O significado de seno e cosseno de um ângulo agudo. Seno, cosseno, tangente: o que é? Como encontrar seno, cosseno e tangente

Aula sobre o tema “Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo”

Lições objetivas:

educacional - introduzir o conceito de seno, cosseno, tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo, explorar as dependências e relações entre essas quantidades;

em desenvolvimento - a formação do conceito de seno, cosseno, tangente como funções de um ângulo, o domínio de definição de funções trigonométricas, o desenvolvimento do pensamento lógico, o desenvolvimento do discurso matemático correto;

educacional – desenvolvimento de habilidades de trabalho independente, cultura de comportamento, precisão na manutenção de registros.

Progresso da lição:

1. Momento organizacional

“Educação não é o número de lições aprendidas, mas o número de compreendidos. Então, se você quiser seguir em frente, apresse-se devagar e tenha cuidado.”

2. Motivação da aula.

Um sábio disse: “A manifestação mais elevada do espírito é a mente. A manifestação mais elevada da razão é a geometria. A célula geométrica é um triângulo. Ele é tão inesgotável quanto o Universo. O círculo é a alma da geometria. Conheça o círculo e você não apenas conhecerá a alma da geometria, mas também elevará sua alma.”

Tentaremos fazer uma pequena pesquisa junto com você. Vamos compartilhar as ideias que vierem à sua mente, e não tenha medo de errar, qualquer pensamento pode nos dar um novo rumo de busca. Nossas conquistas podem não parecer grandes para alguém, mas serão nossas próprias conquistas!

3. Atualização de conhecimentos básicos.

Que ângulos podem existir?

O que são triângulos?

Quais são os principais elementos que definem um triângulo?

Que tipos de triângulos existem dependendo dos lados?

Que tipos de triângulos existem dependendo dos ângulos?

O que é uma perna?

O que é uma hipotenusa?

Como são chamados os lados de um triângulo retângulo?

Que relações entre os lados e ângulos deste triângulo você conhece?

Por que você precisa conhecer as relações entre lados e ângulos?

Que problemas na vida podem levar à necessidade de calcular os lados desconhecidos de um triângulo?

O termo “hipotenusa” vem da palavra grega “hyponeinouse”, que significa “esticar sobre algo”, “contrair”. A palavra se origina da imagem das antigas harpas gregas, nas quais as cordas são esticadas nas extremidades de dois suportes perpendiculares entre si. O termo “cathetus” vem da palavra grega “kathetos”, que significa início de um “prumo”, “perpendicular”.

Euclides disse: “As pernas são os lados que formam um ângulo reto”.

Na Grécia Antiga já era conhecido um método para construir um triângulo retângulo no solo. Para isso, utilizaram uma corda na qual foram amarrados 13 nós, à mesma distância um do outro. Durante a construção das pirâmides do Egito, os triângulos retângulos foram feitos desta forma. É provavelmente por isso que um triângulo retângulo com lados 3,4,5 foi chamado de triângulo egípcio.

4. Estudando novos materiais.

Antigamente, as pessoas observavam as estrelas e, com base nessas observações, mantinham um calendário, calculavam as datas de semeadura e a época das cheias dos rios; navios no mar e caravanas em terra navegavam pelas estrelas. Tudo isso levou à necessidade de aprender a calcular os lados de um triângulo, cujos dois vértices estão na terra e o terceiro é representado por um ponto no céu estrelado. A partir dessa necessidade surgiu a ciência da trigonometria - ciência que estuda as ligações entre os lados de um triângulo.

Você acha que as relações que já conhecemos são suficientes para resolver tais problemas?

O objetivo da lição de hoje é explorar novas conexões e dependências, derivar relacionamentos, com os quais nas próximas aulas de geometria você poderá resolver tais problemas.

Sintamo-nos no papel de cientistas e, seguindo os antigos gênios Tales, Euclides, Pitágoras, trilharemos o caminho da busca da verdade.

Para isso precisamos de uma base teórica.

Destaque o ângulo A e a perna BC em vermelho.

Destaque a perna AC em verde.

Vamos calcular qual parte é o lado oposto de um ângulo agudo A à sua hipotenusa; para fazer isso, compomos a razão do lado oposto à hipotenusa:

Essa proporção tem um nome especial - de modo que cada pessoa em todos os pontos do planeta entenda que estamos falando de um número que representa a proporção entre o lado oposto de um ângulo agudo e a hipotenusa. Esta palavra é seno. Anotá-la. Como a palavra seno sem o nome do ângulo perde todo o significado, a notação matemática é a seguinte:

Agora componha a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa para o ângulo agudo A:

Essa proporção é chamada de cosseno. Sua notação matemática:

Consideremos outra razão para um ângulo agudo A: a razão entre o lado oposto e o lado adjacente:

Essa proporção é chamada de tangente. Sua notação matemática:

5. Consolidação de novo material.

Vamos consolidar nossas descobertas intermediárias.

O seno é...

Cosseno é...

Tangente é...

Resolver oralmente os nºs 88, 889, 892 (trabalhar em pares).

Utilizar os conhecimentos adquiridos para resolver um problema prático:

“Da torre do farol, de 70 m de altura, é visível um navio num ângulo de 3° em relação ao horizonte. Como é

distância do farol ao navio?

O problema é resolvido frontalmente. Durante a discussão, fazemos um desenho e as anotações necessárias no quadro e em cadernos.

Na resolução do problema, são utilizadas tabelas Bradis.

Considere a solução para o problema p.175.

Resolva nº 902(1).

6. Exercício para os olhos.

Sem virar a cabeça, olhe ao redor da parede da sala de aula em torno do perímetro no sentido horário, no quadro-negro ao redor do perímetro no sentido anti-horário, no triângulo representado no suporte no sentido horário e no triângulo igual no sentido anti-horário. Vire a cabeça para a esquerda e olhe para a linha do horizonte, e agora para a ponta do nariz. Feche os olhos, conte até 5, abra os olhos e...

Colocaremos as palmas das mãos nos olhos,
Vamos abrir nossas pernas fortes.
Virando para a direita
Vamos olhar ao redor majestosamente.
E você precisa ir para a esquerda também
Olhe sob as palmas das mãos.
E - para a direita! E mais além
Por cima do ombro esquerdo!
Agora vamos continuar trabalhando.

7. Trabalho independente dos alunos.

Resolva não.

8. Resumo da lição. Reflexão. D/z.

Que coisas novas você aprendeu? Na lição:

você considerou...

você analisou...

Você recebeu …

você concluiu...

você expandiu seu vocabulário com os seguintes termos...

A ciência mundial começou com a geometria. Uma pessoa não pode desenvolver-se verdadeiramente cultural e espiritualmente se não tiver estudado geometria na escola. A geometria surgiu não apenas das necessidades práticas, mas também espirituais do homem.

Foi assim que ela explicou poeticamente seu amor pela geometria

Adoro geometria...

Eu ensino geometria porque adoro

Precisamos de geometria, sem ela não chegaremos a lugar nenhum.

Seno, cosseno, circunferência - tudo é importante aqui,

Tudo é necessário aqui

Você só precisa aprender e entender tudo com muita clareza,

Conclua tarefas e testes dentro do prazo.

Acho que você merece mais do que isso. Aqui está minha chave para trigonometria:

• Desenhe a cúpula, parede e teto
• As funções trigonométricas nada mais são do que porcentagens dessas três formas.

Metáfora para seno e cosseno: cúpula

Em vez de apenas olhar para os próprios triângulos, imagine-os em ação encontrando um exemplo específico da vida real.

Imagine que você está no meio de uma cúpula e deseja pendurar uma tela de projetor de cinema. Você aponta o dedo para a cúpula em um determinado ângulo “x”, e a tela deve ser suspensa a partir deste ponto.

O ângulo para o qual você aponta determina:

• seno(x) = sin(x) = altura da tela (do chão ao ponto de montagem da cúpula)
• cosseno(x) = cos(x) = distância de você até a tela (por andar)
• hipotenusa, a distância de você até o topo da tela, sempre a mesma, igual ao raio da cúpula

Você quer que a tela seja o maior possível? Pendure-o diretamente acima de você.

Você quer que a tela fique o mais longe possível de você? Pendure-o em linha reta perpendicular. A tela terá altura zero nesta posição e ficará pendurada o mais longe possível, conforme você pediu.

A altura e a distância da tela são inversamente proporcionais: quanto mais perto a tela estiver, maior será sua altura.

Seno e cosseno são porcentagens

Ninguém durante meus anos de estudo, infelizmente, me explicou que as funções trigonométricas seno e cosseno nada mais são do que porcentagens. Seus valores variam de +100% a 0 a -100%, ou de um máximo positivo a zero até um máximo negativo.

Digamos que paguei um imposto de 14 rublos. Você não sabe quanto é. Mas se você disser que paguei 95% de impostos, entenderá que fui simplesmente espoliado.

Altura absoluta não significa nada. Mas se o valor do seno for 0,95, entendo que a TV está pendurada quase no topo da sua cúpula. Muito em breve atingirá a sua altura máxima no centro da cúpula e depois começará a diminuir novamente.

Como podemos calcular essa porcentagem? É muito simples: divida a altura atual da tela pelo máximo possível (o raio da cúpula, também chamado de hipotenusa).

É por isso somos informados de que “cosseno = lado oposto / hipotenusa”. É tudo uma questão de obter interesse! É melhor definir seno como “a porcentagem da altura atual em relação ao máximo possível”. (O seno torna-se negativo se o seu ângulo apontar para “subterrâneo”. O cosseno torna-se negativo se o ângulo apontar para o ponto de cúpula atrás de você.)

Vamos simplificar os cálculos assumindo que estamos no centro do círculo unitário (raio = 1). Podemos pular a divisão e apenas considerar o seno igual à altura.

Cada círculo é essencialmente um único círculo, ampliado ou reduzido até o tamanho desejado. Portanto, determine as conexões do círculo unitário e aplique os resultados ao tamanho específico do seu círculo.

Experimente: pegue qualquer canto e veja qual porcentagem de altura em relação à largura ele exibe:

O gráfico do crescimento do valor do seno não é apenas uma linha reta. Os primeiros 45 graus cobrem 70% da altura, mas os últimos 10 graus (de 80° a 90°) cobrem apenas 2%.

Isso deixará mais claro para você: se você andar em círculo, a 0° você sobe quase verticalmente, mas à medida que se aproxima do topo da cúpula, a altura muda cada vez menos.

Tangente e secante. Parede

Um dia um vizinho construiu um muro bem ao lado um do outro para sua cúpula. Chorei sua vista da janela e um bom preço para revenda!

Mas é possível vencer de alguma forma nesta situação?

Claro que sim. E se pendurássemos uma tela de cinema na parede do vizinho? Você direciona o ângulo (x) e obtém:

• tan(x) = tan(x) = altura da tela na parede
• distância de você até a parede: 1 (esse é o raio da sua cúpula, a parede não está se movendo para lugar nenhum de você, certo?)
• secante(x) = sec(x) = “comprimento da escada” de você no centro da cúpula até o topo da tela suspensa

Vamos esclarecer alguns pontos em relação à tangente, ou altura da tela.

• começa em 0 e pode ir infinitamente alto. Você pode esticar a tela cada vez mais alto na parede para criar uma tela infinita para assistir seu filme favorito! (Para um tamanho tão grande, é claro, você terá que gastar muito dinheiro).
• tangente é apenas uma versão maior do seno! E embora o aumento do seno diminua à medida que você avança em direção ao topo da cúpula, a tangente continua a crescer!

Sekansu também tem algo do que se gabar:

• A secante começa em 1 (a escada fica no chão, de você até a parede) e começa a subir a partir daí
• A secante é sempre maior que a tangente. A escada inclinada que você usa para pendurar a tela deve ser mais longa que a própria tela, certo? (Com tamanhos irrealistas, quando a tela é muuuito longa e a escada precisa ser colocada quase na vertical, seus tamanhos são quase iguais. Mas mesmo assim a secante será um pouco mais longa).

Lembre-se, os valores são por cento. Se você decidir pendurar a tela em um ângulo de 50 graus, tan(50)=1,19. Sua tela é 19% maior que a distância até a parede (raio da cúpula).

(Insira x=0 e verifique sua intuição - tan(0) = 0 e sec(0) = 1.)

Cotangente e cossecante. Teto

Incrivelmente, seu vizinho decidiu construir um telhado sobre sua cúpula. (O que há de errado com ele? Aparentemente ele não quer que você o espione enquanto ele anda nu pelo quintal...)

Bem, é hora de construir uma saída para o telhado e conversar com seu vizinho. Você escolhe o ângulo de inclinação e inicia a construção:

• a distância vertical entre a saída do telhado e o chão é sempre 1 (o raio da cúpula)
• cotangente(x) = berço(x) = distância entre o topo da cúpula e o ponto de saída
• cosecant(x) = csc(x) = comprimento do seu caminho até o telhado

Tangente e secante descrevem a parede, e COtangente e COsecante descrevem o teto.

Nossas conclusões intuitivas desta vez são semelhantes às anteriores:

• Se você tomar o ângulo igual a 0°, sua saída para o telhado durará para sempre, pois nunca chegará ao teto. Problema.
• A “escada” mais curta para o telhado será obtida se você construí-la em um ângulo de 90 graus em relação ao chão. A cotangente será igual a 0 (não nos movemos ao longo do telhado, saímos estritamente perpendicularmente), e a cossecante será igual a 1 (“o comprimento da escada” será mínimo).

Visualize conexões

Se todos os três casos forem desenhados em uma combinação cúpula-parede-teto, o resultado será o seguinte:

Bem, ainda é o mesmo triângulo, aumentado de tamanho para alcançar a parede e o teto. Temos lados verticais (seno, tangente), lados horizontais (cosseno, cotangente) e “hipotenusas” (secante, cossecante). (Pelas setas você pode ver onde cada elemento chega. A cossecante é a distância total de você até o telhado).

Um pouco de magia. Todos os triângulos compartilham as mesmas igualdades:

A partir do teorema de Pitágoras (a 2 + b 2 = c 2) vemos como os lados de cada triângulo estão conectados. Além disso, as proporções “altura/largura” também devem ser as mesmas para todos os triângulos. (Basta passar do triângulo maior para o menor. Sim, o tamanho mudou, mas as proporções dos lados permanecerão as mesmas).

Sabendo qual lado de cada triângulo é igual a 1 (o raio da cúpula), podemos facilmente calcular que “sen/cos = tan/1”.

Sempre tentei me lembrar desses fatos através de uma simples visualização. Na imagem você vê claramente essas dependências e entende de onde elas vêm. Essa técnica é muito melhor do que memorizar fórmulas secas.

Não se esqueça dos outros ângulos

Psiu... Não fique preso em um gráfico pensando que a tangente é sempre menor que 1. Se aumentar o ângulo, você pode chegar ao teto sem chegar à parede:

As conexões pitagóricas sempre funcionam, mas os tamanhos relativos podem variar.

(Você deve ter notado que as razões seno e cosseno são sempre as menores porque estão contidas dentro da cúpula).

Resumindo: o que precisamos lembrar?

Para a maioria de nós, eu diria que isso será suficiente:

• trigonometria explica a anatomia de objetos matemáticos, como círculos e intervalos repetidos
• A analogia cúpula/parede/telhado mostra a relação entre diferentes funções trigonométricas
• As funções trigonométricas resultam em porcentagens, que aplicamos ao nosso script.

Você não precisa memorizar fórmulas como 1 2 + cot 2 = csc 2 . Eles só são adequados para testes estúpidos nos quais o conhecimento de um fato é considerado como compreensão dele. Reserve um minuto para desenhar um semicírculo em forma de cúpula, parede e telhado, rotule os elementos e todas as fórmulas chegarão até você no papel.

Aplicação: Funções Inversas

Qualquer função trigonométrica usa um ângulo como parâmetro de entrada e retorna o resultado como uma porcentagem. pecado (30) = 0,5. Isto significa que um ângulo de 30 graus ocupa 50% da altura máxima.

A função trigonométrica inversa é escrita como sen -1 ou arcsin. Asin também é frequentemente escrito em várias linguagens de programação.

Se a nossa altura for 25% da altura da cúpula, qual é o nosso ângulo?

Na nossa tabela de proporções você pode encontrar uma razão onde a secante é dividida por 1. Por exemplo, a secante por 1 (hipotenusa para a horizontal) será igual a 1 dividido pelo cosseno:

Digamos que nossa secante seja 3,5, ou seja, 350% do raio de um círculo unitário. A que ângulo de inclinação em relação à parede corresponde este valor?

Apêndice: Alguns exemplos

Uma tarefa chata. Vamos complicar o banal “encontrar o seno” para “Qual é a altura como porcentagem do máximo (hipotenusa)?”

Primeiro, observe que o triângulo está girado. Não há nada de errado com isso. O triângulo também tem altura, está indicado em verde na figura.

A que é igual a hipotenusa? De acordo com o teorema de Pitágoras, sabemos que:

3 2 + 4 2 = hipotenusa 2 25 = hipotenusa 2 5 = hipotenusa

Multar! Seno é a porcentagem da altura do lado mais longo do triângulo, ou hipotenusa. No nosso exemplo, o seno é 3/5 ou 0,60.

Claro, podemos seguir vários caminhos. Agora que sabemos que o seno é 0,60, podemos simplesmente encontrar o arco seno:

Asin(0,6)=36,9

Aqui está outra abordagem. Observe que o triângulo está “de frente para a parede”, então podemos usar a tangente em vez do seno. A altura é 3, a distância até a parede é 4, então a tangente é ¾ ou 75%. Podemos usar o arco tangente para voltar de um valor percentual para um ângulo:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Exemplo: Você vai nadar até a costa?

Você está em um barco e tem combustível suficiente para percorrer 2 km. Você está agora a 0,25 km da costa. Em que ângulo máximo em relação à costa você pode nadar até lá para ter combustível suficiente? Além da definição do problema: temos apenas uma tabela de valores de arco cosseno.

O que nós temos? O litoral pode ser representado como uma “parede” no nosso famoso triângulo, e o “comprimento da escada” fixada na parede é a distância máxima possível a ser percorrida de barco até a costa (2 km). Uma secante aparece.

Primeiro, você precisa ir para as porcentagens. Temos 2/0,25 = 8, ou seja, podemos nadar uma distância que é 8 vezes a distância reta até a costa (ou até a parede).

Surge a pergunta: “Qual é a secante de 8?” Mas não podemos responder, uma vez que só temos arcos cossenos.

Usamos nossas dependências derivadas anteriormente para relacionar a secante ao cosseno: “seg/1 = 1/cos”

A secante de 8 é igual ao cosseno de ⅛. Um ângulo cujo cosseno é ⅛ é igual a acos (1/8) = 82,8. E este é o maior ângulo que podemos permitir num barco com a quantidade especificada de combustível.

Nada mal, certo? Sem a analogia cúpula-parede-teto, eu teria me perdido em um monte de fórmulas e cálculos. Visualizar o problema simplifica muito a busca por uma solução, e também é interessante ver qual função trigonométrica acabará por ajudar.

Para cada problema, pense assim: Estou interessado na cúpula (sin/cos), na parede (tan/sec) ou no teto (berço/csc)?

E a trigonometria se tornará muito mais agradável. Cálculos fáceis para você!

A trigonometria é um ramo da ciência matemática que estuda funções trigonométricas e seu uso em geometria. O desenvolvimento da trigonometria começou na Grécia antiga. Durante a Idade Média, cientistas do Médio Oriente e da Índia deram importantes contribuições para o desenvolvimento desta ciência.

Este artigo é dedicado aos conceitos básicos e definições de trigonometria. Discute as definições das funções trigonométricas básicas: seno, cosseno, tangente e cotangente. Seu significado é explicado e ilustrado no contexto da geometria.

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Inicialmente, as definições de funções trigonométricas cujo argumento é um ângulo foram expressas em termos da razão dos lados de um triângulo retângulo.

Definições de funções trigonométricas

O seno de um ângulo (sin α) é a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa.

O cosseno do ângulo (cos α) é a razão entre a perna adjacente e a hipotenusa.

Tangente angular (t g α) - a razão entre o lado oposto e o lado adjacente.

Ângulo cotangente (ct g α) - a razão entre o lado adjacente e o lado oposto.

Estas definições são dadas para o ângulo agudo de um triângulo retângulo!

Vamos dar uma ilustração.

No triângulo ABC com ângulo reto C, o seno do ângulo A é igual à razão entre a perna BC e a hipotenusa AB.

As definições de seno, cosseno, tangente e cotangente permitem calcular os valores dessas funções a partir dos comprimentos conhecidos dos lados do triângulo.

Importante lembrar!

O intervalo de valores de seno e cosseno é de -1 a 1. Em outras palavras, seno e cosseno assumem valores de -1 a 1. O intervalo de valores de tangente e cotangente é a reta numérica inteira, isto é, essas funções podem assumir qualquer valor.

As definições fornecidas acima se aplicam a ângulos agudos. Na trigonometria, é introduzido o conceito de ângulo de rotação, cujo valor, ao contrário de um ângulo agudo, não se limita a 0 a 90 graus. O ângulo de rotação em graus ou radianos é expresso por qualquer número real de - ∞ a + ∞. .

Neste contexto, podemos definir seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo de magnitude arbitrária. Imaginemos um círculo unitário com centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas.

O ponto inicial A com coordenadas (1, 0) gira em torno do centro do círculo unitário através de um certo ângulo α e vai para o ponto A 1. A definição é dada em termos das coordenadas do ponto A 1 (x, y).

Seno (sin) do ângulo de rotação

O seno do ângulo de rotação α é a ordenada do ponto A 1 (x, y). pecado α = y

Cosseno (cos) do ângulo de rotação

O cosseno do ângulo de rotação α é a abcissa do ponto A 1 (x, y). cos α = x

Tangente (tg) do ângulo de rotação

A tangente do ângulo de rotação α é a razão entre a ordenada do ponto A 1 (x, y) e sua abcissa. t g α = y x

Cotangente (ctg) do ângulo de rotação

A cotangente do ângulo de rotação α é a razão entre a abcissa do ponto A 1 (x, y) e sua ordenada. c t g α = x y

Seno e cosseno são definidos para qualquer ângulo de rotação. Isso é lógico, porque a abcissa e a ordenada de um ponto após a rotação podem ser determinadas em qualquer ângulo. A situação é diferente com tangente e cotangente. A tangente é indefinida quando um ponto após a rotação vai para um ponto com abscissa zero (0, 1) e (0, - 1). Nesses casos, a expressão para a tangente t g α = y x simplesmente não faz sentido, pois contém divisão por zero. A situação é semelhante com a cotangente. A diferença é que a cotangente não é definida nos casos em que a ordenada de um ponto vai para zero.

Importante lembrar!

Seno e cosseno são definidos para quaisquer ângulos α.

A tangente é definida para todos os ângulos, exceto α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

A cotangente é definida para todos os ângulos, exceto α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Ao resolver exemplos práticos, não diga “seno do ângulo de rotação α”. As palavras “ângulo de rotação” são simplesmente omitidas, o que implica que já está claro no contexto o que está sendo discutido.

Números

E quanto à definição de seno, cosseno, tangente e cotangente de um número, e não do ângulo de rotação?

Seno, cosseno, tangente, cotangente de um número

Seno, cosseno, tangente e cotangente de um número té um número que é respectivamente igual a seno, cosseno, tangente e cotangente em t radiano.

Por exemplo, o seno do número 10 π é igual ao seno do ângulo de rotação de 10 π rad.

Existe outra abordagem para determinar o seno, cosseno, tangente e cotangente de um número. Vamos dar uma olhada mais de perto.

Qualquer número real t um ponto no círculo unitário está associado ao centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas retangulares. Seno, cosseno, tangente e cotangente são determinados através das coordenadas deste ponto.

O ponto inicial do círculo é o ponto A com coordenadas (1, 0).

Número positivo t

Número negativo t corresponde ao ponto para onde irá o ponto inicial se ele se mover ao redor do círculo no sentido anti-horário e passar pelo caminho t.

Agora que a ligação entre um número e um ponto de uma circunferência foi estabelecida, passamos à definição de seno, cosseno, tangente e cotangente.

Seno (pecado) de t

Seno de um número t- ordenada de um ponto no círculo unitário correspondente ao número t. pecado t = y

Cosseno (cos) de t

Cosseno de um número t- abscissa do ponto do círculo unitário correspondente ao número t. cos t = x

Tangente (tg) de t

Tangente de um número t- a razão entre a ordenada e a abcissa de um ponto no círculo unitário correspondente ao número t. t g t = y x = sin t cos t

As últimas definições estão de acordo e não contradizem a definição dada no início deste parágrafo. Aponte no círculo correspondente ao número t, coincide com o ponto para onde vai o ponto inicial após girar um ângulo t radiano.

Funções trigonométricas de argumento angular e numérico

Cada valor do ângulo α corresponde a um determinado valor do seno e cosseno deste ângulo. Assim como todos os ângulos α diferentes de α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) correspondem a um determinado valor da tangente. A cotangente, como afirmado acima, é definida para todo α exceto α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Podemos dizer que sen α, cos α, t g α, c t g α são funções do ângulo alfa, ou funções do argumento angular.

Da mesma forma, podemos falar de seno, cosseno, tangente e cotangente como funções de um argumento numérico. Cada número real t corresponde a um determinado valor do seno ou cosseno de um número t. Todos os números diferentes de π 2 + π · k, k ∈ Z, correspondem a um valor tangente. A cotangente, da mesma forma, é definida para todos os números, exceto π · k, k ∈ Z.

Funções básicas da trigonometria

Seno, cosseno, tangente e cotangente são as funções trigonométricas básicas.

Geralmente fica claro no contexto com qual argumento da função trigonométrica (argumento angular ou argumento numérico) estamos lidando.

Voltemos às definições dadas no início e ao ângulo alfa, que está na faixa de 0 a 90 graus. As definições trigonométricas de seno, cosseno, tangente e cotangente são inteiramente consistentes com as definições geométricas dadas pelas proporções de um triângulo retângulo. Vamos mostrar.

Vamos pegar um círculo unitário com centro em um sistema de coordenadas cartesianas retangulares. Vamos girar o ponto inicial A (1, 0) em um ângulo de até 90 graus e traçar uma perpendicular ao eixo das abcissas a partir do ponto resultante A 1 (x, y). No triângulo retângulo resultante, o ângulo A 1 O H é igual ao ângulo de rotação α, o comprimento da perna O H é igual à abcissa do ponto A 1 (x, y). O comprimento da perna oposta ao ângulo é igual à ordenada do ponto A 1 (x, y), e o comprimento da hipotenusa é igual a um, pois é o raio do círculo unitário.

De acordo com a definição da geometria, o seno do ângulo α é igual à razão entre o lado oposto e a hipotenusa.

pecado α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Isso significa que determinar o seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo através da proporção é equivalente a determinar o seno do ângulo de rotação α, com alfa situado na faixa de 0 a 90 graus.

Da mesma forma, a correspondência de definições pode ser mostrada para cosseno, tangente e cotangente.

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A razão entre o lado oposto e a hipotenusa é chamada seio de ângulo agudo triângulo retângulo.

\sin \alfa = \frac(a)(c)

Cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo

A razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa é chamada cosseno de um ângulo agudo triângulo retângulo.

\cos \alfa = \frac(b)(c)

Tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo

A razão entre o lado oposto e o lado adjacente é chamada tangente de um ângulo agudo triângulo retângulo.

tg \alfa = \frac(a)(b)

Cotangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo

A razão entre o lado adjacente e o lado oposto é chamada cotangente de um ângulo agudo triângulo retângulo.

ctg \alfa = \frac(b)(a)

Seno de um ângulo arbitrário

A ordenada de um ponto no círculo unitário ao qual corresponde o ângulo \alpha é chamada seno de um ângulo arbitrário rotação \alfa .

\sin \alfa=y

Cosseno de um ângulo arbitrário

A abscissa de um ponto no círculo unitário ao qual corresponde o ângulo \alpha é chamada cosseno de um ângulo arbitrário rotação \alfa .

\cos \alfa=x

Tangente de um ângulo arbitrário

A razão entre o seno de um ângulo de rotação arbitrário \alpha e seu cosseno é chamada tangente de um ângulo arbitrário rotação \alfa .

tan \alfa = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Cotangente de um ângulo arbitrário

A razão entre o cosseno de um ângulo de rotação arbitrário \alpha e seu seno é chamada cotangente de um ângulo arbitrário rotação \alfa .

ctg \alfa =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Um exemplo de como encontrar um ângulo arbitrário

Se \alpha é algum ângulo AOM, onde M é um ponto no círculo unitário, então

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alfa=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alfa=\frac(x_(M))(y_(M)).

Por exemplo, se \ângulo AOM = -\frac(\pi)(4), então: a ordenada do ponto M é igual a -\frac(\sqrt(2))(2), abscissa é igual \frac(\sqrt(2))(2) E é por causa disso

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \esquerda (-\frac(\pi)(4) \direita)=-1.

Tabela de valores de senos de cossenos de tangentes de cotangentes

Os valores dos principais ângulos que ocorrem com frequência são apresentados na tabela:

Seioângulo agudo α de um triângulo retângulo é a razão oposto perna até a hipotenusa.
É denotado da seguinte forma: sin α.

Cosseno O ângulo agudo α de um triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
É designado da seguinte forma: cos α.

Tangenteângulo agudo α é a razão entre o lado oposto e o lado adjacente.
É designado da seguinte forma: tg α.

Co-tangenteângulo agudo α é a razão entre o lado adjacente e o lado oposto.
É designado da seguinte forma: ctg α.

O seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo dependem apenas do tamanho do ângulo.

Regras:

Identidades trigonométricas básicas em um triângulo retângulo:

(α – ângulo agudo oposto à perna b e adjacente à perna a . Lado Com – hipotenusa. β – segundo ângulo agudo).

À medida que o ângulo agudo aumentapecado α eaumento de tg α, ecos α diminui.

Para qualquer ângulo agudo α:

sen (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sen α

Exemplo-explicação:

Deixe entrar um triângulo retângulo ABC
AB = 6,
BC = 3,
ângulo A = 30º.

Vamos descobrir o seno do ângulo A e o cosseno do ângulo B.

Solução.

1) Primeiro encontramos o valor do ângulo B. Tudo é simples aqui: como em um triângulo retângulo a soma dos ângulos agudos é 90º, então ângulo B = 60º:

B = 90º – 30º = 60º.

2) Vamos calcular o sen A. Sabemos que o seno é igual à razão entre o lado oposto e a hipotenusa. Para o ângulo A, o lado oposto é o lado BC. Então:

3 AC 1
pecado A = -- = - = -
AB 6 2

3) Agora vamos calcular o cos B. Sabemos que o cosseno é igual à razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. Para o ângulo B, a perna adjacente é o mesmo lado BC. Isso significa que precisamos novamente dividir BC por AB - ou seja, realizar as mesmas ações do cálculo do seno do ângulo A:

3 AC 1
porque B = -- = - = -
AB 6 2

O resultado é:
sen A = cos B = 1/2.

sen 30º = cos 60º = 1/2.

Segue-se disso que em um triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno de outro ângulo agudo - e vice-versa. Isso é exatamente o que nossas duas fórmulas significam:
sen (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sen α

Vamos ter certeza disso novamente:

1) Seja α = 60º. Substituindo o valor de α na fórmula do seno, obtemos:
sen (90º – 60º) = cos 60º.
sen 30º = cos 60º.

2) Seja α = 30º. Substituindo o valor de α na fórmula do cosseno, obtemos:
cos (90° – 30º) = sen 30º.
cos 60° = sen 30º.

(Para obter mais informações sobre trigonometria, consulte a seção Álgebra)