Bank gotowych zadań. Dynamika ruchu oscylacyjnego – Hipermarket Wiedzy

WYKŁAD nr 8

Mechanika

Oscylacje

Ruch oscylacyjny. Charakterystyka kinematyczna i dynamiczna ruchu drgającego. Wahadło matematyczne, fizyczne i sprężyste.

Żyjemy w świecie, w którym procesy oscylacyjne są integralną częścią naszego świata i można je znaleźć wszędzie.

Proces oscylacyjny lub oscylacja to proces charakteryzujący się różnym stopniem powtarzalności.

Jeśli wielkość oscylacyjna powtarza swoje wartości w równych odstępach czasu, wówczas takie oscylacje nazywane są okresowymi, a te przedziały czasu nazywane są okresem oscylacji.

W zależności od natury fizycznej zjawiska wyróżnia się drgania: mechaniczne, elektromechaniczne, elektromagnetyczne itp.

Oscylacje są szeroko rozpowszechnione w przyrodzie i technologii. Procesy oscylacyjne leżą u podstaw niektórych gałęzi mechaniki. W tym toku wykładów będziemy rozmawiać wyłącznie o drganiach mechanicznych.

W zależności od charakteru oddziaływania na układ oscylacyjny wyróżnia się drgania: 1. swobodne lub naturalne, 2. drgania wymuszone, 3. samooscylacje, 4. drgania parametryczne.

Drgania swobodne to wibracje powstające bez wpływu zewnętrznego i spowodowane początkowym „pchnięciem”.

Wymuszone oscylacje powstają pod wpływem okresowej siły zewnętrznej

Samooscylacje zachodzą również pod wpływem siły zewnętrznej, jednak moment oddziaływania siły na układ wyznacza sam układ oscylacyjny.

Przy oscylacjach parametrycznych pod wpływem wpływów zewnętrznych następuje okresowa zmiana parametrów układu, co powoduje tego typu oscylacje.

Najprostszą formą są wibracje harmoniczne

Drgania harmoniczne to drgania występujące zgodnie z prawemgrzech Lubsałata . Przykładem oscylacji harmonicznych jest oscylacja wahadła matematycznego

Nazywa się maksymalne odchylenie wielkości oscylacyjnej podczas procesu oscylacji amplituda oscylacji(A) . Nazywa się czas potrzebny na wykonanie jednego pełnego oscylacji okres oscylacji(T) . Nazywa się odwrotnością okresu oscylacji częstotliwość wibracji(). Często nazywane są wibracje pomnożone przez 2 częstotliwość cykliczna(). Zatem drgania harmoniczne opisuje się wyrażeniem

Tutaj ( T+  0 ) faza oscylacji oraz  0 – faza początkowa

Najprostsze mechaniczne układy oscylacyjne to tzw. wahadła matematyczne, sprężyste i fizyczne. Przyjrzyjmy się tym wahadłom bardziej szczegółowo

8.1. Wahadło matematyczne

Wahadło matematyczne to układ oscylacyjny składający się z masywnego ciała punktowego zawieszonego w polu grawitacyjnym na nierozciągliwej, nieważkiej nici.

W najniższym punkcie wahadło ma minimalną energię potencjalną. Odchylmy wahadło o kąt . Środek ciężkości masywnego ciała punktowego wzrośnie do pewnej wysokości  H i jednocześnie energia potencjalna wahadła wzrośnie o tę kwotę mg H. Ponadto w pozycji odchylonej na obciążenie wpływa grawitacja i napięcie nici. Linie działania tych sił nie pokrywają się, a wypadkowa siła działa na ładunek, dążąc do przywrócenia go do położenia równowagi. Jeśli ładunek nie zostanie utrzymany, to pod wpływem tej siły zacznie przemieszczać się do pierwotnego położenia równowagi, jego energia kinetyczna wzrośnie w wyniku wzrostu prędkości, podczas gdy energia potencjalna spadnie. Po osiągnięciu punktu równowagi powstała siła nie będzie już działać na ciało (siła ciężkości w tym punkcie jest kompensowana przez siłę naciągu nici). Energia potencjalna ciała w tym momencie będzie minimalna, a energia kinetyczna, wręcz przeciwnie, będzie miała maksymalną wartość. Ciało poruszając się na zasadzie bezwładności przejdzie przez położenie równowagi i zacznie się od niego oddalać, co doprowadzi do pojawienia się siły wypadkowej (od siły napięcia i grawitacji), która będzie skierowana przeciw ruchowi ciała , hamując. Jednocześnie energia kinetyczna ładunku zaczyna spadać, a jego energia potencjalna wzrasta. Proces ten będzie trwał aż do całkowitego wyczerpania się zapasów energii kinetycznej i przekształcenia jej w energię potencjalną. W takim przypadku odchylenie obciążenia od położenia równowagi osiągnie wartość maksymalną i proces się powtórzy. Jeśli w układzie nie ma tarcia, obciążenie będzie oscylować w nieskończoność.

Zatem oscylacyjne układy mechaniczne charakteryzują się tym, że w przypadku odchylenia od położenia równowagi w układzie powstaje siła przywracająca, dążąca do przywrócenia układu do położenia równowagi. W tym przypadku występują oscylacje, którym towarzyszy okresowe przejście energii potencjalnej układu na jego energię kinetyczną i odwrotnie.

Obliczmy proces oscylacyjny. moment siły M działanie na wahadło jest oczywiście równe - mglsin Znak minus odzwierciedla fakt, że moment siły ma tendencję do przywracania obciążenia do położenia równowagi. Natomiast zgodnie z podstawowym prawem ruchu obrotowego M=ID 2  / dt 2 . W ten sposób otrzymujemy równość

B
Rozważymy tylko małe kąty odchylenia wahadła od położenia równowagi. Następnie grzech ≈  . A nasza równość będzie miała postać:

D
W przypadku wahadła matematycznego jest to prawdą I= ml 2 . Podstawiając tę ​​równość do otrzymanego wyrażenia, otrzymujemy równanie opisujące proces drgań wahadła matematycznego:

To równanie różniczkowe opisuje proces oscylacyjny. Rozwiązaniem tego równania są funkcje harmoniczne grzech( T+  0 ) Lub sałata ( T+  0 ) Rzeczywiście, podstawiamy dowolną z tych funkcji do równania i otrzymujemy:  2 = G/ l. Zatem jeśli ten warunek jest spełniony, to funkcje grzech( T+  0 ) Lub sałata( T+  0 ) przekształcić równanie różniczkowe oscylacji w tożsamość.

O
Tutaj częstotliwość cykliczna i okres oscylacji wahadła harmonicznego wyraża się jako:

Amplituda oscylacji wyznaczana jest z warunków początkowych problemu.

Jak widać częstotliwość i okres drgań wahadła matematycznego nie zależy od masy ładunku, a jedynie od przyspieszenia swobodnego spadania i długości gwintu zawieszenia, co pozwala na wykorzystanie wahadła jako wahadła proste, ale bardzo dokładne urządzenie do wyznaczania przyspieszenia swobodnego spadania.

Innym rodzajem wahadła jest dowolne ciało fizyczne zawieszone w jakimś punkcie ciała i posiadające zdolność wykonywania ruchu oscylacyjnego.

8.2. Wahadło fizyczne

W Weźmy dowolne ciało, przebijmy je w pewnym miejscu osią, która nie pokrywa się z jego środkiem masy, wokół którego ciało może się swobodnie obracać. Zawieśmy ciało na tej osi i odchylmy je od położenia równowagi o określony kąt  .

T
gdy znajduje się na ciele z momentem bezwładności I względem osi O nastąpi chwila powrotu do pozycji równowagi M = - mglsin a drgania wahadła fizycznego, podobnie jak wahadła matematycznego, będą opisane równaniem różniczkowym:

Ponieważ dla różnych wahadeł fizycznych moment bezwładności będzie wyrażony inaczej, nie będziemy go opisywać jak w przypadku wahadła matematycznego. Równanie to ma także postać równania oscylacyjnego, którego rozwiązaniem są funkcje opisujące oscylacje harmoniczne. W tym przypadku częstotliwość cykliczna ( ) , okres oscylacji (T) są zdefiniowane jako:

Widzimy, że w przypadku wahadła fizycznego okres drgań zależy od geometrii korpusu wahadła, a nie od jego masy, jak w przypadku wahadła matematycznego. Rzeczywiście, wyrażenie na moment bezwładności obejmuje masę wahadła do pierwszej potęgi. Moment bezwładności w wyrażeniu na okres drgań jest podany w liczniku, natomiast masa wahadła w mianowniku i także do pierwszej potęgi. Zatem masa w liczniku znosi się z masą w mianowniku.

Wahadło fizyczne ma jeszcze jedną cechę: zmniejszoną długość.

Skrócona długość wahadła fizycznego to długość wahadła matematycznego, którego okres pokrywa się z okresem wahadła fizycznego.

Definicja ta ułatwia zdefiniowanie wyrażenia dla danej długości.

Porównując te wyrażenia, które otrzymujemy

Jeśli na linii poprowadzonej od punktu zawieszenia przez środek masy wahadła fizycznego wykreślimy (począwszy od punktu zawieszenia) skróconą długość wahadła fizycznego, to na końcu tego odcinka znajdzie się punkt, który ma niezwykła nieruchomość. Jeżeli wahadło fizyczne zostanie zawieszone w tym punkcie, to okres jego drgań będzie taki sam, jak w przypadku zawieszenia wahadła w poprzednim punkcie zawieszenia. Punkty te nazywane są środkami wahań wahadła fizycznego.

Rozważmy inny prosty układ oscylacyjny, który wykonuje oscylacje harmoniczne

8.3. Wahadło sprężynowe

P Wyobraźmy sobie, że na końcu znajduje się sprężyna o współczynniku sztywności k dołączona masa M.

Jeśli przesuniemy obciążenie wzdłuż osi x poprzez naciągnięcie sprężyny, wówczas na obciążenie zadziała siła powracająca do położenia równowagi F powrót = - kx. Jeśli obciążenie zostanie zwolnione, siła ta spowoduje przyspieszenie D 2 X / dt 2 . Zgodnie z drugim prawem Newtona otrzymujemy:

md 2 X / dt 2 = - kx z tego równania otrzymujemy równanie drgań obciążenia sprężyny w jego ostatecznej postaci: D 2 X / dt 2 + (k/ M) X = 0

mi
wówczas równanie oscylacji ma taką samą postać jak równania oscylacji w rozważanych już przypadkach, co oznacza, że ​​rozwiązaniem tego równania będą te same funkcje harmoniczne. Częstotliwość i okres oscylacji będą odpowiednio równe

Co więcej, grawitacja w żaden sposób nie wpływa na oscylacje wahadła sprężynowego. Ponieważ w tym przypadku jest to czynnik stale działający, działający cały czas w jednym kierunku i nie mający nic wspólnego z siłą przywracającą.

Zatem, jak widzimy proces oscylacyjny w mechanicznym układzie oscylacyjnym, charakteryzuje się on przede wszystkim obecnością w układzie siła regeneracji działające na układ, a same oscylacje charakteryzują się: amplituda drgań, ich okres, częstotliwość i faza drgań.

Gotowe prace

STOPIEŃ DZIAŁA

Wiele już minęło i teraz jesteś absolwentem, jeśli oczywiście napiszesz pracę magisterską w terminie. Ale życie jest takie, że dopiero teraz staje się dla ciebie jasne, że przestając być studentem, stracisz wszystkie studenckie radości, z których wielu nigdy nie próbowałeś, odkładając wszystko i odkładając na później. A teraz zamiast nadrabiać zaległości pracujesz nad swoją pracą dyplomową? Jest na to doskonałe rozwiązanie: pobierz potrzebną pracę dyplomową z naszej strony - a od razu będziesz mieć mnóstwo wolnego czasu!
Prace dyplomowe obroniono z sukcesem na czołowych uniwersytetach Republiki Kazachstanu.
Koszt pracy od 20 000 tenge

KURS DZIAŁA

Projekt kursu jest pierwszą poważną pracą praktyczną. Przygotowanie do opracowania projektów dyplomowych rozpoczyna się wraz z napisaniem zajęć. Jeśli student nauczy się poprawnie przedstawiać treść tematu w projekcie kursu i kompetentnie go formatować, to w przyszłości nie będzie miał problemów z pisaniem sprawozdań, pisaniem prac dyplomowych czy wykonywaniem innych praktycznych zadań. Aby pomóc studentom w pisaniu tego typu pracy studenckiej i wyjaśnić pytania, które pojawiają się w trakcie jej przygotowywania, właściwie stworzono ten dział informacyjny.
Koszt pracy od 2500 tenge

DYSERTACJE MAGISTERSKIE

Obecnie w szkołach wyższych Kazachstanu i krajów WNP bardzo powszechny jest poziom wyższego wykształcenia zawodowego następujący po uzyskaniu tytułu licencjata - stopień magistra. W ramach studiów magisterskich studenci kształcą się w celu uzyskania tytułu magistra, który w większości krajów świata jest uznawany bardziej niż tytuł licencjata i jest również uznawany przez zagranicznych pracodawców. Efektem studiów magisterskich jest obrona pracy magisterskiej.
Przekażemy Państwu aktualny materiał analityczno-tekstowy; w cenie zawarte są 2 artykuły naukowe i streszczenie.
Koszt pracy od 35 000 tenge

RAPORTY Z PRAKTYK

Po odbyciu każdego rodzaju stażu studenckiego (edukacyjnego, przemysłowego, przedszkolnego) wymagane jest sprawozdanie. Dokument ten będzie potwierdzeniem praktycznej pracy studenta i podstawą do wystawienia oceny z praktyki. Zwykle, aby sporządzić sprawozdanie ze stażu, należy zebrać i przeanalizować informacje o przedsiębiorstwie, rozważyć strukturę i tryb pracy organizacji, w której odbywa się staż, sporządzić plan kalendarza i opisać swoje praktyczne zajęcia.
Pomożemy Ci napisać raport ze stażu, uwzględniający specyfikę działalności konkretnego przedsiębiorstwa.

płuca

serce

Temat lekcji: „Drgania swobodne i wymuszone. Dynamika ruchu oscylacyjnego”.

• Wibracje mechaniczne – są to ruchy, które powtarzają się dokładnie lub w przybliżeniu w określonych odstępach czasu.

Główne rodzaje wibracji

wymuszony

bezpłatny

zwane drganiami ciał pod wpływem zewnętrznych okresowo zmieniających się sił.

nazywane są oscylacjami układu pod wpływem sił wewnętrznych, po wyjęciu układu z położenia równowagi i pozostawieniu go samemu sobie.

Wahadło - ciało zawieszone na nitce lub przymocowane do osi, która może drgać pod wpływem siły ciężkości

Rodzaje wahadeł

Wiosna- ciało zawieszone na sprężynie i drgające pod działaniem siły sprężystej sprężyny.

Matematyczne (wątek) jest punktem materialnym zawieszonym na nieważkiej i nierozciągliwej nici.

Warunki występowania oscylacji

• Po wyjęciu ciała z położenia równowagi w układzie powstaje siła skierowana w stronę położenia równowagi, a zatem dążąca do przywrócenia ciała do położenia równowagi.

• Tarcie w układzie powinno być dość niskie.

• Amplituda – moduł największego przemieszczenia ciała z położenia równowagi.

X maks Lub A

Mierzone w metrach

• Okres T – czas jednego pełnego oscylacji.

Mierzone w sekundach

Okres oscylacji

Do matematyki

wahadło

Na wiosnę

wahadło

(wzór Huygensa)

Częstotliwość - liczba pełnych oscylacji w jednostce czasu.

Mierzone w hercach

• Cykliczna (okrągła) częstotliwość drgań – częstotliwość równa liczbie oscylacji wykonywanych przez punkt materialny na

Mierzona w radianach na sekundę

Świat fluktuacji

• Oscylacje są jednym z najczęstszych procesów w przyrodzie i technologii.
• skrzydła owadów i ptaków w locie,
• wysokie budynki i przewody wysokiego napięcia narażone na działanie wiatru,
• wahadło zegara rany i samochodu na sprężynach podczas jazdy
• poziom rzeki w ciągu roku i temperatura ciała człowieka w czasie choroby.

Trochę historii...

Galileo Galilei (1564-1642)

Wielki włoski naukowiec jest jednym z twórców nauk ścisłych i przyrodniczych.

Któregoś dnia w kościele on Patrzyłem, jak ogromny żyrandol się kołysze, i odmierzałem czas na podstawie pulsu. Później odkrył, że czas potrzebny na jednokrotne zamachnięcie zależy od długości wahadła – czas ten skraca się o połowę, jeśli wahadło zostanie skrócone o trzy czwarte.

Trochę historii...

Najbardziej znanym praktycznym zastosowaniem wahadła jest jego zastosowanie w zegarach do pomiaru czasu. Po raz pierwszy dokonał tego holenderski fizyk H. Huygens. Naukowiec zajmował się tworzeniem i ulepszaniem zegarów, przede wszystkim wahadłowych, przez prawie czterdzieści lat: od 1656 do 1693 roku Huygens wyprowadził wzór na określenie okresu drgań wahadła matematycznego. Wcześniej czas mierzono przepływem wody, paleniem pochodni lub świecy.

Wahadło Foucaulta

W 1850 roku J. Foucault zawiesił wahadło pod kopułą wysokiego budynku tak, że czubek wahadła podczas kołysania pozostawiał ślad na rozsypanym na podłodze piasku. Okazało się, że przy każdym przewróceniu końcówka pozostawia nowy ślad na piasku.

Zatem eksperyment Foucaulta wykazał, że Ziemia obraca się wokół własnej osi.

Początkowo eksperyment przeprowadzono w wąskim kręgu, ale Napoleon był tak zainteresowany III, cesarza francuskiego, że zasugerował Foucaultowi, aby powtórzono to publicznie na wielką skalę pod kopułą Panteonu w Paryżu. Tę publiczną demonstrację nazywa się zwykle eksperymentem Foucaulta.

W geologii wahadło służy do eksperymentalnego określenia wartości liczbowej G w różnych punktach powierzchni Ziemi. Aby to zrobić, opieraj się na wystarczająco dużej liczbie oscylacji wahadła w miejscu, w którym mierzą G , znajdź okres jego oscylacji T i G obliczone ze wzoru:

Zauważalne odchylenie wartości G od normy dla dowolnego obszaru nazywa się anomalią grawitacyjną. Wykrywanie anomalii pomaga zlokalizować złoża minerałów.

Praca laboratoryjna „Wyznaczanie przyspieszenia swobodnego spadania za pomocą wahadła”

Cel pracy: Naucz się eksperymentalnie mierzyć przyspieszenie swobodnego spadania za pomocą wahadła matematycznego.

Sprzęt: statyw, piłka na sznurku, zegar, linijka.

Spośród trzech proponowanych wersetów wybierz ten, który charakteryzuje twój stan na koniec lekcji .

1. Oczy błyszczą Dusza się śmieje A mój umysł śpiewa: „Naprzód ku wiedzy”!

2. Nie jestem dzisiaj szczęśliwy W ciszy zrobiło mi się smutno, Wszystko o wahaniach błysnęło w oddali.

3. Pamiętając całą swoją wiedzę, A fizycy rozumieją świat, Jestem wdzięczny matce losowi, Że na świecie są wahania

i nie jesteśmy w stanie ich wszystkich zliczyć!

Wahadło matematyczne jest modelem wahadła zwykłego. Wahadło matematyczne to punkt materialny zawieszony na długiej, nieważkiej i nierozciągliwej nici.

Wysuńmy piłkę z pozycji równowagi i puśćmy ją. Na kulkę będą działać dwie siły: grawitacja i napięcie nici. Kiedy wahadło się porusza, siła tarcia powietrza nadal będzie na nie oddziaływać. Ale uznamy to za bardzo małe.

Rozłóżmy siłę ciężkości na dwie składowe: siłę skierowaną wzdłuż nici i siłę skierowaną prostopadle do stycznej do toru piłki.

Te dwie siły sumują się, tworząc siłę grawitacji. Siły sprężystości nici i składnik ciężkości Fn nadają piłce przyspieszenie dośrodkowe. Praca wykonana przez te siły wyniesie zero, a zatem zmienią jedynie kierunek wektora prędkości. W dowolnym momencie będzie skierowany stycznie do łuku okręgu.

Pod wpływem składowej grawitacyjnej Fτ piłka będzie poruszać się po okręgu ze wzrastającą prędkością. Wartość tej siły zawsze zmienia się pod względem wielkości, przechodząc przez położenie równowagi, jest równa zero.

Dynamika ruchu oscylacyjnego

Równanie ruchu ciała drgającego pod działaniem siły sprężystej.

Ogólne równanie ruchu:

Drgania w układzie powstają pod wpływem siły sprężystości, która zgodnie z prawem Hooke’a jest wprost proporcjonalna do przemieszczenia obciążenia

Wówczas równanie ruchu kuli przyjmie postać:

Dzieląc to równanie przez m, otrzymujemy następujący wzór:

A ponieważ współczynnik masy i sprężystości są wielkościami stałymi, stosunek (-k/m) również będzie stały. Otrzymaliśmy równanie opisujące drgania ciała pod działaniem siły sprężystej.

Rzut przyspieszenia ciała będzie wprost proporcjonalny do jego współrzędnej, przyjętej z przeciwnym znakiem.

Równanie ruchu wahadła matematycznego

Równanie ruchu wahadła matematycznego opisuje następujący wzór:

Równanie to ma taką samą postać jak równanie ruchu masy na sprężynie. W rezultacie oscylacje wahadła i ruchy kulki na sprężynie zachodzą w ten sam sposób.

Przemieszczenie kulki na sprężynie i przemieszczenie korpusu wahadła z położenia równowagi zmieniają się w czasie według tych samych praw.

Aby ilościowo opisać drgania ciała pod działaniem siły sprężystej sprężyny lub drgań kulki zawieszonej na nitce, posługujemy się prawami mechaniki Newtona.

Równanie ruchu ciała drgającego pod działaniem siły sprężystej. Zgodnie z drugim prawem Newtona iloczyn masy ciała m i jego przyspieszenia jest równy wypadkowej F wszystkich sił przyłożonych do ciała:

To jest równanie ruchu. Napiszmy równanie ruchu kuli poruszającej się prostoliniowo po poziomie pod działaniem siły sprężystej sprężyny (patrz rys. 3.3). Skierujmy oś OX w prawo. Niech początek współrzędnych odpowiada położeniu równowagi kuli (patrz ryc. 3.3, a).

W rzucie na oś OX równanie ruchu (3.1) można zapisać następująco: max x = F x sterowanie, gdzie a x i F x sterowanie są odpowiednio rzutem przyspieszenia i siły sprężystości sprężyny na tę oś .

Zgodnie z prawem Hooke'a rzut F x ynp jest wprost proporcjonalny do przemieszczenia piłki z położenia równowagi. Przemieszczenie jest równe współrzędnej x kuli, a rzut siły i współrzędnej mają przeciwne znaki (patrz ryc. 3.3, b, c). Stąd,

F x yпp = -khх, (3.2)

Dzieląc lewą i prawą stronę równania (3.3) przez m, otrzymujemy

Ponieważ masa m i sztywność k są wartościami stałymi, ich stosunek również jest wartością stałą.

Otrzymaliśmy równanie opisujące drgania ciała pod działaniem siły sprężystej. To jest bardzo proste: oś rzutu przyspieszenia ciała jest wprost proporcjonalna do jego współrzędnej x, przyjętej z przeciwnym znakiem.

Równanie ruchu wahadła matematycznego. Kiedy kulka oscyluje na nierozciągliwej nici, porusza się ona stale po łuku koła, którego promień jest równy długości nici l. Dlatego położenie kuli w dowolnym momencie jest określone przez jedną wartość - kąt α odchylenia gwintu od pionu. Kąt α będziemy uważać za dodatni, jeśli wahadło zostanie wychylone w prawo od położenia równowagi, a ujemny, jeśli zostanie wychylone w lewo (patrz rys. 3.5). Rozważana będzie styczna do trajektorii skierowana w stronę dodatniego kąta odniesienia.

Oznaczmy rzut grawitacji na styczną do trajektorii wahadła przez F τ. Występ ten w chwili odchylenia nici wahadła od położenia równowagi o kąt α jest równy:

F τ = -mg sin α. (3,5)

Znak „-” jest tutaj, ponieważ wielkości F τ i a mają przeciwne znaki. Gdy wahadło zostanie wychylone w prawo (α > 0), składowa ciężkości τ skierowana jest w lewo, a jej rzut jest ujemny: F τ< 0. При отклонении маятника влево (α < 0) эта проекция положительна: F τ > 0.

Oznaczmy rzut przyspieszenia wahadła na styczną do jego trajektorii przez τ. Rzut ten charakteryzuje prędkość zmiany modułu prędkości wahadła.

Zgodnie z drugim prawem Newtona

ma τ = -mg sin α. (3.6)

Dzieląc lewą i prawą stronę tego równania przez m, otrzymujemy

i τ = -g sin α. (3.7)

Wcześniej zakładano, że kąty odchylenia gwintu wahadła od pionu mogą być dowolne. W dalszej części będziemy uważać je za małe. W przypadku małych kątów, jeśli kąt jest mierzony w radianach,

Dlatego można zaakceptować

i τ = -gα. (3.8)

Jeżeli kąt α jest mały, to rzut przyspieszenia jest w przybliżeniu równy rzutowi przyspieszenia na oś OX: a τ ≈ a x (patrz rys. 3.5). Z trójkąta ABO dla małego kąta a mamy:

Podstawiając to wyrażenie na równość (3.8) zamiast kąta α, otrzymujemy

Równanie to ma taką samą postać jak równanie (3.4) dla przyspieszenia kuli przymocowanej do sprężyny. W konsekwencji rozwiązanie tego równania będzie miało taką samą postać jak rozwiązanie równania (3.4). Oznacza to, że ruch kuli i oscylacje wahadła zachodzą w ten sam sposób. Przemieszczenia kulki na sprężynie i korpusie wahadła z położeń równowagi zmieniają się w czasie według tego samego prawa, mimo że siły powodujące drgania mają różną naturę fizyczną. Mnożąc równania (3.4) i (3.10) przez m i pamiętając o drugim prawie Newtona mа x = F x peз, możemy stwierdzić, że oscylacje w tych dwóch przypadkach zachodzą pod wpływem sił, których wypadkowa jest wprost proporcjonalna do przemieszczenia ciała oscylującego z położenia równowagi i skierowany jest w kierunku przeciwnym do tego przemieszczenia.

Równanie (3.4), podobnie jak (3.10), jest pozornie bardzo proste: przyspieszenie jest wprost proporcjonalne do współrzędnej (przemieszczenia z położenia równowagi).