Cálculo de expectativa e variância matemática. Variáveis ​​aleatórias discretas

Variáveis ​​aleatórias, além das leis de distribuição, também podem ser descritas características numéricas .

Expectativa matemática M (x) de uma variável aleatória é chamado de valor médio.

Expectativa variável aleatória discreta é calculada pela fórmula

Onde – valores de variáveis ​​​​aleatórias, p eu - suas probabilidades.

Consideremos as propriedades da expectativa matemática:

1. A expectativa matemática de uma constante é igual à própria constante

2. Se uma variável aleatória for multiplicada por um certo número k, então a expectativa matemática será multiplicada pelo mesmo número

M(kx)=km(x)

3. A expectativa matemática da soma das variáveis ​​​​aleatórias é igual à soma de suas expectativas matemáticas

M (x 1 + x 2 +… + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)

4. M (x 1 - x 2) = M (x 1) - M (x 2)

5. Para variáveis ​​​​aleatórias independentes x 1, x 2, … x n, a expectativa matemática do produto é igual ao produto de suas expectativas matemáticas

M (x 1, x 2, ... x n) = M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0

Vamos calcular a expectativa matemática para a variável aleatória do Exemplo 11.

M(x) = = .

Exemplo 12. Deixe as variáveis ​​​​aleatórias x 1, x 2 serem especificadas de acordo com as leis de distribuição:

x 1 Tabela 2

x 2 Tabela 3

Vamos calcular M (x 1) e M (x 2)

M (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 = 0

M (x 2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 = 0

As expectativas matemáticas de ambas as variáveis ​​aleatórias são as mesmas - são iguais a zero. No entanto, a natureza da sua distribuição é diferente. Se os valores de x 1 diferem pouco de sua expectativa matemática, então os valores de x 2 diferem em grande parte de sua expectativa matemática, e as probabilidades de tais desvios não são pequenas. Esses exemplos mostram que é impossível determinar a partir do valor médio quais desvios dele ocorrem, tanto menores quanto maiores. lado grande. Assim, com a mesma precipitação média anual em duas áreas, não se pode dizer que estas áreas sejam igualmente favoráveis ​​ao trabalho agrícola. Semelhante à média remunerações não é possível julgar gravidade específica trabalhadores com altos e baixos salários. Portanto, uma característica numérica é introduzida - dispersão D(x) , que caracteriza o grau de desvio de uma variável aleatória de seu valor médio:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

Dispersão é a expectativa matemática do desvio quadrático de uma variável aleatória da expectativa matemática. Para uma variável aleatória discreta, a variância é calculada usando a fórmula:

D(x)= = (3)

Da definição de dispersão segue-se que D (x) 0.

Propriedades de dispersão:

1. A variância da constante é zero

2. Se uma variável aleatória for multiplicada por um certo número k, então a variância será multiplicada pelo quadrado desse número

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) = M (x 2) – M 2 (x)

4. Para variáveis ​​aleatórias independentes aos pares x 1 , x 2 , … x n a variância da soma é igual à soma das variâncias.

D (x 1 + x 2 +… + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)

Vamos calcular a variância da variável aleatória do Exemplo 11.

Expectativa matemática M(x) = 1. Portanto, conforme a fórmula (3) temos:

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

Observe que é mais fácil calcular a variância se você usar a propriedade 3:

D (x) = M (x 2) – M 2 (x).

Vamos calcular as variâncias para as variáveis ​​aleatórias x 1 , x 2 do Exemplo 12 usando esta fórmula. As expectativas matemáticas de ambas as variáveis ​​aleatórias são zero.

D (x 1) = 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204

D (x 2) = (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 = 240 +20 = 260

Como valor mais próximo dispersão para zero, menor será a dispersão da variável aleatória em relação ao valor médio.

A quantidade é chamada desvio padrão. Modo variável aleatória x tipo discreto Md O valor de uma variável aleatória que tem a maior probabilidade é chamado.

Modo variável aleatória x tipo contínuo Md, é um número real definido como o ponto máximo da densidade da distribuição de probabilidade f(x).

Mediana de uma variável aleatória x tipo contínuo Mné um número real que satisfaz a equação

Variável aleatória chamado valor variável, que como resultado de cada teste assume um valor previamente desconhecido, dependendo de motivos aleatórios. Variáveis ​​aleatórias são denotadas por letras latinas maiúsculas: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ De acordo com seu tipo, variáveis ​​aleatórias podem ser discreto E contínuo.

Variável aleatória discreta- esta é uma variável aleatória cujos valores não podem ser mais que contáveis, ou seja, finitos ou contáveis. Por contabilidade queremos dizer que os valores de uma variável aleatória podem ser numerados.

Exemplo 1 . Aqui estão alguns exemplos de variáveis ​​​​aleatórias discretas:

a) o número de acertos no alvo com $n$ tiros, aqui os valores possíveis são $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) o número de emblemas descartados ao lançar uma moeda, aqui os valores possíveis são $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) o número de navios que chegam a bordo (um conjunto contável de valores).

d) a quantidade de chamadas que chegam ao PABX (conjunto contável de valores).

1. Lei da distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta.

Uma variável aleatória discreta $X$ pode assumir valores $x_1,\dots ,\ x_n$ com probabilidades $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. A correspondência entre esses valores e suas probabilidades é chamada lei de distribuição de uma variável aleatória discreta. Via de regra, essa correspondência é especificada por meio de uma tabela, na primeira linha da qual são indicados os valores $x_1,\dots ,\ x_n$, e na segunda linha as probabilidades $p_1,\dots ,\ p_n$ correspondentes a esses valores são indicados.

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \pontos & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \pontos & p_n \\
\hline
\fim(matriz)$

Exemplo 2 . Seja a variável aleatória $X$ o número de pontos lançados ao lançar um dado. Essa variável aleatória $X$ pode assumir os seguintes valores: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. As probabilidades de todos esses valores são iguais a $1/6$. Então a lei da distribuição de probabilidade da variável aleatória $X$:

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\fim(matriz)$

Comentário. Como na lei de distribuição de uma variável aleatória discreta $X$ os eventos $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ formam grupo completo eventos, então a soma das probabilidades deve ser igual a um, ou seja, $\sum(p_i)=1$.

2. Expectativa matemática de uma variável aleatória discreta.

Expectativa de uma variável aleatória especifica seu significado “central”. Para uma variável aleatória discreta, a expectativa matemática é calculada como a soma dos produtos dos valores $x_1,\dots ,\ x_n$ e as probabilidades $p_1,\dots ,\ p_n$ correspondentes a esses valores, ou seja : $M\esquerda(X\direita)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Na literatura de língua inglesa, outra notação $E\left(X\right)$ é usada.

Propriedades da expectativa matemática$M\esquerda(X\direita)$:

1. $M\left(X\right)$ está contido entre o menor e valores mais altos variável aleatória $X$.
2. A expectativa matemática de uma constante é igual à própria constante, ou seja, $M\esquerda(C\direita)=C$.
3. O fator constante pode ser retirado do sinal da expectativa matemática: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. A expectativa matemática da soma das variáveis ​​​​aleatórias é igual à soma de suas expectativas matemáticas: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. A expectativa matemática do produto de variáveis ​​​​aleatórias independentes é igual ao produto de suas expectativas matemáticas: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Exemplo 3 . Vamos encontrar a expectativa matemática da variável aleatória $X$ do exemplo $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\mais de (6))=3,5.$$

Podemos notar que $M\left(X\right)$ está entre o menor ($1$) e o maior ($6$) valores da variável aleatória $X$.

Exemplo 4 . Sabe-se que a expectativa matemática da variável aleatória $X$ é igual a $M\left(X\right)=2$. Encontre a expectativa matemática da variável aleatória $3X+5$.

Usando as propriedades acima, obtemos $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cponto 2 +5=$11.

Exemplo 5 . Sabe-se que a expectativa matemática da variável aleatória $X$ é igual a $M\left(X\right)=4$. Encontre a expectativa matemática da variável aleatória $2X-9$.

Usando as propriedades acima, obtemos $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cponto 4 -9=-1$.

3. Dispersão de uma variável aleatória discreta.

Os valores possíveis de variáveis ​​​​aleatórias com expectativas matemáticas iguais podem se dispersar de maneira diferente em torno de seus valores médios. Por exemplo, em dois grupos de estudantes GPA para o exame de teoria das probabilidades acabou sendo igual a 4, mas em um grupo todos eram bons alunos, e no outro grupo - apenas alunos C e excelentes alunos. Portanto, há necessidade de uma característica numérica de uma variável aleatória que mostre a dispersão dos valores da variável aleatória em torno de sua expectativa matemática. Essa característica é a dispersão.

Variância de uma variável aleatória discreta$X$ é igual a:

$$D\esquerda(X\direita)=\soma^n_(i=1)(p_i(\esquerda(x_i-M\esquerda(X\direita)\direita))^2).\ $$

Na literatura inglesa a notação $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ é usada. Muitas vezes a variância $D\left(X\right)$ é calculada usando a fórmula $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ esquerda(X \direita)\direita))^2$.

Propriedades de dispersão$D\esquerda(X\direita)$:

1. A variância é sempre maior ou igual a zero, ou seja, $D\esquerda(X\direita)\ge 0$.
2. A variância da constante é zero, ou seja, $D\esquerda(C\direita)=0$.
3. O fator constante pode ser retirado do sinal da dispersão, desde que seja elevado ao quadrado, ou seja, $D\esquerda(CX\direita)=C^2D\esquerda(X\direita)$.
4. A variância da soma das variáveis ​​​​aleatórias independentes é igual à soma de suas variâncias, ou seja, $D\esquerda(X+Y\direita)=D\esquerda(X\direita)+D\esquerda(Y\direita)$.
5. A variância da diferença entre variáveis ​​​​aleatórias independentes é igual à soma de suas variâncias, ou seja, $D\esquerda(X-Y\direita)=D\esquerda(X\direita)+D\esquerda(Y\direita)$.

Exemplo 6 . Vamos calcular a variância da variável aleatória $X$ do exemplo $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\over (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\over (12))\approx 2,92.$$

Exemplo 7 . Sabe-se que a variância da variável aleatória $X$ é igual a $D\left(X\right)=2$. Encontre a variância da variável aleatória $4X+1$.

Usando as propriedades acima, encontramos $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\esquerda(X\direita)=16\cponto 2=32$.

Exemplo 8 . Sabe-se que a variância da variável aleatória $X$ é igual a $D\left(X\right)=3$. Encontre a variância da variável aleatória $3-2X$.

Usando as propriedades acima, encontramos $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\esquerda(X\direita)=4\cponto 3=12$.

4. Função de distribuição de uma variável aleatória discreta.

O método de representar uma variável aleatória discreta na forma de uma série de distribuição não é o único e, o mais importante, não é universal, uma vez que uma variável aleatória contínua não pode ser especificada usando uma série de distribuição. Existe outra maneira de representar uma variável aleatória - a função de distribuição.

Função de distribuição a variável aleatória $X$ é chamada de função $F\left(x\right)$, que determina a probabilidade de a variável aleatória $X$ assumir um valor menor que algum valor fixo $x$, ou seja, $F\ esquerda(x\direita )=P\esquerda(X< x\right)$

Propriedades da função de distribuição:

1. $0\le F\esquerda(x\direita)\le 1$.
2. A probabilidade de a variável aleatória $X$ assumir valores do intervalo $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ é igual à diferença entre os valores da função de distribuição nas extremidades deste intervalo: $P\esquerda(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - não decrescente.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \direita)=1\ )$.

Exemplo 9 . Vamos encontrar a função de distribuição $F\left(x\right)$ para a lei de distribuição da variável aleatória discreta $X$ do exemplo $2$.

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\fim(matriz)$

Se $x\le 1$, então, obviamente, $F\left(x\right)=0$ (incluindo para $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Se $ 1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Se $ 2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Se $ 3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Se $ 4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Se $ 5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Se $x > 6$, então $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\esquerda(X=4\direita)+P\esquerda(X=5\direita)+P\esquerda(X=6\direita)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Então $F(x)=\esquerda\(\begin(matriz)
0,\ em\ x\le 1,\\
1/6, em\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ em\ 2< x\le 3,\\
1/2, em \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ em\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ em\ 4< x\le 5,\\
1,\ para\ x > 6.
\end(matriz)\right.$

Expectativa matemática é a definição

A espera do xeque-mate é um dos conceitos mais importantes da estatística matemática e da teoria das probabilidades, caracterizando a distribuição de valores ou probabilidades variável aleatória. Normalmente expresso como uma média ponderada de todos os parâmetros possíveis de uma variável aleatória. Amplamente utilizado em análise técnica, pesquisar série numérica, o estudo de processos contínuos e de longo prazo. Tem importante ao avaliar riscos, prever indicadores de preços ao negociar em mercados financeiros, é usado no desenvolvimento de estratégias e métodos de táticas de jogo em teorias de jogos de azar.

Xeque-mate esperando- Esse valor médio de uma variável aleatória, distribuição probabilidades variável aleatória é considerada na teoria da probabilidade.

A espera do xeque-mate é uma medida do valor médio de uma variável aleatória na teoria das probabilidades. Xeque-mate na expectativa de uma variável aleatória x denotado por M(x).

A expectativa matemática (média da população) é

A espera do xeque-mate é

A espera do xeque-mate é na teoria da probabilidade, uma média ponderada de todos os valores possíveis que uma variável aleatória pode assumir.

A espera do xeque-mate é a soma dos produtos de todos os valores possíveis de uma variável aleatória e as probabilidades desses valores.

A expectativa matemática (média da população) é

A espera do xeque-mate é o benefício médio de uma determinada decisão, desde que tal decisão possa ser considerada no âmbito da teoria dos grandes números e da longa distância.

A espera do xeque-mate é na teoria do jogo, a quantidade de ganhos que um especulador pode ganhar ou perder, em média, em cada aposta. Na linguagem do jogo especuladores isso às vezes é chamado de "vantagem" especulador" (se for positivo para o especulador) ou "house edge" (se for negativo para o especulador).

A expectativa matemática (média da população) é

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Cada valor individual é completamente determinado pela sua função de distribuição. Além disso, para resolver problemas práticos, basta conhecer diversas características numéricas, graças às quais é possível apresentar de forma abreviada as principais características de uma variável aleatória.

Essas quantidades incluem principalmente expectativa matemática E dispersão .

Expectativa— o valor médio de uma variável aleatória na teoria das probabilidades. Denotado como .

O mais de uma forma simples expectativa matemática de uma variável aleatória X(w), descubra como integranteLebesgue em relação à medida de probabilidade R original espaço de probabilidade

Você também pode encontrar a expectativa matemática de um valor como Integral de Lebesgue de X por distribuição de probabilidade R X quantidades X:

onde está o conjunto de todos os valores possíveis X.

Expectativa matemática de funções de uma variável aleatória X encontrado através da distribuição R X. Por exemplo, Se X- uma variável aleatória com valores em e f(x)- inequívoco do Borelfunção X , Que:

Se F(x)- função de distribuição X, então a expectativa matemática é representável integranteLebesgue - Stieltjes (ou Riemann - Stieltjes):

neste caso integrabilidade X Em termos de ( * ) corresponde à finitude da integral

EM casos específicos, Se X tem uma distribuição discreta com valores prováveis x k, k = 1, 2, . , e probabilidades, então

Se X tem uma distribuição absolutamente contínua com densidade de probabilidade p(x), Que

neste caso, a existência de uma expectativa matemática equivale à convergência absoluta da série ou integral correspondente.

Propriedades da expectativa matemática de uma variável aleatória.

• A expectativa matemática de um valor constante é igual a este valor:

C- constante;

• M=C.M[X]

• A expectativa matemática da soma dos valores obtidos aleatoriamente é igual à soma de suas expectativas matemáticas:

• A expectativa matemática do produto de variáveis ​​independentes tomadas aleatoriamente = o produto de suas expectativas matemáticas:

M=M[X]+M[Y]

Se X E S independente.

se a série converge:

Algoritmo para cálculo de expectativa matemática.

Propriedades de variáveis ​​aleatórias discretas: todos os seus valores podem ser renumerados números naturais; atribua a cada valor uma probabilidade diferente de zero.

1. Multiplique os pares um por um: x eu sobre eu.

2. Some o produto de cada par x eu p eu.

Por exemplo, Para n = 4 :

Função de distribuição de uma variável aleatória discreta gradualmente, aumenta abruptamente nos pontos cujas probabilidades têm um sinal positivo.

Exemplo: Encontre a expectativa matemática usando a fórmula.

A expectativa matemática de uma variável aleatória X é o valor médio.

1. M(C) = C

2. M(CX) = CM(X), Onde C= const.

3. M(X ± Y) = M(X) ± M(Y)

4. Se variáveis ​​aleatórias X E S são independentes, então M(XY) = M(X) M(Y)

Dispersão

A variância de uma variável aleatória X é chamada

D(X) = S(x – M(X)) 2 p = M(X 2 ) –M 2 (X).

A dispersão é uma medida do desvio dos valores de uma variável aleatória em relação ao seu valor médio.

1. D(C) = 0

2. D(X + C) = D(X)

3. D(CX) = C 2 D(X), Onde C= const.

4. Para variáveis ​​aleatórias independentes

D(X ± Y) = D(X) + D(Y)

5. D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2Cov(x, y)

Raiz quadrada da variância da variável aleatória X é chamada de desvio padrão .

@Tarefa 3: Deixe a variável aleatória X assumir apenas dois valores (0 ou 1) com probabilidades q, p, Onde p + q = 1. Encontre a expectativa matemática e a variância.

Solução:

M(X) = 1p + 0q = p; D(X) = (1 – p) 2 p + (0 – p) 2 q = pq.

@Tarefa 4: Expectativa e variância de uma variável aleatória X são iguais a 8. Encontre a expectativa matemática e a variância das variáveis ​​​​aleatórias: a) X-4; b) 3X – 4.

Solução: M(X – 4) = M(X) – 4 = 8 – 4 = 4; D(X – 4) = D(X) = 8; M(3X – 4) = 3M(X) – 4 = 20; D(3X – 4) = 9D(X) = 72.

@Tarefa 5: A totalidade das famílias tem a seguinte distribuição por número de filhos:

x eu	x 1	x 2
eu	0,1	p2	0,4	0,35

Definir x 1, x 2 E p2, se for sabido que M(X) = 2; D(X) = 0,9.

Solução: A probabilidade p 2 é igual a p 2 = 1 – 0,1 – 0,4 – 0,35 = 0,15. As incógnitas x são encontradas a partir das equações: M(X) = x 1 ·0,1 + x 2 ·0,15 + 2·0,4 + 3·0,35 = 2; D(X) = ·0,1 + ·0,15 + 4·0,4 + 9·0,35 – 4 = 0,9. x1 = 0; x 2 = 1.

População e amostra. Estimativas de parâmetros

Observação seletiva

A observação estatística pode ser organizada de forma contínua ou não contínua. A observação contínua envolve o exame de todas as unidades da população em estudo (população geral). População é um conjunto de recursos físicos ou pessoas jurídicas, que o pesquisador estuda de acordo com sua tarefa. Isto muitas vezes não é economicamente viável e, por vezes, impossível. A este respeito, apenas uma parte da população em geral é estudada - população amostral .

Os resultados obtidos a partir de uma amostra populacional podem ser estendidos à população em geral se forem seguidos os seguintes princípios:

1. A população amostral deve ser determinada aleatoriamente.

2. O número de unidades da população amostral deve ser suficiente.

3. Deve ser fornecido representatividade ( representatividade) da amostra. Uma amostra representativa é um modelo menor, mas preciso, da população que se pretende refletir.

Tipos de amostra

Na prática eles são usados seguintes tipos amostras:

a) estritamente aleatório, b) mecânico, c) típico, d) serial, e) combinado.

Amostragem aleatória adequada

No amostra aleatória real a seleção das unidades da população amostral é feita de forma aleatória, por exemplo, por sorteio ou gerador de números aleatórios.

As amostras podem ser repetidas ou não repetidas. Na reamostragem, a unidade que foi incluída na amostra é devolvida e armazenada oportunidades iguais ser incluído na amostra novamente. Na amostragem não repetitiva, uma unidade populacional incluída na amostra não participa da amostra no futuro.

Os erros inerentes à observação amostral, decorrentes do fato de a população amostral não reproduzir completamente a população geral, são chamados erros padrão . Representam a diferença quadrática média entre os valores dos indicadores obtidos na amostra e os valores correspondentes dos indicadores da população geral.

Fórmulas de cálculo erro padrão com seleção aleatória repetida o seguinte: e com seleção aleatória não repetitiva o seguinte: , onde S 2 é a variância da população amostral, n/N – amostra compartilhada, não, não- o número de unidades da amostra e da população em geral. No n = N erro padrão m = 0.

Amostragem mecânica

No amostragem mecânica A população é dividida em intervalos iguais e uma unidade é selecionada aleatoriamente de cada intervalo.

Por exemplo, com uma taxa de amostragem de 2%, cada 50 unidades são selecionadas da lista populacional.

O erro padrão da amostragem mecânica é definido como o erro de uma amostragem verdadeiramente aleatória e não repetitiva.

Amostra típica

No amostra típica a população geral é dividida em grupos típicos homogêneos e, em seguida, unidades são selecionadas aleatoriamente de cada grupo.

Uma amostra típica é usada no caso de uma população heterogênea. Uma amostra típica fornece resultados mais precisos porque garante representatividade.

Por exemplo, os professores, como população em geral, são divididos em grupos de acordo com as seguintes características: género, experiência, qualificações, educação, ambiente urbano e escolas rurais etc.

Os erros padrão de uma amostra típica são definidos como erros de uma amostra verdadeiramente aleatória, com a única diferença de que S2é substituído pela média das variações dentro do grupo.

Amostragem em série

No amostragem em série a população geral é dividida em grupos separados (séries) e, em seguida, grupos selecionados aleatoriamente são submetidos a observação contínua.

Os erros padrão de uma amostra serial são definidos como os erros de uma amostra verdadeiramente aleatória, com a única diferença sendo que S2é substituído pela média das variâncias entre grupos.

Amostra combinada

Amostra combinadaé uma combinação de dois ou mais tipos de amostra.

Estimativa pontual

O objetivo final observação amostral é encontrar as características da população. Como isso não pode ser feito diretamente, as características da população amostral são estendidas à população em geral.

Está comprovada a possibilidade fundamental de determinar a média aritmética da população a partir dos dados da amostra média Teorema de Chebyshev. Com ampliação ilimitada n a probabilidade de que a diferença entre a média amostral e a média geral seja arbitrariamente pequena tende a 1.

Isto significa que as características da população com uma precisão de . Essa avaliação é chamada apontar .

Estimativa de intervalo

A base da estimativa de intervalo é teorema do limite central.

Estimativa de intervalo permite-nos responder à questão: em que intervalo e com que probabilidade se localiza o valor desconhecido e procurado do parâmetro populacional?

Geralmente falamos sobre probabilidade de confiança p = 1 – a, com o qual estará no intervalo – D< < + D, где D = t cr m > 0 erro marginal amostras, um - nível de significância (probabilidade de que a desigualdade seja falsa), t cr - valor crítico, que depende dos valores n e um. Para uma pequena amostra n< 30 t cré especificado usando o valor crítico da distribuição t de Student para um teste bilateral com n– 1 grau de liberdade com nível de significância a ( t cr(n- 1, a) encontra-se na tabela “Valores críticos da distribuição t de Student”, Apêndice 2). Para n > 30, t cré um quantil da lei de distribuição normal ( t cré encontrado na tabela de valores da função de Laplace F(t) = (1 – a)/2 como argumento). Em p = 0,954 o valor crítico t cr= 2 em p = 0,997 valor crítico t cr= 3. Isso significa que o erro marginal é geralmente 2 a 3 vezes maior que o erro padrão.

Assim, a essência do método de amostragem é que, com base nos dados estatísticos de uma determinada pequena parte da população, é possível encontrar um intervalo em que, com probabilidade de confiança p encontra-se a característica desejada da população geral (número médio de trabalhadores, pontuação média, rendimento médio, desvio padrão, etc.).

@Tarefa 1. Determinar a velocidade das liquidações com credores de empresas corporativas em banco comercial Foi realizada uma amostra aleatória de 100 documentos de pagamento, segundo a qual prazo médio a transferência e o recebimento de dinheiro foram de 22 dias (= 22) com um desvio padrão de 6 dias (S = 6). Com probabilidade p= 0,954 determina o erro máximo da média amostral e intervalo de confiança duração média liquidações de empresas desta corporação.

Solução: Erro marginal da média amostral de acordo com(1)igual a D = 2· 0,6 = 1,2, e o intervalo de confiança é definido como (22 – 1,2; 22 + 1,2), ou seja, (20,8; 23,2).

§6.5 Correlação e regressão