Найти пластический момент сопротивления сечения. Элемент, подверженный чистому изгибу. Кручение бруса прямоугольного сечения
Напряжение при изгибе в упругой стадии распределяется в сечении по линейному закону. Напряжения в крайних волокнах для симметричного сечения определяются формулой:
где М – изгибающий момент;
W - момент сопротивления сечения.
С увеличением нагрузки (или изгибающего момента М) напряжения будут увеличиваться и достигнут значения предела текучести R yn .
Ввиду того, что предела текучести достигли только крайние волокна сечения, а соединенные с ними менее напряженные волокна могут еще работать, несущая способность элемента не исчерпана. С дальнейшим увеличением изгибающего момента будет происходить удлинение волокон сечения, однако напряжения не могут быть больше R yn . Предельной эпюрой будет такая, в которой верхняя часть сечения до нейтральной оси равномерно сжата напряжением R yn . Несущая способность элемента при этом исчерпывается, а он может как бы поворачиваться вокруг нейтральной оси без увеличения нагрузки; образуется шарнир пластичности.
В месте пластического шарнира происходит большое нарастание деформаций, балка получает угол перелома, но не разрушается. Обычно балка теряет при этом либо общую устойчивость, либо местную устойчивость отдельных частей. Предельный момент, отвечающий шарниру пластичности,
где W пл = 2S – пластический момент сопротивления
S – cтатический момент половины сечения относительно оси, проходящий через центр тяжести.
Пластический момент сопротивления, а следовательно предельный момент, отвечающий шарниру пластичности больше упругого. Нормами разрешается учитывать развитие пластических деформаций для разрезных прокатных балок, закрепленных от потери устойчивости и несущих статическую нагрузку. Значение пластических моментов сопротивления при этом принимаются: для прокатных двутавров и швеллеров:
W пл =1,12W – при изгибе в плоскости стенки
W пл = 1,2W – при изгибе параллельно полкам.
Для балок прямоугольного поперечного сечения W пл = 1,5 W.
По нормам проектирования развития пластических деформаций допускается учитывать для сварных балок постоянного сечения при отношениях ширины свеса сжатого пояса к толщине пояса и высоты стенки к ее толщине .
В местах наибольших изгибающих моментов недопустимы наибольшие касательные напряжения; они должны удовлетворять условию:
Если зона чистого изгиба имеет большую протяженность, соответствующий момент сопротивления во избежании чрезмерных деформаций принимается равным 0,5(W yn +W пл).
В неразрезных балках за предельное состояние принимается образование шарниров пластичности, но при условии сохранения системой своей неизменяемости. Нормами разрешается при расчете неразрезных балок (прокатных и сварных) определять расчетные изгибающие моменты исходя из выравнивания опорных и пролетных моментов (при условии, что смежные пролеты отличаются не больше чем на 20%).
Во всех случаях, когда расчетные моменты принимаются в предположении развития пластических деформаций (выравнивания моментов), проверку прочности следует производить по упругому моменту сопротивления по формуле:
При расчете балок из алюминиевых сплавов развитие пластических деформаций не учитывается. Пластические деформации пронизывают не только наиболее напряженное сечение балки в месте наибольшего изгибающего момента, но и распространяются по длине балки. Обычно в изгибаемых элементах кроме нормальных напряжений от изгибающего момента есть еще и касательное напряжение от поперечной силы. Поэтому условие начала перехода металла в пластическое состояние в этом случае должно определяться приведенными напряжениями s че d:
.
Как уже отмечалось, начало текучести в крайних фибрах (волокнах) сечения еще не исчерпывает несущие способности изгибаемого элемента. При совместном действии s и t предельная несущая способность примерно на 15% выше чем при упругой работе, и условие образования шарнира пластичности записывается в виде:
,
При этом должно быть .
Осевой момент сопротивления - отношение момента инерции относительно оси к расстоянию от нее до наиболее удаленной точки сечения. [см 3 , м 3 ]
Особенно важны моменты сопротивления относительно главных центральных осей:
прямоугольник:
;
круг:W x =W y =
,
трубчатое
сечение (кольцо): W x =W y =
,
где =
d Н /d B .
Полярный
момент сопротивления - отношение
полярного момента инерции к расстоянию
от полюса до наиболее удаленной точки
сечения:
.
Для
круга W р =
.
Кручение
Т
акой
вид деформации, при котором в поперечных
сечениях возникает только одни крутящие
моменты - М к.
Знак крутящего момента М к
удобно определять по направлению
внешнего момента. Если при взгляде со
стороны сечения внешний момент направлен
против час.стр., то М к >0
(встречается и обратное правило). При
кручении происходит поворот одного
сечения относительно другого на угол
закручивания
-.
При кручении круглого бруса (вала)
возникает напряженное состояние чистого
сдвига (нормальные напряжения отсутствуют),
возникают только касательные напряжения.
Принимается, что сечения плоские до
закручивания остаются плоскими и после
закручивания - закон
плоских сечений
.
Касательные напряжения в точках сечения
изменяются пропорционально расстоянию
точек от оси. Из закона Гука при сдвиге:
=G,
G - модуль сдвига,
,
- полярный момент сопротивления круглого
сечения. Касательные напряжения в центре
равны нулю, чем дальше от центра, тем
они больше. Угол закручивания
,GJ p
- жесткость
сечения при кручении
.
-относительный
угол закручивания
.
Потенциальная энергия при кручении:
.
Условие прочности:
,
[]
=
,
для пластичного материала за пред
принимается предел текучести при сдвиге
т,
для хрупкого материала – в
– предел прочности, [n]
– коэффициент запаса прочности. Условие
жесткости при кручении: max []
– допустимый угол закручивания.
Кручение бруса прямоугольного сечения
П
ри
этом нарушается закон плоских сечений,
сечения некруглой формы при кручении
искривляются –депланация
поперечного сечения.
Эпюры касательных напряжений прямоугольного сечения.
;
,J k
и W k
- условно называют моментом инерции и
моментом сопротивления при кручении.
W k =
hb 2 ,
J k = hb 3 , Максимальные касательные напряжения max будут посредине длинной стороны, напряжения по середине короткой стороны: = max , коэффициенты: ,, приводятся в справочниках в зависимости от отношения h/b (например, при h/b=2, =0,246; =0,229; =0,795.
Изгиб
П
лоский
(прямой) изгиб
- когда изгибающий момент действует в
плоскости, проходящей через одну из
главных центральных осей инерции
сечения, т.е. все силы лежат в плоскости
симметрии балки. Основные
гипотезы
(допущения): гипотеза о не надавливании
продольных волокон: волокна, параллельные
оси балки, испытывают деформацию
растяжения – сжатия и не оказывают
давления друг на друга в поперечном
направлении; гипотеза плоских сечений:
сечение балки, плоское до деформации,
остается плоским и нормальным к
искривленной оси балки после деформации.
При плоском изгибе в общем случае
возникают внутренние
силовые факторы
:
продольная сила N,
поперечная сила Q
и изгибающий момент М. N>0,
если продольная сила растягивающая;
при М>0 волокна сверху балки сжимаются,
снизу растягиваются.
.
С
лой,
в котором отсутствуют удлинения,
называетсянейтральным
слоем
(осью,
линией). При N=0
и Q=0,
имеем случай чистого
изгиба.
Нормальные напряжения:
,
- радиус кривизны нейтрального слоя,
y
- расстояние от некоторого волокна до
нейтрального слоя. Закон
Гука при изгибе
:
,
откуда (формула Навье):
,J x
- момент инерции сечения относительно
главной центральной оси, перпендикулярной
плоскости изгибающего момента, EJ x
- жесткость при изгибе,
- кривизна нейтрального слоя.
М
аксимальные
напряжения при изгибе возникают в
точках, наиболее удаленных от нейтрального
слоя:
,J x /y max =W x -момент
сопротивления сечения при изгибе,
.
Если сечение не имеет горизонтальной
оси симметрии, то эпюра нормальных
напряжений
не будет симметричной. Нейтральная ось
сечения проходит через центр тяжести
сечения. Формулы для определения
нормального напряжения для чистого
изгиба приближенно годятся и когда Q0.
Это случай поперечного
изгиба
. При
поперечном изгибе, кроме изгибающего
момента М, действует поперечная сила
Q
и в сечении возникают не только нормальные
,
но и касательные
напряжения. Касательные напряжения
определяются формулой
Журавского:
,
гдеS x (y)
- статический момент относительно
нейтральной оси той части площади,
которая расположена ниже или выше слоя,
отстоящего на расстоянии "y"
от нейтральной оси; J x
- момент инерции всего
поперечного сечения относительно
нейтральной оси, b(y)
- ширина сечения в слое, на котором
определяются касательные напряжения.
Д
ля
прямоугольного сечения:
,F=bh,
для круглого сечения:
,F=R 2 ,
для сечения любой формы
,
k- коэфф., зависящий от формы сечения (прямоугольник: k= 1,5; круг - k= 1,33).
M
max
и Q max
определяются из эпюр изгибающих моментов
и поперечных сил. Для этого балка
разрезается на две части и рассматривается
одна из них. Действие отброшенной части
заменяется внутренними силовыми
факторами М и Q,
которые определяются из уравнений
равновесия. В некоторых вузах момент
М>0 откладывается вниз, т.е. эпюра
моментов строится на растянутых волокнах.
При Q=
0 имеем экстремум эпюры моментов.
Дифференциальные
зависимости между М,
Q
и
q
:
q - интенсивность распределенной нагрузки [кН/м]
Главные напряжения при поперечном изгибе :
.
Расчет
на прочность при изгибе
:
два условия прочности, относящиеся к
различным точкам балки: а) по нормальным
напряжениям
,
(точки наиболее удаленные от С); б) по
касательным напряжениям
,
(точки на нейтр.оси). Из а) определяют
размеры балки:
,
которые проверяют по б). В сечениях балок
могут быть точки, где одновременно
большие нормальные и большие касательные
напряжения. Для этих точек находятся
эквивалентные напряжения, которые не
должны превышать допустимых. Условия
прочности проверяются по различным
теориям прочности
I-я:
;II-я:(при коэфф.Пуассона=0,3);
- применяются редко.
теория
Мора:
,
(используется для чугуна, у которого
допускаемое напряжение на растяжение
[ р ][ с ]
– на сжатие).
Напряжение при изгибе в упругой стадии распределяется в сечении по линейному закону. Напряжения в крайних волокнах для симметричного сечения определяются формулой:
где М – изгибающий момент;
W - момент сопротивления сечения.
С увеличением нагрузки (или изгибающего момента М) напряжения будут увеличиваться и достигнут значения предела текучести R yn .
Ввиду того, что предела текучести достигли только крайние волокна сечения, а соединенные с ними менее напряженные волокна могут еще работать, несущая способность элемента не исчерпана. С дальнейшим увеличением изгибающего момента будет происходить удлинение волокон сечения, однако напряжения не могут быть больше R yn . Предельной эпюрой будет такая, в которой верхняя часть сечения до нейтральной оси равномерно сжата напряжением R yn . Несущая способность элемента при этом исчерпывается, а он может как бы поворачиваться вокруг нейтральной оси без увеличения нагрузки; образуется шарнир пластичности.
где W пл = 2S – пластический момент сопротивления
S – cтатический момент половины сечения относительно оси, проходящий через центр тяжести.
Пластический момент сопротивления, а следовательно предельный момент, отвечающий шарниру пластичности больше упругого. Нормами разрешается учитывать развитие пластических деформаций для разрезных прокатных балок, закрепленных от потери устойчивости и несущих статическую нагрузку. Значение пластических моментов сопротивления при этом принимаются: для прокатных двутавров и швеллеров:
W пл =1,12W – при изгибе в плоскости стенки
W пл = 1,2W – при изгибе параллельно полкам.
Для балок прямоугольного поперечного сечения W пл = 1,5 W.
По нормам проектирования развития пластических деформаций допускается учитывать для сварных балок постоянного сечения при отношениях ширины свеса сжатого пояса к толщине пояса и высоты стенки к ее толщине .
В местах наибольших изгибающих моментов недопустимы наибольшие касательные напряжения; они должны удовлетворять условию:
Если зона чистого изгиба имеет большую протяженность, соответствующий момент сопротивления во избежании чрезмерных деформаций принимается равным 0,5(W yn +W пл).
В неразрезных балках за предельное состояние принимается образование шарниров пластичности, но при условии сохранения системой своей неизменяемости. Нормами разрешается при расчете неразрезных балок (прокатных и сварных) определять расчетные изгибающие моменты исходя из выравнивания опорных и пролетных моментов (при условии, что смежные пролеты отличаются не больше чем на 20%).
Во всех случаях, когда расчетные моменты принимаются в предположении развития пластических деформаций (выравнивания моментов), проверку прочности следует производить по упругому моменту сопротивления по формуле:
При расчете балок из алюминиевых сплавов развитие пластических деформаций не учитывается. Пластические деформации пронизывают не только наиболее напряженное сечение балки в месте наибольшего изгибающего момента, но и распространяются по длине балки. Обычно в изгибаемых элементах кроме нормальных напряжений от изгибающего момента есть еще и касательное напряжение от поперечной силы. Поэтому условие начала перехода металла в пластическое состояние в этом случае должно определяться приведенными напряжениями че d:
Как уже отмечалось, начало текучести в крайних фибрах (волокнах) сечения еще не исчерпывает несущие способности изгибаемого элемента. При совместном действии и предельная несущая способность примерно на 15% выше чем при упругой работе, и условие образования шарнира пластичности записывается в виде:
При этом должно быть .
| " |
Проверка прочности по предельным состояниям.
– максимальный изгибающий момент от расчетных нагрузок.
Р р =Р н ×n
n – коэффициент перегрузки.
– коэффициент условия работы.
Если материал работает неодинаково на растяжение и сжатие, то прочность проверяется по формулам:
 |  |
где R p и R сж – расчетное сопротивление на растяжение и сжатие
Расчет по несущей способности и учетом пластической деформации.
В предыдущих методах расчета прочность проверяется по максимальны напряжениям в верхних и нижних волокнах балки. При этом средние волокна оказываются недогруженными.
Оказывается, если нагрузку увеличивать дальше, то в крайних волокнах напряжение дойдет до предела текучести σ т (в пластичных материалах), и до предела прочности σ n ч (в хрупких материалах). При дальнейшем увеличении нагрузки хрупкие материалы разрушатся, а в пластичных материалах напряжения в крайних волокнах далее не возрастают, а растут во внутренних волокнах. (см. рис.)
Несущая способность балки исчерпывается, когда по всему сечению напряжения достигнут σ т.
Для прямоугольного сечения:
Примечание: для прокатных профилей (швеллер и двутавр) пластический момент Wnл=(1.1÷1,17)×W
Касательные напряжения при изгибе балки прямоугольного сечения. Формула Журавcкого.
Так как момент в сечении 2 больше момента в сечении 1, то напряжение σ 2 >σ 1 =>N 2 >N 1.
В этом случае элемент abcd должен переместиться влево. Этому перемещению препятствуют касательные напряжения τ на площадке cd.
- уравнение равновесия, после преобразования которого получается формула для определения τ: 
- Формула Журавского
Распределение касательных напряжений в балках прямоугольного, круглого и двутаврового сечений.
1. Прямоугольное сечение :
2.Круглое сечение .
3. Двутавровое сечение .
Главные напряжения при изгибе. Проверка прочности балок.
[σ сж ]
Примечание: при расчете по предельным состояниям вместо [σ сж ] и [σ р ] в формулы ставятся R c ж и R p – расчетные сопротивления материала при сжатии и растяжении.
Если же балка короткая, то проверяют точку Б:
где R срез – расчетное сопротивление материала на срез.
В точке D на элемент действует нормальные и касательные напряжения, поэтому в некоторых случаях их совместное действие вызывает опасность для прочности. В этом случае элемент D проверяют на прочность используя главные напряжения.
В нашем случае: , следовательно:
Используя σ 1 и σ 2 по теории прочности проверяют элемент D.
По теории наибольших касательных напряжений имеем: σ 1 - σ 2 ≤R
Примечание: точку D следует брать по длине балки там, где одновременно действуют большие M и Q.
По высоте балки выбираем такое место, где одновременно действуют значения σ и τ.
Из эпюр видно:
1. В балках прямоугольного и круглого сечения отсутствуют точки, в которых одновременно действуют большие σ и τ. Поэтому в таких балках проверка точки D не делается.
2. В балках двутаврового сечения на границе пересечения полки со стенкой (т. А) одновременно действуют большие σ и τ. Поэтому они проверяются на прочность в этой точке.
Примечание:
a) В прокатных двутаврах и швеллерах в зоне пересечения полки со стенкой сделаны плавные переходы (закругления). Стенка и полка подобраны так, что точка A оказывается в благоприятных условиях работы и проверка прочности не требуется.
b) В составных (сварных) двутавровых балках проверка точки А необходима.
2.5. Метод редуцирования предельного момента сопротивления для учета влияния перерезывающей силы в балках средней длины
Итак, число расчетных случаев, при которых пластификация сечения является однофакторной (чисто изгибной или чисто сдвиговой), – ограничено, а использование неявных уравнений предельной поверхности затрудняет получение аналитических решений. Как же, тем не менее, можно получить таковые?
В строительной механике корабля существует известный прием редуцирования , согласно которому учет действия в сечении балки напряжений определенного вида, а также учет факта возникновения текучести или локальной потери устойчивости в элементах сечения производят изменением геометрических характеристик сечения и продолжают расчет в рамках исходного метода (см. , например, редуцирование в расчете общей прочности корабля ). Как показано в параграфе 2.4, для конкретных типов сечений вполне можно оценить превалирование того или иного вида пластического механизма над остальными возможными и понять, какой фактор считать редукционным.
Так, если изгибно-сдвиговой механизм является в большей степени изгибным, то влияние перерезывающей силы можно попытаться учесть изменением (редуцированием) изгибного момента сопротивления, не применяя, таким образом, уравнения предельной поверхности, а продолжая рассматривать пластический механизм как однофакторный.
Пример 1. Исследование механизмов утраты несущей способности жестко заделанной балки (рис. 2.5.1, а) , загруженной равномерно распределенной нагрузкой на симметричном относительно середины балки участке 2с .
Поперечное сечение балки – несимметричный двутавр, образованный тавровым профилем с присоединенным пояском пластины (рис. 2.5.1, в , г ).
Рис.2.5.1
Модельная
двутавровая балка: а
– расчетная
схема исследуемого объекта; б – схема нагрузок и внутренних усилий в
предельном состоянии;
в
– схема поперечного сечения балки
в виде несимметричного двутавра
:
1 – свободный поясок; 2 – стенка; 3 –
присоединенный поясок; г
– размеры
тестового варианта сечения
Поперечное сечение характеризуется шестью геометрическими размерами:
h – высота стенки;
t – толщина стенки;
b f – ширина свободного пояска;
t f – толщина свободного пояска;
b pp – ширина присоединенного пояска;
t pp – толщина присоединенного пояска.
Площадь стенки ω, площадь свободного пояска S 1 , площадь присоединенного пояска S 2 и площадь всего сечения F вычисляют по зависимостям:
Рассмотрим варианты предельного пластического механизма, реализующиеся в зависимости от отношения L / h . Ряд результатов при этом является повторением материала параграфов 1.1, 2.1 и 2.2 .
Предельное состояние пластического механизма вращения. Предполагается, что в сечении действуют только нормальные напряжения. Предельное состояние сечения характеризуется условием для всех точек сечения
Изгибающий момент, действие которого вызывает предельное состояние механизма вращения, назовем предельным моментом сечения M T . Его значение определяется из двух уравнений равновесия внешних и внутренних сил в сечении
Из уравнений равновесия следует, что
где F раст – ра стянутая часть площади сечения; F сжат – сжатая часть площади сечения.
В предельном состоянии пластическая нейтральная ось сечения (НО пл) делит его площадь пополам. Для несимметричного профиля характерных для судостроительных балок размеров пластическая нейтральная ось (НО пл) располагается пр актически на нижней поверхности присоединенного пояска (см. рис. 2.5.1) и предельный момент сопротивления имеет вид:
Предельное состояние пластического механизма сдвига. Предполагается, что сдвиговым деформациям сопротивляется только стенка, и в ее сечении действуют только касательные напряжения. Предельное состояние сечения стенки характеризуется условием для всех точек сечения
Перерезывающую силу, действие которой вызывает предельное состояние механизма сдвига, назовем предельной перерезывающей силой сечения N т . Ее значение определяется из уравнения равновесия внешних и внутренних сил в сечении:
где τ т – касательные напряжения текучести, которые в соответствии с энергетическим условием пластичности равны
Из (2.5.11) получим:
И, наконец, рассмотрим применение метода редуцирования для оценки предельного состояния, характеризуемого пластическим механизмом вращения с учетом влияния сдвига. Для учета влияния перерезывающей силы на предельное состояние сечения при изгибе примем, что перерезывающая сила воспринимается только стенкой . Поэтому пластический момент сопротивления сечения W т = W f + W ω редуцируется путем уменьшения эффективной площади стенки W ω :
Здесь
τ – действующие касательные напряжения в предположении их равномерного распределения по высоте стенки (что, естественно, принимается приближенно ); φ – редукционный коэффициент площади стенки.
Поскольку касательные напряжения при постоянной перерезывающей силе в сечении обратно пропорциональны площади поперечного сечения, можно принять, что
Введем – коэффициент эффективности площади сдвига и учтем, что
где – минимальное значение площади стенки.
Введем также коэффициент
Тогда редуцированный пластический момент сопротивления сечения может быть выражен как
а редуцированный пластический изгибающий момент определяется как
Тестовые расчеты произведем для конкретного сечения (рис. 2.5.1, г ) балки длиной 2 м, загруженной на длине 2с = 0,32 м . Заданная высота сечения позволяет считать балку (по аналогии с пластинами средней толщины) балкой «со средней высотой стенки », т.е. балкой с существеным влиянием на общий прогиб деформации поперечного сдвига. Назовем такую балку укороченной (L /h = 5,85).
Материал балки – сталь с модулем упругости E = 2,06∙10 11 Па и пределом текучести σ т =320МПа. Отстояние нейтральной оси от фибры присоединенного пояска z 0 =9,72 см. Момент инерции поперечного сечения: I = 22681,2 см 4 . Момент сопротивления фибры свободного пояска W с.п = 926,4 см 3 . Момент сопротивления фибры присоединенного пояска W пп = 2334,1 см 3 . Площадь поперечного сечения стенки балки ω с = 44,46 см 2 . Изгибающий момент фибровой текучести (упругой стадии изгибного деформирования) свободного пояска M e = σ т W сп = 296,45. 10 3 Нм.
Оценка влияния сдвиговых деформаций на прогиб для упругой стадии деформирования балки средней высоты сечения. Перед рассмотрением предельного равновесия оценим влияние сдвиговых деформаций. Для рассматриваемого случая коэффициент сечения балки k = 1,592, коэффициент загружения балки K = 0,9422, п ри этом прогиб от сдвига составляет 40% полной стрелки, а прогиб от изгиба – 60% .
Под наибольшей нагрузкой будем понимать нагрузку образования фибровой текучести при изгибном деформировании и нагрузку достижения касательных напряжений текучести при сдвиговом деформировании.
Наибольшая нагрузка упругой стадии изгибного деформирования
Наибольшая нагрузка упругой стадии сдвигового деформирования
Предельное равновесие тестовой балки по изгибному механизму. Предельное состояние сечения, характеризуемое пластическим механизмом вращения , следующее. Полный пластический изгибающий момент определяется, как
M т = σ т W т,
где W т –полный пластический момент сопротивления, W т = W f + W ω = S 1 h + ω c h / 2= (12−1,3)1,6∙34,2+44,46∙34,2/2=1346 см 3 (здесь принято, что пластическая нейтральная ось расположена на пересечении стенки и нижнего фибра пластины); W f = S 1 h – статический момент свободного пояска относительно пластической нейтральной оси (пластический момент сопротивления свободного пояска); W ω = ω c h / 2 – статический момент стенки относительно пластической нейтральной оси (пластический момент сопротивления стенки).
Таким образом, W f =586см 3 , W ω = 760см 3 .
Предельный момент сечения балки:
M т = σ т W т =430∙10 3 H∙м.
Нагрузка, соответствующая образованию предельных изгибающих моментов в опорных сечениях, равна
откуда ее равнодействующая
Нагрузка, соответствующая образованию предельных изгибающих моментов в опорных сечениях и в пролете (предельная нагрузка изгибного механизма):
Предельное равновесие тестовой балки по сдвиговому механизму. Определим предельное состояние сечения, характеризуемое пластическим механизмом сдвига. Пластические деформации возникают в стенке от действия касательных напряжений и предельная перерезывающая сила сечения имеет вид:
Предельное равновесие тестовой балки по изгибному механизму с учетом сдвига. Проведем расчет предельного состояния сечения, характеризуемого пластическим механизмом вращения с учетом механизма сдвига. Для учета влияния перерезывающей силы на предельное состояние сечения при изгибе принимается, что перерезывающая сила воспринимается только стенкой.
Определим коэффициент k ω по (2.5.18):
Установить соотношение между пластическими изгибающими моментами в шарнирах и внешней нагрузкой можно на основании К.Э.Т. Полагаем точкой начала оси x (рис. 2.5.1, б ) среднюю точку пролета, что позволяет определить угол слома – 2w /L , где w – прогиб в центральном сечении. Очевидно, что в центральном сечении предельный момент не редуцируется .
Из равенства работ внешних и внутренних усилий
получаем:
Подстановка в последнее выражение формул для моментов M T (2.5.6) и M Tr (2.5.20) дает:
Если
учесть, что 
,
то получаем квадратное уравнение относительно предельной нагрузки Q
_
u
:
Для рассматриваемого случая Q _ u =1534∙10 3 Ни φ =0,358.
Результаты расчета нагрузки и прогиба для различных стадий деформирования с использованием балочной модели представлены в табл. 2.5.1.
Как видно, самая большая предельная нагрузка изгибного механизма равна 1871кН, затем следует предельная нагрузка сдвигового механизма 1643кН, и, наконец, самая маленькая предельная нагрузка комбинированного механизма изгиба с учетом сдвига 1534кН, которая и должна реализовываться первой .
Полученный результат достаточно хорошо подтверждается прямым численным моделированием процесса потери несущей способности укороченной балки. Методы такого моделирования выходят за рамки настоящего пособия.
Таблица 2.5.1
Влияние вида пластического механизма на предельное НДС
|
Прогиб, мм |
||||
|
суммарный |
от изгиба |
от сдвига |
||
|
1371 |
2,984 |
1,79 |
1,194 |
|
|
164 3 |
3,576 |
2 , 146 |
1, 43 |
|
|
1196 |
2,604 |
1 , 562 |
1, 042 |
|
|
1871 |
4,074 |
2 , 445 |
1 , 629 |
|
|
Предельная нагрузка изгибного механизма с учетом сдвига |
1534 |
3,340 |
2,004 |
1,336 |