Tatlong uri ng parallelepiped. Parihabang parallelepiped

Sa geometry, ang mga pangunahing konsepto ay eroplano, punto, tuwid na linya at anggulo. Gamit ang mga terminong ito, maaari mong ilarawan ang anumang geometric figure. Ang polyhedra ay karaniwang inilalarawan sa mga tuntunin ng higit pa simpleng figure, na nasa parehong eroplano, tulad ng bilog, tatsulok, parisukat, parihaba, atbp. Sa artikulong ito titingnan natin kung ano ang isang parallelepiped, ilarawan ang mga uri ng parallelepiped, mga katangian nito, kung anong mga elemento ang binubuo nito, at ibibigay din ang mga pangunahing formula para sa pagkalkula ng lugar at dami para sa bawat uri ng parallelepiped.

Kahulugan

Ang parallelepiped sa three-dimensional na espasyo ay isang prisma, ang lahat ng panig nito ay parallelograms. Alinsunod dito, maaari lamang itong magkaroon ng tatlong pares ng parallel parallelograms o anim na mukha.

Upang mailarawan ang isang parallelepiped, isipin ang isang ordinaryong karaniwang brick. Brick - magandang halimbawa isang parihabang parallelepiped na kahit isang bata ay maiisip. Kasama sa iba pang mga halimbawa ang multi-storey mga panel house, mga cabinet, mga lalagyan ng imbakan mga produktong pagkain angkop na anyo, atbp.

Mga uri ng figure

Mayroon lamang dalawang uri ng parallelepipeds:

1. Parihaba, ang lahat ng panig na mukha nito ay nasa anggulong 90° sa base at mga parihaba.
2. Sloping, ang mga gilid ng gilid na kung saan ay matatagpuan sa isang tiyak na anggulo sa base.

Anong mga elemento ang maaaring hatiin ang figure na ito?

• Tulad ng sa anumang iba pang geometric figure, sa isang parallelepiped anumang 2 mga mukha na may isang karaniwang gilid ay tinatawag na katabi, at ang mga wala nito ay parallel (batay sa pag-aari ng isang parallelogram, na may mga pares ng parallel na magkabilang panig).
• Ang mga vertices ng isang parallelepiped na hindi nakahiga sa parehong mukha ay tinatawag na kabaligtaran.
• Ang segment na nagkokonekta sa naturang mga vertex ay isang dayagonal.
• Ang mga haba ng tatlong gilid ng isang cuboid na nagtatagpo sa isang vertex ay ang mga sukat nito (ibig sabihin, ang haba, lapad at taas nito).

Mga Katangian ng Hugis

1. Ito ay palaging binuo ng simetriko na may paggalang sa gitna ng dayagonal.
2. Ang intersection point ng lahat ng diagonal ay naghahati sa bawat diagonal sa dalawang pantay na segment.
3. Ang magkasalungat na mukha ay pantay ang haba at nakahiga sa magkatulad na linya.
4. Kung idaragdag mo ang mga parisukat ng lahat ng dimensyon ng isang parallelepiped, ang magreresultang halaga ay magiging katumbas ng parisukat ng haba ng dayagonal.

Mga formula ng pagkalkula

Magiiba ang mga formula para sa bawat partikular na kaso ng parallelepiped.

Para sa isang arbitrary na parallelepiped totoo na ang dami nito ay katumbas ng ganap na halaga ang triple scalar product ng mga vector ng tatlong panig na nagmumula sa parehong vertex. Gayunpaman, walang formula para sa pagkalkula ng dami ng isang arbitrary na parallelepiped.

Para sa isang parihabang parallelepiped ang mga sumusunod na formula ay nalalapat:

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• V - dami ng figure;
• Sb - lateral surface area;
• Sp - lugar buong ibabaw;
• a - haba;
• b - lapad;
• c - taas.

Ang isa pang espesyal na kaso ng parallelepiped kung saan ang lahat ng panig ay parisukat ay isang kubo. Kung ang alinman sa mga gilid ng parisukat ay itinalaga ng titik a, kung gayon ang mga sumusunod na formula ay maaaring gamitin para sa ibabaw na lugar at dami ng figure na ito:

• S=6*a*2;
• V=3*a.

• S - lugar ng figure,
• Ang V ay ang dami ng figure,
• a ay ang haba ng mukha ng pigura.

Ang huling uri ng parallelepiped na aming isinasaalang-alang ay isang tuwid na parallelepiped. Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng isang right parallelepiped at isang cuboid, itatanong mo. Ang katotohanan ay ang base ng isang rectangular parallelepiped ay maaaring maging anumang parallelogram, ngunit ang base ng isang straight parallelepiped ay maaari lamang maging isang rectangle. Kung tukuyin natin ang perimeter ng base, katumbas ng kabuuan ng mga haba ng lahat ng panig, bilang Po, at tukuyin ang taas ng titik h, may karapatan tayong gamitin ang mga sumusunod na formula upang kalkulahin ang volume at mga lugar ng kabuuang at mga lateral surface.

Ang parallelepiped ay isang prisma na ang mga base ay parallelograms. Sa kasong ito, ang lahat ng mga gilid ay magiging paralelograms.
Ang bawat parallelepiped ay maaaring ituring bilang isang prisma na may tatlo sa iba't ibang paraan, dahil ang bawat dalawang magkasalungat na mukha ay maaaring kunin bilang mga base (sa Figure 5, nakaharap sa ABCD at A"B"C"D", o ABA"B" at CDC"D", o VSV"C" at ADA"D") .
Ang katawan na pinag-uusapan ay may labindalawang mga gilid, apat na pantay at parallel sa bawat isa.
Teorama 3 . Ang mga diagonal ng isang parallelepiped ay nagsalubong sa isang punto, na tumutugma sa gitna ng bawat isa sa kanila.
Ang parallelepiped ABCDA"B"C"D" (Fig. 5) ay may apat na diagonal AC", BD", CA", DB". Dapat nating patunayan na ang mga midpoint ng alinman sa dalawa sa kanila, halimbawa AC at BD", ay nag-tutugma. Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na ang figure na ABC"D", na may katumbas at magkatulad na panig Ang AB at C"D" ay isang paralelogram.
Kahulugan 7 . Ang kanang parallelepiped ay isang parallelepiped na isa ring tuwid na prisma, iyon ay, isang parallelepiped na ang mga gilid ng gilid ay patayo sa eroplano ng base.
Kahulugan 8 . Ang isang parihabang parallelepiped ay isang kanang parallelepiped na ang base ay isang parihaba. Sa kasong ito, ang lahat ng mga mukha nito ay magiging mga parihaba.
Parihabang parallelepiped ay kumakatawan sa isang tuwid na prisma, kahit na alin sa mga mukha nito ang kunin bilang base, dahil ang bawat isa sa mga gilid nito ay patayo sa mga gilid na lumalabas mula sa parehong vertex, at, samakatuwid, ay magiging patayo sa mga eroplano ng mga mukha na tinukoy ng mga gilid na ito. . Sa kabaligtaran, ang isang tuwid, ngunit hindi hugis-parihaba, parallelepiped ay maaaring tingnan bilang isang tamang prisma sa isang paraan lamang.
Kahulugan 9 . Ang mga haba ng tatlong gilid ng isang hugis-parihaba na parallelepiped, kung saan walang dalawa ay parallel sa isa't isa (halimbawa, tatlong mga gilid na umuusbong mula sa parehong vertex), ay tinatawag na mga sukat nito. Dalawang parihabang parallelepiped na may katumbas na pantay na sukat ay malinaw na pantay sa bawat isa.
Kahulugan 10 .Ang kubo ay isang parihabang parallelepiped, ang lahat ng tatlong dimensyon ay pantay sa isa't isa, kaya't ang lahat ng mukha nito ay mga parisukat. Dalawang cube na ang mga gilid ay pantay ay pantay.
Kahulugan 11 . Ang isang inclined parallelepiped kung saan ang lahat ng mga gilid ay pantay sa isa't isa at ang mga anggulo ng lahat ng mga mukha ay pantay o komplementaryo ay tinatawag na rhombohedron.
Ang lahat ng mga mukha ng isang rhombohedron ay pantay na mga rhombus. (Ang ilang mga kristal ay may hugis rhombohedron, na may malaking halaga, halimbawa, Iceland spar crystals.) Sa isang rhombohedron maaari kang makahanap ng isang vertex (at kahit na dalawang magkasalungat na vertices) na ang lahat ng mga anggulo na katabi nito ay pantay sa bawat isa.
Teorama 4 . Ang mga diagonal ng isang parihabang parallelepiped ay katumbas ng bawat isa. Ang parisukat ng dayagonal ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng tatlong dimensyon.
Sa parihabang parallelepiped ABCDA"B"C"D" (Larawan 6), ang mga diagonal na AC" at BD" ay pantay, dahil ang may apat na gilid na ABC"D" ay isang parihaba (ang tuwid na linyang AB ay patayo sa eroplanong ECB" C", kung saan namamalagi ang BC") ).
Bilang karagdagan, ang AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 batay sa theorem tungkol sa parisukat ng hypotenuse. Ngunit batay sa parehong teorama AD" 2 = AA" 2 + + A"D" 2; kaya tayo may:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.

Ang isang parallelepiped ay geometric na pigura, lahat ng 6 na mukha ay mga paralelogram.

Depende sa uri ng mga paralelogram na ito ay mayroon ang mga sumusunod na uri parallelepiped:

• direkta;
• hilig;
• hugis-parihaba.

Ang kanang parallelepiped ay isang quadrangular prism na ang mga gilid ay gumagawa ng isang anggulo na 90° sa eroplano ng base.

Ang isang parihabang parallelepiped ay isang quadrangular prism, na ang lahat ng mga mukha ay parihaba. Ang kubo ay iba't-ibang parisukat na prisma, kung saan ang lahat ng mga mukha at gilid ay pantay-pantay sa isa't isa.

Ang mga tampok ng isang figure ay paunang natukoy ang mga katangian nito. Kabilang dito ang sumusunod na 4 na pahayag:

Madaling tandaan ang lahat ng mga katangian sa itaas, madali silang maunawaan at lohikal na nakuha batay sa uri at katangian ng geometric na katawan. Gayunpaman, ang mga simpleng pahayag ay maaaring maging lubhang kapaki-pakinabang sa pagpapasya karaniwang mga gawain Pinag-isang State Exam at makakatipid sa oras na kailangan para makapasa sa pagsusulit.

Mga parallelepiped na formula

Upang makahanap ng mga sagot sa problema, hindi sapat na malaman lamang ang mga katangian ng figure. Maaaring kailanganin mo rin ang ilang mga formula para sa paghahanap ng lugar at dami ng isang geometric na katawan.

Ang lugar ng mga base ay matatagpuan sa parehong paraan tulad ng kaukulang tagapagpahiwatig ng isang paralelogram o parihaba. Maaari mong piliin ang base ng paralelogram sa iyong sarili. Bilang isang patakaran, kapag ang paglutas ng mga problema ay mas madaling magtrabaho sa isang prisma, ang base nito ay isang rektanggulo.

Ang formula para sa paghahanap ng lateral surface ng isang parallelepiped ay maaari ding kailanganin sa mga pagsubok na gawain.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga karaniwang gawain ng Unified State Exam

Gawain 1.

Ibinigay: isang parihabang parallelepiped na may sukat na 3, 4 at 12 cm.
Kailangan hanapin ang haba ng isa sa mga pangunahing dayagonal ng pigura.
Solusyon: Ang anumang solusyon sa isang geometric na problema ay dapat magsimula sa pagbuo ng isang tama at malinaw na pagguhit, kung saan "ibinigay" at ang nais na halaga ay ipahiwatig. Ang larawan sa ibaba ay nagpapakita ng isang halimbawa tamang disenyo kondisyon ng gawain.

Ang pagkakaroon ng pagsusuri sa pagguhit na ginawa at pag-alala sa lahat ng mga katangian ng geometric na katawan, dumating kami sa nag-iisa ang tamang paraan mga solusyon. Ang paglalapat ng ika-4 na pag-aari ng isang parallelepiped, nakuha namin ang sumusunod na expression:

Pagkatapos ng mga simpleng kalkulasyon, nakukuha natin ang expression na b2=169, samakatuwid b=13. Ang sagot sa gawain ay natagpuan; kailangan mong gumastos ng hindi hihigit sa 5 minuto sa paghahanap at pagguhit nito.

Isinalin mula sa wikang Griyego paralelogram ay nangangahulugang eroplano. Ang parallelepiped ay isang prisma na may parallelogram sa base nito. Mayroong limang uri ng paralelogram: pahilig, tuwid at kuboid. Ang kubo at rhombohedron ay kabilang din sa parallelepiped at ang iba't-ibang nito.

Bago lumipat sa mga pangunahing konsepto, magbigay tayo ng ilang mga kahulugan:

• Ang dayagonal ng parallelepiped ay isang segment na pinag-iisa ang vertices ng parallelepiped na magkatapat.
• Kung ang dalawang mukha ay may isang karaniwang gilid, pagkatapos ay matatawag natin silang magkatabing mga gilid. Kung walang karaniwang gilid, kung gayon ang mga mukha ay tinatawag na kabaligtaran.
• Dalawang vertices na hindi nakahiga sa parehong mukha ay tinatawag na kabaligtaran.

Anong mga katangian mayroon ang isang parallelepiped?

1. Ang mga mukha ng isang parallelepiped na nakahiga sa magkabilang panig ay parallel sa isa't isa at katumbas ng bawat isa.
2. Kung gumuhit ka ng mga diagonal mula sa isang vertex patungo sa isa pa, ang intersection point ng mga diagonal na ito ay hahatiin sila sa kalahati.
3. Ang mga gilid ng parallelepiped na nakahiga sa parehong anggulo sa base ay magiging pantay. Sa madaling salita, ang mga anggulo ng mga co-directed na panig ay magiging pantay sa bawat isa.

Anong mga uri ng parallelepiped ang mayroon?

Ngayon, alamin natin kung anong uri ng mga parallelepiped ang mayroon. Tulad ng nabanggit sa itaas, mayroong ilang mga uri ng figure na ito: tuwid, hugis-parihaba, hilig parallelepiped, pati na rin ang kubo at rhombohedron. Paano sila naiiba sa isa't isa? Ito ay tungkol sa mga eroplano na bumubuo sa kanila at ang mga anggulo na kanilang nabuo.

Tingnan natin nang mas detalyado ang bawat isa sa mga nakalistang uri ng parallelepiped.

• Tulad ng malinaw na mula sa pangalan, ang isang hilig na parallelepiped ay may mga hilig na mukha, katulad ng mga mukha na wala sa isang anggulo ng 90 degrees na may kaugnayan sa base.
• Ngunit para sa isang kanang parallelepiped, ang anggulo sa pagitan ng base at ng gilid ay eksaktong siyamnapung degree. Ito ay para sa kadahilanang ito na ang ganitong uri ng parallelepiped ay may ganoong pangalan.
• Kung ang lahat ng mga mukha ng parallelepiped ay magkaparehong mga parisukat, kung gayon ang figure na ito ay maaaring ituring na isang kubo.
• Ang isang parihabang parallelepiped ay nakatanggap ng pangalang ito dahil sa mga eroplano na bumubuo dito. Kung lahat sila ay mga parihaba (kabilang ang base), kung gayon ito ay isang cuboid. Ang ganitong uri ng parallelepiped ay hindi madalas na matatagpuan. Isinalin mula sa Griyego, ang ibig sabihin ng rhombohedron ay mukha o base. Ito ang pangalang ibinigay sa isang three-dimensional figure na ang mga mukha ay rhombus.

Mga pangunahing formula para sa parallelepiped

Ang dami ng isang parallelepiped ay katumbas ng produkto ng lugar ng base at ang taas nito patayo sa base.

Ang lugar ng lateral surface ay magiging katumbas ng produkto ng perimeter ng base at taas.
Alam ang mga pangunahing kahulugan at formula, maaari mong kalkulahin ang base area at volume. Ang base ay maaaring piliin sa iyong paghuhusga. Gayunpaman, bilang isang patakaran, ang isang parihaba ay ginagamit bilang base.

O (katumbas) ng isang polyhedron, na may anim na mukha at bawat isa sa kanila - paralelogram.

Mga uri ng parallelepiped

Mayroong ilang mga uri ng parallelepipeds:

• Ang cuboid ay isang parallelepiped na ang mga mukha ay pawang parihaba.
• Ang kanang parallelepiped ay isang parallelepiped na may 4 na gilid na mukha na parihaba.
• Ang isang inclined parallelepiped ay isang parallelepiped na ang mga gilid na mukha ay hindi patayo sa mga base.

Mga pangunahing elemento

Ang dalawang mukha ng isang parallelepiped na walang karaniwang gilid ay tinatawag na kabaligtaran, at ang mga may karaniwang gilid ay tinatawag na magkatabi. Dalawang vertices ng parallelepiped na hindi kabilang sa parehong mukha ay tinatawag na kabaligtaran. Ang segment na nagkokonekta sa magkabilang vertices ay tinatawag na diagonal ng parallelepiped. Ang mga haba ng tatlong gilid ng isang parihabang parallelepiped na may karaniwang vertex ay tinatawag na mga sukat nito.

Mga Katangian

• Ang parallelepiped ay simetriko tungkol sa gitna ng dayagonal nito.
• Anumang segment na may mga dulo na kabilang sa ibabaw ng parallelepiped at dumadaan sa gitna ng dayagonal nito ay nahahati sa kalahati nito; sa partikular, lahat ng diagonal ng parallelepiped ay nagsalubong sa isang punto at nahahati nito.
• Ang kabaligtaran ng mga mukha ng isang parallelepiped ay parallel at pantay.
• Ang parisukat ng diagonal na haba ng isang parihabang parallelepiped ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng tatlong dimensyon nito.

Mga pangunahing formula

Kanang parallelepiped

Lateral surface area S b =P o *h, kung saan ang P o ang perimeter ng base, ang h ay ang taas

Kabuuang lugar sa ibabaw S p =S b +2S o, kung saan ang S o ang base area

Dami V=S o *h

Parihabang parallelepiped

Lateral surface area S b =2c(a+b), kung saan ang a, b ay ang mga gilid ng base, c ay ang gilid na gilid ng parihabang parallelepiped

Kabuuang lugar sa ibabaw S p =2(ab+bc+ac)

Dami V=abc, kung saan ang a, b, c ay ang mga sukat ng isang parihabang parallelepiped.

Cube

Lugar sa ibabaw: $S=6a^2$
Dami: $V=a^3$, Saan $a$- gilid ng isang kubo.

Anumang parallelepiped

Ang dami at mga ratio sa isang inclined parallelepiped ay madalas na tinutukoy gamit ang vector algebra. Ang dami ng parallelepiped ay katumbas ng ganap na halaga ng pinaghalong produkto tatlong vector, na tinukoy ng tatlong panig ng parallelepiped na nagmumula sa isang vertex. Ang ugnayan sa pagitan ng mga haba ng mga gilid ng isang parallelepiped at ang mga anggulo sa pagitan ng mga ito ay nagbibigay ng pahayag na ang Gram determinant ng ipinahiwatig na tatlong vector ay katumbas ng kanilang parisukat pinaghalong produkto :215 .

Sa mathematical analysis

SA pagsusuri sa matematika sa ilalim ng isang n-dimensional na cuboid $B$ maunawaan ang maraming punto $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$ uri $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

Sumulat ng isang pagsusuri tungkol sa artikulong "Parallelepiped"

Mga Tala

Mga link

Tama Tama hindi matambok Matambok Mga formula, theorems, mga teorya Iba pa

Isang sipi na nagpapakilala sa Parallelepiped

- On dit que les rivaux se sont reconcilies grace a l "angine... [Sinasabi nila na nagkasundo ang magkalaban dahil sa sakit na ito.]
Ang salitang angine ay inulit sa sobrang kasiyahan.
– Le vieux comte est touchant a ce qu"on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait dangereux. [Nakaka-touch ang matandang count, sabi nila. Umiyak siya na parang bata noong doktor. Sinabi ang mapanganib na kaso.]
- Oh, ce serait une perte terrible. C"est une femme ravissante. [Naku, malaking kawalan iyon. Napakagandang babae.]
"Vous parlez de la pauvre comtesse," sabi ni Anna Pavlovna, papalapit. "J"ai envoye savoir de ses nouvelles. On m"a dit qu"elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c"est la plus charmante femme du monde," nakangiting sabi ni Anna Pavlovna sa kanyang sigasig. – Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m"empeche pas de l"estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [You are talking about the poor countess... I sent to find out about her health. Sinabi nila sa akin na medyo gumaan na ang pakiramdam niya. Oh, walang duda, ito ang pinakamagandang babae sa mundo. Magkaiba kami ng mga kampo, ngunit hindi iyon pumipigil sa akin na igalang siya sa kanyang mga merito. She is so unhappy.] – dagdag ni Anna Pavlovna.
Sa paniniwalang sa mga salitang ito ay bahagyang itinaas ni Anna Pavlovna ang belo ng lihim sa karamdaman ng kondesa, isang pabaya na binata ang nagbigay-alam sa kanyang sarili na magpahayag ng pagtataka na ang mga sikat na doktor ay hindi pinatawag, ngunit ang kondesa ay ginagamot ng isang charlatan na maaaring magbigay ng mapanganib. mga remedyo.
“Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes,” biglang inatake ni Anna Pavlovna ang bagitong lalaki na may lason. binata. – Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C"est le medecin intime de la Reine d"Espagne. [Maaaring mas tumpak ang iyong balita kaysa sa akin... ngunit galing ako magandang source Alam ko na ang doktor na ito ay isang napaka aral at mahusay na tao. Ito ang buhay na manggagamot ng Reyna ng Espanya.] - At sa gayon ay sinisira ang binata, si Anna Pavlovna ay bumaling kay Bilibin, na, sa isa pang bilog, ay kinuha ang balat at, tila, malapit nang lumuwag ito upang sabihin un mot, nagsalita. tungkol sa mga Austrian.
"Je trouve que c"est charmant! [I find it charmant!]," sabi niya tungkol sa diplomatikong papel kung saan ipinadala ang Austrian banners na kinuha ni Wittgenstein sa Vienna, le heros de Petropol [ang bayani ng Petropol] (bilang siya ay tinawag sa Petersburg).
- Paano, paano ito? - Lumingon si Anna Pavlovna sa kanya, nag-udyok ng katahimikan upang marinig ang mot, na alam na niya.
At inulit ni Bilibin ang sumusunod na orihinal na mga salita ng diplomatikong dispatch na kanyang binubuo:
“L"Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens," sabi ni Bilibin, "drapeaux amis et egares qu"il a trouve hors de la route, [Ipinadala ng Emperor ang Austrian banners, friendly at lost banners na nakita niya sa labas ng totoong kalsada.] - tapos Bilibin , lumuluwag ang balat.
"Kaakit-akit, kaakit-akit, [Kaibig-ibig, kaakit-akit," sabi ni Prinsipe Vasily.
“C"est la route de Varsovie peut être, [This is the Warsaw road, maybe.] - Malakas at hindi inaasahan na sinabi ni Prinsipe Hippolyte. Lahat ay napalingon sa kanya, hindi naiintindihan kung ano ang gusto niyang sabihin dito. Lumingon din si Prince Hippolyte sa likod na may masayang sorpresa sa paligid niya, tulad ng iba, ay hindi maintindihan kung ano ang ibig sabihin ng mga salita na kanyang sinabi sa panahon ng kanyang diplomatikong karera, higit sa isang beses ay napansin niya na ang mga salitang binibigkas sa ganitong paraan ay biglang naging napaka-matalino, at sinabi niya ang mga ito. mga salita kung sakali Naghari ang mahirap na katahimikan, ang hindi sapat na makabayang mukha ay pumasok na si Anna Pavlovna, at siya, nakangiti at nanginginig ang kanyang daliri kay Ippolit, inanyayahan si Prinsipe Vasily sa mesa, at, na iniharap sa kanya ang dalawang kandila at isang manuskrito, hiniling sa kanya na magsimula .