Magsagawa ng kumpletong pag-aaral ng mga function ng online calculator. Siyasatin ang function na \(y=\frac(x3)(1-x)\) gamit ang differential calculus method at buuin ang graph nito

Ang pag-aaral ng isang function ay isinasagawa ayon sa isang malinaw na pamamaraan at nangangailangan ng mag-aaral matatag na kaalaman mga pangunahing konsepto ng matematika tulad ng domain ng kahulugan at mga halaga, pagpapatuloy ng isang function, asymptote, extremum point, parity, periodicity, atbp. Ang mag-aaral ay dapat na malayang makapag-iba-iba ng mga pag-andar at malutas ang mga equation, na kung minsan ay napakasalimuot.

Iyon ay, ang gawaing ito ay sumusubok sa isang makabuluhang layer ng kaalaman, anumang puwang kung saan ay magiging isang balakid sa pagkuha ang tamang desisyon. Lalo na madalas, ang mga paghihirap ay lumitaw sa pagbuo ng mga graph ng mga function. Ang pagkakamaling ito ay agad na napapansin ng guro at maaaring makapinsala nang husto sa iyong marka, kahit na lahat ng iba pa ay ginawa nang tama. Dito mo mahahanap mga problema sa pananaliksik sa online function: pag-aaral ng mga halimbawa, pag-download ng mga solusyon, pag-order ng mga takdang-aralin.

Galugarin ang isang function at mag-plot ng graph: mga halimbawa at solusyon online

Naghanda kami para sa iyo ng maraming handa na pag-aaral ng function, parehong binayaran sa workbook at libre sa seksyon Mga halimbawa ng pag-aaral ng function. Batay sa mga nalutas na gawaing ito, magagawa mong maging pamilyar ang iyong sarili nang detalyado sa pamamaraan para sa pagsasagawa ng mga katulad na gawain, at isakatuparan ang iyong pananaliksik sa pamamagitan ng pagkakatulad.

Nag-aalok kami mga handang halimbawa kumpletong pag-aaral at pag-plot ng mga function ng pinakakaraniwang uri: polynomials, fractional rational, irrational, exponential, logarithmic, trigonometriko function. Ang bawat nalutas na problema ay sinamahan ng isang handa na graph na may naka-highlight na mga pangunahing punto, asymptotes, maxima at minima ang solusyon ay isinasagawa gamit ang function research algorithm.

Sa anumang kaso, ang mga nalutas na halimbawa ay makakatulong sa iyo magandang tulong, habang sinasaklaw ng mga ito ang pinakasikat na uri ng mga function. Nag-aalok kami sa iyo ng daan-daang nalutas na mga problema, ngunit, tulad ng alam mo, mayroong isang walang katapusang bilang ng mga pag-andar sa matematika sa mundo, at ang mga guro ay mahusay na dalubhasa sa pag-imbento ng higit at mas nakakalito na mga gawain para sa mga mahihirap na estudyante. Kaya, mahal na mga mag-aaral, kwalipikadong tulong hindi ka sasaktan.

Paglutas ng mga problema sa pananaliksik sa custom na function

Sa kasong ito, ang aming mga kasosyo ay mag-aalok sa iyo ng isa pang serbisyo - buong pananaliksik mga online na function mag-order. Ang gawain ay makukumpleto para sa iyo bilang pagsunod sa lahat ng mga kinakailangan para sa isang algorithm para sa paglutas ng mga naturang problema, na lubos na magpapasaya sa iyong guro.

Gagawin namin ang isang kumpletong pag-aaral ng function para sa iyo: mahahanap namin ang domain ng kahulugan at hanay ng mga halaga, suriin para sa pagpapatuloy at discontinuity, magtatag ng parity, suriin ang iyong function para sa periodicity, hanapin natin ang mga puntos mga intersection na may coordinate axes. At, siyempre, sa karagdagang paggamit ng differential calculus: makakahanap tayo ng mga asymptotes, kalkulahin ang extrema, mga inflection point, at bubuuin ang mismong graph.

Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng kahilingan sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Kinokolekta namin personal na impormasyon nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin tulad ng pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pag-aaral upang mapagbuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan, alinsunod sa batas, hudisyal na pamamaraan, V pagsubok, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong kalusugan. mahahalagang kaso.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Paggalang sa iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Kung ang problema ay nangangailangan ng kumpletong pag-aaral ng function f (x) = x 2 4 x 2 - 1 kasama ang pagbuo ng graph nito, pagkatapos ay isasaalang-alang namin ang prinsipyong ito nang detalyado.

Upang malutas ang problema ng ganitong uri katangian at graph ng pangunahing mga pag-andar ng elementarya. Kasama sa algorithm ng pananaliksik ang mga sumusunod na hakbang:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Paghahanap ng domain ng kahulugan

Dahil ang pananaliksik ay isinasagawa sa domain ng kahulugan ng function, kinakailangan na magsimula sa hakbang na ito.

Halimbawa 1

Ang ibinigay na halimbawa ay nagsasangkot ng paghahanap ng mga zero ng denominator upang maibukod ang mga ito sa ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Bilang resulta, maaari kang makakuha ng mga ugat, logarithms, at iba pa. Pagkatapos ay maaaring hanapin ang ODZ para sa isang ugat ng pantay na antas ng uri g (x) 4 sa pamamagitan ng hindi pagkakapantay-pantay na g (x) ≥ 0, para sa logarithm log a g (x) ng hindi pagkakapantay-pantay na g (x) > 0.

Pag-aaral sa mga hangganan ng ODZ at paghahanap ng mga vertical asymptotes

May mga vertical na asymptotes sa mga hangganan ng function, kapag ang mga one-sided na limitasyon sa naturang mga punto ay walang katapusan.

Halimbawa 2

Halimbawa, isaalang-alang ang mga border point na katumbas ng x = ± 1 2.

Pagkatapos ito ay kinakailangan upang pag-aralan ang function upang mahanap ang isang panig na limitasyon. Pagkatapos ay makukuha natin iyon: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Ipinapakita nito na ang mga one-sided na limitasyon ay walang katapusan, na nangangahulugang ang mga tuwid na linya x = ± 1 2 ay ang mga patayong asymptotes ng graph.

Pag-aaral ng isang function at kung ito ay even o odd

Kapag ang kundisyong y (- x) = y (x) ay nasiyahan, ang function ay itinuturing na pantay. Iminumungkahi nito na ang graph ay matatagpuan sa simetriko na may paggalang sa Oy. Kapag ang kundisyon y (- x) = - y (x) ay nasiyahan, ang function ay itinuturing na kakaiba. Nangangahulugan ito na ang symmetry ay nauugnay sa pinagmulan ng mga coordinate. Kung ang hindi bababa sa isang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nasiyahan, makakakuha tayo ng isang function ng pangkalahatang anyo.

Ang pagkakapantay-pantay na y (- x) = y (x) ay nagpapahiwatig na ang function ay pantay. Kapag nagtatayo, kinakailangang isaalang-alang na magkakaroon ng simetrya na may paggalang kay Oy.

Upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay, ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ay ginagamit sa mga kondisyong f " (x) ≥ 0 at f " (x) ≤ 0, ayon sa pagkakabanggit.

Kahulugan 1

Mga nakatigil na puntos- ito ang mga puntos na nagiging zero ang derivative.

Mga kritikal na puntos- ito ay mga panloob na punto mula sa domain ng kahulugan kung saan ang derivative ng function ay katumbas ng zero o wala.

Kapag gumagawa ng desisyon, dapat isaalang-alang ang mga sumusunod na tala:

• para sa mga umiiral na pagitan ng pagtaas at pagbaba ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyong f " (x) > 0, ang mga kritikal na punto ay hindi kasama sa solusyon;
• Ang mga punto kung saan ang function ay tinukoy nang walang isang may hangganang derivative ay dapat na kasama sa mga pagitan ng pagtaas at pagbaba (halimbawa, y = x 3, kung saan ang puntong x = 0 ay ginagawang ang function ay tinukoy, ang derivative ay may halaga ng infinity dito. punto, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 ay kasama sa pagtaas ng pagitan);
• Upang maiwasan ang mga hindi pagkakasundo, inirerekumenda na gumamit ng literatura sa matematika na inirerekomenda ng Ministri ng Edukasyon.

Pagsasama ng mga kritikal na punto sa pagitan ng pagtaas at pagbaba kung natutugunan ng mga ito ang domain ng kahulugan ng function.

Kahulugan 2

Para sa pagtukoy ng mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng isang function, ito ay kinakailangan upang mahanap:

• derivative;
• kritikal na mga punto;
• hatiin ang domain ng kahulugan sa mga pagitan gamit ang mga kritikal na punto;
• tukuyin ang tanda ng derivative sa bawat isa sa mga pagitan, kung saan ang + ay isang pagtaas, at - ay isang pagbaba.

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative sa domain ng kahulugan f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Solusyon

Upang malutas kailangan mo:

• maghanap ng mga nakatigil na puntos, ang halimbawang ito ay may x = 0;
• hanapin ang mga zero ng denominator, ang halimbawa ay kumukuha ng halagang zero sa x = ± 1 2.

Naglalagay kami ng mga puntos sa axis ng numero upang matukoy ang derivative sa bawat pagitan. Upang gawin ito, sapat na upang kumuha ng anumang punto mula sa pagitan at magsagawa ng pagkalkula. Kung positibo ang resulta, inilalarawan namin ang + sa graph, na nangangahulugang tumataas ang function, at - nangangahulugang bumababa ito.

Halimbawa, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, na nangangahulugan na ang unang pagitan sa kaliwa ay may tanda na +. Isaalang-alang ang linya ng numero.

Sagot:

• tumataas ang function sa pagitan - ∞; - 1 2 at (- 1 2 ; 0 ] ;
• mayroong pagbaba sa pagitan [0; 1 2) at 1 2; + ∞ .

Sa diagram, gamit ang + at -, ang positivity at negatibiti ng function ay inilalarawan, at ang mga arrow ay nagpapahiwatig ng pagbaba at pagtaas.

Ang mga extremum point ng isang function ay mga punto kung saan tinukoy ang function at kung saan ang derivative ay nagbabago ng sign.

Halimbawa 4

Kung isasaalang-alang natin ang isang halimbawa kung saan ang x = 0, kung gayon ang halaga ng function sa loob nito ay katumbas ng f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Kapag ang tanda ng derivative ay nagbago mula + hanggang - at dumaan sa puntong x = 0, kung gayon ang puntong may mga coordinate (0; 0) ay itinuturing na pinakamataas na punto. Kapag nagbago ang sign mula - hanggang +, nakakakuha tayo ng pinakamababang punto.

Natutukoy ang convexity at concavity sa pamamagitan ng paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyong f "" (x) ≥ 0 at f "" (x) ≤ 0. Ang hindi gaanong ginagamit ay ang pangalang convexity pababa sa halip na concavity, at convexity paitaas sa halip na convexity.

Kahulugan 3

Para sa pagtukoy ng mga pagitan ng concavity at convexity kailangan:

• hanapin ang pangalawang derivative;
• hanapin ang mga zero ng pangalawang derivative function;
• hatiin ang lugar ng kahulugan sa mga pagitan na may mga lumalabas na punto;
• matukoy ang tanda ng pagitan.

Halimbawa 5

Hanapin ang pangalawang derivative mula sa domain ng kahulugan.

Solusyon

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Nahanap natin ang mga zero ng numerator at denominator, kung saan sa ating halimbawa mayroon tayong mga zero ng denominator x = ± 1 2

Ngayon ay kailangan mong i-plot ang mga punto sa linya ng numero at tukuyin ang tanda ng pangalawang derivative mula sa bawat pagitan. Nakukuha namin iyon

Sagot:

• ang function ay matambok mula sa pagitan - 1 2 ; 1 2 ;
• ang function ay malukong mula sa mga pagitan - ∞ ; - 1 2 at 1 2; + ∞ .

Kahulugan 4

Inflection point– ito ay isang punto ng anyong x 0 ; f (x 0) . Kapag ito ay may tangent sa graph ng function, pagkatapos ay kapag ito ay dumaan sa x 0 ang function ay nagbabago ng sign sa kabaligtaran.

Sa madaling salita, ito ay isang punto kung saan ang pangalawang derivative ay pumasa at nagbabago ng tanda, at sa mga punto mismo ito ay katumbas ng zero o wala. Ang lahat ng mga punto ay itinuturing na domain ng function.

Sa halimbawa, malinaw na walang mga inflection point, dahil ang pangalawang derivative ay nagbabago ng sign habang dumadaan sa mga puntos na x = ± 1 2. Sila naman ay hindi kasama sa saklaw ng kahulugan.

Paghahanap ng pahalang at pahilig na mga asymptotes

Kapag tinutukoy ang isang function sa infinity, kailangan mong maghanap ng mga pahalang at pahilig na asymptotes.

Kahulugan 5

Oblique asymptotes ay inilalarawan gamit ang mga tuwid na linya, ibinigay ng equation y = k x + b, kung saan k = lim x → ∞ f (x) x at b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Para sa k = 0 at b hindi katumbas ng infinity, nalaman namin na ang oblique asymptote ay nagiging pahalang.

Sa madaling salita, ang mga asymptote ay itinuturing na mga linya kung saan lumalapit ang graph ng isang function sa infinity. Pinapadali nito ang mabilis na pagbuo ng isang function graph.

Kung walang mga asymptotes, ngunit ang function ay tinukoy sa parehong infinity, kinakailangang kalkulahin ang limitasyon ng function sa mga infinity na ito upang maunawaan kung paano kikilos ang graph ng function.

Halimbawa 6

Isaalang-alang natin bilang isang halimbawa iyon

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

ay isang pahalang na asymptote. Pagkatapos suriin ang function, maaari mong simulan ang pagbuo nito.

Kinakalkula ang halaga ng isang function sa mga intermediate na punto

Upang gawing mas tumpak ang graph, inirerekumenda na makahanap ng ilang mga halaga ng pag-andar sa mga intermediate na punto.

Halimbawa 7

Mula sa halimbawa na aming isinasaalang-alang, kinakailangan upang mahanap ang mga halaga ng function sa mga puntos na x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Dahil ang pag-andar ay pantay, nakuha namin na ang mga halaga ay nag-tutugma sa mga halaga sa mga puntong ito, iyon ay, nakukuha namin ang x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Isulat at lutasin natin:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

Upang matukoy ang maxima at minima ng function, inflection point, at intermediate point, kinakailangan na bumuo ng mga asymptotes. Para sa maginhawang pagtatalaga, ang mga agwat ng pagtaas, pagbaba, pagka-umbok, at kalungkutan ay naitala. Tingnan natin ang larawan sa ibaba.

Kinakailangan na gumuhit ng mga linya ng graph sa pamamagitan ng mga minarkahang punto, na magbibigay-daan sa iyo upang lapitan ang mga asymptotes sa pamamagitan ng pagsunod sa mga arrow.

Tinatapos nito ang buong paggalugad ng function. May mga kaso ng pagbuo ng ilang elementarya na pag-andar kung saan ginagamit ang mga pagbabagong geometriko.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Isa sa pinakamahalagang gawain differential calculus ay ang pag-unlad karaniwang mga halimbawa pag-aaral ng pag-uugali ng pag-andar.

Kung ang function na y=f(x) ay tuloy-tuloy sa interval , at ang derivative nito ay positive o katumbas ng 0 sa interval (a,b), kung gayon ang y=f(x) ay tataas ng (f"(x)0) Kung ang function na y=f (x) ay tuloy-tuloy sa segment , at ang derivative nito ay negatibo o katumbas ng 0 sa pagitan (a,b), kung gayon ang y=f(x) ay bumababa ng (f"(x)0. )

Ang mga agwat kung saan ang function ay hindi bumababa o tumataas ay tinatawag na mga pagitan ng monotonicity ng function. Ang likas na katangian ng monotonicity ng isang function ay maaaring magbago lamang sa mga punto ng domain ng kahulugan nito kung saan nagbabago ang tanda ng unang derivative. Ang mga punto kung saan ang unang derivative ng isang function ay naglalaho o may discontinuity ay tinatawag na kritikal.

Theorem 1 (unang sapat na kondisyon para sa pagkakaroon ng extremum).

Hayaang tukuyin ang function na y=f(x) sa puntong x 0 at hayaang magkaroon ng neighborhood δ>0 na ang function ay tuloy-tuloy sa interval at naiba-iba sa interval (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , at ang derivative nito ay nagpapanatili ng pare-parehong tanda sa bawat isa sa mga pagitan na ito. Kung sa x 0 -δ,x 0) at (x 0 , x 0 +δ) ang mga senyales ng derivative ay magkaiba, kung gayon ang x 0 ay isang extremum point, at kung sila ay nag-tutugma, kung gayon ang x 0 ay hindi isang extremum point . Bukod dito, kung, kapag dumadaan sa puntong x0, ang derivative ay nagbabago ng sign mula plus hanggang minus (sa kaliwa ng x 0 f"(x)>0 ay nasiyahan, kung gayon ang x 0 ay ang pinakamataas na punto; kung ang derivative ay nagbabago sign mula sa minus hanggang plus (sa kanan ng x 0 na isinagawa f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Ang maximum at minimum na puntos ay tinatawag na extremum point ng function, at ang maximum at minimum na puntos ng function ay ang extreme value nito.

Theorem 2 (isang kinakailangang tanda ng isang lokal na extremum).

Kung ang function na y=f(x) ay may extremum sa kasalukuyang x=x 0, kung gayon alinman sa f'(x 0)=0 o f'(x 0) ay wala.
Sa mga extremum point ng differentiable function, ang tangent sa graph nito ay parallel sa Ox axis.

Algorithm para sa pag-aaral ng isang function para sa isang extremum:

1) Hanapin ang derivative ng function.
2) Maghanap ng mga kritikal na punto, ibig sabihin. mga punto kung saan ang function ay tuloy-tuloy at ang derivative ay zero o wala.
3) Isaalang-alang ang kapitbahayan ng bawat punto, at suriin ang tanda ng derivative sa kaliwa at kanan ng puntong ito.
4) Tukuyin ang mga coordinate ng mga matinding puntos para dito, palitan ang mga halaga ng mga kritikal na puntos sa function na ito. Gamit ang sapat na mga kondisyon para sa extremum, gumuhit ng naaangkop na mga konklusyon.

Halimbawa 18. Suriin ang function na y=x 3 -9x 2 +24x para sa isang extremum

Solusyon.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Pag-equate ng derivative sa zero, makikita natin ang x 1 =2, x 2 =4. Sa kasong ito, ang derivative ay tinukoy sa lahat ng dako; Nangangahulugan ito na bukod sa dalawang puntos na natagpuan, walang iba pang mga kritikal na punto.
3) Ang sign ng derivative na y"=3(x-2)(x-4) ay nagbabago depende sa interval gaya ng ipinapakita sa Figure 1. Kapag dumadaan sa puntong x=2, ang derivative ay nagbabago ng sign mula plus hanggang minus, at kapag dumadaan sa puntong x=4 - mula minus hanggang plus.
4) Sa puntong x=2 ang function ay may pinakamataas na y max =20, at sa puntong x=4 - isang minimum na y min =16.

Theorem 3. (2nd sapat na kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum).

Hayaan ang f"(x 0) at sa puntong x 0 mayroong f""(x 0). Pagkatapos kung f""(x 0)>0, kung gayon ang x 0 ang pinakamababang punto, at kung f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Sa isang segment, maaaring maabot ng function na y=f(x) ang pinakamaliit (y pinakamaliit) o ​​pinakamalaki (y ang pinakamataas) na halaga alinman sa mga kritikal na punto ng function na nasa pagitan (a;b), o sa ang mga dulo ng segment.

Algorithm para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na function y=f(x) sa segment:

1) Hanapin ang f"(x).
2) Hanapin ang mga punto kung saan wala ang f"(x)=0 o f"(x), at piliin sa kanila ang mga nasa loob ng segment.
3) Kalkulahin ang halaga ng function na y=f(x) sa mga puntos na nakuha sa hakbang 2), pati na rin sa mga dulo ng segment at piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit mula sa kanila: sila, ayon sa pagkakabanggit, ang pinakamalaking (y). ang pinakamalaki) at ang pinakamaliit (y ang pinakamaliit) na mga halaga ng function sa pagitan.

Halimbawa 19. Hanapin ang pinakamalaking halaga ng tuluy-tuloy na function y=x 3 -3x 2 -45+225 sa segment.

1) Mayroon kaming y"=3x 2 -6x-45 sa segment
2) Ang derivative na y" ay umiiral para sa lahat ng x. Hanapin natin ang mga punto kung saan ang y"=0; makuha namin:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) Kalkulahin ang halaga ng function sa mga puntos na x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Ang segment ay naglalaman lamang ng puntong x=5. Ang pinakamalaking sa mga nahanap na halaga ng function ay 225, at ang pinakamaliit ay ang numero 50. Kaya, y max = 225, y min = 50.

Pag-aaral ng isang function sa convexity

Ang figure ay nagpapakita ng mga graph ng dalawang function. Ang una sa kanila ay matambok paitaas, ang pangalawa ay matambok pababa.

Ang function na y=f(x) ay tuloy-tuloy sa segment at naiba sa pagitan (a;b), ay tinatawag na convex paitaas (pababa) sa segment na ito kung, para sa axb, ang graph nito ay hindi mas mataas (hindi mas mababa) kaysa sa padaplis na iginuhit sa anumang punto M 0 (x 0 ;f(x 0)), kung saan ang axb.

Theorem 4. Hayaang ang function na y=f(x) ay magkaroon ng pangalawang derivative sa anumang panloob na punto x ng segment at maging tuluy-tuloy sa mga dulo ng segment na ito. Pagkatapos kung ang hindi pagkakapantay-pantay na f""(x)0 ay humahawak sa pagitan (a;b), kung gayon ang function ay matambok pababa sa pagitan ; kung ang hindi pagkakapantay-pantay na f""(x)0 ay humahawak sa pagitan (a;b), kung gayon ang function ay matambok paitaas sa .

Theorem 5. Kung ang function na y=f(x) ay may pangalawang derivative sa interval (a;b) at kung nagbabago ito ng sign kapag dumadaan sa point x 0, kung gayon ang M(x 0 ;f(x 0)) ay isang inflection point.

Panuntunan para sa paghahanap ng mga inflection point:

1) Hanapin ang mga punto kung saan wala o nawawala ang f""(x).
2) Suriin ang sign f""(x) sa kaliwa at kanan ng bawat puntong makikita sa unang hakbang.
3) Batay sa Theorem 4, gumuhit ng konklusyon.

Halimbawa 20. Hanapin ang mga extremum point at inflection point ng graph ng function na y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Mayroon tayong f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Malinaw, f"(x)=0 kapag x 1 =0, x 2 =1. Kapag dumadaan sa puntong x=0, binabago ng derivative ang sign mula minus hanggang plus, ngunit kapag dumadaan sa puntong x=1 hindi nito binabago ang sign. Nangangahulugan ito na ang x=0 ay ang pinakamababang punto (y min =12), at walang extremum sa puntong x=1. Susunod, hanapin namin . Ang pangalawang derivative ay naglalaho sa mga puntong x 1 =1, x 2 =1/3. Ang mga palatandaan ng pangalawang derivative ay nagbabago tulad ng sumusunod: Sa ray (-∞;) mayroon tayong f""(x)>0, sa interval (;1) mayroon tayong f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Samakatuwid, ang x= ay ang inflection point ng function graph (transition mula sa convexity pababa sa convexity pataas) at x=1 din ang inflection point (transition mula sa convexity pataas hanggang convexity pababa). Kung x=, kung gayon y= ; kung, kung gayon x=1, y=13.

Algorithm para sa paghahanap ng asymptote ng isang graph

I. Kung y=f(x) bilang x → a, kung gayon ang x=a ay isang patayong asymptote.
II. Kung ang y=f(x) bilang x → ∞ o x → -∞, kung gayon ang y=A ay isang pahalang na asymptote.
III. Upang mahanap ang pahilig na asymptote, ginagamit namin ang sumusunod na algorithm:
1) Kalkulahin . Kung umiiral ang limitasyon at katumbas ng b, kung gayon ang y=b ay isang pahalang na asymptote; kung , pagkatapos ay pumunta sa pangalawang hakbang.
2) Kalkulahin . Kung ang limitasyong ito ay hindi umiiral, pagkatapos ay walang asymptote; kung ito ay umiiral at katumbas ng k, pagkatapos ay pumunta sa ikatlong hakbang.
3) Kalkulahin . Kung ang limitasyong ito ay hindi umiiral, pagkatapos ay walang asymptote; kung ito ay umiiral at katumbas ng b, pagkatapos ay pumunta sa ikaapat na hakbang.
4) Isulat ang equation ng oblique asymptote y=kx+b.

Halimbawa 21: Hanapin ang asymptote para sa isang function

1)
2)
3)
4) Ang equation ng oblique asymptote ay may anyo

Scheme para sa pag-aaral ng isang function at pagbuo ng graph nito

I. Hanapin ang domain ng kahulugan ng function.
II. Hanapin ang mga punto ng intersection ng graph ng function na may mga coordinate axes.
III. Maghanap ng mga asymptotes.
IV. Maghanap ng mga posibleng extremum point.
V. Maghanap ng mga kritikal na punto.
VI. Gamit ang auxiliary figure, galugarin ang sign ng una at pangalawang derivatives. Tukuyin ang mga lugar ng pagtaas at pagbaba ng function, hanapin ang direksyon ng convexity ng graph, mga punto ng extrema at mga inflection point.
VII. Bumuo ng isang graph, na isinasaalang-alang ang pananaliksik na isinagawa sa mga talata 1-6.

Halimbawa 22: Bumuo ng isang graph ng function ayon sa diagram sa itaas

Solusyon.
I. Ang domain ng isang function ay ang set ng lahat ng tunay na numero maliban sa x=1.
II. Dahil ang equation x 2 +1=0 ay walang tunay na mga ugat, ang graph ng function ay walang mga punto ng intersection sa Ox axis, ngunit intersect ang Oy axis sa punto (0;-1).
III. Linawin natin ang tanong ng pagkakaroon ng mga asymptotes. Pag-aralan natin ang pag-uugali ng function na malapit sa discontinuity point x=1. Dahil ang y → ∞ bilang x → -∞, y → +∞ bilang x → 1+, kung gayon ang linyang x=1 ay ang patayong asymptote ng graph ng function.
Kung x → +∞(x → -∞), pagkatapos ay y → +∞(y → -∞); samakatuwid, ang graph ay walang pahalang na asymptote. Dagdag pa, mula sa pagkakaroon ng mga limitasyon

Ang paglutas ng equation x 2 -2x-1=0 nakakakuha tayo ng dalawang posibleng extremum point:
x 1 =1-√2 at x 2 =1+√2

V. Upang mahanap ang mga kritikal na punto, kinakalkula namin ang pangalawang derivative:

Dahil ang f""(x) ay hindi naglalaho, walang mga kritikal na punto.
VI. Suriin natin ang tanda ng una at pangalawang derivatives. Mga posibleng extremum point na dapat isaalang-alang: x 1 =1-√2 at x 2 =1+√2, hatiin ang domain ng pagkakaroon ng function sa mga pagitan (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) at (1+√2;+∞).

Sa bawat isa sa mga agwat na ito, pinapanatili ng derivative ang tanda nito: sa una - plus, sa pangalawa - minus, sa pangatlo - plus. Ang pagkakasunod-sunod ng mga palatandaan ng unang derivative ay isusulat tulad ng sumusunod: +,-+.
Nalaman namin na ang function ay tumataas sa (-∞;1-√2), bumababa sa (1-√2;1+√2), at tumataas muli sa (1+√2;+∞). Extremum points: maximum sa x=1-√2, at f(1-√2)=2-2√2 minimum sa x=1+√2, at f(1+√2)=2+2√2. Sa (-∞;1) ang graph ay matambok paitaas, at sa (1;+∞) ito ay matambok pababa.
VII Gumawa tayo ng talahanayan ng mga nakuhang halaga

VIII Batay sa nakuhang datos, gumawa kami ng sketch ng graph ng function

Sa artikulong ito, isasaalang-alang namin ang isang pamamaraan para sa pag-aaral ng isang function, at magbibigay din ng mga halimbawa ng pag-aaral ng extrema, monotonicity, at asymptotes ng isang ibinigay na function.

Scheme

1. Ang domain ng pagkakaroon (DOA) ng isang function.
2. Ang intersection ng function (kung mayroon man) sa mga coordinate axes, mga palatandaan ng function, parity, periodicity.
3. Mga breaking point (ang kanilang uri). Pagpapatuloy. Ang mga asymptotes ay patayo.
4. Monotonicity at matinding mga punto.
5. Mga inflection point. Matambok.
6. Pag-aaral ng isang function sa infinity, para sa mga asymptotes: pahalang at pahilig.
7. Pagbuo ng isang graph.

Pagsubok sa monotonicity

Teorama. Kung ang function g tuloy-tuloy sa , pinagkaiba ng (a; b) At g’(x) ≥ 0 (g’(x)≤0), xє(a; b), Iyon g pagtaas (pagbaba) ng .

Halimbawa:

y = 1: 3x 3 - 6: 2x 2 + 5x.

ODZ: xєR

y’ = x 2 + 6x + 5.

Hanapin natin ang mga pagitan ng pare-parehong mga palatandaan ikaw. Since ikaw ay isang elementarya function, pagkatapos ay maaari lamang itong baguhin ang mga palatandaan sa mga punto kung saan ito ay nagiging zero o wala. Ang kanyang ODZ: xєR.

Hanapin natin ang mga punto kung saan ang derivative ay katumbas ng 0 (zero):

y’ = 0;

x = -1; -5.

Kaya, y lumalaki sa (-∞; -5] at sa [-1; +∞), y bumababa sa .

Pananaliksik sa mga sukdulan

T. x 0 tinatawag na maximum point (max) sa set A mga function g kapag ang function ay tumatagal ng pinakamalaking halaga sa puntong ito g(x 0) ≥ g(x), xєА.

T. x 0 tinatawag na pinakamababang punto (min) ng function g sa isang set A kapag ang function ay tumatagal ng pinakamaliit na halaga sa puntong ito g(x 0) ≤ g(x), xєА.

Sa set A maximum (max) at minimum (min) na mga puntos ay tinatawag na extremum point g. Ang ganitong extrema ay tinatawag ding absolute extrema sa set .

Kung x 0- matinding punto ng pag-andar g sa ilang mga distrito nito, kung gayon x 0 tinatawag na punto ng lokal o lokal na extremum (max o min) ng function g.

Theorem (kinakailangang kondisyon). Kung x 0- extremum point (lokal) ng function g, kung gayon ang derivative ay hindi umiiral o katumbas ng 0 (zero) sa lugar na ito.

Kahulugan. Ang mga puntos na may di-umiiral o katumbas ng 0 (zero) derivative ay tinatawag na kritikal. Ito ang mga puntong ito na kahina-hinala para sa mga sukdulan.

Theorem (sapat na kondisyon No. 1). Kung ang function g tuloy-tuloy sa ilang distrito i.e. x 0 at ang tanda ay nagbabago sa puntong ito sa panahon ng paglipat ng derivative, pagkatapos ang puntong ito ay ang punto ng extremum g.

Theorem (sapat na kondisyon No. 2). Hayaang ang function sa ilang distrito ng punto ay naiba-iba nang dalawang beses at g’ = 0, at g’’ > 0 (g’’< 0) , pagkatapos ang puntong ito ay ang punto ng maximum (max) o minimum (min) ng function.

Pagsubok sa bulge

Ang function ay tinatawag na downward convex (o concave) sa pagitan (a, b) kapag ang graph ng function ay matatagpuan hindi mas mataas kaysa sa secant sa pagitan para sa anumang x na may (a, b), na dumadaan sa mga puntong ito .

Ang function ay magiging convex na mahigpit na pababa sa (a, b), kung - ang graph ay nasa ibaba ng secant sa pagitan.

Ang function ay sinasabing convex paitaas (convex) sa pagitan (a, b), kung para sa anumang t puntos Sa (a, b) ang graph ng isang function sa pagitan ay hindi mas mababa kaysa sa secant na dumadaan sa abscissa sa mga puntong ito .

Ang function ay mahigpit na matambok paitaas sa pamamagitan ng (a, b), kung - ang graph sa pagitan ay nasa itaas ng secant line.

Kung ang isang function sa ilang puntong distrito tuloy-tuloy at sa pamamagitan ng t.x 0 Kapag lumilipat, binabago ng function ang convexity nito, kung gayon ang puntong ito ay tinatawag na inflection point ng function.

Pag-aaral sa mga asymptotes

Kahulugan. Ang tuwid na linya ay tinatawag na asymptote g(x), kung sa isang walang katapusang distansya mula sa pinanggalingan ng mga coordinate ang isang punto sa graph ng function ay lumalapit dito: d(M,l).

Ang mga asymptotes ay maaaring patayo, pahalang at pahilig.

Patayong linya na may equation x = x 0 ang magiging asymptote ng patayong graph ng function na g , kung mayroong isang walang katapusang puwang sa punto x 0, pagkatapos ay mayroong hindi bababa sa isang kaliwa o kanang hangganan sa puntong ito - infinity.

Pag-aaral ng function sa isang segment para sa pinakamaliit at pinakamalaking value

Kung ang function ay tuloy-tuloy para sa , pagkatapos ay ayon sa Weierstrass theorem mayroong isang maximum na halaga at isang minimum na halaga sa segment na ito, iyon ay, mayroong t salamin na pag-aari ganyan g(x 1) ≤ g(x)< g(x 2), x 2 є . Mula sa mga theorems tungkol sa monotonicity at extrema, nakuha namin ang sumusunod na scheme para sa pag-aaral ng isang function sa isang pagitan para sa pinakamaliit at pinakamalaking halaga.

Plano

1. Hanapin ang derivative g'(x).
2. Halaga ng function ng paghahanap g sa mga puntong ito at sa mga dulo ng segment.
3. Ihambing ang mga nahanap na halaga at piliin ang pinakamaliit at pinakamalaki.

Magkomento. Kung kailangan mong pag-aralan ang isang function sa isang may hangganang pagitan (a, b), o sa walang hanggan (-∞; b); (-∞; +∞) sa mga halaga ng max at min, pagkatapos ay sa plano, sa halip na mga halaga ng pag-andar sa mga dulo ng agwat, hinahanap namin ang kaukulang isang panig na mga hangganan: sa halip na f(a) naghahanap ng f(a+) = limf(x), sa halip na f(b) naghahanap ng f(-b). Sa ganitong paraan mahahanap mo ang ODZ ng isang function sa isang interval, dahil hindi kinakailangang umiral ang absolute extrema sa kasong ito.

Application ng derivative sa solusyon ng mga inilapat na problema sa sukdulan ng ilang mga dami

1. Ipahayag ang dami na ito sa mga tuntunin ng iba pang mga dami mula sa pahayag ng problema upang ito ay isang function ng isang variable lamang (kung maaari).
2. Tukuyin ang pagitan ng pagbabago ng variable na ito.
3. Magsagawa ng pag-aaral ng function sa pagitan sa max at min na mga halaga.

Gawain. Kinakailangan na bumuo ng isang hugis-parihaba na plataporma, gamit ang isang metro ng mesh, laban sa dingding upang sa isang gilid ito ay katabi ng dingding, at sa kabilang tatlo ay nabakuran ng isang mata. Sa anong aspect ratio magiging pinakamalaki ang lugar ng naturang platform?

S = xy- function ng 2 variable.

S = x(a - 2x)- function ng 1st variable ; x є .

S = palakol - 2x 2 ; S" = a - 4x = 0, xєR, x = a: 4.

S(a: 4) = a 2: 8- pinakamalaking halaga;

S(0) =0.

Hanapin natin ang kabilang panig ng parihaba: sa = a: 2.

Aspect Ratio: y: x = 2.

Sagot. Ang pinakamalaking lugar ay magiging katumbas ng isang 2/8, kung ang gilid na parallel sa dingding ay 2 beses na mas malaki kaysa sa kabilang panig.

Function study. Mga halimbawa

Halimbawa 1

Available y=x 3: (1-x) 2 . Magsaliksik ka.

1. ODZ: xє(-∞; 1) U (1; ∞).
2. Ang isang function ng pangkalahatang anyo (ni kahit na o kakaiba) ay hindi simetriko sa punto 0 (zero).
3. Mga palatandaan ng pag-andar. Ang function ay elementarya, samakatuwid maaari itong baguhin ang sign lamang sa mga punto kung saan ito ay katumbas ng 0 (zero) o wala.
4. Ang function ay elementarya, kaya tuloy-tuloy sa ODZ: (-∞; 1) U (1; ∞).

Gap: x = 1;

limx 3: (1- x) 2 = ∞- Discontinuity ng ika-2 uri (walang katapusan), samakatuwid mayroong isang patayong asymptote sa punto 1;

x = 1- equation ng vertical asymptote.

5. y’ = x 2 (3 - x): (1 - x) 3 ;

ODZ (y’): x ≠ 1;

x = 1- kritikal na punto.

y’ = 0;

0; 3 - mga kritikal na puntos.

6. y’’ = 6x: (1 - x) 4 ;

Mga kritikal na item: 1, 0;

x = 0 - baluktot na punto, y(0) = 0.

7. limx 3: (1 - 2x + x 2) = ∞- walang pahalang na asymptote, ngunit maaaring mayroong isang hilig.

k = 1- numero;

b = 2- numero.

Samakatuwid, mayroong isang pahilig na asymptote y = x + 2 sa + ∞ at sa - ∞.

Halimbawa 2

Ibinigay y = (x 2 + 1) : (x - 1). Gumawa at pananaliksik. Bumuo ng isang graph.

1. Ang domain ng pag-iral ay ang buong linya ng numero, maliban sa tinatawag na x = 1.

2. y tumatawid sa OY (kung maaari) kasama. (0;g(0)). Nahanap namin y(0) = -1 - t .

Mga punto ng intersection ng graph na may OX mahanap natin sa pamamagitan ng paglutas ng equation y = 0. Ang equation ay walang tunay na ugat, kaya ang function na ito ay hindi nagsalubong OX.

3. Ang function ay hindi pana-panahon. Isaalang-alang ang expression

g(-x) ≠ g(x), at g(-x) ≠ -g(x). Nangangahulugan ito na ito ay isang pangkalahatang function (ni kahit na o kakaiba).

4. T. x = 1 ang discontinuity ay nasa pangalawang uri. Sa lahat ng iba pang mga punto ang function ay tuloy-tuloy.

5. Pag-aaral ng isang function para sa isang extremum:

(x 2 - 2x - 1): (x - 1)2 = y"

at lutasin ang equation y" = 0.

Kaya, 1 - √2, 1 + √2, 1 - mga kritikal na punto o mga punto ng posibleng extremum. Hinahati ng mga puntong ito ang linya ng numero sa apat na pagitan .

Sa bawat pagitan, ang derivative ay may isang tiyak na tanda, na maaaring maitatag sa pamamagitan ng paraan ng mga agwat o sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga halaga ng derivative sa mga indibidwal na punto. Sa pagitan (-∞; 1 - √2 ) U (1 + √2 ; ∞) , positive derivative, na nangangahulugang lumalaki ang function; Kung xє(1 - √2 ; 1) U(1; 1 + √2 ) , pagkatapos ay bumababa ang function, dahil sa mga pagitan na ito ang derivative ay negatibo. Sa pamamagitan ng t. x 1 sa panahon ng paglipat (sinusundan ang paggalaw mula kaliwa hanggang kanan), ang derivative sign ay nagbabago mula sa "+" hanggang sa "-", samakatuwid, sa puntong ito ay mayroong lokal na maximum, makikita natin

y max = 2 - 2 √2 .

Kapag dumaan x 2 ang derivative ay nagbabago ng sign mula sa "-" hanggang sa "+", samakatuwid, sa puntong ito mayroong isang lokal na minimum, at

y mix = 2 + 2√2.

T. x = 1 hindi ang sukdulan.

6. 4: (x - 1) 3 = y"".

Naka-on (-∞; 1 ) 0 > y"" , dahil dito, sa pagitan na ito ang kurba ay matambok; kung xє (1 ; ∞) - ang kurba ay malukong. Sa t punto 1 ang function ay hindi tinukoy, kaya ang puntong ito ay hindi isang inflection point.

7. Mula sa mga resulta ng talata 4 ay sumusunod na x = 1- vertical asymptote ng curve.

Walang mga pahalang na asymptotes.

x + 1 = y - oblique asymptote ng curve na ito. Walang iba pang mga asymptotes.

8. Isinasaalang-alang ang pananaliksik na isinagawa, bumuo kami ng isang graph (tingnan ang figure sa itaas).