Jak znaleźć dodatkowy mianownik. Sprowadzanie ułamków do nowego mianownika – zasady i przykłady. Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika
Jak sprowadzić ułamki algebraiczne (wymierne) do wspólnego mianownika?
1) Jeśli mianowniki ułamków zawierają wielomiany, musisz spróbować zastosować jedną ze znanych metod.
2) Najniższy wspólny mianownik (LCD) składa się z wszyscy przyjęte mnożniki największy stopni.
Werbalnie szukamy najmniejszego wspólnego mianownika liczb jako najmniejszej liczby, która jest podzielna przez pozostałe liczby.
3) Aby znaleźć dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka, musisz podzielić nowy mianownik przez stary.
4) Pomnóż licznik i mianownik ułamka pierwotnego przez dodatkowy współczynnik.
Spójrzmy na przykłady redukcji ułamków algebraicznych do wspólnego mianownika.
Aby znaleźć wspólny mianownik dla liczb, wybieramy większą liczbę i sprawdzamy, czy jest ona podzielna przez mniejszą liczbę. Liczba 15 nie jest podzielna przez 9. Mnożymy 15 przez 2 i sprawdzamy, czy otrzymana liczba jest podzielna przez 9. 30 nie jest podzielne przez 9. Mnożymy 15 przez 3 i sprawdzamy, czy otrzymana liczba jest podzielna przez 9. 45 jest podzielne przez 9, co oznacza, że wspólnym mianownikiem tych liczb jest 45.
Najniższy wspólny mianownik to wszystkie czynniki doprowadzone do największej potęgi. Zatem wspólnym mianownikiem tych ułamków jest 45 pne (litery są zwykle pisane w kolejności alfabetycznej).
Aby znaleźć dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka, musisz podzielić nowy mianownik przez stary. 45bc:(15b)=3c, 45bc:(9c)=5b. Pomnóż licznik i mianownik każdego ułamka przez dodatkowy współczynnik:
Najpierw szukamy wspólnego mianownika dla liczb: 8 nie jest podzielne przez 6, 8∙2=16 nie jest podzielne przez 6, 8∙3=24 jest podzielne przez 6. Każdą zmienną należy raz ująć we wspólnym mianowniku. Ze stopni bierzemy stopień z dużym wykładnikiem.
Zatem wspólnym mianownikiem tych ułamków jest 24a³bc.
Aby znaleźć dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka, należy podzielić nowy mianownik przez stary: 24a³bc:(6a³c)=4b, 24a³bc:(8a²bc)=3a.
Dodatkowy współczynnik mnożymy przez licznik i mianownik:
Potrzebne są wielomiany w mianownikach tych ułamków. Mianownik pierwszego ułamka to pełny kwadrat różnicy: x²-18x+81=(x-9)²; w drugim mianowniku - różnica kwadratów: x²-81=(x-9)(x+9):
Wspólnym mianownikiem są wszystkie czynniki wzięte w największym stopniu, czyli równym (x-9)²(x+9). Znajdujemy dodatkowe czynniki i mnożymy je przez licznik i mianownik każdego ułamka:
W tym materiale przyjrzymy się, jak poprawnie przeliczyć ułamki zwykłe na nowy mianownik, czym jest dodatkowy czynnik i jak go znaleźć. Następnie sformułowamy podstawową zasadę redukcji ułamków do nowych mianowników i zilustrujemy ją przykładami problemów.
Pojęcie redukcji ułamka do innego mianownika
Przypomnijmy sobie podstawową własność ułamka. Według niego ułamek zwykły a b (gdzie a i b są dowolnymi liczbami) ma nieskończoną liczbę równych mu ułamków. Takie ułamki można otrzymać mnożąc licznik i mianownik przez tę samą liczbę m (liczbę naturalną). Innymi słowy, wszystkie ułamki zwykłe można zastąpić innymi w postaci a · m b · m. Jest to redukcja pierwotnej wartości do ułamka o pożądanym mianowniku.
Możesz sprowadzić ułamek do innego mianownika, mnożąc jego licznik i mianownik przez dowolną liczbę naturalną. Głównym warunkiem jest to, że mnożnik musi być taki sam dla obu części ułamka. Wynik będzie ułamkiem równym pierwotnemu.
Zilustrujmy to przykładem.
Przykład 1
Zamień ułamek 11 25 na nowy mianownik.
Rozwiązanie
Weźmy dowolną liczbę naturalną 4 i pomnóżmy przez nią obie strony pierwotnego ułamka. Liczymy: 11 · 4 = 44 i 25 · 4 = 100. Wynik jest ułamkiem 44 100.
Wszystkie obliczenia można zapisać w następującej postaci: 11 25 = 11 4 25 4 = 44 100
Okazuje się, że dowolny ułamek można sprowadzić do ogromnej liczby różnych mianowników. Zamiast czterech moglibyśmy wziąć inną liczbę naturalną i otrzymać inny ułamek równy pierwotnemu.
Ale żadna liczba nie może stać się mianownikiem nowego ułamka. Zatem dla a b mianownik może zawierać tylko liczby b m, które są wielokrotnościami b. Przejrzyj podstawowe pojęcia dotyczące dzielenia — wielokrotności i dzielników. Jeśli liczba nie jest wielokrotnością b, ale nie może być dzielnikiem nowego ułamka. Zilustrujmy nasz pomysł przykładem rozwiązania problemu.
Przykład 2
Oblicz, czy można zredukować ułamek 5 9 do mianowników 54 i 21.
Rozwiązanie
54 jest wielokrotnością dziewięciu, która znajduje się w mianowniku nowego ułamka (tj. 54 można podzielić przez 9). Oznacza to, że taka redukcja jest możliwa. Ale nie możemy podzielić 21 przez 9, więc tej akcji nie można wykonać dla tego ułamka.
Koncepcja dodatkowego mnożnika
Sformułujmy czym jest czynnik dodatkowy.
Definicja 1
Dodatkowy mnożnik reprezentuje liczbę naturalną, przez którą mnożone są obie strony ułamka, aby uzyskać nowy mianownik.
Te. kiedy robimy to z ułamkiem, bierzemy do tego dodatkowy współczynnik. Na przykład, aby zamienić ułamek 7 10 na postać 21 30, potrzebujemy dodatkowego współczynnika 3. I możesz uzyskać ułamek 15 40 z 3 8, używając mnożnika 5.
Odpowiednio, jeśli znamy mianownik, do którego należy zredukować ułamek, możemy obliczyć dla niego dodatkowy współczynnik. Zastanówmy się, jak to zrobić.
Mamy ułamek a b, który można sprowadzić do pewnego mianownika c; Obliczmy dodatkowy współczynnik m. Musimy pomnożyć mianownik ułamka pierwotnego przez m. Otrzymujemy b · m i zgodnie z warunkami zadania b · m = c. Pamiętajmy, jak mnożenie i dzielenie są ze sobą powiązane. To połączenie skłania nas do następującego wniosku: dodatkowy czynnik to nic innego jak iloraz dzielenia c przez b, czyli m = c: b.
Zatem, aby znaleźć dodatkowy czynnik, musimy podzielić wymagany mianownik przez pierwotny.
Przykład 3
Znajdź dodatkowy współczynnik, za pomocą którego ułamek 17 4 został zredukowany do mianownika 124.
Rozwiązanie
Korzystając z powyższej reguły, po prostu dzielimy 124 przez mianownik ułamka pierwotnego, czyli cztery.
Liczymy: 124: 4 = 31.
Tego typu obliczenia są często wymagane przy przekształcaniu ułamków zwykłych na wspólny mianownik.
Zasada redukcji ułamków do określonego mianownika
Przejdźmy do zdefiniowania podstawowej zasady, za pomocą której można redukować ułamki do określonego mianownika. Więc,
Definicja 2
Aby zredukować ułamek do określonego mianownika, potrzebujesz:
- określić dodatkowy czynnik;
- pomnóż przez niego licznik i mianownik ułamka pierwotnego.
Jak zastosować tę zasadę w praktyce? Podajmy przykład rozwiązania problemu.
Przykład 4
Skróć ułamek 7 16 do mianownika 336.
Rozwiązanie
Zacznijmy od obliczenia dodatkowego mnożnika. Podziel: 336: 16 = 21.
Otrzymaną odpowiedź mnożymy przez obie części ułamka pierwotnego: 7 16 = 7 · 21 16 · 21 = 147 336. Doprowadziliśmy więc pierwotny ułamek do pożądanego mianownika 336.
Odpowiedź: 7 16 = 147 336.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Schemat redukcji do wspólnego mianownika
- Musisz określić, jaka będzie najmniejsza wspólna wielokrotność mianowników ułamków. Jeśli masz do czynienia z liczbą mieszaną lub całkowitą, musisz najpierw zamienić ją na ułamek, a dopiero potem określić najmniejszą wspólną wielokrotność. Aby zamienić liczbę całkowitą na ułamek, należy zapisać samą liczbę w liczniku i jeden w mianowniku. Na przykład liczba 5 jako ułamek będzie wyglądać następująco: 5/1. Aby zamienić liczbę mieszaną na ułamek, należy pomnożyć liczbę całkowitą przez mianownik i dodać do niej licznik. Przykład: 8 liczb całkowitych i 3/5 jako ułamek = 8x5+3/5 = 43/5.
- Następnie należy znaleźć dodatkowy współczynnik, który określa się poprzez podzielenie NZ przez mianownik każdej frakcji.
- Ostatnim krokiem jest pomnożenie ułamka przez dodatkowy współczynnik.
Należy pamiętać, że sprowadzenie do wspólnego mianownika jest potrzebne nie tylko przy dodawaniu czy odejmowaniu. Aby porównać kilka ułamków o różnych mianownikach, należy również najpierw sprowadzić każdy z nich do wspólnego mianownika.
Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika
Aby zrozumieć, jak sprowadzić ułamek do wspólnego mianownika, musisz zrozumieć niektóre właściwości ułamków. Zatem ważną właściwością stosowaną do redukcji do NZ jest równość ułamków. Innymi słowy, jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną pomnożone przez liczbę, wynikiem będzie ułamek równy poprzedniemu. Jako przykład weźmy następujący przykład. Aby sprowadzić ułamki 5/9 i 5/6 do ich najniższego wspólnego mianownika, wykonaj następujące kroki:
- Najpierw znajdujemy najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników. W tym przypadku dla liczb 9 i 6 LCM wyniesie 18.
- Dla każdej z frakcji wyznaczamy dodatkowe współczynniki. Odbywa się to w następujący sposób. Dzielimy LCM przez mianownik każdego ułamka, w wyniku otrzymujemy 18: 9 = 2 i 18: 6 = 3. Liczby te będą dodatkowymi czynnikami.
- Do NOS wprowadzamy dwie frakcje. Mnożąc ułamek przez liczbę, należy pomnożyć zarówno licznik, jak i mianownik. Ułamek 5/9 można pomnożyć przez dodatkowy współczynnik 2, uzyskując ułamek równy podanemu - 10/18. To samo robimy z drugim ułamkiem: pomnóż 5/6 przez 3, otrzymując 15/18.
Jak widać na powyższym przykładzie, oba ułamki zostały sprowadzone do najniższego wspólnego mianownika. Aby w końcu zrozumieć, jak znaleźć wspólny mianownik, musisz opanować jeszcze jedną właściwość ułamków. Polega ona na tym, że licznik i mianownik ułamka można zmniejszyć o tę samą liczbę, co nazywa się wspólnym dzielnikiem. Na przykład ułamek 12/30 można zredukować do 2/5, dzieląc go przez wspólny dzielnik, czyli liczbę 6.
Aby zrozumieć, jak dodawać ułamki zwykłe o różnych mianownikach, najpierw poznajmy tę regułę, a następnie spójrzmy na konkretne przykłady.
Aby dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach:
1) Znajdź (NOZ) podane ułamki.
2) Znajdź dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka. Aby to zrobić, nowy mianownik musi zostać podzielony przez stary.
3) Pomnóż licznik i mianownik każdego ułamka przez dodatkowy współczynnik i dodaj lub odejmij ułamki o tych samych mianownikach.
4) Sprawdź, czy otrzymany ułamek jest właściwy i nierozkładalny.
W poniższych przykładach musisz dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach:
1) Aby odjąć ułamki o różnych mianownikach, najpierw poszukaj najniższego wspólnego mianownika danych ułamków. Wybieramy największą liczbę i sprawdzamy, czy jest ona podzielna przez mniejszą. Liczba 25 nie jest podzielna przez 20. Mnożymy 25 przez 2. 50 nie jest podzielne przez 20. Mnożymy 25 przez 3. 75 nie jest podzielne przez 20. Pomnóż 25 przez 4. 100 dzieli się przez 20. Zatem najniższy wspólny mianownik wynosi 100.
2) Aby znaleźć dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka, musisz podzielić nowy mianownik przez stary. 100:25=4, 100:20=5. W związku z tym pierwszy ułamek ma dodatkowy współczynnik 4, a drugi ma dodatkowy współczynnik 5.
3) Pomnóż licznik i mianownik każdego ułamka przez dodatkowy współczynnik i odejmij ułamki zgodnie z zasadą odejmowania ułamków o tych samych mianownikach.
4) Powstały ułamek jest właściwy i nieredukowalny. Oto odpowiedź.
1) Aby dodać ułamki o różnych mianownikach, najpierw poszukaj najniższego wspólnego mianownika. Liczba 16 nie jest podzielna przez 12. 16∙2=32 nie jest podzielne przez 12. 16∙3=48 dzieli się przez 12. Zatem 48 to NOZ.
2) 48:16=3, 48:12=4. Są to dodatkowe czynniki dla każdej frakcji.
3) pomnóż licznik i mianownik każdego ułamka przez dodatkowy współczynnik i dodaj nowe ułamki.
4) Powstały ułamek jest właściwy i nieredukowalny.
1) 30 nie jest podzielne przez 20. 30∙2=60 dzieli się przez 20. Zatem 60 jest najmniejszym wspólnym mianownikiem tych ułamków.
2) aby znaleźć dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka, musisz podzielić nowy mianownik przez stary: 60:20=3, 60:30=2.
3) pomnóż licznik i mianownik każdego ułamka przez dodatkowy współczynnik i odejmij nowe ułamki.
4) wynikowy ułamek 5.
1) 8 nie jest podzielne przez 6. 8∙2=16 nie jest podzielne przez 6. 8∙3=24 jest podzielne zarówno przez 4, jak i 6. Oznacza to, że 24 to NOZ.
2) aby znaleźć dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka, musisz podzielić nowy mianownik przez stary. 24:8=3, 24:4=6, 24:6=4. Oznacza to, że 3, 6 i 4 są dodatkowymi dzielnikami pierwszego, drugiego i trzeciego ułamka.
3) pomnóż licznik i mianownik każdego ułamka przez dodatkowy współczynnik. Dodaj i odejmij. Powstały ułamek jest niewłaściwy, więc musisz wybrać całą część.