Tabela de progressão geométrica. Progressões aritméticas e geométricas

Considere agora a questão da soma de uma progressão geométrica infinita. Vamos chamar a soma parcial de uma progressão infinita dada a soma de seus primeiros termos. Denote a soma parcial pelo símbolo

Para cada progressão infinita

pode-se compor uma sequência (também infinita) de suas somas parciais

Deixe uma sequência com aumento ilimitado ter um limite

Nesse caso, o número S, ou seja, o limite das somas parciais da progressão, é chamado de soma de uma progressão infinita. Vamos provar que uma progressão geométrica infinita decrescente sempre tem uma soma, e derivar uma fórmula para essa soma (podemos também mostrar que para uma progressão infinita não tem soma, não existe).

Escrevemos a expressão para a soma parcial como a soma dos membros da progressão de acordo com a fórmula (91.1) e consideramos o limite da soma parcial em

Do teorema do item 89 sabe-se que para uma progressão decrescente ; portanto, aplicando o teorema do limite da diferença, encontramos

(a regra também é usada aqui: o fator constante é retirado do sinal do limite). A existência é provada e, ao mesmo tempo, a fórmula para a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente é obtida:

A igualdade (92.1) também pode ser escrita como

Aqui pode parecer paradoxal que um valor finito bem definido seja atribuído à soma de um conjunto infinito de termos.

Uma ilustração clara pode ser dada para explicar esta situação. Considere um quadrado com um lado igual a um (Fig. 72). Dividimos este quadrado por uma linha horizontal em duas partes iguais e aplicamos a parte superior à inferior para que se forme um retângulo com lados 2 e . Depois disso, dividimos novamente a metade direita desse retângulo ao meio por uma linha horizontal e anexamos a parte superior à inferior (como mostrado na Fig. 72). Continuando esse processo, estamos constantemente transformando o quadrado original com área igual a 1 em figuras de igual tamanho (assumindo a forma de uma escada com degraus mais finos).

Com uma continuação infinita desse processo, toda a área do quadrado se decompõe em um número infinito de termos - as áreas dos retângulos com bases iguais a 1 e alturas. As áreas dos retângulos apenas formam uma progressão infinita decrescente, sua soma

ou seja, como esperado, é igual à área do quadrado.

Exemplo. Encontre as somas das seguintes progressões infinitas:

Solução, a) Notamos que esta progressão Portanto, pela fórmula (92.2) encontramos

b) Aqui significa que pela mesma fórmula (92.2) temos

c) Descobrimos que essa progressão Portanto, essa progressão não tem soma.

Na Seção 5, foi apresentada a aplicação da fórmula da soma dos termos de uma progressão infinitamente decrescente para a conversão de uma fração decimal periódica em uma fração ordinária.

Exercícios

1. A soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente é 3/5, e a soma de seus quatro primeiros termos é 13/27. Encontre o primeiro termo e o denominador da progressão.

2. Encontre quatro números que formam uma progressão geométrica alternada, na qual o segundo termo é menor que o primeiro em 35 e o terceiro é maior que o quarto em 560.

3. Mostre a sequência hipotética

forma uma progressão geométrica infinitamente decrescente, então a sequência

para qualquer forma uma progressão geométrica infinitamente decrescente. Essa afirmação vale para

Deduza uma fórmula para o produto dos termos de uma progressão geométrica.

Matemática é o queas pessoas controlam a natureza e a si mesmas.

O matemático soviético, acadêmico A.N. Kolmogorov

Progressão geométrica.

Juntamente com as tarefas de progressão aritmética, tarefas relacionadas ao conceito de progressão geométrica também são comuns em testes de entrada em matemática. Para resolver esses problemas com sucesso, você precisa conhecer as propriedades de uma progressão geométrica e ter boas habilidades em usá-las.

Este artigo é dedicado à apresentação das principais propriedades de uma progressão geométrica. Ele também fornece exemplos de resolução de problemas típicos, emprestado das tarefas de testes de admissão em matemática.

Vamos observar preliminarmente as principais propriedades de uma progressão geométrica e relembrar as fórmulas e declarações mais importantes, associados a este conceito.

Definição. Uma sequência numérica é chamada de progressão geométrica se cada um de seus números, a partir do segundo, for igual ao anterior, multiplicado pelo mesmo número. O número é chamado de denominador de uma progressão geométrica.

Para uma progressão geométricaas fórmulas são válidas

, (1)

Onde . A fórmula (1) é chamada de fórmula do termo geral de uma progressão geométrica, e a fórmula (2) é a principal propriedade de uma progressão geométrica: cada membro da progressão coincide com a média geométrica de seus membros vizinhos e .

Observação, que é justamente por causa dessa propriedade que a progressão em questão é chamada de "geométrica".

As fórmulas (1) e (2) acima são resumidas da seguinte forma:

, (3)

Para calcular a soma primeiro membros de uma progressão geométricaa fórmula se aplica

se nós designássemos

Onde . Como , a fórmula (6) é uma generalização da fórmula (5).

No caso em que e progressão geométricaé infinitamente decrescente. Para calcular a somade todos os membros de uma progressão geométrica infinitamente decrescente, a fórmula é usada

. (7)

Por exemplo , usando a fórmula (7), pode-se mostrar, que

Onde . Estas igualdades são obtidas pela fórmula (7) desde que , (a primeira igualdade) e , (a segunda igualdade).

Teorema. Se então

Prova. Se então ,

O teorema foi provado.

Vamos passar a considerar exemplos de resolução de problemas no tópico "Progressão geométrica".

Exemplo 1 Dado: , e . Encontrar .

Decisão. Se a fórmula (5) for aplicada, então

Responda: .

Exemplo 2 Deixe e. Encontrar .

Decisão. Como e , usamos as fórmulas (5), (6) e obtemos o sistema de equações

Se a segunda equação do sistema (9) for dividida pela primeira, então ou . A partir disso segue . Vamos considerar dois casos.

1. Se , então da primeira equação do sistema (9) temos.

2. Se , então .

Exemplo 3 Deixe , e . Encontrar .

Decisão. Segue da fórmula (2) que ou . Desde , então ou .

Por condição. No entanto, portanto . Porque e, então aqui temos um sistema de equações

Se a segunda equação do sistema for dividida pela primeira, então ou .

Desde , a equação tem uma única raiz adequada . Neste caso, a primeira equação do sistema implica .

Levando em conta a fórmula (7), obtemos.

Responda: .

Exemplo 4 Dado: e . Encontrar .

Decisão. Desde então .

Porque então ou

De acordo com a fórmula (2), temos . A este respeito, da igualdade (10) obtemos ou .

No entanto, por condição , portanto .

Exemplo 5 Sabe-se que . Encontrar .

Decisão. De acordo com o teorema, temos duas igualdades

Desde , então ou . Porque , então .

Responda: .

Exemplo 6 Dado: e . Encontrar .

Decisão. Levando em conta a fórmula (5), obtemos

Desde então . Desde , e , então .

Exemplo 7 Deixe e. Encontrar .

Decisão. Pela fórmula (1), podemos escrever

Portanto, temos ou . Sabe-se que e , portanto e .

Responda: .

Exemplo 8 Encontre o denominador de uma progressão geométrica infinita decrescente se

e .

Decisão. Da fórmula (7) segue e . A partir daqui e da condição do problema, obtemos o sistema de equações

Se a primeira equação do sistema for elevada ao quadrado, e depois divida a equação resultante pela segunda equação, então obtemos

Ou .

Responda: .

Exemplo 9 Encontre todos os valores para os quais a sequência , , é uma progressão geométrica.

Decisão. Deixe , e . De acordo com a fórmula (2), que define a principal propriedade de uma progressão geométrica, podemos escrever ou .

A partir daqui, obtemos a equação quadrática, cujas raízes são e .

Vamos verificar: se, então , e ; se , então , e .

No primeiro caso temos e , e no segundo - e .

Responda: , .

Exemplo 10resolva a equação

, (11)

onde e .

Decisão. O lado esquerdo da equação (11) é a soma de uma progressão geométrica infinita decrescente, na qual e , fornecido: e .

Da fórmula (7) segue, que . A este respeito, a equação (11) assume a forma ou . raiz adequada equação quadrática é

Responda: .

Exemplo 11. P sequência de números positivosforma uma progressão aritmética, uma - progressão geométrica, o que isso tem a ver com . Encontrar .

Decisão. Como sequência aritmética, então (a principal propriedade de uma progressão aritmética). Na medida em que, então ou . Isso implica , que a progressão geométrica é. De acordo com a fórmula (2), então escrevemos isso .

Desde e , então . Nesse caso, a expressão toma a forma ou . Por condição, então da equaçãoobtemos a solução única do problema em consideração, ou seja .

Responda: .

Exemplo 12. Calcular soma

. (12)

Decisão. Multiplique os dois lados da igualdade (12) por 5 e obtenha

Se subtrairmos (12) da expressão resultante, então

ou .

Para calcular, substituímos os valores na fórmula (7) e obtemos . Desde então .

Responda: .

Os exemplos de resolução de problemas apresentados aqui serão úteis para os candidatos em preparação para os exames de admissão. Para um estudo mais profundo dos métodos de resolução de problemas, associada a uma progressão geométrica, você pode usar os tutoriais da lista de literatura recomendada.

1. Recolha de tarefas em matemática para candidatos a universidades técnicas / Ed. MI. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matemática para alunos do ensino médio: seções adicionais do currículo escolar. – M.: Lenand/URSS, 2014. - 216 p.

3. Medynsky M.M. Um curso completo de matemática elementar em tarefas e exercícios. Livro 2: Sequências numéricas e progressões. – M.: Editus, 2015. - 208 p.

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Uma progressão geométrica é uma sequência numérica, cujo primeiro termo é diferente de zero, e cada termo seguinte é igual ao termo anterior multiplicado pelo mesmo número diferente de zero.

O conceito de progressão geométrica

A progressão geométrica é denotada por b1,b2,b3, …, bn, … .

A razão de qualquer termo do erro geométrico para seu termo anterior é igual ao mesmo número, ou seja, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Isso segue diretamente da definição de uma progressão aritmética. Esse número é chamado de denominador de uma progressão geométrica. Normalmente, o denominador de uma progressão geométrica é denotado pela letra q.

A soma de uma progressão geométrica infinita para |q|<1

Uma maneira de definir uma progressão geométrica é definir seu primeiro termo b1 e o denominador do erro geométrico q. Por exemplo, b1=4, q=-2. Estas duas condições dão uma progressão geométrica de 4, -8, 16, -32, … .

Se q>0 (q não é igual a 1), então a progressão é uma sequência monotônica. Por exemplo, a sequência, 2, 4,8,16,32, ... é uma sequência monotonicamente crescente (b1=2, q=2).

Se o denominador q=1 no erro geométrico, então todos os membros da progressão geométrica serão iguais entre si. Nesses casos, diz-se que a progressão é uma sequência constante.

Para que a sequência numérica (bn) seja uma progressão geométrica, é necessário que cada um de seus membros, a partir do segundo, seja a média geométrica dos membros vizinhos. Ou seja, é necessário preencher a seguinte equação
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), para qualquer n>0, onde n pertence ao conjunto dos números naturais N.

Agora vamos colocar (Xn) - uma progressão geométrica. O denominador da progressão geométrica q, com |q|∞).
Se agora denotarmos por S a soma de uma progressão geométrica infinita, então a seguinte fórmula será válida:
S=x1/(1-q).

Considere um exemplo simples:

Encontre a soma de uma progressão geométrica infinita 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

Para encontrar S, usamos a fórmula da soma de uma progressão aritmética infinita. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Se todo número natural n corresponder a um número real a , então eles dizem que dado sequência numérica :

uma 1 , uma 2 , uma 3 , . . . , a , . . . .

Assim, uma sequência numérica é uma função de um argumento natural.

Número uma 1 chamado o primeiro membro da sequência , número uma 2 — o segundo membro da sequência , número uma 3 — terceiro etc. Número a chamado enésimo membro da sequência , e o número natural n — o número dele .

De dois membros vizinhos a e a +1 sequências de membros a +1 chamado subseqüente (em direção a ), uma a — anterior (em direção a +1 ).

Para especificar uma sequência, você deve especificar um método que permita localizar um membro de sequência com qualquer número.

Muitas vezes a sequência é dada com fórmulas de enésimo termo , ou seja, uma fórmula que permite determinar um membro de sequência por seu número.

Por exemplo,

a sequência de números ímpares positivos pode ser dada pela fórmula

a= 2n- 1,

e a sequência de alternância 1 e -1 - Fórmula

b n = (-1)n +1 . ◄

A sequência pode ser determinada fórmula recorrente, ou seja, uma fórmula que expressa qualquer membro da sequência, começando com alguns, passando pelos membros anteriores (um ou mais).

Por exemplo,

E se uma 1 = 1 , uma a +1 = a + 5

uma 1 = 1,

uma 2 = uma 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

uma 3 = uma 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

uma 4 = uma 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

uma 5 = uma 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Se um um 1= 1, um 2 = 1, a +2 = a + a +1 , então os primeiros sete membros da sequência numérica são definidos da seguinte forma:

um 1 = 1,

um 2 = 1,

um 3 = um 1 + um 2 = 1 + 1 = 2,

um 4 = um 2 + um 3 = 1 + 2 = 3,

um 5 = um 3 + um 4 = 2 + 3 = 5,

uma 6 = uma 4 + uma 5 = 3 + 5 = 8,

uma 7 = uma 5 + uma 6 = 5 + 8 = 13. ◄

As sequências podem ser final e sem fim .

A sequência é chamada final se tiver um número finito de membros. A sequência é chamada sem fim se tiver infinitos membros.

Por exemplo,

sequência de números naturais de dois algarismos:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Sequência de números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sem fim. ◄

A sequência é chamada aumentando , se cada um de seus membros, a partir do segundo, for maior que o anterior.

A sequência é chamada minguante , se cada um dos seus membros, a partir do segundo, for inferior ao anterior.

Por exemplo,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . é uma sequência ascendente;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . é uma sequência descendente. ◄

Uma sequência cujos elementos não diminuem com o aumento do número, ou, inversamente, não aumentam, é chamada sequência monótona .

As sequências monotônicas, em particular, são sequências crescentes e sequências decrescentes.

Progressão aritmética

Progressão aritmética uma sequência é chamada, cada membro do qual, a partir do segundo, é igual ao anterior, ao qual o mesmo número é adicionado.

uma 1 , uma 2 , uma 3 , . . . , a, . . .

é uma progressão aritmética se para qualquer número natural n condição for atendida:

a +1 = a + d,

Onde d - algum número.

Assim, a diferença entre o próximo e os membros anteriores de uma dada progressão aritmética é sempre constante:

um 2 - uma 1 = um 3 - uma 2 = . . . = a +1 - a = d.

Número d chamado a diferença de uma progressão aritmética.

Para definir uma progressão aritmética, basta especificar seu primeiro termo e diferença.

Por exemplo,

E se uma 1 = 3, d = 4 , então os primeiros cinco termos da sequência são encontrados da seguinte forma:

um 1 =3,

um 2 = um 1 + d = 3 + 4 = 7,

um 3 = um 2 + d= 7 + 4 = 11,

um 4 = um 3 + d= 11 + 4 = 15,

uma 5 = uma 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Para uma progressão aritmética com o primeiro termo uma 1 e diferença d sua n

a = um 1 + (n- 1)d.

Por exemplo,

encontrar o trigésimo termo de uma progressão aritmética

1, 4, 7, 10, . . .

um 1 =1, d = 3,

um 30 = um 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

um n-1 = um 1 + (n- 2)d,

a= um 1 + (n- 1)d,

a +1 = uma 1 + nd,

então obviamente

cada membro da progressão aritmética, a partir do segundo, é igual à média aritmética dos membros anteriores e posteriores.

os números a, b e c são membros consecutivos de alguma progressão aritmética se e somente se um deles for igual à média aritmética dos outros dois.

Por exemplo,

a = 2n- 7 , é uma progressão aritmética.

Vamos usar a afirmação acima. Nós temos:

a = 2n- 7,

um n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

um n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Conseqüentemente,

◄

Observe que n -th membro de uma progressão aritmética pode ser encontrado não apenas através uma 1 , mas também qualquer anterior a k

a = a k + (n- k)d.

Por exemplo,

por uma 5 pode ser escrito

um 5 = um 1 + 4d,

um 5 = um 2 + 3d,

um 5 = um 3 + 2d,

um 5 = um 4 + d. ◄

a = um n-k + kd,

a = um n+k - kd,

então obviamente

qualquer membro de uma progressão aritmética, a partir do segundo, é igual à metade da soma dos membros dessa progressão aritmética igualmente espaçados dele.

Além disso, para qualquer progressão aritmética, a igualdade é verdadeira:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Por exemplo,

em progressão aritmética

1) uma 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (uma 9 + uma 11 )/2;

2) 28 = um 10 = um 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) um 10= 28 = (19 + 37)/2 = (um 7 + um 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, como

um 2 + um 12= 4 + 34 = 38,

um 5 + um 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a,

primeiro n membros de uma progressão aritmética é igual ao produto da metade da soma dos termos extremos pelo número de termos:

Disto, em particular, segue-se que se for necessário somar os termos

a k, a k +1 , . . . , a,

então a fórmula anterior mantém sua estrutura:

Por exemplo,

em progressão aritmética 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Se for dada uma progressão aritmética, então as quantidades uma 1 , a, d, n eS n ligados por duas fórmulas:

Portanto, se os valores de três dessas quantidades forem fornecidos, os valores correspondentes das outras duas quantidades serão determinados a partir dessas fórmulas combinadas em um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Uma progressão aritmética é uma sequência monotônica. Em que:

• E se d > 0 , então é crescente;
• E se d < 0 , então é decrescente;
• E se d = 0 , então a sequência será estacionária.

Progressão geométrica

progressão geométrica uma sequência é chamada, cada termo do qual, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado pelo mesmo número.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

é uma progressão geométrica se para qualquer número natural n condição for atendida:

b n +1 = b n · q,

Onde q ≠ 0 - algum número.

Assim, a razão do próximo termo desta progressão geométrica para o anterior é um número constante:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Número q chamado denominador de uma progressão geométrica.

Para definir uma progressão geométrica, basta especificar seu primeiro termo e denominador.

Por exemplo,

E se b 1 = 1, q = -3 , então os primeiros cinco termos da sequência são encontrados da seguinte forma:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 e denominador q sua n -th termo pode ser encontrado pela fórmula:

b n = b 1 · q n -1 .

Por exemplo,

encontrar o sétimo termo de uma progressão geométrica 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

então obviamente

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

cada membro da progressão geométrica, a partir do segundo, é igual à média geométrica (proporcional) dos membros anteriores e posteriores.

Como a recíproca também é verdadeira, vale a seguinte afirmação:

os números a, b e c são membros consecutivos de alguma progressão geométrica se e somente se o quadrado de um deles é igual ao produto dos outros dois, ou seja, um dos números é a média geométrica dos outros dois.

Por exemplo,

Vamos provar que a sequência dada pela fórmula b n= -3 2 n , é uma progressão geométrica. Vamos usar a afirmação acima. Nós temos:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Conseqüentemente,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

o que comprova a afirmação requerida. ◄

Observe que n termo de uma progressão geométrica pode ser encontrado não apenas b 1 , mas também qualquer termo anterior bk , para o qual basta usar a fórmula

b n = bk · q n - k.

Por exemplo,

por b 5 pode ser escrito

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = bk · q n - k,

b n = b n - k · q,

então obviamente

b n 2 = b n - k· b n + k

o quadrado de qualquer membro de uma progressão geométrica, a partir do segundo, é igual ao produto dos membros dessa progressão equidistantes dele.

Além disso, para qualquer progressão geométrica, a igualdade é verdadeira:

bm· b n= bk· bl,

m+ n= k+ eu.

Por exemplo,

exponencialmente

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , como

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

primeiro n membros de uma progressão geométrica com denominador q ≠ 0 calculado pela fórmula:

E quando q = 1 - de acordo com a fórmula

S n= n.b. 1

Observe que, se precisarmos somar os termos

bk, bk +1 , . . . , b n,

então a fórmula é usada:

Por exemplo,

exponencialmente 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Se for dada uma progressão geométrica, então as quantidades b 1 , b n, q, n e S n ligados por duas fórmulas:

Portanto, se os valores de três dessas quantidades forem fornecidos, os valores correspondentes das outras duas quantidades serão determinados a partir dessas fórmulas combinadas em um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Para uma progressão geométrica com o primeiro termo b 1 e denominador q acontece o seguinte propriedades de monotonicidade :

• a progressão está aumentando se uma das seguintes condições for atendida:

b 1 > 0 e q> 1;

b 1 < 0 e 0 < q< 1;

• Uma progressão está diminuindo se uma das seguintes condições for atendida:

b 1 > 0 e 0 < q< 1;

b 1 < 0 e q> 1.

Se um q< 0 , então a progressão geométrica é de sinal alternado: seus termos ímpares têm o mesmo sinal que seu primeiro termo, e os termos pares têm o sinal oposto. É claro que uma progressão geométrica alternada não é monótona.

Produto de primeira n Os termos de uma progressão geométrica podem ser calculados pela fórmula:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Por exemplo,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progressão geométrica infinitamente decrescente

Progressão geométrica infinitamente decrescente é chamada de progressão geométrica infinita cujo módulo do denominador é menor que 1 , ou seja

|q| < 1 .

Observe que uma progressão geométrica infinitamente decrescente pode não ser uma sequência decrescente. Isso se encaixa no caso

1 < q< 0 .

Com tal denominador, a sequência é de sinal alternado. Por exemplo,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

A soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente nomeie o número ao qual a soma do primeiro n termos da progressão com um aumento ilimitado no número n . Este número é sempre finito e é expresso pela fórmula

Por exemplo,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relação entre progressões aritméticas e geométricas

As progressões aritméticas e geométricas estão intimamente relacionadas. Vamos considerar apenas dois exemplos.

uma 1 , uma 2 , uma 3 , . . . d , então

BA 1 , BA 2 , BA 3 , . . . bd .

Por exemplo,

1, 3, 5, . . . - progressão aritmética com diferença 2 e

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . é uma progressão geométrica com denominador 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . é uma progressão geométrica com denominador q , então

registrar a b 1, registrar a b 2, registrar a b 3, . . . - progressão aritmética com diferença registrar umq .

Por exemplo,

2, 12, 72, . . . é uma progressão geométrica com denominador 6 e

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - progressão aritmética com diferença lg 6 . ◄

SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS VI

§ 148. A soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente

Até agora, falando de somas, sempre assumimos que o número de termos nessas somas é finito (por exemplo, 2, 15, 1000 etc.). Mas ao resolver alguns problemas (especialmente matemática superior), é preciso lidar com as somas de um número infinito de termos

S= uma 1 + uma 2 + ... + uma n + ... . (1)

Quais são esses montantes? Prioridade A a soma de um número infinito de termos uma 1 , uma 2 , ..., uma n , ... é chamado de limite da soma S n primeiro P números quando P -> ∞ :

S=S n = (uma 1 + uma 2 + ... + uma n ). (2)

O limite (2), é claro, pode ou não existir. Assim, diz-se que a soma (1) existe ou não existe.

Como descobrir se a soma (1) existe em cada caso particular? Uma solução geral para esta questão vai muito além do escopo do nosso programa. No entanto, há um caso especial importante que temos que considerar agora. Falaremos sobre a soma dos termos de uma progressão geométrica infinitamente decrescente.

Deixe ser uma 1 , uma 1 q , uma 1 q 2, ... é uma progressão geométrica infinitamente decrescente. Isso significa que | q |< 1. Сумма первых P membros desta progressão é igual a

Dos teoremas básicos sobre os limites das variáveis ​​(ver § 136) obtemos:

Mas 1 = 1, um q n = 0. Portanto

Assim, a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente é igual ao primeiro termo desse progresso dividido por um menos o denominador dessa progressão.

1) A soma da progressão geométrica 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... é

e a soma de uma progressão geométrica é 12; -6; 3; - 3/2, ... igual

2) Uma fração periódica simples 0,454545... se transforma em uma fração ordinária.

Para resolver este problema, representamos esta fração como uma soma infinita:

O lado direito dessa igualdade é a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente, cujo primeiro termo é 45/100 e o denominador é 1/100. então

Da forma descrita, também pode ser obtida a regra geral para a conversão de frações periódicas simples em frações ordinárias (ver Capítulo II, § 38):

Para converter uma fração periódica simples em uma ordinária, você precisa proceder da seguinte forma: coloque o período da fração decimal no numerador e no denominador - um número composto por noves tomado quantas vezes houver dígitos no período da fração decimal.

3) Fração periódica mista 0,58333 .... transforma-se em fração ordinária.

Vamos representar esta fração como uma soma infinita:

No lado direito desta igualdade, todos os termos, a partir de 3/1000, formam uma progressão geométrica infinitamente decrescente, cujo primeiro termo é 3/1000 e o denominador é 1/10. então

Da forma descrita, também pode ser obtida a regra geral para a conversão de frações periódicas mistas em frações ordinárias (ver Capítulo II, § 38). Nós deliberadamente não o incluímos aqui. Não há necessidade de memorizar esta regra complicada. É muito mais útil saber que qualquer fração periódica mista pode ser representada como a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente e algum número. E a fórmula

para a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente, é preciso, é claro, lembrar.

Como exercício, convidamos você, além dos problemas nº 995-1000 abaixo, a se voltar novamente para o problema nº 301 § 38.

Exercícios

995. Como se chama a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente?

996. Encontre somas de progressões geométricas infinitamente decrescentes:

997. Para que valores X progressão

está diminuindo infinitamente? Encontre a soma de tal progressão.

998. Em um triângulo equilátero com um lado uma um novo triângulo é inscrito ligando os pontos médios de seus lados; um novo triângulo é inscrito nesse triângulo da mesma maneira, e assim por diante até o infinito.

a) a soma dos perímetros de todos esses triângulos;

b) a soma de suas áreas.

999. Em um quadrado com um lado uma um novo quadrado é inscrito ligando os pontos médios de seus lados; um quadrado se inscreve nesse quadrado da mesma maneira, e assim por diante até o infinito. Encontre a soma dos perímetros de todos esses quadrados e a soma de suas áreas.

1000. Faça uma progressão geométrica infinitamente decrescente, tal que sua soma seja igual a 25/4, e a soma dos quadrados de seus termos seja igual a 625/24.