sa mga coordinate (− 2, 9) (\displaystyle (-2,9)).

Suriin kung ang graph ng function ay simetriko tungkol sa Y axis. Ang simetrya ay nangangahulugang isang salamin na imahe ng graph na may kaugnayan sa ordinate. Kung ang bahagi ng graph sa kanan ng Y-axis (mga positibong halaga ng independent variable) ay pareho sa bahagi ng graph sa kaliwa ng Y-axis (negatibong mga halaga ng independent variable ), ang graph ay simetriko tungkol sa Y-axis Kung ang function ay simetriko tungkol sa y-axis, ang function ay pantay.

• Maaari mong suriin ang simetrya ng graph gamit ang mga indibidwal na puntos. Kung ang halaga y (\displaystyle y) x (\displaystyle x), tumutugma sa halaga y (\displaystyle y), na tumutugma sa halaga − x (\displaystyle -x), pantay ang function. Sa aming halimbawa na may function f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) natanggap namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga puntos:
  • (1.3) at (-1.3)
  • (2.9) at (-2.9)
• Tandaan na para sa x=1 at x=-1 ang dependent variable ay y=3, at para sa x=2 at x=-2 ang dependent variable ay y=9. Kaya ang pag-andar ay pantay. Sa katunayan, upang tumpak na matukoy ang anyo ng pag-andar, kailangan mong isaalang-alang ang higit sa dalawang puntos, ngunit ang inilarawan na paraan ay isang mahusay na approximation.

Suriin kung ang graph ng function ay simetriko tungkol sa pinagmulan. Ang pinagmulan ay ang puntong may mga coordinate (0,0). Symmetry tungkol sa pinagmulan ay nangangahulugan na ang isang positibong halaga y (\displaystyle y)(na may positibong halaga x (\displaystyle x)) ay tumutugma sa isang negatibong halaga y (\displaystyle y)(na may negatibong halaga x (\displaystyle x)), at kabaliktaran. Ang mga kakaibang function ay may simetrya tungkol sa pinagmulan.

• Kung papalitan mo ang ilang positibo at katumbas na negatibong mga halaga sa function x (\displaystyle x), mga halaga y (\displaystyle y) ay mag-iiba sa sign. Halimbawa, ibinigay ang function f (x) = x 3 + x (\displaystyle f(x)=x^(3)+x). Palitan ang ilang mga halaga dito x (\displaystyle x):
  • f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\displaystyle f(1)=1^(3)+1=1+1=2). Nakakuha kami ng isang punto na may mga coordinate (1,2).
  • f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(3)+(-1)=-1- 1=-2)
  • f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(3)+2=8+2=10)
  • f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(3)+(-2)=-8- 2=-10). Nakakuha kami ng isang punto na may mga coordinate (-2,-10).
• Kaya, f(x) = -f(-x), ibig sabihin, kakaiba ang function.

Suriin kung ang graph ng function ay may anumang simetrya. Ang huling uri ng function ay isang function na ang graph ay walang simetrya, iyon ay, walang mirror na imahe na parehong nauugnay sa ordinate axis at nauugnay sa pinanggalingan. Halimbawa, ibinigay ang function na .

• Palitan ang ilang positibo at katumbas na negatibong mga halaga sa function x (\displaystyle x):
  • f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (\displaystyle f(1)=1^(2)+2(1)+1=1+2+1=4 ). Nakakuha kami ng isang punto na may mga coordinate (1,4).
  • f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(2)+2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2). Nakakuha kami ng isang punto na may mga coordinate (-1,-2).
  • f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(2)+2(2)+2=4+4+2=10 ). Nakakuha kami ng isang punto na may mga coordinate (2,10).
  • f (− 2) = (− 2) 2 + 2 (− 2) + (− 2) = 4 − 4 − 2 = − 2 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(2)+2 (-2)+(-2)=4-4-2=-2). Nakakuha kami ng isang punto na may mga coordinate (2,-2).
• Ayon sa mga resulta na nakuha, walang simetrya. Mga halaga y (\displaystyle y) para sa magkasalungat na halaga x (\displaystyle x) hindi nagtutugma at hindi kabaligtaran. Kaya ang function ay hindi kahit na o kakaiba.
• Mangyaring tandaan na ang function f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) maaaring isulat ng ganito: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Kapag nakasulat sa form na ito, ang function ay lilitaw kahit na dahil mayroong isang even exponent. Ngunit ang halimbawang ito ay nagpapatunay na ang uri ng function ay hindi maaaring mabilis na matukoy kung ang independiyenteng variable ay nakapaloob sa mga panaklong. Sa kasong ito, kailangan mong buksan ang mga bracket at pag-aralan ang nakuha na mga exponent.

Bumalik Pasulong

Pansin! Ang mga slide preview ay para sa mga layuning pang-impormasyon lamang at maaaring hindi kumakatawan sa lahat ng mga tampok ng pagtatanghal. Kung interesado ka sa gawaing ito, mangyaring i-download ang buong bersyon.

Mga layunin:

• bumalangkas ng konsepto ng kahit at kakaibang mga function, ituro ang kakayahang matukoy at gamitin ang mga katangiang ito kapag nag-aaral ng mga function at pagbuo ng mga graph;
• bumuo ng malikhaing aktibidad ng mga mag-aaral, lohikal na pag-iisip, kakayahang maghambing at mag-generalize;
• linangin ang masipag at kulturang matematika; bumuo ng mga kasanayan sa komunikasyon .

Kagamitan: pag-install ng multimedia, interactive na whiteboard, mga handout.

Mga anyo ng trabaho: frontal at pangkat na may mga elemento ng mga aktibidad sa paghahanap at pananaliksik.

Mga mapagkukunan ng impormasyon:

1. Algebra 9th class A.G. Mordkovich. Teksbuk.
2. Algebra ika-9 na baitang A.G. Mordkovich. Libro ng problema.
3. Algebra ika-9 na baitang. Mga gawain para sa pagkatuto at pag-unlad ng mag-aaral. Belenkova E.Yu. Lebedinteva E.A.

PAG-UNLAD NG ARALIN

1. Pansamahang sandali

Pagtatakda ng mga layunin at layunin para sa aralin.

2. Sinusuri ang takdang-aralin

Blg. 10.17 (aklat ng problema sa ika-9 na baitang. A.G. Mordkovich).

A) sa = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 sa X ~ 0,4
4. f(X) >0 sa X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Ang function ay tumataas nang may X € [– 2; + ∞)
6. Ang function ay limitado mula sa ibaba.
7. sa naim = – 3, sa wala si naib
8. Ang function ay tuloy-tuloy.

(Gumamit ka na ba ng function exploration algorithm?) Slide.

2. Suriin natin ang talahanayang hiniling sa iyo mula sa slide.

Punan ang talahanayan
	Domain ng kahulugan	Mga function na zero	Mga agwat ng sign constancy		Mga coordinate ng mga punto ng intersection ng graph na may Oy
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Pag-update ng kaalaman

- Ang mga function ay ibinigay.
– Tukuyin ang saklaw ng kahulugan para sa bawat function.
– Ihambing ang halaga ng bawat function para sa bawat pares ng mga halaga ng argumento: 1 at – 1; 2 at – 2.
– Para sa alin sa mga function na ito sa domain ng kahulugan ang mga pagkakapantay-pantay ay hawak f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (ipasok ang nakuhang data sa talahanayan) Slide

		f(1) at f(– 1)	f(2) at f(– 2)	graphics	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		at hindi tinukoy

4. Bagong materyal

– Isinasagawa gawaing ito, guys, natukoy namin ang isa pang pag-aari ng pag-andar, na hindi pamilyar sa iyo, ngunit hindi gaanong mahalaga kaysa sa iba - ito ang kapantay at kakaiba ng pag-andar. Isulat ang paksa ng aralin: "Kahit na at kakaibang mga pag-andar", ang aming gawain ay matutunan upang matukoy ang kapantay at kakaiba ng isang function, upang malaman ang kahalagahan ng pag-aari na ito sa pag-aaral ng mga pag-andar at pag-plot ng mga graph.
Kaya, hanapin natin ang mga kahulugan sa aklat-aralin at basahin (p. 110) . Slide

Def. 1 Function sa = f (X), na tinukoy sa set X ay tinatawag kahit, kung para sa anumang halaga XЄ X ay naisakatuparan pagkakapantay-pantay f(–x)= f(x). Magbigay ng mga halimbawa.

Def. 2 Function y = f(x), na tinukoy sa set X ay tinatawag kakaiba, kung para sa anumang halaga XЄ X ang pagkakapantay-pantay na f(–х)= –f(х) ay humahawak. Magbigay ng mga halimbawa.

Saan natin nakilala ang mga katagang "kahit" at "kakaiba"?
Alin sa mga function na ito ang magiging pantay, sa tingin mo? bakit naman Alin ang kakaiba? bakit naman
Para sa anumang function ng form sa= x n, Saan n– isang integer, maaari itong pagtalunan na ang function ay kakaiba kapag n– kakaiba at ang function ay kahit kailan n– kahit.
- Tingnan ang mga function sa= at sa = 2X– 3 ay hindi kahit na o kakaiba, dahil hindi nasisiyahan ang pagkakapantay-pantay f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Ang pag-aaral kung ang isang function ay even o odd ay tinatawag na pag-aaral ng isang function para sa parity. Slide

Sa mga kahulugan 1 at 2 pinag-uusapan natin ang mga halaga ng function sa x at – x, sa gayon ay ipinapalagay na ang function ay tinukoy din sa halaga X, at sa – X.

Def 3. Kung ang isang numerical set, kasama ang bawat isa sa mga elemento nito x, ay naglalaman din ng kabaligtaran na elemento –x, kung gayon ang set X tinatawag na simetriko set.

Mga halimbawa:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) ay simetriko set, at , [–5;4] ay asymmetric.

– U kahit na mga function ang domain ng kahulugan ay isang simetriko set? Ang mga kakaiba?
- Kung D( f) ay isang asymmetric set, kung gayon ano ang function?
– Kaya, kung ang function sa = f(X) – kahit o kakaiba, kung gayon ang domain ng kahulugan nito ay D( f) ay isang simetriko set. Totoo ba ang kabaligtaran na pahayag: kung ang domain ng kahulugan ng isang function ay isang simetriko set, ito ba ay kahit o kakaiba?
– Nangangahulugan ito na ang pagkakaroon ng simetriko na hanay ng domain ng kahulugan ay isang kinakailangang kondisyon, ngunit hindi sapat.
– Kaya paano mo susuriin ang isang function para sa parity? Subukan nating lumikha ng isang algorithm.

Slide

Algorithm para sa pag-aaral ng isang function para sa parity

1. Tukuyin kung simetriko ang domain ng kahulugan ng function. Kung hindi, ang function ay hindi kahit na o kakaiba. Kung oo, pumunta sa hakbang 2 ng algorithm.

2. Sumulat ng ekspresyon para sa f(–X).

3. Paghambingin f(–X).At f(X):

• Kung f(–X).= f(X), kung gayon ang function ay pantay;
• Kung f(–X).= – f(X), kung gayon ang pag-andar ay kakaiba;
• Kung f(–X) ≠ f(X) At f(–X) ≠ –f(X), kung gayon ang function ay hindi kahit na o kakaiba.

Mga halimbawa:

Suriin ang function a) para sa parity sa= x 5 +; b) sa= ; V) sa= .

Solusyon.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), symmetric set.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => function h(x)= x 5 + kakaiba.

b) y =,

sa = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), isang asymmetric set, na nangangahulugang ang function ay hindi kahit na o kakaiba.

V) f(X) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Opsyon 2

1. Symmetric ba ang ibinigay na set: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y = x (5 – x 2). 2. Suriin ang function para sa parity:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. Sa Fig. isang graph ang ginawa sa = f(X), para sa lahat X, nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon X? 0.
I-graph ang Function sa = f(X), Kung sa = f(X) ay isang pantay na function.

3. Sa Fig. isang graph ang ginawa sa = f(X), para sa lahat ng x na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon x? 0.
I-graph ang Function sa = f(X), Kung sa = f(X) ay isang kakaibang function.

Naka-on ang mutual check slide.

6. Takdang-Aralin: №11.11, 11.21,11.22;

Patunay ng geometric na kahulugan ng parity property.

***(Pagtatalaga ng opsyon sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri).

1. Ang kakaibang function na y = f(x) ay tinukoy sa buong linya ng numero. Para sa anumang hindi-negatibong halaga ng variable na x, ang halaga ng function na ito ay tumutugma sa halaga ng function na g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Hanapin ang halaga ng function na h( X) = sa X = 3.

7. Pagbubuod