Bumuo ng isang graph ng isang function, mga halimbawa ng mga solusyon. Pag-andar ng pananaliksik online

Ngayon, iniimbitahan ka naming galugarin at bumuo ng isang graph ng isang function sa amin. Matapos maingat na pag-aralan ang artikulong ito, hindi mo na kailangang magpawis nang matagal upang makumpleto ang ganitong uri ng gawain. Hindi madaling pag-aralan at bumuo ng isang graph ng isang function; ito ay isang malaking gawain na nangangailangan ng maximum na pansin at katumpakan ng mga kalkulasyon. Upang gawing mas madaling maunawaan ang materyal, pag-aaralan namin ang parehong function nang hakbang-hakbang at ipaliwanag ang lahat ng aming mga aksyon at kalkulasyon. Maligayang pagdating sa kamangha-manghang at kaakit-akit na mundo matematika! Tara na!

Domain ng kahulugan

Upang galugarin at i-graph ang isang function, kailangan mong malaman ang ilang mga kahulugan. Ang function ay isa sa mga pangunahing (basic) na konsepto sa matematika. Sinasalamin nito ang pag-asa sa pagitan ng ilang mga variable (dalawa, tatlo o higit pa) sa panahon ng mga pagbabago. Ipinapakita rin ng function ang pagtitiwala ng mga set.

Isipin na mayroon tayong dalawang variable na may tiyak na saklaw ng pagbabago. Kaya, ang y ay isang function ng x, sa kondisyon na ang bawat halaga ng pangalawang variable ay tumutugma sa isang halaga ng pangalawa. Sa kasong ito, ang variable na y ay nakasalalay, at ito ay tinatawag na isang function. Nakaugalian na sabihin na ang mga variable na x at y ay nasa Para sa higit na kalinawan ng pag-asa na ito, ang isang graph ng function ay binuo. Ano ang isang graph ng isang function? Ito ay isang set ng mga puntos sa coordinate plane, kung saan ang bawat x value ay tumutugma sa isang y value. Maaaring magkakaiba ang mga graph - tuwid na linya, hyperbola, parabola, sine wave, at iba pa.

Imposibleng mag-graph ng isang function nang walang pananaliksik. Ngayon ay matututunan natin kung paano magsagawa ng pananaliksik at bumuo ng isang graph ng isang function. Napakahalaga na kumuha ng mga tala sa panahon ng pag-aaral. Gagawin nitong mas madaling makayanan ang gawain. Ang pinaka-maginhawang plano sa pananaliksik:

1. Saklaw ng kahulugan.
2. Pagpapatuloy.
3. Kahit na o kakaiba.
4. Periodicity.
5. Asymptotes.
6. Mga zero.
7. Mag-sign ng pagiging matatag.
8. Tumataas at bumababa.
9. Extremes.
10. Convexity at concavity.

Magsimula tayo sa unang punto. Hanapin natin ang domain ng kahulugan, iyon ay, sa kung anong mga pagitan ang umiiral ang ating function: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). Sa aming kaso, ang function ay umiiral para sa anumang mga halaga ng x, iyon ay, ang domain ng kahulugan ay katumbas ng R. Ito ay maaaring isulat bilang sumusunod xÎR.

Pagpapatuloy

Ngayon ay susuriin natin ang discontinuity function. Sa matematika, ang terminong "pagpapatuloy" ay lumitaw bilang isang resulta ng pag-aaral ng mga batas ng paggalaw. Ano ang walang katapusan? Space, oras, ilang mga dependency (isang halimbawa ay ang pag-asa ng mga variable S at t sa mga problema sa paggalaw), ang temperatura ng isang pinainit na bagay (tubig, kawali, thermometer, atbp.), isang tuluy-tuloy na linya (iyon ay, isa na maaaring iguhit nang hindi inaangat ito mula sa lapis na lapis).

Ang isang graph ay itinuturing na tuloy-tuloy kung hindi ito masira sa isang punto. Isa sa pinaka mga halimbawa ng paglalarawan Ang ganitong graph ay isang sinusoid, na makikita mo sa larawan sa seksyong ito. Ang isang function ay tuluy-tuloy sa isang punto x0 kung ang isang bilang ng mga kundisyon ay natutugunan:

• ang isang function ay tinukoy sa isang naibigay na punto;
• ang kanan at kaliwang mga limitasyon sa isang punto ay pantay;
• ang limitasyon ay katumbas ng halaga ng function sa point x0.

Kung ang hindi bababa sa isang kundisyon ay hindi natugunan, ang pagpapaandar ay sinasabing mabibigo. At ang mga punto kung saan ang function break ay karaniwang tinatawag na break point. Ang isang halimbawa ng isang function na "masisira" kapag ipinakita sa graphical ay: y=(x+4)/(x-3). Bukod dito, ang y ay hindi umiiral sa puntong x = 3 (dahil imposibleng hatiin sa zero).

Sa function na aming pinag-aaralan (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) naging simple ang lahat, dahil magiging tuluy-tuloy ang graph.

Kahit, kakaiba

Ngayon suriin ang function para sa parity. Una, isang maliit na teorya. Ang even function ay isa na nakakatugon sa kundisyon f(-x)=f(x) para sa anumang halaga ng variable x (mula sa hanay ng mga value). Kasama sa mga halimbawa ang:

• module x (ang graph ay mukhang isang daw, ang bisector ng una at ikalawang quarter ng graph);
• x squared (parabola);
• cosine x (cosine).

Tandaan na ang lahat ng mga graph na ito ay simetriko kapag tiningnan kaugnay sa y-axis.

Ano ang tinatawag na kakaibang function? Ito ang mga function na nakakatugon sa kundisyon: f(-x)=-f(x) para sa anumang halaga ng variable x. Mga halimbawa:

• hyperbola;
• kubiko parabola;
• sinusoid;
• padaplis at iba pa.

Pakitandaan na ang mga function na ito ay simetriko tungkol sa punto (0:0), iyon ay, ang pinagmulan. Batay sa sinabi sa seksyong ito ng artikulo, kahit na at kakaibang function dapat magkaroon ng pag-aari: x ay kabilang sa hanay ng kahulugan at -x din.

Suriin natin ang function para sa parity. Nakikita namin na hindi siya umaangkop sa alinman sa mga paglalarawan. Samakatuwid, ang aming function ay hindi kahit na o kakaiba.

Asymptotes

Magsimula tayo sa isang kahulugan. Ang asymptote ay isang curve na mas malapit hangga't maaari sa graph, iyon ay, ang distansya mula sa isang tiyak na punto ay may posibilidad na zero. Sa kabuuan, mayroong tatlong uri ng asymptotes:

• patayo, iyon ay, parallel sa y-axis;
• pahalang, iyon ay, parallel sa x axis;
• hilig.

Tulad ng para sa unang uri, ang mga linyang ito ay dapat hanapin sa ilang mga punto:

• puwang;
• dulo ng domain ng kahulugan.

Sa aming kaso, ang function ay tuloy-tuloy, at ang domain ng kahulugan ay katumbas ng R. Samakatuwid, walang mga vertical asymptotes.

Ang graph ng isang function ay may pahalang na asymptote, na tumutugma sa susunod na kinakailangan: kung ang x ay may posibilidad na infinity o minus infinity, at ang limitasyon ay katumbas ng ilang numero (halimbawa, a). SA sa kasong ito y=a - ito ang pahalang na asymptote. Walang mga pahalang na asymptotes sa function na aming pinag-aaralan.

Ang isang oblique asymptote ay umiiral lamang kung ang dalawang kundisyon ay natutugunan:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Pagkatapos ay makikita ito gamit ang formula: y=kx+b. Muli, sa aming kaso walang mga pahilig na asymptotes.

Mga function na zero

Ang susunod na hakbang ay suriin ang graph ng function para sa mga zero. Napakahalaga din na tandaan na ang gawaing nauugnay sa paghahanap ng mga zero ng isang function ay nangyayari hindi lamang kapag nag-aaral at gumagawa ng isang graph ng isang function, ngunit din bilang isang independiyenteng gawain at bilang isang paraan upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay. Maaaring kailanganin mong hanapin ang mga zero ng isang function sa isang graph o gumamit ng mathematical notation.

Ang paghahanap ng mga halagang ito ay makakatulong sa iyo na i-graph ang function nang mas tumpak. Kung mag-uusap tayo sa simpleng wika, kung gayon ang zero ng function ay ang halaga ng variable x kung saan ang y = 0. Kung naghahanap ka ng mga zero ng isang function sa isang graph, dapat mong bigyang-pansin ang mga punto kung saan ang graph ay nag-intersect sa x-axis.

Upang mahanap ang mga zero ng function, kailangan mong lutasin ang sumusunod na equation: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Matapos isagawa ang mga kinakailangang kalkulasyon, nakuha namin ang sumusunod na sagot:

Mag-sign ng pagiging matatag

Ang susunod na yugto ng pananaliksik at pagbuo ng isang function (graph) ay ang paghahanap ng mga pagitan ng pare-parehong pag-sign. Nangangahulugan ito na dapat nating matukoy kung aling mga pagitan ang kumukuha ng positibong halaga ang function at kung aling mga pagitan ito kumukuha ng negatibong halaga. Ang mga zero function na makikita sa huling seksyon ay makakatulong sa amin na gawin ito. Kaya, kailangan nating bumuo ng isang tuwid na linya (hiwalay sa graph) at sa sa tamang pagkakasunod-sunod ipamahagi ang mga zero ng function sa ibabaw nito mula sa pinakamaliit hanggang sa pinakamalaki. Ngayon ay kailangan mong matukoy kung alin sa mga resultang agwat ang may "+" sign at kung alin ang may "-".

Sa aming kaso, ang function ay tumatagal ng isang positibong halaga sa mga pagitan:

• mula 1 hanggang 4;
• mula 9 hanggang infinity.

Negatibong halaga:

• mula sa minus infinity hanggang 1;
• mula 4 hanggang 9.

Ito ay medyo madaling matukoy. Palitan ang anumang numero mula sa pagitan sa function at tingnan kung anong senyales ang lumabas na mayroon ang sagot (minus o plus).

Ang pagtaas at pagbaba ng function

Upang ma-explore at makabuo ng isang function, kailangan nating malaman kung saan tataas ang graph (pumunta sa kahabaan ng Oy axis) at kung saan ito mahuhulog (crawl pababa sa y-axis).

Ang function ay tumataas lamang kung ang mas malaking halaga ng variable na x ay tumutugma sa mas mataas na halaga u. Iyon ay, ang x2 ay mas malaki kaysa sa x1, at ang f(x2) ay mas malaki kaysa sa f(x1). At naobserbahan namin ang isang ganap na kabaligtaran na kababalaghan na may bumababa na pag-andar (mas maraming x, mas kaunti ang y). Upang matukoy ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba, kailangan mong hanapin ang mga sumusunod:

• domain ng kahulugan (mayroon na tayo);
• derivative (sa aming kaso: 1/3(3x^2-28x+49);
• lutasin ang equation na 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Pagkatapos ng mga kalkulasyon makuha namin ang resulta:

Nakukuha namin: ang pag-andar ay tumataas sa mga pagitan mula minus infinity hanggang 7/3 at mula 7 hanggang infinity, at bumababa sa pagitan mula 7/3 hanggang 7.

Extremes

Ang function sa ilalim ng pag-aaral y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) ay tuloy-tuloy at umiiral para sa anumang halaga ng variable na x. Ipinapakita ng extremum point ang maximum at minimum ng isang naibigay na function. Sa aming kaso ay wala, na lubos na nagpapadali sa gawaing pagtatayo. Kung hindi, mahahanap din ang mga ito gamit ang derivative function. Kapag nahanap na, huwag kalimutang markahan ang mga ito sa tsart.

Convexity at concavity

Patuloy naming ginalugad ang function na y(x). Ngayon kailangan nating suriin ito para sa convexity at concavity. Ang mga kahulugan ng mga konseptong ito ay medyo mahirap unawain, mas mainam na pag-aralan ang lahat gamit ang mga halimbawa. Para sa pagsubok: ang isang function ay matambok kung ito ay isang hindi bumababa na function. Sumang-ayon, ito ay hindi maintindihan!

Kailangan nating hanapin ang derivative ng isang second order function. Nakukuha namin ang: y=1/3(6x-28). Ngayon ipantay natin ang kanang bahagi sa zero at lutasin ang equation. Sagot: x=14/3. Natagpuan namin ang inflection point, iyon ay, ang lugar kung saan nagbabago ang graph mula sa convexity patungo sa concavity o vice versa. Sa pagitan mula sa minus infinity hanggang 14/3 ang function ay convex, at mula 14/3 hanggang plus infinity ito ay malukong. Napakahalaga ring tandaan na ang inflection point sa tsart ay dapat na makinis at malambot, hindi matutulis na sulok hindi dapat naroroon.

Pagtukoy ng mga karagdagang puntos

Ang aming gawain ay mag-imbestiga at bumuo ng isang graph ng function. Natapos na namin ang pag-aaral; hindi na mahirap ang paggawa ng graph ng function. Para sa mas tumpak at detalyadong pagpaparami ng isang curve o tuwid na linya sa coordinate plane, makakahanap ka ng ilang mga auxiliary point. Ang mga ito ay medyo madaling kalkulahin. Halimbawa, kinukuha namin ang x=3, lutasin ang resultang equation at hanapin ang y=4. O x=5, at y=-5 at iba pa. Maaari kang kumuha ng maraming karagdagang puntos hangga't kailangan mo para sa pagtatayo. Hindi bababa sa 3-5 sa kanila ang natagpuan.

Pag-plot ng graph

Kailangan naming imbestigahan ang function (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Ang lahat ng kinakailangang marka sa panahon ng mga kalkulasyon ay ginawa sa coordinate plane. Ang kailangan lang gawin ay bumuo ng isang graph, iyon ay, ikonekta ang lahat ng mga tuldok. Ang pagkonekta ng mga tuldok ay dapat na maayos at tumpak, ito ay isang bagay ng kasanayan - isang maliit na pagsasanay at ang iyong iskedyul ay magiging perpekto.

Ang pag-aaral ng isang function ay isinasagawa ayon sa isang malinaw na pamamaraan at nangangailangan ng mag-aaral matatag na kaalaman mga pangunahing konsepto ng matematika tulad ng domain ng kahulugan at mga halaga, pagpapatuloy ng isang function, asymptote, extremum point, parity, periodicity, atbp. Ang mag-aaral ay dapat na malayang makapag-iba-iba ng mga pag-andar at malutas ang mga equation, na kung minsan ay napakasalimuot.

Iyon ay, ang gawaing ito ay sumusubok sa isang makabuluhang layer ng kaalaman, anumang puwang kung saan ay magiging isang balakid sa pagkuha ang tamang desisyon. Lalo na madalas, ang mga paghihirap ay lumitaw sa pagbuo ng mga graph ng mga function. Ang pagkakamaling ito ay agad na napapansin ng guro at maaaring makapinsala nang husto sa iyong marka, kahit na lahat ng iba pa ay ginawa nang tama. Dito mo mahahanap mga problema sa pananaliksik sa online function: mga halimbawa ng pag-aaral, mga solusyon sa pag-download, pag-order ng mga takdang-aralin.

Galugarin ang isang function at mag-plot ng graph: mga halimbawa at solusyon online

Naghanda kami para sa iyo ng maraming handa na pag-aaral ng function, parehong binayaran sa workbook at libre sa seksyon Mga halimbawa ng pag-aaral ng function. Batay sa mga nalutas na gawaing ito, magagawa mong maging pamilyar ang iyong sarili nang detalyado sa pamamaraan para sa pagsasagawa ng mga katulad na gawain, at isakatuparan ang iyong pananaliksik sa pamamagitan ng pagkakatulad.

Nag-aalok kami mga handang halimbawa buong pananaliksik at pag-plot ng mga function ng mga pinakakaraniwang uri: polynomials, fractional rational, irrational, exponential, logarithmic, trigonometriko function. Ang bawat nalutas na problema ay sinamahan ng isang handa na graph na may naka-highlight na mga pangunahing punto, asymptotes, maxima at minima ang solusyon ay isinasagawa gamit ang function research algorithm.

Sa anumang kaso, ang mga nalutas na halimbawa ay makakatulong sa iyo magandang tulong, habang sinasaklaw ng mga ito ang pinakasikat na uri ng mga function. Nag-aalok kami sa iyo ng daan-daang nalutas na mga problema, ngunit, tulad ng alam mo, mayroong isang walang katapusang bilang ng mga pag-andar sa matematika sa mundo, at ang mga guro ay mahusay na dalubhasa sa pag-imbento ng higit at mas nakakalito na mga gawain para sa mga mahihirap na estudyante. Kaya, mahal na mga mag-aaral, kwalipikadong tulong hindi ka sasaktan.

Paglutas ng mga problema sa pagsasaliksik ng custom na function

Sa kasong ito, ang aming mga kasosyo ay mag-aalok sa iyo ng isa pang serbisyo - full function research online mag-order. Ang gawain ay makukumpleto para sa iyo bilang pagsunod sa lahat ng mga kinakailangan para sa isang algorithm para sa paglutas ng mga naturang problema, na lubos na magpapasaya sa iyong guro.

Gagawin namin ang isang kumpletong pag-aaral ng function para sa iyo: mahahanap namin ang domain ng kahulugan at hanay ng mga halaga, suriin para sa pagpapatuloy at discontinuity, magtatag ng parity, suriin ang iyong function para sa periodicity, hanapin natin ang mga puntos mga intersection na may coordinate axes. At, siyempre, higit pa sa tulong differential calculus: hahanap tayo ng mga asymptotes, kalkulahin ang extrema, mga inflection point, at bubuuin ang mismong graph.

Kung ang problema ay nangangailangan ng kumpletong pag-aaral ng function f (x) = x 2 4 x 2 - 1 kasama ang pagbuo ng graph nito, pagkatapos ay isasaalang-alang namin ang prinsipyong ito nang detalyado.

Upang malutas ang problema ng ganitong uri dapat gamitin ang mga katangian at graph ng mga basic elementary function. Kasama sa algorithm ng pananaliksik ang mga sumusunod na hakbang:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Paghahanap ng domain ng kahulugan

Dahil ang pananaliksik ay isinasagawa sa domain ng kahulugan ng function, kinakailangan na magsimula sa hakbang na ito.

Halimbawa 1

Ang ibinigay na halimbawa ay nagsasangkot ng paghahanap ng mga zero ng denominator upang maibukod ang mga ito sa ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Bilang resulta, maaari kang makakuha ng mga ugat, logarithms, at iba pa. Pagkatapos ay maaaring hanapin ang ODZ para sa isang ugat ng pantay na antas ng uri g (x) 4 sa pamamagitan ng hindi pagkakapantay-pantay na g (x) ≥ 0, para sa logarithm log a g (x) ng hindi pagkakapantay-pantay na g (x) > 0.

Pag-aaral sa mga hangganan ng ODZ at paghahanap ng mga vertical asymptotes

May mga vertical na asymptotes sa mga hangganan ng function, kapag ang mga one-sided na limitasyon sa naturang mga punto ay walang katapusan.

Halimbawa 2

Halimbawa, isaalang-alang ang mga border point na katumbas ng x = ± 1 2.

Pagkatapos ito ay kinakailangan upang pag-aralan ang function upang mahanap ang isang panig na limitasyon. Pagkatapos ay makukuha natin iyon: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Ipinapakita nito na ang mga one-sided na limitasyon ay walang katapusan, na nangangahulugang ang mga tuwid na linya x = ± 1 2 ay ang mga patayong asymptotes ng graph.

Pag-aaral ng isang function at kung ito ay even o odd

Kapag ang kundisyong y (- x) = y (x) ay nasiyahan, ang function ay itinuturing na pantay. Iminumungkahi nito na ang graph ay matatagpuan sa simetriko na may paggalang sa Oy. Kapag ang kundisyon y (- x) = - y (x) ay nasiyahan, ang function ay itinuturing na kakaiba. Nangangahulugan ito na ang symmetry ay nauugnay sa pinagmulan ng mga coordinate. Kung ang hindi bababa sa isang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nasiyahan, makuha namin ang function pangkalahatang pananaw.

Ang pagkakapantay-pantay na y (- x) = y (x) ay nagpapahiwatig na ang function ay pantay. Kapag nagtatayo, kinakailangang isaalang-alang na magkakaroon ng simetrya na may paggalang kay Oy.

Upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay, ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ay ginagamit sa mga kondisyong f " (x) ≥ 0 at f " (x) ≤ 0, ayon sa pagkakabanggit.

Kahulugan 1

Mga nakatigil na puntos- ito ang mga puntos na nagiging zero ang derivative.

Mga kritikal na puntos- ito ay mga panloob na punto mula sa domain ng kahulugan kung saan ang derivative ng function ay katumbas ng zero o wala.

Kapag gumagawa ng desisyon, dapat isaalang-alang ang mga sumusunod na tala:

• para sa mga umiiral na pagitan ng pagtaas at pagbaba ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyong f " (x) > 0, ang mga kritikal na punto ay hindi kasama sa solusyon;
• Ang mga punto kung saan ang function ay tinukoy nang walang isang may hangganang derivative ay dapat na kasama sa mga pagitan ng pagtaas at pagbaba (halimbawa, y = x 3, kung saan ang puntong x = 0 ay ginagawang ang function ay tinukoy, ang derivative ay may halaga ng infinity dito. punto, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 ay kasama sa pagtaas ng pagitan);
• Upang maiwasan ang mga hindi pagkakasundo, inirerekumenda na gumamit ng literatura sa matematika na inirerekomenda ng Ministri ng Edukasyon.

Pagsasama ng mga kritikal na punto sa pagitan ng pagtaas at pagbaba kung natutugunan ng mga ito ang domain ng kahulugan ng function.

Kahulugan 2

Para sa pagtukoy ng mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng isang function, ito ay kinakailangan upang mahanap:

• derivative;
• kritikal na mga punto;
• hatiin ang domain ng kahulugan sa mga pagitan gamit ang mga kritikal na punto;
• tukuyin ang tanda ng derivative sa bawat isa sa mga pagitan, kung saan ang + ay isang pagtaas, at - ay isang pagbaba.

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative sa domain ng kahulugan f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Solusyon

Upang malutas kailangan mo:

• maghanap ng mga nakatigil na puntos, ang halimbawang ito ay may x = 0;
• hanapin ang mga zero ng denominator, ang halimbawa ay kumukuha ng halagang zero sa x = ± 1 2.

Naglalagay kami ng mga puntos sa axis ng numero upang matukoy ang derivative sa bawat pagitan. Upang gawin ito, sapat na upang kumuha ng anumang punto mula sa pagitan at magsagawa ng pagkalkula. Kung positibo ang resulta, inilalarawan namin ang + sa graph, na nangangahulugang tumataas ang function, at - nangangahulugang bumababa ito.

Halimbawa, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, na nangangahulugan na ang unang pagitan sa kaliwa ay may tanda na +. Isaalang-alang ang linya ng numero.

Sagot:

• tumataas ang function sa pagitan - ∞; - 1 2 at (- 1 2 ; 0 ] ;
• mayroong pagbaba sa pagitan [0; 1 2) at 1 2; + ∞ .

Sa diagram, gamit ang + at -, ang positivity at negatibiti ng function ay inilalarawan, at ang mga arrow ay nagpapahiwatig ng pagbaba at pagtaas.

Ang mga extremum point ng isang function ay mga punto kung saan tinukoy ang function at kung saan ang derivative ay nagbabago ng sign.

Halimbawa 4

Kung isasaalang-alang natin ang isang halimbawa kung saan ang x = 0, kung gayon ang halaga ng function sa loob nito ay katumbas ng f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Kapag ang tanda ng derivative ay nagbago mula + hanggang - at dumaan sa puntong x = 0, kung gayon ang puntong may mga coordinate (0; 0) ay itinuturing na pinakamataas na punto. Kapag nagbago ang sign mula - hanggang +, nakakakuha tayo ng pinakamababang punto.

Natutukoy ang convexity at concavity sa pamamagitan ng paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyong f "" (x) ≥ 0 at f "" (x) ≤ 0. Ang hindi gaanong ginagamit ay ang pangalang convexity pababa sa halip na concavity, at convexity paitaas sa halip na convexity.

Kahulugan 3

Para sa pagtukoy ng mga pagitan ng concavity at convexity kailangan:

• hanapin ang pangalawang derivative;
• hanapin ang mga zero ng pangalawang derivative function;
• hatiin ang lugar ng kahulugan sa mga pagitan na may mga lumalabas na punto;
• matukoy ang tanda ng pagitan.

Halimbawa 5

Hanapin ang pangalawang derivative mula sa domain ng kahulugan.

Solusyon

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Nahanap natin ang mga zero ng numerator at denominator, kung saan sa ating halimbawa mayroon tayong mga zero ng denominator x = ± 1 2

Ngayon ay kailangan mong i-plot ang mga punto sa linya ng numero at tukuyin ang tanda ng pangalawang derivative mula sa bawat pagitan. Nakukuha namin iyon

Sagot:

• ang function ay matambok mula sa pagitan - 1 2 ; 1 2 ;
• ang function ay malukong mula sa mga pagitan - ∞ ; - 1 2 at 1 2; + ∞ .

Kahulugan 4

Inflection point– ito ay isang punto ng anyong x 0 ; f (x 0) . Kapag ito ay may tangent sa graph ng function, pagkatapos ay kapag ito ay dumaan sa x 0 ang function ay nagbabago ng sign sa kabaligtaran.

Sa madaling salita, ito ay isang punto kung saan ang pangalawang derivative ay pumasa at nagbabago ng tanda, at sa mga punto mismo ito ay katumbas ng zero o wala. Ang lahat ng mga punto ay itinuturing na domain ng function.

Sa halimbawa, malinaw na walang mga inflection point, dahil ang pangalawang derivative ay nagbabago ng sign habang dumadaan sa mga puntos na x = ± 1 2. Sila naman ay hindi kasama sa saklaw ng kahulugan.

Paghahanap ng pahalang at pahilig na mga asymptotes

Kapag tinutukoy ang isang function sa infinity, kailangan mong maghanap ng mga pahalang at pahilig na asymptotes.

Kahulugan 5

Oblique asymptotes ay inilalarawan gamit ang mga tuwid na linya, ibinigay ng equation y = k x + b, kung saan k = lim x → ∞ f (x) x at b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Para sa k = 0 at b hindi katumbas ng infinity, nalaman namin na ang oblique asymptote ay nagiging pahalang.

Sa madaling salita, ang mga asymptote ay itinuturing na mga linya kung saan lumalapit ang graph ng isang function sa infinity. Pinapadali nito ang mabilis na pagbuo ng isang function graph.

Kung walang mga asymptotes, ngunit ang function ay tinukoy sa parehong infinity, kinakailangang kalkulahin ang limitasyon ng function sa mga infinity na ito upang maunawaan kung paano kikilos ang graph ng function.

Halimbawa 6

Isaalang-alang natin bilang isang halimbawa iyon

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

ay isang pahalang na asymptote. Pagkatapos suriin ang function, maaari mong simulan ang pagbuo nito.

Kinakalkula ang halaga ng isang function sa mga intermediate na punto

Upang gawing mas tumpak ang graph, inirerekumenda na makahanap ng ilang mga halaga ng pag-andar sa mga intermediate na punto.

Halimbawa 7

Mula sa halimbawa na aming isinasaalang-alang, kinakailangan upang mahanap ang mga halaga ng function sa mga puntos na x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Dahil ang pag-andar ay pantay, nakuha namin na ang mga halaga ay nag-tutugma sa mga halaga sa mga puntong ito, iyon ay, nakukuha namin ang x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Isulat at lutasin natin:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

Upang matukoy ang maxima at minima ng function, inflection point, at intermediate point, kinakailangan na bumuo ng mga asymptotes. Para sa maginhawang pagtatalaga, ang mga agwat ng pagtaas, pagbaba, pagka-umbok, at kalungkutan ay naitala. Tingnan natin ang larawan sa ibaba.

Kinakailangan na gumuhit ng mga linya ng graph sa pamamagitan ng mga minarkahang punto, na magbibigay-daan sa iyo upang lapitan ang mga asymptotes sa pamamagitan ng pagsunod sa mga arrow.

Tinatapos nito ang buong paggalugad ng function. May mga kaso ng pagbuo ng ilang elementarya na pag-andar kung saan ginagamit ang mga pagbabagong geometriko.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Sa artikulong ito, isasaalang-alang namin ang isang pamamaraan para sa pag-aaral ng isang function, at magbibigay din ng mga halimbawa ng pag-aaral ng extrema, monotonicity, at asymptotes ng isang ibinigay na function.

Scheme

1. Ang domain ng pagkakaroon (DOA) ng isang function.
2. Ang intersection ng function (kung mayroon man) sa mga coordinate axes, mga palatandaan ng function, parity, periodicity.
3. Mga breaking point (ang kanilang uri). Pagpapatuloy. Ang mga asymptotes ay patayo.
4. Monotonicity at matinding mga punto.
5. Mga inflection point. Matambok.
6. Pag-aaral ng isang function sa infinity, para sa mga asymptotes: pahalang at pahilig.
7. Pagbuo ng isang graph.

Pagsubok sa monotonicity

Teorama. Kung ang function g tuloy-tuloy sa , pinag-iba ng (a; b) At g’(x) ≥ 0 (g’(x)≤0), xє(a; b), Iyon g pagtaas (pagbaba) ng .

Halimbawa:

y = 1: 3x 3 - 6: 2x 2 + 5x.

ODZ: xєR

y’ = x 2 + 6x + 5.

Hanapin natin ang mga pagitan ng pare-parehong mga palatandaan ikaw. Since ikaw - elementarya function, pagkatapos ay maaari lamang itong baguhin ang mga palatandaan sa mga punto kung saan ito ay nagiging zero o wala. Ang kanyang ODZ: xєR.

Hanapin natin ang mga punto kung saan ang derivative ay katumbas ng 0 (zero):

y’ = 0;

x = -1; -5.

Kaya, y lumalaki sa (-∞; -5] at sa [-1; +∞), y bumababa sa .

Pananaliksik sa mga sukdulan

T. x 0 tinatawag na maximum point (max) sa set A mga function g kapag ang function ay tumatagal ng pinakamalaking halaga sa puntong ito g(x 0) ≥ g(x), xєA.

T. x 0 tinatawag na pinakamababang punto (min) ng function g sa isang set A kapag ang function ay tumatagal ng pinakamaliit na halaga sa puntong ito g(x 0) ≤ g(x), xєА.

Sa set A maximum (max) at minimum (min) na mga puntos ay tinatawag na extremum point g. Ang ganitong extrema ay tinatawag ding absolute extrema sa set .

Kung x 0- matinding punto ng pag-andar g sa ilang mga distrito nito, kung gayon x 0 tinatawag na punto ng lokal o lokal na extremum (max o min) ng function g.

Theorem (kinakailangang kondisyon). Kung x 0- extremum point (lokal) ng function g, kung gayon ang derivative ay hindi umiiral o katumbas ng 0 (zero) sa lugar na ito.

Kahulugan. Ang mga puntos na may di-umiiral o katumbas ng 0 (zero) derivative ay tinatawag na kritikal. Ito ang mga puntong ito na kahina-hinala para sa mga sukdulan.

Theorem (sapat na kondisyon No. 1). Kung ang function g tuloy-tuloy sa ilang distrito i.e. x 0 at ang tanda ay nagbabago sa puntong ito kapag dumadaan sa derivative, pagkatapos ibinigay na punto may punto ng extremum g.

Theorem (sapat na kondisyon No. 2). Hayaang ang function sa ilang distrito ng punto ay naiba-iba nang dalawang beses at g’ = 0, at g’’ > 0 (g’’< 0) , pagkatapos ang puntong ito ay ang punto ng maximum (max) o minimum (min) ng function.

Pagsubok sa Bulge

Ang function ay tinatawag na downward convex (o concave) sa pagitan (a, b) kapag ang graph ng function ay matatagpuan hindi mas mataas kaysa sa secant sa pagitan para sa anumang x na may (a, b), na dumadaan sa mga puntong ito .

Ang function ay magiging convex na mahigpit na pababa sa (a, b), kung - ang graph ay nasa ibaba ng secant sa pagitan.

Ang function ay sinasabing convex paitaas (convex) sa pagitan (a, b), kung para sa anumang t puntos Sa (a, b) ang graph ng isang function sa pagitan ay hindi mas mababa kaysa sa secant line na dumadaan sa abscissa sa mga puntong ito .

Ang function ay mahigpit na matambok paitaas sa pamamagitan ng (a, b), kung - ang graph sa pagitan ay nasa itaas ng secant line.

Kung ang isang function sa ilang puntong distrito tuloy-tuloy at sa pamamagitan ng t.x 0 Kapag lumilipat, binabago ng function ang convexity nito, kung gayon ang puntong ito ay tinatawag na inflection point ng function.

Pag-aaral sa mga asymptotes

Kahulugan. Ang tuwid na linya ay tinatawag na asymptote g(x), kung sa isang walang katapusang distansya mula sa pinagmulan ng mga coordinate ang isang punto sa graph ng function ay lumalapit dito: d(M,l).

Ang mga asymptotes ay maaaring patayo, pahalang at pahilig.

Patayong linya na may equation x = x 0 ang magiging asymptote ng patayong graph ng function na g , kung mayroong isang walang katapusang puwang sa punto x 0, pagkatapos ay mayroong hindi bababa sa isang kaliwa o kanang hangganan sa puntong ito - infinity.

Pag-aaral ng function sa isang segment para sa pinakamaliit at pinakamalaking value

Kung ang function ay tuloy-tuloy para sa , pagkatapos ay ayon sa Weierstrass theorem mayroong isang maximum na halaga at isang minimum na halaga sa segment na ito, iyon ay, mayroong t salamin na pag-aari ganyan g(x 1) ≤ g(x)< g(x 2), x 2 є . Mula sa mga theorems tungkol sa monotonicity at extrema, nakuha namin ang sumusunod na scheme para sa pag-aaral ng isang function sa isang pagitan para sa pinakamaliit at pinakamalaking halaga.

Plano

1. Hanapin ang derivative g'(x).
2. Halaga ng function ng paghahanap g sa mga puntong ito at sa mga dulo ng segment.
3. Ihambing ang mga nahanap na halaga at piliin ang pinakamaliit at pinakamalaki.

Magkomento. Kung kailangan mong pag-aralan ang isang function sa isang may hangganang pagitan (a, b), o sa walang katapusan (-∞; b); (-∞; +∞) sa mga halaga ng max at min, pagkatapos ay sa plano, sa halip na mga halaga ng pag-andar sa mga dulo ng agwat, hinahanap namin ang kaukulang isang panig na mga hangganan: sa halip na f(a) naghahanap ng f(a+) = limf(x), sa halip na f(b) naghahanap ng f(-b). Sa ganitong paraan mahahanap mo ang ODZ ng isang function sa isang interval, dahil hindi kinakailangang umiral ang absolute extrema sa kasong ito.

Application ng derivative sa solusyon ng mga inilapat na problema sa sukdulan ng ilang mga dami

1. Ipahayag ang dami na ito sa mga tuntunin ng iba pang mga dami mula sa pahayag ng problema upang ito ay isang function ng isang variable lamang (kung maaari).
2. Tukuyin ang pagitan ng pagbabago ng variable na ito.
3. Magsagawa ng pag-aaral ng function sa pagitan sa max at min na mga halaga.

Gawain. Kailangan nating bumuo ng isang plataporma hugis-parihaba na hugis, gamit ang isang metro ng mesh, laban sa dingding upang sa isang gilid ito ay katabi ng dingding, at sa iba pang tatlo ay nabakuran ng isang mata. Sa anong aspect ratio magiging pinakamalaki ang lugar ng naturang platform?

S = xy- function ng 2 variable.

S = x(a - 2x)- function ng 1st variable ; x є .

S = palakol - 2x 2 ; S" = a - 4x = 0, xєR, x = a: 4.

S(a: 4) = a 2: 8- pinakamalaking halaga;

S(0) =0.

Hanapin natin ang kabilang panig ng parihaba: sa = a: 2.

Aspect Ratio: y: x = 2.

Sagot. Pinakamalaking lugar magiging pantay isang 2/8, kung ang gilid na parallel sa dingding ay 2 beses na mas malaki kaysa sa kabilang panig.

Function study. Mga halimbawa

Halimbawa 1

Available y=x 3: (1-x) 2 . Magsaliksik ka.

1. ODZ: xє(-∞; 1) U (1; ∞).
2. Ang isang function ng pangkalahatang anyo (ni kahit na o kakaiba) ay hindi simetriko sa punto 0 (zero).
3. Mga palatandaan ng pag-andar. Ang function ay elementarya, kaya maaari itong baguhin ang sign lamang sa mga punto kung saan ito ay katumbas ng 0 (zero) o wala.
4. Ang function ay elementarya, kaya tuloy-tuloy sa ODZ: (-∞; 1) U (1; ∞).

Gap: x = 1;

limx 3: (1- x) 2 = ∞- Discontinuity ng ika-2 uri (walang katapusan), samakatuwid mayroong isang patayong asymptote sa punto 1;

x = 1- equation ng vertical asymptote.

5. y’ = x 2 (3 - x): (1 - x) 3 ;

ODZ (y’): x ≠ 1;

x = 1- kritikal na punto.

y’ = 0;

0; 3 - mga kritikal na puntos.

6. y’’ = 6x: (1 - x) 4 ;

Mga kritikal na item: 1, 0;

x = 0 - baluktot na punto, y(0) = 0.

7. limx 3: (1 - 2x + x 2) = ∞- walang pahalang na asymptote, ngunit maaaring mayroong isang hilig.

k = 1- numero;

b = 2- numero.

Samakatuwid, mayroong isang pahilig na asymptote y = x + 2 sa + ∞ at sa - ∞.

Halimbawa 2

Ibinigay y = (x 2 + 1) : (x - 1). Gumawa at pananaliksik. Bumuo ng isang graph.

1. Ang domain ng pag-iral ay ang buong linya ng numero, maliban sa tinatawag na x = 1.

2. y tumatawid sa OY (kung maaari) kasama. (0;g(0)). Nahanap namin y(0) = -1 - t .

Mga punto ng intersection ng graph na may OX mahanap natin sa pamamagitan ng paglutas ng equation y = 0. Ang equation ay walang tunay na ugat, kaya ang function na ito ay hindi nagsalubong OX.

3. Ang function ay hindi pana-panahon. Isaalang-alang ang expression

g(-x) ≠ g(x), at g(-x) ≠ -g(x). Nangangahulugan ito na ito ay isang pangkalahatang function (ni kahit na o kakaiba).

4. T. x = 1 ang discontinuity ay nasa pangalawang uri. Sa lahat ng iba pang mga punto ang function ay tuloy-tuloy.

5. Pag-aaral ng isang function para sa isang extremum:

(x 2 - 2x - 1): (x - 1)2 = y"

at lutasin ang equation y" = 0.

Kaya, 1 - √2, 1 + √2, 1 - mga kritikal na punto o mga punto ng posibleng extremum. Hinahati ng mga puntong ito ang linya ng numero sa apat na pagitan .

Sa bawat pagitan, ang derivative ay may isang tiyak na tanda, na maaaring maitatag sa pamamagitan ng paraan ng mga agwat o sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga halaga ng derivative sa mga indibidwal na punto. Sa pagitan (-∞; 1 - √2 ) U (1 + √2 ; ∞) , positive derivative, na nangangahulugang lumalaki ang function; Kung xє(1 - √2 ; 1)U(1; 1 + √2 ) , pagkatapos ay bumababa ang function, dahil sa mga pagitan na ito ang derivative ay negatibo. Sa pamamagitan ng t. x 1 sa panahon ng paglipat (sinusundan ang paggalaw mula kaliwa hanggang kanan), ang derivative sign ay nagbabago mula sa "+" hanggang sa "-", samakatuwid, sa puntong ito ay mayroong lokal na maximum, makikita natin

y max = 2 - 2 √2 .

Kapag dumaan x 2 ang derivative ay nagbabago ng sign mula sa "-" hanggang sa "+", samakatuwid, sa puntong ito mayroong isang lokal na minimum, at

y mix = 2 + 2√2.

T. x = 1 hindi ang sukdulan.

6. 4: (x - 1) 3 = y"".

Naka-on (-∞; 1 ) 0 > y"" , dahil dito, sa pagitan na ito ang kurba ay matambok; kung xє (1 ; ∞) - ang kurba ay malukong. Sa t punto 1 ang function ay hindi tinukoy, kaya ang puntong ito ay hindi isang inflection point.

7. Mula sa mga resulta ng talata 4 ay sumusunod na x = 1- vertical asymptote ng curve.

Walang mga pahalang na asymptotes.

x + 1 = y - oblique asymptote ng curve na ito. Walang iba pang mga asymptotes.

8. Isinasaalang-alang ang pananaliksik na isinagawa, bumuo kami ng isang graph (tingnan ang figure sa itaas).

Upang ganap na pag-aralan ang function at i-plot ang graph nito, inirerekomendang gamitin ang sumusunod na scheme:

1) hanapin ang domain ng kahulugan ng function;

2) hanapin ang mga discontinuity point ng function at vertical asymptotes (kung mayroon sila);

3) imbestigahan ang pag-uugali ng function sa infinity, hanapin ang mga pahalang at pahilig na asymptotes;

4) suriin ang function para sa parity (oddness) at periodicity (para sa trigonometric functions);

5) hanapin ang extrema at pagitan ng monotonicity ng function;

6) matukoy ang mga agwat ng convexity at mga inflection point;

7) hanapin ang mga punto ng intersection sa mga coordinate axes, at, kung maaari, ilang karagdagang mga punto na nagpapaliwanag sa graph.

Ang pag-aaral ng function ay isinasagawa nang sabay-sabay sa pagbuo ng graph nito.

Halimbawa 9 Galugarin ang function at bumuo ng isang graph.

1. Saklaw ng kahulugan: ;

2. Ang function ay naghihirap sa discontinuity sa mga punto
,
;

Sinusuri namin ang function para sa pagkakaroon ng mga vertical asymptotes.

;
,
─ patayong asymptote.

;
,
─ patayong asymptote.

3. Sinusuri namin ang function para sa pagkakaroon ng oblique at horizontal asymptotes.

Diretso
─ oblique asymptote, kung
,
.

,
.

Diretso
─ pahalang na asymptote.

4. Ang function ay kahit na dahil
.

Ang parity ng function ay nagpapahiwatig ng simetrya ng graph na nauugnay sa ordinate axis.

5. Hanapin ang monotonicity interval at extrema ng function.
;
Hanapin natin ang mga kritikal na punto, i.e. mga punto kung saan ang derivative ay 0 o wala:
;

. Mayroon kaming tatlong puntos . Hinahati ng mga puntong ito ang buong totoong axis sa apat na pagitan. Tukuyin natin ang mga palatandaan

sa bawat isa sa kanila.
Sa pagitan (-∞; -1) at (-1; 0) tumataas ang function, sa pagitan (0; 1) at (1; +∞) ─ bumababa ito. Kapag dumadaan sa isang punto
.

ang derivative ay nagbabago ng sign mula plus hanggang minus, samakatuwid, sa puntong ito ang function ay may maximum

6. Hanapin ang mga pagitan ng convexity at inflection point. Hanapin natin ang mga punto kung saan

ay 0, o wala.
,
,

walang tunay na ugat.
Mga puntos
At hatiin ang totoong axis sa tatlong pagitan. Tukuyin natin ang tanda

sa bawat pagitan.
Kaya, ang curve sa mga pagitan
At
Mga puntos
matambok pababa, sa pagitan (-1;1) matambok paitaas; walang mga inflection point, dahil ang function ay nasa mga punto

hindi tinukoy.

7. Hanapin ang mga punto ng intersection sa mga axes.
Gamit ang ehe
ang graph ng function ay nag-intersect sa punto (0; -1), at sa axis

ang graph ay hindi nagsalubong, dahil ang numerator ng function na ito ay walang tunay na ugat.

Ang graph ng ibinigay na function ay ipinapakita sa Figure 1.

Figure 1 ─ Function graph

Paglalapat ng konsepto ng derivative sa ekonomiya. Pag-andar ng pagkalastiko

Kahulugan. Upang pag-aralan ang mga prosesong pang-ekonomiya at malutas ang iba pang inilapat na mga problema, ang konsepto ng pagkalastiko ng isang function ay kadalasang ginagamit.
Pag-andar ng pagkalastiko ay tinatawag na limitasyon ng ratio ng kamag-anak na pagtaas ng function sa relatibong pagtaas ng variable
sa

, . (VII)
Ang elasticity ng isang function ay nagpapakita ng humigit-kumulang kung gaano karaming porsyento ang function na magbabago kapag nagbago ang independent variable

ng 1%.
Ang elasticity function ay ginagamit sa pagsusuri ng demand at pagkonsumo. Kung ang pagkalastiko ng demand (sa ganap na halaga)
, ang demand ay itinuturing na elastic kung
─ neutral kung

─ inelastic na may kaugnayan sa presyo (o kita). Halimbawa 10
Kalkulahin ang elasticity ng function = 3.

at hanapin ang halaga ng elasticity index para sa

Solusyon: ayon sa formula (VII), ang elasticity ng function ay:
Hayaan ang x=3, kung gayon

.Ito ay nangangahulugan na kung ang independent variable ay tumaas ng 1%, ang halaga ng dependent variable ay tataas ng 1.42%. Hayaang gumana ang demand patungkol sa presyo parang
, Saan ─ pare-pareho ang koepisyent. Hanapin ang halaga ng elasticity indicator ng demand function sa presyo x = 3 den. mga yunit

Solusyon: kalkulahin ang elasticity ng demand function gamit ang formula (VII)

Naniniwala
monetary units, nakukuha namin
. Nangangahulugan ito na sa isang presyo
mga yunit ng pananalapi ang 1% na pagtaas sa presyo ay magdudulot ng 6% na pagbaba sa demand, i.e. elastic ang demand.