Pasimplehin ang mga expression online gamit ang mga fraction. Mga pagkakakilanlan. Magkaparehong mga ekspresyon. Mga kalkulasyon sa panaklong
Kabilang sa iba't ibang mga expression na isinasaalang-alang sa algebra, ang mga kabuuan ng monomial ay sumasakop sa isang mahalagang lugar. Narito ang mga halimbawa ng gayong mga ekspresyon:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Ang kabuuan ng monomials ay tinatawag na polynomial. Ang mga termino sa isang polynomial ay tinatawag na mga termino ng polynomial. Ang mga monomial ay inuri rin bilang mga polynomial, na isinasaalang-alang ang isang monomial na isang polynomial na binubuo ng isang miyembro.
Halimbawa, isang polynomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
maaaring gawing simple.
Katawanin natin ang lahat ng termino sa anyo ng mga monomial karaniwang view:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Ipakita natin ang mga katulad na termino sa nagresultang polynomial:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Ang resulta ay isang polynomial, ang lahat ng mga termino ay monomials ng karaniwang anyo, at kasama ng mga ito ay walang mga katulad. Ang ganitong mga polynomial ay tinatawag polynomial ng karaniwang anyo.
Para sa antas ng polynomial ng isang karaniwang anyo ang pinakamataas sa mga kapangyarihan ng mga miyembro nito. Kaya, ang binomial na \(12a^2b - 7b\) ay may ikatlong antas, at ang trinomial na \(2b^2 -7b + 6\) ay may pangalawa.
Karaniwan, ang mga termino ng polynomial ng karaniwang anyo na naglalaman ng isang variable ay nakaayos sa pababang pagkakasunud-sunod ng mga exponent ng antas nito. Halimbawa:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Ang kabuuan ng ilang polynomial ay maaaring mabago (pinasimple) sa isang polynomial ng karaniwang anyo.
Minsan ang mga termino ng isang polynomial ay kailangang hatiin sa mga pangkat, na nakapaloob sa bawat pangkat sa mga panaklong. Dahil ang bracketing ay ang kabaligtaran na pagbabago ng pagbubukas ng mga bracket, madali itong bumalangkas Mga panuntunan para sa pagbubukas ng mga bracket:
Kung ang isang “+” na karatula ay inilagay sa harap ng mga bracket, kung gayon ang mga terminong nakapaloob sa mga bracket ay nakasulat na may parehong mga palatandaan.
Kung ang isang "-" na palatandaan ay inilagay sa harap ng mga bracket, pagkatapos ay ang mga termino na nakapaloob sa mga bracket ay nakasulat na may kabaligtaran na mga palatandaan.
Pagbabago (pagpapasimple) ng produkto ng isang monomial at isang polynomial
Gamit ang distributive property ng multiplication, maaari mong baguhin (pasimplehin) ang produkto ng isang monomial at isang polynomial sa isang polynomial. Halimbawa:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Ang produkto ng isang monomial at isang polynomial ay magkaparehong katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng monomial na ito at bawat isa sa mga termino ng polynomial.
Ang resulta na ito ay kadalasang binabalangkas bilang panuntunan.
Upang i-multiply ang isang monomial sa isang polynomial, dapat mong i-multiply ang monomial na iyon sa bawat isa sa mga tuntunin ng polynomial.
Nagamit na namin ang panuntunang ito nang ilang beses upang i-multiply sa isang kabuuan.
Produkto ng polynomials. Pagbabago (pagpapasimple) ng produkto ng dalawang polynomial
Sa pangkalahatan, ang produkto ng dalawang polynomial ay magkaparehong katumbas ng kabuuan ng produkto ng bawat termino ng isang polynomial at bawat termino ng isa pa.
Karaniwan ang sumusunod na tuntunin ay ginagamit.
Upang i-multiply ang isang polynomial sa isang polynomial, kailangan mong i-multiply ang bawat termino ng isang polynomial sa bawat termino ng isa at idagdag ang mga resultang produkto.
Mga pinaikling pormula ng pagpaparami. Pagsusuma ng mga parisukat, pagkakaiba at pagkakaiba ng mga parisukat
Sa ilang mga ekspresyon sa pagbabagong algebraic kailangang harapin nang mas madalas kaysa sa iba. Marahil ang pinakakaraniwang mga expression ay \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) at \(a^2 - b^2 \), ibig sabihin, ang parisukat ng kabuuan, ang parisukat ng ang pagkakaiba at pagkakaiba ng mga parisukat. Napansin mo na ang mga pangalan ng mga expression na ito ay tila hindi kumpleto, halimbawa, \((a + b)^2 \) ay, siyempre, hindi lamang ang parisukat ng kabuuan, ngunit ang parisukat ng kabuuan ng a at b . Gayunpaman, ang parisukat ng kabuuan ng a at b ay hindi nangyayari nang madalas, sa halip na ang mga titik a at b, naglalaman ito ng iba't ibang, minsan medyo kumplikado, mga expression.
Ang mga expression na \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ay madaling ma-convert (pinasimple) sa mga polynomial ng karaniwang anyo, sa katunayan, nakatagpo ka na ng ganoong gawain kapag nagpaparami ng mga polynomial; :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Kapaki-pakinabang na tandaan ang mga resultang pagkakakilanlan at ilapat ang mga ito nang walang mga intermediate na kalkulasyon. Ang mga maikling pormulasyon sa salita ay nakakatulong dito.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - ang parisukat ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat at ang dobleng produkto.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - ang parisukat ng pagkakaiba ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat na walang nadobleng produkto.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - ang pagkakaiba ng mga parisukat ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba at ang kabuuan.
Ang tatlong pagkakakilanlang ito ay nagbibigay-daan sa mga pagbabagong palitan ang kanilang mga kaliwang bahagi ng mga kanan at vice versa - mga kanang bahagi ng mga kaliwa. Ang pinakamahirap na bagay ay ang makita ang kaukulang mga expression at maunawaan kung paano pinapalitan ang mga variable na a at b sa kanila. Tingnan natin ang ilang halimbawa ng paggamit ng mga pinaikling formula ng multiplikasyon.
Maginhawa at simple online na calculator mga fraction na may detalyadong solusyon siguro:
- Magdagdag, magbawas, magparami at hatiin mga fraction online,
- Tumanggap handa na solusyon mga fraction na may larawan at ito ay maginhawa upang ilipat ito.
Narito ang resulta ng paglutas ng mga fraction...
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Fraction sign "/" + - * :
_burahin Clear
Ang aming online na fraction calculator ay may mabilis na input. Upang malutas ang mga fraction, halimbawa, isulat lamang 1/2+2/7
sa calculator at pindutin ang " Lutasin ang mga fraction". Susulatan ka ng calculator detalyadong solusyon mga fraction at magpapalabas isang madaling kopyahin na imahe.
Mga palatandaan na ginagamit para sa pagsusulat sa isang calculator
Maaari kang mag-type ng isang halimbawa para sa isang solusyon mula sa keyboard o gamit ang mga pindutan.
Mga tampok ng online fraction calculator
Ang fraction calculator ay maaari lamang magsagawa ng mga operasyon sa 2 mga simpleng fraction. Maaari silang maging tama (numerator mas mababa sa denominator), at mali (ang numerator ay mas malaki kaysa sa denominator). Ang mga numero sa numerator at denominator ay hindi maaaring negatibo o higit sa 999.Ang aming online na calculator ay lumulutas ng mga fraction at nagbibigay ng sagot sa ang tamang uri- binabawasan ang bahagi at pinipili ang buong bahagi, kung kinakailangan.
Kung kailangan mong lutasin ang mga negatibong praksyon, gamitin lamang ang mga katangian ng minus. Kapag nagpaparami at naghahati ng mga negatibong praksiyon, ang minus sa pamamagitan ng minus ay nagbibigay ng plus. Ibig sabihin, ang produkto at paghahati ng mga negatibong praksiyon ay katumbas ng produkto at paghahati ng parehong positibo. Kung negatibo ang isang fraction kapag nagpaparami o naghahati, pagkatapos ay alisin lamang ang minus at pagkatapos ay idagdag ito sa sagot. Kapag nagdaragdag ng mga negatibong praksiyon, ang resulta ay magiging kapareho ng kung nagdaragdag ka ng parehong positibong mga praksiyon. Kung nagdagdag ka ng isang negatibong bahagi, ito ay kapareho ng pagbabawas ng parehong positibong bahagi.
Kapag binabawasan ang mga negatibong praksyon, ang resulta ay magiging kapareho ng kung sila ay ipinagpalit at ginawang positibo. Ibig sabihin, minus ng minus in sa kasong ito nagbibigay ng plus, ngunit ang muling pagsasaayos ng mga tuntunin ay hindi nagbabago sa kabuuan. Gumagamit kami ng parehong mga patakaran kapag binabawasan ang mga fraction, isa sa mga ito ay negatibo.
Upang malutas pinaghalong fraction(mga fraction kung saan buong bahagi) itaboy lamang ang buong bahagi sa isang fraction. Upang gawin ito, i-multiply ang buong bahagi ng denominator at idagdag sa numerator.
Kung kailangan mong lutasin ang 3 o higit pang mga fraction online, dapat mong lutasin ang mga ito nang paisa-isa. Una, bilangin ang unang 2 fraction, pagkatapos ay lutasin ang susunod na fraction gamit ang sagot na nakuha mo, at iba pa. Isagawa ang mga operasyon nang paisa-isa, 2 fraction sa isang pagkakataon, at sa huli ay makukuha mo ang tamang sagot.
§ 1 Ang konsepto ng pagpapasimple ng literal na pagpapahayag
Sa araling ito, makikilala natin ang konsepto ng "katulad na mga termino" at, gamit ang mga halimbawa, matututuhan natin kung paano isagawa ang pagbabawas ng magkatulad na mga termino, kaya pinapasimple ang mga literal na expression.
Alamin natin ang kahulugan ng konseptong "pagpapasimple". Ang salitang "pagpapasimple" ay nagmula sa salitang "pasimplehin". Ang gawing simple ay nangangahulugang gawing simple, mas simple. Samakatuwid, upang gawing simple ang isang literal na pagpapahayag ay gawin itong mas maikli, na may minimum na dami mga aksyon.
Isaalang-alang ang expression na 9x + 4x. Ito ay isang literal na expression na isang kabuuan. Ang mga termino dito ay ipinakita bilang mga produkto ng isang numero at isang titik. Ang numerical factor ng naturang mga termino ay tinatawag na coefficient. Sa expression na ito, ang mga coefficient ay ang mga numero 9 at 4. Pakitandaan na ang salik na kinakatawan ng titik ay pareho sa parehong termino ng kabuuan na ito.
Alalahanin natin ang distributive law ng multiplication:
Upang i-multiply ang isang kabuuan sa isang numero, maaari mong i-multiply ang bawat termino sa numerong iyon at idagdag ang mga resultang produkto.
SA pangkalahatang pananaw nakasulat tulad ng sumusunod: (a + b) ∙ c = ac + bc.
Ang batas na ito ay totoo sa parehong direksyon ac + bc = (a + b) ∙ c
Ilapat natin ito sa ating literal na pagpapahayag: ang kabuuan ng mga produkto ng 9x at 4x ay katumbas ng isang produkto na ang unang salik ay katumbas ng kabuuan ng 9 at 4, ang pangalawang salik ay x.
9 + 4 = 13, iyon ay 13x.
9x + 4 x = (9 + 4)x = 13x.
Sa halip na tatlong aksyon sa expression, mayroon na lamang isang aksyon na natitira - multiplikasyon. Nangangahulugan ito na ginawa namin ang aming literal na pagpapahayag na mas simple, i.e. pinasimple ito.
§ 2 Pagbawas ng mga katulad na termino
Ang mga terminong 9x at 4x ay naiiba lamang sa kanilang mga coefficient - ang mga naturang termino ay tinatawag na magkatulad. Ang bahagi ng titik ng magkatulad na termino ay pareho. Kasama rin sa mga katulad na termino ang mga numero at pantay na termino.
Halimbawa, sa expression na 9a + 12 - 15 magkatulad na termino ay ang mga numero 12 at -15, at sa kabuuan ng produkto ng 12 at 6a, ang numero 14 at ang produkto ng 12 at 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) ang pantay na termino na kinakatawan ng produkto ng 12 at 6a.
Mahalagang tandaan na ang mga termino na ang mga coefficient ay pantay, ngunit ang mga salik ng mga titik ay naiiba, ay hindi magkatulad, kahit na kung minsan ay kapaki-pakinabang na ilapat ang distributive law ng multiplikasyon sa kanila, halimbawa, ang kabuuan ng mga produkto 5x at 5y ay katumbas ng produkto ng numero 5 at ang kabuuan ng x at y
5x + 5y = 5(x + y).
Pasimplehin natin ang expression -9a + 15a - 4 + 10.
Ang mga katulad na termino sa kasong ito ay mga termino -9a at 15a, dahil nagkakaiba lamang sila sa kanilang mga coefficient. Ang kanilang letter multiplier ay pareho, at ang mga termino -4 at 10 ay magkatulad din, dahil sila ay mga numero. Magdagdag ng mga katulad na termino:
9a + 15a - 4 + 10
9a + 15a = 6a;
Nakukuha namin ang: 6a + 6.
Sa pamamagitan ng pagpapasimple ng pagpapahayag, nakita namin ang mga kabuuan ng magkatulad na termino sa matematika ito ay tinatawag na pagbabawas ng magkatulad na termino;
Kung mahirap magdagdag ng mga naturang termino, maaari kang makabuo ng mga salita para sa kanila at magdagdag ng mga bagay.
Halimbawa, isaalang-alang ang expression:
Para sa bawat titik ay kukuha kami ng aming sariling bagay: b-apple, c-pear, pagkatapos ay makakakuha kami ng: 2 mansanas minus 5 peras plus 8 peras.
Maaari ba nating ibawas ang mga peras mula sa mga mansanas? Syempre hindi. Ngunit maaari tayong magdagdag ng 8 peras sa minus 5 peras.
Ipakita natin ang mga katulad na termino -5 peras + 8 peras. Ang mga magkatulad na termino ay may parehong bahagi ng titik, kaya kapag nagdadala ng mga katulad na termino sapat na upang idagdag ang mga coefficient at idagdag ang bahagi ng titik sa resulta:
(-5 + 8) peras - makakakuha ka ng 3 peras.
Pagbabalik sa ating literal na pagpapahayag, mayroon tayong -5 s + 8 s = 3 s. Kaya, pagkatapos magdala ng mga katulad na termino, nakuha namin ang expression na 2b + 3c.
Kaya, sa araling ito nakilala mo ang konsepto ng "katulad na mga termino" at natutunan kung paano gawing simple ang mga ekspresyon ng titik sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga katulad na termino.
Listahan ng ginamit na panitikan:
- Mathematics. Baitang 6: mga plano ng aralin para sa aklat-aralin ng I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // author-compiler L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
- Mathematics. Ika-6 na baitang: aklat-aralin para sa mga mag-aaral mga institusyong pang-edukasyon. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2013.
- Mathematics. Ika-6 na baitang: aklat-aralin para sa mga institusyong pangkalahatang edukasyon/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov at iba pa/inedit ni G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Russian Academy of Sciences, Russian Academy of Education. M.: "Enlightenment", 2010.
- Mathematics. Ika-6 na baitang: pag-aaral para sa mga pangkalahatang institusyong pang-edukasyon/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyne, 2013.
- Mathematics. Ika-6 na baitang: aklat-aralin/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Bustard, 2014.
Mga larawang ginamit:
Gamit ang anumang wika, maaari mong ipahayag ang parehong impormasyon sa iba't ibang salita at parirala. Ang wikang matematika ay walang pagbubukod. Ngunit ang parehong expression ay maaaring katumbas na nakasulat sa iba't ibang paraan. At sa ilang mga sitwasyon, ang isa sa mga entry ay mas simple. Pag-uusapan natin ang tungkol sa pagpapasimple ng mga expression sa araling ito.
Ang mga tao ay nakikipag-usap iba't ibang wika. Para sa amin, ang isang mahalagang paghahambing ay ang pares na "Wikang Ruso - wikang matematika". Ang parehong impormasyon ay maaaring ipaalam sa iba't ibang wika. Ngunit, bukod dito, maaari itong bigkasin sa iba't ibang paraan sa isang wika.
Halimbawa: "Si Petya ay kaibigan ni Vasya", "Si Vasya ay kaibigan ni Petya", "Si Petya at Vasya ay magkaibigan". Iba ang sinabi, pero pareho lang. Mula sa alinman sa mga pariralang ito ay mauunawaan natin kung ano ang pinag-uusapan natin.
Tingnan natin ang pariralang ito: "Ang batang si Petya at ang batang si Vasya ay magkaibigan." Naiintindihan namin ang ibig naming sabihin pinag-uusapan natin. Gayunpaman, hindi namin gusto ang tunog ng pariralang ito. Hindi ba natin maaaring pasimplehin ito, sabihin ang parehong bagay, ngunit mas simple? "Boy and boy" - maaari mong sabihin nang isang beses: "Magkaibigan sina Petya at Vasya."
"Boys"... Hindi ba malinaw sa pangalan nila na hindi sila babae? Inalis namin ang "mga lalaki": "Magkaibigan sina Petya at Vasya." At ang salitang "kaibigan" ay maaaring mapalitan ng "mga kaibigan": "Si Petya at Vasya ay magkaibigan." Bilang resulta, ang una, mahaba, pangit na parirala ay pinalitan ng katumbas na pahayag na mas madaling sabihin at mas madaling maunawaan. Pinasimple namin ang pariralang ito. Ang pasimplehin ay nangangahulugang sabihin ito nang mas simple, ngunit hindi mawala o baluktutin ang kahulugan.
Sa wikang matematika, halos pareho ang nangyayari. Ang parehong bagay ay maaaring sabihin, nakasulat na naiiba. Ano ang ibig sabihin ng pasimplehin ang isang expression? Nangangahulugan ito na para sa orihinal na expression mayroong maraming mga katumbas na expression, iyon ay, ang mga ibig sabihin ng parehong bagay. At mula sa lahat ng iba't ibang ito dapat nating piliin ang pinakasimpleng, sa aming opinyon, o ang pinaka-angkop para sa aming karagdagang mga layunin.
Halimbawa, isaalang-alang ang numeric na expression . Ito ay magiging katumbas ng .
Katumbas din ito ng unang dalawa: 
.
Lumalabas na pinasimple namin ang aming mga expression at natagpuan ang pinakamaikling katumbas na expression.
Para sa mga numerical expression kailangan mong palaging gawin ang lahat ng mga aksyon at makuha ang katumbas na expression sa anyo ng isang solong numero.
Tingnan natin ang isang halimbawa ng literal na pagpapahayag . Malinaw, ito ay magiging mas simple.
Kapag pinasimple ang mga literal na expression, kinakailangang gawin ang lahat ng posibleng aksyon.
Kailangan bang gawing simple ang isang expression? Hindi, kung minsan ay mas maginhawa para sa atin na magkaroon ng katumbas ngunit mas mahabang pagpasok.
Halimbawa: kailangan mong ibawas ang isang numero mula sa isang numero.
Posibleng kalkulahin, ngunit kung ang unang numero ay kinakatawan ng katumbas nitong notasyon: , kung gayon ang mga kalkulasyon ay magiging madalian: .
Iyon ay, ang isang pinasimple na expression ay hindi palaging kapaki-pakinabang para sa amin para sa karagdagang mga kalkulasyon.
Gayunpaman, kadalasan ay nahaharap tayo sa isang gawain na parang "pasimplehin ang expression."
Pasimplehin ang expression: .
Solusyon
1) Isagawa ang mga aksyon sa una at pangalawang bracket: .
2) Kalkulahin natin ang mga produkto: .
Malinaw, ang huling expression ay may mas simpleng anyo kaysa sa una. Pinasimple namin ito.
Upang gawing simple ang expression, dapat itong mapalitan ng katumbas (katumbas).
Upang matukoy ang katumbas na expression na kailangan mo:
1) isagawa ang lahat ng posibleng aksyon,
2) gamitin ang mga katangian ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati upang gawing simple ang mga kalkulasyon.
Mga katangian ng pagdaragdag at pagbabawas:
1. Commutative property ng karagdagan: ang muling pagsasaayos ng mga termino ay hindi nagbabago sa kabuuan.
2. Combinative property ng karagdagan: upang magdagdag ng ikatlong numero sa kabuuan ng dalawang numero, maaari mong idagdag ang kabuuan ng pangalawa at pangatlong numero sa unang numero.
3. Ang pag-aari ng pagbabawas ng kabuuan mula sa isang numero: upang ibawas ang isang kabuuan mula sa isang numero, maaari mong ibawas ang bawat termino nang hiwalay.
Mga katangian ng multiplikasyon at paghahati
1. Commutative property ng multiplication: ang muling pagsasaayos ng mga salik ay hindi nagbabago sa produkto.
2. Combinative property: upang i-multiply ang isang numero sa produkto ng dalawang numero, maaari mo muna itong i-multiply sa unang factor, at pagkatapos ay i-multiply ang resultang produkto sa pangalawang factor.
3. Distributive property ng multiplication: upang ma-multiply ang isang numero sa isang sum, kailangan mong i-multiply ito sa bawat term nang hiwalay.
Tingnan natin kung paano talaga namin ginagawa ang mga kalkulasyon ng kaisipan.
Kalkulahin:
Solusyon
1) Isipin natin kung paano
2) Isipin natin ang unang salik bilang kabuuan ng mga bit terms at gawin ang multiplikasyon:
3) maaari mong isipin kung paano at gawin ang pagpaparami:
4) Palitan ang unang salik ng katumbas na kabuuan:
Ang distributive law ay maaari ding gamitin sa reverse side: .
Sundin ang mga hakbang na ito:
1) 
2) 
Solusyon
1) Para sa kaginhawahan, maaari mong gamitin ang batas sa pamamahagi, gamitin lamang ito sa kabaligtaran na direksyon - alisin ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket.
2) Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket
Kinakailangang bumili ng linoleum para sa kusina at pasilyo. Lugar ng kusina - , pasilyo - . Mayroong tatlong uri ng mga linoleum: para sa, at rubles para sa. Magkano ang bawat isa? tatlong uri linoleum? (Larawan 1)
kanin. 1. Ilustrasyon para sa pahayag ng problema
Solusyon
Paraan 1. Maaari mong hiwalay na malaman kung magkano ang pera na kakailanganin upang bumili ng linoleum para sa kusina, at pagkatapos ay ilagay ito sa pasilyo at idagdag ang mga resultang produkto.