Paano malutas nang tama ang mga rational equation. Paglutas ng integer at fractional rational equation

Paano malutas nang tama ang mga rational equation. Paglutas ng integer at fractional rational equation
Paano malutas nang tama ang mga rational equation. Paglutas ng integer at fractional rational equation
10.10.2019

Sa artikulong ito ipapakita ko sa iyo pitong uri ng mga algorithm ng solusyon rational equation , na maaaring bawasan sa quadratic sa pamamagitan ng pagbabago ng mga variable. Sa karamihan ng mga kaso, ang mga pagbabagong humahantong sa pagpapalit ay napaka hindi mahalaga, at medyo mahirap hulaan ang tungkol sa mga ito nang mag-isa.

Para sa bawat uri ng equation, ipapaliwanag ko kung paano gumawa ng pagbabago ng variable dito, at pagkatapos ay magpapakita ng detalyadong solusyon sa kaukulang video tutorial.

May pagkakataon kang magpatuloy sa paglutas ng mga equation sa iyong sarili, at pagkatapos ay suriin ang iyong solusyon sa aralin sa video.

Kaya simulan na natin.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Tandaan na sa kaliwang bahagi ng equation mayroong isang produkto ng apat na bracket, at sa kanang bahagi ay mayroong isang numero.

1. Ipangkat natin ang mga bracket sa dalawa upang ang kabuuan ng mga libreng termino ay pareho.

2. Paramihin sila.

3. Ipakilala natin ang pagbabago ng variable.

Sa aming equation, papangkatin namin ang unang bracket sa pangatlo, at ang pangalawa sa ikaapat, dahil (-1)+(-4)=(-7)+2:

Sa puntong ito ang pagpapalit ng variable ay nagiging halata:

Nakukuha namin ang equation

Sagot:

2 .

Ang isang equation ng ganitong uri ay katulad ng nauna na may isang pagkakaiba: sa kanang bahagi ng equation ay ang produkto ng numero at . At ito ay nalutas sa isang ganap na naiibang paraan:

1. Pinagpangkat namin ang mga bracket sa pamamagitan ng dalawa upang ang produkto ng mga libreng termino ay pareho.

2. I-multiply ang bawat pares ng bracket.

3. Kinukuha namin ang x sa bawat salik.

4. Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng .

5. Ipinakilala namin ang pagbabago ng variable.

Sa equation na ito, pinapangkat namin ang unang bracket sa ikaapat, at ang pangalawa sa pangatlo, dahil:

Tandaan na sa bawat bracket ang koepisyent at ang libreng termino ay pareho. Kumuha tayo ng salik sa bawat bracket:

Dahil ang x=0 ay hindi isang ugat ng orihinal na equation, hinahati namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng . Nakukuha namin:

Nakukuha namin ang equation:

Sagot:

3 .

Tandaan na ang mga denominador ng parehong mga fraction ay square trinomals, kung saan ang nangungunang koepisyent at ang libreng termino ay pareho. Kunin natin ang x sa bracket, tulad ng sa equation ng pangalawang uri. Nakukuha namin:

Hatiin ang numerator at denominator ng bawat fraction sa x:

Ngayon ay maaari naming ipakilala ang isang variable na kapalit:

Kumuha kami ng equation para sa variable t:

4 .

Tandaan na ang mga coefficient ng equation ay simetriko na may paggalang sa gitnang isa. Ang equation na ito ay tinatawag maibabalik .

Upang malutas ito,

1. Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng (Magagawa natin ito dahil ang x=0 ay hindi ugat ng equation.) Nakukuha natin ang:

2. Pangkatin natin ang mga termino sa ganitong paraan:

3. Sa bawat pangkat, alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket:

4. Ipakilala natin ang kapalit:

5. Ipahayag sa pamamagitan ng t ang expression:

Mula dito

Nakukuha namin ang equation para sa t:

Sagot:

5. Mga homogenous na equation.

Ang mga equation na may homogenous na istraktura ay maaaring makatagpo kapag nilulutas ang exponential, logarithmic at trigonometriko equation, kaya kailangan mo itong makilala.

Ang mga homogenous na equation ay may sumusunod na istraktura:

Sa pagkakapantay-pantay na ito, ang A, B at C ay mga numero, at ang parisukat at bilog ay nagpapahiwatig ng magkatulad na mga expression. Iyon ay, sa kaliwang bahagi ng isang homogenous na equation mayroong isang kabuuan ng mga monomial na may parehong antas (sa sa kasong ito ang antas ng monomials ay 2), at walang libreng termino.

Upang malutas ang isang homogenous na equation, hatiin ang magkabilang panig sa pamamagitan ng

Pansin! Kapag hinahati ang kanan at kaliwang bahagi ng isang equation sa pamamagitan ng isang expression na naglalaman ng hindi alam, maaari kang mawalan ng mga ugat. Samakatuwid, kinakailangang suriin kung ang mga ugat ng expression kung saan hinahati natin ang magkabilang panig ng equation ay ang mga ugat ng orihinal na equation.

Pumunta tayo sa unang daan. Nakukuha namin ang equation:

Ngayon ipinakilala namin ang variable na kapalit:

Pasimplehin natin ang expression at kumuha ng biquadratic equation para sa t:

Sagot: o

7 .

Ang equation na ito ay may sumusunod na istraktura:

Upang malutas ito, kailangan mong pumili ng isang kumpletong parisukat sa kaliwang bahagi ng equation.

Upang pumili ng isang buong parisukat, kailangan mong idagdag o ibawas nang dalawang beses ang produkto. Pagkatapos ay makuha namin ang parisukat ng kabuuan o pagkakaiba. Ito ay mahalaga para sa matagumpay na pagpapalit ng variable.

Magsimula tayo sa paghahanap ng dalawang beses sa produkto. Ito ang magiging susi sa pagpapalit ng variable. Sa aming equation, dalawang beses ang produkto ay katumbas ng

Ngayon, alamin natin kung ano ang mas maginhawa para sa atin - ang parisukat ng kabuuan o ang pagkakaiba. Isaalang-alang muna natin ang kabuuan ng mga expression:

Magaling! Ang expression na ito ay eksaktong katumbas ng dalawang beses sa produkto. Pagkatapos, upang makuha ang parisukat ng kabuuan sa mga bracket, kailangan mong idagdag at ibawas ang dobleng produkto:


Ipagpatuloy natin ang pag-uusap paglutas ng mga equation. Sa artikulong ito ay tatalakayin natin ang tungkol sa rational equation at mga prinsipyo ng paglutas ng mga rational equation na may isang variable. Una, alamin natin kung anong uri ng mga equation ang tinatawag na rational, magbigay ng kahulugan ng buong rational at fractional rational equation, at magbigay ng mga halimbawa. Susunod, kukuha kami ng mga algorithm para sa paglutas ng mga rational equation, at, siyempre, isasaalang-alang namin ang mga solusyon sa karaniwang mga halimbawa kasama ang lahat ng kinakailangang paliwanag.

Pag-navigate sa pahina.

Batay sa mga nakasaad na kahulugan, nagbibigay kami ng ilang mga halimbawa ng mga rational equation. Halimbawa, ang x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , ay lahat ng rational equation.

Mula sa mga halimbawang ipinakita, malinaw na ang mga rational equation, pati na rin ang mga equation ng iba pang mga uri, ay maaaring may isang variable, o may dalawa, tatlo, atbp. mga variable. Sa mga sumusunod na talata ay pag-uusapan natin ang paglutas ng mga rational equation na may isang variable. Paglutas ng mga equation sa dalawang variable at ang kanilang malaking bilang ay nararapat na espesyal na atensyon.

Bilang karagdagan sa paghahati ng mga rational equation sa pamamagitan ng bilang ng mga hindi kilalang variable, nahahati din sila sa mga integer at fractional. Ibigay natin ang mga kaukulang kahulugan.

Kahulugan.

Tinatawag ang rational equation buo, kung pareho ang kaliwa at kanang gilid nito ay integer rational expression.

Kahulugan.

Kung hindi bababa sa isa sa mga bahagi ng isang rational equation ay isang fractional expression, kung gayon ang naturang equation ay tinatawag na fractionally rational(o fractional rational).

Malinaw na ang buong equation ay hindi naglalaman ng paghahati sa isang variable sa kabaligtaran, ang mga fractional rational equation ay kinakailangang naglalaman ng dibisyon ng isang variable (o isang variable sa denominator). Kaya 3 x+2=0 at (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0.5- ito ay buong rational equation, pareho ng kanilang mga bahagi ay buong expression. Ang A at x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 ay mga halimbawa ng fractional rational equation.

Sa pagtatapos ng puntong ito, bigyang-pansin natin ang katotohanan na ang mga linear equation at quadratic equation na kilala sa puntong ito ay buong rational equation.

Paglutas ng buong equation

Ang isa sa mga pangunahing diskarte sa paglutas ng buong equation ay upang bawasan ang mga ito sa mga katumbas algebraic equation. Ito ay palaging magagawa sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga sumusunod na katumbas na pagbabagong-anyo ng equation:

  • una, ang expression mula sa kanang bahagi ng orihinal na integer equation ay inililipat sa kaliwang bahagi Sa kabaligtaran ng tanda upang makakuha ng zero sa kanang bahagi;
  • pagkatapos nito, sa kaliwang bahagi ng equation ang nagreresulta karaniwang view.

Ang resulta ay algebraic equation, na katumbas ng orihinal na integer equation. Kaya, sa pinakasimpleng mga kaso, ang paglutas ng buong equation ay nabawasan sa paglutas ng linear o quadratic equation, at sa pangkalahatang kaso – sa solusyon ng isang algebraic equation ng degree n. Para sa kalinawan, tingnan natin ang solusyon sa halimbawa.

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng buong equation 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Solusyon.

Bawasan natin ang solusyon ng buong equation na ito sa solusyon ng isang katumbas na algebraic equation. Upang gawin ito, una, inilipat namin ang expression mula sa kanang bahagi sa kaliwa, bilang isang resulta ay nakarating kami sa equation 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. At, pangalawa, binabago namin ang expression na nabuo sa kaliwang bahagi sa isang polynomial ng karaniwang anyo sa pamamagitan ng pagsasagawa ng kinakailangan: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Kaya, ang paglutas ng orihinal na integer equation ay binabawasan sa paglutas ng quadratic equation x 2 −5·x−6=0.

Kinakalkula namin ang diskriminasyon nito D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, ito ay positibo, na nangangahulugan na ang equation ay may dalawang tunay na ugat, na makikita natin gamit ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation:

Upang maging ganap na sigurado, gawin natin ito pagsuri sa mga natagpuang ugat ng equation. Una naming suriin ang ugat 6, palitan ito sa halip na ang variable na x sa orihinal na integer equation: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, na pareho, 63=63. Ito ay isang wastong numerical equation, samakatuwid ang x=6 ay talagang ugat ng equation. Ngayon suriin namin ang ugat −1, mayroon kami 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, mula sa kung saan, 0=0 . Kapag x=−1, ang orihinal na equation ay nagiging isang tamang numerical equality, samakatuwid, ang x=−1 ay isa ring ugat ng equation.

Sagot:

6 , −1 .

Dito dapat ding tandaan na ang terminong "degree ng buong equation" ay nauugnay sa representasyon ng isang buong equation sa anyo ng isang algebraic equation. Ibigay natin ang kaukulang kahulugan:

Kahulugan.

Ang kapangyarihan ng buong equation ay tinatawag na antas ng isang katumbas na algebraic equation.

Ayon sa kahulugang ito, ang buong equation mula sa nakaraang halimbawa ay may pangalawang antas.

Ito ay maaaring ang katapusan ng paglutas ng buong rational equation, kung hindi para sa isang bagay…. Tulad ng nalalaman, ang paglutas ng mga algebraic equation ng degree na mas mataas kaysa sa pangalawa ay nauugnay sa mga makabuluhang paghihirap, at para sa mga equation ng degree na mas mataas kaysa sa ikaapat ay walang pangkalahatang mga formula mga ugat. Samakatuwid, upang malutas ang buong equation ng ikatlo, ikaapat at higit pa mataas na grado Kadalasan kailangan mong gumamit ng iba pang mga paraan ng solusyon.

Sa ganitong mga kaso, isang diskarte sa paglutas ng buong rational equation batay sa paraan ng factorization. Sa kasong ito, ang sumusunod na algorithm ay sinusunod:

  • una, tinitiyak nila na mayroong zero sa kanang bahagi ng equation, inililipat nila ang expression mula sa kanang bahagi ng buong equation sa kaliwa;
  • pagkatapos, ang resultang expression sa kaliwang bahagi ay ipinakita bilang isang produkto ng ilang mga kadahilanan, na nagpapahintulot sa amin na lumipat sa isang hanay ng ilang mas simpleng mga equation.

Ang ibinigay na algorithm para sa paglutas ng isang buong equation sa pamamagitan ng factorization ay nangangailangan ng isang detalyadong paliwanag gamit ang isang halimbawa.

Halimbawa.

Lutasin ang buong equation (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Solusyon.

Una, gaya ng dati, inililipat namin ang expression mula sa kanang bahagi sa kaliwang bahagi ng equation, hindi nakakalimutang baguhin ang sign, nakukuha namin (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Dito ay medyo halata na hindi ipinapayong baguhin ang kaliwang bahagi ng resultang equation sa isang polynomial ng standard form, dahil ito ay magbibigay ng algebraic equation ng ika-apat na degree ng form. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, ang solusyon nito ay mahirap.

Sa kabilang banda, kitang-kita na sa kaliwang bahagi ng nagreresultang equation ay maaari nating x 2 −10 x+13 , sa gayon ay ipapakita ito bilang isang produkto. meron tayo (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Ang resultang equation ay katumbas ng orihinal na buong equation, at ito naman, ay maaaring palitan ng isang set ng dalawang quadratic equation x 2 −10·x+13=0 at x 2 −2·x−1=0. Ang paghahanap ng kanilang mga ugat sa pamamagitan ng mga kilalang formula roots through the discriminant is not difficult, the roots are equal. Sila ang gustong mga ugat ng orihinal na equation.

Sagot:

Kapaki-pakinabang din para sa paglutas ng buong rational equation paraan para sa pagpapakilala ng bagong variable. Sa ilang mga kaso, pinapayagan ka nitong lumipat sa mga equation na ang antas ay mas mababa kaysa sa antas ng orihinal na buong equation.

Halimbawa.

Hanapin ang tunay na mga ugat ng isang rational equation (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Solusyon.

Ang pagbabawas ng buong rational equation na ito sa isang algebraic equation ay, sa madaling salita, hindi isang napakagandang ideya, dahil sa kasong ito ay darating tayo sa pangangailangan na lutasin ang isang fourth-degree na equation na walang rasyonal na mga ugat. Samakatuwid, kakailanganin mong maghanap ng isa pang solusyon.

Dito madaling makita na maaari kang magpakilala ng bagong variable na y at palitan ang expression na x 2 +3·x dito. Ang kapalit na ito ay humahantong sa amin sa buong equation (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , na, pagkatapos ilipat ang expression −2·(y−4) sa kaliwang bahagi at kasunod na pagbabago ng expression nabuo doon, ay binabawasan sa isang quadratic equation y 2 +4·y+3=0. Ang mga ugat ng equation na ito y=−1 at y=−3 ay madaling mahanap, halimbawa, maaari silang mapili batay sa theorem inverse sa Vieta's theorem.

Ngayon ay lumipat kami sa ikalawang bahagi ng paraan ng pagpapakilala ng isang bagong variable, iyon ay, sa pagsasagawa ng isang reverse replacement. Matapos isagawa ang reverse substitution, nakakuha tayo ng dalawang equation x 2 +3 x=−1 at x 2 +3 x=−3, na maaaring muling isulat bilang x 2 +3 x+1=0 at x 2 +3 x+3 =0 . Gamit ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation, makikita natin ang mga ugat ng unang equation. At ang pangalawang quadratic equation ay walang tunay na mga ugat, dahil ang discriminant nito ay negatibo (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Sagot:

Sa pangkalahatan, kapag nakikitungo tayo sa buong equation na may mataas na antas, dapat tayong laging handa sa paghahanap hindi pamantayang pamamaraan o isang artipisyal na paraan upang malutas ang mga ito.

Paglutas ng mga fractional rational equation

Una, magiging kapaki-pakinabang na maunawaan kung paano lutasin ang mga fractional rational equation ng form , kung saan ang p(x) at q(x) ay integer rational expression. At pagkatapos ay ipapakita namin kung paano bawasan ang solusyon ng iba pang mga fractionally rational equation sa solusyon ng mga equation ng ipinahiwatig na uri.

Ang isa sa mga diskarte sa paglutas ng equation ay batay sa sumusunod na pahayag: numerical fraction u/v , kung saan ang v ay isang non-zero na numero (kung hindi ay makakatagpo tayo ng , na hindi natukoy), ay katumbas ng zero kung at kung ang numerator nito ay zero, iyon ay, kung at kung u=0 lamang. Sa bisa ng pahayag na ito, ang paglutas ng equation ay binabawasan upang matupad ang dalawang kondisyon p(x)=0 at q(x)≠0.

Ang konklusyong ito ay tumutugma sa mga sumusunod algorithm para sa paglutas ng isang fractional rational equation. Upang malutas ang isang fractional rational equation ng form , kailangan mo

  • lutasin ang buong rational equation p(x)=0 ;
  • at suriin kung ang kondisyon q(x)≠0 ay nasiyahan para sa bawat ugat na natagpuan, habang
    • kung totoo, ang ugat na ito ay ang ugat ng orihinal na equation;
    • kung hindi ito nasiyahan, ang ugat na ito ay extraneous, ibig sabihin, hindi ito ang ugat ng orihinal na equation.

Tingnan natin ang isang halimbawa ng paggamit ng inihayag na algorithm kapag nilulutas ang isang fractional rational equation.

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng equation.

Solusyon.

Ito ay isang fractional rational equation, at ng anyong , kung saan ang p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Ayon sa algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation ng ganitong uri, kailangan muna nating lutasin ang equation na 3 x−2=0. Ito ay isang linear equation na ang ugat ay x=2/3.

Ito ay nananatiling suriin para sa ugat na ito, iyon ay, suriin kung natutugunan nito ang kondisyon na 5 x 2 −2≠0. Pinapalitan namin ang numerong 2/3 sa expression na 5 x 2 −2 sa halip na x, at nakukuha namin . Ang kundisyon ay natutugunan, kaya ang x=2/3 ay ang ugat ng orihinal na equation.

Sagot:

2/3 .

Maaari mong lapitan ang paglutas ng isang fractional rational equation mula sa isang bahagyang naiibang posisyon. Ang equation na ito ay katumbas ng integer equation p(x)=0 sa variable x ng orihinal na equation. Ibig sabihin, maaari kang manatili dito algorithm para sa paglutas ng isang fractional rational equation :

  • lutasin ang equation na p(x)=0 ;
  • hanapin ang ODZ ng variable x;
  • mag-ugat na kabilang sa lugar mga katanggap-tanggap na halaga, - sila ang gustong mga ugat ng orihinal na fractional rational equation.

Halimbawa, lutasin natin ang isang fractional rational equation gamit ang algorithm na ito.

Halimbawa.

Lutasin ang equation.

Solusyon.

Una, lutasin natin ang quadratic equation x 2 −2·x−11=0. Ang mga ugat nito ay maaaring kalkulahin gamit ang root formula para sa kahit na pangalawang koepisyent, mayroon tayo D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, At .

Pangalawa, nakita natin ang ODZ ng variable x para sa orihinal na equation. Binubuo ito ng lahat ng numero kung saan ang x 2 +3·x≠0, na kapareho ng x·(x+3)≠0, kung saan ang x≠0, x≠−3.

Ito ay nananatiling suriin kung ang mga ugat na natagpuan sa unang hakbang ay kasama sa ODZ. Halatang oo. Samakatuwid, ang orihinal na fractional rational equation ay may dalawang ugat.

Sagot:

Tandaan na ang diskarteng ito ay mas kumikita kaysa sa una kung ang ODZ ay madaling mahanap, at lalong kapaki-pakinabang kung ang mga ugat ng equation na p(x) = 0 ay hindi makatwiran, halimbawa, o makatuwiran, ngunit may isang medyo malaking numerator at /o denominator, halimbawa, 127/1101 at −31/59. Ito ay dahil sa katotohanan na sa mga ganitong kaso, ang pagsuri sa kundisyon q(x)≠0 ay mangangailangan ng makabuluhang pagsusumikap sa computational, at mas madaling ibukod ang mga extraneous na ugat gamit ang ODZ.

Sa ibang mga kaso, kapag nilulutas ang equation, lalo na kapag ang mga ugat ng equation na p(x) = 0 ay mga integer, mas kapaki-pakinabang na gamitin ang una sa mga ibinigay na algorithm. Iyon ay, ipinapayong mahanap agad ang mga ugat ng buong equation p(x)=0, at pagkatapos ay suriin kung ang kondisyon q(x)≠0 ay nasiyahan para sa kanila, sa halip na hanapin ang ODZ, at pagkatapos ay lutasin ang equation p(x)=0 sa ODZ na ito . Ito ay dahil sa ang katunayan na sa mga ganitong kaso kadalasan ay mas madaling suriin kaysa sa paghahanap ng DZ.

Isaalang-alang natin ang solusyon ng dalawang halimbawa upang ilarawan ang tinukoy na mga nuances.

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng equation.

Solusyon.

Una, hanapin natin ang mga ugat ng buong equation (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, na binubuo gamit ang numerator ng fraction. Ang kaliwang bahagi ng equation na ito ay isang produkto, at ang kanang bahagi ay zero, samakatuwid, ayon sa paraan ng paglutas ng mga equation sa pamamagitan ng factorization, ang equation na ito ay katumbas ng isang set ng apat na equation 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tatlo sa mga equation na ito ay linear at ang isa ay quadratic; Mula sa unang equation nakita natin ang x=1/2, mula sa pangalawa - x=6, mula sa pangatlo - x=7, x=−2, mula sa ikaapat - x=−1.

Sa mga ugat na natagpuan, medyo madaling suriin kung ang denominator ng fraction sa kaliwang bahagi ng orihinal na equation ay nawawala, ngunit ang pagtukoy sa ODZ, sa kabaligtaran, ay hindi napakadali, dahil para dito kailangan mong lutasin ang isang algebraic equation ng ikalimang degree. Samakatuwid, aabandunahin namin ang paghahanap ng ODZ sa pabor ng pagsuri sa mga ugat. Upang gawin ito, pinapalitan namin ang mga ito nang paisa-isa sa halip na ang variable na x sa expression x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, nakuha pagkatapos ng pagpapalit, at ihambing ang mga ito sa zero: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Kaya, ang 1/2, 6 at −2 ay ang gustong mga ugat ng orihinal na fractional rational equation, at ang 7 at −1 ay mga extraneous na ugat.

Sagot:

1/2 , 6 , −2 .

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng isang fractional rational equation.

Solusyon.

Una, hanapin natin ang mga ugat ng equation (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Ang equation na ito ay katumbas ng isang set ng dalawang equation: square 5·x 2 −7·x−1=0 at linear x−2=0. Gamit ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation, nakita namin ang dalawang ugat, at mula sa pangalawang equation mayroon kaming x=2.

Ang pagsuri kung ang denominator ay napupunta sa zero sa mga nahanap na halaga ng x ay medyo hindi kasiya-siya. At ang pagtukoy sa hanay ng mga pinahihintulutang halaga ng variable x sa orihinal na equation ay medyo simple. Samakatuwid, kikilos tayo sa pamamagitan ng ODZ.

Sa aming kaso, ang ODZ ng variable x ng orihinal na fractional rational equation ay binubuo ng lahat ng mga numero maliban sa kung saan ang kundisyon x 2 +5·x−14=0 ay nasiyahan. Ang mga ugat ng quadratic equation na ito ay x=−7 at x=2, kung saan kami ay gumuhit ng konklusyon tungkol sa ODZ: ito ay binubuo ng lahat ng x tulad na .

Ito ay nananatiling suriin kung ang mga natagpuang ugat at x=2 ay nabibilang sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Ang mga ugat ay nabibilang, samakatuwid, sila ay mga ugat ng orihinal na equation, at x=2 ay hindi kabilang, samakatuwid, ito ay isang extraneous na ugat.

Sagot:

Magiging kapaki-pakinabang din ang pag-isipan nang hiwalay sa mga kaso kapag sa isang fractional rational equation ng form ay mayroong isang numero sa numerator, iyon ay, kapag ang p(x) ay kinakatawan ng ilang numero. Kasabay nito

  • kung ang numerong ito ay hindi zero, kung gayon ang equation ay walang mga ugat, dahil ang isang fraction ay katumbas ng zero kung at kung ang numerator nito ay katumbas ng zero;
  • kung ang numerong ito ay zero, kung gayon ang ugat ng equation ay anumang numero mula sa ODZ.

Halimbawa.

Solusyon.

Dahil ang numerator ng fraction sa kaliwang bahagi ng equation ay naglalaman ng isang non-zero na numero, kung gayon para sa anumang x ang halaga ng fraction na ito ay hindi maaaring katumbas ng zero. Samakatuwid, ang equation na ito ay walang mga ugat.

Sagot:

walang ugat.

Halimbawa.

Lutasin ang equation.

Solusyon.

Ang numerator ng fraction sa kaliwang bahagi ng fractional rational equation na ito ay naglalaman ng zero, kaya ang halaga ng fraction na ito ay zero para sa anumang x kung saan ito ay may katuturan. Sa madaling salita, ang solusyon sa equation na ito ay anumang halaga ng x mula sa ODZ ng variable na ito.

Ito ay nananatiling upang matukoy ang hanay na ito ng mga katanggap-tanggap na halaga. Kabilang dito ang lahat ng mga halaga ng x kung saan x 4 +5 x 3 ≠0. Ang mga solusyon sa equation x 4 +5 x 3 =0 ay 0 at −5, dahil ang equation na ito ay katumbas ng equation x 3 (x+5)=0, at ito naman ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang equation x 3 =0 at x +5=0, mula sa kung saan makikita ang mga ugat na ito. Samakatuwid, ang nais na hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ay anumang x maliban sa x=0 at x=−5.

Kaya, ang isang fractional rational equation ay may walang katapusang maraming solusyon, na anumang mga numero maliban sa zero at minus lima.

Sagot:

Sa wakas, oras na para pag-usapan ang paglutas ng mga fractional rational equation ng arbitrary form. Maaari silang isulat bilang r(x)=s(x), kung saan ang r(x) at s(x) ay mga rational expression, at kahit isa sa mga ito ay fractional. Sa hinaharap, sabihin natin na ang kanilang solusyon ay bumababa sa paglutas ng mga equation ng form na pamilyar sa atin.

Alam na ang paglilipat ng isang termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa na may kabaligtaran na tanda ay humahantong sa isang katumbas na equation, samakatuwid ang equation r(x)=s(x) ay katumbas ng equation r(x)−s(x) )=0.

Alam din namin na ang alinmang , na magkapareho sa expression na ito, ay posible. Kaya, maaari nating palaging baguhin ang rational expression sa kaliwang bahagi ng equation r(x)−s(x)=0 sa isang magkaparehong pantay na rational fraction ng form .

Kaya lumipat tayo mula sa orihinal na fractional rational equation r(x)=s(x) sa equation, at ang solusyon nito, tulad ng nalaman natin sa itaas, ay nabawasan sa paglutas ng equation na p(x)=0.

Ngunit narito, kinakailangang isaalang-alang ang katotohanan na kapag pinapalitan ang r(x)−s(x)=0 ng , at pagkatapos ay sa p(x)=0, maaaring lumawak ang saklaw ng mga pinahihintulutang halaga ng variable x .

Dahil dito, ang orihinal na equation r(x)=s(x) at ang equation na p(x)=0 na aming narating ay maaaring maging hindi pantay, at sa pamamagitan ng paglutas ng equation na p(x)=0, makakakuha tayo ng mga ugat. na magiging mga extraneous na ugat ng orihinal na equation r(x)=s(x) . Maaari mong tukuyin at huwag isama ang mga extraneous na ugat sa sagot alinman sa pamamagitan ng pagsasagawa ng check o sa pamamagitan ng pagsuri na kabilang sila sa ODZ ng orihinal na equation.

Ibuod natin ang impormasyong ito sa algorithm para sa paglutas ng fractional rational equation r(x)=s(x). Upang malutas ang fractional rational equation r(x)=s(x) , kailangan mo

  • Kumuha ng zero sa kanan sa pamamagitan ng paglipat ng expression mula sa kanang bahagi na may kabaligtaran na palatandaan.
  • Magsagawa ng mga operasyon na may mga fraction at polynomial sa kaliwang bahagi ng equation, sa gayon ay ginagawa itong isang rational fraction ng form.
  • Lutasin ang equation na p(x)=0.
  • Kilalanin at alisin ang mga extraneous na ugat, na ginagawa sa pamamagitan ng pagpapalit sa kanila sa orihinal na equation o sa pamamagitan ng pagsuri sa kanilang pag-aari sa ODZ ng orihinal na equation.

Para sa higit na kalinawan, ipapakita namin ang buong chain ng paglutas ng mga fractional rational equation:
.

Tingnan natin ang mga solusyon ng ilang mga halimbawa na may detalyadong paliwanag ng proseso ng solusyon upang linawin ang ibinigay na bloke ng impormasyon.

Halimbawa.

Lutasin ang isang fractional rational equation.

Solusyon.

Kikilos kami alinsunod sa algorithm ng solusyon na nakuha lang. At una, inilipat namin ang mga termino mula sa kanang bahagi ng equation sa kaliwa, bilang isang resulta lumipat kami sa equation.

Sa ikalawang hakbang, kailangan nating i-convert ang fractional rational expression sa kaliwang bahagi ng resultang equation sa anyo ng isang fraction. Upang gawin ito, nagsasagawa kami ng isang cast rational fractions sa isang common denominator at pasimplehin ang resultang expression: . Kaya dumating tayo sa equation.

Sa susunod na hakbang, kailangan nating lutasin ang equation na −2·x−1=0. Nahanap namin ang x=−1/2.

Ito ay nananatiling suriin kung ang nahanap na numero −1/2 ay hindi isang extraneous na ugat ng orihinal na equation. Upang gawin ito, maaari mong suriin o hanapin ang VA ng variable x ng orihinal na equation. Ipakita natin ang parehong mga diskarte.

Magsimula tayo sa pagsuri. Pinapalitan namin ang numero −1/2 sa orihinal na equation sa halip na ang variable na x, at nakuha namin ang parehong bagay, −1=−1. Ang pagpapalit ay nagbibigay ng tamang numerical equality, kaya ang x=−1/2 ay ang ugat ng orihinal na equation.

Ngayon ay ipapakita namin kung paano isinasagawa ang huling punto ng algorithm sa pamamagitan ng ODZ. Ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng orihinal na equation ay ang hanay ng lahat ng mga numero maliban sa −1 at 0 (sa x=−1 at x=0 ang mga denominator ng mga fraction ay nawawala). Ang ugat na x=−1/2 na matatagpuan sa nakaraang hakbang ay kabilang sa ODZ, samakatuwid, ang x=−1/2 ay ang ugat ng orihinal na equation.

Sagot:

−1/2 .

Tingnan natin ang isa pang halimbawa.

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng equation.

Solusyon.

Kailangan nating lutasin ang isang fractional rational equation, dumaan tayo sa lahat ng mga hakbang ng algorithm.

Una, inililipat namin ang termino mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwa, nakukuha namin .

Pangalawa, binabago namin ang expression na nabuo sa kaliwang bahagi: . Bilang resulta, dumating tayo sa equation na x=0.

Ang ugat nito ay halata - ito ay zero.

Sa ikaapat na hakbang, nananatili itong malaman kung ang natagpuang ugat ay extraneous sa orihinal na fractional rational equation. Kapag ito ay pinalitan sa orihinal na equation, ang expression ay nakuha. Malinaw, hindi ito makatuwiran dahil naglalaman ito ng dibisyon sa pamamagitan ng zero. Kung saan napagpasyahan namin na ang 0 ay isang extraneous na ugat. Samakatuwid, ang orihinal na equation ay walang mga ugat.

7, na humahantong sa Eq. Mula dito maaari nating tapusin na ang expression sa denominator ng kaliwang bahagi ay dapat na katumbas ng kanang bahagi, iyon ay, . Ngayon ay ibawas natin mula sa magkabilang panig ng triple: . Sa pamamagitan ng pagkakatulad, mula saan, at higit pa.

Ipinapakita ng tseke na ang parehong mga ugat na natagpuan ay mga ugat ng orihinal na fractional rational equation.

Sagot:

Mga sanggunian.

  • Algebra: aklat-aralin para sa ika-8 baitang. pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; inedit ni S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M.: Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Mordkovich A. G. Algebra. ika-8 baitang. Sa 2 p.m. Bahagi 1. Teksbuk para sa mga mag-aaral mga institusyong pang-edukasyon/ A. G. Mordkovich. - 11th ed., nabura. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
  • Algebra: Ika-9 na baitang: pang-edukasyon. para sa pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; inedit ni S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M.: Edukasyon, 2009. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Ang "mga rational equation na may polynomial" ay isa sa mga pinaka-madalas na nakakaharap na paksa sa pagsubok Mga takdang-aralin sa Pinag-isang State Exam sa matematika. Para sa kadahilanang ito, ang mga ito ay nagkakahalaga ng paulit-ulit espesyal na atensyon. Maraming mga mag-aaral ang nahaharap sa problema ng paghahanap ng discriminant, paglilipat ng mga tagapagpahiwatig mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwa at pagdadala ng equation sa isang karaniwang denominator, kung kaya't ang pagkumpleto ng mga naturang gawain ay nagdudulot ng mga kahirapan. Ang paglutas ng mga rational equation bilang paghahanda para sa Unified State Exam sa aming website ay makakatulong sa iyo na mabilis na makayanan ang mga problema ng anumang kumplikado at makapasa sa pagsusulit nang may mga lumilipad na kulay.

Piliin ang portal na pang-edukasyon ng Shkolkovo upang matagumpay na maghanda para sa Unified Mathematics Exam!

Upang malaman ang mga patakaran para sa pagkalkula ng mga hindi alam at madaling makuha tamang resulta, gamitin ang aming online na serbisyo. Ang portal ng Shkolkovo ay isang one-of-a-kind na platform na naglalaman ng lahat ng kailangan para sa paghahanda Pinag-isang State Exam na materyales. Ang aming mga guro ay nag-systematize at ipinakita sa isang maliwanag na anyo ang lahat ng mga tuntunin sa matematika. Bilang karagdagan, inaanyayahan namin ang mga mag-aaral na subukan ang kanilang kamay sa paglutas ng mga karaniwang rational equation, na ang batayan ay patuloy na ina-update at pinalawak.

Para sa mas epektibong paghahanda para sa pagsubok, inirerekomenda namin ang pagsunod sa aming espesyal na pamamaraan at magsimula sa pamamagitan ng pag-uulit ng mga patakaran at solusyon mga simpleng gawain, unti-unting lumilipat sa mga mas kumplikado. Kaya, ang nagtapos ay maaaring makilala ang pinakamahirap na paksa para sa kanyang sarili at tumuon sa pag-aaral ng mga ito.

Simulan ang paghahanda para sa panghuling pagsubok kasama si Shkolkovo ngayon, at ang mga resulta ay hindi magtatagal! Piliin ang pinakamadaling halimbawa mula sa mga ibinigay. Kung mabilis mong pinagkadalubhasaan ang expression, magpatuloy sa higit pa mahirap na gawain. Sa ganitong paraan maaari mong pagbutihin ang iyong kaalaman hanggang sa punto ng paglutas ng mga gawain sa USE sa matematika sa isang espesyal na antas.

Ang pagsasanay ay magagamit hindi lamang sa mga nagtapos mula sa Moscow, kundi pati na rin sa mga mag-aaral mula sa ibang mga lungsod. Gumugol ng ilang oras sa isang araw sa pag-aaral sa aming portal, halimbawa, at sa lalong madaling panahon magagawa mong makayanan ang mga equation ng anumang kumplikado!

§ 1 Integer at fractional rational equation

Sa araling ito ay titingnan natin ang mga konsepto tulad ng rational equation, rational expression, whole expression, fractional expression. Isaalang-alang natin ang paglutas ng mga rational equation.

Ang rational equation ay isang equation kung saan ang kaliwa at kanang gilid ay mga rational expression.

Ang mga makatwirang ekspresyon ay:

Fractional.

Ang isang integer na expression ay binubuo ng mga numero, variable, integer na kapangyarihan gamit ang mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, at paghahati sa isang numero maliban sa zero.

Halimbawa:

Ang mga fractional na expression ay kinabibilangan ng paghahati sa isang variable o isang expression na may isang variable. Halimbawa:

Ang isang fractional expression ay hindi makatwiran para sa lahat ng mga halaga ng mga variable na kasama dito. Halimbawa, ang expression

sa x = -9 hindi ito makatuwiran, dahil sa x = -9 ang denominator ay napupunta sa zero.

Nangangahulugan ito na ang isang rational equation ay maaaring integer o fractional.

Ang isang buong rational equation ay isang rational equation kung saan ang kaliwa at kanang gilid ay buong expression.

Halimbawa:

Ang fractional rational equation ay isang rational equation kung saan ang kaliwa o kanang bahagi ay fractional expression.

Halimbawa:

§ 2 Solusyon ng isang buong rational equation

Isaalang-alang natin ang solusyon ng isang buong rational equation.

Halimbawa:

I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa pinakamaliit karaniwang denominador denominator ng mga fraction na kasama dito.

Upang gawin ito:

1. hanapin ang karaniwang denominador para sa mga denominador 2, 3, 6. Ito ay katumbas ng 6;

2. humanap ng karagdagang salik para sa bawat fraction. Upang gawin ito, hatiin ang karaniwang denominador 6 sa bawat denominador

karagdagang salik para sa fraction

karagdagang salik para sa fraction

3. i-multiply ang mga numerator ng mga fraction sa kanilang katumbas na karagdagang mga salik. Kaya, nakukuha namin ang equation

na katumbas ng ibinigay na equation

Buksan natin ang mga bracket sa kaliwa, ilipat ang kanang bahagi sa kaliwa, baguhin ang tanda ng termino kapag inilipat sa kabaligtaran.

Dalhin natin ang mga katulad na termino ng polynomial at makuha

Nakikita natin na ang equation ay linear.

Nang malutas ito, nakita namin na x = 0.5.

§ 3 Solusyon ng isang fractional rational equation

Isaalang-alang natin ang paglutas ng isang fractional rational equation.

Halimbawa:

1. I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa pinakamaliit na common denominator ng mga denominator ng mga rational fraction na kasama dito.

Hanapin natin ang common denominator para sa mga denominator na x + 7 at x - 1.

Ito ay katumbas ng kanilang produkto (x + 7)(x - 1).

2. Maghanap tayo ng karagdagang salik para sa bawat rational fraction.

Upang gawin ito, hatiin ang karaniwang denominador (x + 7)(x - 1) sa bawat denominador. Karagdagang multiplier para sa mga fraction

katumbas ng x - 1,

karagdagang salik para sa fraction

katumbas ng x+7.

3. I-multiply ang mga numerator ng mga fraction sa kanilang katumbas na karagdagang mga salik.

Nakukuha namin ang equation (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), na katumbas ng equation na ito

4. I-multiply ang binomial ng binomial sa kaliwa at kanan at kunin ang sumusunod na equation

5. Inilipat namin ang kanang bahagi sa kaliwa, binabago ang tanda ng bawat termino kapag naglilipat sa kabaligtaran:

6. Ipakita natin ang mga katulad na termino ng polynomial:

7. Ang parehong bahagi ay maaaring hatiin ng -1. Kumuha kami ng isang quadratic equation:

8. Nang malutas ito, mahahanap natin ang mga ugat

Dahil sa Eq.

ang kaliwa at kanang bahagi ay fractional expression, at sa fractional expression, para sa ilang mga halaga ng mga variable, ang denominator ay maaaring maging zero, pagkatapos ay kinakailangan upang suriin kung ang karaniwang denominator ay hindi napupunta sa zero kapag natagpuan ang x1 at x2 .

Sa x = -27, ang common denominator (x + 7)(x - 1) ay hindi nawawala sa x = -1, ang common denominator ay hindi rin zero.

Samakatuwid, ang parehong mga ugat -27 at -1 ay mga ugat ng equation.

Kapag nilulutas ang isang fractional rational equation, mas mainam na agad na ipahiwatig ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Tanggalin ang mga halaga kung saan ang karaniwang denominator ay napupunta sa zero.

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa ng paglutas ng isang fractional rational equation.

Halimbawa, lutasin natin ang equation

Isinasaalang-alang namin ang denominator ng fraction sa kanang bahagi ng equation

Nakukuha namin ang equation

Hanapin natin ang common denominator para sa mga denominator (x - 5), x, x(x - 5).

Ito ang magiging expression na x(x - 5).

Ngayon hanapin natin ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng equation

Upang gawin ito, itinutumbas namin ang karaniwang denominator sa zero x(x - 5) = 0.

Nakukuha namin ang isang equation, paglutas na nakita namin na sa x = 0 o sa x = 5 ang common denominator ay napupunta sa zero.

Nangangahulugan ito na ang x = 0 o x = 5 ay hindi maaaring maging mga ugat ng ating equation.

Ang mga karagdagang multiplier ay maaari na ngayong matagpuan.

Karagdagang salik para sa mga rational fraction

karagdagang salik para sa fraction

ay magiging (x - 5),

at ang karagdagang salik ng fraction

Pinaparami namin ang mga numerator sa kaukulang karagdagang mga kadahilanan.

Nakukuha natin ang equation na x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Buksan natin ang mga bracket sa kaliwa at kanan, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Ilipat natin ang mga termino mula kanan pakaliwa, binabago ang tanda ng mga inilipat na termino:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

At pagkatapos magdala ng mga katulad na termino, nakakakuha tayo ng quadratic equation x2 - 3x - 10 = 0. Nang malutas ito, nakita natin ang mga ugat x1 = -2; x2 = 5.

Ngunit nalaman na natin na sa x = 5 ang common denominator x(x - 5) ay napupunta sa zero. Samakatuwid, ang ugat ng aming equation

magiging x = -2.

§ 4 Maikling buod aralin

Mahalagang tandaan:

Kapag nilulutas ang mga fractional rational equation, magpatuloy bilang mga sumusunod:

1. Hanapin ang common denominator ng mga fraction na kasama sa equation. Bukod dito, kung ang mga denominator ng mga fraction ay maaaring i-factor, pagkatapos ay i-factor ang mga ito at pagkatapos ay hanapin ang karaniwang denominator.

2. I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng isang common denominator: maghanap ng mga karagdagang salik, i-multiply ang mga numerator sa mga karagdagang salik.

3. Lutasin ang resultang buong equation.

4. Tanggalin sa mga ugat nito ang mga nagpapawala ng karaniwang denominador.

Listahan ng ginamit na panitikan:

  1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Na-edit ni Teleyakovsky S.A. Algebra: aklat-aralin. para sa ika-8 baitang. pangkalahatang edukasyon mga institusyon. - M.: Edukasyon, 2013.
  2. Mordkovich A.G. Algebra. Ika-8 baitang: Sa dalawang bahagi. Bahagi 1: Teksbuk. para sa pangkalahatang edukasyon mga institusyon. - M.: Mnemosyne.
  3. Rurukin A.N. Mga pag-unlad ng aralin sa algebra: ika-8 baitang - M.: VAKO, 2010.
  4. Algebra 8th grade: lesson plans base sa textbook ni Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasyeva, L.A. Tapilina. -Volgograd: Guro, 2005.

"Paglutas ng mga fractional rational equation"

Mga layunin ng aralin:

Pang-edukasyon:

    pagbuo ng konsepto ng fractional rational equation; isaalang-alang ang iba't ibang paraan upang malutas ang mga fractional rational equation; isaalang-alang ang isang algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation, kabilang ang kundisyon na ang fraction ay katumbas ng zero; turuan ang paglutas ng mga fractional rational equation gamit ang isang algorithm; pagsuri sa antas ng karunungan sa paksa sa pamamagitan ng pagsasagawa ng pagsusulit.

Pag-unlad:

    pag-unlad ng kakayahang wastong gumana sa nakuha na kaalaman at mag-isip nang lohikal; pagpapaunlad ng mga kasanayang intelektwal at mga operasyong pangkaisipan- pagsusuri, synthesis, paghahambing at synthesis; pagbuo ng inisyatiba, ang kakayahang gumawa ng mga desisyon, at hindi titigil doon; pag-unlad kritikal na pag-iisip; pag-unlad ng mga kasanayan sa pananaliksik.

Edukasyon:

    pagpapalaki interes na nagbibigay-malay sa paksa; pagpapaunlad ng kalayaan sa paglutas ng mga problema sa edukasyon; pag-aalaga ng kalooban at tiyaga upang makamit ang mga huling resulta.

Uri ng aralin: aralin - pagpapaliwanag ng bagong materyal.

Pag-unlad ng aralin

1. Organisasyon sandali.

Hello guys! May mga equation na nakasulat sa pisara, tingnan mong mabuti. Kaya mo bang lutasin ang lahat ng mga equation na ito? Alin ang hindi at bakit?

Ang mga equation kung saan ang kaliwa at kanang gilid ay fractional rational expression ay tinatawag na fractional rational equation. Ano sa palagay mo ang pag-aaralan natin sa klase ngayon? Bumuo ng paksa ng aralin. Kaya, binuksan namin ang aming mga notebook at isulat ang paksa ng aralin na "Paglutas ng mga fractional rational equation."

2. Pag-update ng kaalaman. Frontal survey, oral work kasama ang klase.

At ngayon ay uulitin natin ang pangunahing teoretikal na materyal na kailangan nating pag-aralan bagong paksa. Pakisagot ang mga sumusunod na tanong:

1. Ano ang isang equation? ( Pagkakapantay-pantay sa isang variable o variable.)

2. Ano ang pangalan ng equation No. 1? ( Linear.) Solusyon mga linear na equation. (Ilipat ang lahat ng bagay na may hindi alam sa kaliwang bahagi ng equation, lahat ng numero sa kanan. Magbigay ng mga katulad na termino. Maghanap ng hindi kilalang kadahilanan).

3. Ano ang pangalan ng equation No. 3? ( Square.) Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation. ( Pagbukod ng kumpletong parisukat gamit ang mga formula gamit ang theorem ng Vieta at ang mga corollaries nito.)

4. Ano ang proporsyon? ( Pagkakapantay-pantay ng dalawang ratios.) Ang pangunahing pag-aari ng proporsyon. ( Kung tama ang proporsyon, kung gayon ang produkto ng mga matinding termino nito ay katumbas ng produkto ng mga gitnang termino.)

5. Anong mga katangian ang ginagamit sa paglutas ng mga equation? ( 1. Kung ililipat mo ang isang term sa isang equation mula sa isang bahagi patungo sa isa pa, binabago ang sign nito, makakakuha ka ng katumbas na equation sa ibinigay na isa. 2. Kung ang magkabilang panig ng equation ay pinarami o hinati sa parehong di-zero na numero, makakakuha ka ng equation na katumbas ng ibinigay na isa.)

6. Kailan katumbas ng zero ang isang fraction? ( Ang isang fraction ay katumbas ng zero kapag ang numerator ay zero at ang denominator ay hindi zero..)

3. Pagpapaliwanag ng bagong materyal.

Lutasin ang equation No. 2 sa iyong mga notebook at sa pisara.

Sagot: 10.

Alin fractional rational equation Maaari mo bang subukang lutasin gamit ang pangunahing katangian ng proporsyon? (No. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Lutasin ang equation No. 4 sa iyong mga notebook at sa pisara.

Sagot: 1,5.

Anong fractional rational equation ang maaari mong subukang lutasin sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa denominator? (No. 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Sagot: 3;4.

Ngayon subukang lutasin ang equation number 7 gamit ang isa sa mga sumusunod na pamamaraan.

(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)

(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0

x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0

x2-2x-5-x-5=0

x(x-5)(x2-3x-10)=0

x=0 x-5=0 x2-3x-10=0

x1=0 x2=5 D=49

Sagot: 0;5;-2.

Sagot: 5;-2.

Ipaliwanag kung bakit ito nangyari? Bakit may tatlong ugat sa isang kaso at dalawa sa isa pa? Anong mga numero ang mga ugat ng fractional rational equation na ito?

Hanggang ngayon, ang mga mag-aaral ay hindi nakatagpo ng konsepto ng isang extraneous na ugat na talagang napakahirap para sa kanila na maunawaan kung bakit ito nangyari. Kung walang sinuman sa klase ang makapagbibigay ng malinaw na paliwanag sa sitwasyong ito, magtatanong ang guro ng mga nangungunang tanong.

    Paano naiiba ang mga equation No. 2 at 4 sa mga equation No. 5,6,7? ( Sa mga equation No. 2 at 4 may mga numero sa denominator, No. 5-7 ay mga expression na may variable.) Ano ang ugat ng isang equation? ( Ang halaga ng variable kung saan nagiging totoo ang equation.) Paano malalaman kung ang isang numero ay ang ugat ng isang equation? ( Gumawa ng tseke.)

Sa pagsubok, napansin ng ilang estudyante na kailangan nilang hatiin sa zero. Napagpasyahan nila na ang mga numero 0 at 5 ay hindi mga ugat ibinigay na equation. Ang tanong ay lumitaw: mayroon bang paraan upang malutas ang mga fractional rational equation na nagpapahintulot sa amin na alisin ang error na ito? Oo, ang pamamaraang ito ay batay sa kondisyon na ang fraction ay katumbas ng zero.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Kung x=5, kung gayon ang x(x-5)=0, na nangangahulugang 5 ay isang extraneous na ugat.

Kung x=-2, kung gayon ang x(x-5)≠0.

Sagot: -2.

Subukan nating bumalangkas ng isang algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation sa ganitong paraan. Binubalangkas ng mga bata ang algorithm mismo.

Algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation:

1. Ilipat ang lahat sa kaliwang bahagi.

2. Bawasan ang mga fraction sa isang karaniwang denominator.

3. Lumikha ng isang sistema: ang isang fraction ay katumbas ng zero kapag ang numerator ay katumbas ng zero at ang denominator ay hindi katumbas ng zero.

4. Lutasin ang equation.

5. Suriin ang hindi pagkakapantay-pantay upang ibukod ang mga extraneous na ugat.

6. Isulat ang sagot.

Pagtalakay: kung paano gawing pormal ang solusyon kung ang pangunahing katangian ng proporsyon at pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng isang karaniwang denominator ay ginagamit. (Idagdag sa solusyon: ibukod mula sa mga ugat nito ang mga nagpapawala ng karaniwang denominator).

4. Paunang pag-unawa sa bagong materyal.

Magtrabaho nang magkapares. Pinipili ng mga mag-aaral kung paano lutasin ang equation sa kanilang sarili depende sa uri ng equation. Mga takdang-aralin mula sa aklat-aralin na "Algebra 8", 2007: No. 000 (b, c, i); No. 000(a, d, g). Sinusubaybayan ng guro ang pagkumpleto ng gawain, sinasagot ang anumang mga tanong na lumabas, at nagbibigay ng tulong sa mga mag-aaral na mababa ang pagganap. Self-test: ang mga sagot ay nakasulat sa pisara.

b) 2 – extraneous na ugat. Sagot: 3.

c) 2 – extraneous na ugat. Sagot: 1.5.

a) Sagot: -12.5.

g) Sagot: 1;1.5.

5. Pagtatakda ng takdang-aralin.

2. Alamin ang algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation.

3. Lutasin sa mga kuwaderno Blg. 000 (a, d, e); Hindi. 000(g, h).

4. Subukang lutasin ang No. 000(a) (opsyonal).

6. Pagkumpleto ng control task sa paksang pinag-aralan.

Ang gawain ay ginagawa sa mga piraso ng papel.

Halimbawang gawain:

A) Alin sa mga equation ang fractional rational?

B) Ang isang fraction ay katumbas ng zero kapag ang numerator ay ____________________ at ang denominator ay _______________________.

Q) Ang numero ba ay -3 ang ugat ng equation number 6?

D) Lutasin ang equation No. 7.

Pamantayan sa pagtatasa para sa takdang-aralin:

    Ang “5” ay ibinibigay kung natapos ng mag-aaral ang higit sa 90% ng gawain nang tama. Ang “4” - 75%-89% “3” - 50%-74% “2” ay ibinibigay sa isang mag-aaral na nakatapos ng mas mababa sa 50% ng gawain. Ang rating na 2 ay hindi ibinigay sa journal, 3 ay opsyonal.

7. Pagninilay.

Sa mga independiyenteng work sheet, isulat ang:

    1 - kung ang aralin ay kawili-wili at naiintindihan mo; 2 - kawili-wili, ngunit hindi malinaw; 3 - hindi kawili-wili, ngunit naiintindihan; 4 - hindi kawili-wili, hindi malinaw.

8. Pagbubuod ng aralin.

Kaya, ngayon sa aralin nakilala namin ang mga fractional rational equation, natutunan kung paano lutasin ang mga equation na ito sa iba't ibang paraan, sinubukan ang kanilang kaalaman sa tulong ng isang pagsasanay malayang gawain. Malalaman mo ang mga resulta ng iyong malayang gawain sa susunod na aralin, at sa bahay ay magkakaroon ka ng pagkakataong pagsamahin ang iyong kaalaman.

Aling paraan ng paglutas ng mga fractional rational equation, sa iyong palagay, ang mas madali, mas madaling makuha, at mas makatuwiran? Anuman ang paraan para sa paglutas ng mga fractional rational equation, ano ang dapat mong tandaan? Ano ang "tuso" ng fractional rational equation?

Salamat sa lahat, tapos na ang lesson.