Redukcja postaci kwadratowej do postaci kanonicznej online. Formy dwuliniowe i kwadratowe. Sprowadzanie postaci kwadratowej do postaci kanonicznej. Metoda Lagrange’a

220400 Algebra i geometria Tolstikov A.V.

Wykłady 16. Formy dwuliniowe i kwadratowe.

Plan

1. Postać dwuliniowa i jej własności.

2. Kwadratowy kształt. Macierz postaci kwadratowej. Transformacja współrzędnych.

3. Sprowadzenie postaci kwadratowej do postaci kanonicznej. Metoda Lagrange’a.

4. Prawo bezwładności form kwadratowych.

5. Sprowadzenie postaci kwadratowej do postaci kanonicznej metodą wartości własnych.

6. Kryterium Silversta dla dodatniej określoności formy kwadratowej.

1. Przedmiot geometrii analitycznej i algebry liniowej. M.: Nauka, 1984.

2. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej. 1997.

3. Wojewodin V.V. Algebra liniowa.. M.: Nauka 1980.

4. Zbiór problemów dla uczelni. Algebra liniowa i podstawy analizy matematycznej. wyd. Efimova A.V., Demidovich B.P.M.: Nauka, 1981.

5. Butuzov V.F., Krutitskaya N.Ch., Shishkin A.A. Algebra liniowa w pytaniach i problemach. M.: Fizmatlit, 2001.

, , , ,

1. Postać dwuliniowa i jej właściwości. Pozwalać V - N-wymiarowa przestrzeń wektorowa nad polem P.

Definicja 1.Forma dwuliniowa, zdefiniowany na V, takie mapowanie nazywa się G: V2® P, które dla każdej uporządkowanej pary ( X , y ) wektory X , y z wkładów V dopasuj liczbę z pola P, oznaczony G(X , y ) i liniowe w każdej ze zmiennych X , y , tj. posiadający właściwości:

1) ("X , y , z Î V)G(X + y , z ) = G(X , z ) + G(y , z );

2) ("X , y Î V) („a О P)G(A X , y ) = a G(X , y );

3) ("X , y , z Î V)G(X , y + z ) = G(X , y ) + G(X , z );

4) ("X , y Î V) („a О P)G(X ,A y ) = a G(X , y ).

Przykład 1. Dowolny iloczyn skalarny zdefiniowany w przestrzeni wektorowej V jest formą dwuliniową.

2 . Funkcjonować H(X , y ) = 2X 1 y 1 - X 2 y 2 +X 2 y 1 gdzie X = (X 1 ,X 2), y = (y 1 ,y 2)O R 2, włączona forma dwuliniowa R 2 .

Definicja 2. Pozwalać w = (w 1 , w 2 ,…, w N V.Macierz postaci dwuliniowejG(X , y ) w stosunku do podstawyw zwaną macierzą B=(b ij)N ´ N, którego elementy oblicza się według wzoru b ij = G(w I, w J):

Przykład 3. Macierz dwuliniowa H(X , y ) (patrz przykład 2) w stosunku do podstawy mi 1 = (1,0), mi 2 = (0,1) jest równe .

Twierdzenie 1. PozwalaćX, Y - odpowiednio kolumny współrzędnych wektorówX , y w podstawiev, B - macierz postaci dwuliniowejG(X , y ) w stosunku do podstawyw. Następnie formę dwuliniową można zapisać jako

G(X , y )=Xt BY. (1)

Dowód. Z właściwości formy dwuliniowej otrzymujemy

Przykład 3. Forma dwuliniowa H(X , y ) (patrz przykład 2) można zapisać w postaci H(X , y )=.

Twierdzenie 2. Pozwalać w = (w 1 , w 2 ,…, w N), ty = (ty 1 , ty 2 ,…, ty N) - dwie bazy kosmiczne wektoroweV, T - macierz przejścia z podstawyv do podstawyty Pozwalać B= (b ij)N ´ N I Z=(z ij)N ´ N - macierze dwulinioweG(X , y ) odpowiednio w stosunku do zasadv ity Następnie

Z=Tt BT.(2)

Dowód. Z definicji macierzy przejścia i macierzy postaci dwuliniowej znajdujemy:



Definicja 2. Forma dwuliniowa G(X , y ) jest nazywany symetryczny, Jeśli G(X , y ) = G(y , X ) dla każdego X , y Î V.

Twierdzenie 3. Forma dwuliniowaG(X , y )- symetryczny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz postaci dwuliniowej jest symetryczna względem dowolnej podstawy.

Dowód. Pozwalać w = (w 1 , w 2 ,…, w N) - baza przestrzeni wektorowej V, B= (b ij)N ´ N- macierze postaci dwuliniowej G(X , y ) w stosunku do podstawy w. Niech forma dwuliniowa G(X , y ) - symetryczny. Następnie z definicji 2 dla dowolnego ja, j = 1, 2,…, N mamy b ij = G(w I, w J) = G(w J, w I) = b ji. Następnie matryca B- symetryczny.

I odwrotnie, niech macierz B- symetryczny. Następnie Bt= B i dla dowolnych wektorów X = X 1 w 1 + …+ x rz w N =vX, y = y 1 w 1 + y 2 w 2 +…+ y n w N =vY Î V, zgodnie ze wzorem (1) otrzymujemy (uwzględniamy, że liczba jest macierzą rzędu 1 i nie zmienia się podczas transpozycji)

G(X , y ) =G(X , y )T = (Xt BY)T = YtBtX = G(y , X ).

2. Kwadratowy kształt. Macierz postaci kwadratowej. Transformacja współrzędnych.

Definicja 1.Kwadratowy kształt zdefiniowany na V, zwane mapowaniem F:V® P, co dla dowolnego wektora X z V jest określona przez równość F(X ) = G(X , X ), Gdzie G(X , y ) jest symetryczną formą dwuliniową zdefiniowaną na V .

Właściwość 1.Według zadanej formy kwadratowejF(X )postać dwuliniową można znaleźć jednoznacznie na podstawie wzoru

G(X , y ) = 1/2(F(X + y ) - F(X )-F(y )). (1)

Dowód. Dla dowolnych wektorów X , y Î V otrzymujemy z właściwości postaci dwuliniowej

F(X + y ) = G(X + y , X + y ) = G(X , X + y ) + G(y , X + y ) = G(X , X ) + G(X , y ) + G(y , X ) + G(y , y ) = F(X ) + 2G(X , y ) + F(y ).

Z tego wynika wzór (1). 

Definicja 2.Macierz postaci kwadratowejF(X ) w stosunku do podstawyw = (w 1 , w 2 ,…, w N) jest macierzą odpowiedniej symetrycznej postaci dwuliniowej G(X , y ) w stosunku do podstawy w.

Twierdzenie 1. PozwalaćX= (X 1 ,X 2 ,…, x rz)T- kolumna współrzędnych wektoraX w podstawiev, B - macierz postaci kwadratowejF(X ) w stosunku do podstawyw. Następnie forma kwadratowaF(X )

Definicja 10.4.Pogląd kanoniczny postać kwadratowa (10.1) nazywana jest postacią: . (10.4)

Pokażmy, że na podstawie wektorów własnych postać kwadratowa (10.1) przyjmuje postać kanoniczną. Pozwalać

- znormalizowane wektory własne odpowiadające wartościom własnym λ 1, λ 2, λ 3 macierze (10.3) w bazie ortonormalnej. Wtedy macierzą przejścia ze starej bazy na nową będzie macierz

. W nowej podstawie macierz A przyjmie postać diagonalną (9.7) (na podstawie własności wektorów własnych). Zatem przekształcając współrzędne za pomocą wzorów:

,

w nowej bazie otrzymujemy postać kanoniczną postaci kwadratowej o współczynnikach równych wartościom własnym λ 1, λ 2, λ 3:

Uwaga 1. Z geometrycznego punktu widzenia rozważaną transformacją współrzędnych jest obrót układu współrzędnych, polegający na połączeniu starych osi współrzędnych z nowymi.

Uwaga 2. Jeśli jakiekolwiek wartości własne macierzy (10.3) pokrywają się, możemy dodać do każdej z nich wektor jednostkowy ortogonalny do odpowiednich ortonormalnych wektorów własnych i w ten sposób skonstruować bazę, w której postać kwadratowa przyjmuje postać kanoniczną.

Doprowadźmy formę kwadratową do postaci kanonicznej

X² + 5 y² + z² + 2 xy + 6xz + 2yz.

Jej macierz ma postać. W przykładzie omówionym w Wykładzie 9 znajdują się wartości własne i ortonormalne wektory własne tej macierzy:

Stwórzmy macierz przejścia do bazy z tych wektorów:

(kolejność wektorów zmienia się tak, aby tworzyły prawoskrętną trójkę). Przekształćmy współrzędne korzystając ze wzorów:

.

Zatem forma kwadratowa jest zredukowana do postaci kanonicznej ze współczynnikami równymi wartościom własnym macierzy postaci kwadratowej.

Wykład 11.

Krzywe drugiego rzędu. Elipsa, hiperbola i parabola, ich własności i równania kanoniczne. Sprowadzenie równania drugiego rzędu do postaci kanonicznej.

Definicja 11.1.Krzywe drugiego rzędu na płaszczyźnie nazywane są liniami przecięcia okrągłego stożka z płaszczyznami, które nie przechodzą przez jego wierzchołek.

Jeśli taka płaszczyzna przecina wszystkie tworzące jednej wnęki stożka, to w przekroju okazuje się elipsa, na przecięciu tworzących obu wnęk – hiperbola, a jeśli płaszczyzna cięcia jest równoległa do dowolnej tworzącej, to przekrój stożka jest parabola.

Komentarz. Wszystkie krzywe drugiego rzędu są określone równaniami drugiego stopnia w dwóch zmiennych.

Elipsa.

Definicja 11.2.Elipsa to zbiór punktów na płaszczyźnie, dla których wynosi suma odległości do dwóch stałych punktów F 1 i F wydziwianie, jest wartością stałą.

Komentarz. Kiedy punkty się pokrywają F 1 i F 2 elipsa zamienia się w okrąg.

Wyprowadźmy równanie elipsy, wybierając układ kartezjański

yM(x,y) współrzędne tak, aby oś Oh pokrywała się z linią prostą F 1 F 2, początek

współrzędne r 1 r 2 – ze środkiem odcinka F 1 F 2. Niech długość tego

odcinek jest równy 2 Z, następnie w wybranym układzie współrzędnych

F 1 O F 2 x F 1 (-C, 0), F 2 (C, 0). Niech chodzi M(x, y) leży na elipsie, i

suma odległości od niego do F 1 i F 2 równa się 2 A.

Następnie R 1 + R 2 = 2A, Ale ,

dlatego wprowadzam oznaczenie B² = A²- C² i po przeprowadzeniu prostych przekształceń algebraicznych otrzymujemy kanoniczne równanie elipsy: (11.1)

Definicja 11.3.Ekscentryczność elipsy nazywa się wielkością e=s/a (11.2)

Definicja 11.4.Dyrektorka szkoły D ja elipsa odpowiadająca ognisku Fi Fi względem osi Jednostka organizacyjna prostopadle do osi Oh na odległość a/e od pochodzenia.

Komentarz. Przy innym wyborze układu współrzędnych elipsę można określić nie równaniem kanonicznym (11.1), ale równaniem drugiego stopnia innego typu.

Właściwości elipsy:

1) Elipsa ma dwie wzajemnie prostopadłe osie symetrii (główne osie elipsy) i środek symetrii (środek elipsy). Jeśli elipsę wyznacza równanie kanoniczne, to jej główne osie są osiami współrzędnych, a jej środek jest początkiem. Ponieważ długości odcinków utworzonych przez przecięcie elipsy z głównymi osiami są równe 2 A i 2 B (2A>2B), wówczas główna oś przechodząca przez ogniska nazywana jest dużą osią elipsy, a druga główna oś nazywana jest osią mniejszą.

2) Cała elipsa mieści się w prostokącie

3) Ekscentryczność elipsy mi< 1.

Naprawdę,

4) Kierownice elipsy znajdują się na zewnątrz elipsy (ponieważ odległość od środka elipsy do kierownicy wynosi a/e, A mi<1, следовательно, a/e>a, a cała elipsa leży w prostokącie)

5) Stosunek odległości r ja od punktu elipsy do ostrości Fi na odległość ja od tego punktu do kierownicy odpowiadającej ognisku jest równe mimośrodowi elipsy.

Dowód.

Odległości od punktu M(x, y) aż do ognisk elipsy można przedstawić w następujący sposób:

Utwórzmy równania kierownicy:

(D 1), (D 2). Następnie Stąd r ja / re ja = mi, co należało udowodnić.

Hiperbola.

Definicja 11.5.Hiperbola to zbiór punktów na płaszczyźnie, dla których wynosi moduł różnicy odległości do dwóch stałych punktów F 1 i F 2 tego samolotu, tzw wydziwianie, jest wartością stałą.

Wyprowadźmy równanie kanoniczne hiperboli przez analogię do wyprowadzenia równania elipsy, stosując tę ​​samą notację.

|r 1 - r 2 | = 2A, skąd Jeśli oznaczamy B² = C² - A², stąd można dostać

- równanie kanoniczne hiperboli. (11.3)

Definicja 11.6.Ekscentryczność hiperbola nazywana jest ilością e = c/a.

Definicja 11.7.Dyrektorka szkoły D ja hiperbola odpowiadająca ognisku Fi, nazywa się linią prostą znajdującą się w tej samej półpłaszczyźnie z Fi względem osi Jednostka organizacyjna prostopadle do osi Oh na odległość a/e od pochodzenia.

Właściwości hiperboli:

1) Hiperbola ma dwie osie symetrii (główne osie hiperboli) i środek symetrii (środek hiperboli). W tym przypadku jedna z tych osi przecina się z hiperbolą w dwóch punktach, zwanych wierzchołkami hiperboli. Nazywa się to rzeczywistą osią hiperboli (oś Oh dla kanonicznego wyboru układu współrzędnych). Druga oś nie ma punktów wspólnych z hiperbolą i nazywana jest jej osią urojoną (we współrzędnych kanonicznych - osią Jednostka organizacyjna). Po obu stronach znajdują się prawa i lewa gałąź hiperboli. Ogniska hiperboli znajdują się na jej osi rzeczywistej.

2) Gałęzie hiperboli mają dwie asymptoty określone przez równania

3) Wraz z hiperbolą (11.3) możemy rozważyć tzw. hiperbolę sprzężoną, określoną równaniem kanonicznym

dla którego oś rzeczywista i urojona są zamienione miejscami przy zachowaniu tych samych asymptot.

4) Ekscentryczność hiperboli mi> 1.

5) Stosunek odległości r ja od punktu hiperboli do skupienia Fi na odległość ja od tego punktu do kierownicy odpowiadającej ognisku jest równe mimośrodowi hiperboli.

Dowód można przeprowadzić analogicznie jak w przypadku elipsy.

Parabola.

Definicja 11.8.Parabola to zbiór punktów na płaszczyźnie, dla których wynosi odległość do jakiegoś stałego punktu F płaszczyzna ta jest równa odległości do jakiejś ustalonej linii prostej. Kropka F zwany centrum parabole, a linia prosta jest jej dyrektorka szkoły.

Aby wyprowadzić równanie paraboli, wybieramy równanie kartezjańskie

układ współrzędnych tak, aby jego początek znajdował się w środku

D M(x,y) prostopadle FD, pominięto w centrum zainteresowania dyrektywy

r su, a osie współrzędnych były równoległe i

prostopadle do reżysera. Niech długość odcinka FD

D O F x jest równe R. Następnie z równości r = re wynika z tego

ponieważ

Stosując przekształcenia algebraiczne równanie to można sprowadzić do postaci: y² = 2 pikseli, (11.4)

zwany kanoniczne równanie paraboli. Ogrom R zwany parametr parabole.

Właściwości paraboli:

1) Parabola ma oś symetrii (oś paraboli). Punkt, w którym parabola przecina oś, nazywa się wierzchołkiem paraboli. Jeśli parabola jest dana równaniem kanonicznym, to jej oś jest osią Oh, a wierzchołek jest początkiem współrzędnych.

2) Cała parabola leży w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny Ooch.

Komentarz. Korzystając z właściwości kierownic elipsy i hiperboli oraz definicji paraboli, możemy udowodnić następujące twierdzenie:

Zbiór punktów na płaszczyźnie, dla których zachodzi relacja mi odległość do jakiegoś stałego punktu do odległości do jakiejś prostej jest wartością stałą, jest elipsą (z mi<1), гиперболу (при mi>1) lub parabola (z mi=1).

Powiązana informacja.

Redukcja form kwadratowych

Rozważmy najprostszą i najczęściej stosowaną w praktyce metodę redukcji postaci kwadratowej do postaci kanonicznej, tzw Metoda Lagrange’a. Polega na wyodrębnieniu całego kwadratu w postaci kwadratowej.

Twierdzenie 10.1(Twierdzenie Lagrange'a). Dowolna postać kwadratowa (10.1):

stosując niespecjalną transformację liniową (10.4) można sprowadzić do postaci kanonicznej (10.6):

,

□ Dowód twierdzenia przeprowadzimy w sposób konstruktywny, wykorzystując metodę Lagrange’a identyfikacji pełnych kwadratów. Zadanie polega na znalezieniu takiej macierzy nieosobliwej, aby po przekształceniu liniowym (10.4) otrzymać postać kwadratową (10.6) postaci kanonicznej. Macierz tę otrzymamy stopniowo jako iloczyn skończonej liczby macierzy specjalnego typu.

Punkt 1 (przygotowawczy).

1.1. Spośród zmiennych wybierzmy tę, która jest zawarta w postaci kwadratowej do kwadratu i jednocześnie do pierwszej potęgi (nazwijmy to zmienna wiodąca). Przejdźmy do punktu 2.

1.2. Jeżeli w postaci kwadratowej nie ma zmiennych wiodących (dla wszystkich : ), to wybieramy parę zmiennych, których iloczyn jest zawarty w postaci o niezerowym współczynniku i przechodzimy do kroku 3.

1.3. Jeśli w formie kwadratowej nie ma iloczynów przeciwnych zmiennych, wówczas ta forma kwadratowa jest już przedstawiona w postaci kanonicznej (10.6). Dowód twierdzenia jest zakończony.

Punkt 2 (wybór całego kwadratu).

2.1. Używając zmiennej wiodącej, wybieramy cały kwadrat. Bez utraty ogólności załóżmy, że zmienną wiodącą jest . Grupując terminy zawierające , otrzymujemy

.

Wybieranie idealnego kwadratu za pomocą zmiennej in , otrzymujemy

.

Zatem w wyniku wyodrębnienia pełnego kwadratu ze zmienną otrzymujemy sumę kwadratów postaci liniowej

która obejmuje zmienną wiodącą i postać kwadratową ze zmiennych , w których zmienna wiodąca nie jest już uwzględniona. Dokonajmy zmiany zmiennych (wprowadźmy nowe zmienne)

otrzymujemy macierz

() nieosobliwa transformacja liniowa, w wyniku której postać kwadratowa (10.1) przyjmuje następującą postać

Z formą kwadratową Zróbmy to samo co w punkcie 1.

2.1. Jeśli zmienną wiodącą jest zmienna , możesz to zrobić na dwa sposoby: albo zaznaczyć cały kwadrat dla tej zmiennej, albo wykonać zmiana nazwy (przenumerowanie) zmienne:

z nieosobliwą macierzą transformacji:

.

Punkt 3 (utworzenie zmiennej wiodącej). Zastępujemy wybraną parę zmiennych sumą i różnicą dwóch nowych zmiennych, a pozostałe stare zmienne zastępujemy odpowiadającymi im nowymi zmiennymi. Jeżeli na przykład w ust. 1 termin ten został podkreślony

wówczas odpowiednia zmiana zmiennych ma postać

oraz w postaci kwadratowej (10.1) otrzymana zostanie zmienna wiodąca.

Na przykład w przypadku zmiany zmiennych:

macierz tej nieosobliwej transformacji liniowej ma postać

.

W wyniku zastosowania powyższego algorytmu (kolejne zastosowanie punktów 1, 2, 3) postać kwadratowa (10.1) zostanie sprowadzona do postaci kanonicznej (10.6).

Należy zauważyć, że w wyniku przekształceń dokonanych na postaci kwadratowej (wybranie całego kwadratu, zmiana nazwy i utworzenie zmiennej wiodącej) wykorzystaliśmy elementarne macierze nieosobliwe trzech typów (są to macierze przejścia od bazy do bazy). Wymaganą macierz nieosobliwej transformacji liniowej (10.4), w ramach której postać (10.1) ma postać kanoniczną (10.6), otrzymuje się poprzez pomnożenie skończonej liczby elementarnych nieosobliwych macierzy trzech typów. ■

Przykład 10.2. Podaj postać kwadratową

do postaci kanonicznej metodą Lagrange’a. Wskaż odpowiednią nieosobliwą transformację liniową. Wykonaj kontrolę.

Rozwiązanie. Wybierzmy zmienną wiodącą (współczynnik). Grupując terminy zawierające , i wybierając z niego cały kwadrat, otrzymujemy

gdzie wskazano

Dokonajmy zmiany zmiennych (wprowadźmy nowe zmienne)

Wyrażanie starych zmiennych w kategoriach nowych:

otrzymujemy macierz