Proračun matematičkog očekivanja i disperzije. Diskretne slučajne varijable

Slučajne varijable, osim zakona distribucije, također se mogu opisati numeričke karakteristike .

matematičko očekivanje M (x) slučajne varijable naziva se njezina prosječna vrijednost.

Očekivana vrijednost diskretna slučajna varijabla izračunava se po formuli

gdje – vrijednosti slučajne varijable, str ja- njihove vjerojatnosti.

Razmotrimo svojstva matematičkog očekivanja:

1. Matematičko očekivanje konstante jednako je samoj konstanti

2. Ako se slučajna varijabla pomnoži s određenim brojem k, tada će se matematičko očekivanje pomnožiti s istim brojem

M (kx) = kM (x)

3. Matematičko očekivanje zbroja slučajnih varijabli jednako je zbroju njihovih matematičkih očekivanja

M (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d M (x 1) + M (x 2) + ... + M (x n)

4. M (x 1 - x 2) \u003d M (x 1) - M (x 2)

5. Za neovisne slučajne varijable x 1 , x 2 , … x n matematičko očekivanje proizvoda jednako je umnošku njihovih matematičkih očekivanja

M (x 1, x 2, ... x n) \u003d M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) \u003d M (x) - M (M (x)) \u003d M (x) - M (x) \u003d 0

Izračunajmo matematičko očekivanje za slučajnu varijablu iz primjera 11.

M(x) == .

Primjer 12. Neka su slučajne varijable x 1 , x 2 zadane zakonima distribucije, redom:

x 1 Tablica 2

x 2 Tablica 3

Izračunaj M (x 1) i M (x 2)

M (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 \u003d 0

M (x 2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 \u003d 0

Matematička očekivanja obje slučajne varijable su ista – jednaka su nuli. Međutim, njihova je distribucija drugačija. Ako se vrijednosti x 1 malo razlikuju od njihovog matematičkog očekivanja, tada se vrijednosti x 2 u velikoj mjeri razlikuju od njihovog matematičkog očekivanja, a vjerojatnosti takvih odstupanja nisu male. Ovi primjeri pokazuju da je iz prosječne vrijednosti nemoguće odrediti kakva se odstupanja od nje dešavaju i u manjim i u velika strana. Dakle, uz iste prosječne godišnje količine oborina na dva lokaliteta, ne može se reći da su ti lokaliteti podjednako povoljni za poljoprivredne radove. Slično, u smislu prosjeka plaće nije moguće suditi specifična gravitacija visoko i slabo plaćeni radnici. Stoga se uvodi numerička karakteristika - disperzija D(x) , koji karakterizira stupanj odstupanja slučajne varijable od srednje vrijednosti:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

Disperzija je matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne varijable od matematičkog očekivanja. Za diskretnu slučajnu varijablu, varijanca se izračunava po formuli:

D(x)= = (3)

Iz definicije varijance proizlazi da je D (x) 0.

Svojstva disperzije:

1. Disperzija konstante je nula

2. Ako se slučajna varijabla pomnoži s nekim brojem k, tada se varijanca množi s kvadratom tog broja

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x)

4. Za slučajne varijable neovisne u paru x 1 , x 2 , … x n varijanca zbroja jednaka je zbroju varijanci.

D (x 1 + x 2 + ... + x n) = D (x 1) + D (x 2) + ... + D (x n)

Izračunajmo varijancu za slučajnu varijablu iz primjera 11.

Matematičko očekivanje M (x) = 1. Dakle, prema formuli (3) imamo:

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

Imajte na umu da je lakše izračunati varijancu ako koristimo svojstvo 3:

D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x).

Izračunajmo varijance za slučajne varijable x 1 , x 2 iz primjera 12 koristeći ovu formulu. Matematička očekivanja obje slučajne varijable jednaka su nuli.

D (x 1) \u003d 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 \u003d 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 0,002 \u000

D (x 2) = (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 = 240 +20 \u003d 260

Kako bliže značenje varijance na nulu, manji je širenje slučajne varijable u odnosu na srednju vrijednost.

Vrijednost se zove standardna devijacija. Slučajna moda x diskretni tip Md je vrijednost slučajne varijable, koja odgovara najvećoj vjerojatnosti.

Slučajna moda x kontinuirani tip Md, je realan broj definiran kao maksimalna točka gustoće distribucije vjerojatnosti f(x).

Medijan slučajne varijable x kontinuirani tip Mn je realan broj koji zadovoljava jednadžbu

Nasumična varijabla pozvao varijabla, koji kao rezultat svakog testa uzima jednu prethodno nepoznatu vrijednost, ovisno o slučajnim uzrocima. Slučajne varijable se označavaju velikim latiničnim slovima: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Prema svom tipu, slučajne varijable mogu biti diskretna i stalan.

Diskretna slučajna varijabla- ovo je takva slučajna varijabla, čije vrijednosti ne mogu biti više od prebrojive, odnosno konačne ili prebrojive. Prebrojivost znači da se vrijednosti slučajne varijable mogu nabrojati.

Primjer 1 . Navedimo primjere diskretnih slučajnih varijabli:

a) broj pogodaka u metu s $n$ hitaca, ovdje su moguće vrijednosti $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) broj grbova koji su ispali pri bacanju novčića, ovdje su moguće vrijednosti $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) broj brodova koji su stigli na brod (prebrojiv skup vrijednosti).

d) broj poziva koji pristižu na centralu (brojivi skup vrijednosti).

1. Zakon distribucije vjerojatnosti diskretne slučajne varijable.

Diskretna slučajna varijabla $X$ može uzeti vrijednosti $x_1,\dots ,\ x_n$ s vjerojatnostima $p\left(x_1\right),\ \dots ,\p\left(x_n\right)$. Korespondencija između ovih vrijednosti i njihovih vjerojatnosti naziva se zakon distribucije diskretne slučajne varijable. U pravilu se ova korespondencija navodi pomoću tablice, u čijem su prvom retku navedene vrijednosti $x_1,\dots,\ x_n$, a u drugom retku vjerojatnosti koje odgovaraju tim vrijednostima su $ p_1,\dots ,\ p_n$.

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(niz)$

Primjer 2 . Neka slučajna varijabla $X$ bude broj bačenih bodova kada se baci kocka. Takva slučajna varijabla $X$ može poprimiti sljedeće vrijednosti $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Vjerojatnosti svih ovih vrijednosti jednake su $1/6$. Zatim zakon raspodjele vjerojatnosti za slučajnu varijablu $X$:

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(niz)$

Komentar. Budući da u zakonu distribucije diskretne slučajne varijable $X$ događaji $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ formiraju puna grupa događaja, tada bi zbroj vjerojatnosti trebao biti jednak jedan, odnosno $\sum(p_i)=1$.

2. Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable.

Matematičko očekivanje slučajne varijable specificira njegovu "centralnu" vrijednost. Za diskretnu slučajnu varijablu, matematičko očekivanje se izračunava kao zbroj proizvoda vrijednosti $x_1,\dots,\ x_n$ i vjerojatnosti $p_1,\dots,\ p_n$ koje odgovaraju tim vrijednostima, tj.: $M\lijevo(X\desno)=\zbroj ^n_(i=1)(p_ix_i)$. U engleskoj literaturi koristi se druga oznaka $E\left(X\right)$.

Svojstva očekivanja$M\lijevo(X\desno)$:

1. $M\left(X\right)$ je između najmanjeg i najviše vrijednosti slučajna varijabla $X$.
2. Matematičko očekivanje konstante jednako je samoj konstanti, t.j. $M\lijevo(C\desno)=C$.
3. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka očekivanja: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Matematičko očekivanje zbroja slučajnih varijabli jednako je zbroju njihovih matematičkih očekivanja: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Matematičko očekivanje umnoška nezavisnih slučajnih varijabli jednako je umnošku njihovih matematičkih očekivanja: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Primjer 3 . Pronađimo matematičko očekivanje slučajne varijable $X$ iz primjera $2$.

$$M\lijevo(X\desno)=\zbroj^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\preko (6))+2\cdot ((1)\preko (6) )+3\cdot ((1)\preko (6))+4\cdot ((1)\cdot (6))+5\cdot ((1)\preko (6))+6\cdot ((1 )\preko (6))=3,5.$$

Možemo primijetiti da je $M\left(X\right)$ između najmanje ($1$) i najveće ($6$) vrijednosti slučajne varijable $X$.

Primjer 4 . Poznato je da je matematičko očekivanje slučajne varijable $X$ jednako $M\left(X\right)=2$. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable $3X+5$.

Koristeći gornja svojstva, dobivamo $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Primjer 5 . Poznato je da je matematičko očekivanje slučajne varijable $X$ jednako $M\left(X\right)=4$. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable $2X-9$.

Koristeći gornja svojstva, dobivamo $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Disperzija diskretne slučajne varijable.

Moguće vrijednosti slučajnih varijabli s jednakim matematičkim očekivanjima mogu se različito raspršiti oko svojih prosječnih vrijednosti. Primjerice, u dvije grupe učenika GPA za ispit iz teorije vjerojatnosti ispao je jednak 4, ali u jednoj skupini svi su se pokazali dobrim učenicima, a u drugoj skupini - samo tri i odlični studenti. Stoga postoji potreba za takvom numeričkom karakteristikom slučajne varijable koja bi pokazala širenje vrijednosti slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja. Ova karakteristika je disperzija.

Disperzija diskretne slučajne varijable$X$ je:

$$D\lijevo(X\desno)=\zbroj^n_(i=1)(p_i(\lijevo(x_i-M\lijevo(X\desno)\desno))^2).\ $$

U engleskoj literaturi koristi se oznaka $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Vrlo često se varijanca $D\left(X\right)$ izračunava po formuli $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) lijevo(X \desno)\desno))^2$.

Svojstva disperzije$D\lijevo(X\desno)$:

1. Disperzija je uvijek veća ili jednaka nuli, tj. $D\lijevo(X\desno)\ge 0$.
2. Disperzija iz konstante jednaka je nuli, t.j. $D\lijevo(C\desno)=0$.
3. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka disperzije pod uvjetom da se kvadrira, t.j. $D\lijevo(CX\desno)=C^2D\lijevo(X\desno)$.
4. Varijanca zbroja neovisnih slučajnih varijabli jednaka je zbroju njihovih varijacija, t.j. $D\lijevo(X+Y\desno)=D\lijevo(X\desno)+D\lijevo(Y\desno)$.
5. Varijanca razlike neovisnih slučajnih varijabli jednaka je zbroju njihovih varijacija, t.j. $D\lijevo(X-Y\desno)=D\lijevo(X\desno)+D\lijevo(Y\desno)$.

Primjer 6 . Izračunajmo varijancu slučajne varijable $X$ iz primjera $2$.

$$D\lijevo(X\desno)=\zbroj^n_(i=1)(p_i(\lijevo(x_i-M\lijevo(X\desno)\desno))^2)=((1)\preko (6))\cdot (\lijevo(1-3,5\desno))^2+((1)\preko (6))\cdot (\lijevo(2-3,5\desno))^2+ \točke +((1)\preko (6))\cdot (\lijevo(6-3,5\desno))^2=((35)\preko (12))\cca 2,92.$$

Primjer 7 . Poznato je da je varijanca slučajne varijable $X$ jednaka $D\left(X\right)=2$. Pronađite varijancu slučajne varijable $4X+1$.

Koristeći gornja svojstva, nalazimo $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ lijevo(X\desno)=16\cdot 2=32$.

Primjer 8 . Poznato je da je varijanca $X$ jednaka $D\left(X\right)=3$. Pronađite varijancu slučajne varijable $3-2X$.

Koristeći gornja svojstva, nalazimo $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ lijevo(X\desno)=4\cdot 3=12$.

4. Funkcija distribucije diskretne slučajne varijable.

Metoda predstavljanja diskretne slučajne varijable u obliku distribucijskog niza nije jedina, a što je najvažnije, nije univerzalna, budući da se kontinuirana slučajna varijabla ne može specificirati pomoću distribucijskog niza. Postoji još jedan način predstavljanja slučajne varijable - funkcija distribucije.

funkcija distribucije slučajna varijabla $X$ je funkcija $F\left(x\right)$, koja određuje vjerojatnost da slučajna varijabla $X$ poprimi vrijednost manju od neke fiksne vrijednosti $x$, tj. $F\left(x\ desno)$ )=P\lijevo(X< x\right)$

Svojstva funkcije distribucije:

1. $0\le F\lijevo(x\desno)\le 1$.
2. Vjerojatnost da slučajna varijabla $X$ uzme vrijednosti iz intervala $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ jednaka je razlici između vrijednosti funkcije distribucije na krajevima ovog intervala : $P\lijevo(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\lijevo(x\desno)$ - neopadajuće.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \desno)=1\ )$.

Primjer 9 . Nađimo funkciju distribucije $F\left(x\right)$ za zakon raspodjele diskretne slučajne varijable $X$ iz primjera $2$.

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(niz)$

Ako je $x\le 1$, onda je očito $F\left(x\right)=0$ (uključujući $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Ako 1 $< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Ako 2 dolara< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Ako 3 $< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Ako 4 dolara< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Ako 5 dolara< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Ako je $x > 6$ onda $F\lijevo(x\desno)=P\lijevo(X=1\desno)+P\lijevo(X=2\desno)+P\lijevo(X=3\desno) + P\lijevo(X=4\desno)+P\lijevo(X=5\desno)+P\lijevo(X=6\desno)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Dakle, $F(x)=\lijevo\(\begin(matrica)
0,\ na\ x\le 1,\\
1/6, na \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ na\ 2< x\le 3,\\
1/2, na \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ na\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ na \ 4< x\le 5,\\
1,\ za \ x > 6.
\end(matrica)\desno.$

Matematičko očekivanje je definicija

Mat čekanje je jedan od najvažnijih koncepata u matematičkoj statistici i teoriji vjerojatnosti, koji karakterizira distribuciju vrijednosti ili vjerojatnosti nasumična varijabla. Obično se izražava kao ponderirani prosjek svih mogućih parametara slučajne varijable. Široko se koristi u izvođenju tehnička analiza, istraživanje brojevni niz, proučavanje kontinuiranih i dugih procesa. Ima važnost pri procjeni rizika, predviđanju pokazatelja cijena pri trgovanju na financijska tržišta, koristi se u razvoju strategija i metoda taktike igre u teorija kockanja.

Šah-mat čeka- ovo je srednja vrijednost slučajne varijable, distribucija vjerojatnosti slučajna varijabla se razmatra u teoriji vjerojatnosti.

Mat čekanje je mjera srednje vrijednosti slučajne varijable u teoriji vjerojatnosti. Matematičko očekivanje slučajne varijable x označeno M(x).

Matematičko očekivanje (srednja populacija) je

Mat čekanje je

Mat čekanje je u teoriji vjerojatnosti, ponderirani prosjek svih mogućih vrijednosti koje ova slučajna varijabla može uzeti.

Mat čekanje je zbroj proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable s vjerojatnostima tih vrijednosti.

Matematičko očekivanje (srednja populacija) je

Mat čekanje je prosječna korist od određene odluke, pod uvjetom da se takva odluka može razmatrati u okviru teorije velikih brojeva i velike udaljenosti.

Mat čekanje je u teoriji kockanja, iznos dobitka koji špekulant može zaraditi ili izgubiti, u prosjeku, za svaku okladu. Jezikom kockanja špekulanti to se ponekad naziva "prednošću špekulant” (ako je pozitivan za špekulanta) ili “kućni rub” (ako je negativan za špekulanta).

Matematičko očekivanje (srednja populacija) je

Wir verwenden Cookies für die beste Präsentation unserer Website. Wenn Sie diese Website weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. u redu

Svaka pojedinačna vrijednost u potpunosti je određena svojom funkcijom distribucije. Također, za rješavanje praktičnih problema dovoljno je poznavati nekoliko numeričkih karakteristika, zahvaljujući kojima postaje moguće predstaviti glavne značajke slučajne varijable u sažetom obliku.

Ove količine su prvenstveno očekivana vrijednost i disperzija .

Očekivana vrijednost- prosječna vrijednost slučajne varijable u teoriji vjerojatnosti. Označeno kao .

po najviše na jednostavan način matematičko očekivanje slučajne varijable X(w), nalaze se kao sastavniLebesgue s obzirom na mjeru vjerojatnosti R izvornik prostor vjerojatnosti

Također možete pronaći matematičko očekivanje vrijednosti kao Lebesgueov integral iz x raspodjelom vjerojatnosti R X količine x:

gdje je skup svih mogućih vrijednosti x.

Matematičko očekivanje funkcija od slučajne varijable x je kroz distribuciju R X. Na primjer, ako x- slučajna varijabla s vrijednostima u i f(x)- nedvosmisleno Borelfunkcija x , zatim:

Ako je a F(x)- funkcija distribucije x, tada je matematičko očekivanje reprezentativno sastavniLebesgue - Stieltjes (ili Riemann - Stieltjes):

dok je integrabilnost x u kojem smislu ( * ) odgovara konačnosti integrala

NA konkretnim slučajevima, ako x ima diskretnu distribuciju s vjerojatnim vrijednostima x k, k=1, 2, . , i vjerojatnosti , onda

ako x ima apsolutno kontinuiranu distribuciju s gustoćom vjerojatnosti p(x), onda

u ovom slučaju, postojanje matematičkog očekivanja je ekvivalentno apsolutnoj konvergenciji odgovarajućeg niza ili integrala.

Svojstva matematičkog očekivanja slučajne varijable.

• Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je ovoj vrijednosti:

C- konstantno;

• M=C.M[X]

• Matematičko očekivanje zbroja nasumično uzetih vrijednosti jednako je zbroju njihovih matematičkih očekivanja:

• Matematičko očekivanje umnoška nezavisnih slučajnih varijabli = proizvod njihovih matematičkih očekivanja:

M=M[X]+M[Y]

ako x i Y neovisna.

ako se niz konvergira:

Algoritam za izračun matematičkog očekivanja.

Svojstva diskretnih slučajnih varijabli: sve njihove vrijednosti mogu se prenumerirati prirodni brojevi; izjednačiti svaku vrijednost s vjerojatnošću koja nije nula.

1. Pomnožite parove redom: x i na pi.

2. Dodajte proizvod svakog para x i p i.

Na primjer, za n = 4 :

Funkcija distribucije diskretne slučajne varijable postupno, naglo raste u onim točkama čije vjerojatnosti imaju pozitivan predznak.

Primjer: Nađite matematičko očekivanje po formuli.

Matematičko očekivanje slučajne varijable X je srednja vrijednost.

1. M(C) = C

2. M(CX) = CM(X), gdje C= konst

3. M(X ± Y) = M(X) ± M(Y)

4. Ako su slučajne varijable x i Y neovisno, dakle M(XY) = M(X) M(Y)

Disperzija

Varijanca slučajne varijable X naziva se

D(X) = S(x – M(X)) 2 p = M(X 2 ) – M 2 (X).

Disperzija je mjera odstupanja vrijednosti slučajne varijable od njene srednje vrijednosti.

1. D(C) = 0

2. D(X + C) = D(X)

3. D(CX) = C 2 D(X), gdje C= konst

4. Za nezavisne slučajne varijable

D(X ± Y) = D(X) + D(Y)

5. D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2Cov(x, y)

Korijen od varijance slučajne varijable X naziva se standardna devijacija .

@ Zadatak 3: Neka slučajna varijabla X uzima samo dvije vrijednosti (0 ili 1) s vjerojatnostima q, str, gdje p + q = 1. Pronađite matematičko očekivanje i varijancu.

Riješenje:

M(X) = 1 p + 0 q = p; D(X) = (1 – p) 2 p + (0 - p) 2 q = pq.

@ Zadatak 4: Matematičko očekivanje i varijanca slučajne varijable x jednaki su 8. Nađite matematičko očekivanje i varijancu slučajnih varijabli: a) X-4; b) 3X-4.

Rješenje: M(X - 4) = M(X) - 4 = 8 - 4 = 4; D(X - 4) = D(X) = 8; M(3X - 4) = 3M (X) - 4 = 20; D(3X - 4) = 9D(X) = 72.

@ Zadatak 5: Skup obitelji ima sljedeću distribuciju prema broju djece:

x i	x 1	x2
pi	0,1	p2	0,4	0,35

Definirati x 1, x2 i p2 ako se zna da M(X) = 2; D(X) = 0,9.

Rješenje: Vjerojatnost p 2 jednaka je p 2 = 1 - 0,1 - 0,4 - 0,35 = 0,15. Nepoznati x nalaze se iz jednadžbi: M(X) = x 1 0,1 + x 2 0,15 + 2 0,4 + 3 0,35 = 2; D(X) = 0,1 + 0,15 + 4 0,4 ​​+ 9 0,35 – 4 = 0,9. x 1 = 0; x2 = 1.

Opća populacija i uzorak. Procjene parametara

Selektivno promatranje

Statističko promatranje može biti organizirano kontinuirano i ne kontinuirano. Kontinuirano promatranje uključuje ispitivanje svih jedinica proučavane populacije (opće populacije). Populacija je skup fizičkih ili pravna lica, koju istraživač proučava prema svom zadatku. To često nije ekonomski isplativo, a ponekad i nemoguće. S tim u vezi proučava se samo dio opće populacije - okvir za uzorkovanje .

Rezultati dobiveni iz populacije uzorka mogu se proširiti na opću populaciju ako se slijede sljedeća načela:

1. Populacija uzorka mora se odrediti nasumično.

2. Broj jedinica uzorkovanja mora biti dovoljan.

3. Mora se osigurati reprezentativnost ( reprezentativnost) uzorka. Reprezentativni uzorak je manji, ali točan model populacije koju treba predstavljati.

Vrste uzoraka

U praksi, primijeniti sljedeće vrste uzorci:

a) pravilno nasumično, b) mehanički, c) tipično, d) serijski, e) kombinirano.

Samonasumično uzorkovanje

Na ispravan slučajni uzorak jedinice uzorka biraju se nasumično, na primjer, ždrijebom ili generatorom slučajnih brojeva.

Uzorci se ponavljaju i ne ponavljaju. Prilikom ponovnog uzorkovanja, uzorkovana jedinica se vraća i pohranjuje jednake prilike biti ponovno uključeni u uzorak. Kod uzorkovanja koja se ne ponavlja, jedinica populacije koja je uključena u uzorak ne sudjeluje u uzorku u budućnosti.

Pogreške svojstvene promatranju uzorka, a koje nastaju zbog činjenice da uzorak ne reproducira u potpunosti opću populaciju, nazivaju se standardne greške . Oni predstavljaju srednju kvadratnu razliku između vrijednosti pokazatelja dobivenih iz uzorka i odgovarajućih vrijednosti pokazatelja opće populacije.

Formule za izračun standardna pogreška s slučajnim ponovnim odabirom, sljedeće: , a sa slučajnim neponavljajućim odabirom, sljedeće: , gdje je S 2 varijanca populacije uzorka, n/N - udio uzorka, n, N- broj jedinica u uzorku i opća populacija. Na n = N standardna greška m = 0.

Mehaničko uzorkovanje

Na mehaničko uzorkovanje opća populacija podijeljena je na jednake intervale i iz svakog intervala nasumično se bira jedna jedinica.

Na primjer, uz stopu uzorkovanja od 2%, svaka 50. jedinica odabire se s popisa populacije.

Standardna pogreška mehaničkog uzorkovanja definirana je kao pogreška samonasumičnog neponovljivog uzorkovanja.

Tipičan uzorak

Na tipičan uzorak opća populacija je podijeljena u homogene tipične skupine, zatim se jedinice nasumično biraju iz svake skupine.

Tipičan uzorak koristi se u slučaju heterogene opće populacije. Tipičan uzorak daje točnije rezultate jer osigurava reprezentativnost.

Na primjer, učitelji su, kao opća populacija, podijeljeni u grupe prema sljedećim karakteristikama: spol, radni staž, kvalifikacije, obrazovanje, gradski i seoske škole itd.

Tipične standardne pogreške uzorkovanja definirane su kao samonasumične pogreške uzorkovanja, s jedinom razlikom da S2 zamjenjuje se prosjekom varijansi unutar grupe.

serijsko uzorkovanje

Na serijsko uzorkovanje opća populacija se dijeli u zasebne skupine (serije), zatim se nasumično odabrane skupine podvrgavaju kontinuiranom promatranju.

Standardne pogreške serijskog uzorkovanja definirane su kao samonasumične pogreške uzorkovanja, s jedinom razlikom u tome S2 zamjenjuje se prosjekom varijansi među grupama.

Kombinirano uzorkovanje

Kombinirano uzorkovanje je kombinacija dviju ili više vrsta uzoraka.

Procjena točaka

krajnji cilj promatranje uzorkovanja je pronalaženje karakteristika opće populacije. Budući da se to ne može učiniti izravno, karakteristike populacije uzorka se proširuju na opću populaciju.

Dokazuje se temeljna mogućnost određivanja aritmetičke sredine opće populacije iz podataka prosječnog uzorka Čebiševljev teorem. Uz neograničeno povećanje n vjerojatnost da će razlika između srednje vrijednosti uzorka i opće srednje vrijednosti biti proizvoljno mala teži 1.

To znači da je karakteristika opće populacije s točnošću . Takva procjena se zove točka .

Intervalna procjena

Osnova procjene intervala je središnji granični teorem.

Intervalna procjena omogućuje vam da odgovorite na pitanje: unutar kojeg intervala i s kojom vjerojatnošću je nepoznata, željena vrijednost parametra opće populacije?

Obično se naziva razina povjerenja str = 1 – a, koji će biti u intervalu – D< < + D, где D = t kr m > 0 marginalna greška uzorci, a - razina značaja (vjerojatnost da će nejednakost biti netočna), t kr - kritična vrijednost, što ovisi o vrijednostima n i a. Uz mali uzorak n< 30 t kr je dan korištenjem kritične vrijednosti Studentove t-distribucije za dvostrani test s n– 1 stupanj slobode s razinom značajnosti a ( t kr(n- 1, a) nalazi se iz tablice "Kritične vrijednosti Studentove t-distribucije", prilog 2). Za n > 30, t kr je kvantil normalne distribucije ( t kr nalazi se iz tablice vrijednosti Laplaceove funkcije F(t) = (1 – a)/2 kao argument). Kod p = 0,954, kritična vrijednost t kr= 2 kod p = 0,997 kritične vrijednosti t kr= 3. To znači da je granična pogreška obično 2-3 puta veća od standardne pogreške.

Dakle, bit metode uzorkovanja leži u činjenici da je na temelju statističkih podataka određenog malog dijela opće populacije moguće pronaći interval u kojem je s pouzdanom vjerojatnošću str pronalazi se željena karakteristika opće populacije (prosječan broj radnika, prosječna ocjena, prosječni prinos, standardna devijacija itd.).

@ Zadatak 1. Odrediti brzinu namirenja s vjerovnicima korporativnih poduzeća u Komercijalna banka proveden je slučajni uzorak od 100 isprava za plaćanje prema kojem prosječni rok ispostavilo se da je prijenos i primanje novca jednako 22 dana (= 22) sa standardnim odstupanjem od 6 dana (S = 6). S vjerojatnošću str= 0,954 određuje graničnu pogrešku srednje vrijednosti uzorka i intervala pouzdanosti srednjeg trajanja naselja poduzeća ove korporacije.

Rješenje: Granična pogreška srednje vrijednosti uzorka prema(1)jednako je D= 2· 0,6 = 1,2, a interval pouzdanosti definiran je kao (22 - 1,2; 22 + 1,2), t.j. (20,8; 23,2).

§6.5 Korelacija i regresija