Linha reta. Equação de uma linha reta. Equação de uma reta que passa por dois pontos Dados 2 pontos, encontre a equação da reta

Propriedades de uma reta na geometria euclidiana.

Um número infinito de linhas retas pode ser traçado através de qualquer ponto.

Através de quaisquer dois pontos não coincidentes, uma única linha reta pode ser traçada.

Duas linhas divergentes em um plano ou se cruzam em um único ponto ou são

paralelo (segue do anterior).

No espaço tridimensional, existem três opções para a posição relativa de duas linhas:

• as linhas se cruzam;

• as linhas são paralelas;

• linhas retas se cruzam.

Direto linha— curva algébrica de primeira ordem: uma linha reta no sistema de coordenadas cartesianas

é dado no plano por uma equação de primeiro grau (equação linear).

Equação geral de uma reta.

Definição. Qualquer linha reta no plano pode ser especificada por uma equação de primeira ordem

Machado + Wu + C = 0,

e constante A, B não são iguais a zero ao mesmo tempo. Esta equação de primeira ordem é chamada em geral

equação de uma reta. Dependendo dos valores das constantes A, B E COM Os seguintes casos especiais são possíveis:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- uma reta passa pela origem

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Por + C = 0)- linha reta paralela ao eixo Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- linha reta paralela ao eixo UO

. B = C = 0, A ≠0- a linha reta coincide com o eixo UO

. A = C = 0, B ≠0- a linha reta coincide com o eixo Oh

A equação de uma linha reta pode ser apresentada de diferentes formas, dependendo de qualquer

condições iniciais.

Equação de uma linha reta de um ponto e um vetor normal.

Definição. Em um sistema de coordenadas retangulares cartesianas, um vetor com componentes (A, B)

perpendicular à reta dada pela equação

Machado + Wu + C = 0.

Exemplo. Encontre a equação de uma reta que passa por um ponto UMA(1, 2) perpendicular ao vetor (3, -1).

Solução. Com A = 3 e B = -1, vamos compor a equação da reta: 3x - y + C = 0. Para encontrar o coeficiente C

Vamos substituir as coordenadas do ponto A dado na expressão resultante. Obtemos: 3 - 2 + C = 0, portanto.

C = -1. Total: a equação necessária: 3x - y - 1 = 0.

Equação de uma reta que passa por dois pontos.

Sejam dados dois pontos no espaço M 1 (x 1 , y 1 , z 1) E M2 (x 2, y 2, z 2), Então equação de uma reta,

passando por estes pontos:

Se algum dos denominadores for zero, o numerador correspondente deve ser igual a zero. Sobre

plano, a equação da linha reta escrita acima é simplificada:

Se x 1 ≠ x 2 E x = x 1, Se x 1 = x 2 .

Fração = k chamado declive direto.

Exemplo. Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(3, 4).

Solução. Aplicando a fórmula escrita acima, obtemos:

Equação de uma linha reta usando um ponto e uma inclinação.

Se a equação geral da reta Machado + Wu + C = 0 leva a:

e designar , então a equação resultante é chamada

equação de uma reta com inclinação k.

Equação de uma linha reta de um ponto e um vetor de direção.

Por analogia com o ponto considerando a equação de uma linha reta que passa por um vetor normal, você pode entrar na tarefa

uma linha reta que passa por um ponto e um vetor diretor de uma linha reta.

Definição. Todo vetor diferente de zero (α 1 , α 2), cujos componentes satisfazem a condição

Aα 1 + Bα 2 = 0 chamado vetor diretor de uma linha reta.

Machado + Wu + C = 0.

Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta com um vetor de direção (1, -1) e passando pelo ponto A(1, 2).

Solução. Procuraremos a equação da reta desejada na forma: Machado + Por + C = 0. De acordo com a definição,

os coeficientes devem satisfazer as seguintes condições:

1 * A + (-1) * B = 0, ou seja, A = B.

Então a equação da reta tem a forma: Machado + Ay + C = 0, ou x + y + C/A = 0.

no x = 1, y = 2 Nós temos C/A = -3, ou seja equação necessária:

x + y - 3 = 0

Equação de uma reta em segmentos.

Se na equação geral da reta Ах + Ву + С = 0 С≠0, então, dividindo por -С, obtemos:

ou onde

O significado geométrico dos coeficientes é que o coeficiente a é a coordenada do ponto de intersecção

reto com eixo Oh, A b- coordenada do ponto de intersecção da linha com o eixo OU.

Exemplo. A equação geral de uma linha reta é dada x - y + 1 = 0. Encontre a equação desta reta em segmentos.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Equação normal de uma reta.

Se ambos os lados da equação Machado + Wu + C = 0 dividir por número que é chamado

fator de normalização, então obtemos

xcosφ + ysinφ - p = 0 -equação normal de uma reta.

O sinal ± do fator de normalização deve ser escolhido de modo que µ*C< 0.

R- o comprimento da perpendicular baixada da origem até a linha reta,

A φ - o ângulo formado por esta perpendicular com a direção positiva do eixo Oh.

Exemplo. A equação geral da reta é dada 12x - 5y - 65 = 0. Necessário para escrever diferentes tipos de equações

esta linha reta.

A equação desta reta em segmentos:

A equação desta reta com a inclinação: (dividir por 5)

Equação de uma reta:

cos φ = 12/13; pecado φ= -5/13; p = 5.

Deve-se notar que nem toda reta pode ser representada por uma equação em segmentos, por exemplo, retas,

paralelo aos eixos ou passando pela origem.

O ângulo entre linhas retas em um plano.

Definição. Se duas linhas forem fornecidas y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, então o ângulo agudo entre essas linhas

será definido como

Duas retas são paralelas se k 1 = k 2. Duas linhas são perpendiculares

Se k 1 = -1/ k 2 .

Teorema.

Direto Machado + Wu + C = 0 E A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralelo quando os coeficientes são proporcionais

A 1 = λA, B 1 = λB. Se também C 1 = λС, então as linhas coincidem. Coordenadas do ponto de intersecção de duas linhas

são encontrados como uma solução para o sistema de equações dessas retas.

A equação de uma reta que passa por um determinado ponto perpendicular a uma determinada reta.

Definição. Reta que passa por um ponto M 1 (x 1, y 1) e perpendicular à linha y = kx + b

representado pela equação:

Distância de um ponto a uma reta.

Teorema. Se um ponto for dado M(x 0, y 0), então a distância até a linha reta Machado + Wu + C = 0 definido como:

Prova. Deixe o ponto M 1 (x 1, y 1)- a base de uma perpendicular largada de um ponto M para um dado

direto. Então a distância entre os pontos M E M1:

(1)

Coordenadas x 1 E em 1 pode ser encontrado como uma solução para o sistema de equações:

A segunda equação do sistema é a equação de uma linha reta que passa por um determinado ponto M 0 perpendicularmente

dada linha reta. Se transformarmos a primeira equação do sistema na forma:

UMA(x - x 0) + B(y - y 0) + Machado 0 + Por 0 + C = 0,

então, resolvendo, obtemos:

Substituindo essas expressões na equação (1), encontramos:

O teorema foi provado.

Deixe dois pontos serem dados M1 (x1,y1) E M2 (x2,y2). Vamos escrever a equação da reta na forma (5), onde k coeficiente ainda desconhecido:

Desde o ponto M2 pertence a uma determinada reta, então suas coordenadas satisfazem a equação (5): . Expressando a partir daqui e substituindo-o na equação (5), obtemos a equação necessária:

Se esta equação pode ser reescrita de uma forma que seja mais conveniente para memorização:

(6)

Exemplo. Escreva a equação de uma linha reta que passa pelos pontos M 1 (1,2) e M 2 (-2,3)

Solução. . Utilizando a propriedade da proporção e realizando as transformações necessárias, obtemos a equação geral de uma reta:

Ângulo entre duas retas

Considere duas linhas retas eu 1 E eu 2:

eu 1: , , E

eu 2: , ,

φ é o ângulo entre eles (). Da Figura 4 fica claro: .

Daqui , ou

Usando a fórmula (7) você pode determinar um dos ângulos entre linhas retas. O segundo ângulo é igual a .

Exemplo. Duas linhas retas são dadas pelas equações y=2x+3 e y=-3x+2. encontre o ângulo entre essas linhas.

Solução. A partir das equações fica claro que k 1 =2 e k 2 =-3. Substituindo esses valores na fórmula (7), encontramos

. Assim, o ângulo entre essas linhas é igual a .

Condições para paralelismo e perpendicularidade de duas retas

Se direto eu 1 E eu 2 são paralelos, então φ=0 E tgφ=0. da fórmula (7) segue-se que , de onde k 2 =k 1. Assim, a condição para o paralelismo de duas retas é a igualdade de seus coeficientes angulares.

Se direto eu 1 E eu 2 são perpendiculares, então φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Assim, a condição para a perpendicularidade de duas retas é que seus coeficientes angulares sejam inversos em magnitude e opostos em sinal.

Distância do ponto à linha

Teorema. Se um ponto M(x 0, y 0) for dado, então a distância até a linha Ax + Bу + C = 0 é determinada como

Prova. Seja o ponto M 1 (x 1, y 1) a base da perpendicular baixada do ponto M até uma determinada linha reta. Então a distância entre os pontos M e M 1:

As coordenadas x 1 e y 1 podem ser encontradas resolvendo o sistema de equações:

A segunda equação do sistema é a equação de uma reta que passa por um determinado ponto M 0 perpendicular a uma determinada reta.

Se transformarmos a primeira equação do sistema na forma:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

então, resolvendo, obtemos:

Substituindo essas expressões na equação (1), encontramos:

O teorema foi provado.

Exemplo. Determine o ângulo entre as retas: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.

Exemplo. Mostre que as retas 3x – 5y + 7 = 0 e 10x + 6y – 3 = 0 são perpendiculares.

Encontramos: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, portanto, as retas são perpendiculares.

Exemplo. Dados são os vértices do triângulo A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Encontre a equação da altura desenhada a partir do vértice C.

Encontramos a equação do lado AB: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

A equação da altura necessária tem a forma: Ax + By + C = 0 ou y = kx + b.

k = . Então y = . Porque a altura passa pelo ponto C, então suas coordenadas satisfazem esta equação: de onde b = 17. Total: .

Resposta: 3x + 2y – 34 = 0.

A distância de um ponto a uma linha é determinada pelo comprimento da perpendicular traçada do ponto à linha.

Se a linha for paralela ao plano de projeção (h | | P 1), então, para determinar a distância do ponto A para uma linha reta hé necessário abaixar a perpendicular do ponto A para a horizontal h.

Consideremos um exemplo mais complexo, quando a reta ocupa uma posição geral. Seja necessário determinar a distância de um ponto M para uma linha reta A posição geral.

Tarefa de determinação distâncias entre linhas paralelasé resolvido de forma semelhante ao anterior. Um ponto é tomado em uma linha e uma perpendicular é traçada dele para outra linha. O comprimento de uma perpendicular é igual à distância entre linhas paralelas.

Curva de segunda ordemé uma reta definida por uma equação de segundo grau relativa às atuais coordenadas cartesianas. No caso geral, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

onde A, B, C, D, E, F são números reais e pelo menos um dos números A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Círculo

Centro do círculo– este é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes de um ponto do plano C(a,b).

O círculo é dado pela seguinte equação:

Onde x,y são as coordenadas de um ponto arbitrário no círculo, R é o raio do círculo.

Sinal da equação de um círculo

1. O termo com x,y está faltando

2. Os coeficientes para x 2 e y 2 são iguais

Elipse

Elipseé chamado de lugar geométrico dos pontos em um plano, a soma das distâncias de cada um deles a dois pontos dados deste plano é chamada de focos (um valor constante).

A equação canônica da elipse:

X e y pertencem à elipse.

a – semieixo maior da elipse

b – semi-eixo menor da elipse

A elipse possui 2 eixos de simetria OX e OU. Os eixos de simetria de uma elipse são seus eixos, o ponto de sua intersecção é o centro da elipse. O eixo no qual os focos estão localizados é chamado eixo focal. O ponto de intersecção da elipse com os eixos é o vértice da elipse.

Taxa de compressão (tensão): ε = s/a– excentricidade (caracteriza a forma da elipse), quanto menor ela for, menos a elipse se estende ao longo do eixo focal.

Se os centros da elipse não estiverem no centro C(α, β)

Hipérbole

Hipérboleé chamado de lugar geométrico dos pontos em um plano, o valor absoluto da diferença nas distâncias, cada uma das quais de dois pontos dados deste plano, chamados focos, é um valor constante diferente de zero.

Equação da hipérbole canônica

Uma hipérbole tem 2 eixos de simetria:

a – semieixo real de simetria

b – semieixo imaginário de simetria

Assíntotas de uma hipérbole:

Parábola

Parábolaé o lugar geométrico dos pontos no plano equidistantes de um determinado ponto F, denominado foco, e de uma determinada reta, denominada diretriz.

A equação canônica de uma parábola:

У 2 =2рх, onde р é a distância do foco à diretriz (parâmetro parábola)

Se o vértice da parábola for C (α, β), então a equação da parábola (y-β) 2 = 2р(x-α)

Se o eixo focal for considerado o eixo das ordenadas, então a equação da parábola terá a forma: x 2 =2qу

Vejamos como criar uma equação para uma reta que passa por dois pontos usando exemplos.

Exemplo 1.

Escreva uma equação para uma linha reta que passa pelos pontos A(-3; 9) e B(2;-1).

Método 1 - crie uma equação de uma linha reta com um coeficiente angular.

A equação de uma linha reta com coeficiente angular tem a forma . Substituindo as coordenadas dos pontos A e B na equação da reta (x= -3 e y=9 - no primeiro caso, x=2 e y= -1 - no segundo), obtemos um sistema de equações a partir do qual encontramos os valores de k e b:

Somando a 1ª e a 2ª equações termo a termo, obtemos: -10=5k, de onde k= -2. Substituindo k= -2 na segunda equação, encontramos b: -1=2·(-2)+b, b=3.

Assim, y= -2x+3 é a equação necessária.

Método 2 - vamos criar uma equação geral de uma linha reta.

A equação geral de uma reta tem a forma . Substituindo as coordenadas dos pontos A e B na equação, obtemos o sistema:

Como o número de incógnitas é maior que o número de equações, o sistema não é solucionável. Mas todas as variáveis ​​podem ser expressas através de uma. Por exemplo, através de b.

Multiplicando a primeira equação do sistema por -1 e somando termo por termo com a segunda:

obtemos: 5a-10b=0. Portanto, a = 2b.

Vamos substituir a expressão resultante na segunda equação: 2·2b -b+c=0; 3b+c=0; c= -3b.
Substitua a=2b, c= -3b na equação ax+by+c=0:

2bx+por-3b=0. Resta dividir ambos os lados por b:

A equação geral de uma linha reta pode ser facilmente reduzida à equação de uma linha reta com inclinação:

Método 3 - crie uma equação de uma linha reta passando por 2 pontos.

A equação de uma reta que passa por dois pontos é:

Vamos substituir as coordenadas dos pontos A(-3; 9) e B(2;-1) nesta equação

(isto é, x 1 = -3, y 1 =9, x 2 =2, y 2 = -1):

e simplificar:

de onde 2x+y-3=0.

Nos cursos escolares, a equação de uma linha reta com um coeficiente angular é a mais usada. Mas a maneira mais fácil é derivar e usar a fórmula para a equação de uma reta que passa por dois pontos.

Comente.

Se, ao substituir as coordenadas de determinados pontos, um dos denominadores da equação

for igual a zero, então a equação necessária é obtida igualando o numerador correspondente a zero.

Exemplo 2.

Escreva uma equação para uma linha reta que passa por dois pontos C(5; -2) e D(7;-2).

Substituímos as coordenadas dos pontos C e D na equação de uma linha reta que passa por 2 pontos.

Deixe dois pontos serem dados M(X 1 ,você 1) e N(X 2,sim 2). Vamos encontrar a equação da reta que passa por esses pontos.

Como esta reta passa pelo ponto M, então de acordo com a fórmula (1.13) sua equação tem a forma

você – S 1 = K(X–x 1),

Onde K– coeficiente angular desconhecido.

Determinamos o valor deste coeficiente a partir da condição de que a reta desejada passe pelo ponto N, o que significa que suas coordenadas satisfazem a equação (1.13)

S 2 – S 1 = K(X 2 – X 1),

A partir daqui você pode encontrar a inclinação desta linha:

,

Ou após a conversão

(1.14)

A fórmula (1.14) determina Equação de uma reta que passa por dois pontos M(X 1, S 1) e N(X 2, S 2).

No caso especial quando os pontos M(A, 0), N(0, B), A ¹ 0, B¹ 0, encontra-se nos eixos coordenados, a equação (1.14) assumirá uma forma mais simples

Equação (1.15) chamado Equação de uma linha reta em segmentos, Aqui A E B denotam os segmentos cortados por uma linha reta nos eixos (Figura 1.6).

Figura 1.6

Exemplo 1.10. Escreva uma equação para uma reta que passa pelos pontos M(1, 2) e B(3, –1).

. De acordo com (1.14), a equação da reta desejada tem a forma

2(S – 2) = -3(X – 1).

Transferindo todos os termos para o lado esquerdo, finalmente obtemos a equação desejada

3X + 2S – 7 = 0.

Exemplo 1.11. Escreva uma equação para uma reta que passa por um ponto M(2, 1) e o ponto de intersecção das linhas X+ S- 1 = 0, X-y+ 2 = 0.

. Encontraremos as coordenadas do ponto de intersecção das retas resolvendo essas equações juntas

Se somarmos essas equações termo a termo, obtemos 2 X+ 1 = 0, de onde . Substituindo o valor encontrado em qualquer equação, encontramos o valor da ordenada você:

Agora vamos escrever a equação da reta que passa pelos pontos (2, 1) e:

ou .

Portanto ou –5( S – 1) = X – 2.

Finalmente obtemos a equação da reta desejada na forma X + 5S – 7 = 0.

Exemplo 1.12. Encontre a equação da reta que passa pelos pontos M(2.1) e N(2,3).

Usando a fórmula (1.14), obtemos a equação

Não faz sentido, pois o segundo denominador é zero. Pelas condições do problema fica claro que as abcissas de ambos os pontos têm o mesmo valor. Isso significa que a linha reta desejada é paralela ao eixo OI e sua equação é: x = 2.

Comente . Se, ao escrever a equação de uma reta usando a fórmula (1.14), um dos denominadores for igual a zero, então a equação desejada pode ser obtida igualando o numerador correspondente a zero.

Considere outras maneiras de definir uma linha reta em um plano.

1. Seja um vetor diferente de zero perpendicular à linha dada eu e apontar M 0(X 0, S 0) está nesta linha (Figura 1.7).

Figura 1.7

Vamos denotar M(X, S) qualquer ponto em uma linha eu. Vetores e Ortogonal. Usando as condições de ortogonalidade desses vetores, obtemos ou A(X – X 0) + B(S – S 0) = 0.

Obtivemos a equação de uma reta que passa por um ponto M 0 é perpendicular ao vetor. Este vetor é chamado Vetor normal para uma linha reta eu. A equação resultante pode ser reescrita na forma

Oh + Wu + COM= 0, onde COM = –(AX 0 + Por 0), (1.16),

Onde A E EM– coordenadas do vetor normal.

Obtemos a equação geral da reta na forma paramétrica.

2. Uma linha reta em um plano pode ser definida da seguinte forma: seja um vetor diferente de zero paralelo à linha dada eu e período M 0(X 0, S 0) está nesta linha. Vamos pegar um ponto arbitrário novamente M(X, y) em linha reta (Figura 1.8).

Figura 1.8

Vetores e colinear.

Vamos escrever a condição para a colinearidade desses vetores: , onde T– um número arbitrário chamado parâmetro. Vamos escrever esta igualdade em coordenadas:

Essas equações são chamadas Equações paramétricas Direto. Vamos excluir o parâmetro dessas equações T:

Caso contrário, essas equações podem ser escritas como

. (1.18)

A equação resultante é chamada A equação canônica da reta. O vetor é chamado O vetor direcionador é reto .

Comente . É fácil ver que if é o vetor normal à reta eu, então seu vetor de direção pode ser o vetor desde , ou seja, .

Exemplo 1.13. Escreva a equação de uma reta que passa por um ponto M 0(1, 1) paralelo à linha 3 X + 2você– 8 = 0.

Solução . O vetor é o vetor normal às linhas fornecidas e desejadas. Vamos usar a equação de uma reta que passa por um ponto M 0 com um determinado vetor normal 3( X –1) + 2(você– 1) = 0 ou 3 X + 2º– 5 = 0. Obtivemos a equação da reta desejada.