Так ли проста их история? Научная работа. Простые числа- это просто Поиск новых простых чисел

13.05.2023

Числа и первобытные люди

В какой-то момент человек ощутил большую потребность в счете. На это его

подтолкнула сама жизнь. Необходимо было каким-то образом организовывать племя, отправляя на охоту или собирательство только определенное количество человек. Поэтому для счета пользовались пальцами на руках. До сих пор есть племена, которые вместо цифры «5» показывают одну руку, а вместо десяти - две. С такого простого алгоритма счета и начала развиваться история возникновения чисел.

Простые числа

История возникновения чисел позволяет заметить, что люди довольно давно обнаружили разницу между нечетной и четной цифрой, а также различные взаимосвязи внутри самих числовых выражений. Немалый вклад в подобные
исследования внесли древние греки. Например, греческий ученый Эратосфен создал довольно легкий способ поиска простых чисел. Для этого он записывал нужное количество цифр по порядку, а потом начинал вычеркивать - сначала все числа, которые можно делить на два, потом - на три. В результате получался список цифр, которые ни на что не делятся, кроме единицы и себя самого. Этот метод был назван «решето Эратосфена» из-за того, что греки не вычеркивали, а выкалывали ненужные числа на табличках, покрытых воском.

Таким образом, история возникновения чисел - явление древнее и глубинное. По оценкам ученых, оно началось еще около 30 тысяч лет назад. За это время в жизни человека успело поменяться многое. Но и по сей день руководит нашим бытием.

Молоков Максим

В этом году мы изучили тему «Простые и составные числа», и мне стало интересно, кто из учёных занимался их изучением, как получить простые числа, кроме тех, которые содержатся на форзаце нашего учебника (от 1 до 1000), это стало целью выполнения этой работы.
Задачи:
1. Изучить историю открытия простых чисел.
2. Познакомиться с современными методами отыскания простых чисел.
3. Узнать о том, в каких научных областях применяются простые числа.
4. Есть ли среди русских учёных имена тех, кто занимался изучением простых чисел.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

История простых чисел МБОУ Суховская СОШ Автор: ученик 6 класса Молоков Максим Руководитель: учитель математики Бабкина Л. А. п. Новосуховый декабрь 2013 год

В этом году мы изучили тему «Простые и составные числа», и мне стало интересно, кто из учёных занимался их изучением, как получить простые числа, кроме тех, которые содержатся на форзаце нашего учебника (от 1 до 1000), это стало целью выполнения этой работы. Задачи: 1. Изучить историю открытия простых чисел. 2. Познакомиться с современными методами отыскания простых чисел. 3. Узнать о том, в каких научных областях применяются простые числа. 4. есть ли среди русских учёных имена тех, кто занимался изучением простых чисел.

Всякий, кто изучает простые числа, бывает очарован и одновременно ощущает собственное бессилие. Определение простых чисел так просто и очевидно; найти очередное простое число так легко; разложение на простые сомножители - такое естественное действие. Почему же простые числа столь упорно сопротивляются нашим попыткам постичь порядок и закономерности их расположения? Может быть, в них вообще нет порядка, или же мы так слепы, что не видим его? Ч. Узерелл.

Пифагор и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа) , они называли совершенным числом. Например,числа 6 (6 = 1 + 2 +3) , 28 (28 = 1+2+4+7+14) совершенные. Следующие совершенные числа – 496, 8128, 33550336.. Пифагор (VI в. до н.э.)

Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвёртое – 8128 – стало известным в первом веке н.э. Пятое – 33550336 – было найдено в XV в. К 1983 г. Было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор учёные не знают, есть ли нечётные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.

Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, т.е. простые числа – это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.

Вы, наверное, обратили внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно – в одних частях ряда их больше, в других – меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа.

Возникает вопрос: существует ли последнее (самое большое) простое число? Древнегреческий математик Евклид (III в. до н.э.) в своей книге («Начала»), бывшей на протяжении 2000 лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т.е. за каждым простым числом есть большее простое число Евклид (III в. до н.э.)

Для отыскания простых чисел другой греческий математик Эратосфен придумал такой способ. Он записывал все числа от одного до какого-то числа, а потом вычёркивал единицу, которая не является не простым, не составным числом, затем вычёркивал через одно все числа, идущие после 2 числа, кратные двум, т.е. 4,6,8, и т.д.

Первым оставшимся числом после двух было 3. Далее вычёркивались через два все числа, идущие после трёх (числа кратные 3, т.е. 6,9,12, и т.д.). В конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа.

Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на тянутом папирусе, а числа не вычёркивали, а выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена называют решетом Эратосфена: в этом решете «отсеиваются» простые числа от составных.

Итак, простыми числами от 2 до 60 являются 17 чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59. таким способом и в настоящее время составляют таблицы простых чисел, но уже с помощью вычислительных машин.

Евклид (III в. до н.э.) доказал, что между натуральным числом n и n ! обязательно найдётся хотя бы одно простое число. Тем самым он доказал, что натуральный ряд чисел бесконечен. В середине Х I Х в. русский математик и механик Пафнутий Львович Чебышев доказал более сильную теорему, чем Евклид. Между натуральным числом n и числом в 2 раза больше его, т.е. 2 n содержится хотя бы одно простое число. То есть, в теореме Евклида число n ! заменил числом 2n. Пафнутий Львович Чебышёв (1821-1894) русский математик и механик

Возникает следующий вопрос: «Если так трудно найти следующее простое число, то где и для чего эти числа можно использовать на практике?» Наиболее распространенным примером использования простых чисел является применение их в криптографии (шифровании данных). Самые безопасные и трудно дешифруемые методы криптографии основаны на применении простых чисел, имеющих в составе более трех сотен цифр.

Заключение Проблема отсутствия закономерностей распределения простых чисел занимает умы человечества еще со времен древнегреческих математиков. Благодаря Евклиду мы знаем, что простых чисел бесконечно много. Эрастофен предложил первый алгоритм тестирования чисел на простоту. Чебышев и многие другие известные математики пытались и пытаются по сей день разгадать загадку простых чисел. На сегодняшний момент найдено и предложено множество изящных алгоритмов, закономерностей, но все они применимы лишь для конечного ряда простых чисел или простых чисел специального вида. Передним же краем науки в исследованиях простых чисел на бесконечности считается доказательство гипотезы Римана. Она входит в семерку неразрешенных проблем тысячелетия, за доказательство или опровержение которой математическим институтом Клэя предложена премия в 1.000.000 $.

Интернет – источники и литература http://www.primenumb.ru/ http://www.bestpeopleofrussia.ru/persona/Pafnutiy-Chebyshev/bio/ http://uchitmatematika.ucoz.ru/index/vayvayvayjajavvvjavvvvva/0-7 Учебник «Математика» для шестого класса образовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбург – М. Мнемозина 2010 г./

Отдел образования и молодежной политики администрации

Яльчикского района Чувашской Республики

Проект
Простые числа…

Так ли проста их история?

Выполнила ученица 7 класса МОУ «Новошимкусская СОШ Яльчикского района Чувашской Республики» Ефимова Марина

Руководитель: учитель математики I категории МОУ «Новошимкусская СОШ Яльчикского района Чувашской Республики» Кириллова С.М.

с.Новые Шимкусы - 2007

Определение простых чисел 3
Заслуги Эйлера 3
Основная теорема арифметики 4
Простые числа Мерсена 4
Простые числа Ферма 5
Решето Эратосфена 5
Открытие П.Л.Чебышева 6
Проблема Гольдбаха 7
И.М.Виноградов 8
Заключение 8
Литература 10

Определение простых чисел

Интерес к изучению простых чисел возник у людей в глубокой древности. И вызван он был не только практической необходимостью. Привлекала их необычайная магическая сила. Числа, которыми можно выразить количество любых предметов. Неожиданные и в то же время естественные свойства натуральных чисел, обнаруженные древними математиками, удивляли их своей замечательной красотой и вдохновляли на новые исследования.

Должно быть, одним из первых свойств чисел, открытых человеком, было то, что некоторые из них могут быть разложены на два или более множителей, например,

6=2*3, 9=3*3, 30=2*15=3*10, в то время как другие, например 3, 7, 13, 37, не могут быть разложены подобным образом.

Когда число с = а b является произведением двух чисел а и b, то числа а и b называются множителями или делителями числа с. Каждое число может быть представлено в виде произведения двух сомножителей. Например, с = 1 *с = с*1.

Простым называется число, которое делится только само на себя и на единицу.

Единица, имеющая только один делитель, к простым числам не относится. Не относится она и к составным числам. Единица занимает особое положение в числовом ряду. Пифагорейцы учили, что единица - матерь всех чисел, дух, из которого происходит весь видимый мир, она есть разум, добро, гармония.

В Казанском университете профессор Никольский с помощью единицы ухитрился доказать существование Бога. Он говорил: «Как не может быть числа без единицы, так и Вселенная без единого Владыки существовать не может».

Единица и в самом деле - число уникальное по свойствам: она делится только сама на себя, но любое другое число на нее делится без остатка, любая ее степень равна тому же самому числу - единице!

После деления на нее ни одно число не изменяется, а если и поделить любое число на самое себя, получится опять же единица! Не удивительно ли это? Поразмыслив над этим, Эйлер заявил: «Нужно исключить единицу из последовательности простых чисел, она не является ни простым, ни составным».

Это было уже существенно важное упорядочивание в темном и сложном вопросе о простых числах.

Заслуги Эйлера

Леонард Эйлер

(1707-1783)

У Эйлера учились все - ив Западной Европе, и в России. Диапазон его творчества широк: дифференциальное и интегральное исчисления, алгебра, механика, диоптрика, артиллерия, морская наука, теория движения планет и Луны, теория музыки - всего не перечислить. Во всей этой научной мозаике находится и теория чисел. Эйлер отдал ей немало сил и немалого добился. Он, как и многие его предшественники, искал магическую формулу, которая позволяла бы выделить простые числа из бесконечного множества чисел натурального ряда, т. е. из всех чисел, какие можно себе представить. Эйлер написал более ста сочинений по теории чисел.

...Доказано, например, что число простых чисел неограничено, т. е.: 1) нет самого большого простого числа; 2) нет последнего простого числа, после которого все числа были бы составными. Первое доказательство этого положения принадлежит ученым древней Греции (V-Ш вв. до н. э.), второе доказательство - Эйлеру (1708-1783).

Основная теорема арифметики

Всякое натуральное число, отличное от 1, либо является простым, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, причем однозначно, если не обращать внимания на порядок следования множителей.

Доказательство. Возьмем натуральное число п≠ 1. Если n - простое, то это тот случай, о котором сказано в заключении теоремы. Теперь предположим, что n - составное. Тогда оно представлено в виде произведения п = а b , где натуральные числа а и b меньше n. Опять либо a и b - простые, тогда все доказано, либо хотя бы одно из них составное, т. е. составлено из меньших множителей и так далее; в конце концов мы получим разложение на простые множители.

Если число n не делится ни на одно простое, не превосходящее √ n , то оно является простым.

Доказательство. Предположим противное, пусть n - составное и п = аЬ, где 1 ≤b и р - простой делитель числа а, значит, и числа n. По условию п не делится ни на одно простое, не превосходящее √ n . Следовательно, р >√ n . Но тогда а >√ n и √ n ≤ а ≤ b,

откуда п = а b = √ n √ n = п; пришли к противоречию, предположение было неверным, теорема доказана.

Пример 1. Если с = 91, то √ с = 9, ... проверим простые числа 2, 3, 5, 7. Находим, что 91 = 7 13.

Пример 2. Если с = 1973, то находим √ c = √ 1973 =44, ...

так как ни одно простое число до 43 не делит с, то это число является простым.

Пример 3. Найдите простое число, следующее за простым числом 1973. Ответ: 1979.

Простые числа Мерсена

В течение нескольких столетий шла погоня за простыми числами. Многие математики боролись за честь стать открывателями самого большого из известных простых чисел.

Простые числа Мерсена являются простыми числами специального вида M p = 2 p - 1

где р - другое простое число.

Эти числа вошли в математику давно, они появляются еще в евклидовых размышлениях о современных числах. Свое название они получили в честь французского монаха Меренна Мерсена (1589-1648), который долго занимался проблемой современных чисел.

Если вычислять числа по этой формуле, получим:

M 2 = 2 2 – 1 = 3 – простое;

M 3 = 2 3 – 1 = 7 – простое;

M 5 = 2 5 – 1 = 31– простое;

M 7 = 2 7 – 1 = 127 – простое;

M 11 = 2 11 – 1 = 2047 = 23 * 89

Общий способ нахождения больших простых чисел Мерсена состоит в проверке всех чисел M p для различных простых чисел р.

Эти числа очень быстро увеличиваются и столь же быстро увеличиваются затраты труда на их нахождение.

В исследовании чисел Мерсена можно выделить раннюю стадию, достигшую своей кульминации в 1750 г., когда Эйлер установил, что число M 31 является простым. К тому времени было найдено восемь простых чисел Мерсена: " г

р = 2, р= 3, р = 5, р = 7, р = 13, р = 17, р = 19, р =31.

Эйлерово число M 31 оставалось самым большим из известных простых чисел более ста лет.

В 1876 г. французский математик Лукас установил, что огромное число M 127 - с 39 цифрами. 12 простых чисел Мерсена были вычислены с помощью только карандаша и бумаги, а для вычисления следующих уже использовались механические настольные счетные машины.

Появление вычислительных машин с электрическим приводом позволило продолжить поиски, доведя их до р = 257.

Однако результаты были неутешительными, среди них не оказалось новых простых чисел Мерсена.

Затем задача была переложена на ЭВМ.

Самое большое известное в настоящее время простое число имеет 3376 цифр. Это число было найдено на ЭВМ в Иллинойском университете (США). Математический факультет этого университета был так горд своим достижением, что изобразил это число на своем почтовом штемпеле, таким образом воспроизводя его на каждом отсылаемом письме для всеобщего обозрения.

Простые числа Ферма

Существует еще один тип простых чисел с большой и интересной историей. Они были впервые введены французским юристом Пьером Ферма (1601-1665), который прославился своими выдающимися математическими работами.

Пьер Ферма (1601-1665)
Первыми простыми числами Ферма были числа, которые удовлетворяли формуле F n =
+ 1.

F 0 =
+ 1 = 3;

F 1 =
+ 1 = 5;

F 2 =
+ 1 = 17;

F 3 =
+ 1 = 257;

F 4 =
+ 1 = 65537.

Однако, это предположение было сдано в архив неоправдавшихся математических гипотез, но после того, как Леонард Эйлер сделал еще один шаг и показал, что следующее число Ферма F 5 = 641 6 700 417 является составным.

Возможно, что история чисел Ферма была бы закончена, если бы числа Ферма не появились в совсем другой задаче - на построение правильных многоугольников при помощи циркуля и линейки.

Однако ни одного простого числа Ферма не было найдено, и сейчас многие математики склонны считать, что их больше нет.
Решето Эратосфена

Существуют таблицы простых чисел, простирающихся до очень больших чисел. Как подступиться к составлению такой таблицы? Эта задача была, в известном смысле, решена (около 200 г. до н. э.) Эратосфеном, математиком из Александрии. -

Его схема состоит в следующем. Напишем последовательность всех целых чисел от 1 до числа, которым мы хотим закончить таблицу.

Начнем с простого числа 2. Будем выбрасывать каждое второе число. Начнем с 2 (кроме самого числа 2), т. е. четных чисел: 4, 6, 8, 10 и т. д., подчеркиваем каждое из них.

После этой операции первым неподчеркнутым числом будет 3. Оно простое, так как не делится на 2. Оставляя число 3 неподчеркнутым, будем подчеркивать каждое третье число после него, т. е. числа 6, 9, 12, 15... Некоторые из них были уже подчеркнуты, поскольку они являются четными. На следующем шаге первым неподчеркнутым числом окажется число 5; оно простое, так как не делится ни на 2, ни на 3. Оставим число 5 неподчеркнутым, но подчеркнем каждое пятое число после него, т. е. числа 10, 15, 20... Как и раньше, часть из них оказалась подчеркнутой. Теперь наименьшим неподчеркнутым числом окажется число 7. Оно простое, так как не делится ни на одно из меньших его простых чисел 2, 3, 5. Повторяя этот процесс, мы в конце концов получим последовательность неподчеркнутых чисел; все они (кроме числа 1) являются простыми. Этот метод отсеивания чисел известен как «решето Эратосфена». Любая таблица простых чисел создается по этому принципу.

Эратосфен создал таблицу простых чисел от 1 до 120 более 2000 лет назад. Он писал на папирусе, натянутом на рамку, или на восковой дощечке, и не зачеркивал, как это делаем мы, а прокалывал составные числа. Получалось нечто вроде решета, через которое «просеивались» составные числа. Поэтому таблицу простых чисел называют «решетом Эратосфена».

Сколько всего простых чисел? Есть ли последнее простое число, т. е. такое, после которого все числа будут составными? Если такое число есть, то как его найти? Все эти вопросы интересовали ученых еще в глубокой древности, но ответ на них оказалось не так-то просто найти.

Эратосфен был остроумнейшим человеком. Этот современник и друг Архимеда, с которым он постоянно переписывался, был и математиком, и астрономом, и механиком, что считалось естественным для великих мужей того времени. Он первым измерил диаметр земного шара, причем не выходя из александрийской библиотеки, где работал. Точность его измерения была поразительно высокой, даже выше той, с которой измерил Землю Архимед.

Эратосфен изобрел хитроумный прибор - мезолабит, с помощью которого механически решил известную задачу об удвоении куба, чем очень гордился, и потому отдал распоряжение изобразить этот прибор на колонне в Александрии. Мало того, он поправил египетский календарь, добавив один день к четырем годам - в високосный год.

Решето Эратосфена - это примитивное и в то же время гениальное изобретение, до которого не додумался и Евклид, - наводит на общеизвестную мысль, что все гениальное просто.

Эратосфеново решето неплохо поработало на исследователей далеко не простых чисел. Шло время. Шли поиски способов отлова простых чисел. Началось своеобразное соревнование на изыскание наибольшего простого числа с древнейших времен до Чебышева и даже до наших дней.
Открытие П.Л. Чебышева

Итак, число простых чисел бесконечно. Мы уже видели, что простые числа размещаются без какого-либо порядка. Проследим более подробно.

2 и 3 - простые числа. Это единственная пара простых чисел, стоящих рядом.

Затем идут 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19 и т.д. Это так называемые смежные простые числа или близнецы. Близнецов много: 29 и 31, 41 и 43, 59 и 61, 71 и 73, 101 и 103, 827 и 829 и т. д. Самая большая известная сейчас пара близнецов такая: 10016957 и 10 016 959.

Панфутий Львович Чебышев

Как же распределены простые числа в натуральном ряду, в котором не будет ни одного простого числа? Есть ли какой-нибудь закон в их распределении или нет?

Если есть, то какой? Как найти его? Но ответ на эти вопросы не находился более 2000 лет.

Первый и очень большой шаг в разрешении этих вопросов сделал великий русский ученый Панфутий Львович Чебышев. В 1850 г. он доказал, что между любым натуральным числом (не равным 1) и числом, в два раза больше его (т. е. между n и 2n), находится хотя бы одно простое число.
Проверим это на несложных примерах. Примем для n несколько произвольных значений n. и найдем соответственно значение 2n.

n = 12, 2n = 24;

n = 61, 2n = 122;

n = 37, 2n = 74.

Мы видим, что для рассмотренных примеров теорема Чебышева верна.

Чебышев доказал ее для любого случая, для любого n. За эту теорему его назвали победителем простых чисел. Открытый Чебышевым закон распределения простых чисел был поистине фундаментальным законом в теории чисел после закона, открытого Евклидом, о бесконечности количества простых чисел.

Едва ли не самый добрый, самый восторженный отклик на открытие Чебышева пришел из Англии от известного математика Сильвестра: «...Дальнейших успехов теории простых чисел можно ожидать тогда, когда родится некто, настолько превосходящий Чебышева своей проницательностью и вдумчивостью, насколько Чебышев превосходит этими качествами обыкновенных людей».

Более чем полвека спустя немецкий математик Э. Ландау, крупный специалист в теории чисел, добавил к этому высказыванию следующее: «Первым после Евклида Чебышев пошел правильным путем при решении проблемы простых чисел и достиг важных результатов».
Проблема Гольдбаха

Выпишем все простые числа от 1 до 50:

2, 3, 5, 7, 9, 11, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

А теперь попытаемся любое число от 4 до 50 представить в виде суммы двух или трех простых чисел. Возьмем несколько чисел наугад:

Как видим, поставленную задачу мы выполнили без труда. А всегда ли это возможно? Любое ли число можно представить в виде суммы нескольких простых чисел? И если можно, то скольких: двух? трех? десяти?

В 1742 г. член Петербургской академии наук Гольдбах в письме к Эйлеру высказал предположение, что любое целое положительное число, большее пяти, представляет собой сумму не более чем трех простых чисел.

Гольдбах испытал очень много чисел и ни разу не встретил такого числа, которое нельзя было бы разложить на сумму двух или трех простых слагаемых. Но будет ли так всегда, он не доказал. Долго ученые занимались этой задачей, которая названа «проблемой Гольдбаха» и сформулирована следующим образом.

Требуется доказать или опровергнуть предложение:

всякое число, большее единицы, является суммой не более трех простых чисел.

Почти 200 лет выдающиеся ученые пытались разрешить проблему Гольдбаха-Эйлера, но безуспешно. Многие пришли к выводу о невозможности ее решить.

Но решение ее, и почти полностью, было найдено в 1937 г. советским математиком И.М. Виноградовым.

И.М. Виноградов

Иван Матвеевич Виноградов является одним из крупнейших современных математиков. Родился он 14 сентября 1891 г. в селе Милолюб Псковской губернии. В 1914 г. окончил Петербургский университет и был оставлен для подготовки к профессорскому званию.

Свою первую научную работу И.М. Виноградов написал в 1915 г. С тех пор им написано более 120 различных научных работ. В них он разрешил много задач, над которыми ученые всего мира трудились десятки и сотни лет.

Иван Матвеевич Виноградов
За заслуги в области математики И.М. Виноградов всеми учеными мира признан одним из первых математиков современности, избран в число членов многих академий мира.

Мы гордимся нашим замечательным соотечественником.

Заключение.
Из класса - в мировое пространство

Беседу о простых числах начнем увлекательным рассказом о воображаемом путешествии из класса в мировое пространство. Это воображаемое путешествие придумал известный советский педагог-математик профессор Иван Козьмич Андронов (род. в 1894 г.). «...а) мысленно возьмем прямолинейный провод, выходящий из классной комнаты в мировое пространство, пробивающий земную атмосферу, уходящий туда, где Луна совершает вращение, и далее - за огненный шар Солнца, и далее - в мировую бесконечность;

б) мысленно подвесим на провод через каждый метр электрические лампочки, нумеруя их, начиная с ближайшей: 1, 2, 3, 4, ..., 100, ..., 1000, ..., 1 000 000...;

в) мысленно включим ток с таким расчетом, чтобы загорелись все лампочки с простыми номерами и только с простыми номерами; : .

г) мысленно долетим вблизи провода.

Перед нами развернется следующая картина.

1. Лампочка с номером 1 не горит. Почему? Потому что единица не есть простое число.

2. Две следующие лампочки с номерами 2 и 3 горят, так как 2 и 3 - оба простые числа. Могут ли в дальнейшем встретиться две смежные горящие лампочки? Нет, не могут. Почему? Всякое простое число, кроме двух, есть число нечетное, а смежные с простым по ту и другую сторону будут числа четные, а всякое четное, отличное от двух, является составным числом, так как делится на два.

3. Дальше наблюдаем пару лампочек, горящих через одну лампочку с номерами 3 и 5, 5 и 7 и т. д. Понятно, почему они горят: это близнецы. Замечаем, что в дальнейшем они встречаются реже; все пары близнецов, как и пары простых чисел, имеют вид 6n ± 1; например

6*3 ± 1 равно 19 и 17

или 6*5 ± 1 равно 31 и 29, ...;

но 6*20 ± 1 равно 121 и119- эта пара не близнец, так как есть пара составных чисел.

Долетаем до пары близнецов 10 016 957 и 10 016 959. Будут ли и дальше пары близнецов? Современная наука пока ответа не дает: неизвестно, существует ли конечное или бесконечное множество пар близнецов.

4. Но вот начинает действовать закон большого промежутка, заполненного только составными номерами: летим в темноте, смотрим назад - темнота, и впереди не видно света. Вспоминаем свойство, открытое Евклидом, и смело движемся вперед, так как впереди должны быть светящиеся лампочки, и впереди их должно быть бесконечное множество.

5. Залетев в такое место натурального ряда, где уже несколько лет нашего движения проходит в темноте, вспоминаем свойство, доказанное Чебышевым, и успокаиваемся, уверенные, что во всяком случае, надо лететь не больше того, что пролетели, чтобы увидеть хотя бы одну светящуюся лампочку».
Литература
1. Великий мастер индукции Леонард Эйлер.

2. За страницами учебника математики.

3. Прудников Н.И. П.Л. Чебышев.

4. Сербский И. А. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах.

5. Издательский дом «Первое сентября». Математика №13, 2002 г.

6. Издательский дом «Первое сентября». Математика №4, 2006 г.

МОУ «Частоозерская средняя общеобразовательная школа»

Исследовательская работа по теме:

«Числа правят миром!»

Работу выполнила:

ученица 6а класса.

Руководитель: ,

учитель математики.

с. Частоозерье.

I. Введение. -3стр.

II. Основная часть. -4стр.

· Математика у древних греков. - 4стр.

· Пифагор Самосский. -6стр.

· Пифагор и числа. -8стр.

2. Числа простые и составные. -10стр.

3. Проблема Гольдбаха. -12стр.

4. Признаки делимости. -13стр.

5. Любопытные свойства натуральных чисел.-15стр.

6. Числовые фокусы. -18стр.

III. Заключение. -22стр.

IV. Список литературы. -23стр.

I. Введение.

Актуальность:

Изучая на уроках математики тему «Делимость чисел», учитель предложил подготовить сообщение о истории открытия простых и составных чисел. При подготовке сообщения, меня заинтересовали слова Пифагора «Числа правят миром!»

Возникли вопросы:

· Когда возникла наука о числах?

· Кто внес вклад в развитие науки о числах?

· Значение чисел в математике?

Решила подробно изучить и обобщить материал о числах и их свойствах.

Цель исследования: изучить простые и составные числа и показать их роль в математике.

Объект исследования: простые и составные числа.

Гипотеза: Если, по словам Пифагора «Числа правят миром,

то какова их роль в математике.

Задачи исследования:

I. Собрать и обобщить всевозможную информацию о простых и составных числах.

II. Показать значение чисел в математике.

III. Показать любопытные свойства натуральных чисел.

Методы исследования:

· Теоретический анализ литературы.

· Метод систематизации и обработки данных.

II. Основная часть.

1. История возникновения науки о числах.

· Математика у древних греков.

И в Египте, и в Вавилоне числами пользовались в основном для решения практических задач.

Положение изменилось, когда математикой занялись греки. В их руках математика из ремесла стала наукой.

Греческие племена стали селиться на северных и восточных берегах Средиземного моря около четырёх тысяч лет назад.

Большая часть греков осела на балканском полуострове - там, где сейчас государство Греция. Остальные расселились по островам Средиземного моря и по берегу Малой Азии.

Греки были отличными моряками. Их лёгкие остроносые корабли во всех направлениях бороздили средиземное море. Они везли посуду и украшения из Вавилона, бронзовое оружие из Египта, шкуры зверей и хлеб с берегов Чёрного моря. И конечно, как и у других народов, вместе с товарами корабли привозили в Грецию знания. Но греки не просто

учились у других народов. Очень скоро они обогнали своих учителей.

Греческие мастера строили удивительной красоты дворцы и храмы, которые потом тысячи лет служили образцом для архитекторов всех стран.

Греческие скульпторы создавали из мрамора чудесные статуи. А с греческих учёных началась не только « настоящая» математика, но и очень многие другие науки, которые мы изучаем в школе.

А знаете, почему греки обогнали в математике все другие народы? Потому, что они хорошо умели спорить.

Чем же споры могут помочь науке?

В древние времена Греция состояла из многих маленьких государств. Чуть ли не каждый город с окрестными деревнями был отдельным государством. Каждый раз, когда приходилось решать какой-нибудь важный государственный вопрос, горожане собирались на площадь, обсуждали его. Спорили о том, как сделать лучше, а потом голосовали. Понятно, что они были хорошими спорщиками: на таких собраниях приходилось опровергать противников, рассуждать, доказывать свою правоту. Древние греки считали, что спор помогает найти самое лучшие. Самое правильное решение. Они даже придумывали такое изречение: « В споре рождается истина».

И в науке греки стали поступать так же. Как на народном собрании. Они не просто заучивали правила, а доискивались причины: почему правильно делать так, а не иначе. Каждое правило греческие математики старались объяснить, доказать, что оно не верное. Они спорили друг с другом. Рассуждали, старались найти в рассуждениях ошибки.

Докажут одно правило - рассуждения ведут к другому, более сложному, потом - к третьему, к четвёртому. Из правил складывались законы. А из законов - наука математика.

Едва родившись, греческая математика сразу семимильными шагами пошла вперёд. Ей помогали чудесные сапоги- скороходы, которых раньше у других народов не было. Они назывались « рассуждение» и « доказательство».

· Пифагор Самосский.

О числах первым начал рассуждать грек Пифагор, который родился на острове Самосее в VI веке да нашей эры.

Поэтому его часто называют Пифагором Самосским. Много легенд рассказывали греки об этом мыслителе.

Пифагор рано проявил способности к наукам, и отец Мнесарх отвёз его в Сирию, в Тир, чтобы там его учили халдейские мудрецы. Она узнает о таинствах египетских жрецов. Загоревшись желанием войти в их круг и стать посвящённым, Пифагор начинает готовиться к путешествию в Египет. Год он проводит в Финикии, в школе жрецов. Затем побывает в Египет, в Гелиополис. Но местные жрецы были неприветливы.

проявив настойчивость и выдержав исключительно трудные вступительные испытания, Пифагор добивается своего - его принимают в касту.21 год пробыл он в Египте, в совершенстве изучил все виды египетского письма, прочитал множество папирусов. Факты, известные египтянам в математике, наталкивают его на собственные математические открытия.

Мудрец говорил: « В мире есть при вещи, к которым нужно стремиться. Это, во-первых, прекрасное и славное, во- вторых, полезное для жизни, в-третьих, доставляющее наслаждение. Однако наслаждение бывает двоякого рода: одно, утоляющее роскошеством наше чревоугодие, гибельно; другое – праведное и необходимое для жизни».

Центральное место в философии воспитанников и приверженцев Пифагора занимали числа:

« Где нет числа и меры - там хаос и химеры»,

« Самое мудрое - это число»,

« Числа управляют миром».

Поэтому многие считают Пифагора отцом нумерации - сложной, окутанной тайной науки, описывающие в нём события, раскрывающей прошлое и будущее, предсказывающей судьбы людей.

· Пифагор и числа.

Числа Древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами, мыслились зримо в виде камешков, разложенных на песке или на счётной доске - абаке.

Числа камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались, так возникли числа, сегодня именуемые фигурными: линейные числа (т. е. простые числа) – числа, которые делятся на единицу и на само себя и, следовательно, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию

https://pandia.ru/text/79/542/images/image006_30.jpg" width="312" height="85 src=">

телесные числа, выражаемые произведением трёх сомножителей

https://pandia.ru/text/79/542/images/image008_20.jpg" width="446" height="164 src=">

квадратные числа:

https://pandia.ru/text/79/542/images/image010_15.jpg" width="323" height="150 src=">

и. т.д. именно от фигурных чисел пошло выражение « Возвести число в квадрат или куб ».

Пифагор не ограничился плоскими фигурами. Из точек он стал складывать пирамиды, кубы и другие тела и изучать пирамидальные, кубические и иные числа (см. рис.1). К слову сказать, названием куб числа мы тоже пользуемся и сегодня.

Но числами, получавшимися из различных фигур, Пифагор не удовлетворился. Ведь он провозгласил, что числа правят миром. Поэтому ему пришлось придумывать, как с помощью чисел изображать такие понятия, как справедливость, совершенство, дружба.

Чтобы изобразить совершенство, Пифагор принялся за делители чисел (при этом делитель 1 он брал, а само число не брал). Все делители числа он складывал, и если сумма оказывалась меньше числа, оно объявлялось недостаточным, а если больше – избыточным. И только в случае, когда сумма в точности равнялась числу, его объявляли совершенным. Похожим образом изображали числа дружбы – два числа называли дружественными, если каждое из них равнялось сумме делителей другого числа. Например, число 6 (6=1+2+3) –совершенно, число 28 (1+2+4+7+17) – совершенно. Следующие совершенные числа – 496, 8128, .

2.Числа простые и составные.

О дружественных или совершенных числах современная математика вспоминает с улыбкой как о детском увлечении.

А введенные Пифагором понятия простого и составного чисел являются до сих пор предметом серьезных исследований, за которые математики получают высокие научные награды.

Из опыта вычислений люди знали, что каждое число является либо простым, либо произведением нескольких простых чисел. Но они не умели этого доказывать. Пифагор или кто-то из его последователей нашел доказательство этого утверждения.

Теперь легко объяснить роль простых чисел в математике: они являются теми кирпичиками, из которых с помощью умножения строят остальные числа.

Открытие закономерностей в ряду чисел - очень приятное событие для математиков: ведь эти закономерности можно использовать для построения гипотез, для проверки доказательств и формул. Одно из занимающих математиков свойств простых чисел состоит в том, что они отказываются подчиняться хоть какой-нибудь закономерности.

Единственный способ определить, простое ли число 100 895 598 169, - воспользоваться довольно трудоемким « решетом Эратосфена».

На таблице представлен один из вариантов этого решета.

В этой таблице все простые числа, меньшие 48, обведены кружками. Найдены они так: 1 имеет единственный делитель - себя, поэтому 1 не считается простым числом. 2 – наименьшее (и единственное чётное) простое число. Все другие чётные числа делятся на 2,а значит имеют, по крайней мере три делителя; поэтому они не простые и могут быть вычеркнуты. Следующее невычеркнутое число – 3; оно имеет ровно два делителя, поэтому она простое. Все остальные числа, кратные трём (т. е. такие, которые можно разделить на 3 без остатка), вычеркиваются. Теперь первое невычеркнутое число - 5; оно простое, а все его кратные можно вычеркнуть.

Продолжая вычеркивать кратные, можно отсеять все простые числа, меньше 48.

3. Проблема Гольдбаха.

Из простых чисел можно получить любое число с помощью умножения. А что будет, если складывать простые числа?

Живший в России в XVIII веке математик Гольдбах решил складывать нечетные простые числа лишь попарно. Он обнаружил удивительную вещь: каждый раз ему удавалось представить четное число в виде суммы двух простых чисел. (как это было во времена Гольдбаха, мы считаем 1 простым числом).

4 = 1 +3, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5. и т. д.

https://pandia.ru/text/79/542/images/image016_5.jpg" width="156" height="191 src=">

О своем наблюдении Гольдбах написал великому математику

XVIII века Леонарду Эйлеру, который был членом Петербургской Академии наук. Проверив еще много четных чисел, Эйлер убедился, что все они являются суммами двух простых чисел. Но четных чисел бесконечно много. Поэтому вычисления Эйлера давали лишь надежду на то, что свойством, которое заметил Гольдбах, обладают все числа. Однако попытки доказать, что это всегда будет так, ни к чему не привели.

Двести лет размышляли математики над проблемой Гольдбаха. И только русскому ученому Ивану Матвеевичу Виноградову удалось сделать решающий шаг. Он установил, что любое достаточно большое натуральное число является

суммой трех простых чисел. Но число, начиная с которого верно утверждение Виноградова, невообразимо велико.

4. Признаки делимости.

489566: 11 = ?

Чтобы узнать, каково данное число – простое или составное, не всегда нужно заглядывать в таблицу простых чисел. Часто для этого достаточно воспользоваться признаками делимости.

· Признак делимости на 2.

Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число четно и делится на 2 без остатка.

· Признак делимости на 3.

Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3.

· Признак делимости на 4.

Натуральное число, содержащее не менее трех цифр, делится на 4, если делится на 4 число, образованное двумя последними цифрами этого числа.

· Признак делимости на 5.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится на 5 без остатка.

· Признак делимости на 7 (на13).

Натуральное число делится на 7 (на 13), если алгебраическая сумма чисел, образующих грани по три цифры(начиная с цифры единиц), взятых со знаком «+» для нечетных граней и со знаком «минус» для четных граней, делилась на, составим алгебраическую сумму граней, начиная с последней грани и чередуя знаки +и -: + 254 = 679. Число 679 делится на 7, значит и данное число делится на 7.

· Признак делимости на 8.

Натуральное число, содержащее не менее четырех цифр, делится на 8, если делится на 8 число, образованное тремя последними цифрами.

· Признак делимости на 9.

Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.

· Признак делимости на 10.

Если натуральное число оканчивается 0, то оно делится на 10.

· Признак делимости 11.

Натуральное число делится на 11, если алгебраическая сумма его цифр, взятых со знаком «плюс», если цифры находятся на нечетных местах (начиная с цифры единиц), и взятых со знаком «минус», если цифры находятся на четных местах, делится на, 7 – 1 + 5 = 11, делится на 11).

· Признак делимости на 25.

Натуральное число, содержащее не менее трех цифр, делится на 25, если делится на 25 число, образованное двумя последними цифрами этого числа.

· Признак делимости на 125.

Натуральное число, содержащее не менее четырех чисел, делится на 125, если на 125 делится число, образованное тремя последними цифрами этого числа.

5. Любопытные свойства натуральных чисел.

У натуральных чисел есть много любопытных свойств, которые обнаруживаются при выполнении над ними арифметических действий. Но заметить эти свойства всё же бывает легче, чем доказать их. Приведём несколько таких свойств.

1) .Возьмём наугад какое-нибудь натуральное число, например 6, и запишем все его делители: 1, 2, 3,6. Для каждого из этих чисел запишем, сколько у него делителей. Так как у 1 только один делитель (само это число), у 2 и 3 по два делителя, а у 6 имеем 4 делителя, то получаем числа 1, 2, 2, 4. У них есть замечательная особенность: если возвести эти числа в куб и сложить ответы, получится в точности такая же сумма которую мы получили бы, сначала сложив эти числа, а потом возведя сумму в квадрат, иными словами,

https://pandia.ru/text/79/542/images/image019_3.jpg" width="554" height="140 src=">

Подсчёты показывают, что и слева и справа ответ один и тот же, а именно324.

Какое бы число мы ни взяли, подмеченное нами свойство будет выполняться. Вот только доказать это довольно сложно.

2) . Возьмём любое четырёхзначное число, например 2519, и расставим его цифры сначала в порядке убывания, а потом в порядке возрастания: и Из большего числа вычтем меньшее: =8262. С полученным числом проделаем то же самое: 86=6354. И ещё один такой же шаг: 65= 3087. Далее, = 8352, =6174. Вам не надоело вычитать? Сделаем всё же ещё один шаг: =6174. Снова получилось 6174.

Вот теперь мы, как говорят программисты, «зациклились»: сколько бы раз мы теперь не вычитали, ничего кроме 6174, не получим. Может быть, дело в том, что так было подобрано исходное число 2519? оказывается, оно здесь не при чём: какое бы четырёхзначное число мы ни взяли, после не более чем семи шагов обязательно получится это же число 6174.

3) . Нарисуем несколько окружностей с общим центром и на внутренней окружности запишем любые четыре натуральных числа. Для каждой пары соседних чисел вычтем из большего меньшее и результат запишем на следующей окружности. Оказывается, если повторить это достаточно много раз, на одной их окружностей все числа окажутся равными нулю, а поэтому и дальше ничего, кроме нулей, получаться не будет. На рисунке показано это для случая, когда на внутренней окружности написаны числа 25, 17, 55, 47.

4) . Возьмём любое число (хоть тысячезначное), записанное в десятичной системе счисления. Возведём все его цифры в квадрат и сложим. С суммой проделаем то же самое. Оказывается, после нескольких шагов мы получим либо число 1, после чего иных чисел не будет, либо 4, после чего мы имеем числа 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 и снова получим 4. Значит, цикла не избежать и здесь.

5. Составим такую бесконечную таблицу. В первом столбце напишем числа 4, 7, 10, 13, 16, … (каждое следующее на 3 больше предыдущего). От числа 4 проведём вправо строку, увеличивая на каждом шагу числа на 3. От числа 7 поведём строку, увеличивая числа на 5, от числа 10- на 7 и т. д. Получается такая таблица:

Если взять любое число из этой таблицы, умножить его на 2 и к произведению прибавить 1, то всегда получится составное число. Если проделать то же самое с числом, не входящим в эту таблицу, то получаем простое число. Например, возьмём из таблицы число 45. Число 2*45+1=91 составное, оно равно 7*13. А числа 14 в таблице нет, и число 2*14+1=29 простое.

Этот замечательный способ отличать простые числа от составных придумал в 1934 году индийский студент Сундарам. Наблюдения за числами позволяют открывать и другие замечательные утверждения. Свойства мира чисел поистине неисчерпаемы.

Числовые фокусы.

https://pandia.ru/text/79/542/images/image022_2.jpg" width="226" height="71">

Ведь если рядом с трехзначным числом ещё раз написать это же число, то первоначальное число умножится на 1001 (например, 289 289= 289https://pandia.ru/text/79/542/images/image024_3.jpg" width="304" height="74">

А четырёхзначные числа повторяют один раз и делят на 73 137. Разгадка в равенстве

https://pandia.ru/text/79/542/images/image026_6.jpg" width="615" height="40 src=">

Заметим, что кубы чисел 0, 1, 4, 5, 6 и 9 оканчиваются той же цифрой (например, https://pandia.ru/text/79/542/images/image028_4.jpg" width="24" height="24 src=">.jpg" width="389" height="33">

Кроме этого, надо запомнить следующую таблицу, показывающую, с чего начинаются пятые степени следующих чисел:

https://pandia.ru/text/79/542/images/image032_2.jpg" width="200 height=28" height="28">Значит, надо приписать к первоначально написанному на доске пятизначному числу впереди цифру 3, а из полученного числа отнять 3.

Чтобы зрители не разгадали фокуса, можно уменьшить первую цифру какого-нибудь из чисел на несколько единиц и на столько же единиц уменьшить соответствующую цифру в сумме. Например, на рисунке уменьшена, на 2 первая цифра в третьем слагаемом и на столько же соответствующая цифра в сумме.

Заключение.

Собрав и обобщив материал о простых и составных числах, пришла к выводу:

1. Учение о числах уходит в древние времена и имеет богатую историю.

2. Велика роль простых чисел в математике: они являются теми кирпичиками, из которых с помощью умножения строятся все остальные числа.

3. Натуральные числа имеют много любопытных свойств. Свойства мира чисел поистине неисчерпаемы.

4. Подготовленный мною материал можно смело использовать на уроках математики и занятиях математического кружка. Этот материал поможет более глубже подготовиться к различным видам олимпиад.