Ang pagbabawas ng isang quadratic form sa canonical form gamit ang Lagrange method ay isang halimbawa. Bilinear at quadratic forms. Pagbabawas ng isang parisukat na anyo sa canonical na anyo. Paraan ng Lagrange

Kahulugan 10.4.Canonical view parisukat na anyo(10.1) ay tinatawag susunod na view: . (10.4)

Ipakita natin na sa batayan ng eigenvectors, ang parisukat na anyo (10.1) ay nasa isang kanonikal na anyo. Hayaan

Na-normalize ang mga eigenvector na tumutugma sa mga eigenvalues λ 1 , λ 2 , λ 3 matrices (10.3) sa isang orthonormal na batayan. Pagkatapos ang transition matrix mula sa lumang batayan patungo sa bago ang magiging matrix

. Sa bagong batayan ang matrix A ay kukuha ng diagonal na anyo (9.7) (sa pamamagitan ng pag-aari ng eigenvectors). Kaya, ang pagbabago ng mga coordinate gamit ang mga formula:

,

sa bagong batayan ay nakuha natin ang canonical form ng isang quadratic form na may coefficients na katumbas ng eigenvalues λ 1, λ 2, λ 3:

Puna 1. Mula sa isang geometric na punto ng view, ang itinuturing na pagbabagong-anyo ng coordinate ay isang pag-ikot ng sistema ng coordinate, na pinagsasama ang mga lumang coordinate axes sa mga bago.

Puna 2. Kung ang anumang eigenvalues ​​ng matrix (10.3) ay nag-tutugma, maaari tayong magdagdag ng unit vector orthogonal sa bawat isa sa mga ito sa katumbas na orthonormal eigenvectors, at sa gayon ay bumuo ng isang batayan kung saan ang quadratic form ay kumukuha ng canonical form.

Humantong tayo sa kanonikal na anyo parisukat na anyo

x² + 5 y² + z² + 2 xy + 6xz + 2yz.

Ang matrix nito ay may anyo Sa halimbawang tinalakay sa Lecture 9, ang mga eigenvalues ​​at orthonormal eigenvectors ng matrix na ito ay matatagpuan:

Gumawa tayo ng isang transition matrix sa batayan mula sa mga vector na ito:

(ang pagkakasunud-sunod ng mga vector ay binago upang sila ay bumuo ng isang kanang kamay na triple). Ibahin natin ang mga coordinate gamit ang mga formula:

Kaya, ang quadratic form ay nabawasan sa canonical form na may mga coefficient na katumbas ng eigenvalues ​​ng matrix ng quadratic form.

Lektura 11.

Second order curves. Ellipse, hyperbola at parabola, ang kanilang mga katangian at canonical equation. Pagbabawas ng second order equation sa canonical form.

Kahulugan 11.1.Second order curves sa isang eroplano ay tinatawag na mga linya ng intersection ng isang pabilog na kono na may mga eroplano na hindi dumadaan sa tuktok nito.

Kung ang naturang eroplano ay bumalandra sa lahat ng mga generatrice ng isang lukab ng kono, pagkatapos ay sa seksyon na ito ay lumabas. ellipse, sa intersection ng generatrices ng parehong cavities - hyperbola, at kung ang cutting plane ay parallel sa anumang generator, kung gayon ang seksyon ng cone ay parabola.

Magkomento. Ang lahat ng mga second-order na curve ay tinukoy ng mga second-degree na equation sa dalawang variable.

Ellipse.

Kahulugan 11.2.Ellipse ay ang hanay ng mga punto sa eroplano kung saan ang kabuuan ng mga distansya sa dalawang nakapirming puntos ay F 1 at F mga trick, ay isang pare-parehong halaga.

Magkomento. Kapag nagtutugma ang mga puntos F 1 at F 2 ang ellipse ay nagiging bilog.

Kunin natin ang equation ng ellipse sa pamamagitan ng pagpili ng Cartesian system

y M(x,y) mga coordinate upang ang axis Oh kasabay ng isang tuwid na linya F 1 F 2, simula

r 1 r 2 coordinate – na may gitna ng segment F 1 F 2. Hayaan ang haba nito

ang segment ay katumbas ng 2 Sa, pagkatapos ay sa napiling coordinate system

F 1 O F 2 x F 1 (-c, 0), F 2 (c, 0). Hayaan ang punto M(x, y) ay namamalagi sa ellipse, at

ang kabuuan ng mga distansya mula dito hanggang F 1 at F 2 ay katumbas ng 2 A.

Pagkatapos r 1 + r 2 = 2a, Pero ,

samakatuwid, ipinakilala ang notasyon b² = a²- c² at pagkatapos magsagawa ng mga simpleng pagbabagong algebraic, nakuha namin canonical ellipse equation: (11.1)

Kahulugan 11.3.Eccentricity ng isang ellipse ay tinatawag na magnitude e=s/a (11.2)

Kahulugan 11.4.Headmistress D i ellipse na naaayon sa pokus F i F i may kaugnayan sa axis Oh patayo sa axis Oh sa malayo a/e mula sa pinanggalingan.

Magkomento. Sa ibang pagpipilian ng coordinate system, ang ellipse ay maaaring tukuyin hindi sa pamamagitan ng canonical equation (11.1), ngunit sa pamamagitan ng pangalawang-degree na equation ng ibang uri.

Mga katangian ng Ellipse:

1) Ang isang ellipse ay may dalawang magkaparehong perpendicular axes ng symmetry (ang pangunahing axes ng ellipse) at isang center ng symmetry (ang gitna ng ellipse). Kung ang isang ellipse ay ibinigay ng isang canonical equation, kung gayon ang mga pangunahing axes nito ay ang mga coordinate axes, at ang sentro nito ay ang pinagmulan. Dahil ang mga haba ng mga segment na nabuo sa pamamagitan ng intersection ng ellipse na may mga pangunahing axes ay katumbas ng 2 A at 2 b (2a>2b), kung gayon ang pangunahing axis na dumadaan sa foci ay tinatawag na major axis ng ellipse, at ang pangalawang pangunahing axis ay tinatawag na minor axis.

2) Ang buong ellipse ay nakapaloob sa loob ng parihaba

3) Ellipse eccentricity e< 1.

talaga,

4) Ang mga directrix ng ellipse ay matatagpuan sa labas ng ellipse (dahil ang distansya mula sa gitna ng ellipse hanggang sa directrix ay a/e, A e<1, следовательно, a/e>a, at ang buong ellipse ay nasa isang parihaba)

5) Distansya ratio r i mula sa ellipse point hanggang focus F i sa malayo d i mula sa puntong ito hanggang sa directrix na naaayon sa focus ay katumbas ng eccentricity ng ellipse.

Patunay.

Mga distansya mula sa punto M(x, y) hanggang sa foci ng ellipse ay maaaring kinakatawan bilang mga sumusunod:

Gawin natin ang mga directrix equation:

(D 1), (D 2). Pagkatapos Mula dito r i / d i = e, na kung ano ang kailangang patunayan.

Hyperbola.

Kahulugan 11.5.Hyperbole ay ang hanay ng mga punto sa eroplano kung saan ang modulus ng pagkakaiba sa mga distansya sa dalawang nakapirming puntos ay F 1 at F 2 ng eroplanong ito, tinawag mga trick, ay isang pare-parehong halaga.

Kunin natin ang canonical equation ng hyperbola sa pamamagitan ng pagkakatulad sa derivation ng equation ng isang ellipse, gamit ang parehong notasyon.

|r 1 - r 2 | = 2a, mula sa kung saan Kung ating tinutukoy b² = c² - a², mula dito maaari kang makakuha

- canonical hyperbola equation. (11.3)

Kahulugan 11.6.Eccentricity ang hyperbola ay tinatawag na dami e = c/a.

Kahulugan 11.7.Headmistress D i hyperbola na naaayon sa pokus F i, ay tinatawag na isang tuwid na linya na matatagpuan sa parehong kalahating eroplano na may F i may kaugnayan sa axis Oh patayo sa axis Oh sa malayo a/e mula sa pinanggalingan.

Mga katangian ng hyperbola:

1) Ang hyperbola ay may dalawang axes ng symmetry (ang pangunahing axes ng hyperbola) at isang center ng symmetry (ang sentro ng hyperbola). Sa kasong ito, ang isa sa mga axes na ito ay sumasalubong sa hyperbola sa dalawang punto, na tinatawag na vertices ng hyperbola. Ito ay tinatawag na tunay na axis ng hyperbola (axis Oh para sa canonical choice ng coordinate system). Ang ibang axis ay wala karaniwang mga punto na may hyperbola at tinatawag itong imaginary axis (sa canonical coordinates - ang axis Oh). Sa magkabilang gilid nito ay ang kanan at kaliwang sanga ng hyperbola. Ang foci ng isang hyperbola ay matatagpuan sa totoong axis nito.

2) Ang mga sanga ng hyperbola ay may dalawang asymptotes, na tinutukoy ng mga equation

3) Kasama ng hyperbola (11.3), maaari nating isaalang-alang ang tinatawag na conjugate hyperbola, na tinukoy ng canonical equation

kung saan ang tunay at haka-haka na axis ay ipinagpapalit habang pinapanatili ang parehong mga asymptotes.

4) Eccentricity ng hyperbola e> 1.

5) Distansya ratio r i mula hyperbola point hanggang focus F i sa malayo d i mula sa puntong ito hanggang sa directrix na naaayon sa focus ay katumbas ng eccentricity ng hyperbola.

Ang patunay ay maaaring isagawa sa parehong paraan tulad ng para sa ellipse.

Parabola.

Kahulugan 11.8.Parabola ay ang hanay ng mga punto sa eroplano kung saan ang distansya sa ilang nakapirming punto ay F ang eroplanong ito ay katumbas ng distansya sa ilang nakapirming tuwid na linya. Dot F tinawag focus parabola, at ang tuwid na linya ay nito punong guro.

Upang makuha ang parabola equation, pipiliin namin ang Cartesian

coordinate system upang ang pinagmulan nito ay ang gitna

D M(x,y) patayo FD, inalis sa pagtutok sa direktiba

r su, a coordinate axes ay matatagpuan parallel at

patayo sa direktor. Hayaan ang haba ng segment FD

D O F x ay katumbas ng r. Pagkatapos ay mula sa pagkakapantay-pantay r = d sinusundan nito iyon

kasi

Algebraic transformations ang equation na ito ay maaaring bawasan sa anyo: y² = 2 px, (11.4)

tinawag canonical parabola equation. Magnitude r tinawag parameter mga parabola.

Mga katangian ng isang parabola:

1) Ang isang parabola ay may axis ng symmetry (parabola axis). Ang punto kung saan ang parabola ay nagsalubong sa axis ay tinatawag na vertex ng parabola. Kung ang isang parabola ay ibinigay ng isang canonical equation, kung gayon ang axis nito ay ang axis oh at ang vertex ay ang pinagmulan ng mga coordinate.

2) Ang buong parabola ay matatagpuan sa kanang kalahating eroplano ng eroplano Ooh.

Magkomento. Gamit ang mga katangian ng mga directrix ng isang ellipse at isang hyperbola at ang kahulugan ng isang parabola, maaari nating patunayan ang sumusunod na pahayag:

Ang hanay ng mga punto sa eroplano kung saan ang kaugnayan e ang distansya sa ilang nakapirming punto sa distansya sa ilang tuwid na linya ay isang pare-parehong halaga, ito ay isang ellipse (na may e<1), гиперболу (при e>1) o parabola (na may e=1).

Kaugnay na impormasyon.

Ibinigay ang isang parisukat na anyo (2) A(x, x) = , saan x = (x 1 , x 2 , …, x n). Isaalang-alang ang isang parisukat na anyo sa espasyo R 3, iyon ay x = (x 1 , x 2 , x 3), A(x, x) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(ginamit namin ang kondisyon ng simetrya ng hugis, ibig sabihin A 12 = A 21 , A 13 = A 31 , A 23 = A 32). Sumulat tayo ng isang matrix ng quadratic form A sa batayan ( e}, A(e) =
. Kapag nagbago ang batayan, nagbabago ang matrix ng quadratic form ayon sa formula A(f) = C t A(e)C, Saan C– transition matrix mula sa batayan ( e) sa batayan ( f), A C t– transposed matrix C.

Kahulugan11.12. Ang anyo ng isang parisukat na anyo na may dayagonal na matrix ay tinatawag kanonikal.

Kaya hayaan A(f) =
, Pagkatapos A"(x, x) =
+
+
, Saan x" 1 , x" 2 , x" 3 – mga coordinate ng vector x sa isang bagong batayan ( f}.

Kahulugan11.13. Papasukin n V napili ang naturang batayan f = {f 1 , f 2 , …, f n), kung saan ang parisukat na anyo ay may anyo

A(x, x) =
+
+ … +
, (3)

saan y 1 , y 2 , …, y n- mga coordinate ng vector x sa batayan ( f). Ang ekspresyong (3) ay tinatawag canonical view parisukat na anyo. Coefficients  1, λ 2, …, λ n ay tinatawag kanonikal; tinatawag ang isang batayan kung saan ang isang parisukat na anyo ay may kanonikal na anyo kanonikal na batayan.

Magkomento. Kung ang parisukat na anyo A(x, x) ay binabawasan sa canonical form, kung gayon, sa pangkalahatan, hindi lahat ng coefficient  i ay iba sa zero. Ang ranggo ng isang parisukat na anyo ay katumbas ng ranggo ng matrix nito sa anumang batayan.

Hayaan ang ranggo ng parisukat na anyo A(x, x) ay pantay r, Saan r ≤ n. Ang isang matrix ng quadratic form sa canonical form ay may diagonal na anyo. A(f) =
, dahil pantay ang ranggo nito r, pagkatapos ay kabilang sa mga coefficient  i dapat meron r, hindi katumbas ng zero. Kasunod nito na ang bilang ng mga nonzero canonical coefficient ay katumbas ng ranggo ng quadratic form.

Magkomento. Ang isang linear na pagbabago ng mga coordinate ay isang paglipat mula sa mga variable x 1 , x 2 , …, x n sa mga variable y 1 , y 2 , …, y n, kung saan ang mga lumang variable ay ipinahayag sa pamamagitan ng mga bagong variable na may ilang mga numerical coefficient.

x 1 = α 11 y 1 + α 12 y 2 + … + α 1 n y n ,

x 2 = α 2 1 y 1 + α 2 2 y 2 + … + α 2 n y n ,

………………………………

x 1 = α n 1 y 1 + α n 2 y 2 + … + α nn y n .

Dahil ang bawat pagbabagong batayan ay tumutugma sa isang non-degenerate linear coordinate transformation, ang tanong ng pagbabawas ng isang quadratic form sa isang canonical form ay malulutas sa pamamagitan ng pagpili ng kaukulang non-degenerate coordinate transformation.

Teorama 11.2 (pangunahing teorama tungkol sa mga parisukat na anyo). Anumang parisukat na anyo A(x, x), tinukoy sa n-dimensional na espasyo ng vector V, ang paggamit ng non-degenerate linear coordinate transformation ay maaaring gawing kanonikal na anyo.

Patunay. (Lagrange method) Ang ideya ng paraang ito ay sunud-sunod na umakma sa quadratic trinomial para sa bawat variable sa isang kumpletong parisukat. Ipagpalagay natin iyon A(x, x) ≠ 0 at nasa batayan e = {e 1 , e 2 , …, e n) ay may anyo (2):

A(x, x) =
.

Kung A(x, x) = 0, pagkatapos ( a ij) = 0, ibig sabihin, canonical na ang form. Formula A(x, x) ay maaaring mabago upang ang koepisyent a 11 ≠ 0. Kung a 11 = 0, kung gayon ang koepisyent ng parisukat ng isa pang variable ay naiiba sa zero, pagkatapos ay sa pamamagitan ng muling pagbilang ng mga variable posible upang matiyak na a 11 ≠ 0. Ang muling pag-numero ng mga variable ay isang non-degenerate linear transformation. Kung ang lahat ng mga coefficient ng mga squared variable ay katumbas ng zero, kung gayon ang mga kinakailangang pagbabago ay nakuha tulad ng sumusunod. Hayaan, halimbawa, a 12 ≠ 0 (A(x, x) ≠ 0, kaya kahit isang koepisyent a ij≠ 0). Isaalang-alang ang pagbabagong-anyo

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x i = y i, sa i = 3, 4, …, n.

Ang pagbabagong ito ay hindi degenerate, dahil ang determinant ng matrix nito ay non-zero
= = 2 ≠ 0.

Tapos 2 a 12 x 1 x 2 = 2 a 12 (y 1 – y 2)(y 1 + y 2) = 2
– 2
, ibig sabihin, sa anyo A(x, x) ang mga parisukat ng dalawang variable ay lilitaw nang sabay-sabay.

A(x, x) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

I-convert natin ang inilaang halaga sa form:

A(x, x) = a 11
, (5)

habang ang mga coefficients a ij baguhin sa . Isaalang-alang ang non-degenerate transformation

y 1 = x 1 + + … + ,

y 2 = x 2 ,

y n = x n .

Pagkatapos makuha namin

A(x, x) =
. (6).

Kung ang parisukat na anyo
= 0, pagkatapos ay ang tanong ng paghahagis A(x, x) sa canonical form ay nalutas.

Kung ang form na ito ay hindi katumbas ng zero, pagkatapos ay ulitin namin ang pangangatwiran, isinasaalang-alang ang mga pagbabagong coordinate y 2 , …, y n at nang hindi binabago ang coordinate y 1. Ito ay malinaw na ang mga pagbabagong ito ay hindi masisira. Sa isang may hangganang bilang ng mga hakbang, ang parisukat na anyo A(x, x) ay mababawasan sa canonical form (3).

Magkomento 1. Ang kinakailangang pagbabago ng orihinal na mga coordinate x 1 , x 2 , …, x n ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga di-degenerate na pagbabagong makikita sa proseso ng pangangatwiran: [ x] = A[y], [y] = B[z], [z] = C[t], Pagkatapos [ x] = AB[z] = ABC[t], iyon ay [ x] = M[t], Saan M = ABC.

Magkomento 2. Hayaan A(x, x) = A(x, x) =
+
+ …+
, kung saan  i ≠ 0, i = 1, 2, …, r, at  1 > 0, λ 2 > 0, …, λ q > 0, λ q +1 < 0, …, λ r < 0.

Isaalang-alang ang non-degenerate transformation

y 1 = z 1 , y 2 = z 2 , …, y q = z q , y q +1 =
z q +1 , …, y r = z r , y r +1 = z r +1 , …, y n = z n. Bilang resulta A(x, x) ay kukuha ng form: A(x, x) = + + … + – – … – na tinatawag na normal na anyo ng parisukat na anyo.

Halimbawa11.1. Bawasan ang quadratic form sa canonical form A(x, x) = 2x 1 x 2 – 6x 2 x 3 + 2x 3 x 1 .

Solusyon. Since a 11 = 0, gamitin ang pagbabago

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x 3 = y 3 .

Ang pagbabagong ito ay may matrix A =
, iyon ay [ x] = A[y] nakukuha namin A(x, x) = 2(y 1 – y 2)(y 1 + y 2) – 6(y 1 + y 2)y 3 + 2y 3 (y 1 – y 2) =

2– 2– 6y 1 y 3 – 6y 2 y 3 + 2y 3 y 1 – 2y 3 y 2 = 2– 2– 4y 1 y 3 – 8y 3 y 2 .

Dahil ang coefficient sa ay hindi katumbas ng zero, maaari naming piliin ang parisukat ng isang hindi kilala, hayaan ito y 1. Piliin natin ang lahat ng terminong naglalaman y 1 .

A(x, x) = 2(– 2y 1 y 3) – 2– 8y 3 y 2 = 2(– 2y 1 y 3 + ) – 2– 2– 8y 3 y 2 = 2(y 1 – y 3) 2 – 2– 2– 8y 3 y 2 .

Magsagawa tayo ng isang pagbabagong-anyo na ang matrix ay katumbas ng B.

z 1 = y 1 – y 3 ,  y 1 = z 1 + z 3 ,

z 2 = y 2 ,  y 2 = z 2 ,

z 3 = y 3 ;  y 3 = z 3 .

B =
, [y] = B[z].

Nakukuha namin A(x, x) = 2– 2–– 8z 2 z 3. Piliin natin ang mga terminong naglalaman z 2. meron tayo A(x, x) = 2– 2(+ 4z 2 z 3) – 2= 2– 2(+ 4z 2 z 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(z 2 + 2z 3) 2 + 6.

Nagsasagawa ng pagbabagong-anyo gamit ang isang matrix C:

t 1 = z 1 ,  z 1 = t 1 ,

t 2 = z 2 + 2z 3 ,  z 2 = t 2 – 2t 3 ,

t 3 = z 3 ;  z 3 = t 3 .

C =
, [z] = C[t].

Natanggap: A(x, x) = 2– 2+ 6canonical form ng isang quadratic form, na may [ x] = A[y], [y] = B[z], [z] = C[t], mula rito [ x] = ABC[t];

ABC =


=
. Ang mga formula ng conversion ay ang mga sumusunod

x 1 = t 1 – t 2 + t 3 ,

x 2 = t 1 + t 2 – t 3 ,

Pagbawas ng mga parisukat na anyo

Isaalang-alang natin ang pinakasimple at kadalasang ginagamit sa pagsasanay na paraan ng pagbabawas ng isang parisukat na anyo sa canonical na anyo, na tinatawag na Paraan ng Lagrange. Ito ay batay sa paghihiwalay ng isang kumpletong parisukat sa parisukat na anyo.

Teorama 10.1(Lagrange's theorem) Anumang parisukat na anyo (10.1):

ang paggamit ng hindi espesyal na linear na pagbabagong-anyo (10.4) ay maaaring bawasan sa canonical form (10.6):

,

□ Papatunayan natin ang theorem sa isang nakabubuo na paraan gamit ang paraan ni Lagrange sa pagkuha ng mga perpektong parisukat. Ang gawain ay maghanap ng nonsingular matrix na ang linear transformation (10.4) ay nagreresulta sa isang parisukat na anyo (10.6) ng canonical form. Ang matrix na ito ay unti-unting makukuha bilang produkto ng isang may hangganang bilang ng mga matrice ng isang espesyal na uri.

Point 1 (paghahanda).

1.1. Piliin natin sa mga variable ang isa na kasama sa quadratic form na squared at sa unang kapangyarihan nang sabay (tawagin natin ito nangungunang variable). Pumunta tayo sa point 2.

1.2. Kung walang mga nangungunang variable sa quadratic form (para sa lahat : ), pagkatapos ay pipili kami ng isang pares ng mga variable na ang produkto ay kasama sa form na may non-zero coefficient at magpatuloy sa hakbang 3.

1.3. Kung sa isang parisukat na anyo ay walang mga produkto ng magkasalungat na mga variable, ang parisukat na anyo na ito ay kinakatawan na sa canonical form (10.6). Kumpleto na ang patunay ng theorem.

Point 2 (pagpili ng kumpletong parisukat).

2.1. Gamit ang nangungunang variable, pumili kami ng isang kumpletong parisukat. Nang walang pagkawala ng pangkalahatan, ipagpalagay na ang nangungunang variable ay . Pagpapangkat ng mga terminong naglalaman ng , nakukuha namin

.

Pagpili ng perpektong parisukat ayon sa variable in , nakukuha namin

.

Kaya, bilang isang resulta ng paghihiwalay ng kumpletong parisukat na may isang variable, nakuha namin ang kabuuan ng parisukat linear na hugis

na kinabibilangan ng nangungunang baryabol, at parisukat na anyo mula sa mga variable , kung saan hindi na kasama ang nangungunang variable. Gumawa tayo ng pagbabago ng mga variable (ipakilala ang mga bagong variable)

nakakakuha kami ng matrix

() non-singular linear transformation, bilang resulta kung saan ang quadratic form (10.1) ay kumukuha ng sumusunod na anyo

Na may parisukat na anyo Gawin natin ang katulad ng sa punto 1.

2.1. Kung ang nangungunang variable ay ang variable , magagawa mo ito sa dalawang paraan: pumili ng kumpletong parisukat para sa variable na ito, o gawin pagpapalit ng pangalan (muling pagnunumero) mga variable:

na may non-singular transformation matrix:

.

Point 3 (paglikha ng nangungunang variable). Pinapalitan namin ang napiling pares ng mga variable ng kabuuan at pagkakaiba ng dalawang bagong variable, at pinapalitan namin ang natitirang mga lumang variable ng mga kaukulang bagong variable. Kung, halimbawa, sa talata 1 ang termino ay na-highlight

pagkatapos ay ang kaukulang pagbabago ng mga variable ay may anyo

at sa parisukat na anyo (10.1) ang nangungunang baryabol ay makukuha.

Halimbawa, sa kaso ng variable na kapalit:

ang matrix ng non-singular linear transformation na ito ay may anyo

.

Bilang resulta ng algorithm sa itaas (sequential application ng mga puntos 1, 2, 3), ang quadratic form (10.1) ay mababawasan sa canonical form (10.6).

Tandaan na bilang resulta ng mga pagbabagong isinagawa sa parisukat na anyo (pagpili ng isang kumpletong parisukat, pagpapalit ng pangalan at paglikha ng isang nangungunang variable), gumamit kami ng mga elementarya na hindi singular na matrice ng tatlong uri (sila ay mga matrice ng paglipat mula sa batayan hanggang sa batayan). Ang kinakailangang matrix ng non-singular linear transformation (10.4), kung saan ang form (10.1) ay mayroong canonical form (10.6), ay nakukuha sa pamamagitan ng pag-multiply ng finite number ng elementary non-singular matrice ng tatlong uri. ■

Halimbawa 10.2. Magbigay ng parisukat na anyo

sa canonical form sa pamamagitan ng Lagrange method. Ipahiwatig ang kaukulang non-singular linear transformation. Magsagawa ng check.

Solusyon. Piliin natin ang nangungunang variable (coefficient). Pagpapangkat ng mga terminong naglalaman ng , at pagpili ng kumpletong parisukat mula dito, makuha namin

kung saan ipinahiwatig

Gumawa tayo ng pagbabago ng mga variable (ipakilala ang mga bagong variable)

Pagpapahayag ng mga lumang variable sa mga tuntunin ng mga bago:

nakakakuha kami ng matrix

220400 Algebra at geometry Tolstikov A.V.

Mga Lektura 16. Bilinear at quadratic forms.

Plano

1. Bilinear form at mga katangian nito.

2. Quadratic na hugis. Matrix ng quadratic form. Pagbabago ng coordinate.

3. Pagbabawas ng quadratic form sa canonical form. Paraan ng Lagrange.

4. Batas ng pagkawalang-galaw ng mga parisukat na anyo.

5. Pagbabawas ng quadratic form sa canonical form gamit ang eigenvalue method.

6. Silverst criterion para sa positive definiteness ng isang quadratic form.

1. Kurso ng analytical geometry at linear algebra. M.: Nauka, 1984.

2. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Mga elemento ng linear algebra at analytical geometry. 1997.

3. Voevodin V.V. Linear algebra.. M.: Nauka 1980.

4. Koleksyon ng mga problema para sa mga kolehiyo. Linear Algebra at Fundamentals pagsusuri sa matematika. Ed. Efimova A.V., Demidovich B.P.. M.: Nauka, 1981.

5. Butuzov V.F., Krutitskaya N.Ch., Shishkin A.A. Linear algebra sa mga tanong at problema. M.: Fizmatlit, 2001.

, , , ,

1. Bilinear form at mga katangian nito. Hayaan V - n-dimensional na vector space sa ibabaw ng isang field P.

Kahulugan 1.Bilinear na anyo, tinukoy sa V, tinatawag ang ganitong pagmamapa g: V 2 ® P, na sa bawat nakaayos na pares ( x , y ) mga vector x , y mula sa paglalagay sa V tumugma sa numero mula sa field P, denoted g(x , y ), at linear sa bawat isa sa mga variable x , y , ibig sabihin. pagkakaroon ng mga katangian:

1) ("x , y , z Î V)g(x + y , z ) = g(x , z ) + g(y , z );

2) ("x , y Î V) ("a О P)g(a x , y ) = a g(x , y );

3) ("x , y , z Î V)g(x , y + z ) = g(x , y ) + g(x , z );

4) ("x , y Î V) ("a О P)g(x , a y ) = a g(x , y ).

Halimbawa 1. Anumang tuldok na produkto na tinukoy sa isang vector space V ay isang bilinear form.

2 . Function h(x , y ) = 2x 1 y 1 - x 2 y 2 +x 2 y 1 kung saan x = (x 1 ,x 2), y = (y 1 ,y 2)О R 2, bilinear form sa R 2 .

Kahulugan 2. Hayaan v = (v 1 , v 2 ,…, v n V.Matrix ng bilinear formg(x , y ) kaugnay sa batayanv tinatawag na matrix B=(b ij)n ´ n, ang mga elemento nito ay kinakalkula ng formula b ij = g(v i, v j):

Halimbawa 3. Bilinear Matrix h(x , y ) (tingnan ang halimbawa 2) na may kaugnayan sa batayan e 1 = (1,0), e 2 = (0,1) ay katumbas ng .

Teorama 1. HayaanX, Y - coordinate column ng mga vectors ayon sa pagkakabanggitx , y sa batayanv, B - matrix ng bilinear formg(x , y ) kaugnay sa batayanv. Pagkatapos ang bilinear form ay maaaring isulat bilang

g(x , y )=X t NG. (1)

Patunay. Mula sa mga katangian ng bilinear form na nakukuha namin

Halimbawa 3. Bilinear na anyo h(x , y ) (tingnan ang halimbawa 2) ay maaaring isulat sa form h(x , y )=.

Teorama 2. Hayaan v = (v 1 , v 2 ,…, v n), u = (u 1 , u 2 ,…, u n) - dalawang vector space baseV, T - transition matrix mula sa batayanv sa batayanu. Hayaan B= (b ij)n ´ n At SA=(kasama si ij)n ´ n - bilinear matricesg(x , y ) ayon sa pagkakabanggit na may kaugnayan sa mga basev atu. Pagkatapos

SA=T t BT.(2)

Patunay. Sa pamamagitan ng kahulugan ng transition matrix at ang bilinear form matrix, makikita natin ang:



Kahulugan 2. Bilinear na anyo g(x , y ) ay tinatawag simetriko, Kung g(x , y ) = g(y , x ) para sa alinman x , y Î V.

Teorama 3. Bilinear na anyog(x , y )- simetriko kung at kung ang isang matrix ng bilinear na anyo ay simetriko sa anumang batayan.

Patunay. Hayaan v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - batayan ng espasyo ng vector V,B= (b ij)n ´ n- matrices ng bilinear form g(x , y ) na may kaugnayan sa batayan v. Hayaang mabuo ang bilinear g(x , y ) - simetriko. Pagkatapos sa pamamagitan ng kahulugan 2 para sa alinman ako, j = 1, 2,…, n meron tayo b ij = g(v i, v j) = g(v j, v i) = b ji. Tapos yung matrix B- simetriko.

Sa kabaligtaran, hayaan ang matrix B- simetriko. Pagkatapos Bt= B at para sa anumang mga vectors x = x 1 v 1 + …+ x n v n =vX, y = y 1 v 1 + y 2 v 2 +…+ y n v n =vY Î V, ayon sa formula (1), nakuha namin (isinasaalang-alang namin na ang numero ay isang matrix ng order 1, at hindi nagbabago sa panahon ng transposisyon)

g(x , y ) =g(x , y )t = (X t NG)t = Y t B t X = g(y , x ).

2. Quadratic na hugis. Matrix ng quadratic form. Pagbabago ng coordinate.

Kahulugan 1.Quadratic na hugis tinukoy sa V, tinatawag na pagmamapa f:V® P, na para sa anumang vector x mula sa V ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay f(x ) = g(x , x ), Saan g(x , y ) ay isang simetriko bilinear form na tinukoy sa V .

Ari-arian 1.Ayon sa isang ibinigay na parisukat na anyof(x )ang bilinear form ay natatangi sa pamamagitan ng formula

g(x , y ) = 1/2(f(x + y ) - f(x )-f(y )). (1)

Patunay. Para sa anumang mga vectors x , y Î V nakukuha natin mula sa mga katangian ng bilinear form

f(x + y ) = g(x + y , x + y ) = g(x , x + y ) + g(y , x + y ) = g(x , x ) + g(x , y ) + g(y , x ) + g(y , y ) = f(x ) + 2g(x , y ) + f(y ).

Mula dito ay sumusunod sa formula (1). 

Kahulugan 2.Matrix ng quadratic formf(x ) kaugnay sa batayanv = (v 1 , v 2 ,…, v n) ay ang matrix ng katumbas na simetriko na anyo ng bilinear g(x , y ) na may kaugnayan sa batayan v.

Teorama 1. HayaanX= (x 1 ,x 2 ,…, x n)t- coordinate column ng vectorx sa batayanv, B - matrix ng parisukat na anyof(x ) kaugnay sa batayanv. Pagkatapos ay ang parisukat na anyof(x )