Fórmula para calcular a distância entre dois pontos. Como calcular a distância entre as coordenadas GPS

QUESTÕES TEÓRICAS

GEOMETRIA ANALÍTICA NO PLANO

1. Método de coordenadas: reta numérica, coordenadas em uma reta; sistema de coordenadas retangulares (cartesianas) em um plano; coordenadas polares.

Vamos considerar alguma linha reta. Vamos escolher uma direção nele (então ele se tornará um eixo) e algum ponto 0 (a origem das coordenadas). Uma linha reta com direção e origem escolhidas é chamada linha de coordenadas(assumimos que a unidade de escala está selecionada).

Deixar M– um ponto arbitrário na linha de coordenadas. Vamos colocar isso de acordo com o ponto M número real x, igual ao valor OM segmento: x=OM. Número x chamada de coordenada do ponto M.

Assim, cada ponto da reta coordenada corresponde a um certo número real - sua coordenada. O inverso também é verdadeiro: cada número real x corresponde a um certo ponto na linha de coordenadas, nomeadamente um ponto M, cuja coordenada é x. Essa correspondência é chamada um a um.

Assim, os números reais podem ser representados por pontos de uma linha de coordenadas, ou seja, A linha de coordenadas serve como uma imagem do conjunto de todos os números reais. Portanto, o conjunto de todos os números reais é chamado reta numérica, e qualquer número é um ponto nesta reta. Perto de um ponto em uma reta numérica, geralmente é indicado um número - sua coordenada.

Sistema de coordenadas retangulares (ou cartesianas) em um plano.

Dois eixos mutuamente perpendiculares Sobre x E Sobre você tendo uma origem comum SOBRE e a mesma unidade de escala, forma sistema de coordenadas retangulares (ou cartesianas) em um plano.

Eixo OH chamado eixo de abcissas, o eixo OI– eixo de ordenadas. Ponto SOBRE a interseção dos eixos é chamada de origem. O plano no qual os eixos estão localizados OH E OI, é chamado de plano coordenado e é denotado Sobre xy.

Assim, um sistema de coordenadas retangulares em um plano estabelece uma correspondência biunívoca entre o conjunto de todos os pontos do plano e o conjunto de pares de números, o que permite aplicar métodos algébricos. Os eixos coordenados dividem o plano em 4 partes, eles são chamados em quartos, quadrado ou ângulos coordenados.

Coordenadas polares.

O sistema de coordenadas polares consiste em um certo ponto SOBRE, chamado pólo, e o raio que emana dele OE, chamado eixo polar. Além disso, é definida a unidade de escala para medir o comprimento dos segmentos. Seja dado um sistema de coordenadas polares e M– ponto arbitrário do plano. Vamos denotar por R– distância do ponto M do ponto SOBRE, e através φ – o ângulo pelo qual o feixe é girado no sentido anti-horário para alinhar o eixo polar com o feixe OM.

Coordenadas polares pontos M números de chamada R E φ . Número Ré considerada a primeira coordenada e é chamada raio polar, número φ – a segunda coordenada é chamada ângulo polar.

Ponto M com coordenadas polares R E φ são designados da seguinte forma: M( ;φ). Vamos estabelecer uma conexão entre as coordenadas polares de um ponto e suas coordenadas retangulares.
Neste caso, assumiremos que a origem do sistema de coordenadas retangulares está no pólo, e o semieixo positivo da abcissa coincide com o eixo polar.

Deixe o ponto M ter coordenadas retangulares X E S e coordenadas polares R E φ .

(1)

Prova.

Solte dos pontos M1 E M2 perpendiculares M 1 V E M1A,. porque (x 2 ; y 2). Por teorema, se M 1 (x 1) E M 2 (x 2) são dois pontos quaisquer e α é a distância entre eles, então α = ‌‌‌‍‌‌|x 2 - x 1 | .

A resolução de problemas de matemática para os alunos costuma ser acompanhada de muitas dificuldades. Ajude o aluno a lidar com essas dificuldades, bem como ensine-o a aplicar seus conhecimentos teóricos existentes na resolução tarefas específicas em todas as seções do curso da disciplina “Matemática” - objetivo principal do nosso site.

Ao começar a resolver problemas sobre o tema, os alunos deverão ser capazes de construir um ponto num plano a partir das suas coordenadas, bem como encontrar as coordenadas de um determinado ponto.

O cálculo da distância entre dois pontos A(x A; y A) e B(x B; y B) tomados em um plano é realizado usando a fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), onde d é o comprimento do segmento que conecta esses pontos no plano.

Se uma das extremidades do segmento coincidir com a origem das coordenadas e a outra tiver coordenadas M(x M; y M), então a fórmula para calcular d terá a forma OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Cálculo da distância entre dois pontos com base nas coordenadas fornecidas desses pontos

Exemplo 1.

Encontre o comprimento do segmento que conecta os pontos A(2; -5) e B(-4; 3) no plano de coordenadas (Fig. 1).

Solução.

A declaração do problema afirma: x A = 2; x B = -4; y A = -5 e y B = 3. Encontre d.

Aplicando a fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), obtemos:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Cálculo das coordenadas de um ponto equidistante de três pontos dados

Exemplo 2.

Encontre as coordenadas do ponto O 1, que é equidistante de três pontos A(7; -1) e B(-2; 2) e C(-1; -5).

Solução.

Da formulação das condições do problema segue-se que O 1 A = O 1 B = O 1 C. Deixe o ponto desejado O 1 ter coordenadas (a; b). Usando a fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) encontramos:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Vamos criar um sistema de duas equações:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Depois de elevar ao quadrado os lados esquerdo e direito das equações, escrevemos:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Simplificando, vamos escrever

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Resolvido o sistema, obtemos: a = 2; b = -1.

O ponto O 1 (2; -1) é equidistante dos três pontos especificados na condição que não estão na mesma linha reta. Este ponto é o centro de um círculo que passa por três pontos dados (Fig. 2).

3. Cálculo da abcissa (ordenada) de um ponto que está no eixo da abcissa (ordenada) e está a uma determinada distância de um determinado ponto

Exemplo 3.

A distância do ponto B (-5; 6) ao ponto A situado no eixo do Boi é 10. Encontre o ponto A.

Solução.

Da formulação das condições do problema segue-se que a ordenada do ponto A é igual a zero e AB = 10.

Denotando a abcissa do ponto A por a, escrevemos A(a; 0).

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

Obtemos a equação √((a + 5) 2 + 36) = 10. Simplificando, temos

a2 + 10a – 39 = 0.

As raízes desta equação são a 1 = -13; e 2 = 3.

Obtemos dois pontos A 1 (-13; 0) e A 2 (3; 0).

Exame:

UMA 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

UMA 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Ambos os pontos obtidos são adequados de acordo com as condições do problema (Fig. 3).

4. Cálculo da abcissa (ordenada) de um ponto que está no eixo da abcissa (ordenada) e está à mesma distância de dois pontos dados

Exemplo 4.

Encontre um ponto no eixo Oy que esteja à mesma distância dos pontos A (6, 12) e B (-8, 10).

Solução.

Sejam as coordenadas do ponto exigido pelas condições do problema, situado no eixo Oy, O 1 (0; b) (no ponto situado no eixo Oy, a abcissa é zero). Segue-se da condição que O 1 A = O 1 B.

Usando a fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) encontramos:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Temos a equação √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) ou 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

Após simplificação obtemos: b – 4 = 0, b = 4.

Ponto O 1 (0; 4) exigido pelas condições do problema (Fig. 4).

5. Cálculo das coordenadas de um ponto que está localizado à mesma distância dos eixos coordenados e de algum ponto dado

Exemplo 5.

Encontre o ponto M localizado no plano coordenado à mesma distância dos eixos coordenados e do ponto UMA(-2; 1).

Solução.

O ponto M requerido, assim como o ponto A(-2; 1), está localizado no segundo ângulo coordenado, pois é equidistante dos pontos A, P 1 e P 2 (Fig. 5). As distâncias do ponto M aos eixos coordenados são iguais, portanto, suas coordenadas serão (-a; a), onde a > 0.

Das condições do problema segue-se que MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP2 = |-a|,

aqueles. |-uma| = uma.

Usando a fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) encontramos:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Vamos fazer uma equação:

√((-à + 2) 2 + (à – 1) 2) = à.

Após quadratura e simplificação temos: a 2 – 6a + 5 = 0. Resolva a equação, encontre a 1 = 1; e 2 = 5.

Obtemos dois pontos M 1 (-1; 1) e M 2 (-5; 5) que satisfazem as condições do problema.

6. Cálculo das coordenadas de um ponto localizado na mesma distância especificada do eixo de abcissas (ordenadas) e de um determinado ponto

Exemplo 6.

Encontre um ponto M tal que sua distância do eixo das ordenadas e do ponto A(8; 6) seja igual a 5.

Solução.

Das condições do problema segue-se que MA = 5 e a abcissa do ponto M é igual a 5. Seja a ordenada do ponto M igual a b, então M(5; b) (Fig. 6).

De acordo com a fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) temos:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Vamos fazer uma equação:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Simplificando, obtemos: b 2 – 12b + 20 = 0. As raízes desta equação são b 1 = 2; b 2 = 10. Consequentemente, existem dois pontos que satisfazem as condições do problema: M 1 (5; 2) e M 2 (5; 10).

Sabe-se que muitos estudantes decisão independente os problemas exigem consulta constante sobre técnicas e métodos para resolvê-los. Freqüentemente, um aluno não consegue encontrar uma maneira de resolver um problema sem a ajuda de um professor. O aluno pode receber os conselhos necessários para a resolução de problemas em nosso site.

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Usando coordenadas, determine a localização de um objeto em globo. As coordenadas são indicadas por latitude e longitude. As latitudes são medidas a partir da linha do equador em ambos os lados. No Hemisfério Norte as latitudes são positivas, no Hemisfério Sul são negativas. A longitude é medida a partir do meridiano principal, leste ou oeste, respectivamente, sendo obtida a longitude leste ou oeste.

De acordo com a posição geralmente aceita, considera-se que o meridiano principal é aquele que passa pelo antigo Observatório de Greenwich, em Greenwich. As coordenadas geográficas do local podem ser obtidas por meio de um navegador GPS. Este dispositivo recebe sinais sistema de satélite posicionamento no sistema de coordenadas WGS-84, uniforme para todo o mundo.

Os modelos de navegador diferem em fabricante, funcionalidade e interface. Atualmente, navegadores GPS integrados também estão disponíveis em alguns modelos telefones celulares. Mas qualquer modelo pode registrar e salvar as coordenadas de um ponto.

Distância entre coordenadas GPS

Para resolver problemas práticos e teóricos em algumas indústrias, é necessário ser capaz de determinar as distâncias entre os pontos pelas suas coordenadas. Existem várias maneiras de fazer isso. Forma canônica representação de coordenadas geográficas: graus, minutos, segundos.

Por exemplo, você pode determinar a distância entre as seguintes coordenadas: ponto nº 1 - latitude 55°45′07″ N, longitude 37°36′56″ E; ponto nº 2 - latitude 58°00′02″ N, longitude 102°39′42″ E.

A maneira mais fácil é usar uma calculadora para calcular o comprimento entre dois pontos. No mecanismo de busca do navegador, você deve definir os seguintes parâmetros de pesquisa: online - para calcular a distância entre duas coordenadas. Na calculadora online, os valores de latitude e longitude são inseridos nos campos de consulta da primeira e segunda coordenadas. Ao calcular, a calculadora online deu o resultado - 3.800.619 m.

O próximo método é mais trabalhoso, mas também mais visual. Você deve usar qualquer programa de mapeamento ou navegação disponível. Os programas nos quais você pode criar pontos usando coordenadas e medir distâncias entre eles incluem os seguintes aplicativos: BaseCamp (um análogo moderno do programa MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Todos os programas acima estão disponíveis para qualquer usuário da rede. Por exemplo, para calcular a distância entre duas coordenadas no Google Earth, você precisa criar dois rótulos indicando as coordenadas do primeiro ponto e do segundo ponto. Em seguida, usando a ferramenta “Régua”, é necessário conectar a primeira e a segunda marcas com uma linha, o programa exibirá automaticamente o resultado da medição e mostrará o caminho na imagem de satélite da Terra.

No caso do exemplo dado acima, o programa Google Earth retornou o resultado - o comprimento da distância entre o ponto nº 1 e o ponto nº 2 é 3.817.353 m.

Por que há um erro ao determinar a distância

Todos os cálculos da extensão entre as coordenadas são baseados no cálculo do comprimento do arco. O raio da Terra está envolvido no cálculo do comprimento do arco. Mas como a forma da Terra é próxima de um elipsóide achatado, o raio da Terra varia em certos pontos. Para calcular a distância entre as coordenadas, é tomado o valor médio do raio da Terra, o que dá um erro na medição. Quanto maior for a distância medida, maior será o erro.

Calcular distâncias entre pontos com base em suas coordenadas em um plano é elementar; na superfície da Terra é um pouco mais complicado: consideraremos medir a distância e o azimute inicial entre pontos sem transformações de projeção; Primeiro, vamos entender a terminologia.

Introdução

Grande comprimento do arco circular– a distância mais curta entre quaisquer dois pontos localizados na superfície de uma esfera, medida ao longo da linha que conecta esses dois pontos (tal linha é chamada de ortodromia) e passando ao longo da superfície da esfera ou outra superfície de revolução. A geometria esférica é diferente da geometria euclidiana normal e as equações de distância também assumem uma forma diferente. Na geometria euclidiana, a distância mais curta entre dois pontos é uma linha reta. Numa esfera não existem linhas retas. Essas linhas na esfera fazem parte de círculos máximos - círculos cujos centros coincidem com o centro da esfera. Azimute inicial- azimute, tomando-se que ao começar a se mover do ponto A, seguindo o grande círculo pela menor distância até o ponto B, o ponto final será o ponto B. Ao se mover do ponto A ao ponto B ao longo da linha do grande círculo, o azimute de situação atual para o ponto final B está mudando constantemente. O azimute inicial é diferente de um constante, após o qual o azimute do ponto atual ao ponto final não muda, mas a rota seguida não é a distância mais curta entre dois pontos.

Através de quaisquer dois pontos na superfície de uma esfera, se não forem diretamente opostos um ao outro (ou seja, não forem antípodas), um único grande círculo pode ser desenhado. Dois pontos dividem um grande círculo em dois arcos. O comprimento de um arco curto é a distância mais curta entre dois pontos. Um número infinito de círculos grandes pode ser desenhado entre dois pontos antípodas, mas a distância entre eles será a mesma em qualquer círculo e igual à metade da circunferência do círculo, ou π*R, onde R é o raio da esfera.

Em um plano (em um sistema de coordenadas retangulares), grandes círculos e seus fragmentos, como mencionado acima, representam arcos em todas as projeções, exceto na gnomônica, onde grandes círculos são linhas retas. Na prática, isto significa que os aviões e outros transportes aéreos utilizam sempre a rota distância mínima entre os pontos para economizar combustível, ou seja, o vôo é realizado ao longo da distância de um grande círculo no avião parece um arco;

A forma da Terra pode ser descrita como uma esfera, portanto, as equações de distância do grande círculo são importantes para calcular a distância mais curta entre pontos na superfície da Terra e são frequentemente usadas na navegação. Calcular a distância por este método é mais eficiente e em muitos casos mais preciso do que calculá-la para coordenadas projetadas (em sistemas de coordenadas retangulares), pois, em primeiro lugar, não requer tradução coordenadas geográficas em um sistema de coordenadas retangulares (realizar transformações de projeção) e, em segundo lugar, muitas projeções, se selecionadas incorretamente, podem levar a distorções de comprimento significativas devido às características das distorções de projeção. Sabe-se que não é uma esfera, mas sim um elipsóide que descreve com mais precisão a forma da Terra, porém, este artigo discute o cálculo de distâncias em uma esfera para os cálculos, é utilizada uma esfera com raio de 6.372.795 metros, o que pode levar a um erro no cálculo de distâncias da ordem de 0,5%.

Fórmulas

Existem três maneiras de calcular a distância esférica do grande círculo. 1. Teorema do cosseno esférico No caso de distâncias pequenas e profundidade de cálculo pequena (número de casas decimais), o uso da fórmula pode levar a erros de arredondamento significativos. φ1, λ1; φ2, λ2 - latitude e longitude de dois pontos em radianos Δλ - diferença de coordenadas em longitude Δδ - diferença angular Δδ = arccos (sen φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) Para converter a distância angular em métrica, você precisa multiplique a diferença angular pelo raio da Terra (6372795 metros), as unidades da distância final serão iguais às unidades em que o raio é expresso (em nesse caso- metros). 2. Fórmula de Haversina Usado para evitar problemas com distâncias curtas. 3. Modificação para os antípodas A fórmula anterior também está sujeita ao problema dos pontos antípodas; para resolvê-lo, utiliza-se a seguinte modificação.

Minha implementação em PHP

// Raio da Terra define("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Distância entre dois pontos * $φA, $λA - latitude, longitude do 1º ponto, * $φB, $λB - latitude, longitude do 2º ponto * Escrito com base em http://gis-lab.info/ qa/great-circles.html * Mikhail Kobzarev * */ function calculaTheDistance ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // converte coordenadas em radianos $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; $lat1); $sl2 = sin($lat2); // cálculos do comprimento do círculo máximo $y = sqrt(pow($cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $ cdelta, 2)); cl1 * $cl2 * $cdelta; // $ad = atan2($y, $x); 77.1539; $longo1 = -139,398; $lat2 = -77,1804; $longo2 = -139,55; echo calculaTheDistance($lat1, $long1, $lat2, $long2) . "metros"; // Retorna "17166029 metros"

Cada ponto A do plano é caracterizado por suas coordenadas (x, y). Eles coincidem com as coordenadas do vetor 0A, saindo do ponto 0 - origem das coordenadas.

Sejam A e B pontos arbitrários do plano com coordenadas (x 1 y 1) e (x 2, y 2), respectivamente.

Então o vetor AB obviamente tem coordenadas (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Sabe-se que o quadrado do comprimento de um vetor é igual à soma dos quadrados de suas coordenadas. Portanto, a distância d entre os pontos A e B, ou, o que dá no mesmo, o comprimento do vetor AB, é determinado a partir da condição

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

A fórmula resultante permite encontrar a distância entre quaisquer dois pontos no plano, desde que apenas as coordenadas desses pontos sejam conhecidas

Cada vez que falamos sobre as coordenadas de um determinado ponto do plano, queremos dizer um sistema de coordenadas bem definido x0y. Em geral, o sistema de coordenadas num plano pode ser escolhido de diferentes maneiras. Assim, em vez do sistema de coordenadas x0y, podemos considerar o sistema de coordenadas xִy, que é obtido como resultado da rotação dos antigos eixos de coordenadas em torno do ponto inicial 0 sentido anti-horário setas na esquina α .

Se algum ponto do plano no sistema de coordenadas x0y tivesse coordenadas (x, y), então em novo sistema coordenadas xִy terá coordenadas diferentes (x, y).

Como exemplo, considere o ponto M, localizado no eixo 0x e separado do ponto 0 por uma distância de 1.

Obviamente, no sistema de coordenadas x0y este ponto possui coordenadas (cos α ,pecado α ), e no sistema de coordenadas xִy as coordenadas são (1,0).

As coordenadas de quaisquer dois pontos no plano A e B dependem de como o sistema de coordenadas é definido neste plano. Mas a distância entre esses pontos não depende do método de especificação do sistema de coordenadas .

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