Gdje su razmatrani problemi koje treba riješiti pravokutni trokut, obećao sam navesti tehniku ​​za pamćenje definicija sinusa i kosinusa. Koristeći ga, uvijek ćete se brzo sjetiti koja strana pripada hipotenuzi (susjedna ili suprotna). Odlučio sam ne odgađati predugo, potreban materijal ispod, pročitajte 😉

Činjenica je da sam više puta primijetio kako učenici od 10. do 11. razreda imaju poteškoća s pamćenjem ovih definicija. Dobro se sjećaju da se kateta odnosi na hipotenuzu, ali koju- zaboravljaju i zbunjeno. Cijena greške, kao što znate na ispitu, je izgubljeni bod.

Informacije koje ću izravno iznijeti nemaju nikakve veze s matematikom. Ona je povezana sa maštovito razmišljanje, te metodama verbalno-logičke komunikacije. Upravo tako se sjećam, jednom zauvijekpodaci o definiciji. Ako ih zaboravite, uvijek ih se lako možete sjetiti pomoću prikazanih tehnika.

Dopustite mi da vas podsjetim na definicije sinusa i kosinusa u pravokutnom trokutu:

Kosinus oštar kut u pravokutnom trokutu, ovo je omjer susjedne katete i hipotenuze:

Sinus Oštri kut u pravokutnom trokutu je omjer suprotne stranice i hipotenuze:

Dakle, kakve asocijacije imate na riječ kosinus?

Vjerojatno svatko ima svoju 😉Zapamtite link:

Tako će se izraz odmah pojaviti u vašem sjećanju -

«… omjer SUSJEDNE katete prema hipotenuzi».

Problem s određivanjem kosinusa je riješen.

Ako se trebate sjetiti definicije sinusa u pravokutnom trokutu, tada se sjećajući se definicije kosinusa, lako možete utvrditi da je sinus oštrog kuta u pravokutnom trokutu omjer suprotne strane i hipotenuze. Uostalom, postoje samo dva kraka; ako je susjedni krak "zauzet" kosinusom, tada samo suprotni krak ostaje sa sinusom.

Što je s tangensom i kotangensom? Zabuna je ista. Učenici znaju da se radi o odnosu kraka, ali problem je zapamtiti koji se na koji odnosi - ili suprotno od susjednog, ili obrnuto.

Definicije:

Tangens Oštri kut u pravokutnom trokutu je omjer suprotne stranice i susjedne stranice:

Kotangens Oštri kut u pravokutnom trokutu je omjer susjedne i suprotne strane:

Kako zapamtiti? Postoje dva načina. Jedna također koristi verbalno-logičku vezu, druga koristi matematičku.

MATEMATIČKA METODA

Postoji takva definicija - tangens oštrog kuta je omjer sinusa kuta i njegovog kosinusa:

*Zapamtivši formulu, uvijek možete odrediti da je tangens šiljastog kuta u pravokutnom trokutu omjer suprotne stranice i susjedne stranice.

Također.Kotangens oštrog kuta je omjer kosinusa kuta i njegovog sinusa:

Tako! Prisjećanjem ovih formula uvijek možete utvrditi da:

- tangens oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer suprotne stranice u odnosu na susjednu

— kotangens šiljastog kuta u pravokutnom trokutu je omjer susjedne i suprotne stranice.

RIJEČNO-LOGIČKA METODA

O tangenti. Zapamtite link:

To jest, ako se trebate sjetiti definicije tangente, koristeći ovu logičku vezu, lako se možete sjetiti što je to

“... omjer suprotne strane prema susjednoj strani”

Ako govorimo o kotangensu, sjećajući se definicije tangensa, lako možete izgovoriti definiciju kotangensa -

“... omjer susjedne i suprotne strane”

Na web stranici postoji zanimljiv trik za pamćenje tangensa i kotangensa " Matematički tandem " , pogledaj.

UNIVERZALNA METODA

Možete ga samo zapamtiti.Ali kako praksa pokazuje, zahvaljujući verbalno-logičkim vezama, osoba dugo pamti informacije, a ne samo matematičke.

Nadam se da vam je materijal bio koristan.

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh

P.S: Bio bih vam zahvalan ako biste mi rekli nešto o stranici na društvenim mrežama.

Tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija

Bilješka. Ova tablica vrijednosti trigonometrijske funkcije koristi znak √ za označavanje korijen. Za označavanje razlomka koristite simbol "/".

vidi također korisni materijali:

Za određivanje vrijednosti trigonometrijske funkcije, pronađite ga na sjecištu crte koja označava trigonometrijsku funkciju. Na primjer, sinus 30 stupnjeva - tražimo stupac s naslovom sin (sinus) i pronalazimo sjecište ovog stupca tablice s retkom "30 stupnjeva", na njihovom sjecištu čitamo rezultat - jednu polovicu. Slično nalazimo kosinus 60 stupnjevi, sinus 60 stupnjeva (još jednom, na sjecištu stupca sin (sinus) i reda 60 stupnjeva nalazimo vrijednost grijeha 60 = √3/2), itd. Vrijednosti sinusa, kosinusa i tangensa drugih "popularnih" kutova nalaze se na isti način.

Sinus pi, kosinus pi, tangens pi i drugi kutovi u radijanima

Donja tablica kosinusa, sinusa i tangensa također je prikladna za pronalaženje vrijednosti trigonometrijskih funkcija čiji je argument dano u radijanima. Da biste to učinili, upotrijebite drugi stupac vrijednosti kuta. Zahvaljujući tome, možete pretvoriti vrijednost popularnih kutova iz stupnjeva u radijane. Na primjer, pronađimo kut od 60 stupnjeva u prvom retku i ispod njega pročitaj njegovu vrijednost u radijanima. 60 stupnjeva jednako je π/3 radijana.

Broj pi jednoznačno izražava ovisnost opsega o stupnjskoj mjeri kuta. Dakle, pi radijani su jednaki 180 stupnjeva.

Bilo koji broj izražen u pi (radijanima) može se lako pretvoriti u stupnjeve zamjenom pi (π) sa 180.

Primjeri:
1. Sinus pi.
sin π = sin 180 = 0
dakle, sinus od pi je isti kao sinus od 180 stupnjeva i jednak je nuli.

2. Kosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
prema tome, kosinus od pi je isti kao kosinus od 180 stupnjeva i jednak je minus jedan.

3. Tangenta pi
tg π = tg 180 = 0
prema tome, tangenta pi je ista kao tangenta od 180 stupnjeva i jednaka je nuli.

Tablica vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa za kutove 0 - 360 stupnjeva (uobičajene vrijednosti)

vrijednost kuta α (stupnjevi)	vrijednost kuta α u radijanima (putem pi)	grijeh (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangens)	ctg (kotangens)	sek (sekant)	cosec (kosekant)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Ako je u tablici vrijednosti trigonometrijskih funkcija umjesto vrijednosti funkcije navedena crtica (tangens (tg) 90 stupnjeva, kotangens (ctg) 180 stupnjeva), tada za danu vrijednost mjere stupnja kuta funkcija nema određenu vrijednost. Ako nema crtice, ćelija je prazna, što znači da još nismo ušli željenu vrijednost. Zanima nas po kakvim upitima nam se korisnici javljaju i tablicu dopunjujemo novim vrijednostima, unatoč činjenici da su trenutni podaci o vrijednostima kosinusa, sinusa i tangensa najčešćih vrijednosti kutova sasvim dovoljni za rješavanje većine problema.

Tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija sin, cos, tg za najpopularnije kutove
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 stupnjeva
(numeričke vrijednosti "prema Bradisovim tablicama")

vrijednost kuta α (stupnjevi)	vrijednost kuta α u radijanima	grijeh (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangenta)	ctg (kotangens)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Primjeri:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Argument i smisao

Kosinus oštrog kuta

Kosinus oštrog kuta može se odrediti pomoću pravokutnog trokuta - jednak je omjeru susjedne katete i hipotenuze.

Primjer :

1) Neka je zadan kut i trebamo odrediti kosinus tog kuta.

2) Dopunimo bilo koji pravokutni trokut na ovom kutu.

3) Nakon što smo izmjerili tražene stranice, možemo izračunati kosinus.

Kosinus broja

Brojevni krug vam omogućuje određivanje kosinusa bilo kojeg broja, ali obično ćete pronaći kosinus brojeva nekako povezan s: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

Na primjer, za broj \(\frac(π)(6)\) - kosinus će biti jednak \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . A za broj \(-\)\(\frac(3π)(4)\) to će biti jednako \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (približno \ (-0 ,71\)).

Za kosinus za druge brojeve koji se često susreću u praksi, vidi.

Vrijednost kosinusa uvijek je u rasponu od \(-1\) do \(1\). U ovom slučaju, kosinus se može izračunati za apsolutno bilo koji kut i broj.

Kosinus bilo kojeg kuta

Zahvaljujući krugu s brojevima, možete odrediti kosinus ne samo oštrog kuta, već i tupog, negativnog, pa čak i većeg od \(360°\) (puni okret). Kako to učiniti lakše je vidjeti jednom nego čuti \(100\) puta, pa pogledajte sliku.

Sada objašnjenje: pretpostavimo da trebamo odrediti kosinus kuta KOA s mjerom stupnja u \(150°\). Kombiniranje točke OKO sa središtem kruga i bočnom stranom u redu– s osi \(x\). Nakon toga odložite \(150°\) u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Zatim ordinata točke Aće nam pokazati kosinus ovog kuta.

Ako nas zanima kut s mjerom stupnjeva, na primjer, u \(-60°\) (kut KOV), učinite isto, ali postavite \(60°\) u smjeru kazaljke na satu.

I konačno, kut je veći od \(360°\) (kut CBS) - sve je slično onoj glupoj, samo nakon punog okretanja u smjeru kazaljke na satu, idemo u drugi krug i "dobijamo nedostatak stupnjeva". Konkretno, u našem slučaju, kut \(405°\) je iscrtan kao \(360° + 45°\).

Lako je pogoditi da za iscrtavanje kuta, na primjer, u \(960°\), morate napraviti dva okreta (\(360°+360°+240°\)), a za kut u \(2640 °\) - cijelih sedam.

Kao što možete zamijeniti, i kosinus broja i kosinus proizvoljnog kuta definirani su gotovo identično. Mijenja se samo način na koji se točka nalazi na kružnici.

Predznaci kosinusa po četvrtinama

Pomoću kosinusne osi (odnosno apscisne osi, označene crvenom bojom na slici), lako je odrediti predznake kosinusa duž numeričke (trigonometrijske) kružnice:

Gdje su vrijednosti na osi od \(0\) do \(1\), kosinus će imati znak plus (I i IV četvrtine - zelena površina),
- gdje su vrijednosti na osi od \(0\) do \(-1\), kosinus će imati znak minus (II i III četvrtine - ljubičasto područje).

Veza s drugim trigonometrijskim funkcijama:

- isti kut (ili broj): glavni trigonometrijski identitet\(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- isti kut (ili broj): po formuli \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- i sinus istog kuta (ili broja): formula \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
Ostale najčešće korištene formule pogledajte.

Rješenje jednadžbe \(\cos⁡x=a\)

Rješenje jednadžbe \(\cos⁡x=a\), gdje je \(a\) broj koji nije veći od \(1\) niti manji od \(-1\), tj. \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

Ako \(a>1\) ili \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

Primjer . Riješite trigonometrijsku jednadžbu \(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\).
Riješenje:

Riješimo jednadžbu pomoću brojčane kružnice. Za ovo:
1) Napravimo sjekire.
2) Konstruirajmo krug.
3) Na kosinusnoj osi (osi \(y\)) označite točku \(\frac(1)(2)\) .
4) Kroz ovu točku povucite okomicu na kosinusnu os.
5) Označite sjecišta okomice i kružnice.
6) Potpišimo vrijednosti ovih točaka: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Zapišimo sve vrijednosti koje odgovaraju tim točkama pomoću formule \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

Odgovor: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

Funkcija \(y=\cos(x)\)

Ako iscrtamo kutove u radijanima duž \(x\) osi i kosinusne vrijednosti koje odgovaraju tim kutovima duž \(y\) osi, dobit ćemo sljedeći grafikon:

Ovaj graf se zove i ima sljedeća svojstva:

Domena definicije je bilo koja vrijednost x: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- raspon vrijednosti - od \(-1\) do \(1\) uključujući: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- parno: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- periodički s periodom \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- točke presjeka s koordinatnim osima:
apscisna os: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), gdje \(n ϵ Z\)
Y os: \((0;1)\)
- intervali konstantnosti predznaka:
funkcija je pozitivna na intervalima: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), gdje \(n ϵ Z\)
funkcija je negativna na intervalima: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), gdje \(n ϵ Z\)
- intervali povećanja i smanjenja:
funkcija raste na intervalima: \((π+2πn;2π+2πn)\), gdje je \(n ϵ Z\)
funkcija opada na intervalima: \((2πn;π+2πn)\), gdje je \(n ϵ Z\)
- maksimumi i minimumi funkcije:
funkcija ima najveću vrijednost \(y=1\) u točkama \(x=2πn\), gdje \(n ϵ Z\)
funkcija ima minimalnu vrijednost \(y=-1\) u točkama \(x=π+2πn\), gdje je \(n ϵ Z\).

Razumimo jednostavne pojmove: sinus i kosinus i izračun kosinus na kvadrat i sinus na kvadrat.

Sinus i kosinus proučavaju se u trigonometriji (proučavanje pravokutnih trokuta).

Stoga, prvo se prisjetimo osnovnih pojmova pravokutnog trokuta:

Hipotenuza- stranica koja uvijek leži nasuprot pravog kuta (kut od 90 stupnjeva). Hipotenuza je najduža stranica pravokutnog trokuta.

Preostale dvije stranice u pravokutnom trokutu nazivaju se noge.

Također biste trebali upamtiti da zbroj tri kuta u trokutu uvijek iznosi 180°.

Sada prijeđimo na kosinus i sinus kuta alfa (∠α)(ovo se može nazvati bilo kojim neizravnim kutom u trokutu ili koristiti kao oznaka x - "x", što ne mijenja suštinu).

Sinus kuta alfa (sin ∠α)- ovo je stav suprotan krak (strana nasuprot odgovarajućeg kuta) na hipotenuzu. Ako pogledate sliku, sin ∠ABC = AC / BC

Kosinus kuta alfa (cos ∠α)- stav susjedni na kut katete prema hipotenuzi. Gledajući ponovno gornju sliku, jer je ∠ABC = AB / BC

I samo kao podsjetnik: kosinus i sinus nikada neće biti veći od jedan, budući da je svaki valj kraći od hipotenuze (a hipotenuza je najdulja stranica svakog trokuta, jer se najduža stranica nalazi nasuprot najvećem kutu u trokutu) .

Kosinus na kvadrat, sinus na kvadrat

Sada prijeđimo na osnovne trigonometrijske formule: izračunavanje kosinusa na kvadrat i sinusa na kvadrat.

Da biste ih izračunali, trebali biste zapamtiti osnovni trigonometrijski identitet:

sin 2 α + cos 2 α = 1(sinus kvadrat plus kosinus kvadrat jednog kuta uvijek je jednak jedan).

Iz trigonometrijskog identiteta izvlačimo zaključke o sinusu:

sin 2 α = 1 - cos 2 α

sinus kvadrat alfa jednako je jedan minus kosinus dvostrukog kuta alfa i sve to podijelite s dva.

sin 2 α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​Iz trigonometrijskog identiteta izvlačimo zaključke o kosinusu:

cos 2 α = 1 - sin 2 α

ili složeniju verziju formule: kosinus kvadrat alfa jednako je jedan plus kosinus dvostrukog kuta alfa i također sve podijelite s dva.

cos 2 α = (1 + cos(2α)) / 2

Ove dvije složenije formule za sinus na kvadrat i kosinus na kvadrat nazivaju se i "smanjenje snage za kvadrat trigonometrijskih funkcija". Oni. postojao je drugi stupanj, spustili su ga na prvi i izračuni su postali zgodniji.

Neću vas pokušavati uvjeriti da ne pišete varalice. Pisati! Uključujući varalice o trigonometriji. Kasnije planiram objasniti zašto su varalice potrebne i zašto su varalice korisne. A evo i informacija kako ne učiti, nego zapamtiti neke trigonometrijske formule. Dakle - trigonometrija bez varalice koristi asocijacije za pamćenje!

1. Formule zbrajanja:

Kosinusi uvijek “dolaze u paru”: kosinus-kosinus, sinus-sinus. I još nešto: kosinusi su "neadekvatni". Njima “ne štima sve” pa mijenjaju znakove: “-” u “+” i obrnuto.

Sinusi - "mješavina": sinus-kosinus, kosinus-sinus.

2. Formule zbroja i razlike:

kosinus uvijek “dolazi u paru”. Dodavanjem dva kosinusa - "koloboka", dobivamo par kosinusa - "koloboka". A oduzimanjem definitivno nećemo dobiti nikakve koloboke. Dobivamo par sinusa. Također s minusom naprijed.

Sinusi - "mješavina" :

3. Formule za pretvaranje umnoška u zbroj i razliku.

Kada dobivamo kosinusni par? Kada zbrojimo kosinuse. Zato

Kada ćemo dobiti par sinusa? Kod oduzimanja kosinusa. Odavde:

"Miješanje" se dobiva i pri zbrajanju i oduzimanju sinusa. Što je zabavnije: zbrajanje ili oduzimanje? Tako je, fold. A za formulu uzimaju zbrajanje:

U prvoj i trećoj formuli zbroj je u zagradi. Preraspoređivanjem mjesta članova ne mijenja se zbroj. Redoslijed je važan samo za drugu formulu. No, da ne bude zabune, radi lakšeg pamćenja, u sve tri formule u prve zagrade uzimamo razliku

i drugo – iznos

Varalice u vašem džepu daju vam mir: ako zaboravite formulu, možete je kopirati. I daju vam samopouzdanje: ako ne uspijete koristiti varalicu, lako ćete se sjetiti formula.