Ang isang patunay ng derivative formula ay ibinigay kumplikadong pag-andar. Ang mga kaso kapag ang isang kumplikadong function ay nakasalalay sa isa o dalawang variable ay isinasaalang-alang nang detalyado. Ang isang paglalahat ay ginawa sa kaso ng isang arbitrary na bilang ng mga variable.

Dito ibinibigay namin ang derivation ng mga sumusunod na formula para sa derivative ng isang kumplikadong function.
Kung , kung gayon
.
Kung , kung gayon
.
Kung , kung gayon
.

Derivative ng isang kumplikadong function mula sa isang variable

Hayaan ang isang function ng variable x ay kinakatawan bilang isang kumplikadong function sa ang sumusunod na anyo:
,
kung saan mayroong ilang mga pag-andar. Naiiba ang function para sa ilang halaga ng variable na x.
Naiiba ang function sa halaga ng variable.
(1) .

Pagkatapos ang complex (composite) function ay naiba-iba sa punto x at ang derivative nito ay tinutukoy ng formula:
;
.

Ang formula (1) ay maaari ding isulat tulad ng sumusunod:

Patunay
;
.
Ipakilala natin ang sumusunod na notasyon.

Dito mayroong isang function ng mga variable at , mayroong isang function ng mga variable at .
;
.

Ngunit aalisin natin ang mga argumento ng mga function na ito upang hindi makalat ang mga kalkulasyon.
.
Dahil ang mga function at naiba sa mga puntos na x at , ayon sa pagkakabanggit, sa mga puntong ito ay mayroong mga derivatives ng mga function na ito, na kung saan ay ang mga sumusunod na limitasyon:
.
Isaalang-alang ang sumusunod na function:
.

Para sa isang nakapirming halaga ng variable na u, ay isang function ng .
.
Isaalang-alang ang sumusunod na function:
.

Obvious naman yun

.

Pagkatapos

Dahil ang function ay isang differentiable function sa punto, ito ay tuloy-tuloy sa puntong iyon. kaya lang

Ngayon nakita namin ang derivative.
,
Ang formula ay napatunayan.
.
Bunga

Kung ang isang function ng isang variable x ay maaaring katawanin bilang isang complex function ng isang complex function
pagkatapos ang derivative nito ay tinutukoy ng formula
.
Dito , at mayroong ilang mga function na naiba-iba.
.
Upang patunayan ang formula na ito, sunud-sunod naming kinakalkula ang derivative gamit ang panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function.
.
Dito , at mayroong ilang mga function na naiba-iba.
.

Isaalang-alang ang kumplikadong pag-andar

Ang hinango nito Isaalang-alang ang orihinal na function.

Hayaan ang isang function na depende sa variable x ay kinakatawan bilang isang kumplikadong function ng dalawang variable sa sumusunod na anyo:
,
saan
at may mga naiba-iba na function para sa ilang halaga ng variable na x;
- isang function ng dalawang variable, differentiable sa point , .
(2) .

Ang formula (1) ay maaari ding isulat tulad ng sumusunod:

Pagkatapos ang kumplikadong pag-andar ay tinukoy sa isang tiyak na kapitbahayan ng punto at mayroong isang hinalaw, na tinutukoy ng formula:
;
.
Dahil ang mga function at naiba sa punto, ang mga ito ay tinukoy sa isang tiyak na kapitbahayan ng puntong ito, ay tuloy-tuloy sa punto, at ang kanilang mga derivative ay umiiral sa punto, na kung saan ay ang mga sumusunod na limitasyon:
;
.
Dito
;
.

Dahil sa pagpapatuloy ng mga function na ito sa isang punto, mayroon kaming:
(3) .
Dahil ang mga function at naiba sa punto, ang mga ito ay tinukoy sa isang tiyak na kapitbahayan ng puntong ito, ay tuloy-tuloy sa punto, at ang kanilang mga derivative ay umiiral sa punto, na kung saan ay ang mga sumusunod na limitasyon:

Dahil ang function ay naiba sa punto, ito ay tinukoy sa isang tiyak na kapitbahayan ng puntong ito, ay tuloy-tuloy sa puntong ito, at ang pagtaas nito ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo:
;

- pagdaragdag ng isang function kapag ang mga argumento nito ay dinagdagan ng mga halaga at ;
- mga partial derivatives ng function na may paggalang sa mga variable at .
;
.
Para sa mga nakapirming halaga ng at , at mga function ng mga variable at .
;
.

May posibilidad silang maging zero sa at:

. :
.
Simula at , noon



.

Pagkatapos

Pagtaas ng function:

Palitan natin ang (3):

Derivative ng isang kumplikadong function mula sa ilang mga variable Ang konklusyon sa itaas ay madaling gawing pangkalahatan sa kaso kapag ang bilang ng mga variable ng isang kumplikadong function ay higit sa dalawa. Halimbawa, kung ang f ay
,
saan
function ng tatlong variable
, Iyon
, at may mga naiba-iba na function para sa ilang halaga ng variable na x;
(4)
.
- differentiable function ng tatlong variable sa punto , , .
; ; ,
Pagkatapos, mula sa kahulugan ng pagkakaiba-iba ng function, mayroon kaming:
;
;
.

Dahil, dahil sa pagpapatuloy,
.

yun Ang paghahati ng (4) sa pamamagitan at pagpasa sa limitasyon, makuha natin ang:.
At sa wakas, isaalang-alang natin
,
saan
ang pinaka-pangkalahatang kaso
Hayaan ang isang function ng variable x ay kinakatawan bilang isang kumplikadong function ng n variable sa sumusunod na anyo:
, , ... , .
Isaalang-alang ang sumusunod na function:
.

may mga naiba-iba na function para sa ilang halaga ng variable na x; - differentiable function ng n variable sa isang punto Kung susundin mo ang kahulugan, kung gayon ang derivative ng isang function sa isang punto ay ang limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function na Δ y:

sa argumentong pagtaas Δ x(y) = y 2 + (2y Tila malinaw na ang lahat. Ngunit subukang gamitin ang formula na ito upang kalkulahin, sabihin, ang derivative ng function f y+ 3) · y e

kasalanan

Mga derivatives ng elementary functions

Ang mga elementary function ay ang lahat ng nakalista sa ibaba. Ang mga derivatives ng mga function na ito ay dapat na kilala sa puso. Bukod dito, hindi mahirap kabisaduhin ang mga ito - kaya't sila ay elementarya.

Kaya, derivatives mga pag-andar ng elementarya:

Kung ang isang elementary function ay pinarami ng isang arbitrary na pare-pareho, kung gayon ang derivative ng bagong function ay madaling kalkulahin:

(C · x)’ = C · x ’.

Sa pangkalahatan, ang mga constant ay maaaring alisin sa tanda ng derivative. Halimbawa:

(2y 3)’ = 2 · ( y 3)’ = 2 3 y 2 = 6y 2 .

Malinaw, ang mga elementarya na function ay maaaring idagdag sa isa't isa, multiply, hinati - at marami pang iba. Ito ay kung paano lilitaw ang mga bagong function, hindi na partikular na elementarya, ngunit naiiba din ayon sa ilang mga patakaran. Ang mga patakarang ito ay tinalakay sa ibaba.

Derivative ng kabuuan at pagkakaiba

Hayaang ibigay ang mga function x(y) At g(y), ang mga derivatives nito ay alam natin. Halimbawa, maaari mong kunin ang mga elementary function na tinalakay sa itaas. Pagkatapos ay mahahanap mo ang derivative ng kabuuan at pagkakaiba ng mga function na ito:

1. (x + g)’ = x ’ + g ’
2. (x − g)’ = x ’ − g ’

Kaya, ang derivative ng kabuuan (difference) ng dalawang function ay katumbas ng sum (difference) ng mga derivatives. Baka marami pang terms. Halimbawa, ( x + g + h)’ = x ’ + g ’ + h ’.

Sa mahigpit na pagsasalita, walang konsepto ng "pagbabawas" sa algebra. Mayroong konsepto ng "negatibong elemento". Samakatuwid ang pagkakaiba x − g maaaring isulat muli bilang kabuuan x+ (−1) g, at pagkatapos ay isang formula na lang ang natitira - ang derivative ng kabuuan.

x(y) = y 2 + kasalanan x; g(y) = y 4 + 2y 2 − 3.

Function x(y) ay ang kabuuan ng dalawang elementarya na pag-andar, samakatuwid:

x ’(y) = (y 2 + kasalanan y)’ = (y 2)’ + (kasalanan y)’ = 2y+ cos x;

Pareho kaming nangangatuwiran para sa pag-andar g(y). Tanging mayroon nang tatlong termino (mula sa punto ng view ng algebra):

g ’(y) = (y 4 + 2y 2 − 3)’ = (y 4 + 2y 2 + (−3))’ = (y 4)’ + (2y 2)’ + (−3)’ = 4y 3 + 4y + 0 = 4y · ( y 2 + 1).

Sagot:
x ’(y) = 2y+ cos x;
g ’(y) = 4y · ( y 2 + 1).

Derivative ng produkto

Ang matematika ay isang lohikal na agham, kaya maraming tao ang naniniwala na kung ang derivative ng isang sum ay katumbas ng sum ng derivatives, kung gayon ang derivative ng produkto strike">katumbas ng produkto ng mga derivatives. Ngunit sirain mo! Ang derivative ng isang produkto ay kinakalkula gamit ang isang ganap na naiibang formula. Namely:

(x · g) ’ = x ’ · g + x · g ’

Ang formula ay simple, ngunit ito ay madalas na nakalimutan. At hindi lamang mga mag-aaral, kundi pati na rin ang mga mag-aaral. Ang resulta ay maling nalutas ang mga problema.

Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function: x(y) = y 3 cos x; g(y) = (y 2 + 7y− 7) · f y .

Function x(y) ay ang produkto ng dalawang elementarya na pag-andar, kaya ang lahat ay simple:

x ’(y) = (y 3 cos y)’ = (y 3) dahil y + y 3 (cos y)’ = 3y 2 cos y + y 3 (−kasalanan y) = y 2 (3cos y − y kasalanan y)

Function g(y) ang unang kadahilanan ay medyo mas kumplikado, ngunit pangkalahatang pamamaraan hindi ito nagbabago. Malinaw, ang unang kadahilanan ng pag-andar g(y) ay isang polynomial at ang derivative nito ay ang derivative ng sum. Mayroon kaming:

g ’(y) = ((y 2 + 7y− 7) · f y)’ = (y 2 + 7y− 7)’ · f y + (y 2 + 7y− 7) ( f y)’ = (2y+ 7) · f y + (y 2 + 7y− 7) · f y = f y· (2 y + 7 + y 2 + 7y −7) = (y 2 + 9y) · f y = y(y+ 9) · f y .

Sagot:
x ’(y) = y 2 (3cos y − y kasalanan y);
g ’(y) = y(y+ 9) · f y .

Pakitandaan na sa huling hakbang ang derivative ay factorized. Pormal, hindi ito kailangang gawin, ngunit karamihan sa mga derivatives ay hindi kinakalkula sa kanilang sarili, ngunit upang suriin ang function. Nangangahulugan ito na ang karagdagang derivative ay itutumbas sa zero, ang mga palatandaan nito ay matutukoy, at iba pa. Para sa ganoong kaso, mas mainam na magkaroon ng expression na factorized.

Kung may dalawang function x(y) At g(y), at g(y) ≠ 0 sa set na interesado kami, maaari naming tukuyin ang isang bagong function h(y) = x(y)/g(y). Para sa naturang function maaari mo ring mahanap ang derivative:

Hindi mahina, ha? Saan nagmula ang minus? Bakit g 2? At kaya! Ito ay isa sa mga pinaka-kumplikadong formula - hindi mo maiisip ito nang walang bote. Samakatuwid, ito ay mas mahusay na pag-aralan ito sa tiyak na mga halimbawa.

Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function:

Ang numerator at denominator ng bawat fraction ay naglalaman ng mga elementary function, kaya ang kailangan lang natin ay ang formula para sa derivative ng quotient:

Ayon sa tradisyon, i-factorize natin ang numerator - ito ay lubos na magpapasimple sa sagot:

Ang isang kumplikadong function ay hindi nangangahulugang isang kalahating kilometrong haba na formula. Halimbawa, ito ay sapat na upang kunin ang function x(y) = kasalanan y at palitan ang variable y, sabihin, sa y 2 + ln y. Ito ay gagana x(y) = kasalanan ( y 2 + ln y) - ito ay isang kumplikadong function. Mayroon din itong derivative, ngunit hindi ito posibleng mahanap gamit ang mga panuntunang tinalakay sa itaas.

Ano ang dapat kong gawin? Sa ganitong mga kaso, ang pagpapalit ng variable at formula para sa derivative ng isang kumplikadong function ay nakakatulong:

x ’(y) = x ’(t) · t', Kung y ay pinalitan ng t(y).

Bilang isang tuntunin, ang sitwasyon na may pag-unawa sa formula na ito ay mas malungkot kaysa sa derivative ng quotient. Samakatuwid, mas mahusay din na ipaliwanag ito sa mga tiyak na halimbawa, na may detalyadong paglalarawan bawat hakbang.

Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function: x(y) = f 2y + 3 ; g(y) = kasalanan ( y 2 + ln y)

Tandaan na kung sa function x(y) sa halip na expression 2 y+ 3 ay magiging madali y, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang elementary function x(y) = f y. Samakatuwid, gumawa kami ng kapalit: hayaan 2 y + 3 = t, x(y) = x(t) = f t. Hinahanap namin ang derivative ng isang kumplikadong function gamit ang formula:

x ’(y) = x ’(t) · t ’ = (f t)’ · t ’ = f t · t ’

At ngayon - pansin! Ginagawa namin ang reverse replacement: t = 2y+ 3. Nakukuha namin ang:

x ’(y) = f t · t ’ = f 2y+ 3 (2 y + 3)’ = f 2y+ 3 2 = 2 f 2y + 3

Ngayon tingnan natin ang function g(y). Malinaw na kailangan itong palitan y 2 + ln y = t. Mayroon kaming:

g ’(y) = g ’(t) · t’ = (kasalanan t)’ · t' = kasi t · t ’

Baliktad na kapalit: t = y 2 + ln y. Pagkatapos:

g ’(y) = cos ( y 2 + ln y) · ( y 2 + ln y)’ = cos ( y 2 + ln y) · (2 y + 1/y).

yun lang! Tulad ng makikita mula sa huling expression, ang buong problema ay nabawasan sa pagkalkula ng derivative sum.

Sagot:
x ’(y) = 2 · f 2y + 3 ;
g ’(y) = (2y + 1/y) dahil ( y 2 + ln y).

Kadalasan sa aking mga aralin, sa halip na ang terminong "derivative," ginagamit ko ang salitang "prime." Halimbawa, ang stroke ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga stroke. Mas malinaw ba iyon? Well, mabuti iyon.

Kaya, ang pagkalkula ng derivative ay bumababa sa pag-alis ng parehong mga stroke ayon sa mga patakarang tinalakay sa itaas. Bilang huling halimbawa, bumalik tayo sa derivative power na may rational exponent:

(y n)’ = n · y n − 1

Iilan lang ang nakakaalam niyan sa role n maaaring kumilos praksyonal na numero. Halimbawa, ang ugat ay y 0.5. Paano kung may magarbong bagay sa ilalim ng ugat? Muli, ang resulta ay magiging isang kumplikadong pag-andar - gusto nilang bigyan ang gayong mga konstruksyon mga pagsubok oh at mga pagsusulit.

Gawain. Hanapin ang derivative ng function:

Una, muling isulat natin ang ugat bilang isang kapangyarihan na may makatwirang exponent:

x(y) = (y 2 + 8y − 7) 0,5 .

Ngayon gumawa kami ng kapalit: hayaan y 2 + 8y − 7 = t. Nahanap namin ang derivative gamit ang formula:

x ’(y) = x ’(t) · t ’ = (t 0.5)’ · t’ = 0.5 · t−0.5 · t ’.

Gawin natin ang reverse replacement: t = y 2 + 8y− 7. Mayroon kaming:

x ’(y) = 0.5 · ( y 2 + 8y− 7) −0.5 · ( y 2 + 8y− 7)’ = 0.5 (2 y+ 8) ( y 2 + 8y − 7) −0,5 .

Sa wakas, bumalik sa mga ugat:

At ang theorem sa derivative ng isang kumplikadong function, ang pagbabalangkas kung saan ay ang mga sumusunod:

Hayaang 1) ang function na $u=\varphi (x)$ ay mayroon sa ilang punto na $x_0$ ang derivative na $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) ang function na $y=f(u)$ mayroon sa katumbas sa puntong $u_0=\varphi (x_0)$ ang derivative na $y_(u)"=f"(u)$. Pagkatapos ang kumplikadong function na $y=f\left(\varphi (x) \right)$ sa nabanggit na punto ay magkakaroon din ng derivative na katumbas ng produkto ng mga derivatives ng mga function na $f(u)$ at $\varphi ( x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

o, sa mas maikling notasyon: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Sa mga halimbawa sa seksyong ito, ang lahat ng mga function ay may anyong $y=f(x)$ (ibig sabihin, isinasaalang-alang lamang namin ang mga function ng isang variable na $x$). Alinsunod dito, sa lahat ng mga halimbawa ang derivative na $y"$ ay kinukuha patungkol sa variable na $x$. Upang bigyang-diin na ang derivative ay kinuha na may kinalaman sa variable na $x$, ang $y"_x$ ay kadalasang isinusulat sa halip na $y "$.

Mga halimbawa No. 1, No. 2 at No. 3 na balangkas detalyadong proseso paghahanap ng derivative ng mga kumplikadong function. Ang Halimbawa No. 4 ay nilayon para sa isang mas kumpletong pag-unawa sa derivative table at makatuwirang maging pamilyar dito.

Maipapayo, pagkatapos pag-aralan ang materyal sa mga halimbawa No. 1-3, na magpatuloy sa independiyenteng paglutas ng mga halimbawa No. 5, No. 6 at No. 7. Ang mga halimbawa #5, #6 at #7 ay naglalaman ng maikling solusyon upang masuri ng mambabasa ang kawastuhan ng kanyang resulta.

Halimbawa Blg. 1

Hanapin ang derivative ng function na $y=e^(\cos x)$.

Kailangan nating hanapin ang derivative ng isang kumplikadong function na $y"$. Dahil $y=e^(\cos x)$, pagkatapos ay $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. To hanapin ang derivative na $ \left(e^(\cos x)\right)"$ ginagamit namin ang formula No. 6 mula sa table ng derivatives. Upang magamit ang formula No. 6, kailangan nating isaalang-alang na sa ating kaso $u=\cos x$. Ang karagdagang solusyon ay binubuo sa simpleng pagpapalit ng expression na $\cos x$ sa halip na $u$ sa formula No. 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Ngayon ay kailangan nating hanapin ang halaga ng expression na $(\cos x)"$. Bumaling muli tayo sa talahanayan ng mga derivatives, pipiliin ang formula No. 10 mula dito. Ang pagpapalit ng $u=x$ sa formula No. 10, mayroon tayong : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$ Ngayon ay nagpapatuloy kami sa pagkakapantay-pantay (1.1), dinadagdagan ito ng nakitang resulta:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x) \cdot x") \tag (1.2) $$

Dahil $x"=1$, ipinagpatuloy namin ang pagkakapantay-pantay (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x) \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Kaya, mula sa pagkakapantay-pantay (1.3) mayroon tayong: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Naturally, ang mga paliwanag at intermediate equalities ay kadalasang nilaktawan, na nagsusulat ng paghahanap ng derivative sa isang linya, tulad ng sa pagkakapantay-pantay ( 1.3 ).

Sagot: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Halimbawa Blg. 2

Hanapin ang derivative ng function na $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Kailangan nating kalkulahin ang derivative na $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Upang magsimula, tandaan namin na ang pare-pareho (i.e. ang numero 9) ay maaaring alisin sa derivative sign:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)" \tag (2.1) $$

Ngayon ay bumaling tayo sa expression na $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Upang gawing mas madali ang pagpili ng gustong formula mula sa talahanayan ng mga derivatives, ipapakita ko ang expression pinag-uusapan sa form na ito: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Ngayon ay malinaw na kinakailangan na gumamit ng formula No. 2, i.e. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Palitan natin ang $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ at $\alpha=12$ sa formula na ito:

Ang pagdaragdag ng pagkakapantay-pantay (2.1) sa resultang nakuha, mayroon tayong:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

Sa sitwasyong ito, madalas na nagkakamali kapag pinili ng solver sa unang hakbang ang formula na $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ sa halip na formula $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Ang punto ay dapat mauna ang derivative ng panlabas na function. Upang maunawaan kung aling function ang magiging panlabas sa expression na $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, isipin na kinakalkula mo ang halaga ng expression na $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ sa ilang halaga na $x$. Una mong kalkulahin ang halaga ng $5^x$, pagkatapos ay i-multiply ang resulta sa 4, na makakakuha ng $4\cdot 5^x$. Ngayon ay kinukuha namin ang arctangent mula sa resultang ito, pagkuha ng $\arctg(4\cdot 5^x)$. Pagkatapos ay itataas namin ang resultang numero sa ikalabindalawang kapangyarihan, na nakakakuha ng $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Ang huling aksyon, i.e. Ang pagtaas sa kapangyarihan ng 12 ay magiging isang panlabas na function. At ito ay mula dito na kailangan nating simulan upang mahanap ang hinalaw, na ginawa sa pagkakapantay-pantay (2.2).

Ngayon kailangan nating hanapin ang $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Ginagamit namin ang formula No. 19 ng derivatives table, pinapalitan ang $u=4\cdot \ln x$ dito:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Pasimplehin natin nang kaunti ang resultang expression, na isinasaalang-alang ang $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Ang pagkakapantay-pantay (2.2) ay magiging:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Nananatili itong hanapin ang $(4\cdot \ln x)"$. Kunin natin ang pare-pareho (i.e. 4) mula sa derivative sign: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. Para sa Upang mahanap ang $(\ln x)"$ ginagamit namin ang formula No. 8, pinapalitan ang $u=x$ dito: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. Dahil $x"=1$, pagkatapos ay $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $. Ang pagpapalit ng nakuhang resulta sa formula (2.3), makuha namin ang:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).

Ipaalala ko sa iyo na ang derivative ng isang kumplikadong function ay madalas na matatagpuan sa isang linya, tulad ng nakasulat sa huling pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, kapag naghahanda ng mga karaniwang kalkulasyon o kontrol sa trabaho, hindi kinakailangan na ilarawan ang solusyon sa ganoong detalye.

Sagot: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Halimbawa Blg. 3

Hanapin ang $y"$ ng function na $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Una, bahagyang baguhin natin ang function na $y$, na nagpapahayag ng radical (root) bilang isang kapangyarihan: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \kanan)^(\frac(3)(7))$. Ngayon simulan natin ang paghahanap ng derivative. Dahil $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, kung gayon:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Gamitin natin ang formula No. 2 mula sa talahanayan ng mga derivatives, pinapalitan ang $u=\sin(5\cdot 9^x)$ at $\alpha=\frac(3)(7)$ dito:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Ipagpatuloy natin ang pagkakapantay-pantay (3.1) gamit ang resultang nakuha:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Ngayon kailangan nating hanapin ang $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Para dito ginagamit namin ang formula No. 9 mula sa talahanayan ng mga derivatives, pinapalitan ang $u=5\cdot 9^x$ dito:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Ang pagkakaroon ng dagdag na pagkakapantay-pantay (3.2) sa resulta na nakuha, mayroon kaming:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

Nananatili itong makahanap ng $(5\cdot 9^x)"$. Una, kunin natin ang constant (ang numerong $5$) sa labas ng derivative sign, ibig sabihin, $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. Upang mahanap ang derivative na $(9^x)"$, ilapat ang formula No. 5 ng talahanayan ng mga derivatives, pinapalitan ang $a=9$ at $u=x$ dito: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Dahil $x"=1$, pagkatapos ay $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Ngayon ay maaari nating ipagpatuloy ang pagkakapantay-pantay (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\kanan) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Maaari tayong bumalik mula sa mga kapangyarihan patungo sa mga radikal (i.e., mga ugat), pagsulat ng $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ sa anyong $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\\ cdot 9^x)))$. Pagkatapos ang derivative ay isusulat sa form na ito:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).

Sagot: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\\ cdot 9^x)))$.

Halimbawa Blg. 4

Ipakita na ang mga formula No. 3 at No. 4 ng talahanayan ng mga derivatives ay espesyal na kaso mga formula No. 2 ng talahanayang ito.

Ang Formula No. 2 ng talahanayan ng mga derivative ay naglalaman ng derivative ng function na $u^\alpha$. Ang pagpapalit ng $\alpha=-1$ sa formula No. 2, makuha namin ang:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Dahil ang $u^(-1)=\frac(1)(u)$ at $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, ang pagkakapantay-pantay (4.1) ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Ito ang formula No. 3 ng derivatives table.

Balikan natin muli ang formula No. 2 ng talahanayan ng mga derivatives. Palitan natin ang $\alpha=\frac(1)(2)$ dito:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Dahil $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ at $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay (4.2) ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Ang resultang pagkakapantay-pantay na $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ ay formula No. 4 ng talahanayan ng mga derivatives. Gaya ng nakikita mo, ang mga formula No. 3 at No. 4 ng derivative table ay nakuha mula sa formula No. 2 sa pamamagitan ng pagpapalit ng katumbas na $\alpha$ na halaga.

Sa "lumang" mga aklat-aralin ito ay tinatawag ding "kadena" na panuntunan. Kaya kung y = f (u), at u = φ (x), iyon ay

y = f (φ (x))

complex - compound function (komposisyon ng mga function) pagkatapos

saan , pagkatapos ng pagkalkula ay isinasaalang-alang sa u = φ (x).

Tandaan na dito kinuha namin ang "iba't ibang" komposisyon mula sa parehong mga pag-andar, at ang resulta ng pagkita ng kaibhan ay natural na nakasalalay sa pagkakasunud-sunod ng "paghahalo".

Ang panuntunan ng chain ay natural na umaabot sa mga komposisyon ng tatlo o higit pang mga function. Sa kasong ito, magkakaroon ng tatlo o higit pang "link" sa "chain" na bumubuo sa derivative. Narito ang isang pagkakatulad sa multiplikasyon: "mayroon kaming" isang talahanayan ng mga derivatives; "doon" - talahanayan ng pagpaparami; "sa amin" ay ang chain rule at "doon" ay ang "column" multiplication rule. Kapag kinakalkula ang mga naturang "kumplikadong" derivatives, walang mga pantulong na argumento (u¸v, atbp.), Siyempre, ang ipinakilala, ngunit, nang mapansin para sa kanilang sarili ang bilang at pagkakasunud-sunod ng mga function na kasangkot sa komposisyon, ang kaukulang mga link ay "strung" sa ipinahiwatig na pagkakasunud-sunod.

. Dito, kasama ang "x" upang makuha ang halaga ng "y", limang mga operasyon ang isinasagawa, iyon ay, mayroong isang komposisyon ng limang mga pag-andar: "panlabas" (ang huli sa kanila) - exponential - e  ; pagkatapos ay sa reverse order, kapangyarihan. (♦) 2 ;

trigonometriko kasalanan

(); nagpapatahimik. () 3 at panghuli logarithmic ln.(). kaya lang

Gamit ang mga sumusunod na halimbawa ay "papatayin namin ang isang pares ng mga ibon gamit ang isang bato": magsasanay kami ng pagkakaiba-iba ng mga kumplikadong pag-andar at idagdag sa talahanayan ng mga derivatives ng elementarya na pag-andar. Kaya: 4. Para sa isang power function - y = x α - muling pagsulat nito gamit ang kilalang “basic pagkakakilanlan ng logarithmic

" - b=e ln b - sa anyong x α = x α ln x makuha natin

.

5. Libre

exponential function

gamit ang parehong pamamaraan na magkakaroon tayo

6. Para sa isang di-makatwirang logarithmic function, gamit ang kilalang formula para sa paglipat sa isang bagong base, palagi nating nakukuha

7. Upang pag-iba-ibahin ang tangent (cotangent), ginagamit namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng mga quotient:
,

Panghuli, ibubuod natin ang mga ito at ilang iba pang mga derivatives na madaling makuha sa sumusunod na talahanayan.

Derivative ng isang kumplikadong function. Mga halimbawa ng solusyon

Sa araling ito matututunan natin kung paano maghanap derivative ng isang kumplikadong function. Ang aral ay lohikal na pagpapatuloy mga klase Paano mahahanap ang derivative?, kung saan sinuri namin ang pinakasimpleng derivatives, at naging pamilyar din sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan at ilang teknikal na pamamaraan para sa paghahanap ng mga derivatives. Kaya, kung hindi ka masyadong mahusay sa mga derivatives ng mga function o ilang mga punto sa artikulong ito ay hindi lubos na malinaw, pagkatapos ay basahin muna ang aralin sa itaas. Mangyaring makakuha ng isang seryosong kalagayan - ang materyal ay hindi simple, ngunit susubukan ko pa ring ipakita ito nang simple at malinaw.

Sa pagsasagawa, kailangan mong harapin ang derivative ng isang kumplikadong function nang napakadalas, sasabihin ko pa nga, halos palagi, kapag binibigyan ka ng mga gawain upang makahanap ng mga derivatives.

Tinitingnan namin ang talahanayan sa panuntunan (No. 5) para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function:

Alamin natin ito. Una sa lahat, bigyang pansin natin ang entry. Narito mayroon kaming dalawang function - at , at ang function, sa matalinghagang pagsasalita, ay naka-nest sa loob ng function . Ang isang function ng ganitong uri (kapag ang isang function ay nested sa loob ng isa pa) ay tinatawag na isang kumplikadong function.

Tatawagin ko ang function panlabas na pag-andar, at ang function – panloob (o nested) function.

! Ang mga kahulugang ito ay hindi teoretikal at hindi dapat lumabas sa panghuling disenyo ng mga takdang-aralin. Gumagamit ako ng mga impormal na expression na "panlabas na pag-andar", "panloob" na pag-andar para lang gawing mas madali para sa iyo na maunawaan ang materyal.

Upang linawin ang sitwasyon, isaalang-alang:

Halimbawa 1

Hanapin ang derivative ng isang function

Sa ilalim ng sine mayroon kaming hindi lamang titik na "X", ngunit isang buong expression, kaya ang paghahanap ng derivative kaagad mula sa talahanayan ay hindi gagana. Napansin din namin na imposibleng ilapat ang unang apat na panuntunan dito, tila may pagkakaiba, ngunit ang katotohanan ay ang sine ay hindi maaaring "punit sa piraso":

Sa halimbawang ito, malinaw na malinaw mula sa aking mga paliwanag na ang isang function ay isang kumplikadong function, at ang polynomial ay isang panloob na function (pag-embed), at isang panlabas na function.

Unang hakbang ang kailangan mong gawin kapag naghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function ay ang maunawaan kung aling function ang panloob at kung alin ang panlabas.

Kung sakali mga simpleng halimbawa Tila malinaw na ang isang polynomial ay naka-embed sa ilalim ng sine. Pero paano kung hindi halata ang lahat? Paano tumpak na matukoy kung aling pag-andar ang panlabas at alin ang panloob? Upang gawin ito, iminumungkahi ko ang paggamit ng sumusunod na pamamaraan, na maaaring gawin sa pag-iisip o sa isang draft.

Isipin natin na kailangan nating gumamit ng calculator upang kalkulahin ang halaga ng expression sa (sa halip na isa ay maaaring mayroong anumang numero).

Ano ang una nating kalkulahin? Una sa lahat kakailanganin mong gawin ang sumusunod na aksyon: , samakatuwid ang polynomial ay magiging isang panloob na function:

Pangalawa ay kailangang matagpuan, kaya ang sine - ay magiging isang panlabas na function:

Pagkatapos namin SOLD OUT Sa panloob at panlabas na mga pag-andar, oras na upang ilapat ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng mga kumplikadong pag-andar.

Simulan na natin ang pagpapasya. Mula sa klase Paano mahahanap ang derivative? naaalala namin na ang disenyo ng isang solusyon sa anumang derivative ay palaging nagsisimula tulad nito - isinasama namin ang expression sa mga bracket at naglalagay ng isang stroke sa kanang tuktok:

Noong una nakita natin ang derivative ng external function (sine), tingnan ang table ng derivatives ng elementary functions at mapansin na . Ang lahat ng mga formula ng talahanayan ay naaangkop din kung ang "x" ay papalitan ng isang kumplikadong expression, V sa kasong ito:

Mangyaring tandaan na ang panloob na pag-andar hindi nagbago, hindi namin ito ginagalaw.

Well, medyo obvious naman yun

Ang huling resulta ng paglalapat ng formula ay ganito:

Ang pare-parehong kadahilanan ay karaniwang inilalagay sa simula ng expression:

Kung mayroong anumang hindi pagkakaunawaan, isulat ang solusyon sa papel at basahin muli ang mga paliwanag.

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative ng isang function

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative ng isang function

Gaya ng nakasanayan, isinusulat namin:

Alamin natin kung saan tayo may panlabas na function at kung saan mayroon tayong panloob. Upang gawin ito, sinusubukan namin (sa isip o sa isang draft) na kalkulahin ang halaga ng expression sa . Ano ang dapat mong gawin muna? Una sa lahat, kailangan mong kalkulahin kung ano ang katumbas ng base: samakatuwid, ang polynomial ay ang panloob na pag-andar:

At, pagkatapos lamang isagawa ang exponentiation, samakatuwid, function ng kapangyarihan ay isang panlabas na function:

Ayon sa formula, kailangan mo munang hanapin ang derivative ng panlabas na function, sa kasong ito, ang degree. Hinahanap namin ang kinakailangang formula sa talahanayan: . Ulitin namin muli: anumang tabular formula ay may bisa hindi lamang para sa "X", ngunit para din sa isang kumplikadong expression. Kaya, ang resulta ng paglalapat ng panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong function ay ang mga sumusunod:

Muli kong binibigyang-diin na kapag kinuha natin ang derivative ng panlabas na pag-andar, ang ating panloob na pag-andar ay hindi nagbabago:

Ngayon ang natitira na lang ay maghanap ng napakasimpleng derivative ng internal function at i-tweak ang resulta ng kaunti:

Halimbawa 4

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa malayang desisyon(sagot sa katapusan ng aralin).

Upang pagsamahin ang iyong pag-unawa sa derivative ng isang kumplikadong function, magbibigay ako ng isang halimbawa nang walang mga komento, subukang malaman ito sa iyong sarili, dahilan kung saan ang panlabas at kung saan ang panloob na pag-andar, bakit ang mga gawain ay nalutas sa ganitong paraan?

Halimbawa 5

a) Hanapin ang derivative ng function

b) Hanapin ang derivative ng function

Halimbawa 6

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito mayroon tayong ugat, at upang maiba ang ugat, dapat itong ilarawan bilang isang kapangyarihan. Kaya, dinadala muna namin ang function sa form na angkop para sa pagkita ng kaibhan:

Kapag pinag-aaralan ang function, nakarating tayo sa konklusyon na ang kabuuan ng tatlong termino ay isang panloob na function, at ang pagtaas sa isang kapangyarihan ay isang panlabas na function. Inilalapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng mga kumplikadong pag-andar:

Muli naming kinakatawan ang antas bilang isang radikal (ugat), at para sa hinango ng panloob na pag-andar ay inilalapat namin ang isang simpleng panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng kabuuan:

handa na. Maaari mo ring ibigay ang expression sa panaklong sa karaniwang denominador at isulat ang lahat bilang isang bahagi. Ito ay maganda, siyempre, ngunit kapag nakakuha ka ng masalimuot na mahabang derivatives, mas mahusay na huwag gawin ito (madaling malito, hayaan hindi kinakailangang pagkakamali, at magiging abala para sa guro na suriin).

Halimbawa 7

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa (sagutin sa katapusan ng aralin).

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na kung minsan sa halip na ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong function, maaari mong gamitin ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kusyente , ngunit ang gayong solusyon ay magmumukhang isang nakakatawang perwisyo. Narito ang isang tipikal na halimbawa:

Halimbawa 8

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito maaari mong gamitin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient , ngunit ito ay higit na kumikita upang mahanap ang derivative sa pamamagitan ng panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function:

Inihahanda namin ang function para sa pagkita ng kaibhan - inililipat namin ang minus mula sa derivative sign, at itinaas ang cosine sa numerator:

Ang cosine ay isang panloob na pag-andar, ang pagpapalawak ay isang panlabas na pag-andar.
Gamitin natin ang ating panuntunan:

Hinahanap namin ang derivative ng internal function at i-reset ang cosine pabalik pababa:

handa na. Sa halimbawang isinasaalang-alang, mahalagang huwag malito sa mga palatandaan. Sa pamamagitan ng paraan, subukang lutasin ito gamit ang panuntunan , dapat magkatugma ang mga sagot.

Halimbawa 9

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa (sagutin sa katapusan ng aralin).

Sa ngayon ay tiningnan namin ang mga kaso kung saan mayroon lamang kaming isang pugad sa isang kumplikadong function. Sa mga praktikal na gawain, madalas kang makakahanap ng mga derivatives, kung saan, tulad ng mga nesting doll, isa sa loob ng isa, 3 o kahit 4-5 na function ay nakapugad nang sabay-sabay.

Halimbawa 10

Hanapin ang derivative ng isang function

Unawain natin ang mga attachment ng function na ito. Subukan nating kalkulahin ang expression gamit ang pang-eksperimentong halaga. Paano tayo mabibilang sa isang calculator?

Una kailangan mong hanapin ang , na nangangahulugang ang arcsine ay ang pinakamalalim na pag-embed:

Ang arcsine na ito ng isa ay dapat na kuwadrado:

At sa wakas, itinaas namin ang pito sa isang kapangyarihan:

Ibig sabihin, sa halimbawang ito mayroon tayong tatlong magkakaibang function at dalawang embeddings, habang ang pinakaloob na function ay ang arcsine, at ang pinakalabas na function ay ang exponential function.

Simulan na natin ang pagpapasya

Ayon sa panuntunan, kailangan mo munang kunin ang derivative ng panlabas na function. Tinitingnan namin ang talahanayan ng mga derivatives at hinahanap ang derivative ng exponential function: Ang pagkakaiba lang ay sa halip na "x" mayroon kami kumplikadong pagpapahayag, na hindi binabalewala ang bisa ng formula na ito. Kaya, ang resulta ng paglalapat ng panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong function ay ang mga sumusunod:

Sa ilalim ng stroke mayroon kaming isang kumplikadong pag-andar muli! Ngunit ito ay mas simple. Madaling i-verify na ang panloob na pag-andar ay ang arcsine, ang panlabas na pag-andar ay ang antas. Ayon sa panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong function, kailangan mo munang kunin ang derivative ng kapangyarihan.