Paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic trinomial

Mga layunin: ipakilala ang konsepto ng isang quadratic trinomial at ang mga ugat nito; bumuo ng kakayahang hanapin ang mga ugat ng isang square trinomial.

Pag-unlad ng aralin

I. Pansamahang sandali.

II. Oral na gawain.

Alin sa mga numero: –2; –1; 1; 2 - ang mga ugat ng mga equation?

a) 8 X+ 16 = 0; V) X 2 + 3X – 4 = 0;

b) 5 X 2 – 5 = 0; G) X 3 – 3X – 2 = 0.

III. Paliwanag ng bagong materyal.

Ang pagpapaliwanag ng bagong materyal ay dapat isagawa ayon sa sumusunod na pamamaraan:

1) Ipakilala ang konsepto ng ugat ng isang polynomial.

2) Ipakilala ang konsepto ng isang quadratic trinomial at ang mga ugat nito.

3) Suriin ang tanong ng posibleng bilang ng mga ugat ng isang square trinomial.

Ang tanong ng paghihiwalay ng parisukat ng isang binomial mula sa isang parisukat na trinomyal ay pinakamahusay na tinalakay sa susunod na aralin.

Sa bawat yugto ng pagpapaliwanag ng bagong materyal, kinakailangang mag-alok sa mga mag-aaral ng isang oral na gawain upang subukan ang kanilang karunungan sa mga pangunahing punto ng teorya.

Gawain 1. Alin sa mga bilang: –1; 1; ; 0 – ang mga ugat ng polynomial X 4 + 2X 2 – 3?

Takdang Aralin 2. Alin sa mga sumusunod na polynomial ang quadratic trinomial?

1) 2X 2 + 5X – 1; 6) X 2 – X – ;

2) 2X – ; 7) 3 – 4X + X 2 ;

3) 4X 2 + 2X + X 3 ; 8) X + 4X 2 ;

4) 3X 2 – ; 9) + 3X – 6;

5) 5X 2 – 3X; 10) 7X 2 .

Aling mga quadratic trinomals ang may ugat 0?

Gawain 3. Maaari bang magkaroon ng tatlong ugat ang square trinomial? bakit naman Ilang ugat mayroon ang square trinomial? X 2 + X – 5?

IV. Pagbuo ng mga kasanayan at kakayahan.

Mga Pagsasanay:

1. № 55, № 56, № 58.

2. No. 59 (a, c, d), No. 60 (a, c).

Sa gawaing ito hindi mo kailangang hanapin ang mga ugat ng quadratic trinomial. Ito ay sapat na upang mahanap ang kanilang discriminant at sagutin ang tanong na ibinibigay.

a) 5 X 2 – 8X + 3 = 0;

D 1 = 16 – 15 = 1;

D 1 0, na nangangahulugan na ang quadratic trinomial na ito ay may dalawang ugat.

b) 9 X 2 + 6X + 1 = 0;

D 1 = 9 – 9 = 0;

D 1 = 0, na nangangahulugang ang square trinomial ay may isang ugat.

c) –7 X 2 + 6X – 2 = 0;

7X 2 – 6X + 2 = 0;

D 1 = 9 – 14 = –5;

Kung may natitirang oras, maaari mong gawin ang No. 63.

Solusyon

Hayaan palakol 2 + bx + c ay isang ibinigay na quadratic trinomial. Since a+ b +
+ c= 0, kung gayon ang isa sa mga ugat ng trinomial na ito ay katumbas ng 1. Sa pamamagitan ng teorem ni Vieta, ang pangalawang ugat ay katumbas ng . Ayon sa kondisyon, Sa = 4A, kaya ang pangalawang ugat ng quadratic trinomial na ito ay katumbas ng
.

SAGOT: 1 at 4.

V. Buod ng aralin.

Mga madalas itanong:

– Ano ang ugat ng polynomial?

– Aling polynomial ang tinatawag na quadratic trinomial?

– Paano mahahanap ang mga ugat ng isang quadratic trinomial?

– Ano ang discriminant ng isang quadratic trinomial?

– Ilang ugat ang maaaring magkaroon ng square trinomial? Ano ang nakasalalay dito?

Takdang-aralin: 57, No. 59 (b, d, f), No. 60 (b, d), No. 62.

Guro ng pinakamataas na kategorya: Minaichenko N.S., gymnasium No. 24, Sevastopol

Aralin sa ika-8 baitang: "Square trinomial at ang mga ugat nito"

Uri ng aralin : aral ng bagong kaalaman.

Layunin ng aralin:

ayusin ang mga aktibidad ng mag-aaral upang pagsama-samahin at bumuo ng kaalaman tungkol sa pagkabulok ng isang quadratic trinomial sa mga linear na salik at ang pagbabawas ng mga fraction;

bumuo ng mga kasanayan sa paggamit ng kaalaman sa lahat ng paraan ng factorization: bracketing, gamit ang mga pinaikling pormula ng multiplikasyon at mga paraan ng pagpapangkat upang makapaghanda para sa matagumpay na pagkumpleto pagsusulit sa algebra;

lumikha ng mga kondisyon para sa pag-unlad interes na nagbibigay-malay sa paksa, pagbuo lohikal na pag-iisip at pagpipigil sa sarili kapag gumagamit ng factorization.

Kagamitan: multimedia projector, screen, presentasyon: "Roots of the square trinomial", crossword puzzle, test, handouts.

Pangunahing Konsepto . Pagkabulok quadratic trinomial sa pamamagitan ng multipliers.

Malayang aktibidad ng mga mag-aaral. Application ng theorem sa factorization ng isang quadratic trinomial sa paglutas ng mga problema.

Lesson Plan

Paglutas ng problema.

Mga sagot sa mga tanong ng mag-aaral

IV. Pangunahing pagsubok ng pagkuha ng kaalaman. Pagninilay

Mensahe ng guro.

Mensahe ng mag-aaral

V. Takdang-Aralin

Pagsusulat sa pisara

Metodolohikal na komento:

Ang paksang ito ay mahalaga sa seksyong "Mga pagbabago sa pagkakakilanlan" algebraic expression" Samakatuwid, mahalaga na awtomatikong makita ng mga mag-aaral hindi lamang ang mga formula ng factorization sa mga halimbawa, ngunit mailapat din ang mga ito sa iba pang mga gawain: tulad ng paglutas ng mga equation, pagbabago ng mga expression, pagpapatunay ng mga pagkakakilanlan.

Nakatuon ang paksang ito sa pag-factor ng isang quadratic trinomial:

palakol+ bx + c = a(x – x)(x – x),

kung saan ang x at x – mga ugat quadratic equation ax + bx + c = 0.

Pinapayagan ka nitong palawakin ang larangan ng pangitain ng mag-aaral, turuan siyang mag-isip hindi pamantayang sitwasyon, gamit ang materyal na pinag-aaralan, i.e. gamit ang formula para sa factoring ng isang quadratic trinomial:

kakayahang bawasan ang mga algebraic fraction;

kakayahang gawing simple ang mga algebraic na expression;

kakayahang malutas ang mga equation;

kakayahang patunayan ang mga pagkakakilanlan.

Pangunahing nilalaman ng aralin:

a) 3x + 5x – 2;

b) –x + 16x – 15;

c) x – 12x + 24;

d) –5x + 6x – 1.

№2. Bawasan ang fraction:

№3. Pasimplehin ang expression:

№4. Lutasin ang equation:

b)

Pag-unlad ng aralin:

I. Yugto ng pag-update ng kaalaman.

Pagganyak para sa mga aktibidad sa pag-aaral.

a) mula sa kasaysayan:

b) krosword:

Warm-up-train ang isip - crossword puzzle:

Pahalang:

1) Ang ugat ng ikalawang antas ay tinatawag na…. (parisukat)

2) Mga halaga ng variable kung saan ang equation ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay (mga ugat)

3) Ang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng hindi alam ay tinatawag na... (equation)

4) Indian na siyentipiko, na nakabalangkas pangkalahatang tuntunin paglutas ng mga quadratic equation (Brahmagupta)

5) Ang mga coefficient ng quadratic equation ay... (mga numero)

6) Sinaunang Greek scientist na nag-imbento ng geometric na paraan para sa paglutas ng mga equation (Euclid)

7) Theorem na nauugnay sa mga coefficient at mga ugat ng isang quadratic equation (Vieta)

8) "discriminant", pagtukoy sa mga ugat ng isang quadratic equation - ito ay... (discriminant)

Bukod pa rito:

Kung D>0, ilan ang mga ugat? (dalawa)

Kung D=0, ilan ang mga ugat? (isa)

Kung si D<0, сколько корней? (нет действительных корней)

Pahalang at patayong paksa ng aralin: “Square trinomial”

b) pagganyak:

Ang paksang ito ay mahalaga sa seksyong "Magkaparehong pagbabago ng mga algebraic na expression." Samakatuwid, mahalaga na awtomatiko mong makita hindi lamang ang mga formula ng factorization sa mga halimbawa, ngunit mailapat din ang mga ito sa iba pang mga gawain: tulad ng pagbabawas ng mga fraction, paglutas ng mga equation, pagbabago ng mga expression, pagpapatunay ng mga pagkakakilanlan.

Ngayon ay tututuon tayo sa pag-factor ng quadratic trinomial:

II. Pag-aaral ng bagong materyal.

Paksa: Square trinomial at mga ugat nito.

Ang pangkalahatang teorya ng polynomials ng maraming mga variable ay lumalampas sa saklaw ng kurso sa paaralan. Samakatuwid, lilimitahan natin ang ating sarili sa pag-aaral ng mga polynomial ng isang tunay na variable, at sa mga pinakasimpleng kaso lamang. Isaalang-alang natin ang mga polynomial ng isang variable na binawasan sa karaniwang anyo.

Root ng isang polynomial ay ang halaga ng isang variable kung saan ang halaga ng polynomial ay katumbas ng zero. Nangangahulugan ito na upang mahanap ang mga ugat ng isang polynomial, kailangan mong i-equate ito sa zero, i.e. lutasin ang equation.

Root ng isang polynomial ng unang degree
madaling hanapin
. Pagsusuri:
.

Ang mga ugat ng isang quadratic trinomial ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng equation:
.

Gamit ang pormula para sa mga ugat ng isang parisukat na equation nakita natin:

;

Teorama (sa factoring ng isang quadratic trinomial ):

Kung At -ugat ng isang parisukat na trinomial
, Saan ≠ 0,

Yung .

Patunay:

Gawin natin ang mga sumusunod na pagbabagong-anyo ng quadratic trinomial:

=
=
=

=
=
=

=
=

Dahil ang discriminant
, nakukuha namin ang:

=
=

Ilapat natin ang pagkakaiba ng formula ng mga parisukat sa mga bracket at makuha ang:

=
=
,

kasi
;
. Ang teorama ay napatunayan.

Ang resultang formula ay tinatawag na formulafactorization ng isang quadratic trinomial.

III. Pagbuo ng mga kasanayan at kakayahan.

№1. I-factor ang quadratic trinomial:

a) 3x + 5x – 2;

Solusyon:

Sagot: 3x+5x–2=3(x+2)(x-)=(x+2)(3x-1)

Sa pisara:

b) –5x + 6x – 1;

Bukod pa rito:

c) x – 12x + 24;

d) –x + 16x – 15.

№2. Bawasan ang fraction:

A)

№4. Lutasin ang equation:

b)

IV. Pangunahing pagsubok ng pagkuha ng kaalaman.

A) Pagsubok.

Opsyon 1.

1. Hanapin ang mga ugat ng quadratic trinomial:2x 2 -9x-5

Sagot:

2. Aling polynomial ang dapat palitan para sa ellipsis upang maging totoo ang pagkakapantay-pantay:

b) Mutual na pagpapatunay ng mga opsyon (mga sagot at ang mga parameter ng pagsusuri ay inilalarawan).

c) Pagninilay.

V. Takdang-Aralin.

Mahahanap mo ang ugat ng square trinomial gamit ang discriminant. Bilang karagdagan, para sa pinababang polynomial ng pangalawang degree, ang teorem ng Vieta, batay sa ratio ng mga coefficient, ay nalalapat.

Mga tagubilin

• Ang mga quadratic equation ay isang medyo malawak na paksa sa algebra ng paaralan. Ang kaliwang bahagi ng naturang equation ay isang polynomial ng pangalawang antas ng form na A x² + B x + C, i.e. isang pagpapahayag ng tatlong monomial ng iba't ibang antas ng hindi kilalang x. Upang mahanap ang ugat ng isang square trinomial, kailangan mong kalkulahin ang halaga ng x kung saan ang expression na ito ay katumbas ng zero.
• Upang malutas ang isang quadratic equation, kailangan mong hanapin ang discriminant. Ang formula nito ay bunga ng paghihiwalay ng kumpletong parisukat ng polynomial at kumakatawan sa isang tiyak na ratio ng mga coefficient nito: D = B² – 4 A C.
• Ang discriminant ay maaaring magkaroon ng iba't ibang halaga, kabilang ang pagiging negatibo. At kung ang mga batang mag-aaral ay masasabi nang may kaluwagan na ang gayong equation ay walang mga ugat, kung gayon ang mga mag-aaral sa high school ay natutukoy na sila batay sa teorya ng mga kumplikadong numero. Kaya, maaaring mayroong tatlong opsyon: Discriminant – isang positibong numero. Kung gayon ang mga ugat ng equation ay pantay: x1 = (-B + √D)/2 A; x2 = (-B - √D)/2 A;
  Napunta sa zero ang discriminant. Sa teorya, sa kasong ito ang equation ay mayroon ding dalawang ugat, ngunit halos pareho sila: x1 = x2 = -B/2 A;
  Ang discriminant ay mas mababa sa zero. Ang isang tiyak na halaga i² = -1 ay ipinakilala sa pagkalkula, na nagpapahintulot sa amin na magsulat ng isang kumplikadong solusyon: x1 = (-B + i √|D|)/2 A; x2 = (-B - i √|D|)/2 A.
• Ang discriminant method ay wasto para sa anumang quadratic equation, ngunit may mga sitwasyon kung kailan ipinapayong gumamit ng mas mabilis na paraan, lalo na para sa maliliit na integer coefficients. Ang pamamaraang ito ay tinatawag na Vieta's theorem at binubuo ng isang pares ng mga ugnayan sa pagitan ng mga coefficient sa pinababang trinomial: x² + P x + Q
  x1 + x2 = -P;
  x1 x2 = Q. Ang natitira na lang ay hanapin ang mga ugat.
• Dapat pansinin na ang equation ay maaaring mabawasan sa isang katulad na anyo. Upang gawin ito, kailangan mong hatiin ang lahat ng mga tuntunin ng trinomial sa pamamagitan ng koepisyent ng pinakamataas na kapangyarihan A: A x² + B x + C |A
  x² + B/A x + C/A
  x1 + x2 = -B/A;
  x1 x2 = C/A.

Online na calculator.
Isolating ang square ng isang binomial at factoring ng square trinomial.

Ang math program na ito nakikilala ang square binomial mula sa square trinomial, ibig sabihin. gumagawa ng pagbabago tulad ng:
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) at nagfa-factorize ng isang quadratic trinomial: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

Yung. ang mga problema ay kumukulo sa paghahanap ng mga numero \(p, q\) at \(n, m\)

Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit ipinapakita din ang proseso ng solusyon.

Ang programang ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school sa mga paaralang pangkalahatang edukasyon kapag naghahanda para sa mga pagsusulit at pagsusulit, kapag sinusubukan ang kaalaman bago ang Pinag-isang Estado na Pagsusulit, at para sa mga magulang na kontrolin ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra.

O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ang iyong araling-bahay sa matematika o algebra sa lalong madaling panahon? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may mga detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay sa iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng paglutas ng mga problema.

Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa pagpasok ng isang quadratic trinomial, inirerekomenda namin na pamilyar ka sa mga ito.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng isang quadratic polynomial
Anumang Latin na titik ay maaaring kumilos bilang isang variable.

Halimbawa: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), atbp.
Maaaring ipasok ang mga numero bilang buo o fractional na mga numero.

Bukod dito, ang mga fractional na numero ay maaaring ipasok hindi lamang sa anyo ng isang decimal, kundi pati na rin sa anyo ng isang ordinaryong fraction.
Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga decimal fraction.
Sa mga decimal fraction, ang fractional na bahagi ay maaaring ihiwalay mula sa buong bahagi sa pamamagitan ng alinman sa isang tuldok o kuwit.

Halimbawa, maaari kang maglagay ng mga decimal fraction tulad nito: 2.5x - 3.5x^2
Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong fraction.

Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction.

Ang denominator ay hindi maaaring negatibo. /
Kapag nagpapasok ng isang numerical fraction, ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon: &
Ang buong bahagi ay pinaghihiwalay mula sa fraction ng ampersand sign:
Input: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2

Resulta: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\) Kapag nagpapasok ng isang expression maaari kang gumamit ng panaklong
. Sa kasong ito, kapag nag-solve, ang ipinakilala na expression ay unang pinasimple.

Halimbawa: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Halimbawa ng isang detalyadong solusyon Isolating ang parisukat ng isang binomial. Sagot:$$2x^2+2x-4 = 2\kaliwa(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Factorization.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\kaliwa(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \kanan) = $$ $$ 2 \kaliwa(x -1 \kanan) \kaliwa(x +2 \kanan) $$ Sagot:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Magpasya

Natuklasan na ang ilang mga script na kinakailangan upang malutas ang problemang ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

Naka-disable ang JavaScript sa iyong browser.
Para lumitaw ang solusyon, kailangan mong paganahin ang JavaScript.
Narito ang mga tagubilin kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.

kasi Maraming mga tao na handang lutasin ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Sa ilang segundo ang solusyon ay lilitaw sa ibaba.
Mangyaring maghintay sec...

Kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Feedback Form.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Isang maliit na teorya.

Paghihiwalay ng parisukat ng isang binomial mula sa isang parisukat na trinomyal

Kung ang parisukat na trinomial ax 2 +bx+c ay kinakatawan bilang a(x+p) 2 +q, kung saan ang p at q ay tunay na mga numero, pagkatapos ay sinasabi natin na mula sa square trinomial, naka-highlight ang square ng binomial.

Mula sa trinomial 2x 2 +12x+14 kinukuha namin ang parisukat ng binomial.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Upang gawin ito, isipin ang 6x bilang isang produkto ng 2*3*x, at pagkatapos ay idagdag at ibawas ang 3 2. Nakukuha namin:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

yun. Kami kunin ang square binomial mula sa square trinomial, at ipinakita na:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Pag-factor ng isang quadratic trinomial

Kung ang square trinomial ax 2 +bx+c ay kinakatawan sa anyong a(x+n)(x+m), kung saan ang n at m ay tunay na mga numero, kung gayon ang operasyon ay sinasabing isinagawa. factorization ng isang quadratic trinomial.

Ipakita natin sa isang halimbawa kung paano ginagawa ang pagbabagong ito.

I-factor natin ang quadratic trinomial 2x 2 +4x-6.

Alisin natin ang coefficient a sa mga bracket, i.e. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Ibahin natin ang expression sa mga bracket.
Upang gawin ito, isipin ang 2x bilang pagkakaiba na 3x-1x, at -3 bilang -1*3. Nakukuha namin:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

yun. Kami isinasali ang quadratic trinomial, at ipinakita na:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Tandaan na ang pag-factor ng isang quadratic trinomial ay posible lamang kapag ang quadratic equation na tumutugma sa trinomial na ito ay may mga ugat.
Yung. sa aming kaso, posibleng i-factor ang trinomial 2x 2 +4x-6 kung ang quadratic equation na 2x 2 +4x-6 =0 ay may mga ugat. Sa proseso ng factorization, itinatag namin na ang equation na 2x 2 + 4x-6 = 0 ay may dalawang ugat 1 at -3, dahil sa mga halagang ito, ang equation na 2(x-1)(x+3)=0 ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay.

Mga aklat (mga aklat-aralin) Mga Abstract ng Unified State Examination at ang Unified State Examination na pagsusulit online Mga laro, puzzle Pag-plot ng mga graph ng mga function Diksyunaryo ng pagbabaybay ng wikang Russian Dictionary of youth slang Catalog of Russian schools Catalog of secondary educational institutions of Russia Catalog of Russian universities List ng mga gawain

Ang pagpapalawak ng mga polynomial upang makakuha ng isang produkto ay maaaring minsan ay tila nakakalito. Ngunit hindi ganoon kahirap kung naiintindihan mo ang proseso nang hakbang-hakbang. Inilalarawan ng artikulo nang detalyado kung paano i-factor ang isang quadratic trinomial.

Maraming tao ang hindi nakakaintindi kung paano i-factor ang isang square trinomial, at kung bakit ito ginagawa. Sa una ay maaaring mukhang isang walang saysay na ehersisyo. Ngunit sa matematika walang ginagawa para sa wala. Ang pagbabago ay kinakailangan upang gawing simple ang expression at kadalian ng pagkalkula.

Isang polynomial ng anyo – ax²+bx+c, tinatawag na quadratic trinomial. Ang terminong "a" ay dapat na negatibo o positibo. Sa pagsasagawa, ang expression na ito ay tinatawag na isang quadratic equation. Samakatuwid, minsan iba ang sinasabi nila: kung paano palawakin ang isang quadratic equation.

Interesting! Ang polynomial ay tinatawag na parisukat dahil sa pinakamalaking antas nito, ang parisukat. At isang trinomial - dahil sa 3 sangkap.

Ilang iba pang uri ng polynomial:

• linear binomial (6x+8);
• kubiko quadrinomial (x³+4x²-2x+9).

Pag-factor ng isang quadratic trinomial

Una, ang expression ay katumbas ng zero, pagkatapos ay kailangan mong hanapin ang mga halaga ng mga ugat x1 at x2. Maaaring walang ugat, maaaring may isa o dalawang ugat. Ang pagkakaroon ng mga ugat ay tinutukoy ng discriminant. Kailangan mong malaman ang formula nito ayon sa puso: D=b²-4ac.

Kung ang resulta D ay negatibo, walang mga ugat. Kung positibo, mayroong dalawang ugat. Kung ang resulta ay zero, ang ugat ay isa. Ang mga ugat ay kinakalkula din gamit ang formula.

Kung, kapag kinakalkula ang discriminant, ang resulta ay zero, maaari mong gamitin ang alinman sa mga formula. Sa pagsasagawa, ang formula ay pinaikli lamang: -b / 2a.

Ang mga formula para sa iba't ibang mga halaga ng diskriminasyon ay iba.

Kung ang D ay positibo:

Kung ang D ay zero:

Mga online na calculator

Mayroong online na calculator sa Internet. Maaari itong magamit upang maisagawa ang factorization. Ang ilang mga mapagkukunan ay nagbibigay ng pagkakataon na tingnan ang solusyon sa hakbang-hakbang. Nakakatulong ang mga ganitong serbisyo upang mas maunawaan ang paksa, ngunit kailangan mong subukang maunawaan ito nang mabuti.

Kapaki-pakinabang na video: Pag-factor ng isang quadratic trinomial

Mga halimbawa

Iminumungkahi namin ang pagtingin sa mga simpleng halimbawa kung paano i-factor ang isang quadratic equation.

Halimbawa 1

Ito ay malinaw na nagpapakita na ang resulta ay dalawang x dahil ang D ay positibo. Kailangang mapalitan ang mga ito sa formula. Kung ang mga ugat ay lumabas na negatibo, ang pag-sign sa formula ay nagbabago sa kabaligtaran.

Alam natin ang formula para sa pag-factor ng isang quadratic trinomial: a(x-x1)(x-x2). Inilalagay namin ang mga halaga sa mga bracket: (x+3)(x+2/3). Walang numero bago ang isang termino sa isang kapangyarihan. Ibig sabihin meron doon, bumaba.

Halimbawa 2

Ang halimbawang ito ay malinaw na nagpapakita kung paano lutasin ang isang equation na may isang ugat.

Pinapalitan namin ang nagresultang halaga:

Halimbawa 3

Ibinigay: 5x²+3x+7

Una, kalkulahin natin ang discriminant, tulad ng sa mga nakaraang kaso.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Ang discriminant ay negatibo, ibig sabihin ay walang mga ugat.

Pagkatapos matanggap ang resulta, dapat mong buksan ang mga bracket at suriin ang resulta. Dapat lumitaw ang orihinal na trinomial.

Alternatibong solusyon

Ang ilang mga tao ay hindi kailanman nagawang makipagkaibigan sa discriminator. May isa pang paraan para i-factor ang isang quadratic trinomial. Para sa kaginhawahan, ang pamamaraan ay ipinapakita na may isang halimbawa.

Ibinigay: x²+3x-10

Alam namin na dapat kaming makakuha ng 2 bracket: (_)(_). Kapag ganito ang ekspresyon: x²+bx+c, sa simula ng bawat bracket ay inilalagay namin ang x: (x_)(x_). Ang natitirang dalawang numero ay ang produkto na nagbibigay ng "c", ibig sabihin, sa kasong ito -10. Ang tanging paraan upang malaman kung anong mga numero ang mga ito ay sa pamamagitan ng pagpili. Ang mga pinalit na numero ay dapat tumugma sa natitirang termino.

Halimbawa, ang pagpaparami ng mga sumusunod na numero ay nagbibigay ng -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Hindi.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Hindi.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Hindi.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Angkop.

Nangangahulugan ito na ang pagbabago ng expression na x2+3x-10 ay ganito: (x-2)(x+5).

Mahalaga! Dapat kang mag-ingat na huwag malito ang mga palatandaan.

Pagpapalawak ng isang kumplikadong trinomial

Kung ang "a" ay mas malaki kaysa sa isa, magsisimula ang mga paghihirap. Ngunit ang lahat ay hindi mahirap gaya ng tila.

Upang ma-factorize, kailangan mo munang tingnan kung anumang bagay ang maaaring i-factor out.

Halimbawa, ibinigay ang expression: 3x²+9x-30. Dito ang numero 3 ay inalis sa mga bracket:

3(x²+3x-10). Ang resulta ay ang kilalang trinomial. Ang sagot ay ganito: 3(x-2)(x+5)

Paano mabulok kung negatibo ang termino na nasa parisukat? Sa kasong ito, ang numero -1 ay inalis sa mga bracket. Halimbawa: -x²-10x-8. Ang expression ay magiging ganito:

Ang scheme ay naiiba nang kaunti mula sa nauna. Mayroong ilang mga bagong bagay. Sabihin nating ang expression ay ibinigay: 2x²+7x+3. Ang sagot ay nakasulat din sa 2 bracket na kailangang punan ng (_)(_). Sa 2nd bracket ay nakasulat x, at sa 1st kung ano ang natitira. Mukhang ganito: (2x_)(x_). Kung hindi, ang nakaraang scheme ay paulit-ulit.

Ang numero 3 ay ibinibigay ng mga numero:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Nilulutas namin ang mga equation sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga numerong ito. Ang huling pagpipilian ay angkop. Nangangahulugan ito na ang pagbabago ng expression na 2x²+7x+3 ay ganito ang hitsura: (2x+1)(x+3).

Iba pang mga kaso

Hindi laging posible na i-convert ang isang expression. Sa pangalawang paraan, hindi kinakailangan ang paglutas ng equation. Ngunit ang posibilidad ng pagbabago ng mga termino sa isang produkto ay sinusuri lamang sa pamamagitan ng discriminant.

Ito ay nagkakahalaga ng pagsasanay sa paglutas ng mga quadratic equation upang kapag ginagamit ang mga formula ay walang mga paghihirap.

Kapaki-pakinabang na video: pag-factor ng trinomial

Konklusyon

Magagamit mo ito sa anumang paraan. Ngunit mas mahusay na magsanay pareho hanggang sa maging awtomatiko sila. Gayundin, kailangan ang pag-aaral kung paano lutasin nang maayos ang mga quadratic equation at factor polynomial para sa mga taong nagpaplanong ikonekta ang kanilang buhay sa matematika. Ang lahat ng mga sumusunod na paksa sa matematika ay binuo dito.