Como encontrar o denominador adicional. Reduzindo frações a um novo denominador – regras e exemplos. Reduzindo frações a um denominador comum

Como reduzir frações algébricas (racionais) a um denominador comum?

1) Se os denominadores das frações contiverem polinômios, você precisará tentar usar um dos métodos conhecidos.

2) O menor denominador comum (MDC) consiste em todos multiplicadores tomados em o melhor graus.

Procuramos verbalmente o mínimo denominador comum para números como o menor número que é divisível pelos números restantes.

3) Para encontrar um fator adicional para cada fração, você precisa dividir o novo denominador pelo antigo.

4) Multiplique o numerador e o denominador da fração original por um fator adicional.

Vejamos exemplos de redução de frações algébricas a um denominador comum.

Para encontrar um denominador comum para os números, escolhemos o número maior e verificamos se ele é divisível pelo menor. 15 não é divisível por 9. Multiplicamos 15 por 2 e verificamos se o número resultante é divisível por 9. 30 não é divisível por 9. Multiplicamos 15 por 3 e verificamos se o número resultante é divisível por 9. 45 é divisível por 9, o que significa que o denominador comum dos números é 45.

O menor denominador comum consiste em todos os fatores levados à sua maior potência. Assim, o denominador comum dessas frações é 45 aC (as letras geralmente são escritas em ordem alfabética).

Para encontrar um fator adicional para cada fração, você precisa dividir o novo denominador pelo antigo. 45bc:(15b)=3c, 45bc:(9c)=5b. Multiplicamos o numerador e o denominador de cada fração por um fator adicional:

Primeiro, procuramos um denominador comum para os números: 8 não é divisível por 6, 8∙2=16 não é divisível por 6, 8∙3=24 é divisível por 6. Cada variável deve ser incluída no denominador comum uma vez. Dos graus tomamos o grau com um expoente grande.

Assim, o denominador comum dessas frações é 24a³bc.

Para encontrar um fator adicional para cada fração, você precisa dividir o novo denominador pelo antigo: 24a³bc:(6a³c)=4b, 24a³bc:(8a²bc)=3a.

Multiplicamos o fator adicional pelo numerador e denominador:

Os polinômios nos denominadores dessas frações são necessários. O denominador da primeira fração é o quadrado completo da diferença: x²-18x+81=(x-9)²; no segundo denominador - a diferença de quadrados: x²-81=(x-9)(x+9):

O denominador comum consiste em todos os fatores levados ao maior grau, ou seja, igual a (x-9)²(x+9). Encontramos fatores adicionais e os multiplicamos pelo numerador e denominador de cada fração:

Neste material veremos como converter corretamente frações em um novo denominador, o que é um fator adicional e como encontrá-lo. Depois disso, formularemos a regra básica para reduzir frações a novos denominadores e ilustraremos com exemplos de problemas.

O conceito de reduzir uma fração a outro denominador

Vamos relembrar a propriedade básica de uma fração. Segundo ele, uma fração ordinária a b (onde aeb são quaisquer números) possui um número infinito de frações iguais a ela. Tais frações podem ser obtidas multiplicando o numerador e o denominador pelo mesmo número m (número natural). Em outras palavras, todas as frações ordinárias podem ser substituídas por outras da forma a · m b · m. Esta é a redução do valor original a uma fração com o denominador desejado.

Você pode reduzir uma fração a outro denominador multiplicando seu numerador e denominador por qualquer número natural. A principal condição é que o multiplicador seja o mesmo para ambas as partes da fração. O resultado será uma fração igual à original.

Vamos ilustrar isso com um exemplo.

Exemplo 1

Converta a fração 11 25 no novo denominador.

Solução

Vamos pegar um número natural arbitrário 4 e multiplicar ambos os lados da fração original por ele. Contamos: 11 · 4 = 44 e 25 · 4 = 100. O resultado é uma fração de 44.100.

Todos os cálculos podem ser escritos desta forma: 11 25 = 11 4 25 4 = 44 100

Acontece que qualquer fração pode ser reduzida a um grande número de denominadores diferentes. Em vez de quatro, poderíamos pegar outro número natural e obter outra fração equivalente ao original.

Mas nem todo número pode se tornar o denominador de uma nova fração. Portanto, para a b o denominador só pode conter números b m que sejam múltiplos de b. Revise os conceitos básicos de divisão – múltiplos e divisores. Se o número não for múltiplo de b, mas não pode ser divisor da nova fração. Vamos ilustrar nossa ideia com um exemplo de solução de um problema.

Exemplo 2

Calcule se é possível reduzir a fração 5 9 aos denominadores 54 e 21.

Solução

54 é um múltiplo de nove, que está no denominador da nova fração (ou seja, 54 pode ser dividido por 9). Isto significa que tal redução é possível. Mas não podemos dividir 21 por 9, portanto esta ação não pode ser realizada para esta fração.

O conceito de um multiplicador adicional

Vamos formular o que é um fator adicional.

Definição 1

Multiplicador adicional representa um número natural pelo qual ambos os lados de uma fração são multiplicados para levá-la a um novo denominador.

Aqueles. quando fazemos isto com uma fração, consideramos um fator adicional para ela. Por exemplo, para reduzir a fração 7 10 à forma 21 30, precisamos de um fator adicional de 3. E você pode obter a fração 15 40 de 3 8 usando o multiplicador 5.

Conseqüentemente, se conhecermos o denominador ao qual uma fração precisa ser reduzida, podemos calcular um fator adicional para ela. Vamos descobrir como fazer isso.

Temos uma fração a b, que pode ser reduzida a um determinado denominador c; Vamos calcular o fator adicional m. Precisamos multiplicar o denominador da fração original por m. Obtemos b · m, e de acordo com as condições do problema b · m = c. Vamos lembrar como a multiplicação e a divisão estão relacionadas entre si. Esta ligação nos levará à seguinte conclusão: o fator adicional nada mais é do que o quociente da divisão de c por b, ou seja, m = c: b.

Assim, para encontrar o fator adicional, precisamos dividir o denominador requerido pelo original.

Exemplo 3

Encontre o fator adicional com o qual a fração 17 4 foi reduzida ao denominador 124.

Solução

Utilizando a regra acima, simplesmente dividimos 124 pelo denominador da fração original, quatro.

Contamos: 124: 4 = 31.

Este tipo de cálculo é frequentemente necessário ao converter frações em um denominador comum.

A regra para reduzir frações ao denominador especificado

Vamos prosseguir para definir a regra básica com a qual você pode reduzir frações ao denominador especificado. Então,

Definição 2

Para reduzir uma fração ao denominador especificado, você precisa:

1. determinar um fator adicional;
2. multiplique o numerador e o denominador da fração original por ele.

Como aplicar esta regra na prática? Vamos dar um exemplo de solução do problema.

Exemplo 4

Reduza a fração 7 16 ao denominador 336.

Solução

Vamos começar calculando o multiplicador adicional. Divida: 336: 16 = 21.

Multiplicamos a resposta resultante por ambas as partes da fração original: 7 16 = 7 · 21 16 · 21 = 147 336. Então trouxemos a fração original para o denominador desejado 336.

Resposta: 7 16 = 147 336.

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Esquema de redução a um denominador comum

1. Você precisa determinar qual será o mínimo múltiplo comum dos denominadores das frações. Se você estiver lidando com um número misto ou inteiro, primeiro deverá transformá-lo em uma fração e só então determinar o mínimo múltiplo comum. Para converter um número inteiro em fração, você precisa escrever o próprio número no numerador e um no denominador. Por exemplo, o número 5 como fração ficaria assim: 5/1. Para transformar um número misto em uma fração, você precisa multiplicar o número inteiro pelo denominador e adicionar o numerador a ele. Exemplo: 8 números inteiros e 3/5 como fração = 8x5+3/5 = 43/5.
2. Depois disso, é necessário encontrar um fator adicional, que é determinado dividindo o NZ pelo denominador de cada fração.
3. A última etapa é multiplicar a fração por um fator adicional.

É importante lembrar que a redução a um denominador comum não é necessária apenas para adição ou subtração. Para comparar várias frações com denominadores diferentes, você também precisa primeiro reduzir cada uma delas a um denominador comum.

Reduzindo frações a um denominador comum

Para entender como reduzir uma fração a um denominador comum, você precisa entender algumas propriedades das frações. Assim, uma propriedade importante utilizada para reduzir para NZ é a igualdade das frações. Em outras palavras, se o numerador e o denominador de uma fração forem multiplicados por um número, o resultado será uma fração igual à anterior. Tomemos o seguinte exemplo como exemplo. Para reduzir as frações 5/9 e 5/6 ao seu menor denominador comum, siga estas etapas:

1. Primeiro encontramos o mínimo múltiplo comum dos denominadores. Neste caso, para os números 9 e 6 o MMC será 18.
2. Determinamos fatores adicionais para cada uma das frações. Isto se faz do seguinte modo. Dividimos o MMC pelo denominador de cada fração, como resultado obtemos 18: 9 = 2 e 18: 6 = 3. Esses números serão fatores adicionais.
3. Trazemos duas frações para a NOS. Ao multiplicar uma fração por um número, você precisa multiplicar o numerador e o denominador. A fração 5/9 pode ser multiplicada por um fator adicional de 2, resultando em uma fração igual à dada - 10/18. Fazemos o mesmo com a segunda fração: multiplique 5/6 por 3, resultando em 15/18.

Como podemos ver no exemplo acima, ambas as frações foram reduzidas ao seu mínimo denominador comum. Para finalmente entender como encontrar um denominador comum, você precisa dominar mais uma propriedade das frações. Está no fato de que o numerador e o denominador de uma fração podem ser reduzidos pelo mesmo número, que é chamado de divisor comum. Por exemplo, a fração 12/30 pode ser reduzida para 2/5 se for dividida por seu divisor comum - o número 6.

Para entender como somar frações com denominadores diferentes, vamos primeiro aprender a regra e depois ver exemplos específicos.

Para adicionar ou subtrair frações com denominadores diferentes:

1) Encontre (NOZ) as frações fornecidas.

2) Encontre um fator adicional para cada fração. Para fazer isso, o novo denominador deve ser dividido pelo antigo.

3) Multiplique o numerador e o denominador de cada fração por um fator adicional e some ou subtraia frações com os mesmos denominadores.

4) Verifique se a fração resultante é própria e irredutível.

Nos exemplos a seguir, você precisa somar ou subtrair frações com denominadores diferentes:

1) Para subtrair frações com denominadores diferentes, primeiro procure o menor denominador comum das frações fornecidas. Selecionamos o maior número e verificamos se ele é divisível pelo menor. 25 não é divisível por 20. Multiplicamos 25 por 2. 50 não é divisível por 20. Multiplicamos 25 por 3. 75 não é divisível por 20. Multiplique 25 por 4. 100 é dividido por 20. Portanto, o menor denominador comum é 100.

2) Para encontrar um fator adicional para cada fração, você precisa dividir o novo denominador pelo antigo. 100:25=4, 100:20=5. Assim, a primeira fração tem um fator adicional de 4 e a segunda tem um fator adicional de 5.

3) Multiplique o numerador e o denominador de cada fração por um fator adicional e subtraia as frações conforme a regra de subtração de frações com os mesmos denominadores.

4) A fração resultante é própria e irredutível. Então esta é a resposta.

1) Para somar frações com denominadores diferentes, procure primeiro o menor denominador comum. 16 não é divisível por 12. 16∙2=32 não é divisível por 12. 16∙3=48 é divisível por 12. Então, 48 é NOZ.

2) 48:16=3, 48:12=4. Esses são fatores adicionais para cada fração.

3) multiplique o numerador e o denominador de cada fração por um fator adicional e adicione novas frações.

4) A fração resultante é própria e irredutível.

1) 30 não é divisível por 20. 30∙2=60 é divisível por 20. Portanto, 60 é o mínimo denominador comum destas frações.

2) para encontrar um fator adicional para cada fração, você precisa dividir o novo denominador pelo antigo: 60:20=3, 60:30=2.

3) multiplique o numerador e o denominador de cada fração por um fator adicional e subtraia novas frações.

4) o fracionário resultante 5.

1) 8 não é divisível por 6. 8∙2=16 não é divisível por 6. 8∙3=24 é divisível por 4 e 6. Isso significa que 24 é NOZ.

2) para encontrar um fator adicional para cada fração, é necessário dividir o novo denominador pelo antigo. 24:8=3, 24:4=6, 24:6=4. Isto significa que 3, 6 e 4 são fatores adicionais à primeira, segunda e terceira frações.

3) multiplique o numerador e o denominador de cada fração por um fator adicional. Adicione e subtraia. A fração resultante é imprópria, então você precisa selecionar a parte inteira.