Все естественные источники света (Солнце, лампочки накаливания и т.д.) не когерентны.

Некогерентность естественных источников света обусловлена тем, что излучение светящегося тела слагается из волн, испускаемых многими атомами. Отдельные атомы излучают цуги волн длительностью порядка 10 -8 с и протяженностью около 3 м. Фаза нового цуга никак не связана с фазой предыдущего цуга. В испускаемой телом световой волне излучение одной группы атомов через время порядка 10 -8 с сменяется излучением другой группы, причем фаза результирующей волны претерпевает случайные изменения.

Некогерентными и не могущими интерферировать др. с др. являются волны, испускаемые различными естественными источниками света. А можно ли вообще для света создать условия, при которых наблюдались бы интерференционные явления? Как, пользуясь обычными некогерентными излучателями света, создать взаимно когерентные источники?

Когерентные световые волны можно получить, разделив (с помощью отражений или преломлений) волну, излучаемую одним источником света, на две части, Если заставить эти две волны пройти разные оптические пути, а потом наложить их др. на др., наблюдается интерференция. Разность оптических длин путей, проходимых интерферирующими волнами, не должна быть очень большой, так как складывающиеся колебания должны принадлежать одному и тому же результирующему цугу волн. Если эта разность ³1м, наложатся колебания, соответствующие разным цугам, и разность фаз между ними будет непрерывно изменяться хаотическим образом.

Пусть разделение на две когерентные волны происходит в точке О (рис.2).

До точки Р первая волна проходит в среде показателем преломления n 1 путь S 1 , вторая волна проходит в среде с показателем преломления n 2 путь S 2 . Если в точке О фаза колебания равна wt, то первая волна возбудит в точке Р колебание А 1 соsw(t – S 1 /V 1), а вторая волна -колебание А 2 соsw(t – S 2 /V 2), где V 1 и V 2 - фазовые скорости. Следовательно, разность фаз колебаний, возбуждаемых волнами в точке Р, будет равна

j = w(S 2 /V 2 – S 1 /V 1) = (wc)(n 2 S 2 – n 1 S 1).

Заменим w/с через 2pn/с = 2p/lо (lо - длина волны в),тогда
j = (2p/lо)D, где (3)

D= n 2 S 2 – n 1 S 1 = L 2 - L 1

есть величина, равная разности оптических длин, проходимых волнами путей, и называется оптической разностью хода.

Из (3) видно, что если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме:

D = ±mlо (m = 0,1,2), (4)

то разность фаз оказывается кратной 2p и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить с одинаковой фазой. Т.о., (4) есть условие интерференционного максимума.

Если оптическая разность хода D равна полуцелому числу длин волн в вакууме:

D = ± (m + 1/2)lо (m =0, 1,2, ...), (5)

то j = ± (2m + 1)p, так что колебания в точке Р находятся в противофазе. Следовательно, (5) есть условие интерференционного минимума.

Принцип получения когерентных световых волн разделением волны на две части, проходящие различные пути, может быть практически осуществлен различными способами - с помощью экранов и щелей, зеркал и преломляющих тел.

Впервые интерференционную картину от двух источников света наблюдал в 1802 году английский ученый Юнг. В опыте Юнга (рис.3) свет от точечного источника (малое отверстие S) проходит через две равноудаленные щели (отверстия) А 1 и А 2 , являющиеся как бы двумя когерентными источниками (две цилиндрические волны). Интерференционная картина наблюдается на экране Ё, расположенном на некотором расстоянии l параллельно А 1 А 2 . Начало отсчета выбрано в точке 0, симметричной относительно щелей.

Плоская св. S O

A 2 S 2 l

Усиление и ослабление света в произвольной точке Р экрана зависит от оптической разности хода лучей D =L 2 – L 1 . Для получения различимой интерференционной картины расстояние между источниками А 1 А 2 =d должно быть значительно меньше расстояния до экрана l . Расстояние х, в пределах которого образуются интерференционные полосы, значительно меньше l . При этих условиях можно положить S 2 – S 1 » 2l . Тогда S 2 – S 1 » xd/l . Умножив на n,

D = nxd/l . (6)

Подставив (6) в (4) получим, что максимумы интенсивности будут наблюдаться при значениях х, равных

х max = ± ml l/d (m = 0, 1,2,.,.). (7)

Здесь l = l 0 /n - длина волны в среде, заполняющей пространство между источниками и экраном.

Координаты минимумов интенсивности будут:

х min = ±(m +1/2)ll/d (m = 0,1,2,...). (8)

Расстояние между двумя соседними максимумами интенсивности называется расстоянием между интерференционными полосами, а расстояние между соседними минимумами - шириной интерференционной полосы. Из (7) и (8) следует, что расстояние между полосами и ширина полосы имеют одинаковое значение, равное

Dх = l l/d. (9)

Измеряя параметры, входящие в (9), можно определить длину волны оптического излучения l. Согласно (9) Dх пропорционально 1/d, поэтому чтобы интерференционная картина была четко различима, необходимо соблюдение упоминавшегося выше условия: d<< l . Главный максимум, соответствующий m = 0, проходит через точку 0. Вверх и вниз от него на равных расстояниях друг от друга располагаются максимумы (минимумы) первого (m =1), второго (m = 2) порядков и т.д.

Такая картина справедлива при освещении экрана монохроматическим светом (l 0 = const). При освещении белым светом интерференционные максимумы (и минимумы) для каждой длины волны будут, согласно формуле (9), смещены друг относительно друга и иметь вид радужных полос. Только для m = 0 максимумы для всех длин волн совпадают, и в середине экрана будет наблюдаться светлая полоса, по обе стороны от которой симметрично расположатся спектрально окрашенные полосы максимумов первого, второго порядков и т д. (ближе к центральной светлой полосе будут находиться зоны фиолетового цвета, дальше – зоны красного цвета).

Интенсивность интерференционных полос не остается постоянной, а изменяется вдоль экрана по закону квадрата косинуса.

Наблюдать интерференционную картину можно с помощью зеркала Френеля, зеркала Лойда, бипризмы Френеля и других оптических устройств, а также при отражении света от тонких прозрачных пленок.

www.maxXP.narod.ru - gold collection from MaxXP

======================================

Геометрическая оптика

Интерференция световых волн

Дифракция света

Фотометрия и термодинамика излучения

Поляризация света

Дисперсия света

Перенос излучения в мутных средах

Квантовые свойства света

Фотохимическое действие света

Элементы атомной физики

Элементы ядерной физики

Бонус. Формулы для задач

========================================

  2. Интерференция световых волн . Когерентность Временная и пространственная когерентность. Способы наблюдения интерференции света. Классические интерференционные опыты: бипризма Френеля, бизеркала Френеля, опыт Юнга, интерференция в тонких пленках, кольца Ньютона. Интерферометры. Многолучевая интерференция. Просветленная оптика и другие практические применения интерференции.

Интерференция световых волн. Когерентность волн.

Интерференцией света называется наложение двух или более волн, при котором происходит пространственное перераспределение интенсивности света, наблюдаемое в виде темных и светлых полос.

Возникновение интерференции связано, во-первых, с тем, что для векторов напряженности электрических полей, описывающих электромагнитные волны, выполняется принцип суперпозиции. Так при наложении двух волн, каждая из которых создает в точке наблюдения соответственно электрические поля напряженностьюE 1 иE 2 , результирующая напряженность в точке наложения будет равна:E p = E 1 + E 2 (1)

Возникновение интерференции связано с тем, что все регистрирующие приборы, в том числе и человеческий глаз, регистрируют не величину напряженности электрического поля, а величину усредненного по времени потока энергии волны, которая характеризуется интенсивностью света (I), равной квадрату амплитуды напряженности электрического поля волныE 0 : I = E 0 2 (2)

При наложении нескольких волн интерференция наблюдается далеко не в каждом случае. Термин когерентность волн характеризует способность волн при наложении интерферировать. Волны называютсякогерентными, если при их наложении возникает интерференционная картина и некогерентными, если при их наложении интенсивности волн суммируются и интерференционная картина не возникает.Волны когерентны, если разность фаз между ними остается постоянной во время наблюдения. Для некогерентных волн разность фаз между ними хаотически изменяется во времени.

Если колебания возбуждаемые волной в достаточно близких точках псевдоволновой поверхности оказываются когерентными, то такая когерентность называется пространственной .

Фаза колебания при переходе от одной точки псевдоволновой поверхности к другой изменяется беспорядочным образом. Зведем расстояние р ко г, при смещении на которое вдоль псевдоволновой поверхности случайное изменение фазы достигает значения ~л. Колебания в двух точках псевдоволновой поверхности, отстоящих друг от друга на расстояние, меньшее рког, будут при-элизительно когерентными. Расстояние рк ОГ называется длиной тространственной когерентности или радиусом когерентности. Из (120.13) следует, что ρ=λφ (120.14)

Схема двухлучевой интерференции(1)

Рассмотрим наложение двух световых волн, идущих от двух источников S 1 иS 2 , в точкуР (см.рис.1). Волны будем полагать монохроматическими и плоскими. Тогда выражения для напряженностей электрического поля двух волн можно записать в виде:E 1 = E 1 0 cos (ωt – kz ), E 2 = E 2 0 cos (ω 1 t – k 1 z 1 ) (3)

Где Е 1 0 иЕ 2 0 - амплитуды первой и второй волн,ω иω 1 - циклические частоты первой и второй волн,k иk 1 - волновые числа первой и второй волн (k =2 π / λ , здесьλ -длина волны),z иz 1 - расстояния пройденные волнами от источников до точки наблюдения,t - время в момент наложения волн.

Рис.1- Схема двухлучевой интерференции.

Обозначив фазы двух волн, т.е. аргументы периодической функции (в данном случае косинуса), описывающей волны, черезφ иφ 1 соответственно, можно записать, что разность фаз двух волн равна:∆φ = φ – φ 1 = (ω – ω 1 ) t – kz – k 1 z 1 . (4)

Из этого выражения видно, что условие когерентности, т.е. постоянство разности фаз во времени, может выполняться лишь для волн с одинаковыми частотами (ω =ω 1 ).

Циклическая частота однозначно связана с волновым числом k =ω / v , (гдеv - фазовая скорость света в среде - величина для когерентных волн разность фаз определяется геометрической разностью хода волн от источников до точки наложения волн (∆):

∆φ = k (z – z 1 ) = k ∆ . (5)

Волновое число в среде (k c ) пропорционально показателю преломления среды:k c = k n , (6)гдеk - волновое число в вакууме.

Оптическую разность хода (∆), т.е. разность оптических длин путей двух волн (L 01 иL 02): ∆ φ = k (Lo 1 - Lo 2 ) = k ∆ (7)

Оптическая длина пути волны, прошедшей несколько различных сред (см. рис.2), находится как сумма произведений показателя преломления среды (n 1) на геометрическое расстояние, пройденное волной в данной среде (z 1):L 0 = n 1 z 1 + n 2 z 2 + ... + n 1 z 1 +... (8)

Оптической длиной пути световой волны называется произведение геометрической длины пути (z 1 ) световой волны в среде на абсолютный показатель преломления (n 1 ) данной среды:Lo пт = zi · ni

Рассмотрим волну, распространяющуюся в пространстве. Когерентность - это мера корреляции между ее фазами, измеренными в различных точках. Когерентность волны зависит от характеристик ее источника.

Два типа когерентности

Когда описывают когерентность световых волн, различают два ее типа - временную и пространственную.

Когерентность относится к способности света производить Если две световые волны сведены вместе, и они не создают областей повышенной и уменьшенной яркости, они называются некогерентными. Если они производят «идеальную» интерференционную картину (в смысле существования областей полной деструктивной интерференции), то они являются полностью когерентными. Если две волны создают «менее совершенную» картину, то считается, что они частично когерентны.

Интерферометр Майкельсона

Когерентность - это явление, которое лучше всего объяснить с помощью эксперимента.

В интерферометре Майкельсона свет от источника S (который может быть любым: солнцем, лазером или звездами) направлен на полупрозрачное зеркало M 0 , которое отражает 50 % света в направлении зеркала M 1 и пропускает 50 % в направлении зеркала M 2 . Луч отражается от каждого из зеркал, возвращается к M 0 , и равные части света, отраженные от М 1 и М 2, объединяются и проецируются на экран B. Прибор можно настроить путем изменения расстояния от зеркала M 1 до светоделителя.

Интерферометр Майкельсона, по существу, смешивает луч с задержанной во времени его собственной версией. Свет, который проходит по пути к зеркалу M 1 должен пройти расстояние на 2d больше, чем луч, который движется к зеркалу M 2 .

Длина и время когерентности

Что наблюдается на экране? При d = 0 видно множество очень четких интерференционных полос. Когда d увеличивается, полосы становится менее выраженными: темные участки становятся ярче, а светлые - тусклее. Наконец, при очень больших d, превышающих некоторое критическое значение D, светлые и темные кольца исчезают полностью, оставляя лишь размытое пятно.

Очевидно, что световое поле не может интерферировать с задержанной во времени версией самого себя, если временная задержка достаточно велика. Расстояние 2D - это длина когерентности: интерференционные эффекты заметны, только когда разница в пути меньше этого расстояния. Данную величину можно преобразовать во время t c делением ее на с: t c = 2D / с.

Измеряет временную когерентность световой волны: ее способность интерферировать с задержанной версией самой себя. У хорошо стабилизированного лазера t c =10 -4 с, l c = 30 км; у фильтрованного теплового света t c =10 -8 с, l c = 3 м.

Когерентность и время

Временная когерентность - это мера корреляции между фазами световой волны в различных точках вдоль направления распространения.

Предположим, источник излучает волны длиной λ и λ ± Δλ, которые в какой-то момент в пространстве будут интерферировать на расстоянии l c = λ 2 / (2πΔλ). Здесь l c - длина когерентности.

Фаза волны, распространяющейся в направлении х, задается как ф = kx - ωt. Если рассмотреть рисунок волн в пространстве в момент времени t на расстоянии l c , разность фаз между двумя волнами с векторами k 1 и k 2 , которые находятся в фазе при х = 0, равна Δφ = l c (k 1 - k 2). Когда Δφ = 1, или Δφ ~ 60°, свет больше не является когерентным. Интерференция и дифракция оказывают значительное влияние на контраст.

Таким образом:

• 1 = l c (k 1 - k 2) = l c (2π / λ - 2π / (λ + Δλ));
• l c (λ + Δλ - λ) / (λ (λ + Δλ)) ~ l c Δλ / λ 2 = 1/2π;
• l c = λ 2 / (2πΔλ).

Волна проходит через пространство со скоростью с.

Время когерентности t c = l c / с. Так как λf = с, то Δf / f = Δω / ω = Δλ / λ. Мы можем написать

• l c = λ 2 / (2πΔλ) = λf / (2πΔf) = с / Δω;
• t c = 1 / Δω.

Если известна или частота распространения источника света, можно вычислить l c и t c . Невозможно наблюдать интерференционную картину, полученную путем деления амплитуды, такую как тонкопленочная интерференция, если оптическая разность хода значительно превышает l c .

Временная когерентность говорит о монохромности источника.

Когерентность и пространство

Пространственная когерентность - это мера корреляции между фазами световой волны в различных точках поперечно по отношению к направлению распространения.

При расстоянии L от теплового монохроматического (линейного) источника, линейные размеры которого порядка δ, две щели, расположенные на расстоянии, превышающем d c = 0,16λL / δ, больше не производят узнаваемую интерференционную картину. πd c 2 / 4 является площадью когерентности источника.

Если в момент времени t посмотреть на источник шириной δ, расположенный перпендикулярно расстоянию L от экрана, то на экране можно увидеть две точки (P1 и P2), разделенные расстоянием d. Электрическое поле в P1 и P2 представляет собой суперпозицию электрических полей волн, испускаемых всеми точками источника, излучение которых не связано между собой. Для того чтобы покидающие P1 и P2, создавали узнаваемую интерференционную картину, суперпозиции в P1 и P2 должны находиться в фазе.

Условие когерентности

Световые волны, излучаемые двумя краями источника, в некоторый момент времени t обладают определенной разностью фаз прямо в центре между двумя точками. Луч, идущий от левого края δ до точки P2 должен пройти на d(sinθ)/2 дальше, чем луч, направляющийся к центру. Траектория луча, идущего от правого края δ до точки P2, проходит путь на d(sinθ)/2 меньше. Разность пройденного пути для двух лучей равна d·sinθ и представляет разность фаз Δф" = 2πd·sinθ / λ. Для расстояния от P1 до P2 вдоль фронта волны мы получаем Δφ = 2Δφ"= 4πd·sinθ / λ. Волны, испускаемые двумя краями источника, находятся в фазе с P1 в момент времени t и не совпадают по фазе на расстоянии 4πdsinθ/λ в Р2. Так как sinθ ~ δ / (2L), то Δφ = 2πdδ / (Lλ). Когда Δφ = 1 или Δφ ~ 60°, свет больше не считается когерентным.

Δφ = 1 -> d = Lλ / (2πδ) = 0,16 Lλ / δ.

Пространственная когерентность говорит об однородности фазы волнового фронта.

Лампа накаливания является примером некогерентного источника света.

Когерентный свет можно получить от источника некогерентного излучения, если отбросить большую часть излучения. В первую очередь производится пространственная фильтрация для повышения пространственной когерентности, а затем спектральная фильтрация для увеличения временной когерентности.

Ряды Фурье

Синусоидальная плоская волна абсолютно когерентна в пространстве и времени, а ее длина, время и площадь когерентности бесконечны. Все реальные волны являются волновыми импульсами, длящимися в течение конечного интервала времени и имеющими конечный перпендикуляр к их направлению распространения. Математически они описываются непериодическими функциями. Для нахождения частот, присутствующих в волновых импульсах для определения Δω и длины когерентности необходимо провести анализ непериодических функций.

Согласно анализу Фурье, произвольную периодическую волну можно рассматривать как суперпозицию синусоидальных волн. Синтез Фурье означает, что наложение множества синусоидальных волн позволяет получить произвольную периодическую форму волны.

Связь со статистикой

Теорию когерентности можно рассматривать как связь физики с другими науками, так как она является результатом слияния электромагнитной теории и статистики, так же как статистическая механика является объединением механики со статистикой. Теория используется для количественного определения и характеристики влияний случайных флуктуаций на поведение световых полей.

Обычно невозможно измерить флуктуации волнового поля непосредственно. Индивидуальные «подъемы и падения» видимого света нельзя обнаружить непосредственно или даже имея сложные приборы: его частота составляет порядка 10 15 колебаний в секунду. Можно измерить только усредненные показатели.

Применение когерентности

Связь физики с другими науками на примере когерентности можно проследить в ряде приложений. Частично когерентные поля менее подвержены воздействию атмосферной турбулентности, что делает их полезными для лазерной связи. Также они применяются при исследовании лазерно-индуцированных реакций термоядерного синтеза: уменьшение эффекта интерференции приводит к «плавному» действию луча на термоядерную мишень. Когерентность используется, в частности, для определения размера звезд и выделения двойных звездных систем.

Когерентность световых волн играет важную роль в изучении квантовых, а также классических полей. В 2005 году Рой Глаубер стал одним из лауреатов Нобелевской премии по физике за вклад в развитие квантовой теории оптической когерентности.

Когерентные волны – это колебания с постоянной разностью фаз. Разумеется, условие выполняется не в каждой точке пространства, лишь на отдельных участках. Очевидно, что для удовлетворения определению частоты колебаний также предвидятся равными. Прочие волны бывают когерентны лишь на некотором участке пространства, а дальше разность фаз меняется, и это определение использовать уже нельзя.

Обоснование применения

Когерентные волны считаются упрощением, не встречающимся на практике. Математическая абстракция помогает во многих отраслях науки: космос, термоядерные и астрофизические исследования, акустика, музыка, электроника и, конечно, оптика.

Для реальных приложений применяются упрощённые методы, в числе последних трёхволновая система, основы применимости кратко изложены ниже. Для анализа взаимодействия возможно задать, к примеру, гидродинамическую или кинетическую модель.

Решение уравнений для когерентных волн позволяет предсказать устойчивость систем, функционирующих с использованием плазмы. Теоретический подсчёт показывает, что иногда амплитуда результата за короткое время растёт бесконечно. Что означает создание взрывоопасной ситуации. Решая уравнения для когерентных волн, подбором условий удаётся избежать неприятных последствий.

Определения

Вначале введём ряд определений:

• Монохроматической называется волна единственной частоты. Ширина её спектра равна нулю. На графике это единственная гармоника.
• Спектр сигнала – графическое представление амплитуды слагающих гармоник, где по оси абсцисс (ось Х, горизонтальная) откладывается частота. Спектром синусоидального колебания (монохроматической волны) становится единственная спектринка (вертикальная чёрточка).
• Преобразованиями Фурье (обратным и прямым) называют разложение сложного колебания на монохроматические гармоники и обратное сложение целого из разрозненных спектринок.
• Волновой анализ цепей для сложных сигналов не проводится. Вместо этого происходит разложение на отдельные синусоидальные (монохроматические) гармоники, для каждой сравнительно просто составить формулы описания поведения. При расчёте на ЭВМ этого хватает для анализа любых ситуаций.
• Спектр любого непериодического сигнала бесконечен. Границы его обрезаются до разумных пределов перед проведением анализа.
• Дифракцией называется отклонение луча (волны) от прямолинейной траектории вследствие взаимодействия со средой распространения. К примеру, проявляется при преодолении фронтом щели в препятствии.
• Интерференцией называется явление сложения волн. Из-за чего наблюдается весьма причудливая картина из чередующихся полос света и тени.
• Рефракцией называется преломление хода волны на разделе двух сред с различными параметрами.

Понятие когерентности

Советская энциклопедия говорит, что волны одинаковой частоты неизменно когерентны. Это верно исключительно для отдельно взятых неподвижных точек пространства. Фаза определяет результат сложения колебаний. К примеру, противофазные волны одной амплитуды дают прямую линию. Такие колебания гасят друг друга. Самая большая амплитуда у синфазных волн (разность фаз равна нулю). На этом факте основан принцип действия лазеров, зеркальная и фокусирующая система пучков света, особенности получения излучения делают возможной передачу информации на колоссальные расстояния.

Согласно теории взаимодействия колебаний когерентные волны образуют интерференционную картину. У новичка возникает вопрос: свет лампочки не кажется полосатым. По простой причине, что излучение не одной частоты, а лежит в пределах отрезка спектра. И участок, причём, приличной ширины. Из-за неоднородности частот волны беспорядочные, не проявляют свои теоретически и экспериментально в лабораториях обоснованные и доказанные свойства.

Хорошей когерентностью обладает луч лазера. Его используют для связи на дальние расстояния при прямой видимости и прочих целей. Когерентные волны дальше распространяются в пространстве и на приёмнике подкрепляют друг друга. В пучке света разрозненной частоты эффекты способны вычитаться. Возможно подобрать условия, что излучение исходит от источника, но на приёмнике не зарегистрируется.

Обычный свет лампочки тоже работает не на полную мощность. Достичь КПД в 100% на современном этапе развития техники не представляется возможным. К примеру, газоразрядные лампы страдают сильной дисперсией частот. Что касается светодиодов, основатели концепции нанотехнологий обещали создать элементную базу для производства полупроводниковых лазеров, но напрасно. Значительная часть разработок засекречена и рядовому обывателю недоступна.

Лишь когерентные волны проявляют волновые качества. Действуют согласованно, как лучинки веника: по одной легко сломать, вместе взятые — выметают мусор. Волновые свойства – дифракция, интерференция и рефракция – характерны для всех колебаний. Просто зарегистрировать эффект сложнее из-за беспорядочности процесса.

Когерентные волны не демонстрируют дисперсии. Показывают одну частоту и одинаково отклоняются призмой. Все примеры волновых процессов в физике даются, как правило, для когерентных колебаний. На практике приходится учитывать присутствующую малую ширину спектра. Что накладывает особенности на процесс расчёта. Как зависит реальный результат от относительной когерентности волны — пытаются ответить многочисленные учебники и разрозненные издания с замысловатыми названиями! Единого ответа не существует, он сильно зависит от отдельно взятой ситуации.

Волновые пакеты

Для облегчения решения практической задачи можно ввести, к примеру, определение волнового пакета. Каждый из них разбивается дальше на мелкие части. И эти подразделы взаимодействуют когерентно между аналогичными частотами другого пакета. Подобный аналитический метод широко распространён в радиотехнике и электронике. В частности, понятие спектра изначально вводилось для того, чтобы дать в руки инженеров надёжный инструмент, позволяющий оценить поведение сложного сигнала в конкретных случаях. Оценивается малая толика воздействия каждого гармонического колебания на систему, потом конечный эффект находится их полным сложением.

Следовательно, при оценке реальных процессов, не являющихся даже близко когерентными, допустимо разбить объект анализа на простейшие составляющие, чтобы оценить результат процесса. Расчёт упрощается с применением вычислительной техники. Машинные эксперименты показывают достоверность формул для имеющейся ситуации.

На начальном этапе анализа полагают, что пакеты с малой шириной спектра возможно условно заменить гармоническими колебаниями и в дальнейшем пользоваться обратным и прямым преобразованием Фурье для оценки результата. Эксперименты показали, что разброс фаз между выбранными пакетами постепенно возрастает (колеблется с постепенным увеличением разброса). Но для трёх волн разница постепенно сглаживается, согласуясь с излагаемой теорией. Накладывается ряд ограничений:

1. Пространство должно быть бесконечным и однородным (k-пространство).
2. Амплитуда волны не затухает с увеличением дальности, но меняется с течением времени.

Доказано, что в такой среде каждой волне удаётся подобрать конечный спектр, что автоматически делает возможным машинный анализ, а при взаимодействии пакетов спектр результирующей волны уширяется. Колебания по сути когерентными не считаются, но описываются уравнением суперпозиции, представленном ниже. Где волновой вектор ω(k) определяется по дисперсионному уравнению; Еk признано амплитудой гармоники рассматриваемого пакета; k – волновое число; r – пространственная координата, для показателя решается представленное уравнение; t – время.

Время когерентности

В реальной ситуации разнородные пакеты когерентны лишь на отдельном интервале. А далее расхождение фаз становится слишком большим, чтобы применять описанное выше уравнение. Чтобы вывести условия возможности вычислений, вводится понятие времени когерентности.

Полагается, что в начальный момент фазы всех пакетов одинаковы. Выбранные элементарные доли волны когерентны. Тогда искомое время находится как отношение числа Пи к ширине спектра пакета. Если время превысило когерентное, в данном участке уже нельзя использовать формулу суперпозиции для сложения колебаний — фазы слишком сильно отличаются друг от друга. Волна уже не когерентна.

Пакет возможно рассматривать, словно он характеризуется случайной фазой. В этом случае взаимодействие волн идёт по отличающейся схеме. Тогда находятся фурье-компоненты по указанной формуле для дальнейших расчётов. Причём взятые для расчёта две прочие компоненты берутся из трёх пакетов. Это случай совпадения с теорией, упомянутый выше. Следовательно, уравнение показывает зависимость всех пакетов. Точнее – результата сложения.

Для получения наилучшего результата нужно, чтобы ширина спектра пакета не превышала числа Пи, делённого на время решения задачи суперпозиции когерентных волн. При расстройке частоты амплитуды гармоник начинают осциллировать, точный результат получить сложно. И наоборот, для двух когерентных колебаний формула сложения упрощается максимально. Амплитуда находится как квадратный корень из суммы исходных гармоник, возведённых в квадрат и сложенных с собственным удвоенным произведением, помноженным на косинус разности фаз. У когерентных величин угол равен нулю, результат, как уже указано выше, получается максимальным.

Наравне с временем и длиной когерентности используют термин «длина цуга», что является аналогом второго термина. Для солнечного света эта дистанция составляет один микрон. Спектр нашего светила крайне широкий, что объясняет настолько мизерную дистанцию, где излучение считается когерентным самому себе. Для сравнения, длина цуга газового разряда достигает 10 см (в 100000 раз больше), а у лазера излучение сохраняет свойства и на километровых расстояниях.

С радиоволнами намного проще. Кварцевые резонаторы позволяют достичь высокой когерентности волны, чем объясняются пятна уверенного приёма на местности, граничащие с зонами молчания. Аналогичное проявляется при изменении имеющейся картины с течением суток, движением облаков и прочими факторами. Изменяются условия распространения когерентной волны, и интерференционная суперпозиция оказывает влияние в полной мере. В радиодиапазоне на низких частотах длина когерентности может превышать поперечник Солнечной системы.

Условия сложения сильно зависят от формы фронта. Наиболее просто задача решается для плоской волны. В действительности фронт обычно является сферическим. Точки синфазности находятся на поверхности шара. В бесконечно удалённой от источника местности условие плоскости возможно принять за аксиому, и дальнейший расчёт вести согласно взятому постулату. Чем ниже частота, тем проще создать условия для выполнения расчёта. И наоборот, источники света со сферическим фронтом (вспомним Солнце) сложно подогнать под стройную теорию, написанную в учебниках.