Rješavanje tipičnih problema čvrstoće materijala. Ravno savijanje ravnih štapova Što je savijanje prvog drugog reda

Savijte se

Osnovni pojmovi o savijanju

Deformacija savijanjem karakterizirana je gubitkom ravnosti ili izvornog oblika linijom grede (njezinom osi) kada se primjenjuje vanjsko opterećenje. U ovom slučaju, za razliku od deformacije smicanja, linija grede glatko mijenja svoj oblik.
Lako je vidjeti da otpornost na savijanje ovisi ne samo o površini poprečnog presjeka grede (greda, šipka, itd.), Već io geometrijskom obliku ovog dijela.

Budući da se savijanje tijela (greda, drvo, itd.) Izvodi u odnosu na bilo koju os, na otpor savijanju utječe vrijednost aksijalnog momenta tromosti presjeka tijela u odnosu na ovu os.
Za usporedbu, tijekom torzijske deformacije, dio tijela je podložan uvijanju u odnosu na pol (točku), stoga na otpor torzije utječe polarni moment tromosti ovog dijela.

Mnogi konstrukcijski elementi mogu se saviti - osovine, osovine, grede, zubi zupčanika, poluge, šipke itd.

U čvrstoći materijala razmatra se nekoliko vrsta zavoja:
- ovisno o prirodi vanjskog opterećenja primijenjenog na gredu, postoje čisti zavoj I poprečno savijanje;
- ovisno o položaju ravnine djelovanja opterećenja savijanja u odnosu na os grede - ravni zavoj I kosi zavoj.

Čisto i poprečno savijanje grede

Čisto savijanje je vrsta deformacije kod koje se u bilo kojem presjeku grede pojavljuje samo moment savijanja ( riža. 2).
Čista deformacija savijanjem dogodit će se, na primjer, ako se na ravnu gredu u ravnini koja prolazi kroz os primijeni dva para sila jednake veličine i suprotnog predznaka. Tada će u svakom dijelu grede djelovati samo momenti savijanja.

Ako dođe do savijanja kao rezultat primjene poprečne sile na gredu ( riža. 3), tada se takav zavoj naziva poprečnim. U ovom slučaju, u svakom dijelu grede djeluju i poprečna sila i moment savijanja (osim dijela na koji se primjenjuje vanjsko opterećenje).

Ako greda ima barem jednu os simetrije, a ravnina djelovanja opterećenja se poklapa s njom, dolazi do izravnog savijanja, ali ako ovaj uvjet nije zadovoljen, dolazi do kosog savijanja.

Proučavajući deformaciju savijanjem, mentalno ćemo zamisliti da se greda (drvo) sastoji od bezbrojnog broja uzdužnih vlakana paralelnih s osi.
Da bismo vizualizirali deformaciju ravnog zavoja, provest ćemo pokus s gumenom šipkom na koju je postavljena mreža uzdužnih i poprečnih linija.
Podvrgavanjem takve grede ravnom savijanju, može se primijetiti da ( riža. 1):

Poprečne linije će ostati ravne tijekom deformacije, ali će se okrenuti pod kutom jedna prema drugoj;
- dijelovi grede će se širiti u poprečnom smjeru na konkavnoj strani i sužavati na konveksnoj strani;
- uzdužne ravne linije će se saviti.

Iz ovog iskustva možemo zaključiti sljedeće:

Za čisto savijanje vrijedi hipoteza o ravnim presjecima;
- vlakna koja leže na konveksnoj strani su rastegnuta, na konkavnoj su stisnuta, a na granici između njih nalazi se neutralni sloj vlakana koja se samo savijaju ne mijenjajući svoju duljinu.

Pod pretpostavkom da vrijedi hipoteza da nema pritiska na vlakna, može se tvrditi da kod čistog savijanja u presjeku grede nastaju samo normalna vlačna i tlačna naprezanja, neravnomjerno raspoređena po presjeku.
Linija presjeka neutralnog sloja s ravninom presjeka naziva se neutralna os. Očito je da su na neutralnoj osi normalni naponi jednaki nuli.

Moment savijanja i posmična sila

Kao što je poznato iz teorijske mehanike, reakcije oslanjanja greda određuju se sastavljanjem i rješavanjem jednadžbi statičke ravnoteže za cijelu gredu. Pri rješavanju problema otpornosti materijala i određivanju faktora unutarnjih sila u gredama uzete su u obzir reakcije spojeva uz vanjska opterećenja koja djeluju na grede.
Za određivanje unutarnjih faktora sile koristit ćemo se metodom presjeka, a gredu ćemo prikazati samo jednom linijom - osi na koju djeluju aktivne i reaktivne sile (opterećenja i reakcijske reakcije).

Razmotrimo dva slučaja:

1. Na gredu djeluju dva para sila jednakog i suprotnog predznaka.
Uzimajući u obzir ravnotežu dijela grede koji se nalazi lijevo ili desno od presjeka 1-1 (Sl. 2), vidimo da se u svim presjecima javlja samo moment savijanja M i jednak vanjskom momentu. Dakle, ovo je slučaj čistog savijanja.

Moment savijanja je rezultat momenta oko neutralne osi unutarnjih normalnih sila koje djeluju u presjeku grede.

Napomenimo da moment savijanja ima različit smjer za lijevi i desni dio grede. To znači da je pravilo statičkog predznaka neprikladno za određivanje predznaka momenta savijanja.

2. Aktivne i reaktivne sile (opterećenja i reakcijske reakcije) okomite na os djeluju na gredu (riža. 3). Uzimajući u obzir ravnotežu dijelova grede koji se nalaze lijevo i desno, vidimo da moment savijanja M mora djelovati u presjecima I i sila smicanja Q.
Iz ovoga slijedi da u razmatranom slučaju u točkama poprečnih presjeka ne postoje samo normalna naprezanja koja odgovaraju momentu savijanja, već i tangencijalna naprezanja koja odgovaraju poprečnoj sili.

Transverzalna sila je rezultanta unutarnjih tangencijalnih sila u presjeku grede.

Obratimo pozornost na činjenicu da transverzalna sila ima suprotan smjer za lijevi i desni dio grede, što ukazuje na neprikladnost pravila statičkog predznaka pri određivanju predznaka transverzalne sile.

Savijanje, kod kojeg u presjeku grede djeluju moment savijanja i posmična sila, naziva se poprečnim.

Za gredu u ravnoteži pod djelovanjem ravnog sustava sila algebarski zbroj momenata svih aktivnih i reaktivnih sila u odnosu na bilo koju točku jednak je nuli; stoga je zbroj momenata vanjskih sila koje djeluju na gredu lijevo od presjeka brojčano jednak zbroju momenata svih vanjskih sila koje djeluju na gredu desno od presjeka.
Tako, moment savijanja u presjeku grede brojčano je jednak algebarskom zbroju momenata u odnosu na težište presjeka svih vanjskih sila koje djeluju na gredu desno ili lijevo od presjeka.

Za gredu u ravnoteži pod djelovanjem ravnog sustava sila okomitih na os (tj. sustava paralelnih sila), algebarski zbroj svih vanjskih sila jednak je nuli; stoga je zbroj vanjskih sila koje djeluju na gredu lijevo od presjeka brojčano jednak algebarskom zbroju sila koje djeluju na gredu desno od presjeka.
Tako, poprečna sila u presjeku grede brojčano je jednaka algebarskom zbroju svih vanjskih sila koje djeluju desno ili lijevo od presjeka.

Budući da su pravila statičkih predznaka neprihvatljiva za određivanje predznaka momenta savijanja i posmične sile, za njih ćemo uspostaviti druga predznačna pravila, i to: Ako vanjsko opterećenje nastoji saviti gredu konveksnošću prema dolje, tada je moment savijanja u presjek se smatra pozitivnim, i obrnuto, ako vanjsko opterećenje teži savijanju grede s konveksom prema gore, tada se moment savijanja u presjeku smatra negativnim ( Slika 4,a).

Ako zbroj vanjskih sila koje leže na lijevoj strani presjeka daje rezultantu usmjerenu prema gore, tada se transverzalna sila u presjeku smatra pozitivnom; ako je rezultanta usmjerena prema dolje, tada se transverzalna sila u presjeku smatra negativnom; za dio grede koji se nalazi desno od presjeka, znakovi sile smicanja bit će suprotni ( riža. 4,b). Koristeći ova pravila, trebali biste mentalno zamisliti dio grede kao kruto stegnut, a veze kao odbačene i zamijenjene reakcijama.

Još jednom napomenimo da se za određivanje reakcija veza koriste pravila predznaka statike, a za određivanje predznaka momenta savijanja i poprečne sile pravila predznaka otpora materijala.
Pravilo predznaka za momente savijanja ponekad se naziva i "pravilo kiše", što znači da u slučaju konveksiteta prema dolje nastaje lijevak u kojem se zadržava kišnica (predznak je pozitivan), i obrnuto - ako je ispod utjecaj opterećenja greda se savija u luku prema gore, na njoj nema vode (predznak momenata savijanja je negativan).

Materijali iz odjeljka "Savijanje":

Počet ćemo s najjednostavnijim slučajem, tzv. čistim zavojem.

Čisto savijanje je poseban slučaj savijanja kod kojeg je poprečna sila u presjecima grede jednaka nuli. Čisto savijanje može se dogoditi samo kada je vlastita težina grede toliko mala da se njezin utjecaj može zanemariti. Za grede na dva nosača, primjeri opterećenja koja uzrokuju čisto

savijanje, prikazano na sl. 88. U presjecima ovih greda, gdje je Q = 0 i, prema tome, M = const; odvija se čisto savijanje.

Sile u bilo kojem presjeku grede tijekom čistog savijanja svode se na par sila, čija ravnina djelovanja prolazi kroz os grede, a moment je konstantan.

Naponi se mogu odrediti na temelju sljedećih razmatranja.

1. Tangencijalne komponente sila duž elementarnih površina u presjeku grede ne mogu se svesti na par sila čija je ravnina djelovanja okomita na ravninu presjeka. Slijedi da je sila savijanja u presjeku rezultat djelovanja duž elementarnih površina

samo normalne sile, pa se zato kod cistog savijanja naprezanja svode samo na normalne.

2. Da bi se napori na elementarnim mjestima sveli na samo nekoliko sila, među njima mora biti i pozitivnih i negativnih. Stoga moraju postojati i vlakna zatezanja i vlakna za stisak grede.

3. Zbog činjenice da su sile u različitim presjecima jednake, naprezanja u odgovarajućim točkama presjeka su ista.

Razmotrimo neki element blizu površine (slika 89, a). Budući da uz njegov donji rub, koji se poklapa s površinom grede, ne djeluju sile, na njemu nema naprezanja. Dakle, nema naprezanja na gornjem rubu elementa, jer inače element ne bi bio u ravnoteži s obzirom na element koji mu graniči po visini (slika 89, b), dolazimo do

Isti zaključak itd. Slijedi da nema naprezanja duž vodoravnih rubova niti jednog elementa. Promatrajući elemente koji čine horizontalni sloj, počevši od elementa u blizini površine grede (slika 90), dolazimo do zaključka da nema naprezanja duž bočnih okomitih bridova niti jednog elementa. Dakle, stanje naprezanja bilo kojeg elementa (slika 91, a), au granici, vlakana, treba biti predstavljeno kao što je prikazano na slici. 91,b, tj. može biti ili aksijalni napon ili aksijalni pritisak.

4. Zbog simetrije primjene vanjskih sila, dionica duž sredine duljine grede nakon deformacije treba ostati ravna i normalna na os grede (slika 92, a). Iz istog razloga, dijelovi u četvrtinama duljine grede također ostaju ravni i normalni na os grede (slika 92, b), osim ako krajnji dijelovi grede tijekom deformacije ostaju ravni i normalni na os grede. greda. Sličan zaključak vrijedi i za dijelove u osminama duljine grede (slika 92, c), itd. Prema tome, ako tijekom savijanja vanjski dijelovi grede ostanu ravni, tada za bilo koji presjek ostaje

Poštena je izjava da nakon deformacije ostaje ravna i normalna na os zakrivljene grede. Ali u ovom slučaju, očito je da se promjena izduženja vlakana grede duž njegove visine treba događati ne samo kontinuirano, već i monotono. Ako slojem nazovemo skup vlakana koja imaju jednaka istezanja, tada iz rečenog proizlazi da rastegnuta i stisnuta vlakna grede trebaju biti smještena na suprotnim stranama sloja u kojem su istezanja vlakana jednaka. na nulu. Vlakna čija su izduženja nula nazvat ćemo neutralnima; sloj koji se sastoji od neutralnih vlakana je neutralni sloj; linija presjeka neutralnog sloja s ravninom presjeka grede - neutralna linija ovog presjeka. Zatim, na temelju prethodnog obrazloženja, može se tvrditi da kod čistog savijanja grede u svakom presjeku postoji neutralna linija koja taj presjek dijeli na dva dijela (zone): zonu rastegnutih vlakana (istegnuta zona) i zona komprimiranih vlakana (komprimirana zona). Prema tome, u točkama rastegnute zone presjeka trebaju djelovati normalna vlačna naprezanja, u točkama komprimirane zone - tlačna naprezanja, au točkama neutralne linije naprezanja su jednaka nuli.

Dakle, s čistim savijanjem grede konstantnog poprečnog presjeka:

1) u presjecima djeluju samo normalni naponi;

2) cijeli odjeljak može se podijeliti na dva dijela (zone) - istegnuti i stisnuti; granica zona je linija neutralnog presjeka, u točkama koje su normalni naponi jednaki nuli;

3) bilo koji uzdužni element grede (u granicama, bilo koje vlakno) podvrgnut je aksijalnoj napetosti ili kompresiji, tako da susjedna vlakna ne djeluju jedna na drugu;

4) ako krajnji dijelovi grede tijekom deformacije ostanu ravni i normalni na os, tada svi njegovi presjeci ostaju ravni i normalni na os zakrivljene grede.

Stanje naprezanja grede pri čistom savijanju

Razmotrimo element grede podvrgnut čistom savijanju, zaključujemo koji se nalazi između odsječaka m-m i n-n, koji su jedan od drugog udaljeni na beskrajno maloj udaljenosti dx (slika 93). Zbog položaja (4) prethodnog stavka, odsječci m- m i n - n, koji su prije deformacije bili paralelni, nakon savijanja ostaju ravni, formirat će kut dQ i sijeći se duž pravca koji prolazi kroz točku C, koja je središte zakrivljenosti neutralno vlakno NN. Tada će dio AB vlakna zatvoren između njih, koji se nalazi na udaljenosti z od neutralnog vlakna (pozitivan smjer osi z je uzet prema konveksnosti grede pri savijanju), nakon deformacije pretvoriti u luk AB komad neutralnog vlakna O1O2, pretvorivši se u luk, O1O2 neće promijeniti svoju duljinu, dok će vlakno AB dobiti produljenje:

prije deformacije

nakon deformacije

gdje je p polumjer zakrivljenosti neutralnog vlakna.

Stoga je apsolutno produljenje segmenta AB jednako

i relativno izduženje

Budući da je prema položaju (3) vlakno AB izloženo aksijalnoj napetosti, tada tijekom elastične deformacije

To pokazuje da su normalna naprezanja po visini grede raspoređena po linearnom zakonu (slika 94). Kako jednakost svih sila po svim površinama elementarnih presjeka mora biti jednaka nuli, onda

odakle, zamjenom vrijednosti iz (5.8), nalazimo

Ali posljednji integral je statički moment oko osi Oy, okomit na ravninu djelovanja sila savijanja.

Zbog svoje jednakosti nuli ova os mora prolaziti kroz težište O presjeka. Dakle, neutralna linija presjeka grede je ravna linija y, okomita na ravninu djelovanja sila savijanja. Naziva se neutralna os presjeka grede. Tada iz (5.8) slijedi da su naprezanja u točkama koje leže na istoj udaljenosti od neutralne osi jednaka.

Slučaj čistog savijanja, u kojem sile savijanja djeluju samo u jednoj ravnini, uzrokujući savijanje samo u toj ravnini, je planarno čisto savijanje. Ako navedena ravnina prolazi kroz os Oz, tada bi moment elementarnih sila u odnosu na tu os trebao biti jednak nuli, tj.

Zamjenjujući ovdje vrijednost σ iz (5.8), nalazimo

Integral na lijevoj strani ove jednakosti, kao što je poznato, je centrifugalni moment tromosti presjeka u odnosu na osi y i z, pa je

Osi oko kojih je centrifugalni moment tromosti presjeka jednak nuli nazivamo glavnim osima tromosti tog presjeka. Ako oni, osim toga, prolaze kroz težište presjeka, tada se mogu nazvati glavnim središnjim osima tromosti presjeka. Dakle, s ravnim čistim savijanjem, smjer ravnine djelovanja sila savijanja i neutralne osi presjeka glavne su središnje osi tromosti potonjeg. Drugim riječima, da bi se dobila ravna, čista savijenost grede, opterećenje se ne može proizvoljno primijeniti na nju: ono se mora svesti na sile koje djeluju u ravnini koja prolazi kroz jednu od glavnih središnjih osi tromosti presjeka grede. greda; u ovom slučaju, druga glavna središnja os tromosti bit će neutralna os presjeka.

Kao što je poznato, u slučaju presjeka koji je simetričan oko bilo koje osi, os simetrije je jedna od njegovih glavnih središnjih osi tromosti. Posljedično, u ovom konkretnom slučaju sigurno ćemo dobiti čisto savijanje primjenom odgovarajućih opterećenja u ravnini koja prolazi kroz uzdužnu os grede i os simetrije njenog presjeka. Pravac okomit na os simetrije i prolazi kroz težište presjeka neutralna je os ovog presjeka.

Utvrdivši položaj neutralne osi, nije teško pronaći veličinu naprezanja u bilo kojoj točki presjeka. Zapravo, budući da zbroj momenata elementarnih sila u odnosu na neutralnu os yy mora biti jednak momentu savijanja, tada

odakle, zamjenom vrijednosti σ iz (5.8), nalazimo

Budući da je integral moment tromosti presjeka u odnosu na os yy, zatim

a iz izraza (5.8) dobivamo

Umnožak EI Y naziva se krutost grede na savijanje.

Najveća vlačna i najveća tlačna naprezanja u apsolutnoj vrijednosti djeluju u točkama presjeka za koje je apsolutna vrijednost z najveća, tj. u točkama najudaljenijim od neutralne osi. Uz oznaku, Sl. 95 imamo

Vrijednost Jy/h1 naziva se momentom otpora presjeka na napetost i označava se Wyr; slično, Jy/h2 se naziva momentom otpora presjeka na pritisak

i označavaju Wyc, pa

i stoga

Ako je neutralna os os simetrije presjeka, tada je h1 = h2 = h/2 i, prema tome, Wyp = Wyc, pa ih nema potrebe razlikovati i koriste isti zapis:

nazivajući W y jednostavno momentom otpora presjeka. Prema tome, u slučaju presjeka simetričnog u odnosu na neutralnu os,

Svi navedeni zaključci dobiveni su na temelju pretpostavke da poprečni presjeci grede, kada su savijeni, ostaju ravni i normalni na svoju os (hipoteza ravnih presjeka). Kao što je pokazano, ova pretpostavka vrijedi samo u slučaju kada krajnji (krajnji) dijelovi grede ostaju ravni tijekom savijanja. S druge strane, iz hipoteze ravnih presjeka proizlazi da bi elementarne sile u takvim presjecima trebale biti raspoređene po linearnom zakonu. Stoga je za valjanost dobivene teorije ravnog čistog savijanja potrebno da se momenti savijanja na krajevima grede primjenjuju u obliku elementarnih sila raspoređenih duž visine presjeka prema linearnom zakonu (sl. 96), koji se podudara sa zakonom raspodjele naprezanja po visini presječnih greda. Međutim, na temelju Saint-Venantovog načela, može se tvrditi da će promjena metode primjene momenata savijanja na krajevima grede uzrokovati samo lokalne deformacije, čiji će učinak utjecati samo na određenu udaljenost od tih krajeva (približno jednaku do visine presjeka). Dijelovi koji se nalaze po cijeloj dužini grede ostat će ravni. Posljedično, navedena teorija ravnog čistog savijanja za bilo koju metodu primjene momenata savijanja vrijedi samo unutar srednjeg dijela duljine grede, koji se nalazi od njezinih krajeva na udaljenostima približno jednakim visini presjeka. Odavde je jasno da je ova teorija očito neprimjenjiva ako visina presjeka prelazi polovicu duljine ili raspona grede.

Savijte se je vrsta opterećenja grede pri kojoj se na gredu primjenjuje moment koji leži u ravnini koja prolazi kroz uzdužnu os. U presjecima grede javljaju se momenti savijanja. Kod savijanja nastaje deformacija pri kojoj se os ravne grede savija ili se mijenja zakrivljenost zakrivljene grede.

Greda koja se savija naziva se greda . Konstrukcija koja se sastoji od više savitljivih šipki, najčešće međusobno povezanih pod kutom od 90°, naziva se okvir .

Zavoj se zove ravna ili ravna , ako ravnina opterećenja prolazi kroz glavnu središnju os tromosti presjeka (slika 6.1).

sl.6.1

Kada u gredi dođe do ravnog poprečnog savijanja, nastaju dvije vrste unutarnjih sila: poprečna sila Q i moment savijanja M. U okviru s ravnim poprečnim savijanjem nastaju tri sile: uzdužna N, poprečno Q sile i moment savijanja M.

Ako je moment savijanja jedini faktor unutarnje sile, tada se takvo savijanje naziva čist (Slika 6.2). Kada postoji posmična sila, naziva se savijanje poprečni . Strogo govoreći, jednostavne vrste otpora uključuju samo čisto savijanje; poprečno savijanje se konvencionalno klasificira kao jednostavna vrsta otpora, budući da se u većini slučajeva (za dovoljno duge grede) učinak poprečne sile može zanemariti pri proračunu čvrstoće.

22.Ravni poprečni zavoj. Diferencijalne ovisnosti između unutarnjih sila i vanjskog opterećenja. Postoje diferencijalni odnosi između momenta savijanja, posmične sile i intenziteta raspodijeljenog opterećenja, temeljeni na teoremu Žuravskog, nazvanom po ruskom inženjeru mostova D.I. Žuravskom (1821.-1891.).

Ovaj teorem je formuliran na sljedeći način:

Poprečna sila jednaka je prvoj izvodnici momenta savijanja po apscisi presjeka grede.

23. Ravni poprečni zavoj. Crtanje dijagrama posmičnih sila i momenata savijanja. Određivanje posmičnih sila i momenata savijanja - dio 1

Odbacimo desnu stranu grede i zamijenimo njeno djelovanje na lijevoj strani transverzalnom silom i momentom savijanja. Radi lakšeg izračuna, pokrijmo odbačenu desnu stranu grede komadom papira, poravnavajući lijevi rub lista s odjeljkom 1 koji se razmatra.

Poprečna sila u presjeku 1 grede jednaka je algebarskom zbroju svih vanjskih sila koje su vidljive nakon zatvaranja

Vidimo samo reakciju oslonca usmjerenu prema dolje. Dakle, sila smicanja je:

kN.

Uzeli smo znak "minus" jer sila rotira dio grede koji nam je vidljiv u odnosu na prvi presjek u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (ili zato što je u istom smjeru kao i smjer transverzalne sile prema pravilu predznaka)

Moment savijanja u presjeku 1 grede jednak je algebarskom zbroju momenata svih sila koje vidimo nakon zatvaranja odbačenog dijela grede, u odnosu na presjek 1 koji se razmatra.

Vidimo dvije sile: reakciju oslonca i moment M. Međutim, sila ima rame koje je praktički jednako nuli. Stoga je moment savijanja jednak:

kNm.

Ovdje smo uzeli znak "plus" jer vanjski moment M savija nama vidljivi dio grede konveksom prema dolje. (ili zato što je suprotan smjeru momenta savijanja prema pravilu predznaka)

Određivanje posmičnih sila i momenata savijanja - dio 2

Za razliku od prvog odjeljka, sila reakcije sada ima rame jednako a.

posmična sila:

kN;

moment savijanja:

Određivanje posmičnih sila i momenata savijanja - dio 3

posmična sila:

moment savijanja:

Određivanje posmičnih sila i momenata savijanja - dio 4

Sada je praktičnije pokrij lijevu stranu grede plahtom.

posmična sila:

moment savijanja:

Određivanje posmičnih sila i momenata savijanja - dio 5

posmična sila:

moment savijanja:

Određivanje posmičnih sila i momenata savijanja - dio 1

sila smicanja i moment savijanja:

.

Koristeći pronađene vrijednosti, konstruiramo dijagram poprečnih sila (slika 7.7, b) i momenata savijanja (slika 7.7, c).

KONTROLA ISPRAVNOSTI IZRADE DIJAGRAMA

Uvjerimo se da su dijagrami ispravno konstruirani na temelju vanjskih obilježja, koristeći pravila za konstruiranje dijagrama.

Provjera dijagrama posmične sile

Uvjereni smo: pod neopterećenim područjima dijagram poprečnih sila ide paralelno s osi grede, a pod raspodijeljenim opterećenjem q - duž ravne linije nagnute prema dolje. Na dijagramu uzdužne sile postoje tri skoka: pod reakcijom - dolje za 15 kN, pod silom P - dolje za 20 kN i pod reakcijom - gore za 75 kN.

Provjera dijagrama momenta savijanja

Na dijagramu momenata savijanja vidimo pregibe pod koncentriranom silom P i pod reakcijama oslonca. Kutovi loma su usmjereni prema tim silama. Pod raspodijeljenim opterećenjem q mijenja se dijagram momenata savijanja duž kvadratne parabole, čija je konveksnost usmjerena prema opterećenju. U odjeljku 6 na dijagramu momenta savijanja postoji ekstrem, budući da dijagram poprečne sile na ovom mjestu prolazi kroz nultu vrijednost.

Za konzolnu gredu opterećenu raspodijeljenim opterećenjem intenziteta kN/m i koncentriranim momentom kN m (sl. 3.12) potrebno je: konstruirati dijagrame posmičnih sila i momenata savijanja, odabrati gredu kružnog presjeka s dopušteno normalno naprezanje kN/cm2 i provjeriti čvrstoću grede prema tangencijalnim naprezanjima s dopuštenim tangencijalnim naprezanjem kN/cm2. Dimenzije grede m; m; m.

Proračunska shema za problem izravnog poprečnog savijanja

Riža. 3.12

Rješenje problema "ravno poprečno savijanje"

Određivanje reakcija podrške

Horizontalna reakcija u ugradnji je nula, budući da vanjska opterećenja u smjeru z-osi ne djeluju na gredu.

Odabiremo smjerove preostalih reaktivnih sila koje nastaju u ugradnji: okomitu reakciju ćemo usmjeriti, na primjer, prema dolje, a moment - u smjeru kazaljke na satu. Njihove vrijednosti se određuju iz statičkih jednadžbi:

Pri sastavljanju ovih jednadžbi moment smatramo pozitivnim pri rotaciji u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a projekciju sile pozitivnom ako se njen smjer poklapa s pozitivnim smjerom osi y.

Iz prve jednadžbe nalazimo moment na brtvi:

Iz druge jednadžbe - vertikalna reakcija:

Pozitivne vrijednosti koje smo dobili za trenutak i okomitu reakciju u ugradnji pokazuju da smo pogodili njihov smjer.

U skladu s prirodom pričvršćivanja i opterećenja grede, njezinu duljinu dijelimo na dva dijela. Uz granice svakog od ovih presjeka ocrtat ćemo četiri poprečna presjeka (vidi sl. 3.12), u kojima ćemo metodom presjeka (ROZU) izračunati vrijednosti posmičnih sila i momenata savijanja.

Odjeljak 1. Mentalno odbacimo desnu stranu grede. Zamijenimo njegovo djelovanje na preostaloj lijevoj strani sa silom rezanja i momentom savijanja. Radi praktičnosti izračunavanja njihovih vrijednosti, pokrijmo odbačenu desnu stranu grede komadom papira, poravnavajući lijevi rub lista s dijelom koji se razmatra.

Podsjetimo se da posmična sila koja nastaje u bilo kojem poprečnom presjeku mora uravnotežiti sve vanjske sile (aktivne i reaktivne) koje djeluju na dio grede koji promatramo (odnosno, vidljiv). Stoga sila smicanja mora biti jednaka algebarskom zbroju svih sila koje vidimo.

Predstavimo i pravilo predznaka za silu smicanja: vanjska sila koja djeluje na promatrani dio grede i teži da "okrene" ovaj dio u odnosu na presjek u smjeru kazaljke na satu uzrokuje pozitivnu silu smicanja u presjeku. Takva vanjska sila uključena je u algebarski zbroj za definiciju s predznakom plus.

U našem slučaju, vidimo samo reakciju nosača, koji rotira dio grede koji nam je vidljiv u odnosu na prvi dio (u odnosu na rub papira) u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Zato

kN.

Moment savijanja u bilo kojem presjeku mora uravnotežiti moment koji stvaraju nama vidljive vanjske sile u odnosu na dotični presjek. Prema tome, jednak je algebarskom zbroju momenata svih sila koje djeluju na dio grede koji razmatramo, u odnosu na presjek koji razmatramo (drugim riječima, u odnosu na rub komada papira). U ovom slučaju vanjsko opterećenje, savijajući dio grede koji se razmatra s konveksnošću prema dolje, uzrokuje pozitivan moment savijanja u presjeku. A trenutak stvoren takvim opterećenjem uključen je u algebarski zbroj za određivanje sa znakom "plus".

Vidimo dva pokušaja: reakciju i završni trenutak. Međutim, poluga sile u odnosu na odjeljak 1 je nula. Zato

kNm.

Uzeli smo znak "plus" jer reaktivni moment savija dio snopa koji nam je vidljiv konveksom prema dolje.

Odjeljak 2. Kao i prije, prekrit ćemo cijelu desnu stranu grede komadom papira. Sada, za razliku od prvog odjeljka, sila ima rame: m

kN; kNm.

Odjeljak 3. Zatvaranje desne strane grede, nalazimo

kN;

Odjeljak 4. Pokrijte lijevu stranu grede listom. Zatim

kNm.

kNm.

.

Koristeći pronađene vrijednosti, konstruiramo dijagrame sila smicanja (slika 3.12, b) i momenata savijanja (slika 3.12, c).

Pod neopterećenim područjima, dijagram sila smicanja ide paralelno s osi grede, a pod raspodijeljenim opterećenjem q - duž nagnute ravne linije prema gore. Ispod reakcije oslonca na dijagramu nalazi se skok prema dolje za vrijednost te reakcije, odnosno za 40 kN.

Na dijagramu momenata savijanja vidimo lom ispod reakcije oslonca. Kut savijanja je usmjeren prema reakciji nosača. Pod raspodijeljenim opterećenjem q, dijagram se mijenja duž kvadratne parabole, čija je konveksnost usmjerena prema opterećenju. U odsječku 6 na dijagramu postoji ekstrem, budući da dijagram posmične sile na tom mjestu prolazi kroz nultu vrijednost.

Odredite potrebni promjer presjeka grede

Uvjet normalne čvrstoće naprezanja ima oblik:

,

gdje je moment otpora grede pri savijanju. Za gredu kružnog presjeka jednaka je:

.

Najveća apsolutna vrijednost momenta savijanja javlja se u trećem dijelu grede: kN cm

Tada se potrebni promjer grede određuje formulom

cm.

Prihvaćamo mm. Zatim

kN/cm2 kN/cm2.

"Prenapon" je

,

što je dozvoljeno.

Čvrstoću grede provjeravamo najvećim posmičnim naprezanjima

Najveća tangencijalna naprezanja koja nastaju u presjeku grede kružnog presjeka izračunavaju se formulom

,

gdje je površina presjeka.

Prema dijagramu najveća algebarska vrijednost sile smicanja jednaka je kN. Zatim

kN/cm2 kN/cm2,

odnosno zadovoljen je i uvjet čvrstoće za tangencijalna naprezanja i to s velikom marginom.

Primjer rješavanja problema "ravno poprečno savijanje" br. 2

Uvjet primjera zadatka na ravno poprečno savijanje

Za jednostavno oslonjenu gredu opterećenu raspodijeljenim opterećenjem intenziteta kN/m, koncentrirane sile kN i koncentriranog momenta kN m (sl. 3.13) potrebno je konstruirati dijagrame posmičnih sila i momenata savijanja i odabrati gredu I-nosača. presjeka s dopuštenim normalnim naprezanjem kN/cm2 i dopuštenim tangencijalnim naprezanjem kN/cm2. Raspon grede m.

Primjer problema ravnog savijanja - proračunski dijagram

Riža. 3.13

Rješenje primjera zadatka o ravnom savijanju

Određivanje reakcija podrške

Za zadanu jednostavno poduprtu gredu potrebno je pronaći tri reakcije oslonca: , i . Budući da na gredu djeluju samo vertikalna opterećenja okomita na njezinu os, horizontalna reakcija nepomične zglobne potpore A jednaka je nuli: .

Smjerovi vertikalnih reakcija biraju se proizvoljno. Usmjerimo, na primjer, obje vertikalne reakcije prema gore. Da bismo izračunali njihove vrijednosti, napravimo dvije statičke jednadžbe:

Podsjetimo se da je rezultanta linearnog opterećenja, ravnomjerno raspoređena na dionici duljine l, jednaka, odnosno jednaka površini dijagrama ovog opterećenja i primjenjuje se u težištu ovog dijagramu, odnosno u sredini dužine.

;

kN.

Provjerimo: .

Podsjetimo se da se sile čiji se smjer podudara s pozitivnim smjerom y-osi projiciraju (projiciraju) na ovu os s predznakom plus:

to je istina.

Konstruiramo dijagrame posmičnih sila i momenata savijanja

Podijelimo duljinu grede u zasebne dijelove. Granice ovih presjeka su točke primjene koncentriranih sila (aktivnih i/ili reaktivnih), kao i točke koje odgovaraju početku i kraju raspodijeljenog opterećenja. Tri su takva odjeljka u našem problemu. Uz granice ovih odjeljaka, nacrtat ćemo šest poprečnih presjeka, u kojima ćemo izračunati vrijednosti posmičnih sila i momenata savijanja (slika 3.13, a).

Odjeljak 1. Mentalno odbacimo desnu stranu grede. Radi praktičnosti izračunavanja sile smicanja i momenta savijanja koji nastaju u ovom dijelu, pokrit ćemo dio grede koji smo odbacili komadom papira, poravnavajući lijevi rub lista papira sa samim presjekom.

Sila smicanja u presjeku grede jednaka je algebarskom zbroju svih vanjskih sila (aktivnih i reaktivnih) koje vidimo. U ovom slučaju vidimo reakciju nosača i linearnog opterećenja q raspoređenog na infinitezimalnoj duljini. Rezultirajuće linearno opterećenje je nula. Zato

kN.

Znak plus je uzet jer sila okreće nama vidljivi dio grede u odnosu na prvi dio (rub papira) u smjeru kazaljke na satu.

Moment savijanja u presjeku grede jednak je algebarskom zbroju momenata svih sila koje vidimo u odnosu na presjek koji se razmatra (to jest, u odnosu na rub komada papira). Vidimo reakciju oslonca i linearno opterećenje q raspoređeno na infinitezimalnu duljinu. Međutim, sila ima polugu nulu. Rezultirajuće linearno opterećenje također je nula. Zato

Odjeljak 2. Kao i prije, prekrit ćemo cijelu desnu stranu grede komadom papira. Sada vidimo reakciju i opterećenje q koje djeluje na dionicu duljine. Rezultantno linearno opterećenje je jednako. Pričvršćen je na sredini dijela dužine. Zato

Prisjetimo se da pri određivanju predznaka momenta savijanja mentalno oslobađamo dio grede koji vidimo od svih stvarnih potpornih pričvršćenja i zamislimo ga kao da je priklješten u promatranom dijelu (to jest, mentalno zamišljamo lijevi rub komada papira kao krutog uloška).

Odjeljak 3. Zatvorimo desnu stranu. Dobivamo

Odjeljak 4. Pokrijte desnu stranu grede listom. Zatim

Sada, da provjerimo ispravnost izračuna, pokrijmo lijevu stranu grede komadom papira. Vidimo koncentriranu silu P, reakciju desnog oslonca i linearno opterećenje q raspoređeno na infinitezimalnu duljinu. Rezultirajuće linearno opterećenje je nula. Zato

kNm.

Odnosno, sve je točno.

Odjeljak 5. Kao i prije, zatvorite lijevu stranu grede. Hoće li imati

kN;

kNm.

Odjeljak 6. Ponovno zatvorimo lijevu stranu grede. Dobivamo

kN;

Koristeći pronađene vrijednosti, konstruiramo dijagrame sila smicanja (slika 3.13, b) i momenata savijanja (slika 3.13, c).

Pazimo da ispod neopterećenog područja dijagram posmičnih sila teče paralelno s osi grede, a pod raspodijeljenim opterećenjem q - po ravnoj liniji koja je nagnuta prema dolje. Na dijagramu postoje tri skoka: pod reakcijom - gore za 37,5 kN, pod reakcijom - gore za 132,5 kN i pod silom P - dolje za 50 kN.

Na dijagramu momenata savijanja vidimo lomove pod koncentriranom silom P i pod reakcijom oslonca. Kutovi loma su usmjereni prema tim silama. Pod raspodijeljenim opterećenjem intenziteta q, dijagram se mijenja duž kvadratne parabole, čija je konveksnost usmjerena prema opterećenju. Ispod koncentriranog momenta nalazi se skok od 60 kN m, odnosno po veličini samog momenta. U odsječku 7 na dijagramu postoji ekstremum, jer dijagram sile smicanja za ovaj odsječak prolazi kroz nultu vrijednost (). Odredimo udaljenost od odjeljka 7 do lijevog nosača.

Savijte se naziva se deformacija kod koje se os štapa i sva njegova vlakna, tj. uzdužne linije paralelne s osi štapa, savijaju pod djelovanjem vanjskih sila. Najjednostavniji slučaj savijanja događa se kada vanjske sile leže u ravnini koja prolazi kroz središnju os štapa i ne stvaraju projekcije na tu os. Ova vrsta savijanja naziva se poprečno savijanje. Postoje ravni zavoji i kosi zavoji.

Ravni zavoj- takav slučaj kada se zakrivljena os štapa nalazi u istoj ravnini u kojoj djeluju vanjske sile.

Kosi (složeni) zavoj– slučaj savijanja kada savijena os štapa ne leži u ravnini djelovanja vanjskih sila.

Šipka za savijanje obično se naziva greda.

Pri ravnom poprečnom savijanju greda u presjeku s koordinatnim sustavom y0x mogu nastati dvije unutarnje sile - poprečna sila Q y i moment savijanja M x; u nastavku uvodimo oznake za njih Q I M. Ako u dijelu ili presjeku grede nema poprečne sile (Q = 0), a moment savijanja nije nula ili je M konst, tada se takav zavoj obično naziva čist.

Bočna sila u bilo kojem presjeku grede brojčano je jednak algebarskom zbroju projekcija na os svih sila (uključujući reakcije oslonca) koje se nalaze s jedne (bilo koje) strane nacrtanog presjeka.

Moment savijanja u presjeku grede brojčano je jednak algebarskom zbroju momenata svih sila (uključujući reakcije oslonca) koje se nalaze s jedne strane (bilo koje) nacrtanog presjeka u odnosu na težište tog presjeka, točnije, u odnosu na os prolazeći okomito na ravninu nacrta kroz težište nacrtanog presjeka.

Forsiraj Q je rezultanta raspoređeni po presjeku unutarnjeg smično naprezanje, A trenutak M– zbroj trenutaka oko središnje osi presjeka X interni normalan stres.

Između unutarnjih sila postoji različit odnos

koji se koristi pri izradi i provjeri Q i M dijagrama.

Budući da su neka vlakna grede rastegnuta, a neka stisnuta, a prijelaz iz napetosti u kompresiju odvija se glatko, bez skokova, u srednjem dijelu grede nalazi se sloj čija se vlakna samo savijaju, ali ne doživljavaju ni jedno ni drugo. napetost ili kompresija. Ovaj sloj se zove neutralni sloj. Pravac po kojem neutralni sloj siječe presjek grede naziva se neutralna linija th ili neutralna os odjeljci. Na osi grede nanizane su neutralne linije.

Linije nacrtane na bočnoj površini grede okomito na os ostaju ravne pri savijanju. Ovi eksperimentalni podaci omogućuju zasnivanje zaključaka formula na hipotezi ravnih presjeka. Prema ovoj hipotezi, presjeci grede su ravni i okomiti na svoju os prije savijanja, ostaju ravni i ispadaju okomiti na zakrivljenu os grede kada se savija. Presjek grede je iskrivljen prilikom savijanja. Uslijed poprečne deformacije, dimenzije presjeka u stlačenoj zoni grede se povećavaju, a u vlačnoj su stlačene.

Pretpostavke za izvođenje formula. Normalni naponi

1) Hipoteza ravninskih presjeka je ispunjena.

2) Uzdužna vlakna ne pritišću jedna na drugu i stoga pod utjecajem normalnih naprezanja djeluje linearna napetost ili kompresija.

3) Deformacije vlakana ne ovise o njihovom položaju po širini presjeka. Posljedično, normalni naponi, koji se mijenjaju po visini presjeka, ostaju isti po širini.

4) Greda ima najmanje jednu ravninu simetrije i sve vanjske sile leže u toj ravnini.

5) Materijal grede pokorava se Hookeovom zakonu, a modul elastičnosti na napetost i pritisak je isti.

6) Odnos između dimenzija grede je takav da radi u uvjetima ravnog savijanja bez savijanja ili uvijanja.

Samo u slučaju čistog savijanja grede normalan stres, određeno formulom:

gdje je y koordinata proizvoljne točke presjeka, mjerena od neutralne linije - glavne središnje osi x.

Normalna naprezanja savijanja po visini presjeka raspoređena su preko linearni zakon. Na krajnjim vlaknima normalna naprezanja postižu najveću vrijednost, au težištu presjeka jednaka su nuli.

Priroda dijagrama normalnog naprezanja za simetrične presjeke u odnosu na neutralnu liniju

Priroda dijagrama normalnog naprezanja za presjeke koji nemaju simetriju u odnosu na neutralnu liniju

Opasne točke su točke najudaljenije od neutralne crte.

Izaberimo neki odjeljak

Za bilo koju točku presjeka, nazovimo je točkom DO, uvjet čvrstoće grede za normalna naprezanja ima oblik:

, gdje n.o. - Ovo neutralna os

Ovaj modul osnog presjeka u odnosu na neutralnu os. Njegova dimenzija je cm 3, m 3. Moment otpora karakterizira utjecaj oblika i dimenzija poprečnog presjeka na veličinu naprezanja.

Normalno stanje čvrstoće naprezanja:

Normalno naprezanje je jednako omjeru maksimalnog momenta savijanja i aksijalnog momenta otpora presjeka u odnosu na neutralnu os.

Ako materijal ne podnosi podjednako napetost i pritisak, tada se moraju koristiti dva uvjeta čvrstoće: za vlačnu zonu s dopuštenim vlačnim naprezanjem; za kompresijsku zonu s dopuštenim tlačnim naprezanjem.

Pri poprečnom savijanju grede na platformama u njegovom presjeku djeluju kao normalan, dakle tangente napon.