A.Yu. Sevalnikov
Kvant i vrijeme u suvremenoj fizikalnoj paradigmi

Godine 2000. obilježena je 100. obljetnica rođenja kvantne mehanike. Prijelaz preko niza stoljeća i stoljeća povod je za razgovor o vremenu, au ovom slučaju upravo u vezi s godišnjicom kvantaša.

Povezivanje pojma vremena s idejama kvantne mehanike moglo bi se činiti umjetnim i nategnutim, da nije zbog jedne okolnosti. Još uvijek ne razumijemo značenje ove teorije. “Sa sigurnošću se može reći da nitko ne razumije značenje kvantne mehanike”, rekao je Richard Feynman. Suočeni s mikrofenomenima, suočeni smo s nekom misterijom koju pokušavamo odgonetnuti već stoljeće. Kako se ne sjetiti riječi velikog Heraklita da se “priroda voli skrivati”.

Kvantna mehanika je puna paradoksa. Ne odražavaju li oni samu bit ove teorije? Imamo savršen matematički aparat, prekrasnu matematičku teoriju, čiji su zaključci uvijek potvrđeni iskustvom, au isto vrijeme nedostaju nam bilo kakve "jasne i jasne" ideje o biti kvantnih fenomena. Teorija ovdje više djeluje kao simbol iza kojeg se krije druga stvarnost, koja se očituje u nesvodivim kvantnim paradoksima. “Proročište ne otkriva i ne skriva, ono nagovještava”, kako je rekao Heraklit. Dakle, što kvantna mehanika nagovještava?

Počeci njegovog stvaranja bili su M. Planck i A. Einstein. Fokus je bio na problemu emisije i apsorpcije svjetlosti, tj. problem oblikovanja u širokom filozofskom smislu, pa prema tome i kretanja. Ovaj problem kao takav još uvijek nije došao u središte pozornosti. U raspravama oko kvantne mehanike razmatrani su prije svega problemi vjerojatnosti i uzročnosti, dualnosti val-čestica, problemi mjerenja, nelokalnosti, sudjelovanja svijesti i niz drugih, koji su usko povezani izravno s filozofijom fizike. No, usuđujemo se reći da je upravo problem postajanja, najstariji filozofski problem, glavni problem kvantne mehanike.

Taj je problem oduvijek bio usko povezan s kvantnom teorijom, od problema zračenja i apsorpcije svjetlosti u radovima Plancka i Einsteina do najnovijih eksperimenata i interpretacija kvantne mehanike, ali uvijek implicitno, kao svojevrsni skriveni podtekst. Zapravo, gotovo sva njegova diskutabilna pitanja usko su povezana s formacijskim problemom.

Dakle tzv “problem mjerenja”, koji ima ključnu ulogu u interpretacijama kvantne mehanike. Mjerenje dramatično mijenja stanje kvantnog sustava, oblik valne funkcije Ψ(r,t). Na primjer, ako pri mjerenju položaja čestice dobijemo više ili manje točnu vrijednost njezine koordinate, tada se valni paket, koji je prije mjerenja bio funkcija Ψ, “svodi” na manje proširen valni paket, koji može biti čak i točkasti ako se mjerenje provodi vrlo precizno. To je povezano s uvodom W. Heisenberga u koncept "redukcije paketa vjerojatnosti", koji karakterizira tako oštru promjenu valne funkcije Ψ(r,t).

Redukcija uvijek dovodi do novog stanja, koje se ne može unaprijed predvidjeti, jer prije mjerenja možemo samo predvidjeti vjerojatnosti raznih mogućih opcija.

Situacija je potpuno drugačija u klasici. Ovdje, ako je mjerenje provedeno dovoljno točno, onda je to izjava samo o "trenutnom stanju". Dobivamo pravu vrijednost veličine koja objektivno postoji u trenutku mjerenja.

Razlika između klasične mehanike i kvantne mehanike je razlika između njihovih objekata. U klasici, ovo je trenutno postojeće stanje; u kvantnom slučaju, ovo je objekt koji nastaje, postaje, objekt koji fundamentalno mijenja svoje stanje. Štoviše, uporaba pojma “objekt” nije sasvim legitimna; radije imamo aktualizaciju potencijalnog postojanja, a sam taj čin nije fundamentalno opisan aparatom kvantne mehanike. Redukcija valne funkcije uvijek je diskontinuitet, skok u stanju.

Heisenberg je bio jedan od prvih koji je tvrdio da nas kvantna mehanika vraća na aristotelovski koncept postojanja u mogućnosti. Takvo gledište u kvantnoj teoriji vraća nas na dvomodnu ontološku sliku, gdje postoji način bivanja u mogućnosti i način bivanja aktualnim, tj. svijet ostvarenog.

Heisenberg nije razvio ove ideje na dosljedan način. To je malo kasnije izveo V.A.Fok. Koncepti “potencijalne mogućnosti” i “aktualiziranog” koje je on uveo vrlo su bliski aristotelovskim konceptima “biti u mogućnosti” i “biti u fazi dovršenosti”.

Prema Focku, stanje sustava opisano valnom funkcijom je objektivno u smislu da predstavlja objektivnu (o promatraču neovisnu) karakteristiku potencijalnih mogućnosti određenog čina interakcije mikroobjekta s uređajem. Takvo "objektivno stanje još nije valjano, u smislu da za objekt u ovom stanju naznačene potencijalne mogućnosti još nisu realizirane; prijelaz iz potencijalnih mogućnosti u realizirane događa se u završnoj fazi eksperimenta." Statistička distribucija vjerojatnosti koja nastaje tijekom mjerenja odražava potencijalne prilike koje objektivno postoje u danim uvjetima. Aktualizacija, "ostvarenje" prema Focku nije ništa drugo nego "postajanje", "promjena" ili "kretanje" u širokom filozofskom smislu. Aktualizacija potencijala uvodi ireverzibilnost, koja je usko povezana s postojanjem “strelice vremena”.

Zanimljivo je da Aristotel izravno povezuje vrijeme s kretanjem (vidi npr. njegovu “Fiziku” - “vrijeme ne postoji bez promjene”, 222b 30ff, knjiga IV posebno, kao i rasprave - “O nebu”, “O Nastanak i uništenje"). Ne razmatrajući za sada detaljnije Aristotelovo shvaćanje vremena, napominjemo da je ono za njega prije svega mjera kretanja, a šire gledano, mjera oblikovanja bića.

U tom shvaćanju vrijeme dobiva poseban, istaknut status, i ako kvantna mehanika doista ukazuje na postojanje potencijalnog bitka i njegovu aktualizaciju, onda bi u njoj taj poseban karakter vremena trebao biti eksplicitan.

Upravo je taj poseban status vremena u kvantnoj mehanici dobro poznat i više puta zapažen od raznih autora. Na primjer, de Broglie u knjizi “Heisenberg Uncertainty Relations and the Wave Interpretation of Quantum Mechanics” piše da QM “ne uspostavlja pravu simetriju između prostornih i vremenskih varijabli. Koordinate x, y, z čestice smatraju se vidljivima, odgovaraju određenim operatorima i imaju u bilo kojem stanju (opisanom valnom funkcijom Ψ) neku probabilističku distribuciju vrijednosti, dok se vrijeme t još uvijek smatra potpuno determinističkom vrijednošću.

Ovo se može pojasniti na sljedeći način. Zamislimo Galilejevog promatrača koji provodi mjerenja. On koristi koordinate x, y, z, t, promatrajući događaje u svom makroskopskom referentnom okviru. Varijable x, y, z, t su numerički parametri, a ti brojevi ulaze u valnu jednadžbu i valnu funkciju. Ali svaka čestica atomske fizike odgovara "opazivim veličinama", koje su koordinate čestice. Odnos između promatranih veličina x, y, z i prostornih koordinata x, y, z Galilejskog promatrača je statističke prirode; U općem slučaju, svaka od promatranih vrijednosti x, y, z može odgovarati cijelom skupu vrijednosti s određenom distribucijom vjerojatnosti. Što se tiče vremena, u modernoj valnoj mehanici ne postoji vidljiva veličina t povezana s česticom. Postoji samo varijabla t, jedna od prostorno-vremenskih varijabli promatrača, određena (u suštini makroskopskim) satom koji taj promatrač ima.”

Erwin Schrödinger kaže istu stvar. “U CM-u je vrijeme istaknuto u usporedbi s koordinatama. Za razliku od svih drugih fizikalnih veličina, ona ne odgovara operatoru, ne statistici, već samo vrijednosti koja se točno očitava, kao u staroj dobroj klasičnoj mehanici, pomoću uobičajenog pouzdanog sata. Posebna priroda vremena čini kvantnu mehaniku u njezinoj modernoj interpretaciji nerelativističkom teorijom od početka do kraja. Ova značajka CM-a nije eliminirana kada se uspostavi čisto vanjska "jednakost" vremena i koordinata, tj. formalna invarijantnost prema Lorentzovim transformacijama, uz pomoć odgovarajućih promjena u matematičkom aparatu.

Sve izjave QM-a imaju sljedeći oblik: ako se sada, u trenutku t, izvrši određeno mjerenje, tada će s vjerojatnošću p njegov rezultat biti jednak a. Kvantna mehanika opisuje sve statistike kao funkcije jednog točnog vremenskog parametra... U QM-u nema smisla pitati s kojom vjerojatnošću će se mjerenje izvršiti u vremenskom intervalu (t. t+ dt), jer Uvijek mogu odabrati vrijeme mjerenja po vlastitom nahođenju.”

Postoje i drugi argumenti koji pokazuju prirodu dodijeljenog vremena, oni su poznati i na njima se ovdje neću zadržavati. Postoje i pokušaji da se prevlada takva izolacija, čak do točke gdje su Dirac, Fock i Podolsky predložili takozvanu kovarijancu jednadžbi. “viševremenska” teorija, kada je svakoj čestici dodijeljena ne samo vlastita koordinata, već i vlastito vrijeme.

U spomenutoj knjizi de Broglie pokazuje da takva teorija ne može izbjeći poseban status vremena, a vrlo je karakteristično da knjigu završava sljedećom rečenicom: “Dakle, čini mi se nemogućim eliminirati posebnu ulogu koju varijabla poput vremena igra u kvantnoj teoriji.” .

Na temelju takvog promišljanja možemo pouzdano reći da nas kvantna mehanika tjera da govorimo o raspodjeli vremena, o njegovom posebnom statusu.

Postoji još jedan aspekt kvantne mehanike koji još nitko nije razmatrao.

Po meni je legitimno govoriti o dva “vremena”. Jedno od njih je naše obično vrijeme – konačno, jednosmjerno, usko je povezano s aktualizacijom i pripada svijetu ostvarenog. Drugi je ono što postoji za način postojanja u mogućnosti. Teško ga je okarakterizirati našim uobičajenim pojmovima, budući da na ovoj razini ne postoje pojmovi "kasnije" ili "ranije". Načelo superpozicija samo pokazuje da u potenciji sve mogućnosti postoje istovremeno. Na ovoj razini postojanja nemoguće je uvesti prostorne pojmove “ovdje” i “tamo”, jer se oni pojavljuju tek nakon “razmotavanja” svijeta, pri čemu vrijeme igra ključnu ulogu.

Ova se izjava lako može ilustrirati poznatim misaonim eksperimentom s dvostrukim prorezom, koji, prema Richardu Feynmanu, sadrži cijelu tajnu kvantne mehanike.

Usmjerimo snop svjetlosti na ploču s dva uska proreza. Kroz njih svjetlost pada na zaslon koji se nalazi iza ploče. Da se svjetlost sastoji od običnih “klasičnih” čestica, tada bismo na ekranu dobili dvije svijetle trake. Umjesto toga, kao što je poznato, promatra se niz linija - interferencijski uzorak. Interferencija se objašnjava činjenicom da svjetlost ne putuje samo kao tok fotonskih čestica, već u obliku valova.

Ako pokušamo pratiti putanju fotona i postavimo detektore blizu proreza, onda u ovom slučaju fotoni počinju prolaziti kroz samo jedan prorez i interferencijski uzorak nestaje. “Čini se da se fotoni ponašaju kao valovi sve dok im je “dopušteno” da se ponašaju kao valovi, tj. šireći se prostorom ne zauzimajući nikakav određeni položaj. No, onog trenutka kada netko "upita" gdje su točno fotoni - bilo identifikacijom proreza kroz koji su prošli ili tako što su pogodili ekran kroz samo jedan prorez - oni u trenutku postaju čestice...

U eksperimentima s dvostrukim prorezom, fizičarov izbor mjernog instrumenta uzrokuje da foton "odabere" između prolaska kroz oba proreza istovremeno, poput vala, ili kroz samo jedan prorez, poput čestice. Međutim, što bi se dogodilo, upitao je Wheeler, kad bi eksperimentator nekako mogao pričekati dok svjetlost ne prođe kroz proreze prije nego što odabere metodu promatranja?

Takav eksperiment "odgođenog izbora" može se jasnije demonstrirati korištenjem zračenja kvazara. Umjesto ploče s dvostrukim prorezom, "takav bi eksperiment koristio gravitacijsku leću—galaksiju ili drugi masivni objekt koji može podijeliti zračenje kvazara i zatim ga fokusirati prema udaljenom promatraču, stvarajući dvije ili više slika kvazara...

Izbor astronoma o tome na koji će način promatrati fotone iz kvazara danas određen je je li svaki foton putovao duž obje staze ili samo jednom stazom u blizini gravitacijske leće prije nekoliko milijardi godina. U trenutku kada su fotoni stigli do “galaktičkog razdjelnika zraka”, morali su imati nešto poput predosjećaja koji im je govorio kako da se ponašaju kako bi odgovarali izboru koji će napraviti nerođena bića na planetu koji još ne postoji. ”

Kao što Wheeler ispravno ističe, takve spekulacije proizlaze iz pogrešne pretpostavke da fotoni imaju neki oblik prije nego što se izmjere. Zapravo, “same kvantne pojave nemaju niti korpuskularni niti valni karakter; njihova priroda nije određena dok se ne izmjere.”

Eksperimenti provedeni 90-ih potvrđuju takve "čudne" zaključke kvantne teorije. Kvantni objekt uistinu "ne postoji" sve do trenutka mjerenja, kada dobiva stvarno postojanje.

Istraživači do sada nisu raspravljali o jednom aspektu takvih eksperimenata, naime o vremenskom aspektu. Uostalom, kvantni objekti stječu svoje postojanje ne samo u smislu svoje prostorne lokalizacije, već također počinju "biti" u vremenu. Pretpostavljajući postojanje potencijalnog postojanja, potrebno je izvesti zaključak o kvalitativno različitoj prirodi postojanja na ovoj razini postojanja, uključujući i onu privremenu.

Kao što slijedi iz principa superpozicije, različita kvantna stanja postoje “istodobno”, tj. kvantni objekt u početku, prije ažuriranja svog stanja, postoji u svim dopuštenim stanjima odjednom. Kada se valna funkcija reducira iz "superponiranog" stanja, ostaje samo jedan od njih. Naše obično vrijeme usko je povezano s ovakvim “događajima”, s procesom aktualizacije potencijala. Suština “strele vremena” u ovom shvaćanju je da predmeti nastaju, “postoje”, a upravo s tim procesom povezana je jednosmjernost vremena i njegova nepovratnost. Kvantna mehanika, Schrödingerova jednadžba opisuje granicu između razine mogućeg postojanja i stvarnog postojanja, točnije, daje dinamiku, vjerojatnost ostvarenja potencijala. Sam potencijal nam nije dan; kvantna mehanika samo ukazuje na njega. Naše je znanje još uvijek fundamentalno nepotpuno. Imamo aparat koji opisuje klasični svijet, odnosno stvarni, manifestni svijet - to je aparat klasične fizike, uključujući i teoriju relativnosti. I imamo matematički formalizam kvantne mehanike koji opisuje nastajanje. Sam formalizam je “pogođen” (ovdje se valja prisjetiti kako je Schrödingerova jednadžba otkrivena); ne izvodi se niotkuda, što otvara pitanje potpunije teorije. Po našem mišljenju, kvantna mehanika nas samo dovodi do ruba očitog postojanja, omogućuje malo otkrivanje tajni bića i vremena, a da se ne otkrije i nema takve mogućnosti da se potpuno otkrije. Možemo samo zaključiti o složenijoj strukturi vremena, o njegovom posebnom statusu.

Pozivanje na filozofsku tradiciju također će pomoći potkrijepiti ovo gledište. Kao što znate, Platon također razlikuje dva vremena - samo vrijeme i vječnost. Za njega su vrijeme i vječnost nesamjerljivi; vrijeme je samo pokretna slika vječnosti. Kad je demijurg stvorio svemir, kako je opisano u Timeju, demijurg je “planirao stvoriti neku vrstu pokretnog privida vječnosti; Uredivši nebo, on zajedno s njim stvara za vječnost, koja prebiva u jednom, vječnu sliku koja se kreće od broja do broja, koju smo nazvali vrijeme.”

Platonov koncept prvi je pokušaj prevladavanja, sintetiziranja dvaju pristupa vremenu i svijetu. Jedna od njih je parmenidska linija, duh elejske škole, gdje se nijekalo svako kretanje i promjena, gdje se samo vječno postojanje priznavalo kao istinski postojeće, druga je povezana s filozofijom Heraklita, koji je tvrdio da je svijet kontinuirani proces, vrsta izgaranja ili neprekidno strujanje.

Još jedan pokušaj da se prevlada takva dvojnost bila je Aristotelova filozofija. Uvođenjem pojma potencijalnog bića prvi je put mogao opisati kretanje, čiji nauk izlaže u tijesnoj vezi s naukom o prirodi.

Na temelju Platonove dualističke sheme “biće-nepostojanje” ispada da je nemoguće opisati kretanje;

Aristotelovo uvođenje pojma dynamis - "biće u mogućnosti" bilo je uzrokovano njegovim odbacivanjem Platonove metode koja je polazila od suprotnosti "postojeće-nepostojeće". Kao rezultat ovakvog pristupa, piše Aristotel, Platon mu je presjekao put do shvaćanja promjene, što je glavno obilježje prirodnih pojava. “...Ako uzmemo one koji stvarima zajedno pripisuju postojanje i nepostojanje, iz njihovih riječi prije ispada da sve stvari miruju, a ne da se kreću: zapravo, nema se više u što mijenjati, jer sva svojstva postoje<уже>u svim stvarima." [Metafizika, IV,5].

“Dakle, opozicija bitak-nebitak, kaže Aristotel, treba biti posredovana nečim trećim: takav posrednik između njih je Aristotelov koncept “biti u mogućnosti”. Aristotel tako uvodi pojam mogućnosti kako bi objasnio promjenu, nastanak i smrt svega prirodnog i time izbjegao situaciju koja se razvila u sustavu platonističkog mišljenja: nastajanje iz nepostojanja je slučajno nastajanje. I doista, sve u svijetu prolaznih stvari za Platona je nespoznatljivo, jer je slučajne prirode. Takav prijekor u odnosu na velikog dijalektičara antike može izgledati čudno: uostalom, kao što je poznato, dijalektika je ta koja ispituje predmete sa stajališta promjene i razvoja, što se ne može reći za formalnu logičku metodu, tvorca od kojih se s pravom smatra Aristotel«.

Međutim, ovaj Aristotelov prijekor potpuno je opravdan. Doista, paradoksalno, promjena koja se događa s osjetilnim stvarima ne pada u Platonovo vidno polje. Njegova dijalektika razmatra subjekt u njegovoj promjeni, ali to je, kako ispravno primjećuje P.P.Gajdenko, poseban subjekt - logički. Kod Aristotela se subjekt promjene iz logičke sfere preselio u sferu postojanja, a same logičke forme prestale su biti predmetom promjene. Postojanje u Stagiritu ima dvostruki karakter: postojanje u stvarnosti i postojanje u mogućnosti, a budući da ima “dvostruk karakter, onda se sve mijenja od postojanja u mogućnosti do postojanja u stvarnosti... I stoga se pojavljivanje može dogoditi ne samo - slučajno - od nepostojećeg , ali također<можно сказать, что>sve proizlazi iz onoga što postoji, naime iz onoga što postoji u mogućnosti, ali ne postoji u stvarnosti« (Metafizika, XII, 2). Pojam dynamis ima nekoliko različitih značenja, koja Aristotel identificira u V. knjizi Metafizike. Dva su glavna značenja kasnije dobila terminološku razliku na latinskom - potentia i possibilitas, koja se često prevode kao "sposobnost" i "mogućnost" (usp. sposobnost - Vermögen i mogućnost - Möglichkeit). „Ime mogućnosti (dynamis) prije svega označava početak kretanja ili promjene, koji je u nečem drugom ili zato što je drugi, kao što je, na primjer, umijeće građenja sposobnost koja nije u onome što se gradi. ; a liječničko umijeće, kao određena sposobnost, može biti u onome koji se liječi, ali ne zato što se liječi« (Metafizika, V, 12).

Za Aristotela je vrijeme usko povezano s kretanjem (u najširem smislu). “Nemoguće je da vrijeme postoji bez kretanja.” Prema Aristotelu, to je očito, jer “ako vrijeme postoji, očito mora postojati i kretanje, budući da je vrijeme određeno svojstvo gibanja.” To znači da ne postoji kretanje samo po sebi, već samo promjenjivo biće, koje postaje, a "vrijeme je mjera kretanja i prisutnost [tijela] u stanju kretanja." Odavde postaje jasno da i vrijeme postaje mjera postojanja, jer “za sve ostalo, biti u vremenu znači mjeriti svoje postojanje vremenom”.

Postoji značajna razlika između pristupa Platona i Aristotela u shvaćanju vremena. Za Platona su vrijeme i vječnost kvalitativno različiti. Za njega je vrijeme samo pokretna slika vječnosti (Timaeus, 38a), jer sve što je nastalo nije uključeno u vječnost, imajući početak, a time i kraj, tj. bilo je i bit će, a vječnost samo postoji.

Aristotel negira vječno postojanje stvari, a iako uvodi pojam vječnosti, taj pojam za njega je prije beskonačno trajanje vječnog postojanja svijeta. Njegova logička analiza, koliko god bila briljantna, nije u stanju dokučiti postojanje nečeg kvalitativno drugačijeg. Platonov pristup, iako ne opisuje kretanje u osjetilnom svijetu, pokazuje se dalekovidnijim u odnosu na vrijeme. Kasnije su koncepti vremena razvijeni u okviru neoplatonske škole i kršćanske metafizike. Ne ulazeći u analizu ovih učenja, zabilježit ćemo samo zajedničke značajke koje ih spajaju. Svi oni govore o postojanju dvaju vremena - običnog vremena povezanog s našim svijetom i vječnosti, eona (αιων), povezanog s nadosjetilnim bićem.

Vraćajući se na analizu kvantne mehanike, napominjemo da je valna funkcija definirana na konfiguracijskom prostoru sustava, a sama funkcija Ψ je vektor beskonačnodimenzionalnog Hilbertovog prostora. Ako valna funkcija nije samo apstraktni matematički konstrukt, već ima neki referent u postojanju, tada je potrebno izvesti zaključak o njezinom “drugom postojanju”, nepripadanju stvarnom četverodimenzionalnom prostor-vremenu. Istu tezu demonstrira i dobro poznata "neopažljivost" valne funkcije i njezina sasvim opipljiva stvarnost, na primjer, u Aharonov-Bohmovom efektu.

Uz aristotelovski zaključak da je vrijeme mjera bića, možemo zaključiti da nam kvantna mehanika dopušta, barem, postaviti pitanje višestrukosti vremena. Ovdje moderna znanost, prema slikovitom izrazu V.P.Vizgina, “stupa u plodnu “ideološku prozivku” s antičkim nasljeđem”. Doista, već je “Einsteinova teorija relativnosti bliža idejama starih o prostoru i vremenu kao svojstvima bića, neodvojivim od reda stvari i reda njihova kretanja, nego Newtonovim idejama o apsolutnom prostoru i vremenu, zamišljenim kao potpuno ravnodušan prema stvarima i njihovim kretanjima, ako ne i ovisan o njima."

Vrijeme je usko povezano s "događajem". “U svijetu gdje postoji jedna “stvarnost”, gdje “mogućnost” ne postoji, ni vrijeme je teško predvidljivo stvaranje i nestajanje, preslagivanje “paketa mogućnosti” jednog ili drugog; postojanje." Ali sam “paket mogućnosti” postoji, kako smo htjeli pokazati, u uvjetima jednog drugog vremena. Ova izjava je neka vrsta "metafizičke hipoteze", međutim, ako uzmemo u obzir da je kvantna mehanika nedavno postala "eksperimentalna metafizika", tada možemo postaviti pitanje eksperimentalne detekcije takvih "nadvremenskih" struktura povezanih s valnom funkcijom. sustava. Na prisutnost takvih drugovremenskih struktura neizravno ukazuju već eksperimenti s “odgođenim izborom” i Wheelerov misaoni eksperiment s “galaktičkom lećom”, koji pokazuje moguće “kašnjenje” eksperimenta u vremenu. Koliko je ova hipoteza istinita, pokazat će vrijeme.

Bilješke

Fock V.A. O interpretaciji kvantne mehanike. M., 1957. Str. 12.

L. de Broglie. Heisenbergovi odnosi nesigurnosti i valna interpretacija kvantne mehanike. M., 1986. S. 141-142.

Schrödinger E. Specijalna teorija relativnosti i kvantna mehanika // Zbirka Einstein. 1982-1983. M., 1983. Str. 265.

L. de Broglie. Dekret. raditi. Str. 324.

Horgan J. Kvantna filozofija // U svijetu znanosti. 1992. broj 9-10. Str. 73.

Horgan J. Baš tamo. Str. 73.

Baš tamo. Str. 74.

Platon. Timej, 38a.

Baš tamo. 37 str.

Gaidenko P.P. Evolucija pojma znanosti. M., 1980. Str. 280.

Baš tamo. Str. 282.

Aristotel. O stvaranju i uništenju, 337 a 23f.

Aristotel. Fizika, 251b 27ff.

Isto, 221a.

Isto, 221a 9f.

Za opis neoplatonskog koncepta vidi, na primjer: Losev A.F. Biće. Ime. Prostor. M., 1993. S. 414-436; o shvaćanju vremena u kršćanskoj teologiji: Lossky V.N. Esej o mističnoj teologiji istočne Crkve. M., 1991. Ch. V.

Vizgin V.P. Proučavanje vremena // Filozofija. istraživanje M., 1999. br. 3. str. 149.

Baš tamo. Str. 149.

Baš tamo. Str. 157.

Horgan, John. Quanten-Philosophie // Quantenphilosophie. Heidelberg, 1996. S. 130-139.

Očita neprimjenjivost klasične fizike, mehanike i elektrodinamike za opisivanje mikroobjekata, atoma, molekula, elektrona i zračenja. Problem ravnotežnog toplinskog zračenja. Problem stabilnosti tvari. Diskrecija u mikrokozmosu. Spektralne linije. Pokusi Franka i Hertza.

Diskretnost u klasičnoj fizici. Analogija s problemima svojstvenih vrijednosti. Vibracije struna, valna jednadžba, rubni uvjeti. Potreba za valnim opisom mikročestica. Eksperimentalne indikacije valnih svojstava mikroobjekata. Difrakcija elektrona. Eksperimenti Davissona i Germera.

Valna i geometrijska optika. Opis valnih polja u granici malih valnih duljina kao tokovi čestica. De Brogliejeva ideja o konstrukciji kvantne ili valne mehanike.

Elementi klasične mehanike: princip najmanjeg djelovanja, Lagrangeova funkcija, djelovanje kao funkcija koordinata, pisanje principa najmanjeg djelovanja kroz Hamiltonovu funkciju. Jednadžba Hamilton-Jacobi. Skraćeno djelovanje. Djelovanje slobodno gibajuće čestice

Valna jednadžba u klasičnoj fizici. Monokromatski valovi. Helmholtzova jednadžba.

Rekonstrukcija valne jednadžbe za slobodnu česticu iz disperzijskog odnosa. Schrödingerova jednadžba za slobodnu nerelativističku česticu.

2. Fizikalne veličine u klasičnoj i kvantnoj mehanici.

Potreba uvođenja fizikalnih veličina kao operatora na primjeru impulsa i Hamiltonovih operatora. Interpretacija valne funkcije. Amplituda vjerojatnosti. Princip superpozicije. Zbrajanje amplituda.

Misaoni eksperiment s dva proreza. Amplituda prijelaza. Amplituda prijelaza kao Greenova funkcija Schrödingerove jednadžbe. Amplitudna interferencija. Analogija s principom Huygens-Fresnel. Kompozicija amplituda.

Distribucija vjerojatnosti za položaj i zamah. Ići k- izvođenje. Fourierova transformacija kao proširenje svojstvenih funkcija operatora količine gibanja. Interpretacija svojstvenih vrijednosti operatora kao vidljivih fizičkih veličina.

Delta funkcija je jezgra operatora jedinice. Razni pogledi

delta funkcije. Izračunavanje Gaussovih integrala. Malo matematike. Sjećanja na matematičku fiziku i novi izgled.

3. Opća teorija operatora fizikalnih veličina.

Problemi svojstvenih vrijednosti. Kvantni brojevi. Što znači "fizička veličina ima određeno značenje?" Diskretni i kontinuirani spektri.

Hermitizam-definicija. Valjanost prosjeka i svojstvenih vrijednosti. Ortogonalnost i normalizacija. Valne funkcije kao vektori. Točkasti umnožak funkcija.

Dekompozicija funkcija na vlastite funkcije operatora. Bazisne funkcije i proširenja. Izračun koeficijenata. Operatori kao matrice. Kontinuirani i diskretni indeksi. Prikazi operatora množenja i diferenciranja kao matrice.

Dirac notacija. Apstraktni vektori i apstraktni operatori. Reprezentacije i prijelaz na razne baze.

4. Mjerenje u kvantnoj mehanici.

Makroskopičnost i klasičnost mjernog uređaja. Mjerenje je "dekompozicija" na temelju vlastitih funkcija uređaja.

5. Schrödingerova jednadžba za slobodnu nerelativističku česticu.

Rješenje Fourierovom metodom. Valni paket. Načelo neizvjesnosti. Nekomutativnost operatora količine gibanja i koordinata. O kojim varijablama ovisi valna funkcija? Koncept kompletnog seta. Nedostatak putanje.

Komutabilnost operatora i postojanje zajedničkih svojstvenih funkcija.

Nužnost i dostatnost. Još jednom o prijelazu na različite baze.

Transformacije operatora i vektora stanja. Unitarni operatori su operatori koji čuvaju ortonormalnost.

Nestacionarna Schrödingerova jednadžba. Operator evolucije. Greenova funkcija. Funkcije od operatora. Konstrukcija evolucijskog operatora proširenjem stacionarne jednadžbe na svojstvene funkcije. Operator derivacije fizičke veličine prema vremenu.

6. Heisenbergova reprezentacija.

Heisenbergove jednadžbe. Schrödingerova jednadžba za spregnute i asimptotski slobodne sustave.

7. Zapletene i nezavisne države.

Uvjet postojanja valne funkcije za podsustav. Čista i mješovita stanja podsustava. Opis mješovitih stanja pomoću matrice gustoće. Pravilo za izračunavanje prosjeka. Evolucija matrice gustoće. Von Neumannova jednadžba.

8. Jednodimenzionalno kretanje.

Jednodimenzionalna Schrödingerova jednadžba. Opći teoremi. Kontinuirani i diskretni spektri. Rješavanje problema sa komadno konstantan potencijali. Rubni uvjeti na preskoke potencijala. Traženje diskretnih razina i svojstvenih funkcija u pravokutnim potencijalima. Teorem o oscilaciji. Varijacijski princip. Primjer plitke rupe. Postojanje vezanog stanja u jažici bilo koje dubine u dimenzijama 1 i 2. Jednodimenzionalni problem raspršenja. Čak i potencijali. Paritetni operator. Zakon očuvanja pariteta je fundamentalno kvantni GS koji nema analoga u klasičnom svijetu.

9. Egzaktno rješivi potencijali.

Konstantna snaga. Harmonijski oscilator. Morseov potencijal. Epsteinov potencijal. Nereflektirajući potencijali. Spominjanje inverznog problema teorije raspršenja. Laplaceova metoda. Hipergeometrijske i degenerirane hipergeometrijske funkcije. Traženje rješenja u obliku niza. Analitički nastavak. Analitička teorija diferencijalnih jednadžbi. Trodimenzionalna Schrödingerova jednadžba. Centralno simetričan potencijal. Izotropija.

10. Harmonijski oscilator.

Operatorski pristup rađanja i uništavanja. A la Feinman, "Statistička fizika". Izračun svojstvenih funkcija, normalizacija i matričnih elemenata. Hermitova jednadžba. Laplaceova metoda. Traženje rješenja u obliku niza. Pronalaženje svojstvenih vrijednosti iz uvjeta prekida niza.

11. Operator orbitalnog momenta.

Rotacijska transformacija. Definicija. Komutacijske relacije. Svojstvene funkcije i brojevi. Eksplicitni izrazi za operatore količine gibanja u sfernim koordinatama. Deriviranje svojstvenih vrijednosti i operatorskih funkcija. Matrični elementi operatora orbitalne količine gibanja. Simetrija s obzirom na inverzijsku transformaciju. Pravi i pseudo skalari, vektori i tenzori. Paritet raznih sfernih harmonika. Izraz ponavljanja za svojstvene funkcije momenta.

12. Kretanje u središnjem polju.

Opća svojstva. Centrifugalna energija. Normalizacija i ortogonalnost. Slobodno kretanje u sfernim koordinatama.

Sferne Besselove funkcije i njihovi izrazi kroz elementarne funkcije.

Problem o trodimenzionalnoj pravokutnoj jami. Kritična dubina za postojanje vezanog stanja. Sferni harmonijski oscilator. Rješenje u kartezijskom i sfernom koordinatnom sustavu. Vlastite funkcije. Degenerirana hipergeometrijska funkcija. Jednadžba. Rješenje u obliku potencije. Kvantizacija je posljedica konačnosti niza.

13. Coulombovo polje.

Bezdimenzijske varijable, Coulombov sustav jedinica. Rješenje u sfernom koordinatnom sustavu. Diskretni spektar. Izraz za svojstvene vrijednosti energije. Odnos između glavnih i radijalnih kvantnih brojeva. Izračun stupnja degeneracije. Prisutnost dodatne degeneracije.

14. Teorija poremećaja.

Teorija stacionarnih poremećaja. Opća teorija. Operator geometrijske progresije. Teorija stacionarnih poremećaja. Korekcije frekvencije za slabo anharmonijski oscilator. Stacionarna teorija poremećaja u slučaju degeneracije. Sekularna jednadžba. Problem elektrona u polju dviju identičnih jezgri. Ispravite funkcije aproksimacije nule. Integrali preklapanja. Nestacionarna teorija perturbacije. Opća teorija. Rezonantan slučaj. Fermijevo zlatno pravilo.

15. Semiklasična aproksimacija.

Osnovna rješenja. Lokalna točnost. Linijski sloj. Prozračna funkcija. VKB rješenje. Zwanova metoda. Potencijalni problem bunara. Pravila kvantizacije Bora-Sommerfeld. VKB pristup. Problem prolaza ispod barijere. Problem refleksije iznad barijere.

16. Spin.

Višekomponentna valna funkcija. Analogno polarizaciji elektromagnetskih valova. Stern-Gerlachov eksperiment. Spin varijabla. Transformacija infinitezimalne rotacije i operator spina.

Komutacijske relacije. Svojstvene vrijednosti i svojstvene funkcije spinskih operatora. Elementi matrice. Zavrti 1/2. Paulijeve matrice. Komutacijske i antikomutacijske relacije. Algebra Paulijevih matrica. Izračun proizvoljne funkcije spinskog skalara. Operator konačne rotacije. Derivacija pomoću matrične diferencijalne jednadžbe. Pretvorba u linearni s oblik. Matrice U x,y,z. Određivanje intenziteta snopa u Stern-Gerlachovim pokusima uz rotiranje analizatora.

17. Gibanje elektrona u magnetskom polju.

Paulijeva jednadžba. Žiromagnetski omjer. Uloga potencijala u kvantnoj mehanici. Invarijantnost mjerila. Bohm-Aronov učinak. Komutacijski omjeri za brzine. Gibanje elektrona u jednoličnom magnetskom polju. Landau kalibracija. Rješenje jednadžbe. Landauove razine. Operator koordinata vodećeg centra. Komutacijske relacije za to.

1. L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Kvantna mehanika, tom 3, Moskva, “Science”, 1989
2. L. Schiff, Kvantna mehanika, Moskva, IL, 1967
3. A. Mesija, Kvantna mehanika, sv.1,2, M. Nauka, 1978
4. A. S. Davidov, Kvantna mehanika, M. Nauka, 1973
5. D.I. Blokhintsev, Osnove kvantne mehanike, Moskva, “Nauka”, 1976.
6. V G. Levich, Yu. Vdovin, V. A. Myamlin, Tečaj teorijske fizike, sv.2
7. L.I. Mandeljštam, Predavanja iz optike, relativnosti i kvantne mehanike.

dodatna literatura

1. R. Feynman, Leighton, Sands, Feynmanova predavanja o fizici (FLF), sv
2. E. Fermi, Kvantna mehanika, M. Mir, 1968
3. G. Bethe, Kvantna mehanika, M. Mir, 1965
4. P. Dirac, Principi kvantne mehanike, M. Nauka, 1979
5. V. Balashov, V. Dolinov, Tečaj kvantne mehanike, ur. MSU, Moskva

Problemske knjige

1. prije podne Galitsky, B. M. Karnakov, V. I. Kogan, Problemi kvantne mehanike. Moskva, "Nauka", 1981.
2. M.Sh. Goldman, V.L. Krivchenkov, M. Nauka, 1968
3. Z. Flügge, Problemi kvantne mehanike, sv. 1.2 M. Mir, 1974

Pitanja za kontrolu

1. Dokažite da Schrödingerova jednadžba zadržava gustoću vjerojatnosti.
2. Dokažite da su vlastite funkcije US beskonačnog gibanja dvostruko degenerirane.
3. Dokažite da su vlastite funkcije US slobodnog gibanja koje odgovaraju različitim impulsima ortogonalne.
4. Dokažite da su svojstvene funkcije diskretnog spektra nedegenerirane.
5. Dokažite da su vlastite funkcije diskretnog spektra US s parnom jamom ili parne ili neparne.
6. Odredite svojstvenu funkciju USH s linearnim potencijalom.
7. Odredite razine energije u simetričnom pravokutnom zdencu konačne dubine.
8. Izvedite rubne uvjete i odredite koeficijent refleksije iz delta potencijal.
9. Napišite jednadžbu za svojstvene funkcije harmonijskog oscilatora i svedite je na bezdimenzioni oblik.
10. Odredite svojstvenu funkciju osnovnog stanja harmonijskog oscilatora. Normalizirajte ga.
11. Definirajte operatore stvaranja i uništavanja. Napiši Hamiltonijan harmonijskog oscilatora. Opišite njihova svojstva.
12. Rješavajući jednadžbu u koordinatnom prikazu, pronaći svojstvenu funkciju osnovnog stanja.
13. Korištenje operatora a, a+ izračunati matrične elemente operatora x 2 , p 2 u bazi svojstvenih funkcija harmonijskog oscilatora.
14. Kako se koordinate transformiraju tijekom infinitezimalne (infinitezimalne) rotacije.
15. Odnos između operatora momenta i rotacije. Definicija operatora momenta. Izvesti komutacijske relacije između komponenti momenta Izvesti komutacijske relacije između projekcija momenta i koordinata Izvesti komutacijske relacije između projekcija momenta i prikaza impulsa l 2 ,l_z.
16. Svojstvene funkcije momenta u sfernim koordinatama. Napišite jednadžbu i njezino rješenje metodom odvajanja varijabli. Izražavanje preko adjungiranih Legendreovih polinoma.
17. Paritet stanja, operator inverzije. Skalari i pseudoskalari, polarni i aksijalni vektori. Primjeri.
18. Inverzijska transformacija u sfernim koordinatama. Odnos između pariteta i orbitalnog momenta.
19. Problem dvaju tijela svesti na problem gibanja jedne čestice u središnjem polju.
20. Odvojite HS varijable za središnje polje i napišite opće rješenje.
21. Napiši uvjet ortonnormalnosti. Koliko kvantnih brojeva i koji čine potpuni skup.
22. Odredite razine energije čestica s momentom l, jednaka 0, krećući se u sfernom pravokutnom otvoru konačne dubine. Odredite minimalnu dubinu rupe potrebnu za postojanje vezanog stanja.
23. Odredite razine energije i valne funkcije sfernog harmonijskog oscilatora odvajanjem varijabli u Kartezijevim koordinatama. Što su kvantni brojevi? Odrediti stupanj degeneracije razina.
24. Zapišite SE za gibanje u Coulombovom polju i svedite ga na bezdimenzionalni oblik. Atomski sustav jedinica.
25. Odredite asimptotičko ponašanje radijalne funkcije gibanja u Coulombovom polju blizu središta.
26. Koliki je stupanj degeneracije razina pri gibanju u Coulombovom polju.
27. Izvedite formulu za prvu korekciju valne funkcije koja odgovara nedegeneriranoj energiji
28. Izvedite formulu za prvu i drugu korekciju energije.
29. Koristeći teoriju perturbacije, pronađite prvu korekciju frekvencije slabo anharmonijskog oscilatora zbog perturbacije. Koristite operatore stvaranja i uništavanja
30. Izvedite formulu za korekciju energije u slučaju m-struke degeneracije ove razine. Sekularna jednadžba.
31. Izvedite formulu za korekciju energije u slučaju dvostruke degeneracije ove razine. Odredite točne valne funkcije nulte aproksimacije.
32. Izvedite nestacionarnu Schrödingerovu jednadžbu u prikazu svojstvene funkcije neporemećenog Hamiltonijana.
33. Izvedite formulu za prvu korekciju valne funkcije sustava pod proizvoljnim nestacionarnim poremećajem
34. Izvedite formulu za prvu korekciju valne funkcije sustava pod harmonijskim nerezonantnim poremećajem.
35. Izvedite formulu za vjerojatnost prijelaza pod rezonantnim djelovanjem.
36. Fermijevo zlatno pravilo.
37. Izvedite formulu za vodeći član kvaziklasičnog asimptotskog širenja.
38. Napišite lokalne uvjete za primjenjivost poluklasične aproksimacije.
39. Napišite poluklasično rješenje za US koje opisuje gibanje u uniformnom polju.
40. Napiši poluklasično rješenje za US koje opisuje gibanje u uniformnom polju lijevo i desno od točke zaokreta.
41. Koristeći Zwanovu metodu, izvesti rubne uvjete za prijelaz iz polubeskonačnog klasično zabranjenog područja u klasično dopušteno područje. Koliki je fazni pomak tijekom refleksije?
42. U poluklasičnoj aproksimaciji odredite razine energije u potencijalnoj jami. Pravilo kvantizacije Bora-Sommerfeld.
43. Korištenje pravila kvantizacije Bora-Sommerfeld odrediti razine energije harmonijskog oscilatora. Usporedite s točnim rješenjem.
44. Koristeći Zwanovu metodu, izvesti rubne uvjete za prijelaz iz polubeskonačnog klasično dopuštenog područja u klasično zabranjeno područje.
45. Koncept vrtnje. Spin varijabla. Analogno polarizaciji elektromagnetskih valova. Stern-Gerlachov eksperiment.
46. Transformacija infinitezimalne rotacije i operator spina. Na koje varijable utječe spin operator?
47. Napišite komutacijske relacije za spin operatore
48. Dokažite da operator s 2 komutira s operatorima spinske projekcije.
49. Što se dogodilo s 2 , s z izvođenje.
50. Napišite Paulijeve matrice.
51. Napiši matricu s 2 .
52. Napišite svojstvene funkcije operatora s x , y , z za s=1/2 u s 2 , s z prikazu.
53. Dokažite izravnim izračunom da su Paulijeve matrice antikomutativne.
54. Napišite konačne rotacijske matrice U x , y , z
55. Zraka polarizirana u x pada na Stern-Gerlachov uređaj s vlastitom osi z. Kakav je izlaz?
56. Z-polarizirana zraka pada na Stern-Gerlachov uređaj duž osi x. Koliki je izlaz ako se os z" uređaja zakrene u odnosu na os x za kut j?
57. Napiši SE nabijene čestice bez spina u magnetskom polju
58. Napišite US za nabijenu česticu sa spinom 1/2 u magnetskom polju.
59. Opišite odnos između spina i magnetskog momenta čestice. Što je žiromagnetski omjer, Bohrov magneton, nuklearni magneton. Koliki je žiromagnetski omjer elektrona?
60. Uloga potencijala u kvantnoj mehanici. Invarijantnost mjerila.
61. Proširene izvedenice.
62. Napišite izraze za operatore komponenata brzine i za njih odredite komutacijske relacije pri konačnom magnetskom polju.
63. Napišite jednadžbe gibanja elektrona u jednoličnom magnetskom polju u Landauovom mjerilu.
64. Dovedite jednadžbu elektrona u magnetskom polju u bezdimenzionalni oblik. Magnetska duljina.
65. Izvedite valne funkcije i vrijednosti energije elektrona u magnetskom polju.
66. Koji kvantni brojevi karakteriziraju stanje? Landauove razine.

Kava se hladi, zgrade se ruše, jaja se razbijaju, a zvijezde se gase u svemiru kojemu je suđeno da se smjesti u sivu monotoniju poznatu kao toplinska ravnoteža. Astronom i filozof Sir Arthur Eddington izjavio je 1927. da je postupno rasipanje energije dokaz nepovratnosti “strijele vremena”.

No, na zaprepaštenje čitavih generacija fizičara, koncept strelice vremena ne odgovara osnovnim zakonima fizike, koji u vremenu djeluju i u smjeru naprijed iu suprotnom smjeru. Prema tim zakonima, kad bismo poznavali staze svih čestica u svemiru i mijenjali ih, energija bi se akumulirala, a ne rasipala: hladna kava bi se počela zagrijavati, zgrade bi se dizale iz ruševina, a sunčeva svjetlost bila bi usmjerena natrag prema Sunce.

"Imali smo poteškoća u klasičnoj fizici", kaže profesor Sandu Popescu, koji predaje fiziku na britanskom Sveučilištu u Bristolu. "Da sam znao više, bih li mogao preokrenuti tijek događaja i sastaviti sve molekule razbijenog jajeta?"

Naravno, kaže, strelicu vremena ne vodi ljudsko neznanje. Pa ipak, od rođenja termodinamike 1850-ih, jedini poznati način za izračunavanje širenja energije bio je formulirati statističku distribuciju nepoznatih putanja čestica i pokazati da, s vremenom, neznanje zamagljuje sliku stvari.

Sada fizičari otkrivaju temeljniji izvor strelice vremena. Energija se raspršuje i objekti dolaze u ravnotežu, kažu oni, jer se elementarne čestice zapletu kada međusobno djeluju. Taj su čudni efekt nazvali "kvantno miješanje" ili isprepletenost.

"Konačno možemo razumjeti zašto šalica kave u sobi dolazi u ravnotežu s tim", kaže bristolski kvantni fizičar Tony Short. "Postoji zabuna između stanja šalice kave i stanja sobe."

Popescu, Short i njihovi kolege Noah Linden i Andreas Winter izvijestili su o svom otkriću u časopisu Physical Review E 2009. godine, rekavši da objekti dolaze u ravnotežu, odnosno stanje ravnomjerne raspodjele energije, na neodređeno vremensko razdoblje zbog kvantno mehaničkog miješanja s okolinom. Do sličnog je otkrića nekoliko mjeseci ranije došao Peter Reimann sa Sveučilišta u Bielefeldu u Njemačkoj, objavivši svoja otkrića u časopisu Physical Review Letters. Short i kolege ojačali su svoje argumente 2012. pokazujući da isprepletenost uzrokuje ravnotežu u konačnom vremenu. I u radu objavljenom u veljači na web stranici arXiv. org, dvije odvojene skupine poduzele su sljedeći korak izračunavši da se većina fizičkih sustava brzo uspostavlja u ravnoteži u vremenu izravno proporcionalnom njihovoj veličini. "Kako bismo pokazali da se ovo odnosi na naš stvarni fizički svijet, procesi se moraju odvijati unutar razumnog vremenskog okvira", kaže Short.

Tendencija kave (i svega ostalog) da dođe u ravnotežu je "vrlo intuitivna", kaže Nicolas Brunner, kvantni fizičar sa Sveučilišta u Ženevi. "Ali u objašnjavanju razloga za to, po prvi put imamo čvrst temelj uzimajući u obzir mikroskopsku teoriju."

© RIA Novosti, Vladimir Rodionov

Ako je nova linija istraživanja točna, onda priča o strelici vremena počinje s kvantnomehaničkom idejom da je priroda fundamentalno neodređena. Elementarna čestica je lišena specifičnih fizikalnih svojstava i određena je samo vjerojatnostima postojanja u određenim stanjima. Na primjer, u određenom trenutku čestica može imati 50 posto vjerojatnosti da se vrti u smjeru kazaljke na satu i 50 posto šanse da se okreće u suprotnom smjeru. Eksperimentalno potvrđeni teorem sjevernoirskog fizičara Johna Bella kaže da ne postoji "pravo" stanje čestica; vjerojatnosti su jedino čime se to može opisati.

Kvantna neizvjesnost neizbježno dovodi do zbrke, navodnog izvora strelice vremena.

Kada dvije čestice stupaju u interakciju, one se više ne mogu opisati odvojenim, neovisno evoluirajućim vjerojatnostima koje se nazivaju "čistim stanjima". Umjesto toga, one postaju zapletene komponente složenije distribucije vjerojatnosti koja opisuje dvije čestice zajedno. Mogu, primjerice, ukazivati ​​na to da se čestice okreću u suprotnim smjerovima. Sustav kao cjelina je u čistom stanju, ali je stanje svake čestice "pomiješano" sa stanjem druge čestice. Obje se čestice mogu kretati svjetlosnim godinama jedna od druge, ali rotacija jedne čestice bit će u korelaciji s drugom. Albert Einstein to je dobro opisao kao "jezivu akciju na daljinu".

"Isprepletenost je na neki način bit kvantne mehanike," ili zakona koji upravljaju interakcijama na subatomskoj razini, kaže Brunner. Ovaj fenomen je u osnovi kvantnog računalstva, kvantne kriptografije i kvantne teleportacije.

Ideja da bi miješanje moglo objasniti strelicu vremena prvi put je pala na pamet Sethu Lloydu prije 30 godina, kada je 23-godišnji diplomirao filozofiju na Sveučilištu Cambridge s diplomom fizike na Harvardu. Lloyd je shvatio da bi kvantna nesigurnost i njezino širenje kako se čestice sve više zapliću, mogla zamijeniti ljudsku nesigurnost (ili neznanje) u starim klasičnim dokazima i postati pravi izvor strelice vremena.

Koristeći malo poznati kvantnomehanički pristup u kojem su jedinice informacija osnovni građevni blokovi, Lloyd je proveo nekoliko godina proučavajući evoluciju čestica u smislu miješanja jedinica i nula. Otkrio je da kako se čestice sve više miješaju jedna s drugom, informacije koje ih opisuju (na primjer, 1 za rotaciju u smjeru kazaljke na satu i 0 za rotaciju suprotno od kazaljke na satu) bi se prenijele kako bi opisale sustav isprepletenih čestica kao cjelinu. Činilo se da čestice postupno gube svoju neovisnost i postaju pijuni kolektivne države. S vremenom sve informacije odlaze u te skupove, a pojedinačnim česticama ne preostaje ništa. U ovom trenutku, otkrio je Lloyd, čestice postižu stanje ravnoteže i njihova se stanja prestaju mijenjati, poput šalice kave koja se hladi na sobnu temperaturu.

“Što se zapravo događa? Stvari postaju povezanije. Strijela vremena je strelica rastućih korelacija.”

Ova ideja, izložena u Lloydovoj doktorskoj tezi 1988., naišla je na gluhe uši. Kada je znanstvenik poslao članak o tome urednicima časopisa, rečeno mu je da "u ovom radu nema fizike". Kvantna teorija informacija "bila je jako nepopularna" u to vrijeme, kaže Lloyd, a pitanja o strelici vremena "bila su rezervat ludaka i dementnih nobelovaca".

“Bio sam prokleto blizu da postanem taksist”, rekao je.

Od tada je napredak u kvantnom računalstvu učinio kvantnu teoriju informacija jednim od najaktivnijih područja fizike. Trenutno profesor na MIT-u, Lloyd je priznat kao jedan od utemeljitelja discipline, a njegove zaboravljene ideje oživljavaju fizičari u Bristolu. Novi dokazi su općenitiji, kažu znanstvenici, i odnose se na bilo koji kvantni sustav.

"Kada je Lloyd došao na ideju u svojoj disertaciji, svijet nije bio spreman za to", kaže Renato Renner, voditelj Instituta za teorijsku fiziku na ETH Zurich. - Nitko ga nije razumio. Ponekad vam je potrebno da ideje dođu u pravo vrijeme.”

Godine 2009. dokazi tima bristolskih fizičara odjeknuli su među teoretičarima kvantne informacije, koji su otkrili nove načine primjene svojih metoda. Pokazali su da dok predmeti stupaju u interakciju sa svojom okolinom - na način na koji čestice u šalici kave stupaju u interakciju sa zrakom - informacije o njihovim svojstvima "cure i šire se tom okolinom", objašnjava Popescu. Ovaj lokalni gubitak informacija uzrokuje da stanje kave ostane isto iako se neto stanje cijele prostorije nastavlja mijenjati. S izuzetkom rijetkih nasumičnih fluktuacija, kaže znanstvenik, "njegovo se stanje prestaje mijenjati tijekom vremena."

Ispostavilo se da hladna šalica kave ne može spontano zagrijati. U osnovi, kako se čisto stanje prostorije razvija, kava se može iznenada osloboditi iz zraka prostorije i vratiti se u čisto stanje. Ali ima puno više mješovitih stanja nego čistih i praktički se kava nikada ne može vratiti u svoje čisto stanje. Da bismo to vidjeli, morat ćemo živjeti duže od svemira. Ova statistička nevjerojatnost čini strelicu vremena nepovratnom. "U suštini, miksanje nam otvara ogroman prostor", kaže Popescu. — Zamislite da ste u parku, ispred vas je kapija. Čim uđete u njih, izbacite se iz ravnoteže, nađete se u ogromnom prostoru i izgubite se u njemu. Nikad se nećeš vratiti na kapiju."

U novoj priči o strelici vremena informacije se gube kroz proces kvantne isprepletenosti, a ne kroz subjektivni nedostatak ljudskog znanja o tome što dovodi šalicu kave i sobu u ravnotežu. Soba na kraju dolazi u ravnotežu s vanjskim okolišem, a okoliš se još sporije kreće prema ravnoteži s ostatkom svemira. Divovi termodinamike 19. stoljeća na ovaj su proces gledali kao na postupno rasipanje energije koje povećava ukupnu entropiju, ili kaos, svemira. Danas Lloyd, Popescu i drugi na terenu drugačije gledaju na strelu vremena. Prema njihovom mišljenju, informacije postaju sve raspršenije, ali nikada u potpunosti ne nestaju. Iako se entropija lokalno povećava, ukupna entropija svemira ostaje konstantna i jednaka nuli.

“Svemir kao cjelina je u čistom stanju”, kaže Lloyd. "Ali njegovi pojedinačni dijelovi, isprepleteni s ostatkom svemira, dolaze u miješano stanje."

Ali jedna misterija strelice vremena ostaje neriješena. "Ne postoji ništa u ovim radovima što objašnjava zašto počinjete na vratima", kaže Popescu, vraćajući se na analogiju s parkom. "Drugim riječima, oni ne objašnjavaju zašto je izvorno stanje svemira bilo daleko od ravnoteže." Znanstvenik nagovještava da se ovo pitanje odnosi na prirodu Velikog praska.

Unatoč nedavnom napretku u izračunavanju vremena ravnoteže, novi se pristup još uvijek ne može koristiti za izračunavanje termodinamičkih svojstava specifičnih stvari poput kave, stakla ili neobičnih stanja tvari. (Neki tradicionalni termodinamičari kažu da znaju vrlo malo o novom pristupu.) "Poanta je da morate pronaći kriterije za to koje se stvari ponašaju kao prozorsko staklo, a koje se ponašaju kao šalica čaja", kaže Renner. “Mislim da ću vidjeti još posla u ovom smjeru, ali ima još puno toga za učiniti.”

Neki su istraživači izrazili sumnju da će ovaj apstraktni pristup termodinamici ikada moći točno objasniti kako se određeni vidljivi objekti ponašaju. Ali konceptualni napredak i novi skup matematičkih formula već pomažu istraživačima da postave teorijska pitanja o termodinamici, kao što su temeljna ograničenja kvantnih računala, pa čak i konačna sudbina svemira.

"Sve više i više razmišljamo o tome što možemo učiniti s kvantnim strojevima", kaže Paul Skrzypczyk s Instituta za fotoničke znanosti u Barceloni. - Recimo, sustav još nije u stanju ravnoteže, a mi ga želimo osposobiti. Koliko korisnog rada možemo izvući? Kako mogu intervenirati da učinim nešto zanimljivo?"

Kontekst

Kvantno računalo u ljudskom mozgu?

Futura-Sciences 29.01.2014

Kako nanosatelit može doći do zvijezde

Wired Magazine 17.04.2016

Ljepota kao tajno oružje fizike

Nautilus 25.01.2016
Teoretičar kozmologije s Caltecha Sean Carroll primjenjuje nove formule u svom najnovijem radu o strelici vremena u kozmologiji. "Zanima me vrlo dugoročna sudbina kozmološkog prostor-vremena", kaže Carroll, koji je napisao knjigu From Eternity to Here: The Quest for the Ultimate Theory of Time. “U ovoj situaciji još ne poznajemo sve potrebne zakone fizike, pa ima smisla okrenuti se apstraktnoj razini, a tu će nam, čini mi se, pomoći ovaj kvantnomehanički pristup.”

Dvadeset i šest godina nakon neuspjeha Lloydove velike ideje o strelici vremena, on uživa promatrati njezino oživljavanje i pokušava primijeniti ideje svog posljednjeg djela na paradoks informacija koje padaju u crnu rupu. “Mislim da će sada ljudi i dalje govoriti o činjenici da u ovoj ideji postoji fizika”, kaže.

A filozofija još više.

Naša sposobnost da pamtimo prošlost, ali ne i budućnost, zbunjujuća manifestacija strelice vremena, također se može promatrati kao sve veća korelacija između međusobno povezanih čestica, kažu znanstvenici. Kada čitate bilješku na komadu papira, vaš mozak povezuje informacije putem fotona koji pogađaju vaše oči. Tek od ovog trenutka možete se sjetiti onoga što je napisano na papiru. Kao što Lloyd primjećuje, "Sadašnjost se može okarakterizirati kao proces uspostavljanja korelacija s našom okolinom."

Pozadina za stalni rast isprepletenosti u svemiru je, naravno, samo vrijeme. Fizičari naglašavaju da unatoč velikim pomacima u razumijevanju kako se promjene događaju u vremenu, nisu ništa bliže razumijevanju prirode samog vremena ili zašto je ono drugačije od ostale tri dimenzije prostora (u konceptualnom smislu i u jednadžbama kvantne mehanike). Popescu ovu misteriju naziva "jednom od najvećih nepoznanica u fizici".

"Možemo razgovarati o tome kako je prije sat vremena naš mozak bio u stanju koje je bilo povezano s manje stvari", kaže on. “Ali naša percepcija da vrijeme prolazi potpuno je druga stvar. Najvjerojatnije će nam trebati nova revolucija u fizici da nam to kaže.”

Materijali InoSMI sadrže ocjene isključivo stranih medija i ne odražavaju stajalište redakcije InoSMI.

Koristeći dobro poznati kvantnomehanički pristup, u kojem su jedinice informacija osnovni građevni blokovi, Lloyd je proveo nekoliko godina proučavajući evoluciju čestica u smislu miješanja jedinica (1) i nula (0). Otkrio je da kako se čestice sve više međusobno isprepliću, informacije koje ih opisuju (1 za vrtnju u smjeru kazaljke na satu i 0 za vrtnju suprotno od kazaljke na satu, na primjer) bi se prenijele kako bi se opisao sustav zapetljanih čestica kao cjelina. Kao da su čestice postupno izgubile svoju individualnu autonomiju i postale pijuni kolektivne države. U ovom trenutku, otkrio je Lloyd, čestice ulaze u stanje ravnoteže, njihova se stanja prestaju mijenjati, poput šalice kave koja se hladi na sobnu temperaturu.

“Što se zapravo događa? Stvari postaju sve povezanije. Strijela vremena je strelica rastućih korelacija.”

Ideja predstavljena u doktorskoj disertaciji iz 1988. naišla je na gluhe uši. Kada ga je znanstvenik predao jednom časopisu, rečeno mu je da "u ovom radu nema fizike". Kvantna teorija informacija "bila je krajnje nepopularna" u to vrijeme, kaže Lloyd, a pitanja o strelici vremena "bila su prepuštena ludacima i nobelovcima koji su otišli u mirovinu".

"Bio sam prokleto blizu da postanem taksist", rekao je Lloyd.

Od tada je napredak u kvantnom računalstvu učinio kvantnu teoriju informacija jednim od najaktivnijih područja fizike. Danas Lloyd ostaje profesor na MIT-u, priznat kao jedan od utemeljitelja discipline, a njegove zaboravljene ideje ponovno izranjaju na površinu u samouvjerenijem obliku u umovima fizičara u Bristolu. Novi dokazi su općenitiji, kažu znanstvenici, i odnose se na bilo koji kvantni sustav.

"Kada je Lloyd predložio ideju u svojoj tezi, svijet nije bio spreman", kaže Renato Renner, voditelj Instituta za teorijsku fiziku na ETH Zurich. - Nitko ga nije razumio. Ponekad vam je potrebno da ideje dođu u pravo vrijeme.”

Godine 2009. dokaz tima fizičara iz Bristola pogodio je žicu teoretičara kvantne informacije, otvorivši nove načine za primjenu njihovih metoda. Pokazalo je da dok predmeti stupaju u interakciju s okolinom - na način na koji čestice u šalici kave stupaju u interakciju sa zrakom, na primjer - informacije o njihovim svojstvima "cure van i bivaju razmazane s okolinom", objašnjava Popescu. Ovaj lokalni gubitak informacija uzrokuje stagnaciju stanja kave, iako se neto stanje cijele prostorije nastavlja razvijati. Uz iznimku rijetkih nasumičnih fluktuacija, kaže znanstvenik, "njegovo se stanje s vremenom prestaje mijenjati".

Ispostavilo se da se hladna šalica kave ne može spontano zagrijati. Uglavnom, kako se čisto stanje prostorije razvija, kava se može iznenada "postati nepomiješana" sa zrakom i ući u čisto stanje. Ali u kavi je dostupno toliko više mješovitih stanja nego čistih da se to gotovo nikada neće dogoditi - svemir će završiti prije nego što mi to možemo vidjeti. Ova statistička nevjerojatnost čini strelicu vremena nepovratnom.

"U suštini, isprepletenost vam otvara ogroman prostor", komentira Popescu. - Zamislite da ste u parku, ispred vas je kapija. Čim uđete u njih, naći ćete se u ogromnom prostoru i izgubiti se u njemu. Ni ti se nikada nećeš vratiti na kapiju.”

U novoj priči o strelici vremena informacije se gube kroz proces kvantne isprepletenosti, a ne zbog subjektivnog nedostatka ljudskog znanja, što rezultira ravnotežom šalice kave i sobe. Soba se na kraju uravnotežuje s vanjskim okolišem, a okoliš - još sporije - kreće se prema ravnoteži s ostatkom svemira. Termodinamički divovi 19. stoljeća na ovaj su proces gledali kao na postupno rasipanje energije koje povećava ukupnu entropiju, ili kaos, svemira. Danas Lloyd, Popescu i drugi na terenu strijelu vremena vide drugačije. Prema njihovom mišljenju, informacije postaju sve raspršenije, ali nikada u potpunosti ne nestaju. Iako se entropija lokalno povećava, ukupna entropija svemira ostaje konstantna i jednaka nuli.

“Svemir kao cjelina je u čistom stanju”, kaže Lloyd. "Ali njegovi pojedinačni dijelovi, budući da su isprepleteni s ostatkom svemira, ostaju pomiješani."

Jedan aspekt strelice vremena ostaje neriješen.

"Ne postoji ništa u ovim radovima što objašnjava zašto počinjete na vratima", kaže Popescu, vraćajući se na analogiju s parkom. "Drugim riječima, oni ne objašnjavaju zašto je izvorno stanje svemira bilo daleko od ravnoteže." Znanstvenik nagovještava da se ovo pitanje odnosi.

Unatoč nedavnom napretku u izračunavanju vremena ekvilibracije, novi pristup još uvijek ne može postati alat za izračunavanje termodinamičkih svojstava specifičnih stvari poput kave, stakla ili egzotičnih stanja materije.

"Poanta je pronaći kriterije prema kojima se stvari ponašaju kao prozorsko staklo ili šalica čaja", kaže Renner. “Mislim da ću vidjeti još posla u ovom smjeru, ali još je puno posla ispred.”

Neki su istraživači izrazili sumnju da će ovaj apstraktni pristup termodinamici ikada moći točno objasniti kako se određeni vidljivi objekti ponašaju. Ali konceptualni napredak i novi matematički formalizam već pomažu istraživačima da postavljaju teorijska pitanja u termodinamici, kao što su temeljna ograničenja kvantnih računala, pa čak i konačna sudbina svemira.

"Sve više i više razmišljamo o tome što možemo učiniti s kvantnim strojevima", kaže Paul Skrzypczyk s Instituta za fotoničke znanosti u Barceloni. - Recimo da sustav još nije u stanju ravnoteže i želimo ga osposobiti. Koliko korisnog rada možemo izvući? Kako mogu intervenirati da učinim nešto zanimljivo?

Sean Carroll, teorijski kozmolog na Kalifornijskom institutu za tehnologiju, primjenjuje novi formalizam u svom najnovijem radu o strelici vremena u kozmologiji. “Zanima me vrlo dugoročna sudbina kozmološkog prostor-vremena. U ovoj situaciji još ne poznajemo sve potrebne zakone fizike, pa ima smisla okrenuti se apstraktnoj razini, a tu će mi, mislim, pomoći ovaj kvantnomehanički pristup.”

Dvadeset i šest godina nakon epskog neuspjeha Lloydove ideje o strelici vremena, on s oduševljenjem svjedoči njezinu usponu i pokušava primijeniti ideje svog posljednjeg djela na paradoks informacija koje padaju u crnu rupu.

“Mislim da će sada ljudi i dalje govoriti o činjenici da u ovoj ideji postoji fizika.”

A filozofija - još više.

Prema znanstvenicima, naša sposobnost da se prisjetimo prošlosti, ali ne i budućnosti, što je još jedna manifestacija strelice vremena, također se može promatrati kao povećanje korelacija između čestica u interakciji. Kada čitate nešto s papira, mozak povezuje informacije putem fotona koji dopiru do očiju. Tek od ovog trenutka moći ćete se sjetiti onoga što je napisano na papiru. Kao što Lloyd primjećuje:

“Sadašnjost se može definirati kao proces povezivanja (ili stvaranja korelacija) s našom okolinom.”

Pozadina za stalni rast zapetljanja u svemiru je, naravno, samo vrijeme. Fizičari naglašavaju da unatoč velikom napretku u razumijevanju kako se promjene događaju u vremenu, nisu ni mrvicu bliže razumijevanju prirode samog vremena ili zašto je ono drugačije od ostale tri dimenzije prostora. Popescu ovu misteriju naziva "jednom od najvećih misterija u fizici".

"Možemo raspravljati o činjenici da je prije sat vremena naš mozak bio u stanju koje je bilo povezano s manje stvari", kaže on. “Ali naša percepcija da vrijeme prolazi potpuno je druga stvar. Najvjerojatnije će nam trebati revolucija u fizici koja će nam otkriti tu tajnu.”

U kvantnoj mehanici svaka dinamička varijabla - koordinata, količina gibanja, kutna količina gibanja, energija - povezana je s linearnim samopridruženim (Hermitovim) operatorom.

Svi funkcionalni odnosi između veličina poznati iz klasične mehanike zamijenjeni su u kvantnoj teoriji sličnim odnosima između operatora. Podudarnost između dinamičkih varijabli (fizičkih veličina) i kvantno-mehaničkih operatora postulirana je u kvantnoj mehanici i generalizacija je ogromnog eksperimentalnog materijala.

1.3.1. Koordinatni operater:

Kao što je poznato, u klasičnoj mehanici položaj čestice (sustava N- čestice) u prostoru u određenom trenutku vremena određena je skupom koordinata - vektorskih ili skalarnih veličina. Vektorska mehanika temelji se na Newtonovim zakonima, a glavne su ovdje vektorske veličine - brzina, količina gibanja, sila, kutni moment (kutna količina gibanja), moment itd. Ovdje je položaj materijalne točke određen radijus vektorom, koji određuje njen položaj u prostoru u odnosu na odabrano referentno tijelo i njemu pridruženi koordinatni sustav, tj.

Ako su određeni vektori sila koje djeluju na česticu, tada se mogu riješiti jednadžbe gibanja i konstruirati putanja. Ako se uzme u obzir kretanje N- čestice, tada je svrsishodnije (bez obzira na to je li u pitanju kretanje vezanih čestica ili su čestice u svom kretanju slobodne od svih vrsta veza) operirati ne s vektorskim, nego sa skalarnim veličinama - tzv. generaliziranim koordinatama , brzine, impulse i sile. Ovaj analitički pristup temelji se na principu najmanjeg djelovanja, koji u analitičkoj mehanici igra ulogu drugog Newtonovog zakona. Karakteristična značajka analitičkog pristupa je nepostojanje krute veze s bilo kojim određenim koordinatnim sustavom. U kvantnoj mehanici, svaka promatrana dinamička varijabla (fizička veličina) povezana je s linearnim samo-adjungiranim operatorom. Tada će, očito, klasičnom skupu koordinata odgovarati skup operatora oblika: , čije će se djelovanje na funkciju (vektor) svesti na njegovo množenje s odgovarajućim koordinatama, tj.

iz čega proizilazi da:

1.3.2. Operator zamaha:

Klasični izraz za moment prema definiciji je:

s obzirom da:

prema tome ćemo imati:

Budući da je svaka dinamička varijabla u kvantnoj mehanici povezana s linearnim samo-adjungiranim operatorom:

tada se, sukladno tome, izraz za količinu gibanja, izražen kroz njegovu projekciju na tri neekvivalentna pravca u prostoru, transformira u oblik:

Vrijednost operatora količine gibanja i njegovih komponenti može se dobiti rješavanjem problema svojstvene vrijednosti operatora:

Da bismo to učinili, koristit ćemo analitički izraz za ravan de Broglie val, dobiven ranije:

također uzimajući u obzir da:

imamo ovako:

Koristeći de Broglievu jednadžbu ravnog vala, sada rješavamo problem svojstvenih vrijednosti operatora momenta (njegovih komponenti):

jer:

a funkcija je na obje strane operatorske jednadžbe:

tada će se amplituda vala smanjiti, dakle:

tako imamo:

budući da je operator komponente momenta (slično i ) diferencijalni operator, njegovo djelovanje na valnu funkciju (vektor) očito će se svesti na izračunavanje parcijalnog izvoda funkcije oblika:

Rješavajući problem svojstvene vrijednosti operatora, dolazimo do izraza:

Tako smo tijekom gornjih proračuna došli do izraza u obliku:

onda prema tome:

s obzirom da:

nakon zamjene dobivamo izraz oblika:

Na sličan način mogu se dobiti izrazi za ostale komponente operatora količine gibanja, tj. imamo:

Dat je izraz za operator ukupnog momenta:

i njegova komponenta:

prema tome imamo:

Dakle, ukupni operator momenta je vektorski operator i rezultat njegovog djelovanja na funkciju (vektor) bit će izraz oblika:

1.3.3. Operator kutnog momenta (kutni moment):

Razmotrimo klasičan slučaj apsolutno krutog tijela koje rotira oko nepomične osi OO koja prolazi kroz njega. Podijelimo to tijelo na male volumene s elementarnim masama: koji se nalaze na udaljenostima: od osi rotacije OO. Kada kruto tijelo rotira u odnosu na nepomičnu os OO, njegovi će pojedinačni elementarni volumeni s masama očito opisivati ​​kružnice različitih polumjera i imati različite linearne brzine: . Iz kinematike rotacijskog gibanja poznato je da je:

Ako materijalna točka izvodi rotacijsko gibanje, opisujući kružnicu polumjera , tada će se nakon kratkog vremena zarotirati za kut od svog prvobitnog položaja.

Linearna brzina materijalne točke, u ovom slučaju, bit će jednaka, odnosno:

jer:

Očito, kutna brzina elementarnih volumena čvrstog tijela koje rotira oko fiksne osi OO na udaljenosti od nje bit će jednaka, odnosno:

Kada proučavaju rotaciju krutog tijela, koriste se konceptom momenta tromosti, koji je fizikalna veličina jednaka zbroju umnožaka masa-materijalnih točaka sustava s kvadratima njihovih udaljenosti od razmatrane osi rotacija OO, u odnosu na koju se događa rotacijsko gibanje:

tada nalazimo kinetičku energiju rotirajućeg tijela kao zbroj kinetičkih energija njegovih elementarnih volumena:

jer:

onda prema tome:

Usporedba formula za kinetičku energiju translatornog i rotacijskog gibanja:

pokazuje da moment tromosti tijela (sustava) karakterizira mjeru tromosti ovog tijela. Očito, što je moment tromosti veći, potrebno je utrošiti više energije da bi se postigla zadana brzina vrtnje predmetnog tijela (sustava) oko nepomične osi vrtnje OO. Jednako važan koncept u mehanici čvrstog tijela je vektor momenta, tako da je prema definiciji rad pomicanja tijela na udaljenosti jednak:

jer, kao što je već gore navedeno, tijekom rotacijskog gibanja:

tada ćemo prema tome imati:

s obzirom na činjenicu da:

tada se izraz za rad rotacijskog gibanja, izražen u smislu momenta sile, može prepisati kao:

jer općenito:

onda, dakle:

Razlikujući desnu i lijevu stranu dobivenog izraza s obzirom na , imat ćemo, redom:

s obzirom da:

dobivamo:

Moment sile (rotacijski moment) koji djeluje na tijelo jednak je umnošku njegovog momenta tromosti i kutne akceleracije. Rezultirajuća jednadžba je jednadžba za dinamiku rotacijskog gibanja, slična jednadžbi drugog Newtonovog zakona:

ovdje umjesto sile igra ulogu moment sile, ulogu mase ima moment tromosti. Na temelju gornje analogije između jednadžbi za translacijska i rotacijska gibanja, analog impulsa (količine gibanja) bit će kutna količina gibanja tijela. Kutna količina gibanja materijalne točke prema masi je vektorski umnožak udaljenosti od osi rotacije do te točke i njezine količine gibanja (količine gibanja); tada imamo:

Uzimajući u obzir da vektor nije određen samo trostrukim komponentama:

ali i eksplicitnim širenjem u jedinične vektore koordinatnih osi:

prema tome ćemo imati:

Komponente ukupne kutne količine gibanja mogu se prikazati kao algebarski komplementi determinante, u kojoj su prvi red jedinični vektori (orts), drugi red su Kartezijeve koordinate i treći red su komponente momenta, tada ćemo, prema tome, imati izraz oblika:

iz čega proizilazi da:

Iz formule za kutnu količinu gibanja kao vektorski umnožak također slijedi izraz oblika:

ili za sustav čestica:

uzimajući u obzir odnose oblika:

dobivamo izraz za kutnu količinu gibanja sustava materijalnih točaka:

Dakle, kutni moment krutog tijela u odnosu na nepokretnu os rotacije jednak je umnošku momenta tromosti tijela i kutne brzine. Kutni moment je vektor usmjeren duž osi rotacije na takav način da se s njegovog kraja može vidjeti rotacija koja se odvija u smjeru kazaljke na satu. Diferenciranje dobivenog izraza s obzirom na vrijeme daje drugi izraz za dinamiku rotacijskog gibanja, ekvivalentan jednadžbi drugog Newtonovog zakona:

slično jednadžbi drugog Newtonovog zakona:

“Umnožak kutne količine gibanja krutog tijela u odnosu na os rotacije OO jednak je momentu sile u odnosu na istu os rotacije.” Ako se radi o zatvorenom sustavu, tada je moment vanjskih sila jednak nuli, dakle:

Gore dobivena jednadžba za zatvoreni sustav analitički je izraz zakona održanja količine gibanja. “Kutni moment zatvorenog sustava je konstantna veličina, tj. ne mijenja se tijekom vremena." Dakle, tijekom gornjih izračuna došli smo do izraza koji su nam potrebni u daljnjim raspravama:

i prema tome imamo:

Budući da je u kvantnoj mehanici bilo koja fizikalna veličina (dinamička varijabla) povezana s linearnim samo-adjungiranim operatorom:

tada su odgovarajući izrazi:

pretvaraju se u oblik:

jer po definiciji:

a također uzimajući u obzir da:

Tada ćemo, sukladno tome, za svaku od komponenti kutne količine gibanja imati izraz u obliku:

na temelju izraza oblika:

1.3.4. Kvadratni operator kutnog momenta:

U klasičnoj mehanici, kvadrat kutne količine gibanja određen je izrazom oblika:

Stoga će odgovarajući operator izgledati ovako:

odakle prema tome slijedi da:

1.3.5. Operator kinetičke energije:

Klasični izraz za kinetičku energiju je:

Uzimajući u obzir da je izraz za količinu gibanja:

prema tome imamo:

izražavanje impulsa kroz svoje komponente:

prema tome ćemo imati:

Budući da svaka dinamička varijabla (fizička veličina) u kvantnoj mehanici odgovara linearnom samo-adjungiranom operatoru, tj.

onda, dakle:

uzimajući u obzir izraze oblika:

i tako dolazimo do izraza za operator kinetičke energije oblika:

1.3.6. Operater potencijalne energije:

Operator potencijalne energije pri opisivanju Coulombove interakcije čestica s nabojima ima oblik:

Poklapa se sa sličnim izrazom za odgovarajuću dinamičku varijablu (fizikalnu veličinu) – potencijalnu energiju.

1.3.7. Operator ukupne energije sustava:

Klasični izraz za Hamiltonian, poznat iz Hamiltonove analitičke mehanike, ima oblik:

na temelju korespondencije između kvantnomehaničkih operatora i dinamičkih varijabli:

dolazimo do izraza za operator ukupne energije sustava – Hamiltonov operator:

uzimajući u obzir izraze za operatore potencijalne i kinetičke energije:

dolazimo do izraza oblika:

Operatori fizikalnih veličina (dinamičke varijable) - koordinate, količina gibanja, kutni moment, energija - su linearni samo-adjungirani (hermitski) operatori, stoga su, na temelju odgovarajućeg teorema, njihove vlastite vrijednosti stvarni (stvarni) brojevi. Upravo je ta okolnost poslužila kao osnova za korištenje operatora u kvantnoj mehanici, budući da kao rezultat fizičkog eksperimenta dobivamo upravo stvarne količine. U ovom slučaju, svojstvene funkcije operatora koje odgovaraju različitim svojstvenim vrijednostima su ortogonalne. Ako imamo dva različita operatora, tada će njihove vlastite funkcije biti različite. Međutim, ako operatori međusobno komutiraju, tada će svojstvene funkcije jednog operatora također biti svojstvene funkcije drugog operatora, tj. sustavi svojstvenih funkcija operatora koji međusobno komutiraju će se podudarati.