Ang solusyon ay ang paghahanap ng nok. Greatest Common Divisor (GCD) – Depinisyon, Mga Halimbawa at Properties

Upang matutunan kung paano hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawa o higit pang mga numero, kailangan mong maunawaan kung ano ang natural, prime at complex na mga numero.

Ang natural na numero ay anumang numero na ginagamit upang mabilang ang mga buong bagay.

Kung ang isang natural na numero ay maaari lamang nahahati sa sarili at isa, kung gayon ito ay tinatawag na prime.

Ang lahat ng natural na numero ay maaaring hatiin sa pamamagitan ng kanilang sarili at isa, ngunit ang tanging kahit na prime number ay 2, lahat ng iba ay maaaring hatiin ng dalawa. Samakatuwid, ang mga kakaibang numero lamang ang maaaring maging prime.

Mayroong maraming mga pangunahing numero buong listahan wala sila. Upang mahanap ang GCD, maginhawang gumamit ng mga espesyal na talahanayan na may ganitong mga numero.

Karamihan natural na mga numero maaaring hatiin hindi lamang ng isa, sa kanilang sarili, kundi pati na rin ng iba pang mga numero. Kaya, halimbawa, ang numero 15 ay maaaring hatiin ng 3 at 5. Lahat sila ay tinatawag na mga divisors ng numero 15.

Kaya, ang divisor ng alinmang A ay ang numero kung saan maaari itong hatiin nang walang nalalabi. Kung ang isang numero ay may higit sa dalawang natural na salik, ito ay tinatawag na composite.

Ang numero 30 ay maaaring magkaroon ng mga divisors tulad ng 1, 3, 5, 6, 15, 30.

Mapapansin mo na ang 15 at 30 ay may parehong divisors 1, 3, 5, 15. Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numerong ito ay 15.

Kaya, ang karaniwang divisor ng mga numerong A at B ay ang bilang kung saan maaari silang ganap na hatiin. Ang pinakamalaki ay maaaring ituring na pinakamataas kabuuang bilang, kung saan maaari silang hatiin.

Upang malutas ang mga problema, ginagamit ang sumusunod na pinaikling inskripsyon:

GCD (A; B).

Halimbawa, gcd (15; 30) = 30.

Upang isulat ang lahat ng mga divisors ng isang natural na numero, gamitin ang notasyon:

D (15) = (1, 3, 5, 15)

GCD (9; 15) = 1

Sa halimbawang ito, ang mga natural na numero ay mayroon lamang isang karaniwang divisor. Ang mga ito ay tinatawag na relatibong prime, kaya ang pagkakaisa ang kanilang pinakamalaking karaniwang divisor.

Paano mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero

Upang mahanap ang gcd ng ilang numero, kailangan mo:

Hanapin ang lahat ng mga divisors ng bawat natural na numero nang hiwalay, iyon ay, i-factor ang mga ito sa mga kadahilanan (prime number);

Piliin ang lahat ng magkatulad na salik ng mga ibinigay na numero;

I-multiply ang mga ito nang sama-sama.

Halimbawa, upang kalkulahin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 30 at 56, isusulat mo ang sumusunod:

Upang maiwasan ang pagkalito, maginhawang isulat ang mga salik gamit ang mga patayong haligi. Sa kaliwang bahagi ng linya kailangan mong ilagay ang dibidendo, at sa kanang bahagi - ang divisor. Sa ilalim ng dibidendo dapat mong ipahiwatig ang resultang quotient.

Kaya, sa kanang hanay ay magkakaroon ng lahat ng mga kadahilanan na kailangan para sa solusyon.

Maaaring salungguhitan ang magkaparehong divisors (nahanap na mga kadahilanan) para sa kaginhawahan. Dapat silang muling isulat at i-multiply at ang pinakamalaking karaniwang divisor ay isulat.

GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10

Ito ay kung gaano kadaling mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero. Kung magsasanay ka ng kaunti, halos awtomatiko mo itong magagawa.

Ang pinakadakilang common divisor at least common multiple ay ang mga pangunahing konsepto ng arithmetic na nagbibigay-daan sa iyong gumana nang walang kahirap-hirap ordinaryong fraction. LCM at kadalasang ginagamit upang mahanap ang karaniwang denominator ng ilang fraction.

Pangunahing Konsepto

Ang divisor ng isang integer X ay isa pang integer Y kung saan ang X ay hinahati nang hindi nag-iiwan ng natitira. Halimbawa, ang divisor ng 4 ay 2, at ang 36 ay 4, 6, 9. Ang multiple ng integer X ay isang numerong Y na nahahati sa X na walang natitira. Halimbawa, ang 3 ay isang multiple ng 15, at ang 6 ay isang multiple ng 12.

Para sa anumang pares ng mga numero maaari naming mahanap ang kanilang mga karaniwang divisors at multiple. Halimbawa, para sa 6 at 9, ang common multiple ay 18, at ang common divisor ay 3. Malinaw, ang mga pares ay maaaring magkaroon ng ilang divisors at multiples, kaya ang mga kalkulasyon ay gumagamit ng pinakamalaking divisor GCD at ang pinakamaliit na multiple LCM.

Ang hindi bababa sa divisor ay walang kahulugan, dahil para sa anumang numero ito ay palaging isa. Ang pinakadakilang maramihan ay walang kahulugan din, dahil ang pagkakasunud-sunod ng mga maramihan ay napupunta sa kawalang-hanggan.

Hinahanap ang gcd

Mayroong maraming mga paraan para sa paghahanap ng pinakadakilang karaniwang divisor, ang pinakasikat sa mga ito ay:

• sunud-sunod na enumeration ng mga divisors, pagpili ng mga karaniwan para sa isang pares at hanapin ang pinakamalaki sa kanila;
• agnas ng mga numero sa hindi mahahati na mga kadahilanan;
• Euclidean algorithm;
• binary algorithm.

Ngayon sa mga institusyong pang-edukasyon Ang pinakasikat ay ang mga paraan ng prime factorization at ang Euclidean algorithm. Ang huli naman, ay ginagamit kapag nilulutas ang mga Diophantine equation: ang paghahanap para sa GCD ay kinakailangan upang suriin ang equation para sa posibilidad ng paglutas sa mga integer.

Paghahanap ng NOC

Tinutukoy din ang least common multiple sa pamamagitan ng sequential enumeration o factorization sa indivisible factors. Bilang karagdagan, madaling mahanap ang LCM kung ang pinakamalaking divisor ay natukoy na. Para sa mga numerong X at Y, ang LCM at GCD ay nauugnay sa sumusunod na relasyon:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

Halimbawa, kung ang GCM(15,18) = 3, kung gayon ang LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Ang pinaka-halatang halimbawa ng paggamit ng LCM ay ang paghahanap ng common denominator, na siyang pinakamaliit na common multiple ng ibinigay na mga fraction.

Mga numero ng koprime

Kung ang isang pares ng mga numero ay walang karaniwang divisors, kung gayon ang naturang pares ay tinatawag na coprime. Ang gcd para sa mga naturang pares ay palaging katumbas ng isa, at batay sa koneksyon sa pagitan ng mga divisors at multiple, ang gcd para sa mga coprime na pares ay katumbas ng kanilang produkto. Halimbawa, ang mga numerong 25 at 28 ay medyo prime, dahil wala silang mga karaniwang divisors, at LCM(25, 28) = 700, na tumutugma sa kanilang produkto. Anumang dalawang hindi mahahati na numero ay palaging magiging relatibong prime.

Karaniwang divisor at maramihang calculator

Gamit ang aming calculator maaari mong kalkulahin ang GCD at LCM para sa isang arbitrary na bilang ng mga numerong mapagpipilian. Ang mga gawain sa pagkalkula ng mga karaniwang divisors at multiple ay makikita sa arithmetic ng ika-5 at ika-6 na baitang, ngunit ang GCD at LCM ay mga pangunahing konsepto sa matematika at ginagamit sa teorya ng numero, planimetry at communicative algebra.

Mga halimbawa sa totoong buhay

Common denominator ng mga fraction

Ginagamit ang hindi bababa sa karaniwang maramihan kapag hinahanap ang karaniwang denominator ng ilang mga fraction. Sabihin nating sa isang problema sa aritmetika kailangan mong magsama ng 5 fraction:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Upang magdagdag ng mga fraction, ang expression ay dapat na bawasan sa karaniwang denominador, na binabawasan ang problema sa paghahanap ng LCM. Upang gawin ito, pumili ng 5 numero sa calculator at ipasok ang mga halaga ng mga denominator sa naaangkop na mga cell. Kakalkulahin ng programa ang LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Ngayon ay kailangan mong kalkulahin ang mga karagdagang salik para sa bawat fraction, na tinukoy bilang ratio ng LCM sa denominator. Kaya ang mga karagdagang multiplier ay magiging ganito:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Pagkatapos nito, i-multiply namin ang lahat ng mga fraction sa pamamagitan ng kaukulang karagdagang kadahilanan at makakuha ng:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Madali nating masusuma ang mga fraction at makuha ang resulta bilang 159/360. Binabawasan namin ang fraction ng 3 at makita ang huling sagot - 53/120.

Paglutas ng mga linear na Diophantine equation

Ang mga linear na Diophantine equation ay mga expression ng anyong ax + by = d. Kung ang ratio d / gcd(a, b) ay isang integer, kung gayon ang equation ay malulutas sa mga integer. Suriin natin ang ilang equation para makita kung mayroon silang integer solution. Una, suriin natin ang equation na 150x + 8y = 37. Gamit ang isang calculator, makikita natin ang GCD (150.8) = 2. Hatiin ang 37/2 = 18.5. Ang numero ay hindi isang integer, samakatuwid ang equation ay walang mga integer na ugat.

Suriin natin ang equation na 1320x + 1760y = 10120. Gumamit ng calculator upang mahanap ang GCD(1320, 1760) = 440. Hatiin ang 10120/440 = 23. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng integer, samakatuwid, ang Diophantine cosolveble infficient in ay .

Konklusyon

Malaki ang papel ng GCD at LCM sa teorya ng numero, at ang mga konsepto mismo ay malawakang ginagamit sa karamihan iba't ibang lugar matematika. Gamitin ang aming calculator upang kalkulahin ang pinakamalaking divisors at hindi bababa sa multiple ng anumang bilang ng mga numero.

Pinakamahusay na karaniwang divisor

Kahulugan 2

Kung ang natural na numerong a ay nahahati sa natural na bilang na $b$, ang $b$ ay tinatawag na divisor ng $a$, at ang $a$ ay tinatawag na multiple ng $b$.

Hayaang maging natural na mga numero ang $a$ at $b$. Ang bilang na $c$ ay tinatawag na karaniwang divisor ng parehong $a$ at $b$.

Ang hanay ng mga karaniwang divisors ng mga numerong $a$ at $b$ ay may hangganan, dahil wala sa mga divisors na ito ang maaaring mas malaki sa $a$. Nangangahulugan ito na sa mga divisor na ito ay mayroong pinakamalaki, na tinatawag na pinakadakilang karaniwang divisor ng mga numerong $a$ at $b$ at tinutukoy ng mga sumusunod na notasyon:

$GCD\(a;b)\ o \D\(a;b)$

Upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero na kailangan mo:

1. Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.

Halimbawa 1

Hanapin ang gcd ng mga numerong $121$ at $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Piliin ang mga numerong kasama sa pagpapalawak ng mga numerong ito

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.

$GCD=2\cdot 11=22$

Halimbawa 2

Hanapin ang gcd ng mga monomial na $63$ at $81$.

Mahahanap namin ayon sa ipinakita na algorithm. Upang gawin ito:

I-factor natin ang mga numero sa prime factor

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Pinipili namin ang mga numero na kasama sa pagpapalawak ng mga numerong ito

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Hanapin natin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.

$GCD=3\cdot 3=9$

Mahahanap mo ang gcd ng dalawang numero sa ibang paraan, gamit ang isang hanay ng mga divisors ng mga numero.

Halimbawa 3

Hanapin ang gcd ng mga numerong $48$ at $60$.

Solusyon:

Hanapin natin ang hanay ng mga divisors ng numerong $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Ngayon hanapin natin ang hanay ng mga divisors ng numerong $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

Hanapin natin ang intersection ng mga set na ito: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - tutukuyin ng set na ito ang set ng mga common divisors ng mga numero $48$ at $60 $. Pinakamalaking elemento sa ibinigay na set ang numero ay magiging $12$. Nangangahulugan ito na ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong $48$ at $60$ ay $12$.

Kahulugan ng NPL

Kahulugan 3

Mga karaniwang multiple ng natural na numero Ang $a$ at $b$ ay isang natural na numero na isang multiple ng parehong $a$ at $b$.

Ang mga karaniwang multiple ng mga numero ay mga numero na nahahati sa mga orihinal na numero na walang natitira Halimbawa, para sa mga numerong $25$ at $50$, ang mga karaniwang multiple ay ang mga numerong $50,100,150,200, atbp.

Ang pinakamaliit na common multiple ay tatawagin na least common multiple at ipapatalastas na LCM$(a;b)$ o K$(a;b).$

Upang mahanap ang LCM ng dalawang numero, kailangan mong:

1. I-factor ang mga numero sa prime factor
2. Isulat ang mga salik na bahagi ng unang numero at idagdag sa kanila ang mga salik na bahagi ng pangalawa at hindi bahagi ng una

Halimbawa 4

Hanapin ang LCM ng mga numerong $99$ at $77$.

Mahahanap namin ayon sa ipinakita na algorithm. Para dito

I-factor ang mga numero sa prime factor

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Isulat ang mga salik na kasama sa una

idagdag sa kanila ang mga multiplier na bahagi ng pangalawa at hindi bahagi ng una

Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na hindi bababa sa karaniwang maramihang

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Ang pagsasama-sama ng mga listahan ng mga divisors ng mga numero ay kadalasang isang napakahirap na gawain. Mayroong isang paraan upang mahanap ang GCD na tinatawag na Euclidean algorithm.

Mga pahayag kung saan nakabatay ang Euclidean algorithm:

Kung ang $a$ at $b$ ay mga natural na numero, at $a\vdots b$, kung gayon ang $D(a;b)=b$

Kung ang $a$ at $b$ ay mga natural na numero tulad ng $b

Gamit ang $D(a;b)= D(a-b;b)$, maaari nating sunud-sunod na bawasan ang mga numerong isinasaalang-alang hanggang sa maabot natin ang isang pares ng mga numero na ang isa sa mga ito ay mahahati ng isa. Kung gayon ang mas maliit sa mga numerong ito ay ang gustong pinakamalaking karaniwang divisor para sa mga numerong $a$ at $b$.

Mga katangian ng GCD at LCM

1. Anumang common multiple ng $a$ at $b$ ay nahahati sa K$(a;b)$
2. Kung $a\vdots b$ , pagkatapos ay К$(a;b)=a$

Kung ang K$(a;b)=k$ at $m$ ay isang natural na numero, kung gayon ang K$(am;bm)=km$

Kung ang $d$ ay karaniwang divisor para sa $a$ at $b$, kung gayon ang K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Kung ang $a\vdots c$ at $b\vdots c$ , ang $\frac(ab)(c)$ ay ang common multiple ng $a$ at $b$

Para sa anumang natural na numerong $a$ at $b$ ang pagkakapantay-pantay

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Anumang karaniwang divisor ng mga numerong $a$ at $b$ ay isang divisor ng numerong $D(a;b)$

Upang maunawaan kung paano kalkulahin ang LCM, kailangan mo munang matukoy ang kahulugan ng terminong "maramihan."

Ang multiple ng A ay isang natural na numero na nahahati sa A na walang natitira Kaya, ang mga numero na multiple ng 5 ay maaaring ituring na 15, 20, 25, at iba pa.

Maaaring may limitadong bilang ng mga divisors ng isang partikular na numero, ngunit mayroong walang katapusang bilang ng mga multiple.

Ang karaniwang multiple ng mga natural na numero ay isang numero na nahahati ng mga ito nang hindi nag-iiwan ng natitira.

Paano mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang mga numero

Ang least common multiple (LCM) ng mga numero (dalawa, tatlo o higit pa) ay ang pinakamaliit na natural na numero na nahahati sa lahat ng numerong ito.

Upang mahanap ang LOC, maaari kang gumamit ng ilang mga pamamaraan.

Para sa maliliit na numero, maginhawang isulat ang lahat ng multiple ng mga numerong ito sa isang linya hanggang sa makakita ka ng isang bagay na karaniwan sa kanila. Ang mga multiple ay tinutukoy ng malaking titik K.

Halimbawa, ang mga multiple ng 4 ay maaaring isulat tulad nito:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Kaya, makikita mo na ang pinakamaliit na karaniwang multiple ng mga numero 4 at 6 ay ang numero 24. Ang notasyong ito ay ginagawa tulad ng sumusunod:

LCM(4, 6) = 24

Kung ang mga numero ay malaki, hanapin ang karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero, pagkatapos ay mas mahusay na gumamit ng ibang paraan ng pagkalkula ng LCM.

Upang makumpleto ang gawain, kailangan mong i-factor ang mga ibinigay na numero sa mga pangunahing kadahilanan.

Una kailangan mong isulat ang agnas ng pinakamalaking numero sa isang linya, at sa ibaba nito - ang natitira.

Sa pagpapalawak ng bawat bilang ay maaaring mayroong magkaibang dami mga multiplier.

Halimbawa, i-factor natin ang mga numerong 50 at 20 sa prime factor.

Sa pagpapalawak ng mas maliit na bilang, kinakailangang bigyang-diin ang mga salik na wala sa pagpapalawak ng una. malaking bilang, at pagkatapos ay idagdag sila dito. Sa halimbawang ipinakita, isang dalawa ang nawawala.

Ngayon ay maaari mong kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng 20 at 50.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Oo, ang trabaho pangunahing mga kadahilanan ang mas malaking numero at ang mga salik ng pangalawang numero na hindi kasama sa pagpapalawak ng mas malaking bilang ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang.

Upang mahanap ang LCM ng tatlo o higit pang mga numero, dapat mong i-factor ang lahat sa mga pangunahing kadahilanan, tulad ng sa nakaraang kaso.

Bilang halimbawa, mahahanap mo ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Kaya, dalawang dalawa lamang mula sa pagpapalawak ng labing-anim ang hindi kasama sa factorization ng isang mas malaking bilang (isa ay nasa pagpapalawak ng dalawampu't apat).

Kaya, kailangan nilang idagdag sa pagpapalawak ng mas malaking bilang.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

May mga espesyal na kaso ng pagtukoy ng hindi bababa sa karaniwang maramihang. Kaya, kung ang isa sa mga numero ay maaaring hatiin nang walang natitira sa isa pa, kung gayon ang mas malaki sa mga numerong ito ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang.

Halimbawa, ang LCM ng labindalawa at dalawampu't apat ay dalawampu't apat.

Kung kailangan mong hanapin ang least common multiple ng bawat isa mga pangunahing numero, na walang magkaparehong divisors, kung gayon ang kanilang LCM ay magiging katumbas ng kanilang produkto.

Halimbawa, LCM (10, 11) = 110.

Maraming divisors

Isaalang-alang natin ang sumusunod na problema: hanapin ang divisor ng numero 140. Malinaw, ang numero 140 ay walang isang divisor, ngunit marami. Sa ganitong mga kaso ang problema ay sinasabing mayroon marami mga desisyon. Hanapin natin silang lahat. Una sa lahat, i-factor natin ang numerong ito sa mga simpleng salik:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Ngayon ay madali nating maisulat ang lahat ng mga divisors. Magsimula tayo sa mga pangunahing kadahilanan, iyon ay, ang mga naroroon sa pagpapalawak na ibinigay sa itaas:

Pagkatapos ay isusulat namin ang mga nakuha sa pamamagitan ng pairwise multiplication ng mga prime divisors:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Pagkatapos - ang mga naglalaman ng tatlong pangunahing divisors:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Sa wakas, huwag nating kalimutan ang yunit at ang decomposed na numero mismo:

Lahat ng divisors nakita namin form marami mga divisors ng numero 140, na isinulat gamit ang mga kulot na braces:

Set ng mga divisors ng numero 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Para sa kadalian ng pang-unawa, isinulat namin ang mga divisors dito ( mga elemento ng set) sa pataas na pagkakasunud-sunod, ngunit, sa pangkalahatan, ito ay hindi kinakailangan. Bilang karagdagan, ipinakilala namin ang isang pagdadaglat ng notasyon. Sa halip na "Set of divisors of the number 140" isusulat namin ang "D(140)". kaya,

Sa parehong paraan, mahahanap mo ang hanay ng mga divisors para sa anumang iba pang natural na numero. Halimbawa, mula sa agnas

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

makuha namin:

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

Mula sa hanay ng lahat ng mga divisors, dapat na makilala ng isa ang hanay ng mga simpleng divisors, na para sa mga numero 140 at 105 ay pantay, ayon sa pagkakabanggit:

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

Ito ay dapat na lalo na bigyang-diin na sa agnas ng bilang 140 sa mga pangunahing kadahilanan, ang dalawa ay lilitaw nang dalawang beses, habang sa set PD(140) mayroon lamang isa. Ang set ng PD(140) ay, sa esensya, ang lahat ng mga sagot sa problema: "Hanapin ang prime factor ng numero 140." Malinaw na ang parehong sagot ay hindi dapat ulitin nang higit sa isang beses.

Pagbawas ng mga fraction. Pinakamahusay na karaniwang divisor

Isaalang-alang ang fraction

Alam natin na ang fraction na ito ay maaaring bawasan ng isang numero na parehong divisor ng numerator (105) at isang divisor ng denominator (140). Tingnan natin ang mga set D(105) at D(140) at isulat ang mga ito karaniwang mga elemento.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

Mga karaniwang elemento ng set D(105) at D(140) =

Ang huling pagkakapantay-pantay ay maaaring maisulat nang mas maikli, katulad:

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).

Dito ang espesyal na icon na “∩” (“bag na may butas pababa”) ay nagpapahiwatig na sa dalawang set na nakasulat ayon sa magkaibang panig mula dito, kailangan mong pumili lamang ng mga karaniwang elemento. Ang entry na “D(105) ∩ D(140)” ay may nakasulat na “ intersection set ng De mula sa 105 at De mula sa 140."

[Tandaan sa daan na maaari kang magsagawa ng iba't ibang mga binary operation na may mga set, halos tulad ng sa mga numero. Ang isa pang karaniwang operasyon ng binary ay samahan, na ipinapahiwatig ng icon na “∪” (“bag na may butas na nakaharap sa itaas”). Kasama sa unyon ng dalawang set ang lahat ng elemento ng parehong set:

PD(105) = (3, 5, 7);

PD(140) = (2, 5, 7);

PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

Kaya, nalaman namin na ang fraction

maaaring bawasan ng alinman sa mga numerong kabilang sa set

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)

at hindi maaaring bawasan ng anumang iba pang natural na numero. Iyon lang mga posibleng paraan mga pagdadaglat (maliban sa hindi kawili-wiling pagdadaglat ng isa):

Malinaw, ito ay pinaka-praktikal na bawasan ang fraction sa pamamagitan ng isang numero na kasing laki ng maaari. SA sa kasong ito ito ang numerong 35, na sinasabing pinakamalaking karaniwang divisor (GCD) bilang 105 at 140. Ito ay isinusulat bilang

GCD(105, 140) = 35.

Gayunpaman, sa pagsasagawa, kung bibigyan tayo ng dalawang numero at kailangan nating hanapin ang kanilang pinakamalaking karaniwang divisor, hindi tayo dapat gumawa ng anumang set. Sapat na lang na i-decompose ang parehong mga numero sa pangunahing mga kadahilanan at i-highlight ang mga salik na ito na karaniwan sa parehong mga decomposition, halimbawa:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Ang pagpaparami ng mga may salungguhit na numero (sa alinman sa mga pagpapalawak), makukuha natin ang:

gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Siyempre, posibleng mayroong higit sa dalawang may salungguhit na salik:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Mula dito ay malinaw na

gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Ang sitwasyon ay nararapat na espesyal na banggitin kapag walang mga karaniwang salik at walang dapat bigyang-diin, halimbawa:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

Sa kasong ito,

GCD(42, 55) = 1.

Dalawang natural na numero kung saan ang GCD ay katumbas ng isa ay tinatawag kapwa prime. Kung gumawa ka ng isang fraction mula sa mga naturang numero, halimbawa,

pagkatapos ay tulad ng isang fraction ay hindi mababawasan.

Sa pangkalahatan, ang panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:

Dito ipinapalagay na a At b ay mga natural na numero, at ang buong fraction ay positibo. Kung magdaragdag tayo ngayon ng minus sign sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na ito, makukuha natin ang kaukulang panuntunan para sa mga negatibong fraction.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction. Hindi bababa sa karaniwang maramihang

Ipagpalagay na kailangan mong kalkulahin ang kabuuan ng dalawang fraction:

Alam na natin kung paano isinasali ang mga denominator sa pangunahing mga kadahilanan:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Mula sa agnas na ito ay agad na sinusundan na, upang magdala ng mga praksiyon sa isang karaniwang denominator, sapat na upang i-multiply ang numerator at denominator ng unang bahagi ng 2 ∙ 2 (ang produkto ng hindi binibigyang-diin na mga pangunahing kadahilanan ng pangalawang denominator), at ang numerator at denominator ng pangalawang fraction sa pamamagitan ng 3 (“produkto” unstressed prime factor ng unang denominator). Bilang resulta, ang mga denominator ng parehong mga fraction ay magiging katumbas ng bilang, na maaaring katawanin bilang mga sumusunod:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Madaling makita na ang parehong orihinal na denominator (parehong 105 at 140) ay mga divisors ng numerong 420, at ang bilang na 420, sa turn, ay isang multiple ng parehong denominator - at hindi lamang isang multiple, ito ay hindi bababa sa karaniwang maramihang (NOC) bilang 105 at 140. Ito ay nakasulat tulad nito:

LCM(105, 140) = 420.

Kung susuriing mabuti ang agnas ng mga numerong 105 at 140, makikita natin iyon

105 ∙ 140 = GCD(105, 140) ∙ GCD(105, 140).

Katulad nito, para sa mga arbitrary na natural na numero b At d:

b ∙ d= LOC( b, d) ∙ GCD( b, d).

Ngayon kumpletuhin natin ang kabuuan ng ating mga fraction: