Linear dependence at linear independence ng mga vectors.
Batayan ng mga vector. Affine coordinate system

Mayroong isang cart na may mga tsokolate sa auditorium, at bawat bisita ngayon ay makakakuha ng isang matamis na mag-asawa - analytical geometry na may linear algebra. Sakop ng artikulong ito ang dalawang seksyon nang sabay-sabay. mas mataas na matematika, at makikita natin kung paano sila magkakasundo sa isang balot. Magpahinga, kumain ng Twix! ...damn, anong kalokohan. Although, okay, I won’t score, in the end, you should have a positive attitude towards studying.

Linear dependence ng mga vectors, linear vector pagsasarili, batayan ng mga vector at iba pang mga termino ay hindi lamang isang geometriko na interpretasyon, ngunit, higit sa lahat, isang algebraic na kahulugan. Ang mismong konsepto ng "vector" mula sa punto ng view ng linear algebra ay hindi palaging ang "ordinaryong" vector na maaari nating ilarawan sa isang eroplano o sa kalawakan. Hindi mo kailangang maghanap ng malayo para sa patunay, subukang gumuhit ng vector ng limang-dimensional na espasyo . O ang weather vector, na pinuntahan ko lang sa Gismeteo para sa: – temperatura at presyon ng atmospera ayon sa pagkakabanggit. Ang halimbawa, siyempre, ay hindi tama mula sa punto ng view ng mga katangian ng vector space, ngunit, gayunpaman, walang sinuman ang nagbabawal na gawing pormal ang mga parameter na ito bilang isang vector. Hininga ng taglagas...

Hindi, hindi ako magsasawa sa iyo ng teorya, mga linear vector space, ang gawain ay maintindihan mga kahulugan at teorema. Ang mga bagong termino (linear dependence, independence, linear combination, basis, atbp.) ay nalalapat sa lahat ng vectors mula sa algebraic point of view, ngunit ang mga geometric na halimbawa ay ibibigay. Kaya, ang lahat ay simple, naa-access at malinaw. Bilang karagdagan sa mga problema ng analytical geometry, isasaalang-alang din namin ang ilan karaniwang mga gawain algebra Upang makabisado ang materyal, ipinapayong maging pamilyar sa mga aralin Mga vector para sa mga dummies At Paano makalkula ang determinant?

Linear na pag-asa at pagsasarili ng mga vector ng eroplano.
Plane basis at affine coordinate system

Isaalang-alang ang eroplano ng iyong desk ng kompyuter(isang table lang, bedside table, floor, ceiling, kahit anong gusto mo). Ang gawain ay binubuo ng mga sumusunod na aksyon:

1) Piliin ang batayan ng eroplano. Sa halos pagsasalita, ang isang tabletop ay may haba at lapad, kaya intuitive na kakailanganin ng dalawang vector upang mabuo ang batayan. Ang isang vector ay malinaw na hindi sapat, tatlong mga vector ay masyadong marami.

2) Batay sa napiling batayan itakda ang coordinate system(coordinate grid) upang magtalaga ng mga coordinate sa lahat ng mga bagay sa talahanayan.

Huwag magtaka, sa una ang mga paliwanag ay nasa daliri. Bukod dito, sa iyo. Mangyaring ilagay hintuturo kaliwang kamay sa gilid ng tabletop para tumingin siya sa monitor. Ito ay magiging isang vector. Ngayon lugar maliit na daliri kanang kamay sa gilid ng talahanayan sa parehong paraan - upang ito ay nakadirekta sa screen ng monitor. Ito ay magiging isang vector. Ngumiti ka, ang galing mo! Ano ang masasabi natin tungkol sa mga vector? Mga vector ng data collinear, ibig sabihin linear ipinahayag sa bawat isa:
, well, o vice versa: , kung saan ang ilang numero ay naiiba sa zero.

Makakakita ka ng larawan ng pagkilos na ito sa klase. Mga vector para sa mga dummies, kung saan ipinaliwanag ko ang panuntunan para sa pagpaparami ng vector sa isang numero.

Itatakda ba ng iyong mga daliri ang batayan sa eroplano ng computer desk? Halatang hindi. Mga collinear na vector maglakbay pabalik-balik sa kabila mag-isa direksyon, at ang isang eroplano ay may haba at lapad.

Ang ganitong mga vector ay tinatawag nakadepende sa linear.

Sanggunian: Ang mga salitang "linear", "linearly" ay nagpapahiwatig ng katotohanan na sa mga mathematical equation at expression ay walang mga parisukat, cubes, iba pang kapangyarihan, logarithms, sines, atbp. Mayroon lamang mga linear (1st degree) na expression at dependencies.

Dalawang vector ng eroplano nakadepende sa linear kung at kung sila ay collinear.

I-cross ang iyong mga daliri sa mesa upang mayroong anumang anggulo sa pagitan ng mga ito maliban sa 0 o 180 degrees. Dalawang vector ng eroplanolinear Hindi nakasalalay kung at kung hindi sila collinear. Kaya, nakuha ang batayan. Hindi na kailangang ikahiya na ang batayan ay naging "skewed" na may mga di-perpendicular na vector na may iba't ibang haba. Sa lalong madaling panahon makikita natin na hindi lamang isang anggulo ng 90 degrees ang angkop para sa pagtatayo nito, at hindi lamang ang mga unit vector na may pantay na haba

Anuman vector ng eroplano ang tanging paraan ay pinalawak ayon sa batayan:
, nasaan ang mga totoong numero. Tinatawag ang mga numero mga coordinate ng vector sa batayan na ito.

Sinasabi rin na vectoripinakita bilang linear na kumbinasyon mga batayan ng vector. Ibig sabihin, ang expression ay tinatawag pagkabulok ng vectorsa pamamagitan ng batayan o linear na kumbinasyon mga batayan ng vector.

Halimbawa, maaari nating sabihin na ang vector ay nabubulok sa isang orthonormal na batayan ng eroplano, o maaari nating sabihin na ito ay kinakatawan bilang isang linear na kumbinasyon ng mga vector.

Bumalangkas tayo kahulugan ng batayan pormal: Ang batayan ng eroplano ay tinatawag na isang pares ng linearly independent (non-collinear) vectors, , habang anuman ang plane vector ay isang linear na kumbinasyon ng mga batayang vector.

Ang isang mahalagang punto ng kahulugan ay ang katotohanan na ang mga vector ay kinuha sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Mga base – ito ay dalawang ganap na magkaibang base! Tulad ng sinasabi nila, hindi mo maaaring palitan ang maliit na daliri ng iyong kaliwang kamay sa halip na ang maliit na daliri ng iyong kanang kamay.

Naisip namin ang batayan, ngunit hindi sapat na magtakda ng coordinate grid at magtalaga ng mga coordinate sa bawat item sa iyong computer desk. Bakit hindi sapat? Ang mga vector ay libre at gumagala sa buong eroplano. Kaya paano ka magtatalaga ng mga coordinate sa mga maliliit na maruruming lugar sa mesa na natitira mula sa isang ligaw na katapusan ng linggo? Kailangan ng panimulang punto. At ang gayong palatandaan ay isang punto na pamilyar sa lahat - ang pinagmulan ng mga coordinate. Unawain natin ang coordinate system:

Magsisimula ako sa sistema ng "paaralan". Nasa panimulang aralin na Mga vector para sa mga dummies Binigyang-diin ko ang ilang pagkakaiba sa pagitan ng rectangular coordinate system at ng orthonormal na batayan. Narito ang karaniwang larawan:

Kapag pinag-uusapan nila rectangular coordinate system, kung gayon kadalasan ang ibig sabihin ng mga ito ay ang pinagmulan ng mga coordinate, coordinate axes at sukat sa kahabaan ng mga palakol. Subukang mag-type ng "rectangular coordinate system" sa isang search engine, at makikita mo na maraming source ang magsasabi sa iyo tungkol sa mga coordinate axes na pamilyar mula sa ika-5-6 na baitang at kung paano mag-plot ng mga puntos sa isang eroplano.

Sa kabilang banda, tila ang isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate ay maaaring ganap na tukuyin sa mga tuntunin ng isang orthonormal na batayan. At iyon ay halos totoo. Ang mga salita ay ang mga sumusunod:

pinanggalingan, At orthonormal itinakda ang batayan Cartesian rectangular plane coordinate system . Iyon ay, ang rectangular coordinate system tiyak ay tinukoy ng isang solong punto at dalawang unit orthogonal vectors. Iyon ang dahilan kung bakit nakikita mo ang pagguhit na ibinigay ko sa itaas - sa mga problemang geometriko, ang parehong mga vector at coordinate axes ay madalas (ngunit hindi palaging) iginuhit.

Sa palagay ko naiintindihan ng lahat na ang paggamit ng isang punto (pinagmulan) at isang orthonormal na batayan ANUMANG PUNTO sa eroplano at ANUMANG VECTOR sa eroplano maaaring italaga ang mga coordinate. Sa makasagisag na pagsasalita, "lahat ng bagay sa isang eroplano ay maaaring bilangin."

Kinakailangan ba ang mga coordinate vector na maging unit? Hindi, maaari silang magkaroon ng di-zero na haba. Isaalang-alang ang isang punto at dalawang orthogonal na vector ng di-zero na haba:

Ang ganitong batayan ay tinatawag orthogonal. Ang pinagmulan ng mga coordinate na may mga vector ay tinukoy ng isang coordinate grid, at anumang punto sa eroplano, anumang vector ay may mga coordinate sa isang ibinigay na batayan. Halimbawa, o. Ang halatang abala ay ang coordinate vectors sa pangkalahatang kaso may iba't ibang haba maliban sa pagkakaisa. Kung ang mga haba ay katumbas ng pagkakaisa, kung gayon ang karaniwang orthonormal na batayan ay nakuha.

! Tandaan : sa orthogonal na batayan, at din sa ibaba sa mga base ng affine ang mga yunit ng eroplano at espasyo sa kahabaan ng mga palakol ay isinasaalang-alang KONDISYONAL. Halimbawa, ang isang yunit sa kahabaan ng x-axis ay naglalaman ng 4 cm, ang isang yunit sa kahabaan ng ordinate axis ay naglalaman ng 2 cm Ang impormasyong ito ay sapat upang, kung kinakailangan, i-convert ang "hindi pamantayan" na mga coordinate sa "aming karaniwang sentimetro".

At ang pangalawang tanong, na talagang nasagot na, ay kung ang anggulo sa pagitan ng mga batayang vector ay dapat na katumbas ng 90 degrees? Hindi! Tulad ng sinasabi ng kahulugan, ang mga batayan ng vector ay dapat non-collinear lang. Alinsunod dito, ang anggulo ay maaaring maging anuman maliban sa 0 at 180 degrees.

Isang punto sa eroplano ang tinawag pinanggalingan, At hindi collinear mga vector, , itakda affine plane coordinate system :

Minsan tinatawag ang ganitong coordinate system pahilig sistema. Bilang mga halimbawa, ang pagguhit ay nagpapakita ng mga puntos at vectors:

Tulad ng naiintindihan mo, ang sistema ng affine coordinate ay hindi gaanong maginhawa sa mga pormula para sa mga haba ng mga vector at mga segment, na tinalakay namin sa ikalawang bahagi ng aralin, ay hindi gumagana dito; Mga vector para sa mga dummies, maraming masasarap na formula na may kaugnayan sa scalar na produkto ng mga vector. Ngunit ang mga patakaran para sa pagdaragdag ng mga vector at pagpaparami ng isang vector sa isang numero, mga formula para sa paghahati ng isang segment sa bagay na ito, pati na rin ang ilang iba pang mga uri ng mga problema na isasaalang-alang namin sa lalong madaling panahon, ay wasto.

At ang konklusyon ay ang pinaka-maginhawang espesyal na kaso sistema ng affine Ang mga coordinate ay isang Cartesian rectangular system. Iyon ang dahilan kung bakit madalas mo siyang makita, mahal ko. ...Gayunpaman, ang lahat sa buhay na ito ay kamag-anak - maraming mga sitwasyon kung saan ang isang pahilig na anggulo (o iba pa, halimbawa, polar) coordinate system. At maaaring gusto ng mga humanoid ang mga ganitong sistema =)

Lumipat tayo sa praktikal na bahagi. Ang lahat ng mga problema sa araling ito ay may bisa kapwa para sa rectangular coordinate system at para sa pangkalahatang affine case. Walang kumplikado dito; ang lahat ng materyal ay naa-access kahit na sa isang mag-aaral.

Paano matukoy ang collinearity ng mga vector ng eroplano?

Tipikal na bagay. Para sa dalawang plane vectors ay collinear, ito ay kinakailangan at sapat na ang kanilang kaukulang mga coordinate ay proporsyonal Sa pangkalahatan, ito ay isang coordinate-by-coordinate na nagdedetalye ng malinaw na relasyon.

Halimbawa 1

a) Suriin kung ang mga vector ay collinear .
b) Ang mga vector ba ay bumubuo ng batayan? ?

Solusyon:
a) Alamin natin kung mayroong para sa mga vectors koepisyent ng proporsyonalidad, upang ang mga pagkakapantay-pantay ay nasiyahan:

Talagang sasabihin ko sa iyo ang tungkol sa "foppish" na uri ng aplikasyon ng panuntunang ito, na gumagana nang maayos sa pagsasanay. Ang ideya ay agad na gawin ang proporsyon at tingnan kung ito ay tama:

Gumawa tayo ng isang proporsyon mula sa mga ratio ng kaukulang mga coordinate ng mga vectors:

Paikliin natin:
, kaya ang kaukulang mga coordinate ay proporsyonal, samakatuwid,

Ang relasyon ay maaaring gawing kabaligtaran; ito ay isang katumbas na opsyon:

Para sa self-test, maaari mong gamitin ang katotohanan na ang mga collinear vectors ay linearly na ipinahayag sa bawat isa. SA sa kasong ito may mga pagkakapantay-pantay . Ang kanilang validity ay madaling ma-verify sa pamamagitan ng elementary operations na may mga vectors:

b) Dalawang plane vector ang bumubuo ng batayan kung hindi sila collinear (linearly independent). Sinusuri namin ang mga vector para sa collinearity . Gumawa tayo ng system:

Mula sa unang equation ito ay sumusunod na , mula sa pangalawang equation ito ay sumusunod na , na nangangahulugan hindi pare-pareho ang sistema(walang solusyon). Kaya, ang kaukulang mga coordinate ng mga vectors ay hindi proporsyonal.

Konklusyon: ang mga vector ay linearly independent at bumubuo ng isang batayan.

Ang isang pinasimple na bersyon ng solusyon ay ganito ang hitsura:

Gumawa tayo ng isang proporsyon mula sa kaukulang mga coordinate ng mga vectors :
, na nangangahulugan na ang mga vector na ito ay linearly independent at bumubuo ng isang batayan.

Karaniwan ang opsyong ito ay hindi tinatanggihan ng mga tagasuri, ngunit may problemang lumitaw sa mga kaso kung saan ang ilang mga coordinate ay katumbas ng zero. ganito: . O tulad nito: . O tulad nito: . Paano magtrabaho sa pamamagitan ng proporsyon dito? (sa katunayan, hindi mo maaaring hatiin sa zero). Ito ay para sa kadahilanang ito na tinawag ko ang pinasimple na solusyon na "foppish".

Sagot: a) , b) anyo.

Isang maliit na malikhaing halimbawa para sa malayang desisyon:

Halimbawa 2

Sa anong halaga ng parameter ang mga vectors magiging collinear ba sila?

Sa sample na solusyon, ang parameter ay matatagpuan sa pamamagitan ng proporsyon.

May isang kaaya-aya algebraic na pamamaraan Pagsusuri ng mga vectors para sa pagkakaisa.

Para sa dalawang plane vector ang mga sumusunod na pahayag ay katumbas:

2) ang mga vector ay bumubuo ng isang batayan;
3) ang mga vector ay hindi collinear;

+ 5) ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng mga vector na ito ay nonzero.

Ayon sa pagkakabanggit, ang mga sumusunod na kasalungat na pahayag ay katumbas:
1) ang mga vector ay linearly na umaasa;
2) ang mga vector ay hindi bumubuo ng isang batayan;
3) ang mga vector ay collinear;
4) ang mga vector ay maaaring linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng bawat isa;
+ 5) ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng mga vector na ito ay katumbas ng zero.

Sana talaga sa ngayon naiintindihan mo na ang lahat ng mga termino at pahayag na iyong nararanasan.

Tingnan natin ang bago, ikalimang punto: dalawang vector ng eroplano ay collinear kung at kung ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng ibinigay na mga vector ay katumbas ng zero:. Upang mailapat ang tampok na ito, siyempre, kailangan mong magawa maghanap ng mga determinant.

Magdesisyon tayo Halimbawa 1 sa pangalawang paraan:

a) Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng mga vectors :
, na nangangahulugan na ang mga vector na ito ay collinear.

b) Dalawang plane vector ang bumubuo ng batayan kung hindi sila collinear (linearly independent). Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng vector :
, na nangangahulugang ang mga vector ay linearly independent at bumubuo ng isang batayan.

Sagot: a) , b) anyo.

Mukhang mas compact at mas maganda kaysa sa isang solusyon na may mga proporsyon.

Sa tulong ng materyal na isinasaalang-alang, posible na maitaguyod hindi lamang ang collinearity ng mga vectors, kundi pati na rin upang patunayan ang parallelism ng mga segment at tuwid na linya. Isaalang-alang natin ang ilang problema sa mga partikular na geometric na hugis.

Halimbawa 3

Ang mga vertex ng isang quadrilateral ay ibinibigay. Patunayan na ang quadrilateral ay isang paralelogram.

Patunay: Hindi na kailangang gumawa ng guhit sa problema, dahil ang solusyon ay puro analytical. Tandaan natin ang kahulugan ng paralelogram:
Paralelogram Ang isang may apat na gilid na ang magkabilang panig ay parallel sa mga pares ay tinatawag na.

Kaya, ito ay kinakailangan upang patunayan:
1) paralelismo ng magkabilang panig at;
2) paralelismo ng magkabilang panig at.

Patunayan namin:

1) Hanapin ang mga vector:

2) Hanapin ang mga vector:

Ang resulta ay ang parehong vector ("ayon sa paaralan" - pantay na mga vector). Ang collinearity ay medyo halata, ngunit ito ay mas mahusay na gawing pormal ang desisyon nang malinaw, na may pag-aayos. Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng vector:
, na nangangahulugan na ang mga vector na ito ay collinear, at .

Konklusyon: Ang magkasalungat na gilid ng isang may apat na gilid ay magkapareho sa mga pares, na nangangahulugang ito ay isang paralelogram sa pamamagitan ng kahulugan. Q.E.D.

Higit pang mahusay at iba't ibang mga figure:

Halimbawa 4

Ang mga vertex ng isang quadrilateral ay ibinibigay. Patunayan na ang quadrilateral ay isang trapezoid.

Para sa isang mas mahigpit na pagbabalangkas ng patunay, ito ay mas mahusay, siyempre, upang makuha ang kahulugan ng isang trapezoid, ngunit ito ay sapat na upang matandaan lamang kung ano ang hitsura nito.

Ito ay isang gawain para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Buong solusyon sa pagtatapos ng aralin.

At ngayon ay oras na upang dahan-dahang lumipat mula sa eroplano patungo sa kalawakan:

Paano matukoy ang collinearity ng space vectors?

Ang panuntunan ay halos magkatulad. Upang ang dalawang space vector ay maging collinear, kinakailangan at sapat na ang kanilang kaukulang mga coordinate ay proporsyonal..

Halimbawa 5

Alamin kung ang mga sumusunod na space vector ay collinear:

A);
b)
V)

Solusyon:
a) Suriin natin kung mayroong isang koepisyent ng proporsyonalidad para sa kaukulang mga coordinate ng mga vectors:

Ang sistema ay walang solusyon, na nangangahulugan na ang mga vector ay hindi collinear.

Ang "Simplified" ay ginawang pormal sa pamamagitan ng pagsuri sa proporsyon. Sa kasong ito:
– ang kaukulang mga coordinate ay hindi proporsyonal, na nangangahulugan na ang mga vector ay hindi collinear.

Sagot: ang mga vector ay hindi collinear.

b-c) Ito ay mga punto para sa malayang desisyon. Subukan ito sa dalawang paraan.

Mayroong isang paraan para sa pagsuri ng mga spatial vectors para sa collinearity sa pamamagitan ng third-order determinant, ang pamamaraang ito sakop sa artikulo Vector na produkto ng mga vector.

Katulad ng kaso ng eroplano, ang mga itinuturing na tool ay maaaring gamitin upang pag-aralan ang parallelism ng spatial na mga segment at tuwid na linya.

Maligayang pagdating sa pangalawang seksyon:

Linear dependence at independence ng mga vectors sa three-dimensional na espasyo.
Spatial na batayan at affine coordinate system

Marami sa mga pattern na aming napagmasdan sa eroplano ay magiging wasto para sa espasyo. Sinubukan kong i-minimize ang mga tala ng teorya, dahil ang malaking bahagi ng impormasyon ay na-chewed na. Gayunpaman, inirerekumenda kong basahin mong mabuti ang panimulang bahagi, dahil lalabas ang mga bagong termino at konsepto.

Ngayon, sa halip na ang eroplano ng computer desk, ginalugad namin ang three-dimensional na espasyo. Una, gawin natin ang batayan nito. May nasa loob na ngayon, may nasa labas, ngunit sa anumang kaso, hindi natin matatakasan ang tatlong dimensyon: lapad, haba at taas. Samakatuwid, upang makabuo ng isang batayan, tatlong spatial vectors ang kakailanganin. Ang isa o dalawang vector ay hindi sapat, ang ikaapat ay labis.

At muli kaming nagpainit sa aming mga daliri. Mangyaring itaas ang iyong kamay at ikalat ito magkaibang panig hinlalaki, index at gitnang daliri . Ito ay magiging mga vector, tumingin sila sa iba't ibang direksyon, may iba't ibang haba at mayroon iba't ibang anggulo sa kanilang mga sarili. Binabati kita, ang batayan ng tatlong-dimensional na espasyo ay handa na! Oo nga pala, hindi na kailangang ipakita ito sa mga guro, gaano man kahirap ang iyong mga daliri, ngunit walang pagtakas sa mga kahulugan =)

Susunod, magtanong tayo mahalagang isyu, ang anumang tatlong vector ay bumubuo ng batayan ng tatlong-dimensional na espasyo? Mangyaring pindutin nang mahigpit ang tatlong daliri sa tuktok ng computer desk. Anong nangyari? Tatlong mga vector ang matatagpuan sa parehong eroplano, at, halos nagsasalita, nawala namin ang isa sa mga sukat - taas. Ang ganitong mga vector ay coplanar at, ito ay lubos na halata na ang batayan ng tatlong-dimensional na espasyo ay hindi nilikha.

Dapat pansinin na ang mga coplanar vector ay hindi kailangang magsinungaling sa parehong eroplano; parallel na eroplano(huwag lang gawin ito gamit ang iyong mga daliri, si Salvador Dali lang ang humila sa ganitong paraan =)).

Kahulugan: tinatawag na mga vector coplanar, kung mayroong isang eroplano kung saan sila ay parallel. Ito ay lohikal na idagdag dito na kung ang naturang eroplano ay hindi umiiral, kung gayon ang mga vector ay hindi magiging coplanar.

Ang tatlong coplanar vector ay palaging nakadepende sa linear, iyon ay, ang mga ito ay linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng bawat isa. Para sa pagiging simple, muli nating isipin na nakahiga sila sa parehong eroplano. Una, ang mga vector ay hindi lamang coplanar, maaari rin silang maging collinear, kung gayon ang anumang vector ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng anumang vector. Sa pangalawang kaso, kung, halimbawa, ang mga vector ay hindi collinear, kung gayon ang ikatlong vector ay ipinahayag sa pamamagitan ng mga ito sa isang natatanging paraan: (at bakit madaling hulaan mula sa mga materyales sa nakaraang seksyon).

Totoo rin ang kabaligtaran: tatlong non-coplanar vectors ay palaging linearly independent, ibig sabihin, hindi sila ipinahayag sa bawat isa. At, malinaw naman, ang gayong mga vector lamang ang maaaring maging batayan ng tatlong-dimensional na espasyo.

Kahulugan: Ang batayan ng tatlong-dimensional na espasyo ay tinatawag na triple ng mga linearly independent (non-coplanar) vectors, kinuha sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod, at anumang vector ng espasyo ang tanging paraan ay decomposed sa isang naibigay na batayan, kung saan ay ang mga coordinate ng vector sa batayan na ito

Ipaalala ko sa iyo na maaari rin nating sabihin na ang vector ay kinakatawan sa form linear na kumbinasyon mga batayan ng vector.

Ang konsepto ng isang sistema ng coordinate ay ipinakilala sa eksaktong parehong paraan tulad ng para sa kaso ng eroplano at anumang tatlong linearly independent vectors ay sapat na:

pinanggalingan, At hindi koplanar mga vector, kinuha sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod, itakda affine coordinate system ng three-dimensional na espasyo :

Siyempre, ang coordinate grid ay "pahilig" at hindi maginhawa, ngunit, gayunpaman, ang itinayong sistema ng coordinate ay nagpapahintulot sa amin tiyak tukuyin ang mga coordinate ng anumang vector at ang mga coordinate ng anumang punto sa espasyo. Katulad ng isang eroplano, ang ilang mga formula na nabanggit ko na ay hindi gagana sa affine coordinate system ng espasyo.

Ang pinakapamilyar at maginhawang espesyal na kaso ng isang affine coordinate system, gaya ng hula ng lahat, ay rectangular space coordinate system:

Isang punto sa espasyo na tinatawag pinanggalingan, At orthonormal itinakda ang batayan Cartesian rectangular space coordinate system . Pamilyar na larawan:

Bago lumipat sa mga praktikal na gawain, muli nating i-systematize ang impormasyon:

Para sa tatlong vector puwang ang mga sumusunod na pahayag ay katumbas:
1) ang mga vector ay linearly independent;
2) ang mga vector ay bumubuo ng isang batayan;
3) ang mga vector ay hindi coplanar;
4) ang mga vector ay hindi maaaring linearly na ipahayag sa pamamagitan ng bawat isa;
5) ang determinant, na binubuo ng mga coordinate ng mga vectors na ito, ay iba sa zero.

Sa tingin ko ang kabaligtaran na mga pahayag ay naiintindihan.

Ang linear dependence/independence ng mga space vector ay tradisyonal na sinusuri gamit ang isang determinant (punto 5). Ang natitirang mga praktikal na gawain ay magiging malinaw na algebraic. Oras na para ibaba ang geometry stick at gamitin ang baseball bat ng linear algebra:

Tatlong vector ng espasyo ay coplanar kung at kung ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng ibinigay na mga vector ay katumbas ng zero: .

Dinadala ko ang iyong pansin sa isang maliit teknikal na nuance: Ang mga coordinate ng mga vector ay maaaring isulat hindi lamang sa mga haligi, kundi pati na rin sa mga hilera (ang halaga ng determinant ay hindi magbabago mula dito - tingnan ang mga katangian ng mga determinant). Ngunit ito ay mas mahusay sa mga haligi, dahil ito ay mas kapaki-pakinabang para sa paglutas ng ilang mga praktikal na problema.

Para sa mga mambabasa na medyo nakalimutan ang mga paraan ng pagkalkula ng mga determinant, o marahil ay may kaunting pag-unawa sa mga ito, inirerekomenda ko ang isa sa aking mga pinakalumang aralin: Paano makalkula ang determinant?

Halimbawa 6

Suriin kung ang mga sumusunod na vector ay bumubuo ng batayan ng tatlong-dimensional na espasyo:

Solusyon: Sa katunayan, ang buong solusyon ay bumababa sa pagkalkula ng determinant.

a) Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng mga vectors (ang determinant ay ipinahayag sa unang linya):

, na nangangahulugan na ang mga vector ay linearly independent (hindi coplanar) at bumubuo ng batayan ng three-dimensional na espasyo.

Sagot: ang mga vector na ito ay bumubuo ng isang batayan

b) Ito ay isang punto para sa independiyenteng desisyon. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Mayroon ding mga malikhaing gawain:

Halimbawa 7

Sa anong halaga ng parameter magiging coplanar ang mga vector?

Solusyon: Ang mga vector ay coplanar kung at kung ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng mga vector na ito ay katumbas ng zero:

Mahalaga, kailangan mong lutasin ang isang equation na may determinant. Lumilipad kami sa mga zero tulad ng mga saranggola sa jerboas - pinakamahusay na buksan ang determinant sa pangalawang linya at agad na alisin ang mga minus:

Nagsasagawa kami ng mga karagdagang pagpapasimple at binabawasan ang bagay sa pinakasimpleng linear equation:

Sagot: sa

Madaling suriin dito; para magawa ito, kailangan mong palitan ang resultang halaga sa orihinal na determinant at tiyakin iyon , muling binuksan ito.

Sa konklusyon, tingnan natin ang isa pa tipikal na gawain, na mas algebraic sa kalikasan at tradisyonal na kasama sa kurso ng linear algebra. Ito ay karaniwan na nararapat sa sarili nitong paksa:

Patunayan na ang 3 vector ay bumubuo ng batayan ng three-dimensional na espasyo
at hanapin ang mga coordinate ng ika-4 na vector sa batayan na ito

Halimbawa 8

Ibinigay ang mga vector. Ipakita na ang mga vector ay bumubuo ng isang batayan sa tatlong-dimensional na espasyo at hanapin ang mga coordinate ng vector sa batayan na ito.

Solusyon: Una, harapin natin ang kundisyon. Sa pamamagitan ng kundisyon, apat na vector ang ibinibigay, at, tulad ng nakikita mo, mayroon na silang mga coordinate sa ilang batayan. Kung ano ang batayan na ito ay hindi interesado sa amin. At ang sumusunod na bagay ay interesado: tatlong vectors ay maaaring bumuo ng isang bagong batayan. At ang unang yugto ay ganap na nag-tutugma sa solusyon ng Halimbawa 6, kinakailangan upang suriin kung ang mga vector ay tunay na independyente:

Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng vector:

, na nangangahulugan na ang mga vector ay linearly independent at bumubuo ng batayan ng three-dimensional na espasyo.

! Mahalaga : mga coordinate ng vector Kailangan isulat sa mga hanay determinant, hindi sa mga string. Kung hindi, magkakaroon ng kalituhan sa karagdagang algorithm ng solusyon.

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Solusyon. naghahanap ng pangkalahatang solusyon sistema ng mga equation

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Pamamaraan ng Gauss. Upang gawin ito, isinulat namin ang homogenous system na ito sa mga coordinate:

System Matrix

Ang pinahihintulutang sistema ay may form: (r A = 2, n= 3). Ang sistema ay kooperatiba at hindi sigurado. Ang pangkalahatang solusyon nito ( x 2 – libreng variable): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Ang pagkakaroon ng isang non-zero partikular na solusyon, halimbawa, ay nagpapahiwatig na ang mga vectors a 1 , a 2 , a 3 nakadepende sa linear.

Halimbawa 2.

Alamin kung ang sistemang ito linearly dependent o linearly independent vectors:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Solusyon. Isaalang-alang ang isang homogenous na sistema ng mga equation a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

o sa pinalawak na anyo (sa pamamagitan ng mga coordinate)

Ang sistema ay homogenous. Kung ito ay hindi degenerate, kung gayon mayroon itong natatanging solusyon. Sa kaso ng isang homogenous na sistema, mayroong isang zero (walang halaga) na solusyon. Nangangahulugan ito na sa kasong ito ang sistema ng mga vector ay independyente. Kung ang sistema ay degenerate, kung gayon mayroon itong mga non-zero na solusyon at, samakatuwid, ito ay nakasalalay.

Sinusuri namin ang system para sa pagkabulok:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Ang sistema ay non-degenerate at, sa gayon, ang mga vectors a 1 , a 2 , a 3 linearly independent.

Mga takdang-aralin. Alamin kung linearly dependent o linearly independent ang isang ibinigay na sistema ng mga vector:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Patunayan na ang isang sistema ng mga vector ay magiging linearly dependent kung naglalaman ito ng:

a) dalawang pantay na vectors;

b) dalawang proporsyonal na vector.

Vectors, ang kanilang mga katangian at mga aksyon sa kanila

Mga vector, mga aksyon na may mga vector, linear na espasyo ng vector.

Ang mga vector ay isang nakaayos na koleksyon ng isang may hangganang bilang ng mga tunay na numero.

Mga aksyon: 1. Pag-multiply ng vector sa isang numero: lambda*vector x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)

2. Pagdaragdag ng mga vectors (kabilang sa parehong espasyo ng vector) vector x + vector y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vector 0=(0,0…0)---n E n – n-dimensional (linear space) vector x + vector 0 = vector x

Teorama. Upang maging linearly dependent ang isang sistema ng n vectors, isang n-dimensional linear space, kinakailangan at sapat na ang isa sa mga vector ay isang linear na kumbinasyon ng iba.

Teorama. Anumang set ng n+ 1st vectors ng n-dimensional linear space ng phenomena. nakadepende sa linear.

Pagdaragdag ng mga vector, pagpaparami ng mga vector sa pamamagitan ng mga numero. Pagbabawas ng mga vector.

Ang kabuuan ng dalawang vector ay isang vector na nakadirekta mula sa simula ng vector hanggang sa dulo ng vector, sa kondisyon na ang simula ay tumutugma sa dulo ng vector. Kung ang mga vector ay ibinibigay sa pamamagitan ng kanilang mga pagpapalawak sa mga batayang yunit ng vector, kung gayon kapag nagdadagdag ng mga vector, ang kanilang mga kaukulang coordinate ay idinaragdag.

Isaalang-alang natin ito gamit ang halimbawa ng isang Cartesian coordinate system. Hayaan

Ipakita natin yan

Mula sa Figure 3 ay malinaw na

Ang kabuuan ng anumang may hangganan na bilang ng mga vector ay matatagpuan gamit ang polygon rule (Larawan 4): upang bumuo ng kabuuan ng isang may hangganan na bilang ng mga vector, sapat na upang pagsamahin ang simula ng bawat kasunod na vector sa dulo ng nauna. at bumuo ng isang vector na nagkokonekta sa simula ng unang vector sa dulo ng huli.

Mga katangian ng operasyon ng pagdaragdag ng vector:

Sa mga expression na ito m, n ay mga numero.

Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga vector ay tinatawag na vector Ang pangalawang termino ay isang vector na kabaligtaran ng vector sa direksyon, ngunit katumbas ng haba nito.

Kaya, ang pagpapatakbo ng pagbabawas ng mga vector ay pinalitan ng isang operasyon ng karagdagan

Ang isang vector na ang simula ay nasa pinanggalingan at nagtatapos sa puntong A (x1, y1, z1) ay tinatawag na radius vector ng punto A at ipinapakahulugan lamang. Dahil ang mga coordinate nito ay tumutugma sa mga coordinate ng point A, ang pagpapalawak nito sa mga unit vector ay may anyo

Ang isang vector na nagsisimula sa punto A(x1, y1, z1) at nagtatapos sa punto B(x2, y2, z2) ay maaaring isulat bilang

kung saan ang r 2 ay ang radius vector ng point B; r 1 - radius vector ng point A.

Samakatuwid, ang pagpapalawak ng vector sa mga vector ng yunit ay may anyo

Ang haba nito ay katumbas ng distansya sa pagitan ng mga punto A at B

MULTIPLICATION

Kaya sa kaso ng isang problema sa eroplano, ang produkto ng isang vector sa pamamagitan ng a = (ax; ay) sa pamamagitan ng bilang b ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula

a b = (ax b; ay b)

Halimbawa 1. Hanapin ang produkto ng vector a = (1; 2) sa pamamagitan ng 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Kaya, sa kaso ng isang spatial na problema, ang produkto ng vector a = (ax; ay; az) sa pamamagitan ng numero b ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula

a b = (ax b; ay b; az b)

Halimbawa 1. Hanapin ang produkto ng vector a = (1; 2; -5) sa pamamagitan ng 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Dot product ng mga vectors at saan ang anggulo sa pagitan ng mga vectors at ; kung alinman, pagkatapos

Mula sa kahulugan ng produktong scalar ay sinusunod nito iyon

kung saan, halimbawa, ay ang magnitude ng projection ng vector sa direksyon ng vector.

Scalar squared vector:

Mga katangian ng produkto ng tuldok:

Dot product sa mga coordinate

Kung yun

Anggulo sa pagitan ng mga vector

Anggulo sa pagitan ng mga vector - ang anggulo sa pagitan ng mga direksyon ng mga vector na ito (pinakamaliit na anggulo).

Cross product (Cross product ng dalawang vectors.) - ito ay isang pseudovector na patayo sa isang eroplano na binuo mula sa dalawang salik, na resulta ng binary operation na "vector multiplication" sa mga vector sa three-dimensional na Euclidean space. Ang produkto ay hindi commutative o associative (ito ay anticommutative) at iba sa dot product ng mga vector. Sa maraming mga problema sa engineering at pisika, kailangan mong makabuo ng isang vector na patayo sa dalawang umiiral na - ang produkto ng vector ay nagbibigay ng pagkakataong ito. Ang cross product ay kapaki-pakinabang para sa "pagsusukat" ng perpendicularity ng mga vector - ang haba ng cross product ng dalawang vectors ay katumbas ng produkto ng kanilang mga haba kung sila ay patayo, at bumababa sa zero kung ang mga vector ay parallel o antiparallel.

Ang cross product ay tinukoy lamang sa three-dimensional at seven-dimensional na espasyo. Ang resulta ng isang produkto ng vector, tulad ng isang scalar na produkto, ay nakasalalay sa sukatan ng Euclidean space.

Hindi tulad ng formula para sa pagkalkula ng scalar product vectors mula sa mga coordinate sa isang three-dimensional na rectangular coordinate system, ang formula para sa cross product ay nakasalalay sa oryentasyon ng rectangular coordinate system o, sa madaling salita, ang "chirality" nito.

Collinearity ng mga vectors.

Ang dalawang di-zero (hindi katumbas ng 0) na mga vector ay tinatawag na collinear kung nakahiga sila sa magkatulad na linya o sa parehong linya. Ang isang katanggap-tanggap, ngunit hindi inirerekomenda, kasingkahulugan ay "parallel" na mga vector. Ang mga collinear vector ay maaaring magkaparehong direksyon ("codirectional") o magkasalungat na direksyon (sa huling kaso, kung minsan ay tinatawag silang "anticollinear" o "antiparallel").

Pinaghalong produkto ng mga vectors( a, b, c)- scalar product ng vector a at ang vector product ng vectors b at c:

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

minsan ito ay tinatawag na triple tuldok na produkto ng mga vector, tila dahil ang resulta ay isang scalar (mas tiyak, isang pseudoscalar).

Geometric na kahulugan: Ang modulus ng pinaghalong produkto ay numerong katumbas ng dami ng parallelepiped na nabuo ng mga vectors (a,b,c) .

Mga Katangian

Pinaghalong piraso skew-symmetric na may paggalang sa lahat ng mga argumento nito: i.e. e. ang muling pagsasaayos ng anumang dalawang salik ay nagbabago sa tanda ng produkto. Ito ay sumusunod na ang Mixed na produkto sa tamang Cartesian coordinate system (sa isang orthonormal na batayan) ay katumbas ng determinant ng isang matrix na binubuo ng mga vectors at:

Ang pinaghalong produkto sa kaliwang Cartesian coordinate system (sa isang orthonormal na batayan) ay katumbas ng determinant ng matrix na binubuo ng mga vectors at, kinuha gamit ang isang minus sign:

Sa partikular,

Kung ang anumang dalawang vector ay magkatulad, kung gayon sa anumang ikatlong vector ay bumubuo sila ng isang halo-halong produkto na katumbas ng zero.

Kung ang tatlong vectors ay linearly dependent (iyon ay, coplanar, nakahiga sa parehong eroplano), kung gayon ang kanilang pinaghalong produkto ay katumbas ng zero.

Geometric sense - Pinaghalong produkto ni ganap na halaga katumbas ng dami ng parallelepiped (tingnan ang figure) na nabuo ng mga vectors at; ang tanda ay depende sa kung ang triple ng mga vector na ito ay kanang kamay o kaliwang kamay.

Coplanarity ng mga vectors.

Tatlong vectors (o isang mas malaking bilang) ay tinatawag na coplanar kung sila, na nabawasan sa isang karaniwang pinagmulan, ay nasa parehong eroplano.

Mga katangian ng coplanarity

Kung ang hindi bababa sa isa sa tatlong mga vector ay zero, kung gayon ang tatlong mga vector ay itinuturing din na coplanar.

Ang isang triple ng mga vector na naglalaman ng isang pares ng mga collinear na vector ay coplanar.

Pinaghalong produkto ng coplanar vectors. Ito ay isang criterion para sa coplanarity ng tatlong vectors.

Ang mga coplanar vectors ay linearly dependent. Isa rin itong criterion para sa coplanarity.

Sa 3-dimensional na espasyo, 3 non-coplanar vector ang bumubuo ng batayan

Linearly dependent at linearly independent vectors.

Linearly dependent at independent vector system.Kahulugan. Ang sistema ng vector ay tinatawag nakadepende sa linear, kung mayroong kahit isang di-trivial na linear na kumbinasyon ng mga vector na ito na katumbas ng zero vector. Kung hindi, i.e. kung ang isang maliit na linear na kumbinasyon lamang ng mga ibinigay na vector ay katumbas ng null vector, ang mga vector ay tinatawag linearly independent.

Theorem (linear dependence criterion). Upang maging linearly dependent ang isang sistema ng mga vector sa isang linear space, kinakailangan at sapat na kahit isa sa mga vector na ito ay linear na kumbinasyon ng iba.

1) Kung sa mga vector ay mayroong hindi bababa sa isang zero vector, kung gayon ang buong sistema ng mga vector ay linearly na umaasa.

Sa katunayan, kung, halimbawa, , kung gayon, sa pag-aakalang , mayroon tayong hindi mahalaga na linear na kumbinasyon .▲

2) Kung kabilang sa mga vector ang ilang mga form linearly umaasa na sistema, kung gayon ang buong sistema ay linearly dependent.

Sa katunayan, hayaan ang mga vectors , , maging linearly dependent. Nangangahulugan ito na mayroong isang non-trivial linear na kumbinasyon na katumbas ng zero vector. But then, assuming , nakakakuha din kami ng nontrivial linear na kumbinasyon na katumbas ng zero vector.

2. Batayan at sukat. Kahulugan. Sistema ng mga linearly independent vectors vector space ay tinatawag na batayan ng puwang na ito kung ang anumang vector mula sa ay maaaring katawanin bilang isang linear na kumbinasyon ng mga vector ng system na ito, i.e. para sa bawat vector mayroong mga tunay na numero na ang pagkakapantay-pantay ay tinatawag pagkabulok ng vector ayon sa batayan, at ang mga numero ay tinatawag mga coordinate ng vector na nauugnay sa batayan(o sa batayan) .

Theorem (sa natatangi ng pagpapalawak na may paggalang sa batayan). Ang bawat vector sa espasyo ay maaaring palawakin sa isang batayan sa tanging paraan, i.e. mga coordinate ng bawat vector sa batayan ay tinutukoy nang hindi malabo.

Sa artikulong ito tatalakayin natin ang:

• ano ang mga collinear vectors;
• ano ang mga kondisyon para sa collinearity ng mga vectors;
• anong mga katangian ng collinear vectors ang umiiral;
• ano ang linear dependence ng collinear vectors.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Depinisyon 1

Ang mga collinear vector ay mga vector na kahanay sa isang linya o nakahiga sa isang linya.

Halimbawa 1

Mga kondisyon para sa collinearity ng mga vectors

Ang dalawang vector ay collinear kung ang alinman sa mga sumusunod na kundisyon ay totoo:

• kondisyon 1 . Ang mga vectors a at b ay collinear kung mayroong numerong λ na ang a = λ b;
• kondisyon 2 . Ang mga vectors a at b ay collinear kapag pantay na pagtrato mga coordinate:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• kondisyon 3 . Ang mga vector a at b ay collinear sa kondisyon na ang cross product at ang zero vector ay pantay:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Tandaan 1

Kondisyon 2 hindi naaangkop kung ang isa sa mga vector coordinates ay zero.

Tandaan 2

Kondisyon 3 nalalapat lamang sa mga vector na tinukoy sa espasyo.

Mga halimbawa ng mga problema upang pag-aralan ang collinearity ng mga vectors

Halimbawa 1

Sinusuri namin ang mga vectors a = (1; 3) at b = (2; 1) para sa collinearity.

Paano malutas?

Sa kasong ito, kinakailangang gamitin ang 2nd collinearity condition. Para sa mga ibinigay na vector, ganito ang hitsura:

Mali ang pagkakapantay-pantay. Mula dito maaari nating tapusin na ang mga vectors a at b ay hindi collinear.

Sagot : isang | | b

Halimbawa 2

Anong value m ng vector a = (1; 2) at b = (- 1; m) ang kailangan para maging collinear ang mga vectors?

Paano malutas?

Gamit ang pangalawang kondisyon ng collinearity, ang mga vector ay magiging collinear kung ang kanilang mga coordinate ay proporsyonal:

Ipinapakita nito na ang m = - 2.

Sagot: m = - 2 .

Pamantayan para sa linear dependence at linear independence ng mga vector system

Teorama

Ang isang sistema ng mga vector sa isang vector space ay linearly dependent lamang kung ang isa sa mga vectors ng system ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng natitirang mga vectors ng system na ito.

Patunay

Hayaan ang sistema e 1 , e 2 , . . . , e n ay linearly dependent. Sumulat tayo ng linear na kumbinasyon ng sistemang ito na katumbas ng zero vector:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

kung saan hindi bababa sa isa sa mga coefficient ng kumbinasyon ay hindi katumbas ng zero.

Hayaan ang isang k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

Hinahati namin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa isang non-zero coefficient:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Tukuyin natin:

A k - 1 a m , kung saan m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Sa kasong ito:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

o e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Ito ay sumusunod na ang isa sa mga vector ng system ay ipinahayag sa pamamagitan ng lahat ng iba pang mga vector ng system. Alin ang kailangang patunayan (atbp.).

Kasapatan

Hayaang ang isa sa mga vector ay linear na ipahayag sa pamamagitan ng lahat ng iba pang mga vector ng system:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Inilipat namin ang vector e k sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Dahil ang koepisyent ng vector e k ay katumbas ng - 1 ≠ 0, nakakakuha tayo ng di-trivial na representasyon ng zero sa pamamagitan ng isang sistema ng mga vectors e 1, e 2, . . . , e n , at ito naman, ay nangangahulugan na ang sistemang ito ng mga vector ay linearly na umaasa. Alin ang kailangang patunayan (atbp.).

Bunga:

• Ang isang sistema ng mga vector ay linearly na independyente kapag wala sa mga vector nito ang maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng lahat ng iba pang mga vector ng system.
• Ang isang sistema ng mga vector na naglalaman ng zero vector o dalawang magkaparehong vector ay linearly dependent.

Mga katangian ng linearly dependent vectors

1. Para sa 2- at 3-dimensional na mga vector, ang sumusunod na kundisyon ay natutugunan: dalawang linearly dependent na vector ay collinear. Dalawang collinear vectors ay linearly dependent.
2. Para sa mga 3-dimensional na vector, ang sumusunod na kundisyon ay nasiyahan: tatlong linearly dependent na vector ay coplanar. (3 coplanar vectors ay linearly dependent).
3. Para sa n-dimensional vectors, ang sumusunod na kundisyon ay nasiyahan: n + 1 vectors ay palaging linearly dependent.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema na kinasasangkutan ng linear dependence o linear independence ng mga vectors

Halimbawa 3

Suriin natin ang mga vectors a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 para sa linear na kalayaan.

Solusyon. Ang mga vector ay linearly dependent dahil ang dimensyon ng mga vector ay mas mababa sa bilang ng mga vector.

Halimbawa 4

Suriin natin ang mga vectors a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 para sa linear na kalayaan.

Solusyon. Nahanap namin ang mga halaga ng mga coefficient kung saan ang linear na kumbinasyon ay katumbas ng zero vector:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Isinulat namin ang vector equation sa linear form:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Nire-solve namin ang system na ito gamit ang Gauss method:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Mula sa ika-2 linya ay ibawas namin ang ika-1, mula sa ika-3 - ang ika-1:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Mula sa unang linya ay ibawas namin ang ika-2, hanggang sa ika-3 idinagdag namin ang ika-2:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Mula sa solusyon ay sumusunod na ang sistema ay may maraming mga solusyon. Nangangahulugan ito na mayroong isang non-zero na kumbinasyon ng mga halaga ng mga naturang numero x 1, x 2, x 3 kung saan ang linear na kumbinasyon ng a, b, c ay katumbas ng zero vector. Samakatuwid, ang mga vectors a, b, c ay nakadepende sa linear.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Kahulugan. Linear na kumbinasyon ng mga vector a 1 , ..., a n na may coefficients x 1 , ..., x n ay tinatawag na vector

x 1 a 1 + ... + x n a n .

walang kuwenta, kung ang lahat ng coefficients x 1 , ..., x n ay katumbas ng zero.

Kahulugan. Ang linear na kumbinasyon x 1 a 1 + ... + x n a n ay tinatawag hindi mahalaga, kung hindi bababa sa isa sa mga coefficient x 1, ..., x n ay hindi katumbas ng zero.

linearly independent, kung walang di-trivial na kumbinasyon ng mga vector na ito na katumbas ng zero vector.

Ibig sabihin, ang mga vectors a 1, ..., a n ay linearly independent kung x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 kung at kung x 1 = 0, ..., x n = 0.

Kahulugan. Ang mga vectors a 1, ..., a n ay tinatawag nakadepende sa linear, kung mayroong isang non-trivial na kumbinasyon ng mga vector na ito na katumbas ng zero vector.

Mga katangian ng linearly dependent vectors:

Para sa 2 at 3 dimensional na vector.

Dalawang linearly dependent vectors ay collinear. (Ang mga collinear vectors ay linearly dependent.)

Para sa mga 3-dimensional na vector.

Tatlong linearly dependent vectors ay coplanar. (Tatlong coplanar vector ang linearly dependent.)

• Para sa mga n-dimensional na vector.

  Ang mga n + 1 na vector ay palaging nakadepende sa linya.

Mga halimbawa ng mga problema sa linear dependence at linear independence ng mga vectors:

Halimbawa 1. Suriin kung ang mga vectors a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) ay linearly independent .

Solusyon:

Ang mga vector ay magiging linearly dependent, dahil ang dimensyon ng mga vector ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga vector.

Halimbawa 2. Suriin kung ang mga vectors a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) ay linearly independent.

Solusyon:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

ibawas ang pangalawa sa unang linya; magdagdag ng pangalawang linya sa ikatlong linya:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Ang solusyon na ito ay nagpapakita na ang sistema ay may maraming mga solusyon, iyon ay, mayroong isang non-zero na kumbinasyon ng mga halaga ng mga numero x 1, x 2, x 3 upang ang linear na kumbinasyon ng mga vectors a, b, c ay katumbas ng ang zero vector, halimbawa:

A + b + c = 0

at nangangahulugan ito na ang mga vectors a, b, c ay linearly dependent.

Sagot: ang mga vectors a, b, c ay linearly dependent.

Halimbawa 3. Suriin kung ang mga vectors a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) ay linearly independent.

Solusyon: Hanapin natin ang mga halaga ng mga coefficient kung saan ang linear na kumbinasyon ng mga vector na ito ay magiging katumbas ng zero vector.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Ang vector equation na ito ay maaaring isulat bilang isang sistema mga linear na equation

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2x 3 = 0

Lutasin natin ang sistemang ito gamit ang Gauss method

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

ibawas ang una sa pangalawang linya; ibawas ang una sa ikatlong linya:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

ibawas ang pangalawa sa unang linya; magdagdag ng pangalawa sa ikatlong linya.