Gumawa ng algorithm para sa paglutas ng mga ugat ng isang quadratic equation. Aralin "algorithm para sa paglutas ng mga quadratic equation"

Gumawa ng algorithm para sa paglutas ng mga ugat ng isang quadratic equation. Aralin "algorithm para sa paglutas ng mga quadratic equation"
21.09.2019

paglalarawan ng bibliograpiya: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation // Young scientist. 2016. Hindi. 6.1. P. 17-20..04.2019).





Ang aming proyekto ay tungkol sa mga paraan upang malutas ang mga quadratic equation. Layunin ng proyekto: matutong lutasin ang mga quadratic equation sa mga paraang hindi kasama sa kurikulum ng paaralan. Gawain: hanapin ang lahat ng posibleng paraan upang malutas ang mga quadratic equation at alamin kung paano gamitin ang mga ito sa iyong sarili at ipakilala ang mga pamamaraang ito sa iyong mga kaklase.

Ano ang "quadratic equation"?

Quadratic equation- equation ng form palakol2 + bx + c = 0, Saan a, b, c- ilang mga numero ( isang ≠ 0), x- hindi kilala.

Ang mga numerong a, b, c ay tinatawag na coefficients ng quadratic equation.

  • a ay tinatawag na unang koepisyent;
  • b ay tinatawag na pangalawang koepisyent;
  • c - libreng miyembro.

Sino ang unang "nag-imbento" ng mga quadratic equation?

Ang ilang mga algebraic technique para sa paglutas ng mga linear at quadratic na equation ay kilala 4000 taon na ang nakakaraan sa Ancient Babylon. Ang pagtuklas ng mga sinaunang Babylonian clay tablet, na mula sa isang lugar sa pagitan ng 1800 at 1600 BC, ay nagbibigay ng pinakamaagang ebidensya ng pag-aaral ng mga quadratic equation. Ang parehong mga tablet ay naglalaman ng mga pamamaraan para sa paglutas ng ilang uri ng mga quadratic equation.

Ang pangangailangan upang malutas ang mga equation hindi lamang ng una, kundi pati na rin ng pangalawang degree, kahit na noong sinaunang panahon, ay sanhi ng pangangailangan upang malutas ang mga problema na may kaugnayan sa paghahanap ng mga lugar ng mga plots ng lupa at sa gawaing paghuhukay ng isang militar na kalikasan, pati na rin tulad ng pag-unlad ng astronomiya at matematika mismo.

Ang panuntunan para sa paglutas ng mga equation na ito, na itinakda sa mga teksto ng Babylonian, ay mahalagang tumutugma sa modernong isa, ngunit hindi alam kung paano nakarating ang mga Babylonians sa panuntunang ito. Halos lahat ng mga tekstong cuneiform na natagpuan sa ngayon ay nagbibigay lamang ng mga problema sa mga solusyon na inilatag sa anyo ng mga recipe, na walang indikasyon kung paano sila natagpuan. Sa kabila ng mataas na antas ng pag-unlad ng algebra sa Babylon, ang mga cuneiform na teksto ay kulang sa konsepto ng isang negatibong numero at mga pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation.

Babylonian mathematician mula noong mga ika-4 na siglo BC. ginamit ang square complement method upang malutas ang mga equation na may positibong mga ugat. Mga 300 BC Nakaisip si Euclid ng isang mas pangkalahatang paraan ng solusyong geometriko. Ang unang mathematician na nakahanap ng mga solusyon sa mga equation na may negatibong mga ugat sa anyo ng isang algebraic formula ay isang Indian scientist. Brahmagupta(India, ika-7 siglo AD).

Inilatag ni Brahmagupta ang isang pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation na binawasan sa isang solong canonical form:

ax2 + bx = c, a>0

Ang mga coefficient sa equation na ito ay maaari ding maging negatibo. Ang pamumuno ni Brahmagupta ay halos pareho sa atin.

Ang mga pampublikong kumpetisyon sa paglutas ng mahihirap na problema ay karaniwan sa India. Ganito ang sabi ng isa sa mga lumang aklat ng India tungkol sa gayong mga kompetisyon: “Kung paanong ang araw ay nanggagaling sa mga bituin sa pamamagitan ng ningning nito, gayundin ang isang may-aral na tao ay hihigit sa kaniyang kaluwalhatian sa mga pampublikong asembliya sa pamamagitan ng pagmumungkahi at paglutas ng mga problema sa algebraic.” Ang mga suliranin ay madalas na ipinakita sa anyong patula.

Sa isang algebraic treatise Al-Khawarizmi isang klasipikasyon ng mga linear at quadratic na equation ay ibinigay. Ang may-akda ay nagbibilang ng 6 na uri ng mga equation, na nagpapahayag ng mga ito bilang mga sumusunod:

1) "Ang mga parisukat ay katumbas ng mga ugat," ibig sabihin, ax2 = bx.

2) "Ang mga parisukat ay katumbas ng mga numero," ibig sabihin, ax2 = c.

3) "Ang mga ugat ay katumbas ng bilang," i.e. ax2 = c.

4) "Ang mga parisukat at mga numero ay katumbas ng mga ugat," i.e. ax2 + c = bx.

5) "Ang mga parisukat at ugat ay katumbas ng bilang," ibig sabihin, ax2 + bx = c.

6) "Ang mga ugat at numero ay katumbas ng mga parisukat," i.e. bx + c == ax2.

Para kay Al-Khwarizmi, na umiwas sa paggamit ng mga negatibong numero, ang mga tuntunin ng bawat isa sa mga equation na ito ay mga addend at hindi mga subtractable. Sa kasong ito, ang mga equation na walang positibong solusyon ay malinaw na hindi isinasaalang-alang. Ang may-akda ay nagtakda ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na ito gamit ang mga pamamaraan ng al-jabr at al-mukabal. Ang kanyang desisyon, siyempre, ay hindi ganap na tumutugma sa atin. Hindi sa banggitin na ito ay purong retorika, dapat tandaan, halimbawa, na kapag nilutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng unang uri, si Al-Khorezmi, tulad ng lahat ng mga mathematician hanggang sa ika-17 siglo, ay hindi isinasaalang-alang ang zero na solusyon, marahil dahil sa tiyak na praktikal na ito ay hindi mahalaga sa mga gawain. Kapag nilulutas ang kumpletong quadratic equation, itinakda ni Al-Khwarizmi ang mga patakaran para sa paglutas ng mga ito gamit ang mga partikular na halimbawang numero, at pagkatapos ang kanilang mga geometric na patunay.

Ang mga form para sa paglutas ng mga quadratic equation na sumusunod sa modelo ng Al-Khwarizmi sa Europe ay unang itinakda sa "Book of the Abacus," na isinulat noong 1202. Italyano na matematiko Leonard Fibonacci. Ang may-akda ay nakapag-iisa na bumuo ng ilang mga bagong algebraic na halimbawa ng paglutas ng mga problema at siya ang una sa Europa na lumapit sa pagpapakilala ng mga negatibong numero.

Ang aklat na ito ay nag-ambag sa pagkalat ng kaalaman sa algebraic hindi lamang sa Italya, kundi pati na rin sa Alemanya, Pransya at iba pang mga bansa sa Europa. Maraming mga problema mula sa aklat na ito ang ginamit sa halos lahat ng mga aklat-aralin sa Europa noong ika-14-17 siglo. Ang pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation ay binawasan sa isang kanonikal na anyo x2 + bх = с para sa lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga palatandaan at mga coefficient b, c ay nabuo sa Europa noong 1544. M. Stiefel.

Ang derivation ng formula para sa paglutas ng isang quadratic equation sa pangkalahatang anyo ay makukuha mula sa Vieth, ngunit ang Vieth ay kumikilala lamang ng mga positibong ugat. Italyano mathematician Tartaglia, Cardano, Bombelli kabilang sa mga una noong ika-16 na siglo. Bilang karagdagan sa mga positibo, ang mga negatibong ugat ay isinasaalang-alang din. Noong ika-17 siglo lamang. salamat sa mga pagsisikap Girard, Descartes, Newton at iba pang mga siyentipiko, ang paraan ng paglutas ng mga quadratic equation ay tumatagal ng isang modernong anyo.

Tingnan natin ang ilang mga paraan upang malutas ang mga quadratic equation.

Mga karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation mula sa kurikulum ng paaralan:

  1. Factoring ang kaliwang bahagi ng equation.
  2. Paraan para sa pagpili ng isang kumpletong parisukat.
  3. Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang formula.
  4. Graphical na solusyon ng isang quadratic equation.
  5. Paglutas ng mga equation gamit ang Vieta's theorem.

Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang solusyon ng pinababa at hindi nabawas na mga quadratic na equation gamit ang teorem ni Vieta.

Alalahanin na upang malutas ang mga parisukat na equation sa itaas, sapat na upang makahanap ng dalawang numero na ang produkto ay katumbas ng libreng termino, at ang kabuuan ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda.

Halimbawa.x 2 -5x+6=0

Kailangan mong maghanap ng mga numero na ang produkto ay 6 at ang kabuuan ay 5. Ang mga numerong ito ay magiging 3 at 2.

Sagot: x 1 =2, x 2 =3.

Ngunit maaari mo ring gamitin ang paraang ito para sa mga equation na may unang koepisyent na hindi katumbas ng isa.

Halimbawa.3x 2 +2x-5=0

Kunin ang unang coefficient at i-multiply ito sa libreng term: x 2 +2x-15=0

Ang mga ugat ng equation na ito ay mga numero na ang produkto ay katumbas ng - 15, at ang kabuuan ay katumbas ng - 2. Ang mga numerong ito ay 5 at 3. Upang mahanap ang mga ugat ng orihinal na equation, hatiin ang mga resultang ugat sa unang koepisyent.

Sagot: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Paglutas ng mga equation gamit ang "throw" method.

Isaalang-alang ang quadratic equation ax 2 + bx + c = 0, kung saan a≠0.

Ang pag-multiply ng magkabilang panig ng a, makuha natin ang equation na a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Hayaan ang ax = y, kung saan ang x = y/a; pagkatapos ay dumating tayo sa equation y 2 + by + ac = 0, katumbas ng ibinigay na isa. Nahanap natin ang mga ugat nito para sa 1 at 2 gamit ang teorem ng Vieta.

Sa wakas ay nakukuha natin ang x 1 = y 1 /a at x 2 = y 2 /a.

Sa pamamaraang ito, ang koepisyent a ay pinarami ng libreng termino, na parang "itinapon" dito, kaya naman tinawag itong "pagtapon" na paraan. Ginagamit ang paraang ito kapag madali mong mahahanap ang mga ugat ng equation gamit ang theorem ng Vieta at, higit sa lahat, kapag ang discriminant ay isang eksaktong parisukat.

Halimbawa.2x 2 - 11x + 15 = 0.

"Itapon" natin ang koepisyent 2 sa libreng termino at gawin ang kapalit, makuha natin ang equation na y 2 - 11y + 30 = 0.

Ayon sa converse theorem ni Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5;

Sagot: x 1 =2.5; X 2 = 3.

7. Mga katangian ng mga coefficient ng isang quadratic equation.

Hayaang ibigay ang quadratic equation na ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Kung a+ b + c = 0 (i.e. ang kabuuan ng mga coefficient ng equation ay zero), kung gayon ang x 1 = 1.

2. Kung a - b + c = 0, o b = a + c, kung gayon x 1 = - 1.

Halimbawa.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Dahil a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), kung gayon x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Sagot: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Halimbawa.132x 2 + 247x + 115 = 0

kasi a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), pagkatapos x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Sagot: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Mayroong iba pang mga katangian ng mga coefficient ng isang quadratic equation. ngunit ang kanilang paggamit ay mas kumplikado.

8. Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang isang nomogram.

Fig 1. Nomogram

Ito ay isang luma at kasalukuyang nakalimutang paraan ng paglutas ng mga quadratic equation, na inilagay sa p 83 ng koleksyon: Bradis V.M. Apat na digit na mga talahanayan sa matematika. - M., Edukasyon, 1990.

Talahanayan XXII. Nomogram para sa paglutas ng equation z 2 + pz + q = 0. Ang nomogram na ito ay nagbibigay-daan, nang hindi nilulutas ang isang quadratic equation, upang matukoy ang mga ugat ng equation mula sa mga coefficient nito.

Ang curvilinear scale ng nomogram ay binuo ayon sa mga formula (Larawan 1):

Naniniwala OS = p, ED = q, OE = a(lahat sa cm), mula sa Fig. 1 pagkakatulad ng mga tatsulok SAN At CDF nakukuha natin ang proporsyon

na, pagkatapos ng mga pagpapalit at pagpapasimple, ay nagbubunga ng equation z 2 + pz + q = 0, at ang sulat z nangangahulugang ang marka ng anumang punto sa isang hubog na sukat.

kanin. 2 Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang isang nomogram

Mga halimbawa.

1) Para sa equation z 2 - 9z + 8 = 0 binibigyan ng nomogram ang mga ugat z 1 = 8.0 at z 2 = 1.0

Sagot:8.0; 1.0.

2) Gamit ang isang nomogram, malulutas namin ang equation

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Hatiin ang mga coefficient ng equation na ito ng 2, makuha natin ang equation z 2 - 4.5z + 1 = 0.

Ang nomogram ay nagbibigay ng mga ugat z 1 = 4 at z 2 = 0.5.

Sagot: 4; 0.5.

9. Geometric na paraan para sa paglutas ng mga quadratic equation.

Halimbawa.X 2 + 10x = 39.

Sa orihinal, ang problemang ito ay nabuo tulad ng sumusunod: "Ang parisukat at sampung ugat ay katumbas ng 39."

Isaalang-alang ang isang parisukat na may gilid x, ang mga parihaba ay itinayo sa mga gilid nito upang ang kabilang panig ng bawat isa sa kanila ay 2.5, samakatuwid ang lugar ng bawat isa ay 2.5x. Ang resultang figure ay pagkatapos ay pupunan sa isang bagong parisukat ABCD, pagbuo ng apat na pantay na mga parisukat sa mga sulok, ang gilid ng bawat isa sa kanila ay 2.5, at ang lugar ay 6.25

kanin. 3 Grapikong pamamaraan para sa paglutas ng equation x 2 + 10x = 39

Ang lugar S ng parisukat ABCD ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng mga lugar ng: ang orihinal na parisukat x 2, apat na parihaba (4∙2.5x = 10x) at apat na karagdagang parisukat (6.25∙4 = 25), i.e. S = x 2 + 10x = 25. Ang pagpapalit ng x 2 + 10x sa numerong 39, makuha natin na S = 39+ 25 = 64, na nangangahulugan na ang gilid ng parisukat ay ABCD, i.e. segment AB = 8. Para sa kinakailangang panig x ng orihinal na parisukat na nakuha namin

10. Paglutas ng mga equation gamit ang theorem ni Bezout.

Ang teorama ni Bezout. Ang natitira sa paghahati ng polynomial P(x) sa binomial na x - α ay katumbas ng P(α) (iyon ay, ang halaga ng P(x) sa x = α).

Kung ang numerong α ay ang ugat ng polynomial na P(x), kung gayon ang polynomial na ito ay mahahati ng x -α na walang nalalabi.

Halimbawa.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Hatiin ang P(x) sa (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, o x-3=0, x=3; Sagot: x1 =2, x2 =3.

Konklusyon: Ang kakayahang mabilis at mahusay na malutas ang mga quadratic equation ay mahalaga para sa paglutas ng mas kumplikadong mga equation, tulad ng mga fractional rational equation, mas mataas na power equation, biquadratic equation, at, sa high school, trigonometric, exponential, at logarithmic equation. Ang pagkakaroon ng pag-aaral ng lahat ng nahanap na pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation, maaari naming payuhan ang aming mga kaklase, bilang karagdagan sa mga karaniwang pamamaraan, upang malutas sa pamamagitan ng paraan ng paglipat (6) at lutasin ang mga equation gamit ang pag-aari ng mga coefficient (7), dahil mas madaling ma-access ang mga ito. sa pag-unawa.

Panitikan:

  1. Bradis V.M. Apat na digit na mga talahanayan sa matematika. - M., Edukasyon, 1990.
  2. Algebra ika-8 baitang: aklat-aralin para sa ika-8 baitang. pangkalahatang edukasyon mga institusyon Makarychev Yu N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Teleyakovsky ika-15 ed., binago. - M.: Edukasyon, 2015
  3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
  4. Glazer G.I. Kasaysayan ng matematika sa paaralan. Manwal para sa mga guro. / Ed. V.N. Mas bata. - M.: Edukasyon, 1964.

Slide 2

Quadratic equation cycle ng algebra lessons sa ika-8 baitang ayon sa textbook ni A.G. Mordkovich

Guro MBOU Grushevskaya sekondaryang paaralan Kireeva T.A.

Slide 3

Mga Layunin: ipakilala ang mga konsepto ng isang quadratic equation, ang ugat ng isang quadratic equation; ipakita ang mga solusyon sa quadratic equation; bumuo ng kakayahang malutas ang mga quadratic equation; magpakita ng paraan upang malutas ang kumpletong quadratic equation gamit ang quadratic equation roots formula.

Slide 4

Slide 5

Isang maliit na kasaysayan ng Quadratic equation sa Sinaunang Babylon. Ang pangangailangan upang malutas ang mga equation hindi lamang ng una, kundi pati na rin ng pangalawang antas, kahit na noong sinaunang panahon, ay sanhi ng pangangailangan upang malutas ang mga problema na may kaugnayan sa paghahanap ng mga lugar ng mga plot ng lupa at sa gawaing paghuhukay ng isang militar na kalikasan, pati na rin tulad ng pag-unlad ng astronomiya at matematika mismo. Nalutas ng mga Babylonians ang mga quadratic equation mga 2000 taon bago ang ating pananampalataya. Gamit ang modernong algebraic notation, maaari nating sabihin na sa kanilang mga cuneiform na teksto ay mayroong, bilang karagdagan sa mga hindi kumpleto, tulad, halimbawa, kumpletong quadratic equation.

Slide 6

Ang panuntunan para sa paglutas ng mga equation na ito, na itinakda sa mga teksto ng Babylonian, ay kasabay ng modernong isa, ngunit hindi alam kung paano nakarating ang mga Babylonians sa panuntunang ito. Halos lahat ng mga tekstong cuneiform na natagpuan sa ngayon ay nagpapakita lamang ng mga problema sa mga solusyon na inilatag sa anyo ng mga recipe, na walang indikasyon kung paano sila natagpuan. Sa kabila ng mataas na antas ng pag-unlad ng algebra sa Babylonia, ang mga tekstong cuneiform ay kulang sa konsepto ng negatibong numero at pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation.

Slide 7

Kahulugan 1. Ang quadratic equation ay isang equation ng anyo kung saan ang mga coefficients a, b, c ay anumang tunay na numero, at ang polynomial ay tinatawag na quadratic trinomial. a – una, o nangungunang koepisyent b – pangalawang koepisyent c – libreng termino;

Slide 8

Depinisyon 2. Ang isang quadratic equation ay tinatawag na reduced kung ang leading coefficient nito ay 1; ang isang quadratic equation ay tinatawag na unreduced kung ang leading coefficient ay iba sa 1. Halimbawa. 2 - 5 + 3 = 0 - unreduced quadratic equation - pinababang quadratic equation

Slide 9

Depinisyon 3. Ang kumpletong quadratic equation ay isang quadratic equation kung saan lahat ng tatlong termino ay naroroon. a + in + c = 0 Ang hindi kumpletong quadratic equation ay isang equation kung saan hindi lahat ng tatlong termino ay naroroon; Ito ay isang equation kung saan kahit isa sa mga coefficient sa, c ay katumbas ng zero.

Slide 10

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation.

Slide 11

Lutasin ang mga gawain Blg. 24.16 (a,b) Lutasin ang equation: o Sagutin. o Sagot.

Slide 12

Depinisyon 4 Ang ugat ng isang quadratic equation ay anumang halaga ng variable x kung saan ang quadratic trinomial ay nagiging zero; Ang halagang ito ng variable na x ay tinatawag ding ugat ng isang quadratic trinomial. Ang paglutas ng isang quadratic equation ay nangangahulugan ng paghahanap ng lahat ng mga ugat nito o pagtatatag na walang mga ugat.

Slide 13

Discriminant ng isang quadratic equation D 0 D=0 The equation has no roots Ang equation ay may dalawang roots Ang equation ay may isang root Formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Slide 14

Ang D>0 quadratic equation ay may dalawang ugat, na matatagpuan gamit ang mga formula na Halimbawa. Lutasin ang equation Solution. a = 3, b = 8, c = -11, Sagot: 1; -3

Slide 15

Algorithm para sa paglutas ng quadratic equation 1. Kalkulahin ang discriminant D gamit ang formula D = 2. Kung D 0, ang quadratic equation ay may dalawang ugat.

Programming sa Lazarus para sa mga mag-aaral.

Aralin Blg. 12.

Paglutas ng isang quadratic equation.

Matytsin Igor Vladimirovich

Guro ng matematika at computer science

MBOU Secondary School s. Kasambahay

Layunin: magsulat ng isang programa upang malutas ang isang quadratic equation, na ibinigay ng anumang data ng input.

Pagkadalaga 2013.

Ang quadratic equation ay isa sa mga pinakakaraniwang school equation. Bagama't medyo madali itong lutasin, minsan kailangan mong suriin ang mga sagot. Maaari kang gumamit ng isang simpleng programa para dito. Hindi ito kukuha ng maraming oras upang isulat ito.

Kailangan mong magsimula sa mismong quadratic equation. Mula sa kursong algebra alam natin na ang isang quadratic equation ay isang equation ng form palakol 2 + bx + c =0, saan x – variable, a , b at c – ilang numero, at a .

Mula sa kahulugan ay malinaw na ang mga coefficient lamang ang nagbabago sa equation a , b At c . Ilalagay namin ang mga parameter na ito sa aming programa, at para dito gagawa kami ng tatlong input field mula sa mga bahagi.

Figure 14.1 Mga field ng input para sa mga coefficient.

Sumusunod din ito sa depinisyon na a . Sa kasong ito, ang equation ay hindi magiging quadratic. At susuriin muna natin ang kundisyong ito. Gumawa tayo ng button na "Solve" at ang developer ng kaganapan nito gamit ang operator kung tingnan natin ang kondisyon a . At kung a =0 sabihin namin sa iyo na ang aming equation ay hindi quadratic.Narito ang tagapangasiwa ng kaganapan para sa pindutan:pamamaraan TForm1.Button1Click(Sender: TObject); var a,b,c:real; magsimula ng:=strtofloat(edit1.Text); b:=strtofloat(edit2.Text); c:=strtofloat(edit3.Text); if a=0 then Label4.Caption:="The equation is not quadratic";wakas;

kanin. 14.2 Pagsusuri para sa pagkakaroon ng isang equation.

Ngayon ay kinakailangan upang ilarawan kung ano ang mangyayari kung ang equation ay parisukat. Mapupunta rin ito sa parehong pahayag kung pagkatapos ng salita iba pa at kapag ginagamit ang tambalang operator.

Kung ang equation ay quadratic, pagkatapos ay agad nating lutasin ito gamit ang formula para sa discriminant at mga ugat ng quadratic equation.

Nahanap namin ang discriminant gamit ang formula: D := b * b – 4* a * c ;

Kung ang discriminant ay mas mababa sa zero, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon. Ito ay ilalarawan tulad nito:

Kung d pagkatapos label 4. Caption :='Walang solusyon ang equation' iba pa …

At pagkatapos iba pa direkta naming hahanapin ang mga ugat ng equation gamit ang mga formula:

X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;

X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;

Narito ang kumpletong operator code kung :

if a=0 then Label4.Caption:="The equation is not quadratic" else

magsimula

D:=b*b-4*a*c;

kung d

magsimula

X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;

X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;

Label4.Caption:="X1="+floattostr(x1)+" X2="+floattostr(x2);

wakas;

wakas;

kanin. 14.3 Working window ng quadratic equation program.

Ang mga quadratic equation ay pinag-aralan sa ika-8 baitang, kaya walang kumplikado dito. Ang kakayahang malutas ang mga ito ay ganap na kinakailangan.

Ang isang quadratic equation ay isang equation ng form na ax 2 + bx + c = 0, kung saan ang mga coefficient a, b at c ay mga arbitrary na numero, at a ≠ 0.

Bago pag-aralan ang mga tiyak na paraan ng solusyon, tandaan na ang lahat ng mga quadratic equation ay maaaring hatiin sa tatlong klase:

  1. Walang mga ugat;
  2. Magkaroon ng eksaktong isang ugat;
  3. Mayroon silang dalawang magkaibang ugat.

Ito ay isang mahalagang pagkakaiba sa pagitan ng mga quadratic na equation at mga linear, kung saan ang ugat ay palaging umiiral at natatangi. Paano matukoy kung gaano karaming mga ugat ang isang equation? Mayroong isang kahanga-hangang bagay para dito - may diskriminasyon.

Nakakadiskrimina

Hayaang ibigay ang quadratic equation na ax 2 + bx + c = 0 Kung gayon ang discriminant ay ang bilang na D = b 2 − 4ac.

Kailangan mong malaman ang formula na ito sa pamamagitan ng puso. Kung saan ito nanggaling ay hindi na mahalaga ngayon. Ang isa pang bagay ay mahalaga: sa pamamagitan ng pag-sign ng discriminant matutukoy mo kung gaano karaming mga ugat mayroon ang isang quadratic equation. Namely:

  1. Kung si D< 0, корней нет;
  2. Kung D = 0, mayroong eksaktong isang ugat;
  3. Kung D > 0, magkakaroon ng dalawang ugat.

Pakitandaan: ang discriminant ay nagpapahiwatig ng bilang ng mga ugat, at hindi sa lahat ng kanilang mga palatandaan, dahil sa ilang kadahilanan ay naniniwala ang maraming tao. Tingnan ang mga halimbawa at mauunawaan mo ang lahat sa iyong sarili:

Gawain. Ilang ugat mayroon ang mga quadratic equation:

  1. x 2 − 8x + 12 = 0;
  2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
  3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Isulat natin ang mga coefficient para sa unang equation at hanapin ang discriminant:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Kaya ang discriminant ay positibo, kaya ang equation ay may dalawang magkaibang ugat. Sinusuri namin ang pangalawang equation sa katulad na paraan:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Ang discriminant ay negatibo, walang mga ugat. Ang huling equation na natitira ay:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Ang discriminant ay zero - ang ugat ay magiging isa.

Pakitandaan na ang mga coefficient ay naisulat para sa bawat equation. Oo, ito ay mahaba, oo, ito ay nakakapagod, ngunit hindi mo paghaluin ang mga posibilidad at gumawa ng mga hangal na pagkakamali. Pumili para sa iyong sarili: bilis o kalidad.

Sa pamamagitan ng paraan, kung nakuha mo ito, pagkatapos ng ilang sandali ay hindi mo na kailangang isulat ang lahat ng mga coefficient. Gagawin mo ang gayong mga operasyon sa iyong ulo. Karamihan sa mga tao ay nagsisimulang gawin ito sa isang lugar pagkatapos ng 50-70 nalutas na mga equation - sa pangkalahatan, hindi gaanong.

Mga ugat ng isang quadratic equation

Ngayon ay lumipat tayo sa solusyon mismo. Kung ang discriminant D > 0, ang mga ugat ay makikita gamit ang mga formula:

Pangunahing formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Kapag D = 0, maaari mong gamitin ang alinman sa mga formula na ito - makakakuha ka ng parehong numero, na magiging sagot. Sa wakas, kung si D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

  1. x 2 − 2x − 3 = 0;
  2. 15 − 2x − x 2 = 0;
  3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Unang equation:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ang equation ay may dalawang ugat. Hanapin natin sila:

Pangalawang equation:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ang equation muli ay may dalawang ugat. Hanapin natin sila

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Panghuli, ang ikatlong equation:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ang equation ay may isang ugat. Maaaring gamitin ang anumang formula. Halimbawa, ang una:

Tulad ng nakikita mo mula sa mga halimbawa, ang lahat ay napaka-simple. Kung alam mo ang mga formula at mabibilang, walang magiging problema. Kadalasan, ang mga error ay nangyayari kapag pinapalitan ang mga negatibong coefficient sa formula. Dito muli, ang pamamaraan na inilarawan sa itaas ay makakatulong: tingnan ang formula nang literal, isulat ang bawat hakbang - at sa lalong madaling panahon ay mapupuksa mo ang mga error.

Hindi kumpletong quadratic equation

Ito ay nangyayari na ang isang quadratic equation ay bahagyang naiiba mula sa kung ano ang ibinigay sa kahulugan. Halimbawa:

  1. x 2 + 9x = 0;
  2. x 2 − 16 = 0.

Madaling mapansin na ang mga equation na ito ay nawawala ang isa sa mga termino. Ang ganitong mga quadratic equation ay mas madaling lutasin kaysa sa mga karaniwang equation: hindi man lang nila kailangan na kalkulahin ang discriminant. Kaya, ipakilala natin ang isang bagong konsepto:

Ang equation na ax 2 + bx + c = 0 ay tinatawag na incomplete quadratic equation kung b = 0 o c = 0, i.e. ang koepisyent ng variable na x o ang libreng elemento ay katumbas ng zero.

Siyempre, ang isang napakahirap na kaso ay posible kapag ang parehong mga coefficient na ito ay katumbas ng zero: b = c = 0. Sa kasong ito, ang equation ay nasa anyo na ax 2 = 0. Malinaw, ang naturang equation ay may iisang ugat: x = 0.

Isaalang-alang natin ang natitirang mga kaso. Hayaan ang b = 0, pagkatapos ay makakuha tayo ng hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 + c = 0. Ibahin natin ito ng kaunti:

Dahil ang arithmetic square root ay umiiral lamang ng isang di-negatibong numero, ang huling pagkakapantay-pantay ay may katuturan lamang para sa (−c /a) ≥ 0. Konklusyon:

  1. Kung sa isang hindi kumpletong quadratic equation ng anyong ax 2 + c = 0 ang hindi pagkakapantay-pantay (−c /a) ≥ 0 ay nasiyahan, magkakaroon ng dalawang ugat. Ang formula ay ibinigay sa itaas;
  2. Kung (−c /a)< 0, корней нет.

Gaya ng nakikita mo, hindi kailangan ng discriminant—walang kumplikadong kalkulasyon sa mga hindi kumpletong quadratic equation. Sa katunayan, hindi na kailangang tandaan ang hindi pagkakapantay-pantay (−c /a) ≥ 0. Ito ay sapat na upang ipahayag ang halaga x 2 at makita kung ano ang nasa kabilang panig ng equal sign. Kung mayroong positibong numero, magkakaroon ng dalawang ugat. Kung ito ay negatibo, walang magiging ugat.

Ngayon tingnan natin ang mga equation ng form na ax 2 + bx = 0, kung saan ang libreng elemento ay katumbas ng zero. Ang lahat ay simple dito: palaging may dalawang ugat. Ito ay sapat na upang i-factor ang polynomial:

Inalis ang karaniwang salik sa mga bracket

Ang produkto ay zero kapag kahit isa sa mga salik ay zero. Dito nagmula ang mga ugat. Sa konklusyon, tingnan natin ang ilan sa mga equation na ito:

Gawain. Lutasin ang mga quadratic equation:

  1. x 2 − 7x = 0;
  2. 5x 2 + 30 = 0;
  3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Walang mga ugat, dahil ang isang parisukat ay hindi maaaring katumbas ng isang negatibong numero.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5.