Zdefiniuj kąt i jego oznaczenie. Kąty. Rodzaje kątów. Jednostki kąta. Oznaczenie narożników na rysunku

Pomiar kątów sprowadza się do pomiaru odpowiadających im łuków w następujący sposób. Za jednostkę kąta przyjmuje się kąt będący 1/90 kąta prostego. Ta jednostka nazywa się stopień kątowy .

Za jednostkę łuków o tym samym promieniu uważa się łuk o tym samym promieniu, który odpowiada kątowi środkowemu równemu stopniowi kątowemu. Ten łuk nazywa się stopień łuku.

Ponieważ kąt środkowy prosty odpowiada 1/4 koła, stopień kątowy odpowiada 1/90 czwartej części koła. Oznacza to, że stopień łuku wynosi 1/360 całego koła.

Załóżmy, że musimy zmierzyć kąt AOB, to znaczy znaleźć stosunek tego kąta do stopnia kątowego MNP. Aby to zrobić, opisujemy łuki CD i EF z wierzchołków kątów o dowolnym, ale identycznym promieniu.

Wtedy będziemy mieli:

Lewy stosunek tej proporcji to liczba mierząca kąt AOB w stopniach łukowych. Prawy stosunek to liczba mierząca łuk CD w stopniach łukowych.

Dlatego proporcję tę można wyrazić w następujący sposób: liczba mierząca kąt w stopniach łuku jest równa liczbie mierzącej odpowiedni łuk w stopniach łuku.

Dla zwięzłości to zdanie jest zwykle wyrażane w następujący sposób: Kąt mierzy się za pomocą odpowiadającego mu łuku.

Stopnie kąta lub łuku są podzielone na 60 równe części tzw minuty(narożnik lub łuk).

Minuta dzieli się na 60 równe części tzw sekundy(narożnik lub łuk).

Z powyższego wynika, że ​​kąt zawiera tyle stopni, minut i sekund łuku, ile odpowiadający mu stopni łuku zawiera stopnie, minuty i sekundy łuku.

Jeśli na przykład arc CD zawiera 40 stopni. 25 minut i 13,5 sekundy (łuk), wówczas kąt AOB wynosi 40 stopni. 25 minut 13,5 sek. (narożnik). Krótko wyraża się to w następujący sposób:

∠AOB = 40°25’ 13,5’’,

oznaczające stopnie, minuty i sekundy odpowiednio symbolami (°), ('), ('').

Ponieważ kąt prosty zawiera 90°, to:

1. suma kątów dowolnego trójkąta wynosi 180°;

2. suma kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi 90°;

3. każdy kąt trójkąta równobocznego wynosi 60°;

4. Suma kątów wielokąta wypukłego mającego n boków wynosi 180° (n - 2).

Kątomierz - To urządzenie służące do pomiaru kątów to półkole, którego łuk dzieli się na 180 stopni.

Aby zmierzyć kąt AOB, umieść na nim urządzenie tak, aby środek półkola pokrywał się z wierzchołkiem kąta, a promień OM pokrywał się z bokiem AO. Wtedy liczba stopni zawartych w łuku PN będzie wskazywała wielkość kąta AOB. Możesz także użyć kątomierza, aby narysować kąt zawierający określoną liczbę stopni.

Oczywiście na takim urządzeniu nie można liczyć nie tylko sekund, ale także minut. Pomiaru i wykreślenia można dokonać jedynie w przybliżeniu.

Pomiar kątów polega na porównaniu ich z kątem przyjętym jako jednostka miary. Zazwyczaj jednostką miary kątów jest stopień - kąt równy 1/180 kąta rozłożonego.

Kątomierz

Liczba dodatnia, która pokazuje, ile razy stopień i jego części mieszczą się w danym kącie, nazywa się miarą stopnia kąta. Do pomiaru kątów służy kątomierz (ryc. 1).

∠AOB = 150°

Rysunek 2 przedstawia kąt AOB, którego miara stopnia wynosi 150°. Zwykle mówią krótko: „Kąt AOB wynosi 150°” - i piszą: Z AOB = 150°.

1/60 stopnia nazywa się minutą, a 1/60 minuty nazywa się sekundą. Minuty są oznaczone znakiem „′”, a sekundy znakiem „″”. Na przykład kąt 68 stopni, 32 minut i 27 sekund jest oznaczony w następujący sposób: 68°32′27″.

Jeśli dwa kąty są równe, to stopień i jego części umieszcza się w tych kątach taką samą liczbę razy, tj. równe kąty mają równe miary stopnia. Jeśli jeden kąt jest mniejszy od drugiego, to stopień (lub jego część) jest w nim umieszczony mniej razy niż w drugim kącie, czyli mniejszy kąt ma mniejszą miarę stopnia.

Ponieważ stopień wynosi 1/180: część kąta prostego, zatem kąt prosty wynosi 180°. Kąt nieobrócony ma mniej niż 180°, ponieważ jest mniejszy od rozwiniętego.

∠AOC = 40°, ∠COB= 120°, ∠AOB = 160°

Rysunek 3 przedstawia półproste rozpoczynające się w punkcie O. Promień OC dzieli kąt AOB na dwa kąty: AOC i COB. Widzimy to ∠ AOC = 40°, ∠ COB = 120°, ∠ AOB = 160°.

Zatem, ∠ AOC + ∠ COB = ∠ AOB.

Jest rzeczą oczywistą, że we wszystkich innych przypadkach gdy półprosta dzieli kąt na dwa kąty, miara stopnia całego kąta jest równa sumie miar stopni tych kątów.

Kąt nazywa się:

bezpośredni, jeśli jest równy 90° (ryc. 4, a);

ostry, jeśli jest mniejszy niż 90°, tj. mniejszy niż kąt prosty (ryc. 4, b);

głupi, jeśli jest większy niż 90°, ale mniejszy niż 180°, tj. więcej niż kąt prosty, ale mniej niż kąt prosty (ryc. 4, c).

Przykład 1. Promień l jest dwusieczną kąta hk równą 50°. Znajdź miary stopnia kątów hi i Ik.

Rozwiązanie. Ponieważ l jest dwusieczną kąta hk, miary stopniowe każdego z kątów hl i lk są równe. Oznaczmy stopień jednego z nich przez x. Wtedy 2x = 50°, skąd x = 25°. Zatem miary stopnia każdego z kątów hl i lk wynoszą 25° i 25°.

Przykład 2. Ray OS dzieli kąt AOB na dwa kąty. Znajdź kąt AOC, jeśli ∠ AOB = 155° i kąt AOC jest o 15° większy od kąta COB.

Rozwiązanie. Oznaczmy miarę stopnia kąta AOC przez x. Wtedy miara stopnia kąta COB będzie wynosić x - 15°. Teraz zgodnie z warunkiem x + x - 15° = 155° lub 2x = 170°, skąd x = 85°.

Przykład 3. Promień a przechodzi między bokami kąta cd równego 120°. Znajdź kąty canad, jeśli ich miary stopnia są w stosunku 4:2.

Rozwiązanie. Promień a przechodzi pomiędzy bokami kąta cd, co oznacza ∠ ca + ∠ ad = ∠ cd.
Ponieważ miary stopnia ∠ca i ∠ad są w stosunku 4:2, to $$∠ ca = \frac(120°)(6) 4 = 80° ,\space ∠ ad = \frac(120°)(6 ) 2 = 40°.$$

Kąt jest główną figurą geometryczną, którą będziemy analizować w całym temacie. Definicje, metody wyznaczania, oznaczanie i pomiar kąta. Przyjrzyjmy się zasadom podkreślania narożników na rysunkach. Cała teoria jest ilustrowana i posiada dużą liczbę rysunków poglądowych.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicja 1

Narożnik– prosta ważna figura w geometrii. Kąt zależy bezpośrednio od definicji promienia, która z kolei składa się z podstawowych pojęć punktu, linii prostej i płaszczyzny. Aby uzyskać dokładne przestudiowanie, musisz zagłębić się w tematy linia prosta na płaszczyźnie - niezbędne informacje I samolot - niezbędne informacje.

Pojęcie kąta zaczyna się od pojęć punktu, płaszczyzny i linii prostej przedstawionych na tej płaszczyźnie.

Definicja 2

Biorąc pod uwagę linię prostą a na płaszczyźnie. Oznaczmy na nim pewien punkt O. Linia prosta jest podzielona punktem na dwie części, z których każda ma nazwę Promień i punkt O – początek belki.

Innymi słowy, wiązka lub półprosty – jest to część linii składająca się z punktów danej linii znajdujących się po tej samej stronie w stosunku do punktu początkowego, czyli punktu O.

Oznaczenie belki jest dozwolone w dwóch wersjach: jedna mała lub dwie wielkie litery alfabetu łacińskiego. Belka oznaczona dwiema literami ma nazwę składającą się z dwóch liter. Przyjrzyjmy się bliżej rysunkowi.

Przejdźmy do koncepcji określania kąta.

Definicja 3

Narożnik to figura znajdująca się na danej płaszczyźnie, utworzona przez dwa rozbieżne promienie, które mają wspólny początek. Strona kątowa jest promieniem wierzchołek– wspólne pochodzenie boków.

Zdarza się, że boki kąta mogą działać jak linia prosta.

Definicja 4

Jeżeli obie strony kąta leżą na tej samej prostej lub jego boki służą jako dodatkowe półproste jednej prostej, wówczas taki kąt nazywa się rozszerzony.

Poniższe zdjęcie przedstawia obrócony narożnik.

Punkt na prostej jest wierzchołkiem kąta. Najczęściej jest on wyznaczony przez punkt O.

Kąt w matematyce oznacza się znakiem „∠”. Kiedy boki kąta są oznaczone małymi literami łacińskimi, aby poprawnie określić kąt, litery są pisane w rzędzie odpowiadającym bokom. Jeśli dwa boki są oznaczone k i h, wówczas kąt jest oznaczony ∠ k h lub ∠ h k.

Jeżeli oznaczenie jest pisane wielkimi literami, wówczas boki kąta nazywane są odpowiednio O A i O B. W tym przypadku kąt ma nazwę złożoną z trzech liter alfabetu łacińskiego, zapisanych w rzędzie, pośrodku z wierzchołkiem - ∠ A O B i ∠ B O A. Oznaczenie w postaci liczb występuje, gdy kąty nie mają nazw ani oznaczeń literowych. Poniżej znajduje się rysunek, na którym kąty są zaznaczone na różne sposoby.

Kąt dzieli płaszczyznę na dwie części. Jeżeli kąt nie zostanie obrócony, wówczas nazywana jest jedna część płaszczyzny obszar narożnika wewnętrznego, inny - zewnętrzny obszar narożnika. Poniżej znajduje się obraz wyjaśniający, które części samolotu są zewnętrzne, a które wewnętrzne.

Po podzieleniu przez kąt rozwinięty na płaszczyźnie dowolną jej część uważa się za obszar wewnętrzny rozwiniętego kąta.

Wewnętrzna powierzchnia kąta jest elementem służącym do drugiej definicji kąta.

Definicja 5

Kąt nazywana figurą geometryczną składającą się z dwóch rozbieżnych promieni, które mają wspólny początek i odpowiadającą im powierzchnię kąta wewnętrznego.

Ta definicja jest bardziej rygorystyczna niż poprzednia, ponieważ zawiera więcej warunków. Nie zaleca się rozpatrywania obu definicji osobno, gdyż kąt jest figurą geometryczną przekształconą za pomocą dwóch promieni wychodzących z jednego punktu. Kiedy konieczne jest wykonanie działań pod kątem, definicja oznacza obecność dwóch promieni o wspólnym początku i obszarze wewnętrznym.

Nazywa się dwa kąty przylegający, jeśli istnieje wspólny bok, a pozostałe dwie są dodatkowymi półprostymi lub tworzą kąt prosty.

Rysunek pokazuje, że sąsiednie kąty uzupełniają się, ponieważ są wzajemną kontynuacją.

Definicja 7

Nazywa się dwa kąty pionowy, jeśli boki jednego są uzupełniającymi się półliniami drugiego lub są kontynuacją boków drugiego. Poniższy rysunek przedstawia obraz kątów pionowych.

Gdy linie proste się przecinają, uzyskuje się 4 pary sąsiadujących i 2 pary kątów pionowych. Poniżej pokazano na zdjęciu.

W artykule przedstawiono definicje kątów równych i nierównych. Przyjrzyjmy się, który kąt jest uważany za większy, który za mniejszy, i inne właściwości kąta. Dwie liczby uważa się za równe, jeśli po nałożeniu całkowicie się pokrywają. Ta sama właściwość dotyczy porównywania kątów.

Dane są dwa kąty. Należy dojść do wniosku, czy kąty te są równe, czy nie.

Wiadomo, że wierzchołki dwóch kątów i boki pierwszego kąta pokrywają się z dowolnym innym bokiem drugiego. Oznacza to, że jeśli zachodzi zupełna zbieżność nałożenia kątów, boki danych kątów zostaną całkowicie wyrównane, kąty równy.

Może się zdarzyć, że po nałożeniu boki nie będą się zbiegać, a następnie rogi nierówne, mniejsze z których składa się z innego, i więcej zawiera zupełnie inny kąt. Poniżej znajdują się nierówne kąty, które nie zostały wyrównane po nałożeniu.

Kąty proste są równe.

Pomiar kątów rozpoczyna się od zmierzenia boku mierzonego kąta i jego pola wewnętrznego, wypełnienia go kątami jednostkowymi i przyłożenia ich do siebie. Konieczne jest policzenie liczby ułożonych kątów, określają one z góry miarę mierzonego kąta.

Jednostkę kąta można wyrazić za pomocą dowolnego mierzalnego kąta. Istnieją ogólnie przyjęte jednostki miary stosowane w nauce i technologii. Specjalizują się w innych tytułach.

Najczęściej używane pojęcie stopień.

Definicja 8

Jeden stopień nazywany kątem, który ma sto osiemdziesiątą część kąta prostego.

Standardowe oznaczenie stopnia to „°”, wówczas jeden stopień to 1°. Dlatego kąt prosty składa się ze 180 takich kątów o jednym stopniu. Wszystkie dostępne narożniki są ściśle do siebie przylegające, a boki poprzedniego zbiegają się z następnym.

Wiadomo, że miara kąta jest liczbą stopni kąta. Kąt rozłożony ma w swoim składzie 180 kątów skumulowanych. Poniższy rysunek pokazuje przykłady, w których kąt jest ułożony 30 razy, czyli jedną szóstą rozłożonego, i 90 razy, czyli połowę.

Minuty i sekundy służą do dokładnego pomiaru kątów. Stosuje się je, gdy wartość kąta nie jest oznaczeniem pełnego stopnia. Te ułamki stopnia pozwalają na dokładniejsze obliczenia.

Definicja 9

w minutę nazywana jedną sześćdziesiątą stopnia.

Definicja 10

Za sekundę nazywana jedną sześćdziesiątą minuty.

Stopień zawiera 3600 sekund. Minuty są oznaczone „””, a sekundy „””. Oznaczenie ma miejsce:

1 ° = 60 " = 3600 "" , 1 " = (1 60) ° , 1 " = 60 "" , 1 "" = (1 60) " = (1 3600) ° ,

a oznaczenie dla kąta 17 stopni 3 minut i 59 sekund to 17°3 „59””.

Definicja 11

Podajmy przykład oznaczenia miary stopnia kąta równego 17°3 „59”. Wpis ma inną postać: 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600.

Aby dokładnie zmierzyć kąty, użyj urządzenia pomiarowego, takiego jak kątomierz. Przy oznaczaniu kąta ∠ A O B i jego miary stopnia wynoszącej 110 stopni stosuje się wygodniejszą notację ∠ A O B = 110 °, która brzmi: „Kąt A O B jest równy 110 stopni”.

W geometrii stosuje się miarę kąta z przedziału (0, 180], a w trygonometrii miarę dowolnego stopnia nazywa się kąty obrotu. Wartość kątów wyrażana jest zawsze jako liczba rzeczywista. Prosty kąt- To jest kąt, który ma 90 stopni. Ostry róg– kąt mniejszy niż 90 stopni, oraz tępy- więcej.

Kąt ostry mierzy się w przedziale (0, 90), a kąt rozwarty - (90, 180). Poniżej wyraźnie pokazano trzy rodzaje kątów.

Dowolna miara stopnia dowolnego kąta ma tę samą wartość. Większy kąt ma odpowiednio większą miarę stopnia niż mniejszy. Miara stopnia jednego kąta jest sumą wszystkich dostępnych miar stopnia kątów wewnętrznych. Poniżej znajduje się rysunek przedstawiający kąt AOB, składający się z kątów AOC, COD i DOB. Szczegółowo wygląda to tak: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45° + 30° + 60° = 135°.

Na tej podstawie możemy to stwierdzić suma wszyscy sąsiednie kąty są równe 180 stopni, ponieważ wszystkie tworzą kąt prosty.

Wynika z tego, że jakikolwiek kąty pionowe są równe. Jeśli rozważymy to jako przykład, okaże się, że kąty A O B i C O D są pionowe (na rysunku), wówczas pary kątów A O B i B O C, C O D i B O C uważa się za sąsiadujące. W tym przypadku równość ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° wraz z ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° uważa się za jednoznacznie prawdziwą. Stąd mamy, że ∠ A O B = ∠ do O D . Poniżej przykładowy obraz i oznaczenie zaczepów pionowych.

Oprócz stopni, minut i sekund używana jest inna jednostka miary. Nazywa się to radian. Najczęściej można go znaleźć w trygonometrii przy oznaczaniu kątów wielokątów. Jak nazywa się radian?

Definicja 12

Jeden kąt radianowy zwany kątem środkowym, który ma promień okręgu równy długości łuku.

Na rysunku radian jest przedstawiony jako okrąg, którego środek jest oznaczony kropką, a dwa punkty na okręgu są połączone i przekształcone w promienie O A i O B. Z definicji ten trójkąt A O B jest równoboczny, co oznacza długość łuku A B jest równa długościom promieni O B i O A.

Przyjmuje się, że oznaczenie kąta to „rad”. Oznacza to, że zapisanie 5 radianów jest skracane jako 5 rad. Czasami można znaleźć zapis zwany pi. Radiany nie zależą od długości danego okręgu, ponieważ figury mają pewne ograniczenie przez kąt i jego łuk, którego środek znajduje się w wierzchołku danego kąta. Uważa się je za podobne.

Radiany mają to samo znaczenie co stopnie, różnica polega jedynie na ich wielkości. Aby to ustalić, należy podzielić obliczoną długość łuku kąta środkowego przez długość jego promienia.

W praktyce stosują przeliczanie stopni na radiany i radianów na stopnie dla wygodniejszego rozwiązywania problemów. W tym artykule znajdują się informacje na temat związku między miarą stopni a radianami, w którym można szczegółowo przestudiować konwersję stopni na radiany i odwrotnie.

Rysunki służą do wizualnego i wygodnego przedstawiania łuków i kątów. Nie zawsze możliwe jest prawidłowe zobrazowanie i oznaczenie konkretnego kąta, łuku lub nazwy. Kąty równe są oznaczone tą samą liczbą łuków, a kąty nierówne inną liczbą. Rysunek pokazuje prawidłowe oznaczenie kątów ostrych, równych i nierównych.

Gdy konieczne jest oznaczenie więcej niż 3 narożników, stosuje się specjalne symbole łuków, takie jak faliste lub postrzępione. To nie jest takie ważne. Poniżej zdjęcie przedstawiające ich oznaczenie.

Symbole kątów powinny być proste, aby nie zakłócać innych znaczeń. Rozwiązując problem, zaleca się wyróżnienie tylko kątów niezbędnych do rozwiązania, aby nie zaśmiecać całego rysunku. Nie będzie to kolidować z rozwiązaniem i dowodem, a także nada rysunkowi estetyczny wygląd.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

W tym artykule kompleksowo przeanalizujemy jedną z podstawowych figur geometrycznych – kąt. Zacznijmy od pojęć pomocniczych i definicji, które doprowadzą nas do definicji kąta. Następnie przedstawiamy przyjęte sposoby wyznaczania kątów. Następnie przyjrzymy się szczegółowo procesowi pomiaru kątów. Podsumowując, pokażemy, jak zaznaczyć rogi na rysunku. Całą teorię zaopatrzyliśmy w niezbędne rysunki i ilustracje graficzne dla lepszego zapamiętywania materiału.

Nawigacja strony.

Definicja kąta.

Kąt jest jedną z najważniejszych figur w geometrii. Definicja kąta wynika z definicji promienia. Z kolei wyobrażenia o promieniu nie da się uzyskać bez znajomości takich figur geometrycznych jak punkt, linia prosta i płaszczyzna. Dlatego przed zapoznaniem się z definicją kąta zalecamy zapoznanie się z teorią z sekcji i.

Zaczniemy więc od pojęć punktu, linii na płaszczyźnie i płaszczyzny.

Podajmy najpierw definicję promienia.

Dajmy sobie jakąś linię prostą na płaszczyźnie. Oznaczmy to literą a. Niech O będzie punktem prostej a. Punkt O dzieli linię a na dwie części. Każda z tych części wraz z punktem O nazywa się Belka, a punkt O nazywa się początek promienia. Można także usłyszeć, jak nazywa się wiązka półbezpośrednie.

Dla zwięzłości i wygody wprowadzono następujące oznaczenie promieni: promień oznacza się albo małą literą łacińską (na przykład promień p lub promień k), albo dwiema dużymi literami łacińskimi, z których pierwsza odpowiada początkowi promień, a drugi oznacza jakiś punkt tego promienia (na przykład promień OA lub promień CD). Pokażmy obraz i oznaczenie promieni na rysunku.

Teraz możemy podać pierwszą definicję kąta.

Definicja.

Narożnik- jest to płaska figura geometryczna (to znaczy leżąca całkowicie w określonej płaszczyźnie), która składa się z dwóch rozbieżnych promieni o wspólnym pochodzeniu. Każdy z promieni nazywa się stronę rogu, nazywa się wspólny początek boków kąta wierzchołek kąta.

Możliwe jest, że boki kąta tworzą linię prostą. Ten kąt ma swoją nazwę.

Definicja.

Jeżeli obie strony kąta leżą na tej samej prostej, wówczas taki kąt nazywamy rozszerzony.

Przedstawiamy Państwu graficzną ilustrację obróconego kąta.

Aby wskazać kąt, użyj ikony kąta „”. Jeśli boki kąta są oznaczone małymi literami łacińskimi (na przykład jedna strona kąta to k, a druga to h), to w celu oznaczenia tego kąta po ikonie kąta zapisuje się litery odpowiadające bokom rząd, a kolejność pisania nie ma znaczenia (to znaczy lub). Jeżeli boki kąta są oznaczone dwiema dużymi literami łacińskimi (np. jedna strona kąta to OA, a druga strona kąta to OB), to kąt oznacza się w następujący sposób: po ikonie kąta trzy zapisywane są litery, które biorą udział w wyznaczaniu boków kąta, a litera odpowiadająca wierzchołkowi kąta znajduje się pośrodku (w naszym przypadku kąt zostanie oznaczony jako lub ). Jeżeli wierzchołek kąta nie jest wierzchołkiem innego kąta, wówczas taki kąt można oznaczyć literą odpowiadającą wierzchołkowi kąta (na przykład ). Czasami widać, że kąty na rysunkach są oznaczone cyframi (1, 2 itd.), kąty te są oznaczone jako i tak dalej. Dla przejrzystości przedstawiamy rysunek, na którym przedstawiono i wskazano kąty.

Dowolny kąt dzieli płaszczyznę na dwie części. Ponadto, jeśli kąt nie zostanie obrócony, wówczas nazywana jest jedna część płaszczyzny obszar narożnika wewnętrznego, i inni - zewnętrzny obszar narożnika. Poniższy obraz wyjaśnia, która część płaszczyzny odpowiada wewnętrznemu obszarowi narożnika, a która zewnętrznemu.

Dowolną z dwóch części, na które kąt rozłożony dzieli płaszczyznę, można uznać za obszar wewnętrzny kąta rozłożonego.

Zdefiniowanie obszaru wewnętrznego kąta prowadzi nas do drugiej definicji kąta.

Definicja.

Narożnik to figura geometryczna złożona z dwóch rozbieżnych promieni o wspólnym początku i odpowiadającej im wewnętrznej powierzchni kąta.

Należy zauważyć, że druga definicja kąta jest bardziej rygorystyczna niż pierwsza, ponieważ zawiera więcej warunków. Nie należy jednak odrzucać pierwszej definicji kąta ani rozpatrywać oddzielnie pierwszej i drugiej definicji kąta. Wyjaśnijmy tę kwestię. Kiedy mówimy o kącie jako o figurze geometrycznej, to przez kąt rozumie się figurę złożoną z dwóch promieni o wspólnym początku. Jeżeli zajdzie potrzeba wykonania jakichkolwiek działań z tym kątem (np. zmierzenie kąta), to pod kątem należy już rozumieć dwa promienie o wspólnym początku i polu wewnętrznym (w przeciwnym razie powstałaby sytuacja podwójna ze względu na obecność zarówno wewnętrznych, jak i zewnętrznych obszarów kąta).

Podajmy także definicje kątów przyległych i kątów pionowych.

Definicja.

Sąsiednie kąty- są to dwa kąty, w których jeden bok jest wspólny, a dwa pozostałe tworzą kąt rozłożony.

Z definicji wynika, że ​​sąsiednie kąty uzupełniają się aż do momentu, gdy kąt zostanie obrócony.

Definicja.

Pionowe kąty- są to dwa kąty, w których boki jednego kąta są kontynuacją boków drugiego.

Na rysunku przedstawiono kąty pionowe.

Oczywiście dwie przecinające się linie tworzą cztery pary sąsiednich kątów i dwie pary kątów pionowych.

Porównanie kątów.

W tym akapicie artykułu zrozumiemy definicje kątów równych i nierównych, a także w przypadku kątów nierównych wyjaśnimy, który kąt uważa się za większy, a który za mniejszy.

Przypomnijmy, że dwie figury geometryczne nazywane są równymi, jeśli można je połączyć poprzez nakładanie się.

Dajmy sobie dwa kąty. Przedstawmy kilka rozumowań, które pomogą nam uzyskać odpowiedź na pytanie: „Czy te dwa kąty są równe, czy nie?”

Oczywiście zawsze możemy dopasować wierzchołki dwóch narożników, a także jedną stronę pierwszego narożnika z dowolną stroną drugiego narożnika. Wyrównajmy bok pierwszego kąta z tą stroną drugiego kąta, tak aby pozostałe boki kątów znajdowały się po tej samej stronie prostej, na której leżą połączone boki kątów. Następnie, jeśli pozostałe dwie strony kątów pokrywają się, wówczas nazywane są kąty równy.

Jeśli pozostałe dwie strony kątów nie pokrywają się, wówczas nazywane są kąty nierówny, I mniejszy brany jest pod uwagę kąt, który stanowi część innego ( duży jest kątem, który całkowicie zawiera inny kąt).

Oczywiście oba kąty proste są równe. Oczywiste jest również, że kąt rozwinięty jest większy niż jakikolwiek kąt nierozwinięty.

Pomiar kątów.

Pomiar kątów polega na porównaniu mierzonego kąta z kątem przyjętym jako jednostka miary. Proces pomiaru kątów wygląda następująco: zaczynając od jednego ze stron mierzonego kąta, jego wewnętrzną powierzchnię zapełnia się kolejno pojedynczymi kątami, umieszczając je ciasno obok siebie. Jednocześnie zapamiętywana jest liczba ułożonych kątów, co daje miarę mierzonego kąta.

Tak naprawdę każdy kąt można przyjąć jako jednostkę miary kątów. Istnieje jednak wiele ogólnie przyjętych jednostek miary kątów związanych z różnymi dziedzinami nauki i technologii, otrzymały one specjalne nazwy.

Jedną z jednostek miary kątów jest stopień.

Definicja.

Jeden stopień- jest to kąt równy stu osiemdziesiątym kąta obrotu.

Stopień jest oznaczony symbolem „”, dlatego jeden stopień jest oznaczony jako .

Zatem w obróconym kącie możemy zmieścić 180 kątów w jednym stopniu. Będzie wyglądać jak pół okrągłego ciasta podzielonego na 180 równych kawałków. Bardzo ważne: „kawałki ciasta” ściśle do siebie przylegają (tzn. boki rogów są wyrównane), przy czym bok pierwszego narożnika jest zrównany z jedną stroną rozłożonego kąta, a bok ostatniego kąta jednostkowego pokrywa się z drugą stroną rozłożonego kąta.

Podczas pomiaru kątów dowiedz się, ile razy stopień (lub inna jednostka miary kątów) jest umieszczany w mierzonym kącie, aż do całkowitego pokrycia wewnętrznego obszaru mierzonego kąta. Jak już widzieliśmy, w obróconym kącie stopień wynosi dokładnie 180 razy. Poniżej przykłady kątów, w których kąt jednego stopnia mieści się dokładnie 30 razy (taki kąt jest szóstą kąta rozłożonego) i dokładnie 90 razy (połowa kąta rozłożonego).

Do pomiaru kątów mniejszych niż jeden stopień (lub inna jednostka miary kątów) oraz w przypadkach, gdy kąta nie można zmierzyć w całkowitej liczbie stopni (przyjmowanych jednostkach miary), konieczne jest użycie części stopnia (części przyjęte jednostki miary). Niektórym częściom stopnia nadano specjalne nazwy. Najpopularniejsze są tak zwane minuty i sekundy.

Definicja.

Minuta to jedna sześćdziesiąta stopnia.

Definicja.

Drugi to jedna sześćdziesiąta minuty.

Innymi słowy, minuta ma sześćdziesiąt sekund i stopień (3600 sekund) sześćdziesiąt minut. Symbolu „” używa się do oznaczenia minut, a symbolu „” do oznaczenia sekund (nie mylić ze znakami pochodnej i drugiej pochodnej). Następnie, mając wprowadzone definicje i oznaczenia, mamy , a kąt, w którym mieści się 17 stopni, 3 minuty i 59 sekund, można oznaczyć jako .

Definicja.

Stopniowa miara kąta jest liczbą dodatnią, która pokazuje, ile razy stopień i jego części mieszczą się pod danym kątem.

Na przykład miara stopnia kąta rozwiniętego wynosi sto osiemdziesiąt, a miara stopnia kąta jest równa .

Istnieją specjalne przyrządy pomiarowe do pomiaru kątów, z których najbardziej znanym jest kątomierz.

Jeżeli znane jest zarówno oznaczenie kąta (np. ), jak i miara jego stopnia (niech 110), to należy zastosować krótki zapis postaci i mówią: „Kąt AOB wynosi sto dziesięć stopni”.

Z definicji kąta i stopniowej miary kąta wynika, że ​​w geometrii miarę kąta w stopniach wyraża się liczbą rzeczywistą z przedziału (0, 180] (w trygonometrii kąty o dowolnym stopniu miara jest brana pod uwagę, nazywa się ją). Kąt dziewięćdziesięciu stopni ma specjalną nazwę, nazywa się ją prosty kąt. Kąt mniejszy niż 90 stopni nazywa się kąt ostry. Nazywa się kąt większy niż dziewięćdziesiąt stopni kąt rozwarty. Zatem miarę kąta ostrego w stopniach wyraża się liczbą z przedziału (0, 90), miarę kąta rozwartego wyraża się liczbą z przedziału (90, 180), kąt prosty jest równy dziewięćdziesiąt stopni. Oto ilustracje kąta ostrego, rozwartego i prostego.

Z zasady pomiaru kątów wynika, że ​​miara stopnia kątów równych jest taka sama, miara stopnia większego kąta jest większa niż miara stopnia mniejszego, a miara stopnia kąta utworzonego przez kilka kąty są równe sumie miar stopni kątów składowych. Poniższy rysunek przedstawia kąt AOB, który w tym przypadku tworzą kąty AOC, COD i DOB.

Zatem, suma sąsiednich kątów wynosi sto osiemdziesiąt stopni, ponieważ tworzą kąt prosty.

Z tego stwierdzenia wynika, że. Rzeczywiście, jeśli kąty AOB i COD są pionowe, to kąty AOB i BOC sąsiadują ze sobą, a kąty COD i BOC również sąsiadują, zatem równości i są ważne, co implikuje równość.

Wraz ze stopniem nazywa się wygodną jednostką miary kątów radian. Miara radianów jest szeroko stosowana w trygonometrii. Zdefiniujmy radian.

Definicja.

Kąt jeden radian- Ten kąt środkowy, co odpowiada długości łuku równej długości promienia odpowiedniego okręgu.

Podajmy graficzną ilustrację kąta jednego radiana. Na rysunku długość promienia OA (a także promienia OB) jest równa długości łuku AB, dlatego z definicji kąt AOB jest równy jednemu radianowi.

Do określenia radianów używa się skrótu „rad”. Na przykład wpis 5 rad oznacza 5 radianów. Jednak w piśmie określenie „rad” jest często pomijane. Na przykład, gdy jest napisane, że kąt jest równy pi, oznacza to pi rad.

Warto osobno zauważyć, że wielkość kąta wyrażona w radianach nie zależy od długości promienia okręgu. Wynika to z faktu, że figury ograniczone danym kątem oraz łuk koła ze środkiem w wierzchołku danego kąta są do siebie podobne.

Pomiaru kątów w radianach można dokonać w taki sam sposób, jak pomiaru kątów w stopniach: dowiedz się, ile razy kąt jednego radiana (i jego części) mieści się w danym kącie. Możesz też obliczyć długość łuku odpowiedniego kąta środkowego, a następnie podzielić ją przez długość promienia.

Ze względów praktycznych warto wiedzieć, w jaki sposób miary stopnia i radianu odnoszą się do siebie, ponieważ trzeba wykonać całkiem sporo z nich. W tym artykule ustalono powiązanie między stopniowymi i radianami miar kąta oraz podano przykłady konwersji stopni na radiany i odwrotnie.

Oznaczenie kątów na rysunku.

Na rysunkach, dla wygody i przejrzystości, narożniki można oznaczyć łukami, które zwykle rysuje się w wewnętrznej części narożnika od jednej strony narożnika do drugiej. Kąty równe zaznaczamy tą samą liczbą łuków, kąty nierówne inną liczbą łuków. Kąty proste na rysunku są oznaczone symbolem „”, który jest przedstawiony w wewnętrznym obszarze kąta prostego z jednej strony kąta na drugą.

Jeśli musisz zaznaczyć na rysunku wiele różnych kątów (zwykle więcej niż trzy), to przy zaznaczaniu kątów, oprócz zwykłych łuków, dopuszczalne jest stosowanie łuków jakiegoś specjalnego typu. Na przykład możesz przedstawić postrzępione łuki lub coś podobnego.

Należy zauważyć, że nie należy dać się ponieść wyznaczaniu kątów na rysunkach i nie zaśmiecać rysunków. Zalecamy zaznaczanie tylko tych kątów, które są niezbędne w procesie rozwiązywania lub sprawdzania.

Bibliografia.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometria. Klasy 7 – 9: podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Podręcznik dla klas 10-11 szkoły średniej.
• Pogorelov A.V., Geometria. Podręcznik dla klas 7-11 szkół ogólnokształcących.

W tym artykule omówimy jeden z podstawowych kształtów geometrycznych - kąt. Po ogólnym wprowadzeniu do tej koncepcji skupimy się na konkretnym typie takiej figury. Kąt prosty to ważne pojęcie w geometrii, które będzie głównym tematem tego artykułu.

Wprowadzenie do kąta geometrycznego

W geometrii istnieje wiele obiektów, które stanowią podstawę całej nauki. Kąt odnosi się do nich i jest definiowany za pomocą pojęcia promienia, więc zacznijmy od niego.

Ponadto zanim zaczniesz określać sam kąt, musisz pamiętać o kilku równie ważnych obiektach w geometrii - jest to punkt, linia prosta na płaszczyźnie i sama płaszczyzna. Linia prosta to najprostsza figura geometryczna, która nie ma początku ani końca. Płaszczyzna to powierzchnia, która ma dwa wymiary. Cóż, półprosta w geometrii jest częścią linii, która ma początek, ale nie ma końca.

Korzystając z tych pojęć, możemy stwierdzić, że kąt jest figurą geometryczną leżącą całkowicie w określonej płaszczyźnie i składającą się z dwóch rozbieżnych promieni o wspólnym początku. Takie półproste nazywane są bokami kąta, a wspólnym początkiem boków jest jego wierzchołek.

Rodzaje kątów i geometria

Wiemy, że kąty mogą być zupełnie inne. Dlatego nieco poniżej będzie mała klasyfikacja, która pomoże Ci lepiej zrozumieć rodzaje kątów i ich główne cechy. Tak więc istnieje kilka rodzajów kątów w geometrii:

1. Prosty kąt. Charakteryzuje się wartością 90 stopni, co oznacza, że ​​jego boki są zawsze do siebie prostopadłe.
2. Ostry róg. Kąty te obejmują wszystkich ich przedstawicieli o rozmiarze mniejszym niż 90 stopni.
3. Kąt rozwarty. Tutaj mogą występować wszystkie kąty w zakresie od 90 do 180 stopni.
4. Rozłożony narożnik. Ma rozmiar ściśle 180 stopni, a na zewnątrz jego boki tworzą jedną linię prostą.

Pojęcie kąta prostego

Przyjrzyjmy się teraz bardziej szczegółowo kątowi obrotu. Dzieje się tak w przypadku, gdy obie strony leżą na tej samej linii prostej, co wyraźnie widać na rysunku nieco niżej. Oznacza to, że możemy śmiało powiedzieć, że pod odwróconym kątem jeden z jego boków jest w istocie kontynuacją drugiego.

Warto pamiętać, że taki kąt zawsze można podzielić za pomocą półprostej wychodzącej z jego wierzchołka. W rezultacie otrzymujemy dwa kąty, które w geometrii nazywane są sąsiadującymi.

Rozłożony kąt ma także kilka cech. Aby porozmawiać o pierwszym z nich, trzeba pamiętać o pojęciu „dwusiecznej kąta”. Przypomnijmy, że jest to półprosta, która dzieli dowolny kąt dokładnie na pół. Jeśli chodzi o kąt rozłożony, jego dwusieczna dzieli go w taki sposób, że powstają dwa kąty proste po 90 stopni. Bardzo łatwo to obliczyć matematycznie: 180˚ (stopień kąta obrotu): 2 = 90˚.

Jeśli podzielimy obrócony kąt przez całkowicie dowolny promień, wówczas w rezultacie zawsze otrzymamy dwa kąty, z których jeden będzie ostry, a drugi rozwarty.

Właściwości obróconych narożników

Wygodnie będzie rozważyć ten kąt, łącząc wszystkie jego główne właściwości, co zrobiliśmy na tej liście:

1. Boki obróconego kąta są antyrównoległe i tworzą linię prostą.
2. Kąt obrotu wynosi zawsze 180˚.
3. Dwa sąsiednie kąty razem tworzą zawsze kąt prosty.
4. Kąt pełny, czyli 360˚, składa się z dwóch kątów rozłożonych i jest równy ich sumie.
5. Połowa kąta prostego jest kątem prostym.

Znając wszystkie te cechy tego typu kątów, możemy je wykorzystać do rozwiązania szeregu problemów geometrycznych.

Problemy z obróconymi kątami

Aby sprawdzić, czy zrozumiałeś pojęcie kąta prostego, spróbuj odpowiedzieć na kilka poniższych pytań.

1. Jaka jest wielkość kąta prostego, jeśli jego boki tworzą linię pionową?
2. Czy dwa kąty będą sąsiadować ze sobą, jeśli pierwszy ma 72˚, a drugi 118˚?
3. Jeśli pełny kąt składa się z dwóch kątów odwrotnych, to ile ma kątów prostych?
4. Kąt prosty dzieli się za pomocą półprostej na dwa kąty w taki sposób, że ich miary stopnia są w stosunku 1:4. Oblicz powstałe kąty.

Rozwiązania i odpowiedzi:

1. Niezależnie od położenia obróconego kąta, z definicji jest on zawsze równy 180˚.
2. Kąty sąsiednie mają jeden bok wspólny. Dlatego, aby obliczyć wielkość kąta, jaki tworzą razem, wystarczy dodać wartość ich miar stopnia. Oznacza to 72 +118 = 190. Jednak z definicji kąt odwrócony wynosi 180˚, co oznacza, że ​​dwa podane kąty nie mogą sąsiadować ze sobą.
3. Kąt prosty zawiera dwa kąty proste. A skoro kompletny ma dwa rozłożone, to znaczy, że będą 4 proste.
4. Jeżeli żądane kąty nazwiemy aib, to niech x będzie dla nich współczynnikiem proporcjonalności, co oznacza, że ​​a=x, a zatem b=4x. Kąt obrotu w stopniach wynosi 180˚. I zgodnie z jego właściwością, że miara stopnia kąta jest zawsze równa sumie miar stopnia kątów, na które jest on podzielony przez dowolny promień przechodzący między jego bokami, możemy stwierdzić, że x + 4x = 180˚ , co oznacza 5x = 180˚. Stąd znajdujemy: x = a = 36˚ i b = 4x = 144˚. Odpowiedź: 36˚ i 144˚.

Jeśli byłeś w stanie odpowiedzieć na wszystkie te pytania bez podpowiedzi i bez zaglądania do odpowiedzi, możesz przejść do następnej lekcji geometrii.