Rozważmy najpierw przypadek, gdy ilość Na zależy tylko od jednej zmiennej X, który można znaleźć w drodze bezpośredniego pomiaru,

Średnia arytmetyczna<y> można znaleźć podstawiając w (8) Xśrednia arytmetyczna<X>.

.

Za błąd bezwzględny można uznać przyrost funkcji (8) wraz ze wzrostem argumentu ∆ X(błąd całkowity wartości mierzonej X). Dla małych wartości ∆ X jest w przybliżeniu równa różniczce funkcji

, (9)

gdzie jest pochodną funkcji obliczonej w . Błąd względny będzie równy

.

Niech ustalana jest ilość Na jest funkcją kilku zmiennych x ja,

. (10)

Zakłada się, że błędy wszystkich wielkości we wzorze roboczym są losowe, niezależne i obliczane z tym samym prawdopodobieństwem ufności (np R= 0,95). Błąd żądanej wartości będzie miał to samo prawdopodobieństwo ufności. W tym przypadku najbardziej prawdopodobna wartość wielkości<Na> określone wzorem (10), wykorzystując do obliczeń najbardziej prawdopodobne wartości wielkości X i, czyli ich średnie wartości:

<Na> = F(<X 1 >, <X 2 >, …,<X ja >, …,<X m >).

W tym przypadku błąd bezwzględny wyniku końcowego Δ Na określone przez formułę

, (11)

gdzie ∂ Na/∂X i – pochodne cząstkowe funkcji Na przez argument X ja, obliczone dla najbardziej prawdopodobnych wartości wielkości X I. Pochodna cząstkowa to pochodna obliczana z funkcji Na argumentacją X pod warunkiem, że wszystkie pozostałe argumenty są uważane za stałe.

Względny błąd wartości Na otrzymujemy dzieląc ∆ Na NA<y>

. (12)

Biorąc pod uwagę, że (1/ Na) dy/dx oznacza pochodną względem X z logarytmu naturalnego Na błąd względny można zapisać w następujący sposób

. (13)

Wzór (12) jest wygodniejszy w użyciu w przypadkach, gdy w zależności od (10) mierzone wielkości x ja zawarte są głównie w formie wyrazów, a wzór (13) jest wygodny do obliczeń, gdy (10) jest iloczynem ilości X I. W tym drugim przypadku wstępny logarytm wyrażenia (10) znacznie upraszcza postać pochodnych cząstkowych. Zmierzona ilość Na jest wielkością wymiarową i nie da się logarytmować wielkości wymiarowej. Aby wyeliminować tę niepoprawność, musisz się rozdzielić Na do stałej mającej dany wymiar. Po logarytmowaniu otrzymujesz dodatkowy wyraz, który nie zależy od ilości X i dlatego zniknie przy obliczaniu pochodnych cząstkowych, ponieważ pochodna o wartości stałej jest równa zeru. Dlatego przy logarytmach po prostu zakłada się obecność takiego terminu.

Rozważając prostą zależność między błędami bezwzględnymi i względnymi ε r = Δ Na/<Na>, łatwo w oparciu o znaną wartość Δ Na obliczać ε r i odwrotnie.

Zależność funkcjonalną pomiędzy błędami pomiarów bezpośrednich i błędami pomiarów pośrednich dla niektórych prostych przypadków podano w tabeli. 3.

Rozważmy kilka szczególnych przypadków, które pojawiają się przy obliczaniu błędów pomiaru. Powyższe wzory na obliczanie błędów w pomiarach pośrednich obowiązują tylko wtedy, gdy wszystkie X i są wielkościami niezależnymi i są mierzone różnymi przyrządami i metodami. W praktyce warunek ten nie zawsze jest spełniony. Przykładowo, jeżeli tym samym urządzeniem mierzone są wielkości fizyczne z zależności (10), to błędy przyrządu Δ X i pr tych wielkości nie będzie już niezależny, a błąd instrumentalny wielkości pośrednio mierzonej Δ na pr w tym przypadku będzie ona nieco większa niż w przypadku „sumowania kwadratowego”. Na przykład, jeśli powierzchnia płyty to długość l i szerokość B mierzone jedną suwmiarką, wówczas wyniesie względny błąd przyrządu pomiaru pośredniego

(ΔS/S) pr = (Δ l/l) pr + ( Δb/b) pr,

te. błędy sumuje się arytmetycznie (błędy Δ l Na Δb tego samego znaku i ich wartości są takie same), zamiast względnego błędu instrumentalnego

z niezależnymi błędami.

Tabela 3

Funkcjonalne powiązanie błędów pomiarów bezpośrednich i pośrednich

Działająca formuła	Wzór na obliczenie błędu

Podczas przeprowadzania pomiarów mogą wystąpić przypadki, gdy wartości X mam różne wartości, które są specjalnie zmieniane lub określone podczas eksperymentu, na przykład lepkość cieczy metodą Poiseuille'a wyznacza się dla różnych wysokości słupa cieczy nad kapilarą lub wyznacza się przyspieszenie ziemskie g za pomocą wahadło matematyczne dla różnych długości). W takich przypadkach należy obliczyć wartość wielkości mierzonej pośrednio Na w każdym z n doświadczeń z osobna i jako wartość najbardziej prawdopodobną przyjmujemy wartość średnią, tj. . Błąd losowy Δ na sl obliczony jako błąd pomiaru bezpośredniego. Obliczanie błędu przyrządu Δ na pr oblicza się za pomocą pochodnych cząstkowych korzystając ze wzoru (11), a końcowy błąd całkowity wartości mierzonej pośrednio oblicza się ze wzoru

Wynik bezpośredniego pomiaru nie jest wartością prawdziwą X zmierzona ilość i seria N wartości . Niech to teraz

Podsumowując ostatnią równość, otrzymujemy

(7)

Gdzie średnia arytmetyczna zmierzonych wartości . Zatem,

(8)

Z tego prostego wyniku wynikają bardzo ważne konsekwencje. Rzeczywiście, kiedy

I
.

Oznacza to, że dla nieskończenie dużej liczby wymiarów
a zatem na koniec N im większa liczba pomiarów, tym wynik jest bliższy średniej arytmetycznej. Wynika to również z oceny ∆ X Jak
warto brać .

W rzeczywistości N oczywiście i
. Zadaniem matematycznej teorii błędu losowego jest oszacowanie przedziału

która zawiera prawdziwą wartość mierzonej wielkości. Nazywa się przedział (9). przedział ufności i wartość
–błąd bezwzględny wyniku serii pomiarów. Teoria wartościowania ∆ X jest dość złożony, dlatego w tym miejscu rozważone zostaną jedynie jego główne wyniki. Przede wszystkim należy zauważyć, że od X– zmienna losowa, błąd ∆ X można określić tylko w takim czy innym stopniu niezawodność α , co jest również tzw prawdopodobieństwo pewności. Prawdopodobieństwo ufności to prawdopodobieństwo, że mierzona wielkość jest prawdziwą wartością X mieści się w przedziale ufności (9). Jeśli umieścisz α =1 (100%), wówczas będzie to odpowiadać zdarzeniu wiarygodnemu, tj. prawdopodobieństwo, że X przyjmuje pewną wartość w przedziale (
). Naraz
. Oczywiście ten wybór niezawodności α nieodpowiedni. Na małym α przedział ufności ∆ X określone z niską wiarygodnością. W dalszej części założymy α = 0,90 lub 0,95. Przedział ufności i niezawodność są ze sobą powiązane. Aby oszacować granice przedziału ufności, angielski matematyk W. Gosset (publikujący swoje prace pod pseudonimem Student) wprowadził w 1908 roku współczynnik:

(10)

równy współczynnikowi błędu ∆ X oznaczać błąd kwadratowy*

(11)

Współczynnik zależy od niezawodności α , a także na liczbę pomiarów N i nazywa się Współczynnik studenta. Współczynnik ten jest zestawiony w tabeli (patrz dodatek 1), dlatego też jest obliczany i ustalenie prawdopodobieństwa ufności α , nie jest trudno znaleźć przypadkowy błąd:

(12)

Obliczanie błędu pomiarów pośrednich.

W pomiarach pośrednich mierzona wielkość F wynika z zależności funkcjonalnej:

Gdzie X, y, z– wyniki pomiarów bezpośrednich. Formuła dla ∆ F można otrzymać zastępując różniczki w (2) błędami i przyjmując wszystkie wyrazy modulo

(13)

Do oszacowania błędu zalecana jest zależność (13). ∆ F, spowodowane błędami przyrządu wartości x, y, z,... Do oszacowania błędu związanego z błędami przypadkowymi w pomiarach bezpośrednich zaleca się następujący współczynnik:

(14)

Warto zauważyć, że wzory (13) i (14) prowadzą do niemal identycznych wyników. Pochodne w (13) i (14) przyjmuje się jako średnie, tj. przy zmierzonych wartościach argumentów.

Bardzo często działają F reprezentowana przez zależność potęgi od argumentów

(15)

gdzie c, n, m i p są stałymi. Szczególnym przypadkiem wzoru (15) są relacje
,
itp.

Ćwiczenia. Pokaż, że dla funkcji postaci (15) wzory (13) i (14) przyjmują postać:

(13)

(14)

Z zależności (13) i (14) wynika, że ​​dla funkcji potęgowych obliczanie błędów jest znacznie uproszczone i wskazane jest najpierw znaleźć błąd względny, który wyraża się poprzez błąd względny pomiarów bezpośrednich, a następnie znaleźć błąd bezwzględny błąd

(16)

Pod jest rozumiany jako funkcja średnich (zmierzonych) wartości argumentów

.

Algorytm obliczania błędów

- Do pomiarów bezpośrednich

1. Oblicz średnią arytmetyczną wyników
seria N pomiary:

Komentarz: przy obliczaniu Wygodniej jest zacząć od wzoru:

Gdzie - dowolna dogodna wartość bliska .

2. Znajdź odchylenia poszczególnych pomiarów od wartości średniej

Komentarz. Na
można umieścić
i policz według formuły

5. Jeśli
, wtedy błędu losowego nie można policzyć.

6. W przeciwnym razie ustaw prawdopodobieństwo ufności i znajdź współczynnik Studenta z tabeli .

Uwaga 1. Jeśli błąd instrumentu
ma ten sam rząd wielkości co , wówczas błąd bezwzględny wyniku serii pomiarów oblicza się ze wzoru:

Gdzie
Prawie jakościowo
możesz przyjąć wartość z tabeli
odpowiadającej największej z podanych w nim wartości N(Na przykład, n=500 ) .

Uwaga 2. Dla dużej liczby pomiarów
można umieścić

Gdzie
.

8. Przedstaw wynik pomiaru w postaci:

- Do pomiarów pośrednich

Błąd
pomiar pośredni można obliczyć korzystając ze wzorów (13), (14), (13*), (14*). Dwa ostatnie wzory obowiązują dla zależności potęgowych, a relacje (13) i (14) mają charakter ogólny.

Podsumowanie zależności do obliczenia pośredniego błędu pomiaru
dla niektórych prostych zależności funkcjonalnych przedstawiono w tabeli.

Przykład. Niech ciepło Joule'a Q zostanie obliczone ze wzoru

Ponieważ jest to zależność potęgowa, wskazane jest użycie wzoru (13*)

Zasady prezentacji wyników pomiarów i ich błędów

Niepewność można jedynie oszacować, dlatego zazwyczaj wystarczy wskazać niepewność z dokładnością do jednej cyfry znaczącej. Na przykład Δm=0,2 g.
Nagrywanie T = 3,0 g oznacza, że ​​pomiaru dokonano z dokładnością do dziesiątych części grama. Jednak w obliczeniach pośrednich wskazane jest pozostawienie bardziej znaczących liczb.

Zasady zaokrąglania liczb (wyników pomiarów) przedstawiono w tabeli (zwróć uwagę na cechy zaokrąglania liczby 5).

Zaokrąglanie tabeli do dziesiątych cyfr znaczących

Zwyczajowo zaokrągla się wynik pomiaru tak, aby wartość liczbowa kończyła się cyfrą tej samej cyfry, co wartość błędu. Na przykład nagrywaj

cm.

niedopuszczalne, ponieważ Już sama wartość błędu Δl = 0,1 cm wskazuje, że nie można zagwarantować liczby 018 wyniku. Musisz to napisać w ten sposób:
cm.

Przetwarzając wyniki pomiarów pośrednich wielkości fizycznej funkcjonalnie powiązanej z wielkościami fizycznymi A, B i C, które są mierzone bezpośrednio, należy w pierwszej kolejności określić błąd względny pomiaru pośredniego e = DХ/Х inc, korzystając ze wzorów podanych w tabela (bez dowodów).

Błąd bezwzględny określa się wzorem DX = X pr * e,

gdzie e jest wyrażone w postaci ułamka dziesiętnego, a nie procentu.

Wynik końcowy zapisuje się analogicznie jak w przypadku pomiarów bezpośrednich

(+ http://fiz.1september.ru/2001/16/no16_01.htm przydatne) Jak poprawnie wykonywać pomiary http://www.fizika.ru/fakultat/index.php?theme=01&id=1220

Przykład: Obliczmy błąd pomiaru współczynnika tarcia za pomocą dynamometru. Doświadczenie polega na równomiernym przeciągnięciu klocka po poziomej powierzchni i zmierzeniu przyłożonej siły: jest ona równa sile tarcia ślizgowego.

Na dynamometrze ważymy klocek odważnikami: 1,8 N. F tr = 0,6 N

µ=0,33. Błąd instrumentalny dynamometru (znajdziemy go z tabeli) wynosi Δ i = 0,05 N, Błąd odczytu (połowa wartości podziału)

Δ o =0,05N. Błąd bezwzględny pomiaru ciężaru i siły tarcia wynosi 0,1 N.

Względny błąd pomiaru (5. wiersz tabeli)

Zatem błąd bezwzględny pomiaru pośredniego μ wynosi 0,22*0,33=0,074

Odpowiedź:

Zmierzenie wielkości fizycznej oznacza porównanie jej z inną jednorodną wielkością przyjętą jako jednostka miary. Pomiaru można dokonać za pomocą:

1. miary, będące przykładami jednostek miary (metr, waga, naczynie litrowe itp.),

2. przyrządy pomiarowe (amperomierz, manometr itp.),

3. instalacjach pomiarowych, przez które rozumie się zespół środków, przyrządów pomiarowych i elementów pomocniczych.

Pomiary mogą być bezpośrednie lub pośrednie. W pomiarach bezpośrednich wielkość fizyczna jest mierzona bezpośrednio. Pomiary bezpośrednie to na przykład pomiar długości za pomocą linijki, czasu za pomocą stopera i prądu za pomocą amperomierza.

W pomiarach pośrednich Mierzą bezpośrednio nie ilość, której wartość należy znaleźć, ale inne wielkości, z którymi pożądana wielkość jest powiązana pewną zależnością matematyczną. Na przykład gęstość ciała określa się, mierząc jego masę i objętość, a opór określa się, mierząc jego prąd i napięcie.

Ze względu na niedoskonałość środków i przyrządów pomiarowych, a także naszych zmysłów, pomiarów nie można dokonać dokładnie, tj. Każdy pomiar daje jedynie przybliżony wynik. Ponadto często przyczyną odchyleń wyników pomiarów jest charakter samej mierzonej wielkości. Na przykład temperatura mierzona termometrem lub termoparą w pewnym punkcie pieca waha się w pewnych granicach w wyniku konwekcji i przewodzenia. Miarą oceny dokładności wyniku pomiaru jest błąd pomiaru (błąd pomiaru).

Aby ocenić dokładność, wskazywany jest błąd bezwzględny lub względny błąd pomiaru. Absolutny błąd wyrażona w jednostkach mierzonej wielkości. Na przykład odległość przebytą przez ciało mierzona jest z błędem bezwzględnym. Względny błąd pomiaru to stosunek błędu bezwzględnego do wartości mierzonej wielkości. W podanym przykładzie błąd względny wynosi . Im mniejszy błąd pomiaru, tym większa jego dokładność.

Według źródeł pochodzenia błędy pomiarowe dzielą się na systematyczne, losowe i brutto (chybienia).

1. Błędy systematyczne- błędy pomiarowe, których wartość pozostaje stała podczas powtarzanych pomiarów wykonywanych tą samą metodą, przy użyciu tych samych przyrządów pomiarowych. Przyczynami błędów systematycznych są:

· awarie, niedokładności przyrządów pomiarowych

· niezgodność z prawem, niedokładność zastosowanej techniki pomiarowej

Przykładem błędów systematycznych może być pomiar temperatury termometrem z przesuniętym punktem zerowym, pomiar prądu źle skalibrowanym amperomierzem czy ważenie ciała na wadze za pomocą odważników bez uwzględnienia siły wyporu Archimedesa.

Aby wyeliminować lub ograniczyć błędy systematyczne, należy dokładnie sprawdzić przyrządy pomiarowe, zmierzyć te same wartości różnymi metodami, a w przypadku znanych błędów wprowadzić poprawki (korekty na siłę wyporu, poprawki na wskazania termometru).

2. Poważne błędy (niecelne)- znaczne przekroczenie błędu oczekiwanego w danych warunkach pomiaru. Błędy pojawiają się na skutek nieprawidłowego zapisu wskazań przyrządu, błędnych odczytów na przyrządzie lub na skutek błędów w obliczeniach podczas pomiarów pośrednich. Źródłem błędów jest nieuwaga eksperymentatora. Sposobem na wyeliminowanie tych błędów jest dokładność eksperymentatora, unikająca przepisywania protokołów pomiarowych.

3. Losowe błędy- błędy, których wielkość zmienia się losowo podczas powtarzanych pomiarów tej samej wielkości tą samą metodą, przy użyciu tych samych przyrządów. Źródłem błędów przypadkowych jest niekontrolowana powtarzalność warunków pomiaru. Przykładowo podczas pomiaru temperatura, wilgotność, ciśnienie atmosferyczne, napięcie w sieci elektrycznej, a także stan narządów zmysłów eksperymentatora mogą zmieniać się w sposób niekontrolowany. Nie można wykluczyć błędów przypadkowych. Przy powtarzanych pomiarach błędy losowe podlegają prawom statystycznym i można wziąć pod uwagę ich wpływ.

Wszelkie pomiary zawsze obarczone są pewnymi błędami związanymi z ograniczoną dokładnością przyrządów pomiarowych, błędnym wyborem i błędem metody pomiaru, fizjologią eksperymentatora, charakterystyką mierzonych obiektów, zmianami warunków pomiaru itp. Zadanie pomiarowe obejmuje zatem znalezienie nie tylko samej wielkości, ale także błędu pomiaru, czyli tzw. przedział, w którym najprawdopodobniej leży prawdziwa wartość mierzonej wielkości. Na przykład, mierząc okres czasu t stoperem o wartości podziału 0,2 s, możemy powiedzieć, że jego prawdziwa wartość mieści się w przedziale od s do
Z. Zatem zmierzona wartość zawsze zawiera pewien błąd
, Gdzie i X są odpowiednio prawdziwymi i zmierzonymi wartościami badanej wielkości. Ogrom
zwany absolutny błąd(błąd) pomiaru i wyrażenie
, który charakteryzuje dokładność pomiaru, nazywa się błąd względny.

To całkiem naturalne, że eksperymentator chce dokonać każdego pomiaru z największą możliwą do osiągnięcia dokładnością, ale takie podejście nie zawsze jest wskazane. Im dokładniej chcemy zmierzyć tę czy inną wielkość, im bardziej skomplikowanych instrumentów musimy użyć, tym więcej czasu będą wymagały te pomiary. Dlatego dokładność wyniku końcowego musi odpowiadać celowi eksperymentu. Teoria błędów podaje zalecenia, w jaki sposób należy dokonywać pomiarów i jak przetwarzać wyniki, aby błąd był minimalny.

Wszelkie błędy powstałe podczas pomiarów dzieli się zazwyczaj na trzy typy – błędy systematyczne, losowe i chybione, czyli duże.

Błędy systematyczne ze względu na ograniczoną dokładność wykonania urządzeń (błędy przyrządu), wady wybranej metody pomiaru, niedokładność wzoru obliczeniowego, nieprawidłowy montaż urządzenia itp. Błędy systematyczne wynikają zatem z czynników działających w ten sam sposób przy wielokrotnym powtarzaniu tych samych pomiarów. Wielkość tego błędu systematycznie się powtarza lub zmienia zgodnie z pewnym prawem. Niektóre błędy systematyczne można wyeliminować (w praktyce zawsze jest to łatwe do osiągnięcia) zmieniając metodę pomiaru, wprowadzając poprawki do wskazań przyrządów i biorąc pod uwagę stały wpływ czynników zewnętrznych.

Chociaż błąd systematyczny (instrumentalny) w powtarzanych pomiarach daje odchylenie wartości mierzonej od wartości rzeczywistej w jednym kierunku, nigdy nie wiemy, w którym kierunku. Dlatego błąd przyrządu zapisywany jest podwójnym znakiem

Losowe błędy spowodowane są dużą liczbą przyczyn losowych (zmiany temperatury, ciśnienia, wstrząsy budynku itp.), których skutki przy każdym pomiarze są inne i nie można ich z góry uwzględnić. Błędy losowe powstają także na skutek niedoskonałości zmysłów eksperymentatora. Do błędów losowych zalicza się także błędy spowodowane właściwościami mierzonego obiektu.

Nie da się wykluczyć błędów losowych w poszczególnych pomiarach, można jednak ograniczyć wpływ tych błędów na wynik końcowy poprzez wykonanie wielokrotnych pomiarów. Jeżeli błąd losowy okaże się znacznie mniejszy od instrumentalnego (systematycznego), to nie ma sensu dalej zmniejszać wartości błędu losowego poprzez zwiększanie liczby pomiarów. Jeżeli błąd losowy jest większy od błędu przyrządu, należy zwiększyć liczbę pomiarów, aby zmniejszyć wartość błędu losowego i uczynić go mniejszym lub równym rzędowi wielkości co błąd przyrządu.

Błędy lub pomyłki- są to nieprawidłowe odczyty na urządzeniu, nieprawidłowe zapisanie odczytu itp. Z reguły błędy spowodowane tymi przyczynami są wyraźnie widoczne, ponieważ odpowiednie odczyty znacznie różnią się od innych odczytów. Błędy należy wyeliminować za pomocą pomiarów kontrolnych. Zatem szerokość przedziału, w którym leżą prawdziwe wartości mierzonych wielkości, będzie wyznaczana jedynie na podstawie błędów losowych i systematycznych.

2 . Oszacowanie błędu systematycznego (przyrządu).

Do pomiarów bezpośrednich wartość mierzonej wielkości zliczana jest bezpośrednio na skali urządzenia pomiarowego. Błąd odczytu może sięgać kilku dziesiątych części skali. Zazwyczaj w takich pomiarach błąd systematyczny jest uważany za równy połowie podziału skali przyrządu pomiarowego. Na przykład podczas pomiaru suwmiarką o wartości podziału 0,05 mm przyjmuje się, że wartość błędu pomiaru przyrządu wynosi 0,025 mm.

Cyfrowe przyrządy pomiarowe podają wartość mierzonych przez siebie wielkości z błędem równym wartości jednej jednostki ostatniej cyfry skali przyrządu. Tak więc, jeśli woltomierz cyfrowy pokazuje wartość 20,45 mV, wówczas bezwzględny błąd pomiaru wynosi
mV.

Błędy systematyczne powstają również przy stosowaniu stałych wartości określonych z tabel. W takich przypadkach przyjmuje się, że błąd jest równy połowie ostatniej znaczącej cyfry. Przykładowo, jeśli w tabeli wartość gęstości stali podana jest jako 7,9∙10 3 kg/m 3, to błąd bezwzględny w tym przypadku wynosi
kg/m3.

Niektóre funkcje obliczania błędów przyrządów elektrycznych przyrządów pomiarowych zostaną omówione poniżej.

Przy określaniu błędu systematycznego (instrumentalnego) pomiarów pośrednich wartość funkcjonalna
zastosowana formuła

, (1)

Gdzie - błędy przyrządów bezpośrednich pomiarów wielkości , - pochodne cząstkowe funkcji po zmiennej.

Jako przykład otrzymujemy wzór na obliczenie błędu systematycznego przy pomiarze objętości cylindra. Wzór na obliczenie objętości cylindra to:

.

Pochodne cząstkowe po zmiennych D I H będzie równe

,
.

Zatem wzór na określenie bezwzględnego błędu systematycznego przy pomiarze objętości cylindra zgodnie z (2...) ma następującą postać

,

Gdzie
I
błędy przyrządu przy pomiarze średnicy i wysokości cylindra

3. Oszacowanie błędu losowego.

Przedział ufności i prawdopodobieństwo ufności

Dla zdecydowanej większości prostych pomiarów tzw. prawo normalne błędów losowych jest całkiem dobrze spełnione ( prawo Gaussa), wyprowadzone z następujących ustaleń empirycznych.

błędy pomiaru mogą przyjmować ciągły ciąg wartości;

przy dużej liczbie pomiarów błędy tej samej wielkości, ale o różnych znakach występują równie często,

Im większy błąd losowy, tym mniejsze prawdopodobieństwo jego wystąpienia.

Wykres normalnego rozkładu Gaussa przedstawiono na rys. 1. Równanie krzywej to

, (2)

Gdzie
- dystrybuantę błędów losowych (błędów), charakteryzującą prawdopodobieństwo wystąpienia błędu
, σ – błąd średniokwadratowy.

Wielkość σ nie jest zmienną losową i charakteryzuje proces pomiarowy. Jeśli warunki pomiaru nie ulegną zmianie, wówczas σ pozostaje wartością stałą. Nazywa się kwadrat tej wielkości rozproszenie pomiaru. Im mniejszy rozrzut, tym mniejszy rozrzut poszczególnych wartości i tym większa dokładność pomiarów.

Dokładna wartość błędu średniokwadratowego σ, a także prawdziwa wartość zmierzonej wartości nie jest znana. Istnieje tzw. oszacowanie statystyczne tego parametru, według którego błąd średniokwadratowy jest równy średniokwadratowemu błędowi średniej arytmetycznej . Której wartość określa wzór

, (3)

Gdzie - wynik I wymiar; - średnia arytmetyczna uzyskanych wartości; N – liczba pomiarów.

Im większa liczba wymiarów, tym mniejszy i tym bardziej zbliża się do σ. Jeżeli prawdziwa wartość mierzonej wielkości wynosi μ, jej średnia arytmetyczna otrzymana w wyniku pomiarów wynosi , a losowy błąd bezwzględny wynosi , to wynik pomiaru zostanie zapisany w postaci
.

Zakres wartości od
Do
, która zawiera prawdziwą wartość mierzonej wielkości μ, nazywa się przedział ufności. Ponieważ jest to zmienna losowa, wartość prawdziwa mieści się w przedziale ufności z prawdopodobieństwem α, który nazywa się prawdopodobieństwo ufności, Lub niezawodność pomiary. Wartość ta jest liczbowo równa powierzchni zacienionego zakrzywionego trapezu. (patrz zdjęcie)

Wszystko to dotyczy odpowiednio dużej liczby pomiarów, gdy σ jest bliskie. Aby znaleźć przedział ufności i prawdopodobieństwo ufności dla małej liczby pomiarów, z którymi mamy do czynienia w trakcie pracy laboratoryjnej, używamy Rozkład prawdopodobieństwa studenta. Jest to rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej , zwany Współczynnik studenta, podaje wartość przedziału ufności w ułamkach średniego kwadratowego błędu średniej arytmetycznej.

. (4)

Rozkład prawdopodobieństwa tej wielkości nie zależy od σ 2, lecz w istotny sposób zależy od liczby eksperymentów N. Wraz ze wzrostem liczby eksperymentów N rozkład Studenta ma tendencję do rozkładu Gaussa.

Funkcję rozkładu przedstawiono w tabeli (Tabela 1). Wartość współczynnika Studenta znajduje się na przecięciu prostej odpowiadającej liczbie pomiarów N oraz kolumna odpowiadająca prawdopodobieństwu ufności α

Tabela 1.

Korzystając z danych tabeli, możesz:

określić przedział ufności, biorąc pod uwagę pewne prawdopodobieństwo;

wybierz przedział ufności i określ prawdopodobieństwo ufności.

W przypadku pomiarów pośrednich pierwiastek błędu średniokwadratowego średniej arytmetycznej wartości funkcji oblicza się ze wzoru

. (5)

Przedział ufności i prawdopodobieństwo ufności wyznacza się analogicznie jak w przypadku pomiarów bezpośrednich.

Oszacowanie całkowitego błędu pomiaru. Zapisz wynik końcowy.

Całkowity błąd wyniku pomiaru wartości X zdefiniujemy to jako średnią kwadratową wartości błędów systematycznych i losowych

, (6)

Gdzie δх – błąd przyrządu, Δ X– błąd losowy.

X może być wielkością mierzoną bezpośrednio lub pośrednio.

, α=…, E=… (7)

Należy pamiętać, że same wzory teorii błędu obowiązują dla dużej liczby pomiarów. Dlatego wartość losowości, a tym samym błędu całkowitego, określa się jako małą N z dużym błędem. Przy obliczaniu Δ X z liczbą pomiarów
Zalecane jest ograniczenie się do jednej cyfry znaczącej, jeśli jest większa niż 3 i dwóch, jeśli pierwsza cyfra znacząca jest mniejsza niż 3. Na przykład, jeśli Δ X= 0,042, następnie odrzucamy 2 i zapisujemy Δ X=0,04, a jeśli Δ X=0,123, wówczas piszemy Δ X=0,12.

Liczba cyfr wyniku i błąd całkowity muszą być takie same. Dlatego średnia arytmetyczna błędu powinna być taka sama. Dlatego najpierw oblicza się średnią arytmetyczną o jedną cyfrę większą od pomiaru, a podczas zapisywania wyniku jej wartość doprecyzowuje się do liczby cyfr błędu całkowitego.

4. Metodyka obliczania błędów pomiarowych.

Błędy pomiarów bezpośrednich

Przy przetwarzaniu wyników pomiarów bezpośrednich zaleca się przyjęcie następującej kolejności działań.

. (8)

.

.

Określany jest błąd całkowity

Oceniany jest błąd względny wyniku pomiaru

.

Wynik końcowy zapisuje się w formularzu

, gdzie α=… E=…%.

5. Błąd pomiarów pośrednich

Przy szacowaniu prawdziwej wartości wielkości mierzonej pośrednio, która jest funkcją innych niezależnych wielkości
, możesz skorzystać z dwóch metod.

Pierwszy sposób używany, jeśli wartość y wyznaczane w różnych warunkach doświadczalnych. W tym przypadku dla każdej z wartości jest ona obliczana
, a następnie określana jest średnia arytmetyczna wszystkich wartości y I

. (9)

Błąd systematyczny (instrumentalny) oblicza się na podstawie znanych błędów instrumentalnych wszystkich pomiarów za pomocą wzoru. Błąd losowy w tym przypadku definiuje się jako błąd pomiaru bezpośredniego.

Drugi sposób ma zastosowanie, jeśli ta funkcja y wyznaczane kilka razy przy tych samych pomiarach. W tym przypadku wartość oblicza się na podstawie wartości średnich. W naszej praktyce laboratoryjnej częściej stosuje się drugą metodę wyznaczania wielkości mierzonej pośrednio y. Błąd systematyczny (instrumentalny), podobnie jak w metodzie pierwszej, wyznacza się na podstawie znanych błędów instrumentalnych wszystkich pomiarów, korzystając ze wzoru

Aby znaleźć błąd losowy pomiaru pośredniego, najpierw oblicza się pierwiastek średniokwadratowy błędów średniej arytmetycznej poszczególnych pomiarów. Następnie znajduje się średni błąd kwadratowy wartości y. Wyznaczanie prawdopodobieństwa ufności α, wyznaczanie współczynnika Studenta oraz wyznaczanie błędów przypadkowych i całkowitych przeprowadza się analogicznie jak w przypadku pomiarów bezpośrednich. Podobnie wynik wszystkich obliczeń prezentowany jest w formularzu

, gdzie α=… E=…%.

6. Przykładowy projekt pracy laboratoryjnej

Praca laboratoryjna nr 1

OKREŚLENIE POJEMNOŚCI CYLINDRA

Akcesoria: suwmiarka o podziałce 0,05 mm, mikrometr o podziałce 0,01 mm, korpus cylindryczny.

Cel pracy: zapoznanie się z najprostszymi pomiarami fizycznymi, wyznaczanie objętości cylindra, obliczanie błędów w pomiarach bezpośrednich i pośrednich.

Porządek pracy

Zmierz średnicę cylindra co najmniej 5 razy suwmiarką i jego wysokość mikrometrem.

Wzór obliczeniowy do obliczania objętości cylindra

gdzie d jest średnicą cylindra; h – wysokość.

Wyniki pomiarów

Tabela 2.

Absolutny błąd

;
.

5. Błąd względny, czyli dokładność pomiaru

; E = 0,5%.

6. Zapisz wynik końcowy

Wynik końcowy dla badanej wartości zapisuje się w postaci

, E = 0,5%.

Notatka. W zapisie końcowym liczba cyfr wyniku i błąd bezwzględny muszą być takie same.

6. Graficzne przedstawienie wyników pomiarów

Wyniki pomiarów fizycznych bardzo często przedstawiane są w formie graficznej. Wykresy mają szereg istotnych zalet i cennych właściwości:

a) umożliwiają określenie rodzaju zależności funkcjonalnej i granic, w jakich ona obowiązuje;

b) pozwalają na jednoznaczne porównanie danych eksperymentalnych z krzywą teoretyczną;

c) konstruując wykres, wygładzają skoki przebiegu funkcji powstałe na skutek błędów losowych;

d) umożliwiają wyznaczenie określonych wielkości lub przeprowadzenie graficznego różniczkowania, całkowania, rozwiązywania równań itp.

Rafiks z reguły wykonuje się na specjalnym papierze (milimetrowym, logarytmicznym, półlogarytmicznym). Zwyczajowo wykreśla się zmienną niezależną wzdłuż osi poziomej, tj. wartość, której wartość ustala sam eksperymentator, a wzdłuż osi pionowej - wartość, którą wyznacza. Należy pamiętać, że przecięcie osi współrzędnych nie musi pokrywać się z zerowymi wartościami x i y. Wybierając początek współrzędnych, należy kierować się faktem, że cały obszar rysunku jest w pełni wykorzystany (ryc. 2.).

Na osiach współrzędnych wykresu wskazane są nie tylko nazwy lub symbole wielkości, ale także ich jednostki miary. Skalę wzdłuż osi współrzędnych należy tak dobrać, aby mierzone punkty znajdowały się na całej powierzchni arkusza. W tym przypadku skala powinna być prosta, aby podczas wykreślania punktów na wykresie nie trzeba było dokonywać w głowie obliczeń arytmetycznych.

Punkty doświadczalne na wykresie muszą być przedstawione dokładnie i wyraźnie. Przydatne jest wykreślenie punktów uzyskanych w różnych warunkach eksperymentalnych (na przykład ogrzewania i chłodzenia) w różnych kolorach lub z różnymi symbolami. Jeśli znany jest błąd eksperymentu, zamiast punktu lepiej przedstawić krzyż lub prostokąt, którego wymiary wzdłuż osi odpowiadają temu błędowi. Nie zaleca się łączenia ze sobą punktów doświadczalnych linią przerywaną. Krzywą na wykresie należy narysować płynnie, upewniając się, że punkty doświadczalne znajdują się zarówno nad, jak i pod krzywą, jak pokazano na rys. 3.

Przy konstruowaniu wykresów oprócz układu współrzędnych o jednolitej skali stosuje się tzw. skale funkcjonalne. Wybierając odpowiednie funkcje x i y, można uzyskać prostszą linię na wykresie niż przy konwencjonalnej konstrukcji. Jest to często konieczne przy wyborze wzoru dla danego wykresu w celu określenia jego parametrów. Skale funkcjonalne stosuje się także w przypadkach, gdy konieczne jest rozciągnięcie lub skrócenie dowolnego odcinka krzywej na wykresie. Najczęściej stosowaną skalą funkcjonalną jest skala logarytmiczna (ryc. 4).

Od konkretnych warunków, wymagań i możliwości szacunkibłędywynikipomiary. Zgodnie z ogólnymi założeniami teorii informacji...

Obliczanie błędów pomiarów bezpośrednich i pośrednich

Pomiar oznacza porównanie zmierzonej wielkości z inną wielkością przyjętą jako jednostka miary. Pomiary przeprowadza się eksperymentalnie przy użyciu specjalnych środków technicznych.

Pomiary bezpośrednie to pomiary, których wyniki uzyskuje się bezpośrednio z danych eksperymentalnych (np. pomiar długości linijką, czasu stoperem, temperatury termometrem). Pomiary pośrednie to pomiary, w których pożądaną wartość wielkości wyznacza się na podstawie znanej zależności między tą wielkością a wielkościami, których wartości uzyskuje się w procesie pomiarów bezpośrednich (np. określenie prędkości na przebytej drodze i czasu https://pandia.ru/text/78/464/images/image002_23.png" szerokość="65" wysokość="21 src=">).

Każdemu pomiarowi, niezależnie od tego, jak starannie go przeprowadzono, koniecznie towarzyszy błąd (błąd) - odchylenie wyniku pomiaru od prawdziwej wartości zmierzonej wartości.

Błędy systematyczne to błędy, których wielkość jest taka sama we wszystkich pomiarach przeprowadzonych tą samą metodą, przy użyciu tych samych przyrządów pomiarowych, w tych samych warunkach. Występują błędy systematyczne:

W wyniku niedoskonałości przyrządów stosowanych w pomiarach (na przykład wskazówka amperomierza może odchylać się od podziałki zerowej przy braku prądu, równoważnia może mieć nierówne ramiona itp.);

W rezultacie teoria metody pomiaru nie jest w pełni rozwinięta, tj. metoda pomiaru zawiera źródło błędów (np. błąd pojawia się, gdy w pracy kalorymetrycznej lub przy ważeniu na wadze nie uwzględnia się strat ciepła do otoczenia). wagę analityczną przeprowadza się bez uwzględnienia siły wyporu powietrza);

W wyniku nieuwzględnienia zmian warunków eksperymentalnych (na przykład podczas długotrwałego przepływu prądu przez obwód, w wyniku termicznego działania prądu zmieniają się parametry elektryczne obwodu) .

Błędy systematyczne można wyeliminować badając cechy przyrządów, pełniej rozwijając teorię doświadczenia i na tej podstawie wprowadzając poprawki do wyników pomiarów.

Błędy losowe to błędy, których wielkość jest różna nawet w przypadku pomiarów wykonanych w ten sam sposób. Ich przyczyny leżą zarówno w niedoskonałości naszych narządów zmysłów, jak i w wielu innych okolicznościach towarzyszących pomiarom, których nie można z góry wziąć pod uwagę (błędy losowe powstają np. gdy naocznie ustalimy równość oświetlenia pól fotometru; jeżeli moment maksymalnego wychylenia wahadła matematycznego wyznacza się naocznie; przy ustalaniu momentu rezonansu dźwięku na ucho; podczas ważenia na wagach analitycznych, czy drgania podłogi i ścian przenoszone są na wagę itp.).

Nie da się uniknąć przypadkowych błędów. Ich występowanie objawia się tym, że powtarzając z taką samą starannością pomiary tej samej wielkości, otrzymujemy różniące się od siebie wyniki liczbowe. Jeżeli zatem przy powtarzaniu pomiarów uzyskano te same wartości, nie świadczy to o braku błędów losowych, a raczej o niewystarczającej czułości metody pomiarowej.

Błędy losowe zmieniają wynik zarówno w jedną, jak i w drugą stronę od wartości prawdziwej, dlatego w celu ograniczenia wpływu błędów losowych na wynik pomiaru pomiary zwykle powtarza się wielokrotnie, a średnią arytmetyczną wszystkich wyników pomiarów oblicza się zajęty.

Celowo nieprawidłowe wyniki - błędy powstają w wyniku naruszenia podstawowych warunków pomiaru, w wyniku nieuwagi lub zaniedbania eksperymentatora. Na przykład przy słabym oświetleniu zamiast „3” zapisuje się „8”; ze względu na to, że eksperymentator jest rozproszony, może się pomylić przy liczeniu liczby oscylacji wahadła; z powodu zaniedbania lub nieuwagi może pomylić masy obciążeń przy określaniu sztywności sprężyny itp. Zewnętrzną oznaką błędu jest wyraźna różnica wartości wyniku w stosunku do wyników innych pomiarów. W przypadku wykrycia błędu należy natychmiast odrzucić wynik pomiaru i powtórzyć pomiar. Identyfikację błędów ułatwia także porównanie wyników pomiarów uzyskanych przez różnych eksperymentatorów.

Zmierzyć wielkość fizyczną oznacza znaleźć przedział ufności, w którym leży jej prawdziwa wartość https://pandia.ru/text/78/464/images/image005_14.png" szerokość="16 wysokość=21" wysokość="21" >.png" szerokość="21" wysokość="17 src=">.png" szerokość="31" wysokość="21 src="> przypadkach prawdziwa wartość zmierzonej wartości będzie mieścić się w przedziale ufności. Wartość wyrażana jest w ułamkach jednostki lub w procentach. W przypadku większości pomiarów poziom ufności jest ograniczony do 0,9 lub 0,95. Czasami, gdy wymagany jest wyjątkowo wysoki stopień wiarygodności, ustawiany jest poziom ufności wynoszący 0,999 przy poziomie ufności często stosuje się poziom istotności, który określa prawdopodobieństwo, że prawdziwa wartość nie mieści się w przedziale ufności. Wynik pomiaru przedstawia się jako

gdzie https://pandia.ru/text/78/464/images/image012_8.png" szerokość="23" wysokość="19"> jest błędem bezwzględnym. Zatem granice przedziału, https://pandia .ru/text/78/464/images/image005_14.png" szerokość="16" wysokość="21"> mieści się w tym przedziale.

W celu znalezienia i wykonuje się serię pojedynczych pomiarów. Rozważmy konkretny przykład..png" szerokość="71" wysokość="23 src=">; ; https://pandia.ru/text/78/464/images/image019_5.png" szerokość="72" wysokość =" 23">.png" szerokość="72" wysokość="24">. Wartości mogą się powtarzać, podobnie jak wartości i https://pandia.ru/text/78/464/images/image024_4. png" szerokość="48 wysokość=15" wysokość="15">.png" szerokość="52" wysokość="21"> Odpowiednio poziom istotności wynosi .

Średnia wartość mierzonej wielkości

Przyrząd pomiarowy również ma wpływ na niepewność pomiaru. Błąd ten wynika z konstrukcji urządzenia (tarcie w osi urządzenia wskazującego, zaokrąglenie spowodowane przez cyfrowe lub dyskretne urządzenie wskazujące itp.). Z natury jest to błąd systematyczny, ale w przypadku tego konkretnego urządzenia nie jest znana ani jego wielkość, ani znak. Błąd instrumentu ocenia się podczas testowania dużej serii podobnych urządzeń.

Znormalizowany zakres klas dokładności przyrządów pomiarowych obejmuje następujące wartości: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Klasa dokładności przyrządu jest równa błędowi względnemu przyrządu wyrażonemu jako procent w stosunku do pełnego zakresu skali. Błąd specyfikacji urządzenia