Rozwiązywanie ułamkowych równań wymiernych. 8. Równania wymierne. Siedem typów równań wymiernych, które sprowadzają się do równań kwadratowych
Przeczytaj także
Równania ułamkowe. OZ.
Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)
Nadal doskonalimy równania. Wiemy już, jak pracować z równaniami liniowymi i kwadratowymi. Pozostał ostatni widok - równania ułamkowe. Lub nazywa się je również znacznie bardziej szanowanie - ułamkowe równania wymierne. To jest to samo.
Równania ułamkowe.
Jak sama nazwa wskazuje, równania te koniecznie zawierają ułamki. Ale nie tylko ułamki, ale ułamki, które je mają nieznane w mianowniku. Przynajmniej w jednym. Na przykład:
Przypomnę, że jeśli mianowniki to tylko liczby, są to równania liniowe.
Jak zdecydować równania ułamkowe? Przede wszystkim pozbądź się ułamków! Następnie równanie najczęściej zmienia się w liniowe lub kwadratowe. I wtedy wiemy, co robić... W niektórych przypadkach może to przekształcić się w tożsamość, np. 5=5, lub nieprawidłowe wyrażenie, np. 7=2. Ale to rzadko się zdarza. Wspomnę o tym poniżej.
Ale jak pozbyć się ułamków!? Bardzo prosta. Stosowanie tych samych identycznych przekształceń.
Musimy pomnożyć całe równanie przez to samo wyrażenie. Aby wszystkie mianowniki zostały zmniejszone! Wszystko od razu stanie się łatwiejsze. Wyjaśnię to na przykładzie. Musimy rozwiązać równanie:
Jak cię uczono w szkole podstawowej? Przesuwamy wszystko na jedną stronę, sprowadzamy do wspólnego mianownika itp. Zapomnij o tym jak o złym śnie! To właśnie musisz zrobić, dodając lub odejmując ułamki zwykłe. Albo pracujesz z nierównościami. A w równaniach natychmiast mnożymy obie strony przez wyrażenie, które da nam możliwość zredukowania wszystkich mianowników (tj. w istocie przez wspólny mianownik). A co to za wyrażenie?
Po lewej stronie zmniejszenie mianownika wymaga pomnożenia przez x+2. A po prawej stronie wymagane jest pomnożenie przez 2. Oznacza to, że równanie należy pomnożyć przez 2(x+2). Zwielokrotniać:
Jest to powszechne mnożenie ułamków zwykłych, ale opiszę je szczegółowo:
Pamiętaj, że jeszcze nie otwieram wspornika (x + 2)! Zatem w całości napiszę:
Po lewej stronie całkowicie się kurczy (x+2), a po prawej 2. To było to, czego potrzebowaliśmy! Po redukcji otrzymujemy liniowy równanie:
I każdy może rozwiązać to równanie! x = 2.
Rozwiążmy inny przykład, trochę bardziej skomplikowany:
Jeśli pamiętamy, że 3 = 3/1 i 2x = 2x/ 1, możemy zapisać:
I znowu pozbywamy się tego, czego tak naprawdę nie lubimy - ułamków.
Widzimy, że aby zmniejszyć mianownik przez X, musimy pomnożyć ułamek przez (x – 2). A kilka nie jest dla nas przeszkodą. Cóż, pomnóżmy. Wszystko lewa strona i Wszystko prawa strona:
Znowu nawiasy (x – 2) Nie ujawniam. Pracuję ze wspornikiem jako całością, jakby był jedną liczbą! Należy to zawsze robić, w przeciwnym razie nic nie zostanie zmniejszone.
Z poczuciem głębokiej satysfakcji redukujemy (x – 2) i otrzymujemy równanie bez ułamków, za pomocą linijki!
Teraz otwórzmy nawiasy:
Przynosimy podobne, przesuwamy wszystko na lewą stronę i otrzymujemy:
Ale wcześniej nauczymy się rozwiązywać inne problemy. Na odsetkach. Swoją drogą, to grabie!
Jeśli podoba Ci się ta strona...
Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)
Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)
Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
„Rozwiązywanie ułamkowych równań wymiernych”
Cele Lekcji:
Edukacyjny:
- tworzenie koncepcji ułamkowych równań wymiernych; rozważyć różne sposoby rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych; rozważyć algorytm rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych, uwzględniający warunek, że ułamek jest równy zero; uczyć rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych za pomocą algorytmu; sprawdzenie poziomu opanowania tematu poprzez wykonanie testu.
Rozwojowy:
- rozwój umiejętności prawidłowego operowania nabytą wiedzą i logicznego myślenia; rozwój umiejętności intelektualnych i operacji umysłowych - analiza, synteza, porównanie i uogólnienie; rozwój inicjatywy, umiejętność podejmowania decyzji i nie poprzestawania na tym; rozwój krytycznego myślenia; rozwój umiejętności badawczych.
Edukacja:
- rozwijanie zainteresowania poznawczego tematem; wspieranie samodzielności w rozwiązywaniu problemów wychowawczych; pielęgnowanie woli i wytrwałości w osiąganiu końcowych rezultatów.
Typ lekcji: lekcja - objaśnienie nowego materiału.
Podczas zajęć
1. Moment organizacyjny.
Cześć chłopaki! Na tablicy zapisane są równania, przyjrzyj się im uważnie. Czy potrafisz rozwiązać wszystkie te równania? Które z nich nie są i dlaczego?
Równania, w których lewa i prawa strona są ułamkowymi wyrażeniami wymiernymi, nazywane są ułamkowymi równaniami wymiernymi. Jak myślisz, czego będziemy się dzisiaj uczyć na zajęciach? Sformułuj temat lekcji. Otwórz więc swoje zeszyty i zapisz temat lekcji „Rozwiązywanie ułamkowych równań wymiernych”.
2. Aktualizowanie wiedzy. Ankieta czołowa, praca ustna z klasą.
A teraz powtórzymy główny materiał teoretyczny, który będzie nam potrzebny do przestudiowania nowego tematu. Proszę odpowiedzieć na następujące pytania:
1. Co to jest równanie? ( Równość ze zmienną lub zmiennymi.)
2. Jak nazywa się równanie nr 1? ( Liniowy.) Metoda rozwiązywania równań liniowych. ( Przesuń wszystko z niewiadomą na lewą stronę równania, wszystkie liczby na prawą. Podaj podobne określenia. Znajdź nieznany czynnik).
3. Jak nazywa się równanie nr 3? ( Kwadrat.) Metody rozwiązywania równań kwadratowych. ( Wyodrębnianie pełnego kwadratu za pomocą wzorów wykorzystujących twierdzenie Viety i jego wnioski.)
4. Czym jest proporcja? ( Równość dwóch stosunków.) Główna właściwość proporcji. ( Jeśli proporcja jest prawidłowa, to iloczyn jej skrajnych wyrazów jest równy iloczynowi środkowych.)
5. Jakie właściwości wykorzystuje się przy rozwiązywaniu równań? ( 1. Jeśli przeniesiemy wyraz w równaniu z jednej części do drugiej, zmieniając jego znak, otrzymamy równanie równoważne podanemu. 2. Jeżeli obie strony równania pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę niezerową, otrzymamy równanie równoważne podanemu.)
6. Kiedy ułamek jest równy zero? ( Ułamek jest równy zero, gdy licznik wynosi zero, a mianownik nie jest zerem..)
3. Wyjaśnienie nowego materiału.
Rozwiąż równanie nr 2 w zeszytach i na tablicy.
Odpowiedź: 10.
Jakie ułamkowe równanie wymierne możesz spróbować rozwiązać, korzystając z podstawowej właściwości proporcji? (Nr 5).
(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)
x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6
x2-6x-x2-5x = 6-8
Rozwiąż równanie nr 4 w zeszytach i na tablicy.
Odpowiedź: 1,5.
Jakie ułamkowe równanie wymierne możesz spróbować rozwiązać, mnożąc obie strony równania przez mianownik? (Numer 6).
D=1›0, x1=3, x2=4.
Odpowiedź: 3;4.
Teraz spróbuj rozwiązać równanie nr 7, korzystając z jednej z poniższych metod.
(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5) |
|
||
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0 | |||
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0 | x2-2x-5-x-5=0 |
||
x(x-5)(x2-3x-10)=0 | |||
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0 | |||
x1=0 x2=5 D=49 | |||
Odpowiedź: 0;5;-2. | Odpowiedź: 5;-2. |
Wyjaśnij, dlaczego tak się stało? Dlaczego w jednym przypadku są trzy pierwiastki, a w drugim dwa? Jakie liczby są pierwiastkami tego ułamkowego równania wymiernego?
Do tej pory uczniowie nie zetknęli się z koncepcją obcego pierwiastka; rzeczywiście bardzo trudno jest im zrozumieć, dlaczego tak się stało. Jeśli nikt w klasie nie potrafi jasno wyjaśnić tej sytuacji, nauczyciel zadaje pytania naprowadzające.
- Czym równania nr 2 i 4 różnią się od równań nr 5,6,7? ( W równaniach nr 2 i 4 w mianowniku znajdują się liczby, nr 5-7 to wyrażenia ze zmienną.) Jaki jest pierwiastek równania? ( Wartość zmiennej, przy której równanie staje się prawdziwe.) Jak sprawdzić, czy liczba jest pierwiastkiem równania? ( Sprawdź.)
Podczas testowania niektórzy uczniowie zauważają, że muszą podzielić przez zero. Doszli do wniosku, że liczby 0 i 5 nie są pierwiastkami tego równania. Powstaje pytanie: czy istnieje sposób rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych, który pozwala wyeliminować ten błąd? Tak, ta metoda opiera się na warunku, że ułamek jest równy zero.
x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.
Jeśli x=5, to x(x-5)=0, co oznacza, że 5 jest obcym pierwiastkiem.
Jeśli x=-2, to x(x-5)≠0.
Odpowiedź: -2.
Spróbujmy w ten sposób sformułować algorytm rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych. Dzieci same formułują algorytm.
Algorytm rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych:
1. Przesuń wszystko na lewą stronę.
2. Sprowadź ułamki do wspólnego mianownika.
3. Utwórz układ: ułamek jest równy zero, gdy licznik jest równy zero, a mianownik nie jest równy zero.
4. Rozwiąż równanie.
5. Sprawdź nierówność, aby wykluczyć obce pierwiastki.
6. Zapisz odpowiedź.
Dyskusja: jak sformalizować rozwiązanie korzystając z podstawowej własności proporcji i mnożąc obie strony równania przez wspólny mianownik. (Dodaj do rozwiązania: wyłącz z pierwiastków te, które powodują zanik wspólnego mianownika).
4. Wstępne zrozumienie nowego materiału.
Pracujcie w parach. Uczniowie wybierają sposób samodzielnego rozwiązania równania w zależności od rodzaju równania. Zadania z podręcznika „Algebra 8”, 2007: nr 000 (b, c, i); Nr 000(a, d, g). Nauczyciel monitoruje realizację zadania, odpowiada na pojawiające się pytania i pomaga uczniom osiągającym słabe wyniki. Autotest: odpowiedzi zapisuje się na tablicy.
b) 2 – pierwiastek obcy. Odpowiedź: 3.
c) 2 – pierwiastek obcy. Odpowiedź: 1,5.
a) Odpowiedź: -12,5.
g) Odpowiedź: 1;1.5.
5. Zadawanie zadań domowych.
2. Poznaj algorytm rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych.
3. Rozwiąż w zeszytach nr 000 (a, d, e); Nr 000(g, h).
4. Spróbuj rozwiązać nr 000(a) (opcjonalnie).
6. Wykonanie zadania kontrolnego z badanego tematu.
Praca odbywa się na kartkach papieru.
Przykładowe zadanie:
A) Które z równań jest ułamkowo wymierne?
B) Ułamek jest równy zero, gdy licznik wynosi ______________________, a mianownik wynosi _______________________.
P) Czy liczba -3 jest pierwiastkiem równania nr 6?
D) Rozwiąż równanie nr 7.
Kryteria oceny zadania:
- „5” przyznawane jest, jeśli uczeń wykonał poprawnie ponad 90% zadania. „4” – 75%-89% „3” – 50%-74% „2” otrzymuje uczeń, który wykonał mniej niż 50% zadania. Ocena 2 nie jest podawana w czasopiśmie, ocena 3 jest opcjonalna.
7. Refleksja.
Na niezależnych kartach pracy napisz:
- 1 – czy lekcja była dla Ciebie interesująca i zrozumiała; 2 – ciekawe, ale niejasne; 3 – nieciekawe, ale zrozumiałe; 4 – nieciekawe, niejasne.
8. Podsumowanie lekcji.
Tak więc dzisiaj na lekcji zapoznaliśmy się z ułamkowymi równaniami wymiernymi, nauczyliśmy się rozwiązywać te równania na różne sposoby i sprawdziliśmy naszą wiedzę za pomocą niezależnej pracy edukacyjnej. Efekty samodzielnej pracy poznasz na następnej lekcji, a w domu będziesz miał okazję utrwalić swoją wiedzę.
Która metoda rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych jest Twoim zdaniem łatwiejsza, bardziej dostępna i bardziej racjonalna? Niezależnie od metody rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych, o czym należy pamiętać? Na czym polega „przebiegłość” ułamkowych równań wymiernych?
Dziękuję wszystkim, lekcja się skończyła.
Powyższe równanie wprowadziliśmy w § 7. Na początek przypomnijmy sobie, czym jest wyrażenie wymierne. Jest to wyrażenie algebraiczne składające się z liczb i zmiennej x, wykorzystujące operacje dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i potęgowania z wykładnikiem naturalnym.
Jeżeli r(x) jest wyrażeniem wymiernym, to równanie r(x) = 0 nazywa się równaniem wymiernym.
W praktyce jednak wygodniej jest zastosować nieco szerszą interpretację pojęcia „równanie racjonalne”: jest to równanie w postaci h(x) = q(x), gdzie h(x) i q(x) są racjonalne wyrażenia.
Do tej pory nie potrafiliśmy rozwiązać żadnego równania wymiernego, a jedynie takie, które w wyniku różnych przekształceń i rozumowań zostało sprowadzone do postaci równanie liniowe. Teraz nasze możliwości są znacznie większe: będziemy w stanie rozwiązać równanie wymierne, które sprowadza się nie tylko do liniowego
mu, ale także do równania kwadratowego.
Przypomnijmy sobie, jak już wcześniej rozwiązywaliśmy równania wymierne i spróbujmy sformułować algorytm rozwiązania.
Przykład 1. Rozwiązać równanie
Rozwiązanie. Przepiszmy równanie w postaci
W tym przypadku jak zwykle wykorzystujemy fakt, że równości A = B i A - B = 0 wyrażają tę samą zależność pomiędzy A i B. Pozwoliło nam to przesunąć wyraz na lewą stronę równania z przeciwny znak.
Przekształćmy lewą stronę równania. Mamy
Przypomnijmy warunki równości ułamki zero: wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie spełnione są dwie relacje:
1) licznik ułamka wynosi zero (a = 0); 2) mianownik ułamka jest różny od zera).
Przyrównując licznik ułamka po lewej stronie równania (1) do zera, otrzymujemy
Pozostaje sprawdzić spełnienie drugiego warunku wskazanego powyżej. Zależność oznacza dla równania (1), że . Wartości x 1 = 2 i x 2 = 0,6 spełniają wskazane zależności i dlatego służą jako pierwiastki równania (1), a jednocześnie pierwiastki danego równania.
1) Przekształćmy równanie do postaci
2) Przekształćmy lewą stronę tego równania:
(jednocześnie zmieniłem znaki w liczniku i
ułamki).
Zatem podane równanie przyjmuje postać
3) Rozwiąż równanie x 2 - 6x + 8 = 0. Znajdź
4) Dla znalezionych wartości sprawdź spełnienie warunku 
. Liczba 4 spełnia ten warunek, ale liczba 2 nie. Oznacza to, że 4 jest pierwiastkiem danego równania, a 2 jest pierwiastkiem obcym.
ODPOWIEDŹ: 4.
2. Rozwiązywanie równań wymiernych poprzez wprowadzenie nowej zmiennej
Sposób wprowadzania nowej zmiennej jest Ci znany; korzystaliśmy z niego więcej niż raz. Pokażmy na przykładach, jak można go wykorzystać w rozwiązywaniu równań wymiernych.
Przykład 3. Rozwiąż równanie x 4 + x 2 - 20 = 0.
Rozwiązanie. Wprowadźmy nową zmienną y = x 2 . Ponieważ x 4 = (x 2) 2 = y 2, wówczas dane równanie można przepisać jako
y 2 + y - 20 = 0.
Jest to równanie kwadratowe, którego pierwiastki można znaleźć, korzystając ze znanych formuły; otrzymujemy y 1 = 4, y 2 = - 5.
Ale y = x 2, co oznacza, że problem został zredukowany do rozwiązania dwóch równań:
x2 =4; x 2 = -5.
Z pierwszego równania dowiadujemy się, że drugie równanie nie ma pierwiastków.
Odpowiedź: .
Równanie w postaci ax 4 + bx 2 +c = 0 nazywane jest równaniem dwukwadratowym („bi” to dwa, czyli rodzaj równania „podwójnego kwadratowego”). Równanie właśnie rozwiązane było dokładnie dwukwadratowe. Każde równanie dwukwadratowe rozwiązuje się w taki sam sposób, jak równanie z Przykładu 3: wprowadzamy nową zmienną y = x 2, rozwiązujemy powstałe równanie kwadratowe ze względu na zmienną y, a następnie wracamy do zmiennej x.
Przykład 4. Rozwiązać równanie
Rozwiązanie. Zauważ, że to samo wyrażenie x 2 + 3x pojawia się tutaj dwukrotnie. Oznacza to, że sensowne jest wprowadzenie nowej zmiennej y = x 2 + 3x. Pozwoli nam to przepisać równanie na prostszą i przyjemniejszą formę (co zresztą ma na celu wprowadzenie nowego zmienny- i uproszczenie nagrywania
staje się jaśniejsza i struktura równania staje się jaśniejsza):
Skorzystajmy teraz z algorytmu rozwiązywania równania wymiernego.
1) Przenieśmy wszystkie wyrazy równania do jednej części:
= 0
2) Przekształć lewą stronę równania
Zatem przekształciliśmy podane równanie do postaci
3) Z równania - 7y 2 + 29y -4 = 0 znajdujemy (ty i ja rozwiązaliśmy już sporo równań kwadratowych, więc chyba nie warto zawsze podawać szczegółowych obliczeń w podręczniku).
4) Sprawdźmy znalezione pierwiastki korzystając z warunku 5 (y - 3) (y + 1). Obydwa korzenie spełniają ten warunek.
Zatem równanie kwadratowe dla nowej zmiennej y zostało rozwiązane: 
Ponieważ y = x 2 + 3x, a y, jak ustaliliśmy, przyjmuje dwie wartości: 4 i , musimy jeszcze rozwiązać dwa równania: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Pierwiastkami pierwszego równania są liczby 1 i - 4, pierwiastkami drugiego równania są liczby
W rozpatrywanych przykładach sposób wprowadzenia nowej zmiennej był, jak lubią mawiać matematycy, adekwatny do sytuacji, czyli dobrze jej odpowiadał. Dlaczego? Tak, ponieważ to samo wyrażenie wyraźnie pojawiło się w równaniu kilka razy i nie bez powodu oznaczono to wyrażenie nową literą. Ale nie zawsze tak się dzieje; czasami nowa zmienna „pojawia się” dopiero w procesie transformacji. Dokładnie to samo stanie się w następnym przykładzie.
Przykład 5. Rozwiązać równanie
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Rozwiązanie. Mamy
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.
Oznacza to, że dane równanie można zapisać w postaci
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Teraz „pojawiła się” nowa zmienna: y = x 2 - 3x.
Za jego pomocą równanie można przepisać w postaci y (y + 2) = 24, a następnie y 2 + 2y - 24 = 0. Pierwiastkami tego równania są liczby 4 i -6.
Wracając do pierwotnej zmiennej x, otrzymujemy dwa równania x 2 - 3x = 4 i x 2 - 3x = - 6. Z pierwszego równania znajdujemy x 1 = 4, x 2 = - 1; drugie równanie nie ma pierwiastków.
ODPOWIEDŹ: 4, - 1.
Rozwiązywanie równań z ułamkami Spójrzmy na przykłady. Przykłady są proste i ilustracyjne. Z ich pomocą będziesz w stanie zrozumieć w najbardziej zrozumiały sposób.
Na przykład musisz rozwiązać proste równanie x/b + c = d.
Równanie tego typu nazywa się liniowym, ponieważ W mianowniku znajdują się tylko liczby.
Rozwiązanie polega na pomnożeniu obu stron równania przez b, wówczas równanie przyjmuje postać x = b*(d – c), tj. mianownik ułamka po lewej stronie się znosi.
Na przykład, jak rozwiązać równanie ułamkowe:
x/5+4=9
Mnożymy obie strony przez 5. Otrzymujemy:
x+20=45
x=45-20=25
Inny przykład, gdy niewiadoma jest w mianowniku:
Równania tego typu nazywane są ułamkowo-wymiernymi lub po prostu ułamkowymi.
Rozwiązalibyśmy równanie ułamkowe, pozbywając się ułamków, po czym równanie to najczęściej zamienia się w równanie liniowe lub kwadratowe, które rozwiązuje się w zwykły sposób. Musisz tylko wziąć pod uwagę następujące punkty:
- wartość zmiennej zamieniającej mianownik na 0 nie może być pierwiastkiem;
- Nie można dzielić ani mnożyć równania przez wyrażenie =0.
Tutaj zaczyna obowiązywać koncepcja obszaru wartości dopuszczalnych (ADV) - są to wartości pierwiastków równania, dla których równanie ma sens.
Dlatego przy rozwiązywaniu równania należy znaleźć pierwiastki, a następnie sprawdzić je pod kątem zgodności z ODZ. Te korzenie, które nie odpowiadają naszemu ODZ, są wyłączone z odpowiedzi.
Na przykład musisz rozwiązać równanie ułamkowe:
W oparciu o powyższą regułę x nie może wynosić = 0, tj. ODZ w tym przypadku: x – dowolna wartość różna od zera.
Pozbywamy się mianownika, mnożąc wszystkie wyrazy równania przez x
I rozwiązujemy zwykłe równanie
5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3
Odpowiedź: x = 1/3
Rozwiążmy bardziej skomplikowane równanie:
ODZ jest również obecny tutaj: x -2.
Rozwiązując to równanie, nie przesuniemy wszystkiego na jedną stronę i sprowadzimy ułamki do wspólnego mianownika. Natychmiast pomnożymy obie strony równania przez wyrażenie, które usunie wszystkie mianowniki na raz.
Aby zmniejszyć mianowniki należy pomnożyć lewą stronę przez x+2, a prawą stronę przez 2. Oznacza to, że obie strony równania należy pomnożyć przez 2(x+2):
Jest to najczęstsze mnożenie ułamków, które omówiliśmy już powyżej.
Zapiszmy to samo równanie, ale nieco inaczej
Lewą stronę zmniejsza się o (x+2), a prawą o 2. Po redukcji otrzymujemy zwykłe równanie liniowe:
x = 4 – 2 = 2, co odpowiada naszemu ODZ
Odpowiedź: x = 2.
Rozwiązywanie równań z ułamkami nie tak trudne, jak mogłoby się wydawać. W tym artykule pokazaliśmy to na przykładach. Jeśli masz jakiekolwiek trudności z jak rozwiązywać równania z ułamkami, a następnie zrezygnuj z subskrypcji w komentarzach.
Prezentacja i lekcja na temat: „Równania wymierne. Algorytm i przykłady rozwiązywania równań wymiernych”
Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń! Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.
Pomoce edukacyjne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 8
Podręcznik do podręcznika Makaryczowa Yu.N. Podręcznik do podręcznika Mordkovich A.G.
Wprowadzenie do równań niewymiernych
Chłopaki, nauczyliśmy się rozwiązywać równania kwadratowe. Ale matematyka nie ogranicza się tylko do nich. Dziś nauczymy się rozwiązywać równania wymierne. Pojęcie równań wymiernych jest pod wieloma względami podobne do pojęcia liczb wymiernych. Tylko oprócz liczb wprowadziliśmy teraz zmienną $x$. I tak otrzymujemy wyrażenie, w którym występują operacje dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i podnoszenia do potęgi całkowitej.Niech $r(x)$ będzie racjonalna ekspresja. Takim wyrażeniem może być prosty wielomian w zmiennej $x$ lub stosunek wielomianów (wprowadza się operację dzielenia, jak dla liczb wymiernych).
Nazywa się równanie $r(x)=0$ racjonalne równanie.
Każde równanie w postaci $p(x)=q(x)$, gdzie $p(x)$ i $q(x)$ są wyrażeniami wymiernymi, również będzie racjonalne równanie.
Spójrzmy na przykłady rozwiązywania równań wymiernych.
Przykład 1.Rozwiąż równanie: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.
Rozwiązanie.
Przesuńmy wszystkie wyrażenia na lewą stronę: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Gdyby lewa strona równania była reprezentowana przez liczby zwykłe, wówczas sprowadzilibyśmy oba ułamki do wspólnego mianownika.
Zróbmy tak: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Otrzymaliśmy równanie: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.
Ułamek jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy licznik ułamka jest równy zero, a mianownik jest różny od zera. Następnie osobno przyrównujemy licznik do zera i znajdujemy pierwiastki licznika.
3 $(x^2+2x-3)=0$ lub $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Sprawdźmy teraz mianownik ułamka: $(x-3)*x≠0$.
Iloczyn dwóch liczb jest równy zero, gdy co najmniej jedna z tych liczb jest równa zero. Następnie: $x≠0$ lub $x-3≠0$.
$x≠0$ lub $x≠3$.
Pierwiastki otrzymane w liczniku i mianowniku nie pokrywają się. Zapisujemy więc oba pierwiastki licznika w odpowiedzi.
Odpowiedź: $x=1$ lub $x=-3$.
Jeśli nagle jeden z pierwiastków licznika pokrywa się z pierwiastkiem mianownika, należy go wykluczyć. Takie korzenie nazywane są obcymi!
Algorytm rozwiązywania równań wymiernych:
1. Przesuń wszystkie wyrażenia zawarte w równaniu na lewą stronę znaku równości.2. Zamień tę część równania na ułamek algebraiczny: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Otrzymany licznik przyrównaj do zera, czyli rozwiąż równanie $p(x)=0$.
4. Przyrównaj mianownik do zera i rozwiąż powstałe równanie. Jeżeli pierwiastki mianownika pokrywają się z pierwiastkami licznika, należy je wykluczyć z odpowiedzi.
Przykład 2.
Rozwiąż równanie: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.
Rozwiązanie.
Rozwiążmy zgodnie z punktami algorytmu.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Przyrównaj licznik do zera: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Przyrównaj mianownik do zera:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ i $x=-1$.
Jeden z pierwiastków $x=1$ pokrywa się z pierwiastkiem licznika, wtedy nie wpisujemy tego w odpowiedzi.
Odpowiedź: $x=-1$.
Równania wymierne wygodnie jest rozwiązywać metodą zmiany zmiennych. Zademonstrujmy to.
Przykład 3.
Rozwiąż równanie: $x^4+12x^2-64=0$.
Rozwiązanie.
Wprowadźmy zamiennik: $t=x^2$.
Wtedy nasze równanie przyjmie postać:
$t^2+12t-64=0$ - zwykłe równanie kwadratowe.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 dolary.
Wprowadźmy odwrotne podstawienie: $x^2=4$ lub $x^2=-16$.
Pierwiastkami pierwszego równania jest para liczb $x=±2$. Po drugie, nie ma korzeni.
Odpowiedź: $x=±2$.
Przykład 4.
Rozwiąż równanie: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Rozwiązanie.
Wprowadźmy nową zmienną: $t=x^2+x+1$.
Wtedy równanie przyjmie postać: $t=\frac(15)(t+2)$.
Następnie będziemy postępować zgodnie z algorytmem.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 dolary.
4. $t≠-2$ - pierwiastki nie pokrywają się.
Wprowadźmy odwrotne podstawienie.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Rozwiążmy każde równanie osobno:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - nie korzenie.
I drugie równanie: $x^2+x-2=0$.
Pierwiastkami tego równania będą liczby $x=-2$ i $x=1$.
Odpowiedź: $x=-2$ i $x=1$.
Przykład 5.
Rozwiąż równanie: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.
Rozwiązanie.
Wprowadźmy zamiennik: $t=x+\frac(1)(x)$.
Następnie:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ lub $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Otrzymaliśmy równanie: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Pierwiastkami tego równania są pary:
$t=-3$ i $t=2$.
Wprowadźmy odwrotne podstawienie:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Zadecydujemy osobno.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Rozwiążmy drugie równanie:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Pierwiastkiem tego równania jest liczba $x=1$.
Odpowiedź: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.
Problemy do samodzielnego rozwiązania
Rozwiąż równania:1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.
2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.