Indique os intervalos de funções crescentes e decrescentes. "função crescente e decrescente"

Função crescente e decrescente

função sim = f(x) é chamado de crescente no intervalo [ um, b], se para qualquer par de pontos X E X", a ≤ x a desigualdade é válida f(x) ≤ f (x"), e estritamente crescente - se a desigualdade for satisfeita f (x) f(x"). Funções decrescentes e estritamente decrescentes são definidas de forma semelhante. Por exemplo, a função no = X 2 (arroz. , a) aumenta estritamente no segmento , e

(arroz. , b) diminui estritamente neste segmento. Funções crescentes são designadas f (x) e diminuindo f (x)↓. f (x Para que uma função diferenciável ) estava aumentando no segmento [, b UM f"(x], é necessário e suficiente que sua derivada ) estava aumentando no segmento [, b].

) não foi negativo em [ no = f (x Juntamente com o aumento e a diminuição de uma função num segmento, consideramos o aumento e a diminuição de uma função num ponto. Função x) é chamado de crescente no ponto x 0 se houver um intervalo (α, β) contendo o ponto X 0, que para qualquer ponto de (α, β), x x> f (x 0) ≤ f (x 0 , a desigualdade é válida X 0, que para qualquer ponto ), e para qualquer ponto f (x) x 0 , a desigualdade é válida (x≤f x 0). O aumento estrito de uma função no ponto é definido de forma semelhante f"(x 0) > 0. Se f(x 0, então a função x 0). O aumento estrito de uma função no ponto é definido de forma semelhante f (x) aumenta estritamente no ponto um, b) aumenta em cada ponto do intervalo (

), então aumenta nesse intervalo.

SB Stechkin.. 1969-1978 .

Grande Enciclopédia Soviética. - M.: Enciclopédia Soviética

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Definição de uma função crescente.

Função y=f(x) aumenta ao longo do intervalo X, se para algum e a desigualdade se mantém. Em outras palavras - valor mais alto o argumento corresponde ao valor maior da função.

Definição de uma função decrescente.

Função y=f(x) diminui no intervalo X, se para algum e a desigualdade se mantém . Em outras palavras, um valor maior do argumento corresponde a um valor menor da função.

NOTA: se a função for definida e contínua nas extremidades do intervalo crescente ou decrescente (a; b), isto é, quando x=uma E x=b, então esses pontos estão incluídos no intervalo de aumento ou diminuição. Isso não contradiz as definições de uma função crescente e decrescente no intervalo X.

Por exemplo, a partir das propriedades das funções elementares básicas sabemos que y = senx definido e contínuo para todos os valores reais do argumento. Portanto, a partir do aumento da função seno no intervalo, podemos afirmar que ela aumenta no intervalo.

Pontos extremos, extremos de uma função.

O ponto é chamado ponto máximo funções y=f(x), se para todos x de sua vizinhança a desigualdade é válida. O valor da função no ponto máximo é chamado máximo da função e denotar.

O ponto é chamado ponto mínimo funções y=f(x), se para todos x de sua vizinhança a desigualdade é válida. O valor da função no ponto mínimo é chamado função mínima e denotar.

A vizinhança de um ponto é entendida como o intervalo , onde é um número positivo suficientemente pequeno.

Os pontos mínimo e máximo são chamados pontos extremos, e os valores da função correspondentes aos pontos extremos são chamados extremos da função.

Não confunda os extremos de uma função com o maior e valor mais baixo funções.

Na primeira foto valor mais alto funciona em um intervalo é alcançado no ponto máximo e é igual ao máximo da função, e na segunda figura - o maior valor da função é alcançado no ponto x=b, o que não é um ponto máximo.

Condições suficientes para funções crescentes e decrescentes.

Com base em condições suficientes (sinais) para o aumento e diminuição de uma função, são encontrados intervalos de aumento e diminuição da função.

Aqui estão as formulações dos sinais de funções crescentes e decrescentes em um intervalo:

se a derivada da função y=f(x) positivo para qualquer um x do intervalo X, então a função aumenta em X;

se a derivada da função y=f(x) negativo para qualquer um x do intervalo X, então a função diminui em X.

Assim, para determinar os intervalos de aumento e diminuição de uma função, é necessário:

Vamos considerar um exemplo de como encontrar os intervalos de funções crescentes e decrescentes para explicar o algoritmo.

Exemplo.

Encontre os intervalos da função crescente e decrescente.

Solução.

O primeiro passo é encontrar a definição da função. No nosso exemplo, a expressão no denominador não deve ir a zero, portanto, .

Vamos prosseguir para encontrar a derivada da função:

Para determinar os intervalos de aumento e diminuição de uma função com base em um critério suficiente, resolvemos desigualdades no domínio de definição. Vamos usar uma generalização do método intervalar. A única raiz real do numerador é x = 2, e o denominador vai para zero em x=0. Esses pontos dividem o domínio de definição em intervalos nos quais a derivada da função mantém seu sinal. Vamos marcar esses pontos na reta numérica. Denotamos convencionalmente por mais e menos os intervalos em que a derivada é positiva ou negativa. As setas abaixo mostram esquematicamente o aumento ou diminuição da função no intervalo correspondente.

1. Encontre o domínio da função

2. Encontre a derivada da função

3. Iguale a derivada a zero e encontre os pontos críticos da função

4. Marque os pontos críticos na área de definição

5. Calcule o sinal da derivada em cada um dos intervalos resultantes

6. Descubra o comportamento da função em cada intervalo.

Exemplo: Encontre os intervalos da função crescente e decrescentef(x) = e o número de zeros desta função no intervalo.

Solução:

1.D( f) =R

2. f"(x) =

D( f")=D( f) =R

3. Encontre os pontos críticos da função resolvendo a equação f"(x) = 0.

x(x – 10) = 0

pontos críticos de uma função x= 0 e x = 10.

4. Vamos determinar o sinal da derivada.

f"(x) + – +

f(x) 0 10x

nos intervalos (-∞; 0) e (10; +∞) a derivada da função é positiva e nos pontos x= 0 e x = 10 função f(x) é contínua, portanto, esta função aumenta nos intervalos: (-∞; 0]; .

Vamos determinar o sinal dos valores da função nas extremidades do segmento.

f(0) = 3, f(0) > 0

f(10) = , f(10) < 0.

Como a função diminui no segmento e o sinal dos valores da função muda, então há um zero da função neste segmento.

Resposta: a função f(x) aumenta nos intervalos: (-∞; 0]; ;

no intervalo a função tem uma função zero.

2. Pontos extremos da função: pontos máximos e pontos mínimos. Condições necessárias e suficientes para a existência de um extremo de uma função. Regra para estudar uma função para extremo .

Definição 1:Os pontos nos quais a derivada é igual a zero são chamados críticos ou estacionários.

Definição 2. Um ponto é chamado de ponto mínimo (máximo) de uma função se o valor da função neste ponto for menor (maior) que os valores mais próximos da função.

Deve-se ter em mente que o máximo e o mínimo em nesse caso são locais.

Na Fig. 1. São mostrados máximos e mínimos locais.

Teorema 1.(um sinal necessário da existência de um extremo de uma função). Se uma função diferenciável num ponto tem um máximo ou um mínimo neste ponto, então a sua derivada em desaparece, .

Teorema 2. (indicação suficiente existência de um extremo da função). Se uma função contínua tem uma derivada em todos os pontos de algum intervalo contendo um ponto crítico (com a possível exceção deste próprio ponto), e se a derivada, quando o argumento passa da esquerda para a direita através do ponto crítico, muda de sinal de mais para menos, então a função neste ponto tem um máximo, e quando o sinal muda de menos para mais, ela tem um mínimo.

Para determinar a natureza de uma função e falar sobre seu comportamento, é necessário encontrar intervalos de aumento e diminuição. Este processo é chamado de pesquisa de funções e gráficos. O ponto extremo é usado para encontrar os maiores e menores valores de uma função, pois neles a função aumenta ou diminui a partir do intervalo.

Este artigo revela as definições, formula um sinal suficiente de aumento e diminuição do intervalo e uma condição para a existência de um extremo. Isso se aplica à resolução de exemplos e problemas. A seção sobre diferenciação de funções deve ser repetida, pois a solução precisará usar o cálculo da derivada.

Yandex.RTB RA-339285-1 Definição 1

A função y = f (x) aumentará no intervalo x quando, para qualquer x 1 ∈ X e x 2 ∈ X, x 2 > x 1, a desigualdade f (x 2) > f (x 1) for satisfeita. Em outras palavras, um valor maior do argumento corresponde a um valor maior da função.

Definição 2

A função y = f (x) é considerada decrescente no intervalo x quando, para qualquer x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1, a igualdade f (x 2) > f (x 1) é considerado verdadeiro. Em outras palavras, um valor de função maior corresponde a um valor de argumento menor. Considere a figura abaixo.

Comentário: Quando a função é definida e contínua nas extremidades do intervalo de aumento e diminuição, ou seja, (a; b), onde x = a, x = b, os pontos estão incluídos no intervalo de aumento e diminuição. Isto não contradiz a definição; significa que ocorre no intervalo x.

Propriedades básicas funções elementares tipo y = sin x – definição e continuidade para valores reais dos argumentos. A partir daqui, obtemos que o seno aumenta ao longo do intervalo - π 2; π 2, então o aumento no segmento tem a forma - π 2; π2.

O ponto x 0 é chamado ponto máximo para a função y = f (x), quando para todos os valores de x a desigualdade f (x 0) ≥ f (x) é válida. Função máximaé o valor da função em um ponto e é denotado por y m a x .

O ponto x 0 é chamado de ponto mínimo para a função y = f (x), quando para todos os valores de x a desigualdade f (x 0) ≤ f (x) é válida. Funções mínimasé o valor da função em um ponto e tem uma designação da forma y m i n .

As vizinhanças do ponto x 0 são consideradas pontos extremos, e o valor da função que corresponde aos pontos extremos. Considere a figura abaixo.

Extremos de uma função com o maior e o menor valor da função. Considere a figura abaixo.

A primeira figura diz que é necessário encontrar o maior valor da função do segmento [a; b] . É encontrado usando pontos máximos e é igual ao valor máximo da função, e o segundo valor é mais parecido com encontrar o ponto máximo em x = b.

Condições suficientes para uma função aumentar e diminuir

Para encontrar os máximos e mínimos de uma função, é necessário aplicar sinais de extremo no caso em que a função satisfaça essas condições. O primeiro sinal é considerado o mais utilizado.

A primeira condição suficiente para um extremo

Seja dada uma função y = f (x), que é diferenciável em uma vizinhança ε do ponto x 0 e tem continuidade no ponto dado x 0. A partir daqui nós entendemos isso

• quando f " (x) > 0 com x ∈ (x 0 - ε ; x 0) e f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• quando f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 para x ∈ (x 0 ; x 0 + ε), então x 0 é o ponto mínimo.

Em outras palavras, obtemos suas condições para definir o sinal:

• quando a função é contínua no ponto x 0, então ela tem uma derivada com sinal variável, ou seja, de + para -, o que significa que o ponto é chamado de máximo;
• quando a função é contínua no ponto x 0, então ela tem uma derivada com sinal variável de - para +, o que significa que o ponto é chamado de mínimo.

Para determinar corretamente os pontos máximo e mínimo de uma função, você deve seguir o algoritmo para encontrá-los:

• encontre o domínio de definição;
• encontre a derivada da função nesta área;
• identificar zeros e pontos onde a função não existe;
• determinação do sinal da derivada em intervalos;
• selecione os pontos onde a função muda de sinal.

Vamos considerar o algoritmo resolvendo vários exemplos de como encontrar os extremos de uma função.

Exemplo 1

Encontre pontos máximos e mínimos dada função y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

Solução

O domínio de definição desta função são todos os números reais, exceto x = 2. Primeiro, vamos encontrar a derivada da função e obter:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

A partir daqui vemos que os zeros da função são x = - 1, x = 5, x = 2, ou seja, cada colchete deve ser igualado a zero. Vamos marcá-lo no eixo dos números e obter:

Agora determinamos os sinais da derivada de cada intervalo. É necessário selecionar um ponto incluído no intervalo e substituí-lo na expressão. Por exemplo, pontos x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

Nós entendemos isso

y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, o que significa que o intervalo - ∞ - 1 tem uma derivada positiva. Da mesma forma, descobrimos isso.

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Como o segundo intervalo acabou sendo menor que zero, isso significa que a derivada do intervalo será negativa. O terceiro com menos, o quarto com mais. Para determinar a continuidade, você precisa prestar atenção ao sinal da derivada; se ele mudar, então este é um ponto extremo;

Descobrimos que no ponto x = - 1 a função será contínua, o que significa que a derivada mudará de sinal de + para -. De acordo com o primeiro sinal, temos que x = - 1 é um ponto máximo, o que significa que obtemos

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

O ponto x = 5 indica que a função é contínua e a derivada mudará de sinal de – para +. Isso significa que x = -1 é o ponto mínimo, e sua determinação tem a forma

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Imagem gráfica

Responder: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.

Vale atentar para o fato de que a utilização do primeiro critério suficiente para um extremo não exige que a função seja diferenciável no ponto x 0, o que simplifica o cálculo.

Exemplo 2

Encontre os pontos máximo e mínimo da função y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8.

Solução.

O domínio de uma função são todos os números reais. Isso pode ser escrito como um sistema de equações da forma:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Então você precisa encontrar a derivada:

y "= 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8", x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 e " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

O ponto x = 0 não possui derivada, pois os valores dos limites unilaterais são diferentes. Nós entendemos isso:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y " x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Segue-se que a função é contínua no ponto x = 0, então calculamos

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 e (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

É necessário realizar cálculos para encontrar o valor do argumento quando a derivada se torna zero:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Todos os pontos obtidos devem ser marcados em linha reta para determinar o sinal de cada intervalo. Portanto, é necessário calcular a derivada em pontos arbitrários para cada intervalo. Por exemplo, podemos pegar pontos com valores x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6. Nós entendemos isso

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

A imagem na linha reta parece

Isso significa que chegamos à conclusão de que é necessário recorrer ao primeiro sinal de extremo. Vamos calcular e descobrir que

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , então daqui os pontos máximos têm os valores x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Vamos prosseguir para o cálculo dos mínimos:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Vamos calcular os máximos da função. Nós entendemos isso

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Imagem gráfica

Responder:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Se uma função f "(x 0) = 0 for dada, então se f "" (x 0) > 0, obtemos que x 0 é um ponto mínimo se f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Exemplo 3

Encontre os máximos e mínimos da função y = 8 x x + 1.

Solução

Primeiro, encontramos o domínio de definição. Nós entendemos isso

D(y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

É necessário derivar a função, após o que obtemos

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

Em x = 1, a derivada torna-se zero, o que significa que o ponto é um extremo possível. Para esclarecer, é necessário encontrar a segunda derivada e calcular o valor em x = 1. Nós obtemos:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 " x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

Isto significa que usando a condição suficiente 2 para um extremo, obtemos que x = 1 é um ponto máximo. Caso contrário, a entrada se parece com y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4.

Imagem gráfica

Responder: ymáx=y(1)=4..

A função y = f (x) tem sua derivada até a enésima ordem na vizinhança ε determinado ponto x 0 e derivada até n + 1ª ordem no ponto x 0 . Então f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

Segue-se que quando n é um número par, então x 0 é considerado um ponto de inflexão, quando n é um número ímpar, então x 0 é um ponto extremo e f (n + 1) (x 0) > 0, então x 0 é um ponto mínimo, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Exemplo 4

Encontre os pontos máximo e mínimo da função y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4.

Solução

A função original é uma função racional inteira, o que significa que o domínio de definição são todos os números reais. É necessário diferenciar a função. Nós entendemos isso

y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

Esta derivada irá para zero em x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. Ou seja, os pontos podem ser possíveis pontos extremos. É necessário aplicar a terceira condição suficiente para o extremo. Encontrar a segunda derivada permite determinar com precisão a presença de um máximo e um mínimo de uma função. A segunda derivada é calculada nos pontos de seu possível extremo. Nós entendemos isso

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 e "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

Isso significa que x 2 = 5 7 é o ponto máximo. Aplicando o 3º critério suficiente, obtemos que para n = 1 e f (n + 1) 5 7< 0 .

É necessário determinar a natureza dos pontos x 1 = - 1, x 3 = 3. Para fazer isso, encontre a terceira derivada e calcule os valores nesses pontos. Nós entendemos isso

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

Isso significa que x 1 = - 1 é o ponto de inflexão da função, pois para n = 2 e f (n + 1) (- 1) ≠ 0. É necessário investigar o ponto x 3 = 3. Para fazer isso, encontramos a quarta derivada e realizamos cálculos neste ponto:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

Do que foi decidido acima, concluímos que x 3 = 3 é o ponto mínimo da função.

Imagem gráfica

Responder: x 2 = 5 7 é o ponto máximo, x 3 = 3 é o ponto mínimo da função dada.

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Derivado. Se a derivada de uma função for positiva para qualquer ponto do intervalo, então a função aumenta; se for negativa, diminui;

Para encontrar os intervalos de aumento e diminuição de uma função, você precisa encontrar seu domínio de definição, derivada, resolver desigualdades da forma F’(x) > 0 e F’(x)

Solução.

3. Resolva as desigualdades y’ > 0 e y’ 0;
(4 - x)/x³

Solução.
1. Vamos encontrar o domínio de definição da função. Obviamente, a expressão no denominador deve ser sempre diferente de zero. Portanto, 0 é excluído do domínio de definição: a função é definida para x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞).

2. Calcule a derivada da função:
y'(x) = ((3 x² + 2 x - 4)' x² – (3 x² + 2 x - 4) (x²)')/x^4 = ((6 x + 2) x² – (3 x² + 2 x - 4) 2 x)/x^4 = (6 x³ + 2 x² – 6 x³ – 4 x² + 8 x)/x^ 4 = (8 x – 2 x²)/x^4 = 2 (4 - x)/x³.

3. Resolva as desigualdades y’ > 0 e y’ 0;
(4 - x)/x³

4. Lado esquerdo a desigualdade tem um x = 4 real e se transforma em x = 0. Portanto, o valor x = 4 está incluído tanto no intervalo quanto no intervalo decrescente, e o ponto 0 não está incluído.
Portanto, a função necessária aumenta no intervalo x ∈ (-∞; 0) ∪ .

4. O lado esquerdo da desigualdade tem um real x = 4 e gira para x = 0. Portanto, o valor x = 4 está incluído tanto no intervalo quanto no intervalo decrescente, e o ponto 0 não está incluído.
Portanto, a função necessária aumenta no intervalo x ∈ (-∞; 0) ∪ .

Fontes:

• como encontrar intervalos decrescentes em uma função

Uma função representa uma dependência estrita de um número em outro, ou o valor de uma função (y) em um argumento (x). Cada processo (não apenas em matemática) pode ser descrito por sua própria função, que terá características características: intervalos de diminuição e aumento, pontos de mínimos e máximos, e assim por diante.

Você vai precisar

• - papel;
• - caneta.

Instruções

Exemplo 2.
Encontre os intervalos decrescentes f(x)=sinx +x.
A derivada desta função será igual a: f’(x)=cosx+1.
Resolvendo a desigualdade cosx+1

Intervalo monotonia uma função pode ser chamada de intervalo no qual a função apenas aumenta ou apenas diminui. Uma série de ações específicas ajudarão a encontrar tais intervalos para a função, o que é frequentemente necessário em problemas algébricos deste tipo.

Instruções

O primeiro passo para resolver o problema de determinação dos intervalos em que uma função aumenta ou diminui monotonicamente é calcular essa função. Para fazer isso, descubra todos os valores dos argumentos (valores ao longo do eixo x) para os quais você pode encontrar o valor da função. Marque os pontos onde são observadas descontinuidades. Encontre a derivada da função. Depois de determinar a expressão que representa a derivada, iguale-a a zero. Depois disso, você deverá encontrar as raízes do arquivo . Não sobre a área permitida.

Os pontos nos quais a função ou sua derivada é igual a zero representam os limites dos intervalos monotonia. Esses intervalos, bem como os pontos que os separam, devem ser inseridos sequencialmente na tabela. Encontre o sinal da derivada da função nos intervalos resultantes. Para fazer isso, substitua qualquer argumento do intervalo na expressão correspondente à derivada. Se o resultado for positivo, a função neste intervalo aumenta; caso contrário, diminui; Os resultados são inseridos na tabela.

Na linha que denota a derivada da função f’(x), estão escritos os valores correspondentes dos argumentos: “+” - se a derivada for positiva, “-” - negativa ou “0” - igual a zero. Na próxima linha, observe a monotonia da própria expressão original. Uma seta para cima corresponde a um aumento e uma seta para baixo corresponde a uma diminuição. Verifique as funções. Estes são os pontos em que a derivada é zero. Um extremo pode ser um ponto máximo ou um ponto mínimo. Se a seção anterior da função aumentou e a atual diminuiu, este é o ponto máximo. No caso em que a função era decrescente antes de um determinado ponto e agora está aumentando, este é o ponto mínimo. Insira os valores da função nos pontos extremos da tabela.

Fontes:

• qual é a definição de monotonia

O comportamento de uma função que possui uma dependência complexa de um argumento é estudado usando a derivada. Pela natureza da mudança na derivada, você pode encontrar pontos críticos e áreas de crescimento ou diminuição da função.