Cone. cone truncado

Superfície cônicaé a superfície formada por todas as retas que passam por cada ponto de uma determinada curva e por um ponto fora da curva (Fig. 32).

Esta curva é chamada guia , direto - formando , apontar - principal superfície cônica.

Superfície cônica circular retaé a superfície formada por todas as retas que passam por cada ponto de um determinado círculo e um ponto de uma reta que é perpendicular ao plano do círculo e passa pelo seu centro. A seguir chamaremos brevemente esta superfície superfície cônica (Fig. 33).

Cone (cone circular reto ) é um corpo geométrico delimitado por uma superfície cônica e um plano paralelo ao plano do círculo guia (Fig. 34).

Arroz. 32 Fig. 33 Fig. 34

Um cone pode ser considerado como um corpo obtido pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo que contém um dos catetos do triângulo.

O círculo que envolve um cone é chamado de base . O vértice de uma superfície cônica é chamado principal cone O segmento que liga o vértice de um cone ao centro de sua base é denominado altura cone Os segmentos que formam uma superfície cônica são chamados formando cone Eixo de um cone é uma linha reta que passa pelo topo do cone e pelo centro de sua base. Seção axial chamada de seção que passa pelo eixo do cone. Desenvolvimento da superfície lateral de um cone é um setor cujo raio igual ao comprimento geratriz do cone, e o comprimento do arco do setor é igual à circunferência da base do cone.

As fórmulas corretas para um cone são:

Onde R– raio da base;

H- altura;

eu– comprimento da geratriz;

base S– área base;

Lado S

Está cheio

V– volume do cone.

Cone truncado chamada de parte do cone delimitada entre a base e o plano de corte paralelo à base do cone (Fig. 35).

Um cone truncado pode ser considerado como um corpo obtido por rotação trapézio retangular em torno de um eixo que contém o lado do trapézio perpendicular às bases.

Os dois círculos que circundam um cone são chamados de razões . Altura de um cone truncado é a distância entre suas bases. Os segmentos que formam a superfície cônica de um cone truncado são chamados formando . Uma linha reta que passa pelos centros das bases é chamada eixo cone truncado. Seção axial chamada de seção que passa pelo eixo de um cone truncado.

Para um cone truncado as fórmulas corretas são:

(8)

Onde R– raio da base inferior;

R– raio da base superior;

H– altura, l – comprimento da geratriz;

Lado S– superfície lateral;

Está cheio- quadrado superfície completa;

V– volume de um cone truncado.

Exemplo 1. A seção transversal do cone paralela à base divide a altura na proporção de 1:3, contando a partir do topo. Encontre a área da superfície lateral de um cone truncado se o raio da base e a altura do cone forem 9 cm e 12 cm.

Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 36).

Para calcular a área da superfície lateral de um cone truncado, utilizamos a fórmula (8). Vamos encontrar os raios das bases Cerca de 1 A E Cerca de 1V e formando AB.

Considere triângulos semelhantes SO2B E ASSIM 1A, coeficiente de similaridade, então

Daqui

Desde então

A área da superfície lateral de um cone truncado é igual a:

Responder: .

Exemplo 2. Um quarto de círculo de raio é dobrado em uma superfície cônica. Encontre o raio da base e a altura do cone.

Solução. O quadrante do círculo é o desenvolvimento da superfície lateral do cone. Vamos denotar R– raio da sua base, H- altura. Vamos calcular a área da superfície lateral usando a fórmula: . É igual à área de um quarto de círculo: . Obtemos uma equação com duas incógnitas R E eu(formando um cone). EM nesse caso o gerador é igual ao raio do quarto de círculo R, o que significa que obtemos a seguinte equação: , de onde Conhecendo o raio da base e do gerador, encontramos a altura do cone:

Responder: 2 cm, .

Exemplo 3. Trapézio retangular com ângulo agudo 45 O, com base menor de 3 cm e lado inclinado igual a , gira em torno do lado perpendicular às bases. Encontre o volume do corpo de revolução resultante.

Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 37).

Como resultado da rotação obtemos um cone truncado, para encontrar seu volume calculamos o raio da base maior e a altura; No trapézio O 1 O 2 AB nós conduziremos AC ^ O 1 B. B temos: isso significa que este triângulo é isósceles A.C.=a.C.=3 cm.

Responder:

Exemplo 4. Um triângulo com lados 13 cm, 37 cm e 40 cm gira em torno de um eixo externo paralelo lado maior e está localizado a uma distância de 3 cm dele (o eixo está localizado no plano do triângulo). Encontre a área da superfície do corpo de revolução resultante.

Solução . Vamos fazer um desenho (Fig. 38).

A superfície do corpo de revolução resultante consiste nas superfícies laterais de dois cones truncados e na superfície lateral de um cilindro. Para calcular essas áreas é necessário conhecer os raios das bases dos cones e do cilindro ( SER E O.C.), formando cones ( a.C. E A.C.) e altura do cilindro ( AB). A única incógnita é CO. esta é a distância do lado do triângulo ao eixo de rotação. Nós vamos encontrar CC. A área do triângulo ABC de um lado é igual ao produto da metade do lado AB pela altitude desenhada para ele CC, por outro lado, conhecendo todos os lados do triângulo, calculamos sua área pela fórmula de Heron.

é uma parte de um cone delimitada entre duas bases paralelas perpendiculares ao seu eixo de simetria. As bases do cone são círculos geométricos.

Um cone truncado pode ser obtido girando um trapézio retangular em torno de sua lateral, que é sua altura. O limite do cone é um círculo de raio R, um círculo de raio r e a superfície lateral do cone. A superfície lateral do cone é descrita pela face lateral do trapézio durante sua rotação.

A área da superfície lateral de um cone truncado através da guia e dos raios de suas bases

Ao encontrar a área superfície lateralÉ mais apropriado considerar o cone truncado como a diferença entre a superfície lateral do cone e a superfície lateral do cone cortado.

Deixe o cone A`MB` ser cortado de um determinado cone AMB. Precisa calcular área lateral cone truncado AA`B`B. Sabe-se que os raios de suas bases são AO=R, A`O` =r, o gerador é igual a L. Denotemos MB` como x. Então a superfície lateral do cone A`MB` será igual a πrx. E a superfície lateral do cone AMB será igual a πR(L+x).
Então a superfície lateral do cone truncado AA`B`B pode ser expressa através da diferença entre a superfície lateral do cone AMB e o cone A`MB`:

Os triângulos OMB e O`MB` são semelhantes em termos de igualdade de ângulos ∠(MOB) = ∠(MO`B`) e ∠(OMB) = ∠(O`MB`) . Da semelhança desses triângulos segue-se:
Vamos usar a derivada da proporção. Nós temos:
A partir daqui encontramos x:
Substituindo esta expressão na fórmula da área superficial lateral, temos:
Assim, a área da superfície lateral de um cone truncado é igual ao produto do número π por sua guia pela soma dos raios de suas bases.

Um exemplo de cálculo da área da superfície lateral de um cone truncado se seu raio e geratriz forem conhecidos
O raio da base maior, do gerador e a altura do cone truncado são 7, 5 e 4 cm, respectivamente. Encontre a área da superfície lateral do cone.
A seção axial do cone truncado é um trapézio isósceles, com bases 2R e 2r. A geratriz do cone truncado, que é o lado do trapézio, a altura pubescente na base grande e a diferença nos raios da base do cone truncado formam um triângulo egípcio. Esse triângulo retângulo com uma proporção de 3:4:5. Pelas condições do problema, a geratriz é igual a 5 e a altura é 4, então a diferença nos raios da base do cone truncado será igual a 3.
Nós temos:
L = 5
R=7
R=4
A fórmula para a área da superfície lateral de um cone truncado é a seguinte:

Substituindo os valores, temos:

Área da superfície lateral de um cone truncado através de uma guia e raio médio

O raio médio de um cone truncado é igual à metade da soma dos raios de suas bases:


Então a fórmula para a área da superfície lateral de um cone truncado pode ser apresentada da seguinte forma:

A área da superfície lateral de um cone truncado é igual ao produto da circunferência da seção intermediária pela sua geratriz.

Área da superfície lateral de um cone truncado através dos raios de sua base e do ângulo de inclinação da geratriz em relação ao plano da base

Se a base menor for projetada ortogonalmente sobre a base maior, então a projeção da superfície lateral do cone truncado terá a forma de um anel, cuja área é calculada pela fórmula:

Então:

Superfície lateral de um cone truncado de acordo com Arquimedes

A área da superfície lateral de um cone truncado é igual à área de um círculo cujo raio é a média proporcional entre a geratriz e a soma dos raios de suas bases

Superfície completa de um cone truncado

A superfície total de um cone é a soma da área de sua superfície lateral e da área das bases do cone:

As bases do cone são círculos com raios R e r. Sua área é igual ao produto do número pelo quadrado de seu raio:


A área da superfície lateral é calculada pela fórmula:

Então a área total da superfície do cone truncado é:

A fórmula fica assim:

Um exemplo de cálculo da área total da superfície de um cone truncado se seu raio e geratriz forem conhecidos
O raio da base do cone truncado é 1 e 7 dm, e as diagonais da seção axial são perpendiculares entre si. Encontre a área área completa cone truncado
A seção axial do cone truncado é um trapézio isósceles, com bases 2R e 2r. Ou seja, as bases do trapézio têm 2 e 14 dm, respectivamente. Como as diagonais de um trapézio são perpendiculares entre si, a altura é igual à metade da soma de suas bases. Então:

A geratriz do cone truncado, que é o lado do trapézio, a altura pubescente na base grande e a diferença nos raios da base do cone truncado formam um triângulo retângulo.
Usando o teorema de Pitágoras, encontramos a geratriz de um cone truncado:

A fórmula para a área total da superfície de um cone truncado é a seguinte:

Substituindo os valores das condições do problema e os valores encontrados, temos:

e um plano paralelo à base ( arroz. ). O volume do Reino Unido é igual a , Onde R 1 e R 2 – raios básicos, h- altura.

Grande Enciclopédia Soviética. - M.: Enciclopédia Soviética. 1969-1978 .

Veja o que é um “cone truncado” em outros dicionários:

Corpo geométrico cortado de um cone por um plano paralelo à base (Fig.). O volume de um cone truncado é igual. * * * CONE TRUNCADO CONE TRUNCADO, corpo geométrico cortado do cone por um plano paralelo à base. Volume… … Dicionário Enciclopédico

cone truncado- - Tópicos indústria de petróleo e gás EN cone truncado ... Guia do Tradutor Técnico

TRUNCADO, truncado, truncado; truncado, truncado, truncado. 1. par. Sofrimento passado vr. de truncar (livro). 2. Aquele em que a parte superior é cortada por um plano paralelo à base (cerca de um cone, uma pirâmide; tapete.). cone truncado. Pirâmide truncada... Dicionário Ushakova

truncado- ah, ah.; matemática. Aquele em que a parte superior é cortada por um plano paralelo à base. Cone truncado. A pirâmide... Dicionário de muitas expressões

TRUNCADO, oh, oh. Em matemática: aquele em que a parte apical é separada, cortada por um plano paralelo à base. U. cone. Pirâmide truncada. Dicionário explicativo de Ozhegov. SI. Ozhegov, N.Yu. Shvedova. 1949 1992… Dicionário Explicativo de Ozhegov

Aya, ah. 1. par. Sofrimento passado de truncado. 2. em significado adj. esteira. Aquele em que a parte superior é cortada por um plano paralelo à base. Cone truncado. Pirâmide truncada. 3. no significado adj. grama., lit. Com truncamento (2 dígitos), representando... Pequeno dicionário acadêmico

Cone circular reto. Direto e... Wikipédia

- (latim conus, do grego konos) superfície cônica é um conjunto de linhas retas (geradores) do espaço conectando todos os pontos de uma determinada linha (guia) com um determinado ponto (vértice) do espaço. O K. mais simples é redondo, ou reto circular, direcionado para ... Grande Dicionário Enciclopédico Politécnico

- (latim conus, do grego konos) (matemática), 1) K., ou superfície cônica, o lugar geométrico das linhas retas (geradores) do espaço conectando todos os pontos de uma determinada linha (guia) com um determinado ponto (vértice) de espaço.… … Grande Enciclopédia Soviética

O mundo que nos rodeia é dinâmico e diversificado, e nem todos os objetos podem ser simplesmente medidos com uma régua. Para tal transferência, use técnicas especiais, como triangulação. A necessidade de compilar desenvolvimentos complexos, via de regra, ... ... Wikipedia