Paano malutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay. Mga kumplikadong hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic

14.10.2019

Basahin din

Nagkomento si Medvedev sa pelikulang "He's Not Dimon to You": "Isang sikat na karakter ang hayagang tumatawag sa kanya na maging presidente"

Ang mga bagong panuntunan para sa mga pagbabayad sa MTPL ay magkakabisa sa Russia

Pag-drawing ng financial section ng isang business plan

Paano mapawi ang stress sa bahay

Mga uri ng buwis - ano ang mga ito para sa mga LLC, indibidwal na negosyante at indibidwal

Mga layunin ng aralin:

Didactic:

Antas 1 - turuan kung paano lutasin ang pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic, gamit ang kahulugan ng isang logarithm at ang mga katangian ng logarithm;
Antas 2 - lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic, pagpili ng iyong sariling paraan ng solusyon;
Level 3 – makapag-apply ng kaalaman at kasanayan sa mga hindi pamantayang sitwasyon.

Pang-edukasyon: bumuo ng memorya, atensyon, lohikal na pag-iisip, mga kasanayan sa paghahambing, kakayahang mag-generalize at gumawa ng mga konklusyon

Pang-edukasyon: linangin ang katumpakan, responsibilidad para sa gawaing ginagampanan, at pagtulong sa isa't isa.

Mga paraan ng pagtuturo: pasalita , biswal , praktikal , bahagyang paghahanap , sariling pamahalaan , kontrol.

Mga anyo ng organisasyon aktibidad na nagbibigay-malay mga mag-aaral: pangharap , indibidwal , magtrabaho nang magkapares.

Kagamitan: isang hanay ng mga gawain sa pagsubok, buod ng sanggunian, mga blangkong sheet para sa mga solusyon.

Uri ng aralin: pag-aaral ng bagong materyal.

Pag-unlad ng aralin

1. Organisasyon sandali. Ang paksa at mga layunin ng aralin, ang plano ng aralin ay inihayag: ang bawat mag-aaral ay binibigyan ng isang assessment sheet, na pupunan ng mag-aaral sa panahon ng aralin; para sa bawat pares ng mga mag-aaral - ang mga naka-print na materyales na may mga gawain ay dapat makumpleto nang magkapares; blangkong solusyon sheet; mga sheet ng suporta: kahulugan ng logarithm; graph ng isang logarithmic function, ang mga katangian nito; mga katangian ng logarithms; solusyon algorithm hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic.

Ang lahat ng mga desisyon pagkatapos ng self-assessment ay isinumite sa guro.

Iskor ng estudyante

2. Pag-update ng kaalaman.

Mga tagubilin ng guro. Alalahanin ang kahulugan ng isang logarithm, ang graph ng isang logarithmic function, at ang mga katangian nito. Upang gawin ito, basahin ang teksto sa pp. 88–90, 98–101 ng aklat-aralin na “Algebra at ang simula ng pagsusuri 10–11” na inedit ni Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin at iba pa.

Ang mga mag-aaral ay binibigyan ng mga sheet kung saan nakasulat ang: ang kahulugan ng logarithm; nagpapakita ng graph ng isang logarithmic function at mga katangian nito; mga katangian ng logarithms; algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic, isang halimbawa ng paglutas ng isang hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic na bumababa sa isang parisukat.

3. Pag-aaral ng bagong materyal.

Ang paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ay batay sa monotonicity ng logarithmic function.

Algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic:

A) Hanapin ang domain ng kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay (ang sublogarithmic expression ay mas malaki kaysa sa zero).
B) Kinakatawan (kung maaari) ang kaliwa at kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay bilang logarithms sa parehong base.
C) Tukuyin kung ang logarithmic function: kung t>1, pagkatapos ay tumataas; kung 0 1, pagkatapos ay bumababa.
D) Pumunta sa higit pa simpleng hindi pagkakapantay-pantay(sublogarithmic expressions), na isinasaalang-alang na ang inequality sign ay mananatili kung ang function ay tumaas, at magbabago kung ito ay bumaba.

Elemento ng pagkatuto #1.

Layunin: pagsama-samahin ang solusyon sa pinakasimpleng logarithmic inequalities

Form ng organisasyon ng aktibidad ng pag-iisip ng mga mag-aaral: indibidwal na gawain.

Mga gawain para sa malayang gawain sa loob ng 10 minuto. Para sa bawat hindi pagkakapantay-pantay mayroong ilang posibleng sagot; kailangan mong piliin ang tama at suriin ito gamit ang susi.

KEY: 13321, maximum na bilang ng mga puntos – 6 na puntos.

Elemento ng pagkatuto #2.

Layunin: pagsama-samahin ang solusyon ng logarithmic inequalities gamit ang mga katangian ng logarithms.

Mga tagubilin ng guro. Tandaan ang mga pangunahing katangian ng logarithms. Upang gawin ito, basahin ang teksto ng aklat-aralin sa pp. 92, 103–104.

Mga gawain para sa malayang gawain sa loob ng 10 minuto.

KEY: 2113, maximum na bilang ng mga puntos – 8 puntos.

Elemento ng pagkatuto #3.

Layunin: pag-aralan ang solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic sa pamamagitan ng paraan ng pagbabawas sa quadratic.

Mga tagubilin ng guro: ang paraan ng pagbabawas ng hindi pagkakapantay-pantay sa isang quadratic ay ang pagbabago ng hindi pagkakapantay-pantay sa isang form na ang isang tiyak na logarithmic function ay tinutukoy ng isang bagong variable, at sa gayon ay nakakakuha ng isang quadratic inequality na may kinalaman sa variable na ito.

Gamitin natin ang interval method.

Naipasa mo ang unang antas ng pag-master ng materyal. Ngayon ay kailangan mong malayang pumili ng isang paraan para sa paglutas ng mga logarithmic equation, gamit ang lahat ng iyong kaalaman at kakayahan.

Elemento ng pagkatuto #4.

Layunin: pagsama-samahin ang solusyon sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic sa pamamagitan ng malayang pagpili ng isang makatwirang paraan ng solusyon.

Mga gawain para sa malayang gawain sa loob ng 10 minuto

Elemento ng pagkatuto #5.

Mga tagubilin ng guro. Magaling! Kabisado mo ang paglutas ng mga equation ng pangalawang antas ng pagiging kumplikado. Ang layunin ng iyong karagdagang trabaho ay ilapat ang iyong kaalaman at kasanayan sa mas kumplikado at hindi karaniwang mga sitwasyon.

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Mga tagubilin ng guro. Mahusay kung natapos mo ang buong gawain. Magaling!

Ang marka para sa buong aralin ay nakadepende sa bilang ng mga puntos na nakuha para sa lahat ng elementong pang-edukasyon:

kung N ≥ 20, makakakuha ka ng "5" na rating,
para sa 16 ≤ N ≤ 19 – puntos “4”,
para sa 8 ≤ N ≤ 15 – puntos “3”,
sa N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Isumite ang mga papeles sa pagtatasa sa guro.

5. Takdang-aralin: kung nakakuha ka ng hindi hihigit sa 15 puntos, gawin ang iyong mga pagkakamali (maaaring kunin ang mga solusyon mula sa guro), kung nakakuha ka ng higit sa 15 puntos, kumpletuhin ang isang malikhaing gawain sa paksang "Logarithmic inequalities."

Kasama nila ay nasa loob ng logarithms.

Mga halimbawa:

$\log_3⁡x≥\log_3⁡9$
$\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}$
$\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2$
$\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))$

Paano malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic:

Dapat nating sikaping bawasan ang anumang logarithmic inequality sa anyo na $\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))$ (ang simbolo na $˅$ ay nangangahulugang alinman sa ). Ang ganitong uri ay nagbibigay-daan sa iyo upang mapupuksa ang mga logarithms at ang kanilang mga base, na ginagawa ang paglipat sa hindi pagkakapantay-pantay ng mga expression sa ilalim ng logarithms, iyon ay, sa anyo na $f(x) ˅ g(x)$.

Ngunit kapag ginagawa ang paglipat na ito, mayroong isang napakahalagang subtlety:
$-$ kung ay isang numero at mas malaki ito sa 1, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nananatiling pareho sa panahon ng paglipat,
$-$ kung ang base ay isang numerong mas malaki sa 0 ngunit mas mababa sa 1 (namamalagi sa pagitan ng zero at isa), kung gayon ang inequality sign ay dapat magbago sa kabaligtaran, i.e.

Mga halimbawa:

$\log_2⁡((8-x))<1$
ODZ: $8-x>0$
$-x>-8$
$x<8$

Solusyon:
$\log$$_2$ $(8-x)<\log$$_2$ ${2}$
$8-x$$<$ $2$
$8-2\(x>6$
Sagot: $(6;8)$

$\log$$_(0.5⁡)$ $(2x-4)$≥$\log$$_(0.5)$ ⁡$((x+ 1))$
ODZ: $\begin(cases)2x-4>0\\x+1 > 0\end(cases)$
$\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)$ $\Leftrightarrow$ $\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) $ $\Leftrightarrow$ $x\in(2;\infty)$

Solusyon:
$2x-4$$≤$ $x+1$
$2x-x≤4+1$
$x≤5$
Sagot: $(2;5]$

Napakahalaga! Sa anumang hindi pagkakapantay-pantay, ang paglipat mula sa form na $\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))$ sa paghahambing ng mga expression sa ilalim ng logarithms ay magagawa lamang kung:

Halimbawa . Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay: $\log$$≤-1$

Solusyon:

$\log$ $_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))$$≤-1$	Isulat natin ang ODZ.
ODZ: $\frac(3x-2)(2x-3)$ $>0$
$⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)$$≥$ $0$	Binuksan namin ang mga bracket at dinadala .
$⁡\frac(-3x+7)(2x-3)$ $≥$ $0$	Pinaparami namin ang hindi pagkakapantay-pantay sa $-1$, hindi nakakalimutang baligtarin ang paghahambing na tanda.
$⁡\frac(3x-7)(2x-3)$ $≤$ $0$
$⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))$$≤$ $0$	Bumuo tayo ng isang linya ng numero at markahan ang mga puntos na $\frac(7)(3)$ at $\frac(3)(2)$ dito. Pakitandaan na ang tuldok ay tinanggal mula sa denominator, sa kabila ng katotohanan na ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit. Ang katotohanan ay ang puntong ito ay hindi magiging solusyon, dahil kapag napalitan ito ng hindi pagkakapantay-pantay, hahantong ito sa paghahati ng zero.
$x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$	Ngayon ay i-plot namin ang ODZ sa parehong numerical axis at isulat bilang tugon ang pagitan na nahuhulog sa ODZ.
	Isinulat namin ang huling sagot.

Sagot: $x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$

Halimbawa . Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$

Solusyon:

$\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Isulat natin ang ODZ.
ODZ: $x>0$	Pumunta tayo sa solusyon.
Solusyon: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Dito mayroon tayong tipikal na square-logarithmic inequality. Gawin natin.
$t=\log_3⁡x$ $t^2-t-2>0$	Lay out kaliwang bahagi hindi pagkakapantay-pantay sa .
$D=1+8=9$ $t_1= \frac(1+3)(2)=2$ $t_2=\frac(1-3)(2)=-1$ $(t+1)(t-2)>0$
	Ngayon kailangan nating bumalik sa orihinal na variable - x. Upang gawin ito, pumunta tayo sa , na may parehong solusyon, at gawin ang reverse substitution.
$\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.$	Ibahin ang anyo $2=\log_3⁡9$, $-1=\log_3⁡\frac(1)(3)$.
$\left[ \begin(naipon) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Magpatuloy tayo sa paghahambing ng mga argumento. Ang mga base ng logarithms ay mas malaki kaysa sa $1$, kaya ang tanda ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago.
$\left[ \begin(naipon) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Pagsamahin natin ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay at ang ODZ sa isang pigura.
	Isulat natin ang sagot.

Sagot: $(0; \frac(1)(3))∪(9;∞)$

Ang hindi pagkakapantay-pantay ay tinatawag na logarithmic kung naglalaman ito ng logarithmic function.

Ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ay hindi naiiba sa, maliban sa dalawang bagay.

Una, kapag lumilipat mula sa logarithmic inequality hanggang sa hindi pagkakapantay-pantay ng sublogarithmic function, dapat sundin ang palatandaan ng nagresultang hindi pagkakapantay-pantay. Sinusunod nito ang sumusunod na tuntunin.

Kung ang base ng logarithmic function ay mas malaki kaysa sa $1$, pagkatapos ay kapag lumipat mula sa logarithmic inequality patungo sa hindi pagkakapantay-pantay ng sublogarithmic function, ang sign ng hindi pagkakapantay-pantay ay napanatili, ngunit kung ito ay mas mababa sa $1$, pagkatapos ay nagbabago ito sa kabaligtaran .

Pangalawa, ang solusyon sa anumang hindi pagkakapantay-pantay ay isang agwat, at, samakatuwid, sa pagtatapos ng paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay ng mga sublogarithmic function na kinakailangan upang lumikha ng isang sistema ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay: ang unang hindi pagkakapantay-pantay ng sistemang ito ay ang hindi pagkakapantay-pantay ng mga sublogarithmic function, at ang pangalawa ay ang pagitan ng domain ng kahulugan ng logarithmic function na kasama sa logarithmic inequality.

Magsanay.

Lutasin natin ang mga hindi pagkakapantay-pantay:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Ang base ng logarithm ay $2>1$, kaya hindi nagbabago ang sign. Gamit ang kahulugan ng logarithm, nakukuha natin ang:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Isulat natin ang ODZ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Binuksan namin ang mga bracket at dinadala .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Pinaparami namin ang hindi pagkakapantay-pantay sa \(-1\), hindi nakakalimutang baligtarin ang paghahambing na tanda.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Bumuo tayo ng isang linya ng numero at markahan ang mga puntos na \(\frac(7)(3)\) at \(\frac(3)(2)\) dito. Pakitandaan na ang tuldok ay tinanggal mula sa denominator, sa kabila ng katotohanan na ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit. Ang katotohanan ay ang puntong ito ay hindi magiging solusyon, dahil kapag napalitan ito ng hindi pagkakapantay-pantay, hahantong ito sa paghahati ng zero.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Ngayon ay i-plot namin ang ODZ sa parehong numerical axis at isulat bilang tugon ang pagitan na nahuhulog sa ODZ.
	Isinulat namin ang huling sagot.

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Isulat natin ang ODZ.
ODZ: \(x>0\)	Pumunta tayo sa solusyon.
Solusyon: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Dito mayroon tayong tipikal na square-logarithmic inequality. Gawin natin.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Lay out kaliwang bahagi hindi pagkakapantay-pantay sa .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Ngayon kailangan nating bumalik sa orihinal na variable - x. Upang gawin ito, pumunta tayo sa , na may parehong solusyon, at gawin ang reverse substitution.
\(\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Ibahin ang anyo \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \begin(naipon) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Magpatuloy tayo sa paghahambing ng mga argumento. Ang mga base ng logarithms ay mas malaki kaysa sa \(1\), kaya ang tanda ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago.
\(\left[ \begin(naipon) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Pagsamahin natin ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay at ang ODZ sa isang pigura.
	Isulat natin ang sagot.