Czy ich historia jest aż tak prosta? Praca naukowa. Liczby pierwsze właśnie znajdują nowe liczby pierwsze
Liczby pierwsze i złożone. Znaki podzielności.
2014-02-01
Prywatny
dzielnik
wiele
Liczba parzysta
liczba nieparzysta
Liczba pierwsza
liczba złożona
Test na podzielność przez 2
Test podzielności przez 4
Test podzielności przez 5
Test podzielności przez 3 i 9
Jeśli $a$ i $b$ są liczbami naturalnymi, oraz
$a=bq$,
gdzie $q$ jest także liczbą naturalną, to mówimy, że $q$ jest
iloraz dzielenia liczby $a$ przez liczbę $b$ i zapisz: $q = a/b$.
Mówi się również, że $a$ jest podzielne przez $b$ całkowicie Lub bez śladu.
Dowolna liczba $b$, która dzieli $a$ bez reszty, nazywana jest dzielnikiem $a$
Samego siebie
liczbę $a$ w odniesieniu do jej dzielnika nazywa się wielokrotnością
Zatem wielokrotnościami $b$ są liczby $b, 2b, 3b, \cdots$.
Liczby będące wielokrotnościami 2 (tzn. podzielne przez 2 bez reszty) nazywane są parzystymi
.Liczby, które nie dzielą się równomiernie przez 2, nazywane są nieparzystymi.
Każda liczba naturalna jest parzysta lub nieparzysta.
Jeśli każda z dwóch liczb $a_(1), a_(2)$ jest wielokrotnością $b$, to suma $a_(1)+a_(2)$ jest wielokrotnością $b$. Można to zobaczyć na podstawie wpisu $a_(1)=bq_(1), a_(2)=bq_(2); a_(1)+a_(2)=bq_(1)+bq_(2)= b (q_(1)+q_(2))$.
I odwrotnie, jeśli $a_(1)$ i $a_(1)+a_(2)$ są wielokrotnościami $b$, to $a_(2)$ jest również wielokrotnością $b$.
Każda liczba naturalna inna niż jeden ma co najmniej dwa dzielniki: jeden i samą siebie.
Jeśli liczba nie ma innych dzielników niż ona sama i jeden, nazywa się ją liczbą pierwszą
.Liczbę, która ma dzielnik inny niż ona sama i jeden, nazywamy złożoną.
Liczebnie. Zwyczajowo klasyfikuje się jednostkę jako liczbę pierwszą lub złożoną. Oto kilka pierwszych liczb pierwszych zapisanych w kolejności rosnącej:
$2,3,5,7,11,13,17,\cdots$
Liczba 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą; wszystkie inne liczby pierwsze są nieparzyste.
Fakt, że istnieje nieskończona liczba liczb pierwszych, został ustalony już w starożytności (Euklides, III wiek p.n.e.).
Idea stojąca za dowodem Euklidesa na nieskończoność zbioru liczb pierwszych jest dość prosta. Załóżmy, że istnieje skończona liczba liczb pierwszych; Wypiszmy je wszystkie, na przykład układając je w kolejności rosnącej:
$2,3,5, \cdots, p$. (1)
Zróbmy liczbę równą ich iloczynowi plus jeden:
$a = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdots p+1$.
Oczywiście liczba ta nie jest podzielna przez żadną z liczb (1). Zatem albo sama jest pierwsza, albo, jeśli jest złożona, ma czynnik pierwszy inny niż liczby z (1), co jest sprzeczne z założeniem, że zapis (1) wymienia wszystkie liczby pierwsze.
Dowód ten jest bardzo interesujący, ponieważ stanowi przykład dowodu twierdzenia o istnieniu (nieskończonego zbioru liczb pierwszych), który nie wymaga faktycznego znalezienia obiektów, których istnienie zostaje udowodnione.
Można udowodnić, że każdą liczbę złożoną można przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych. Na przykład,
$1176 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$ lub $1176 = 2^(3) \cdot 3 \cdot 7^(2)$.
Jak widać z tego przykładu, rozkładając daną liczbę na czynniki pierwsze, część z nich można powtórzyć kilkukrotnie.
Ogólnie rzecz biorąc, w zapisie rozkładu liczby $a$ na czynniki pierwsze
$a = p^(k_(1))_(1) p^(k_(2))_(2) \cdots p^(k_(n))_(n)$ (2)
zakłada się, że wszystkie liczby pierwsze $p_(1),p_(2), \cdots , p_(n)$ różnią się od siebie (a $p_(1)$ jest powtarzane przez współczynnik $k_(1)$ razy, $p_(2 )$ jest powtarzane przez współczynnik $k_(2)$ razy itd.). Pod tym warunkiem można udowodnić, że rozwinięcie jest unikalne aż do kolejności, w jakiej zapisano czynniki.
Przy rozkładzie liczby na czynniki pierwsze warto skorzystać z testów podzielności, które pozwalają stwierdzić, czy dana liczba jest podzielna przez inną liczbę bez reszty, bez konieczności wykonywania samego dzielenia. Wyprowadzimy kryteria podzielności dla liczb 2, 3, 4, 5, 9.
Test podzielności przez 2. Te i tylko te liczby są podzielne przez 2, w których ostatnia cyfra wyraża liczbę parzystą (0, 2, 4, 6 lub 8).
Dowód. Przedstawmy liczbę $\overline(c_(1)c_(2) \cdots c_(m))$ jako $\overline(c_(1)c_(2) \cdots c_(m)) = \overline(c_( 1 )c_(2) \cdots 0) + c_(m)$.
Pierwszy wyraz po prawej stronie jest podzielny przez 10, a zatem parzysty; suma będzie parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy $c_(m)$ jest liczbą parzystą.
Podzielność przez 4 Liczba $\overline(c_(1)c_(2) \cdots c_(m))$ jest podzielna przez 4 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba dwucyfrowa wyrażona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna przez 4.
Dowód. Przedstawmy liczbę $\overline(c_(1)c_(2) \cdots c_(m))$ w postaci
$\overline(c_(1)c_(2) \cdots c_(m)) = \overline(c_(1)c_(2) \cdots 00) + \overline(c_(m-1)c_(m)) $
Pierwszy wyraz jest podzielny przez 100, a jeszcze bardziej przez 4. Suma będzie podzielna przez 4 wtedy i tylko wtedy, gdy $\overline(c_(m-1)c_(m))$ jest podzielna przez 4.
Sprawdź podzielność przez 5. Te i tylko te liczby, których zapis kończy się na cyfrę 0 lub cyfrę 5, są podzielne przez 5.
Znaki podzielności przez 3 i 9. Liczba jest podzielna przez 3 (odpowiednio przez 9) wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3 (odpowiednio przez 9).
Dowód. Zapiszmy oczywiste równości
$10 = 9+1$,
$100 = 99 + 1$,
$1000 = 999+1$,
$\cdots$,
dzięki czemu liczbę $\overline(c_(1)c_(2) \cdots c_(m))$ można przedstawić jako
$a_(m)=c_(1)(99 \cdots 9 + 1) + \cdots + c_(m-1) (9+1) + c_(m)$
Lub
$a_(m)=c_(1) \cdot 99 \cdots 9 + \cdots + c_(m-1) \cdot 9 + (c_(1) + c_(2) + \cdots + c_(m-1) + c_(m))$.
Można zauważyć, że wszystkie wyrazy, z wyjątkiem być może ostatniego nawiasu, są podzielne przez 9 (a tym bardziej przez 3). Zatem dana liczba jest podzielna przez 3 lub 9 wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr $c_(1)+c_(2)+ \cdots + c_(m)$ jest podzielna przez 3 lub 9.
Liczby podążają za ludźmi wszędzie. Nawet nasze ciało jest w zgodzie z ich światem - mamy określoną liczbę narządów, zębów, włosów i komórek skóry. Liczenie stało się czynnością nawykową, automatyczną, dlatego trudno sobie wyobrazić, że ludzie kiedyś nie znali liczb. W rzeczywistości historię pojawienia się liczb można prześledzić już w czasach starożytnych.
Liczby i prymitywni ludzie
W pewnym momencie osoba poczuła ogromną potrzebę liczenia. Do tego jest
Samo życie mnie popychało. Trzeba było jakoś zorganizować plemię, wysyłając tylko określoną liczbę ludzi na polowanie lub zbieranie. Dlatego do liczenia używali palców. Nadal istnieją plemiona, które pokazują jedną rękę zamiast cyfry „5” i dwie zamiast dziesięciu. Dzięki tak prostemu algorytmowi liczenia zaczęła się rozwijać historia pojawiania się liczb.
liczby pierwsze
Historia pojawienia się liczb pozwala zauważyć, że ludzie już dawno odkryli różnicę między liczbą nieparzystą i parzystą, a także różne zależności w obrębie samych wyrażeń liczbowych. Znaczący wkład w takie
Badania wprowadzili starożytni Grecy. Na przykład grecki naukowiec Eratostenes stworzył dość łatwy sposób znajdowania liczb pierwszych. Aby to zrobić, zapisał w kolejności wymaganą liczbę liczb, a następnie zaczął przekreślać - najpierw wszystkie liczby, które można podzielić przez dwa, a następnie przez trzy. W rezultacie otrzymano listę liczb, które nie były podzielne przez nic poza jedynką i samą sobą. Metodę tę nazwano „sitem Eratostenesa” ze względu na fakt, że Grecy nie przekreślali, lecz wybijali niepotrzebne liczby na tabliczkach pokrytych woskiem.
Zatem historia pojawienia się liczb jest zjawiskiem starożytnym i głębokim. Według naukowców zaczęło się to około 30 tysięcy lat temu. W tym czasie wiele się zmieniło w życiu człowieka. Ale do dziś kieruje naszym życiem.
Maksym Mołokow
W tym roku studiowaliśmy temat „Liczby pierwsze i złożone” i zastanawiałem się, jacy naukowcy je badają, jak uzyskać liczby pierwsze inne niż te zawarte na okładce naszego podręcznika (od 1 do 1000), stało się to celem ukończenia ta praca.
Zadania:
1. Przestudiuj historię odkrycia liczb pierwszych.
2. Zapoznać się z nowoczesnymi metodami znajdowania liczb pierwszych.
3. Dowiedz się, w jakich dziedzinach nauki wykorzystuje się liczby pierwsze.
4. Czy wśród rosyjskich naukowców są nazwiska tych, którzy badali liczby pierwsze?
Pobierać:
Zapowiedź:
Aby skorzystać z podglądu prezentacji utwórz konto Google i zaloguj się na nie: https://accounts.google.com
Podpisy slajdów:
Historia liczb pierwszych MBOU Sukhovskaya Liceum Autor: uczeń 6 klasy Molokov Maxim Opiekun: nauczyciel matematyki Babkina L. A. p. Novosukhovy grudzień 2013
W tym roku studiowaliśmy temat „Liczby pierwsze i złożone” i zastanawiałem się, jacy naukowcy je badają, jak uzyskać liczby pierwsze inne niż te zawarte na okładce naszego podręcznika (od 1 do 1000), stało się to celem ukończenia ta praca. Cele: 1. Przestudiować historię odkrycia liczb pierwszych. 2. Zapoznać się z nowoczesnymi metodami znajdowania liczb pierwszych. 3. Dowiedz się, w jakich dziedzinach nauki wykorzystuje się liczby pierwsze. 4. Czy wśród rosyjskich naukowców są nazwiska tych, którzy badali liczby pierwsze?
Każdy, kto bada liczby pierwsze, jest zafascynowany i jednocześnie czuje się bezsilny. Definicja liczb pierwszych jest tak prosta i oczywista; znalezienie następnej liczby pierwszej jest takie proste; uwzględnienie czynników pierwszych jest naturalnym działaniem. Dlaczego liczby pierwsze tak uparcie opierają się naszym próbom zrozumienia porządku i wzorców ich ułożenia? Może nie ma w nich żadnego porządku, a może jesteśmy tak ślepi, że tego nie dostrzegamy? C. Userell.
Pitagoras i jego uczniowie badali kwestię podzielności liczb. Liczbę równą sumie wszystkich jej dzielników (bez samej liczby) nazywali liczbą doskonałą. Na przykład liczby 6 (6 = 1 + 2 +3), 28 (28 = 1+2+4+7+14) są idealne. Następujące liczby doskonałe to 496, 8128, 33550336.. Pitagoras (VI wiek p.n.e.)
Pitagorejczycy znali tylko trzy pierwsze liczby doskonałe. Czwarty – 8128 – stał się znany w I wieku naszej ery. Piąty – 33550336 – odnaleziono w XV wieku. W 1983 roku znanych było już 27 liczb doskonałych. Ale naukowcy nadal nie wiedzą, czy istnieją liczby doskonałe nieparzyste, czy też istnieje największa liczba doskonała.
Zainteresowanie starożytnych matematyków liczbami pierwszymi wynika z faktu, że każda liczba jest albo pierwsza, albo może być przedstawiona jako iloczyn liczb pierwszych, tj. Liczby pierwsze są jak cegły, z których zbudowane są pozostałe liczby naturalne.
Zapewne zauważyłeś, że liczby pierwsze w szeregu liczb naturalnych występują nierównomiernie – w niektórych częściach szeregu jest ich więcej, w innych – mniej. Ale im dalej posuniemy się w szeregu liczbowym, tym mniej popularne są liczby pierwsze.
Powstaje pytanie: czy istnieje ostatnia (największa) liczba pierwsza? Starożytny grecki matematyk Euklides (III w. p.n.e.) w swojej książce („Elementy”), która przez 2000 lat była głównym podręcznikiem matematyki, udowodnił, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, tj. za każdą liczbą pierwszą kryje się większa liczba pierwsza Euklides (III wiek p.n.e.)
Inny grecki matematyk Eratostenes wymyślił tę metodę znajdowania liczb pierwszych. Zapisał wszystkie liczby od jednego do jakiejś liczby, a następnie skreślił jedną, która nie jest liczbą pierwszą ani złożoną, po czym przekreślił przez jeden wszystkie liczby występujące po drugiej liczbie, wielokrotności dwójki, tj. 4,6,8 itd.
Pierwszą pozostałą liczbą po dwójce było 3. Następnie po dwójce wszystkie liczby występujące po trójce (liczby wielokrotności 3, czyli 6,9,12 itd.) zostały przekreślone. Ostatecznie nieskrzyżowane pozostały tylko liczby pierwsze.
Ponieważ Grecy notowali na tabliczkach pokrytych woskiem lub na rysowanym papirusie, a liczb nie przekreślano, lecz nakłuwano igłą, stół na końcu obliczeń przypominał sito. Dlatego metodę Eratostenesa nazywa się sitem Eratostenesa: na tym sicie liczby pierwsze są „odsiewane” od liczb złożonych.
Zatem liczby pierwsze od 2 do 60 to 17 liczb: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59. w ten sposób oraz w Obecnie zestawiane są tabele liczb pierwszych, ale za pomocą komputerów.
Euklides (III wiek p.n.e.) udowodnił, że pomiędzy liczbą naturalną n i n! Musi istnieć co najmniej jedna liczba pierwsza. W ten sposób udowodnił, że naturalny ciąg liczb jest nieskończony. W połowie XI wieku. Rosyjski matematyk i mechanik Pafnutij Lwowicz Czebyszew udowodnił silniejsze twierdzenie niż Euklides. Pomiędzy liczbą naturalną n a liczbą 2 razy większą od niej, tj. 2 n zawiera co najmniej jedną liczbę pierwszą. Oznacza to, że w twierdzeniu Euklidesa liczba n! zastąpiony liczbą 2n. Pafnuty Lwowicz Czebyszew (1821-1894) Rosyjski matematyk i mechanik
Pojawia się kolejne pytanie: „Skoro tak trudno znaleźć kolejną liczbę pierwszą, to gdzie i do czego można te liczby wykorzystać w praktyce?” Najbardziej powszechnym zastosowaniem liczb pierwszych jest kryptografia (szyfrowanie danych). Najbezpieczniejsze i najtrudniejsze do rozszyfrowania metody kryptograficzne opierają się na wykorzystaniu liczb pierwszych składających się z ponad trzystu cyfr.
Wniosek Problem braku wzorców w rozkładzie liczb pierwszych zaprząta umysły ludzkości od czasów starożytnych greckich matematyków. Dzięki Euklidesowi wiemy, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Erastofenes zaproponował pierwszy algorytm sprawdzania pierwszości liczb. Czebyszew i wielu innych znanych matematyków próbowało i nadal próbuje rozwiązać zagadkę liczb pierwszych. Do chwili obecnej znaleziono i zaproponowano wiele eleganckich algorytmów i wzorców, ale wszystkie mają zastosowanie tylko do skończonych serii liczb pierwszych lub liczb pierwszych specjalnego typu. Za dowód hipotezy Riemanna uważa się nowatorskie osiągnięcia nauki w badaniu liczb pierwszych w nieskończoności. Jest to jeden z siedmiu nierozwiązanych problemów tysiąclecia, za dowód lub obalenie którego Instytut Matematyczny Claya wyznaczył nagrodę w wysokości 1 000 000 dolarów.
Internet – źródła i literatura http://www.primenumb.ru/ http://www.bestpeopleofrussia.ru/persona/Pafnutiy-Chebyshev/bio/ http://uchitmatematika.ucoz.ru/index/vayvayvayjavvvvjavvvvva/0-7 Podręcznik „Matematyka” dla szóstej klasy instytucji edukacyjnych /N.Ya. Vilenkin, V.I. Żochow, A.S. Czesnokow, S.I. Schwarzburg - M. Mnemosyne 2010/
Departament Edukacji i Polityki Młodzieżowej Administracji
Dystrykt Yalchik w Republice Czuwaski
Projekt
Liczby pierwsze...
Czy ich historia jest aż tak prosta?
Ukończone przez ucznia 7. klasy miejskiej placówki oświatowej „Szkoła Średnia Nowoshimkusskaja w dystrykcie Yalchik Republiki Czuwaski” Marina Efimova
Kierownik: nauczyciel matematyki kategorii I, Miejska Placówka Oświatowa „Szkoła Średnia Nowoszimkus, dystrykt Yalchik, Republika Czuwaski” Kirillova S.M.
wieś Nowe Shimkusy - 2007
Definiowanie liczb pierwszych 3
Zasługi Eulera 3
Podstawowe twierdzenie arytmetyki 4
Mersen liczb pierwszych 4
Liczby pierwsze Fermata 5
Sito Eratostenesa 5
Odkrycie P.L. Czebyszewa 6
Problem Goldbacha 7
I.M.Winogradow 8
Wniosek 8
Literatura 10
Zainteresowanie badaniem liczb pierwszych pojawiło się wśród ludzi już w starożytności. I było to spowodowane nie tylko koniecznością praktyczną. Przyciągała ich niezwykła magiczna moc. Liczby, za pomocą których można wyrazić ilość dowolnego obiektu. Nieoczekiwane, a jednocześnie naturalne właściwości liczb naturalnych odkryte przez starożytnych matematyków zaskoczyły ich niezwykłym pięknem i zainspirowały do nowych badań.
Jedną z pierwszych odkrytych przez człowieka właściwości liczb musiało być to, że niektóre z nich można było rozłożyć na dwa lub więcej czynników, np.
6=2*3, 9=3*3, 30=2*15=3*10, natomiast innych, jak 3, 7, 13, 37, nie da się w ten sposób rozwinąć.
Gdy liczba c = AB jest iloczynem dwóch liczb A oraz b , potem liczby a iB są nazywane mnożniki Lub dzielniki liczby s. Każdą liczbę można przedstawić jako iloczyn dwóch czynników. Na przykład z = 1 *c = c*1.
Prosty to liczba, która dzieli się tylko przez siebie i przez jeden.
Jednostka mająca tylko jeden dzielnik nie jest liczbą pierwszą. Nie dotyczy to również liczb złożonych. Jednostka zajmuje szczególną pozycję w szeregu liczbowym. Pitagorejczycy nauczali, że jednostka jest matką wszystkich liczb, duchem, z którego pochodzi cały widzialny świat, jest rozumem, dobrocią, harmonią.
Na Uniwersytecie Kazańskim profesorowi Nikolskiemu przy pomocy jednostki udało się udowodnić istnienie Boga. Powiedział: „Tak jak nie może być liczby bez jedynki, tak Wszechświat nie może istnieć bez jednego Pana”.
Jeden jest rzeczywiście liczbą o unikalnych właściwościach: jest podzielna tylko przez siebie, ale każda inna liczba jest przez nią podzielna bez reszty, każda jej potęga jest równa tej samej liczbie - jeden!
Po podzieleniu przez nią nie zmienia się ani jedna liczba, a jeśli podzielisz dowolną liczbę przez nią samą, otrzymasz ją ponownie! Czy to nie zaskakujące? Po namyśle Euler powiedział: „Należy wykluczyć jednostkę z ciągu liczb pierwszych, nie jest ona ani pierwsza, ani złożona”.
Było to już istotne uporządkowanie w ciemnej i złożonej kwestii liczb pierwszych.
zasługi Eulera
Leonarda Eulera
(1707-1783)
U Eulera studiowali wszyscy – zarówno w Europie Zachodniej, jak i w Rosji. Spektrum jego twórczości jest szerokie: rachunek różniczkowy i całkowy, algebra, mechanika, dioptria, artyleria, nauki o morzu, teoria ruchu planet i Księżyca, teoria muzyki – nie da się wszystkiego wymienić. W całej tej naukowej mozaice jest teoria liczb. Euler poświęcił temu wiele wysiłku i wiele osiągnął. On, podobnie jak wielu jego poprzedników, poszukiwał magicznej formuły, która umożliwiłaby wyodrębnienie liczb pierwszych z nieskończonego zbioru liczb ciągu naturalnego, czyli ze wszystkich liczb, jakie można sobie wyobrazić. Euler napisał ponad sto prac na temat teorii liczb.
...Udowodniono np., że liczba liczb pierwszych jest nieograniczona, czyli: 1) nie ma największej liczby pierwszej; 2) nie ma ostatniej liczby pierwszej, po której wszystkie liczby byłyby złożone. Pierwszy dowód na to stanowisko należą do naukowców starożytnej Grecji (V-III wieki p.n.e.), drugi dowód – Euler (1708-1783).
Podstawowe twierdzenie arytmetyki
Każda liczba naturalna inna niż 1 jest albo pierwsza, albo może być przedstawiona jako iloczyn liczb pierwszych i jednoznacznie, jeśli nie zwrócisz uwagi na kolejność czynników.
Dowód. Weźmy liczbę naturalną n≠ 1. Jeżeli n jest liczbą pierwszą, to jest to przypadek wspomniany w zakończeniu twierdzenia. Załóżmy teraz, że n jest złożone. Następnie jest przedstawiany jako produkt n = zaB,
gdzie liczby naturalne a i b są mniejsze niż n. Ponownie albo aib są proste, wtedy wszystko zostaje udowodnione, albo przynajmniej jedno z nich jest złożone, to znaczy składa się z mniejszych czynników i tak dalej; w końcu otrzymamy rozkład na czynniki pierwsze.
Jeśli liczba n nie jest podzielna przez żadną liczbę pierwszą nieprzekraczającą√n, wtedy jest to proste.
Dowód. Załóżmy odwrotnie, niech n będzie złożone i P = Ab, gdzie 1 ≤b oraz p jest pierwszym dzielnikiem liczby A, stąd liczby n. Według warunku P nie jest podzielna przez żadną liczbę pierwszą nieprzekraczającą √ N. Stąd, р >√N. Ale wtedy >√N I √ N ≤ A≤ ur ,
Gdzie n = zaB = √ N√ N = P; doszło do sprzeczności, założenie było błędne, twierdzenie zostało udowodnione.
Przykład 1. Jeśli c = 91 wtedy √ с = 9, ... sprawdź liczby pierwsze 2, 3, 5, 7. Znajdujemy, że 91 = 7 13.
Przykład 2. Jeśli c = 1973, to znajdujemy √ C = √ 1973 =44, ...
ponieważ nie było wcześniej żadnej liczby pierwszej 43 nie dzieli się przez, to ta liczba jest pierwsza.
Przykład 3. Znajdź liczbę pierwszą po liczbie pierwszej 1973. Odpowiedź: 1979.
Liczby pierwsze Mersena
Pogoń za liczbami pierwszymi trwała przez kilka stuleci. Wielu matematyków rywalizowało o zaszczyt odkrycia największej znanej liczby pierwszej.
Liczby pierwsze Mersena to liczby pierwsze o specjalnej postaci M p = 2 p - 1
Gdzie R - kolejna liczba pierwsza.
Liczby te są częścią matematyki od dawna; pojawiają się w rozważaniach euklidesowych na temat współczesnych liczb. Otrzymali swoją nazwę na cześć francuskiego mnicha Merenne Mersen (1589-1648), który długo pracował nad problemem współczesnych liczb.
Jeśli obliczymy liczby za pomocą tego wzoru, otrzymamy:
M 2 = 2 2 – 1 = 3 – liczba pierwsza;
M 3 = 2 3 – 1 = 7 – proste;
M 5 = 2 5 – 1 = 31 – prosty;
M 7 = 2 7 – 1 = 127 – prosty;
M 11 = 2 11 – 1 = 2047 = 23 * 89
Ogólnym sposobem znalezienia dużych liczb pierwszych Mersena jest przetestowanie wszystkich liczb M p dla różnych liczb pierwszych R.
Liczby te rosną bardzo szybko, a koszty pracy związane z ich znalezieniem rosną równie szybko.
W badaniu liczb Mersena można wyróżnić wczesny etap, którego kulminacją był rok 1750, kiedy Euler ustalił, że liczba M 31 jest liczbą pierwszą. Do tego czasu odkryto osiem liczb pierwszych Mersena: „r
R= 2, р= 3, р = 5 , р = 7, р= 13, p = 17, p = 19, R =31.
Liczba Eulera M 31 pozostaje największą znaną liczbą pierwszą od ponad stu lat.
W 1876 roku francuski matematyk Lucas ustalił, że ogromna liczba M 127 ma 39 cyfr. 12 liczb pierwszych Mersena zostało obliczonych przy użyciu wyłącznie ołówka i papieru, a kolejne zostały obliczone przy użyciu mechanicznych stacjonarnych maszyn sumujących.
Pojawienie się komputerów napędzanych elektrycznie umożliwiło kontynuację poszukiwań, doprowadzając je do skutku R = 257.
Wyniki były jednak rozczarowujące i nie było wśród nich nowych liczb pierwszych Mersena.
Następnie zadanie zostało przeniesione do komputera.
Największa znana obecnie liczba pierwsza ma 3376 cyfr. Numer ten znaleziono w komputerze na Uniwersytecie Illinois (USA). Wydział matematyki tej uczelni był tak dumny z ich osiągnięcia, że umieścił ten numer na swoim stemplu pocztowym, odtwarzając go w ten sposób na każdym liście, który wysyłali do publicznego wglądu.
Liczby pierwsze Fermata
Istnieje inny typ liczb pierwszych o długiej i interesującej historii. Po raz pierwszy wprowadził je francuski prawnik Pierre Fermat (1601-1665), który zasłynął dzięki swoim wybitnym dziełom matematycznym.
Pierre Fermat (1601-1665)
Pierwszymi liczbami pierwszymi Fermata były liczby spełniające wzór F n = 
+ 1.
F 0 = 
+ 1 = 3;
F 1 = 
+ 1 = 5;
F 2 = 
+ 1 = 17;
F 3 = 
+ 1 = 257;
F 4 = 
+ 1 = 65537.
Założenie to jednak zesłano do archiwum nieuzasadnionych hipotez matematycznych, lecz po tym, jak Leonhard Euler poszedł o krok dalej i pokazał, że kolejna liczba Fermata F 5 = 641 6 700 417 jest złożone.
Możliwe, że historia liczb Fermata byłaby kompletna, gdyby liczby Fermata nie pojawiły się w zupełnie innym problemie – konstruowaniu wielokątów foremnych za pomocą kompasu i linijki.
Jednakże nie znaleziono ani jednej liczby pierwszej Fermata i wielu matematyków jest obecnie skłonnych wierzyć, że już nie istnieją.
Sito Eratostenesa
Istnieją tabele liczb pierwszych rozciągających się na bardzo duże liczby. Jak podejść do kompilacji takiej tabeli? Problem ten w pewnym sensie rozwiązał (ok. 200 r. p.n.e.) Eratostenes, matematyk z Aleksandrii. -
Jego schemat jest następujący. Napiszmy ciąg wszystkich liczb całkowitych od 1 do liczby, którą chcemy zakończyć tabelę.
Zacznijmy od liczby pierwszej 2. Co drugą liczbę będziemy odrzucać. Zacznijmy od 2 (poza samą liczbą 2), czyli liczby parzyste: 4, 6, 8, 10 itd., każdą z nich podkreśl.
Po tej operacji pierwszą liczbą bez podkreślenia będzie liczba 3. Jest to liczba pierwsza, gdyż nie jest podzielna przez 2. Pozostawiając liczbę 3 bez podkreślenia, będziemy podkreślać po niej co trzecią liczbę, czyli liczby 6, 9, 12 , 15... Niektóre z nich zostały już podkreślone, ponieważ są równe. W następnym kroku pierwszą niepodkreśloną liczbą będzie liczba 5; jest to proste, bo nie jest podzielne ani przez 2, ani przez 3. Liczbę 5 zostawmy bez podkreślenia, ale podkreślmy co piątą liczbę po niej, czyli liczby 10, 15, 20... Podobnie jak poprzednio, niektóre z nich okazywały się być podkreślone. Teraz najmniejszą liczbą nieakcentowaną będzie liczba 7. Jest ona liczbą pierwszą, ponieważ nie jest podzielna przez żadną z jej mniejszych liczb pierwszych 2, 3, 5. Powtarzając ten proces, ostatecznie otrzymamy ciąg liczb nieakcentowanych; wszystkie (z wyjątkiem numeru 1) są liczbami pierwszymi. Ta metoda przesiewania liczb znana jest jako „sito Eratostenesa”. Zgodnie z tą zasadą tworzona jest każda tabela liczb pierwszych.
Eratostenes stworzył tablicę liczb pierwszych od 1 do 120 ponad 2000 lat temu. Pisał na papirusie rozciągniętym w ramce lub na woskowej tabliczce i nie przekreślał, jak to robimy, ale przebijał liczby złożone. Rezultatem było coś w rodzaju sita, przez które „przesiano” liczby złożone. Dlatego tablicę liczb pierwszych nazywa się „Sitem Eratostenesa”.
Ile jest liczb pierwszych? Czy istnieje ostatnia liczba pierwsza, czyli taka, po której wszystkie liczby będą złożone? Jeśli taki numer istnieje, jak go znaleźć? Wszystkie te pytania interesowały naukowców od czasów starożytnych, ale znalezienie odpowiedzi na nie nie było tak łatwe.
Eratostenes był bardzo dowcipnym człowiekiem. Ten współczesny i przyjaciel Archimedesa, z którym stale korespondował, był matematykiem, astronomem i mechanikiem, co uważano za naturalne dla wielkich ludzi tamtych czasów. Jako pierwszy zmierzył średnicę globu, nie wychodząc z Biblioteki Aleksandryjskiej, w której pracował. Dokładność jego pomiarów była zdumiewająco wysoka, nawet wyższa niż ta, z jaką Archimedes zmierzył Ziemię.
Eratostenes wynalazł genialne urządzenie - mesolabit, z za pomocą którego rozwiązał mechanicznie dobrze znany problem podwojenia sześcianu, z którego był bardzo dumny, i dlatego wydał rozkaz zobrazowania tego urządzenia na kolumnie w Aleksandrii. Ponadto poprawił kalendarz egipski, dodając jeden dzień do czterech lat - w roku przestępnym.
Sito Eratostenesa to prymitywny i jednocześnie genialny wynalazek, o którym Euklides nawet nie pomyślał, sugerując dobrze znaną tezę, że wszystko genialne jest proste.
Sito Eratostenesa sprawdziło się dobrze w przypadku badaczy liczb dalekich od pierwszych. Czas minął. Poszukiwano sposobów łapania liczb pierwszych. Rozpoczęły się swego rodzaju zawody w znalezieniu największej liczby pierwszej od czasów starożytnych do Czebyszewa, a nawet do czasów współczesnych.
Odkrycie P.L. Czebyszewa
I 
Zatem liczba liczb pierwszych jest nieskończona. Widzieliśmy już, że liczby pierwsze są ułożone bez żadnego porządku. Przyjrzyjmy się temu bardziej szczegółowo.
2 i 3 to liczby pierwsze. Jest to jedyna para liczb pierwszych, które sąsiadują ze sobą.
Potem przychodzą 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19 itd. Są to tak zwane sąsiednie liczby pierwsze lub bliźniaki. Bliźniąt jest wiele: 29 i 31, 41 i 43, 59 i 61, 71 i 73, 101 i 103, 827 i 829 itd. Największa znana obecnie para bliźniaków to: 10016957 i 10 016 959.
Panfutij Lwowicz Czebyszew
Jak rozkładają się liczby pierwsze w szeregu naturalnym, w którym nie ma ani jednej liczby pierwszej? Czy istnieje jakieś prawo dotyczące ich dystrybucji, czy nie?
Jeśli tak, to jaki? Jak to znaleźć? Ale odpowiedzi na te pytania nie znaleziono przez ponad 2000 lat.
Pierwszy i bardzo duży krok w rozwiązaniu tych problemów wykonał wielki rosyjski naukowiec Panfuty Lwowicz Czebyszew. W 1850 roku udowodnił, że pomiędzy dowolną liczbą naturalną (nierówną 1) a liczbą dwukrotnie większą od niej (tj. pomiędzy n a 2n) znajduje się co najmniej jedna liczba pierwsza.
Sprawdźmy to na prostych przykładach. Weźmy kilka dowolnych wartości n dla n .
i znajdź odpowiednio wartość 2n.
n = 12, 2n = 24;
n = 61, 2n = 122;
n = 37, 2n = 74.
Widzimy, że dla rozważanych przykładów twierdzenie Czebyszewa jest prawdziwe.
Czebyszew udowodnił to dla każdego przypadku, dla dowolnego n. Dla tego twierdzenia został nazwany zwycięzcą liczb pierwszych. Odkryte przez Czebyszewa prawo rozkładu liczb pierwszych było prawdziwie podstawowym prawem w teorii liczb po odkryciu przez Euklidesa prawa o nieskończoności liczby liczb pierwszych.
Być może najmilszą, najbardziej entuzjastyczną reakcję na odkrycie Czebyszewa nadeszła z Anglii od słynnego matematyka Sylwestra: „...Dalszych sukcesów w teorii liczb pierwszych można się spodziewać, gdy urodzi się ktoś, kto w swojej przenikliwości i zamyśle przewyższa Czebyszewa tak samo jak Czebyszew przewyższa te cechy zwykłych ludzi”.
Ponad pół wieku później niemiecki matematyk E. Landau, wybitny specjalista w dziedzinie teorii liczb, dodał do tego stwierdzenia: „Pierwszy po Euklidesie Czebyszew poszedł właściwą drogą, rozwiązując problem liczb pierwszych i osiągnął ważne wyniki .”
Problem Goldbacha
Zapiszmy wszystkie liczby pierwsze od 1 do 50:
2, 3, 5, 7, 9, 11, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
Teraz spróbujmy dowolnej liczby od 4 do 50 przedstaw ją jako sumę dwóch lub trzech liczb pierwszych. Weźmy losowo kilka liczb:
Jak widać, zadanie wykonaliśmy bez trudności. Czy to zawsze jest możliwe? Czy dowolną liczbę można przedstawić jako sumę kilku liczb pierwszych? A jeśli tak, to ile: dwa? trzy? dziesięć?
W 1742 roku Goldbach, członek Akademii Nauk w Petersburgu, w liście do Eulera zasugerował, że każda dodatnia liczba całkowita większa niż pięć jest sumą co najwyżej trzech liczb pierwszych.
Goldbach testował wiele liczb i nigdy nie spotkał liczby, której nie dałoby się rozłożyć na sumę dwóch lub trzech prostych wyrazów. Ale czy tak będzie zawsze, tego nie udowodnił. Naukowcy badają ten problem od dawna, który nazywa się „problemem Goldbacha” i jest sformułowany w następujący sposób.
Musisz udowodnić lub obalić twierdzenie:
Każda liczba większa od jedności jest sumą co najwyżej trzech liczb pierwszych.
Przez prawie 200 lat wybitni naukowcy próbowali rozwiązać problem Goldbacha-Eulera, ale bez powodzenia. Wielu doszło do wniosku, że nie da się tego rozwiązać.
Ale prawie całkowite rozwiązanie znalazł w 1937 r. radziecki matematyk I.M. Winogradow.
ICH. Winogradow
Iwan Matwiejewicz Winogradow jest jednym z najwybitniejszych współczesnych matematyków. Urodził się 14 września 1891 roku we wsi Miłolub w województwie pskowskim. W 1914 ukończył studia na uniwersytecie w Petersburgu i pozostawiono go w przygotowaniu do profesury.
Jego pierwsza praca naukowa I.M. Winogradow pisał w 1915 r. Od tego czasu napisał ponad 120 różnych prac naukowych. Rozwiązał w nich wiele problemów, nad którymi naukowcy na całym świecie pracowali od dziesiątek i setek lat.
Iwan Matwiejewicz Winogradow
Za usługi z zakresu matematyki I.M. Winogradow jest uznawany przez wszystkich naukowców na świecie za jednego z pierwszych matematyków naszych czasów i został wybrany do grona członków wielu akademii na całym świecie.
Jesteśmy dumni z naszego wspaniałego rodaka.
Wniosek.
Z klasy do kosmosu
Rozpocznijmy naszą rozmowę o liczbach pierwszych od fascynującej historii o wyimaginowanej podróży z klasy w przestrzeń kosmiczną. Tę wyimaginowaną podróż wymyślił słynny radziecki nauczyciel matematyki, profesor Iwan Koźmicz Andronow (ur. 1894). „...a) weź w myślach prosty drut wychodzący z klasy w przestrzeń świata, przebijający atmosferę ziemską, zmierzający do miejsca, w którym obraca się Księżyc, a następnie poza kulę ognia Słońca i dalej w nieskończoność świata;
b) zawiesić w myślach żarówki na drucie co metr, numerując je zaczynając od najbliższego: 1, 2, 3, 4, ..., 100, ..., 1000, ..., 1 000 000...;
c) w myślach włączyć prąd w taki sposób, aby zaświeciły się wszystkie żarówki z liczbami pierwszymi i tylko te z liczbami pierwszymi; : .
d) mentalnie podleć blisko drutu.
Przed nami rozwinie się następujący obraz.
1. Żarówka nr 1 nie świeci. Dlaczego? Ponieważ jeden nie jest liczbą pierwszą.
2. Świecą się dwie kolejne żarówki o numerach 2 i 3, ponieważ obydwie liczby 2 i 3 są liczbami pierwszymi. Czy dwie sąsiadujące ze sobą płonące żarówki mogą spotkać się w przyszłości? Nie, nie mogą. Dlaczego? Każda liczba pierwsza z wyjątkiem dwóch jest liczbą nieparzystą, a te sąsiadujące z liczbą pierwszą po obu stronach będą liczbami parzystymi, a każda liczba parzysta inna niż dwa jest liczbą złożoną, ponieważ dzieli się przez dwa.
3. Następnie obserwujemy parę żarówek przepalających się przez jedną żarówkę o numerach 3 i 5, 5 i 7 itd. Jasne jest, dlaczego się świecą: to są bliźniaki. Zauważamy, że w przyszłości zdarzają się one rzadziej; wszystkie pary bliźniaków, podobnie jak pary liczb pierwszych, mają postać 6n ± 1; Na przykład
6*3 ± 1 równa się 19 i 17
lub 6*5 ± 1 równa się 31 i 29, ...;
ale 6*20 ± 1 równa się 121 i 119 - ta para nie jest bliźniacza, ponieważ istnieje para liczb złożonych.
Docieramy do pary bliźniaków 10 016 957 i 10 016 959. Czy będą kolejne pary bliźniaków? Współczesna nauka nie daje jeszcze odpowiedzi: nie wiadomo, czy istnieje skończona, czy nieskończona liczba par bliźniaków.
4. Ale wtedy zaczyna działać prawo dużej luki, wypełnionej tylko liczbami złożonymi: lecimy w ciemności, oglądamy się za siebie - ciemność, a przed nami nie widać światła. Pamiętamy o właściwości odkrytej przez Euklidesa i śmiało idziemy do przodu, bo przed nami powinny być świecące żarówki, a przed nimi powinna być ich nieskończona liczba.
5. Przylatując do miejsca w serii naturalnej, gdzie w ciemności minęło już kilka lat naszego ruchu, przypominamy sobie udowodnioną przez Czebyszewa właściwość i uspokajamy się, pewni, że w każdym razie musimy lecieć nie dłużej niż polecieliśmy, żeby zobaczyć choć jedną świecącą żarówkę.”
Literatura
1.
Wielki mistrz indukcji Leonhard Euler.
2. Za kartkami podręcznika do matematyki.
3. Prudnikov N.I. PL Czebyszew.
4. Serbski I.A. Co wiemy, a czego nie wiemy o liczbach pierwszych.
5. Wydawnictwo „Pierwszy września”. Matematyka nr 13, 2002
6. Wydawnictwo „Pierwszy września”. Matematyka nr 4, 2006
Miejska placówka oświatowa „Szkoła średnia w Chastoozersku”
Prace badawcze na temat:
„Liczby rządzą światem!”
Praca skończona:
Uczeń klasy 6.
Opiekun: ,
nauczyciel matematyki.
Z. Chastoozerye.
I. Wstęp. -3 strony
II. Głównym elementem. -4 strony
· Matematyka wśród starożytnych Greków. - 4 strony
· Pitagoras z Samos. -6 stron
· Pitagoras i liczby. -8 s.
2. Liczby są proste i złożone. -10 pp.
3. Problem Goldbacha. -12 pp.
4. Znaki podzielności. -13 s.
5. Ciekawe właściwości liczb naturalnych.-15pp.
6. Sztuczki liczbowe. -18 s.
III. Wniosek. -22 pp.
IV. Bibliografia. -23 s.
I. Wstęp.
Znaczenie:
Podczas studiowania tematu „Podzielność liczb” na lekcjach matematyki nauczyciel zaproponował przygotowanie sprawozdania z historii odkryć liczb pierwszych i złożonych. Przygotowując przesłanie zainteresowały mnie słowa Pitagorasa „Światem rządzą liczby!”
Pojawiły się pytania:
· Kiedy powstała nauka o liczbach?
· Kto przyczynił się do rozwoju nauki o liczbach?
· Znaczenie liczb w matematyce?
Postanowiłem szczegółowo przestudiować i podsumować materiał na temat liczb i ich właściwości.
Cel badania: badać liczby pierwsze i złożone oraz pokazywać ich rolę w matematyce.
Przedmiot badań: liczby pierwsze i złożone.
Hipoteza: Jeśli, jak powiedział Pitagoras, „Światem rządzą liczby,
jaka jest zatem ich rola w matematyce.
Cele badań:
I. Zbieraj i podsumowuj wszelkiego rodzaju informacje o liczbach pierwszych i złożonych.
II. Pokaż znaczenie liczb w matematyce.
III. Pokaż ciekawe właściwości liczb naturalnych.
Metody badawcze:
· Teoretyczna analiza literatury.
· Sposób systematyzacji i przetwarzania danych.
II. Głównym elementem.
1. Historia powstania nauki o liczbach.
· Matematyka wśród starożytnych Greków.
Zarówno w Egipcie, jak i w Babilonie liczb używano głównie do rozwiązywania problemów praktycznych.
Sytuacja uległa zmianie, gdy Grecy zajęli się matematyką. W ich rękach matematyka zmieniła się z rzemiosła w naukę.
Plemiona greckie zaczęły osiedlać się na północnych i wschodnich wybrzeżach Morza Śródziemnego około cztery tysiące lat temu.
Większość Greków osiedliła się na Półwyspie Bałkańskim – gdzie obecnie znajduje się państwo greckie. Reszta osiedliła się na wyspach Morza Śródziemnego i wzdłuż wybrzeży Azji Mniejszej.
Grecy byli doskonałymi żeglarzami. Ich lekkie statki o ostrych nosach pływały po Morzu Śródziemnym we wszystkich kierunkach. Przywieźli naczynia i biżuterię z Babilonu, broń brązową z Egiptu, skóry zwierzęce i chleb z wybrzeży Morza Czarnego. I oczywiście, podobnie jak inne ludy, statki przywiozły do Grecji wiedzę wraz z towarami. Ale Grecy nie są sprawiedliwi
nauczył się od innych narodów. Bardzo szybko wyprzedzili swoich nauczycieli.
Greccy mistrzowie budowali pałace i świątynie o niesamowitej urodzie, które później przez tysiące lat służyły jako wzór dla architektów wszystkich krajów.
Greccy rzeźbiarze stworzyli wspaniałe posągi z marmuru. I nie tylko „prawdziwa” matematyka zaczęła się od greckich naukowców, ale także wiele innych nauk, których uczymy się w szkole.
Czy wiesz, dlaczego Grecy wyprzedzili wszystkie inne narody w matematyce? Bo umieli się kłócić.
Jak debata może pomóc nauce?
W czasach starożytnych Grecja składała się z wielu małych państw. Niemal każde miasto wraz z otaczającymi je wioskami stanowiło odrębne państwo. Za każdym razem, gdy trzeba było rozstrzygnąć ważną kwestię państwową, mieszczanie gromadzili się na rynku i dyskutowali nad nią. Dyskutowali, jak zrobić to lepiej, a następnie głosowali. Oczywiste jest, że byli dobrymi dyskutantami: na takich spotkaniach musieli odeprzeć przeciwników, uzasadnić i udowodnić, że mają rację. Starożytni Grecy wierzyli, że argumentacja pomaga znaleźć to, co najlepsze. Najbardziej słuszna decyzja. Wymyślili nawet takie powiedzenie: „Prawda rodzi się w sporze”.
A w nauce Grecy zaczęli robić to samo. Jak na zebraniu ludowym. Nie tylko uczyli się na pamięć zasad, ale szukali powodów: dlaczego należy to zrobić w ten, a nie inny sposób. Greccy matematycy próbowali wyjaśnić każdą regułę i udowodnić, że nie jest ona prawdziwa. Kłócili się ze sobą. Rozumowali i próbowali znaleźć błędy w rozumowaniu.
Udowodnią jedną regułę – rozumowanie prowadzi do drugiej, bardziej złożonej, potem do trzeciej, do czwartej. Prawa powstały z zasad. A nauka praw to matematyka.
Gdy tylko się narodziła, grecka matematyka natychmiast posunęła się naprzód skokowo. Pomogły jej wspaniałe buty do chodzenia, których inne narody nie miały wcześniej. Nazywano je „rozumowaniem” i „dowodem”.
· Pitagoras z Samos.
Pierwszym, który zaczął mówić o liczbach, był grecki Pitagoras, który urodził się na wyspie Samos w VI wieku naszej ery.
Dlatego często nazywany jest Pitagorasem z Samos. Grecy opowiadali wiele legend o tym myślicielu.
Pitagoras wcześnie wykazał zdolności naukowe i ojciec Mnesarchus zabrał go do Syrii, do Tyru, aby tam mogli go uczyć mędrcy chaldejscy. Poznaje tajemnice egipskich kapłanów. Rozpalony chęcią wejścia do ich kręgu i zostania wtajemniczonym, Pitagoras zaczyna przygotowywać się do podróży do Egiptu. Rok spędza w Fenicji, w szkole księży. Następnie odwiedzi Egipt, Heliopolis. Jednak miejscowi księża byli nieprzyjaźni.
Wykazując się wytrwałością i przechodząc niezwykle trudne egzaminy wstępne, Pitagoras osiąga swój cel - zostaje przyjęty do kasty. Spędził w Egipcie 21 lat, doskonale studiował wszystkie rodzaje pisma egipskiego i przeczytał wiele papirusów. Fakty znane Egipcjanom z matematyki prowadzą go do własnych odkryć matematycznych.
Mędrzec powiedział: „Są rzeczy na świecie, do których trzeba dążyć. Jest po pierwsze piękna i chwalebna, po drugie pożyteczna do życia, po trzecie sprawiająca przyjemność. Jednakże przyjemności są dwojakiego rodzaju: jedna, która zaspokaja nasze obżarstwo luksusem, jest zgubna; drugi jest sprawiedliwy i niezbędny do życia”.
Liczby zajmowały centralne miejsce w filozofii uczniów i zwolenników Pitagorasa:
« Gdzie nie ma liczby i miary, jest chaos i chimery”
„Najmądrzejsza rzecz to liczba”
„Liczby rządzą światem”.
Dlatego wielu uważa Pitagorasa za ojca numeracji - złożoną naukę owianą tajemnicą, opisującą wydarzenia w niej zachodzące, ujawniającą przeszłość i przyszłość, przepowiadającą losy ludzi.
· Pitagoras i liczby.
Starożytni Grecy, a wraz z nimi Pitagoras i Pitagorejczycy myśleli o liczbach w sposób widoczny w postaci kamyków układanych na piasku lub na tablicy liczącej – liczydle.
Liczby kamykowe ułożono w postaci regularnych figur geometrycznych, figury te sklasyfikowano i tak powstały liczby zwane dziś liczbami figuralnymi: liczby liniowe (czyli liczby pierwsze) - liczby, które dzielą się przez jeden i przez siebie, a zatem , reprezentowany jako sekwencja ustawionych w jednej linii kropek
https://pandia.ru/text/79/542/images/image006_30.jpg" szerokość="312" wysokość="85 src=">
liczby stałe wyrażone jako iloczyn trzech czynników
https://pandia.ru/text/79/542/images/image008_20.jpg" szerokość="446" wysokość="164 src=">
liczby kwadratowe:
https://pandia.ru/text/79/542/images/image010_15.jpg" szerokość="323" wysokość="150 src=">
I. itp. To z liczb przenośnych wynika wyrażenie „ Kwadrat lub sześcian liczby».
Pitagoras nie ograniczał się do postaci płaskich. Z punktów zaczął dodawać piramidy, sześciany i inne ciała oraz badać liczby piramidalne, sześcienne i inne (patrz ryc. 1). Swoją drogą, imię sześcian liczb Nadal go używamy.
Ale Pitagoras nie był usatysfakcjonowany liczbami uzyskanymi z różnych liczb. Przecież głosił, że światem rządzą liczby. Dlatego musiał wymyślić, jak używać liczb do przedstawienia takich pojęć, jak sprawiedliwość, doskonałość i przyjaźń.
Aby zobrazować doskonałość, Pitagoras zaczął pracować nad dzielnikami liczb (wziął dzielnik 1, ale nie wziął samej liczby). Dodawał wszystkie dzielniki liczby i jeśli suma była mniejsza od liczby, uznawano ją za niewystarczającą, a jeśli była większa, uznawano za nadmierną. I dopiero gdy suma była dokładnie równa liczbie, uznawano ją za doskonałą. Podobnie przedstawiono liczby przyjaźni – dwie liczby nazywano przyjaznymi, jeśli każda z nich była równa sumie dzielników drugiej liczby. Na przykład liczba 6 (6=1+2+3) jest doskonała, liczba 28 (1+2+4+7+17) jest doskonała. Następne liczby doskonałe to 496, 8128, .
2. Liczby są proste i złożone.
Współczesna matematyka pamięta przyjazne lub doskonałe liczby z uśmiechem jako hobby z dzieciństwa.
A wprowadzone przez Pitagorasa pojęcia liczb pierwszych i złożonych są nadal przedmiotem poważnych badań, za które matematycy otrzymują wysokie nagrody naukowe.
Z doświadczenia w obliczeniach ludzie wiedzieli, że każda liczba jest albo liczbą pierwszą, albo iloczynem kilku liczb pierwszych. Ale nie wiedzieli, jak to udowodnić. Pitagoras lub jeden z jego zwolenników znalazł dowód tego twierdzenia.
Teraz łatwo jest wyjaśnić rolę liczb pierwszych w matematyce: są to elementy, z których budowane są inne liczby za pomocą mnożenia.
Odkrycie wzorców w szeregu liczb jest dla matematyków bardzo przyjemnym wydarzeniem: w końcu te wzorce można wykorzystać do budowania hipotez, sprawdzania dowodów i wzorów. Jedną z właściwości liczb pierwszych, która interesuje matematyków, jest to, że nie podporządkowują się one żadnemu wzorowi.
Jedynym sposobem sprawdzenia, czy liczba 100 895 598 169 jest liczbą pierwszą, jest użycie dość pracochłonnego „Sita Eratostenesa”.
Tabela pokazuje jedną z opcji tego sita.
W tej tabeli wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 48 są zakreślone kółkiem. Można je znaleźć w następujący sposób: 1 ma pojedynczy dzielnik – sam w sobie, dlatego 1 nie jest uważana za liczbę pierwszą. 2 to najmniejsza (i jedyna parzysta) liczba pierwsza. Wszystkie pozostałe liczby parzyste są podzielne przez 2, co oznacza, że mają co najmniej trzy dzielniki; dlatego nie są one proste i można je przekreślić. Następną nieprzekreśloną liczbą jest 3; ma dokładnie dwa dzielniki, więc jest liczbą pierwszą. Wszystkie pozostałe liczby, które są wielokrotnościami trzech (tj. takie, które można podzielić przez 3 bez reszty) są przekreślone. Teraz pierwszą nieprzekreśloną liczbą jest 5; jest to proste i wszystkie jego wielokrotności można przekreślić.
Kontynuując skreślanie wielokrotności, możesz wyeliminować wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 48.
3. Problem Goldbacha.
Dowolną liczbę można otrzymać z liczb pierwszych przez mnożenie. Co się stanie, jeśli dodasz liczby pierwsze?
Matematyk Goldbach, który żył w XVIII wieku w Rosji, postanowił dodawać nieparzyste liczby pierwsze tylko parami. Odkrył niesamowitą rzecz: za każdym razem potrafił przedstawić liczbę parzystą jako sumę dwóch liczb pierwszych. (podobnie jak za czasów Goldbacha, 1 uważamy za liczbę pierwszą).
4 = 1 +3, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5. itd.
https://pandia.ru/text/79/542/images/image016_5.jpg" szerokość="156" wysokość="191 src=">
Goldbach napisał o swoich obserwacjach wielkiemu matematykowi
XVIII w. Leonhardowi Eulerowi, członkowi Akademii Nauk w Petersburgu. Po przetestowaniu znacznie większej liczby liczb parzystych Euler był przekonany, że wszystkie są sumą dwóch liczb pierwszych. Ale jest nieskończenie wiele liczb parzystych. Dlatego obliczenia Eulera dawały jedynie nadzieję, że wszystkie liczby mają tę właściwość, którą zauważył Goldbach. Jednak próby udowodnienia, że tak będzie zawsze, nie doprowadziły do niczego.
Matematycy zastanawiali się nad problemem Goldbacha przez dwieście lat. I tylko rosyjski naukowiec Iwan Matwiejewicz Winogradow zdołał zrobić decydujący krok. Ustalił, że każda dostatecznie duża liczba naturalna jest
suma trzech liczb pierwszych. Ale liczba, na podstawie której stwierdzenie Winogradowa jest prawdziwe, jest niewyobrażalnie duża.
4. Znaki podzielności.
489566: 11 = ?
Aby dowiedzieć się, czy dana liczba jest pierwsza czy złożona, nie zawsze trzeba patrzeć na tabelę liczb pierwszych. Często w tym celu wystarczy użyć znaków podzielności.
· Test na podzielność przez 2.
Jeśli liczba naturalna kończy się cyfrą parzystą, to jest ona parzysta i dzieli się przez 2 bez reszty.
· Test podzielności przez 3.
Jeśli suma cyfr liczby jest podzielna przez 3, to liczba ta jest podzielna przez 3.
· Test podzielności przez 4.
Liczba naturalna zawierająca co najmniej trzy cyfry jest podzielna przez 4, jeśli liczba utworzona przez dwie ostatnie cyfry tej liczby jest podzielna przez 4.
· Test na podzielność przez 5.
Jeśli liczba naturalna kończy się na 0 lub 5, to liczba ta jest podzielna przez 5 bez reszty.
· Test podzielności przez 7 (przez 13).
Liczba naturalna jest podzielna przez 7 (przez 13), jeśli algebraiczna suma liczb tworzących ścianki trzech cyfr (zaczynając od cyfry jedności), wzięta ze znakiem „+” dla ścian nieparzystych i znakiem „minus” dla parzystych twarze, dzielimy przez, tworzymy algebraiczną sumę twarzy, zaczynając od ostatniej twarzy i naprzemiennie znaki + i -: + 254 = 679. Liczba 679 jest podzielna przez 7, co oznacza, że ta liczba jest również podzielna przez 7 .
· Test podzielności przez 8.
Liczba naturalna zawierająca co najmniej cztery cyfry jest podzielna przez 8, jeśli liczba utworzona przez trzy ostatnie cyfry jest podzielna przez 8.
· Test na podzielność przez 9.
Jeśli suma cyfr liczby jest podzielna przez 9, to sama liczba jest podzielna przez 9.
· Test na podzielność przez 10.
Jeśli liczba naturalna kończy się na 0, to jest podzielna przez 10.
· Test podzielności 11.
Liczba naturalna jest podzielna przez 11, jeśli algebraiczna suma jej cyfr, wzięta ze znakiem plusa, jeśli cyfry są w miejscach nieparzystych (zaczynając od cyfry jedności), i ze znakiem minus, jeśli cyfry są w miejscach parzystych, wynosi podzielne przez, 7 – 1 + 5 = 11, podzielne przez 11).
· Test na podzielność przez 25.
Liczba naturalna zawierająca co najmniej trzy cyfry jest podzielna przez 25, jeżeli liczba utworzona przez dwie ostatnie cyfry tej liczby jest podzielna przez 25.
· Test podzielności przez 125.
Liczba naturalna zawierająca co najmniej cztery liczby jest podzielna przez 125, jeżeli liczba utworzona przez trzy ostatnie cyfry tej liczby jest podzielna przez 125.
5. Ciekawe właściwości liczb naturalnych.
Liczby naturalne mają wiele interesujących właściwości, które ujawniają się, gdy wykonuje się na nich operacje arytmetyczne. Ale nadal łatwiej jest te właściwości zauważyć, niż je udowodnić. Przedstawmy kilka takich właściwości.
1) Weźmy losowo jakąś liczbę naturalną, na przykład 6, i zapiszmy wszystkie jej dzielniki: 1, 2, 3,6. Dla każdej z tych liczb zapisz, ile ma dzielników. Ponieważ 1 ma tylko jeden dzielnik (samą liczbę), 2 i 3 mają po dwa dzielniki, a 6 ma 4 dzielniki, otrzymujemy liczby 1, 2, 2, 4. Mają one niezwykłą cechę: jeśli podniesiesz te liczby do sześcian i dodając odpowiedzi, otrzymasz dokładnie taką samą kwotę, jaką otrzymalibyśmy, dodając najpierw te liczby, a następnie podnosząc sumę do kwadratu, innymi słowy,
https://pandia.ru/text/79/542/images/image019_3.jpg" szerokość="554" wysokość="140 src=">
Obliczenia pokazują, że zarówno po lewej, jak i po prawej stronie odpowiedź jest taka sama, a mianowicie 324.
Bez względu na to, jaką liczbę przyjmiemy, właściwość, którą zauważyliśmy, zostanie spełniona. Ale dość trudno to udowodnić.
2) . Weźmy dowolną liczbę czterocyfrową, na przykład 2519, i ułóżmy jej cyfry najpierw w kolejności malejącej, a następnie rosnącej: a Od większej liczby odejmij mniejszą: =8262. Zróbmy to samo z otrzymaną liczbą: 86=6354. I jeszcze jeden podobny krok: 65 = 3087. Następnie = 8352, = 6174. Nie jesteś zmęczony odejmowaniem? Zróbmy jeszcze jeden krok: =6174. Ponownie okazało się, że jest to 6174.
Teraz jesteśmy, jak mówią programiści, „w pętli”: niezależnie od tego, ile razy teraz odejmiemy, nie otrzymamy niczego innego niż 6174. Może faktem jest, że tak został wybrany pierwotny numer 2519? Okazuje się, że nie ma to z tym nic wspólnego: niezależnie od tego, jaką czterocyfrową liczbę wybierzemy, po nie więcej niż siedmiu krokach na pewno otrzymamy tę samą liczbę 6174.
3) . Narysujmy kilka okręgów o wspólnym środku i napiszmy dowolne cztery liczby naturalne na wewnętrznym okręgu. Dla każdej pary sąsiednich liczb odejmij mniejszą od większej i zapisz wynik w następnym kółku. Okazuje się, że jeśli powtórzysz to wystarczająco dużo razy, w jednym z okręgów wszystkie liczby będą równe zero, a zatem nadal będziesz otrzymywać same zera. Rysunek pokazuje to w przypadku, gdy liczby 25, 17, 55, 47 są zapisane na wewnętrznym okręgu.
4) . Weźmy dowolną liczbę (nawet tysiąccyfrową) zapisaną w systemie dziesiętnym. Podnieśmy wszystkie liczby do kwadratu i dodajmy je. Zróbmy to samo z kwotą. Okazuje się, że po kilku krokach otrzymujemy albo liczbę 1, po której nie będzie już innych liczb, albo 4, po której mamy liczby 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 i znowu zdobądź 4. Oznacza to, że tutaj również nie ma możliwości uniknięcia cyklu.
5. Stwórzmy taki nieskończony stół. W pierwszej kolumnie napiszemy liczby 4, 7, 10, 13, 16,… (każda kolejna jest o 3 większa od poprzedniej). Od liczby 4 rysujemy linię w prawo, zwiększając liczby o 3 w każdym kroku. Od liczby 7 rysujemy linię, zwiększając liczby o 5, od liczby 10 - o 7 itd. Poniższa tabela przedstawia. uzyskany:
Jeśli weźmiesz dowolną liczbę z tej tabeli, pomnożysz ją przez 2 i dodasz do iloczynu 1, zawsze otrzymasz liczbę złożoną. Jeśli zrobimy to samo z liczbą nieuwzględnioną w tej tabeli, otrzymamy liczbę pierwszą. Weźmy na przykład liczbę 45 z tabeli. Liczba 2*45+1=91 jest złożona, równa się 7*13. Ale liczby 14 nie ma w tabeli, a liczba 2*14+1=29 jest liczbą pierwszą.
Ten wspaniały sposób na odróżnienie liczb pierwszych od liczb złożonych został wynaleziony w 1934 roku przez indyjskiego studenta Sundarama. Obserwacje liczb ujawniają inne niezwykłe stwierdzenia. Właściwości świata liczb są naprawdę niewyczerpane.
Sztuczki liczbowe.
https://pandia.ru/text/79/542/images/image022_2.jpg" szerokość="226" wysokość="71">
W końcu, jeśli obok trzycyfrowej liczby ponownie napiszesz tę samą liczbę, wówczas pierwotna liczba zostanie pomnożona przez 1001 (na przykład 289 289= 289https://pandia.ru/text/79/542/images/ image024_3.jpg" szerokość="304" wysokość="74">
Liczby czterocyfrowe powtarza się raz i dzieli przez 73 137. Rozwiązanie jest równe
https://pandia.ru/text/79/542/images/image026_6.jpg" szerokość="615" wysokość="40 src=">
Zwróć uwagę, że kostki liczb 0, 1, 4, 5, 6 i 9 kończą się tą samą liczbą (na przykład https://pandia.ru/text/79/542/images/image028_4.jpg" szerokość="24 " wysokość= "24 src=">.jpg" szerokość="389" wysokość="33">
Ponadto należy pamiętać o poniższej tabeli pokazującej, gdzie zaczynają się piąte potęgi następujących liczb:
https://pandia.ru/text/79/542/images/image032_2.jpg" szerokość="200 wysokość=28" wysokość="28">Oznacza to, że do liczby pięciocyfrowej należy dodać cyfrę 3 pierwotnie napisano na tablicy z przodu i odejmij 3 od uzyskanej liczby.
Aby uniemożliwić widzom odgadnięcie sztuczki, możesz zmniejszyć pierwszą cyfrę dowolnej liczby o kilka jednostek i w sumie zmniejszyć odpowiadającą jej cyfrę o tę samą liczbę jednostek. Na przykład na rysunku pierwsza cyfra trzeciego członu jest zmniejszona o 2, a odpowiadająca cyfra sumy o tę samą kwotę.
Wniosek.
Po zebraniu i podsumowaniu materiału na temat liczb pierwszych i złożonych doszedłem do następującego wniosku:
1. Nauka o liczbach sięga czasów starożytnych i ma bogatą historię.
2. Rola liczb pierwszych w matematyce jest wielka: są to elementy, z których budowane są wszystkie inne liczby za pomocą mnożenia.
3. Liczby naturalne mają wiele interesujących właściwości. Właściwości świata liczb są naprawdę niewyczerpane.
4. Przygotowany przeze mnie materiał można bezpiecznie wykorzystać na lekcjach matematyki i zajęciach koła matematycznego. Ten materiał pomoże Ci głębiej przygotować się do różnego rodzaju olimpiad.