Kako pojednostaviti izraz s razlomcima i slovima. Rastavljanje broja na faktore. Što su izrazi moći

Algebarski izraz u kojem se uz operacije zbrajanja, oduzimanja i množenja koristi i dijeljenje na slovne izraze naziva se razlomački algebarski izraz. To su, na primjer, izrazi

Algebarskim razlomkom nazivamo algebarski izraz koji ima oblik kvocijenta dijeljenja dvaju cjelobrojnih algebarskih izraza (na primjer, monoma ili polinoma). To su, na primjer, izrazi

Treći od izraza).

Identične transformacije frakcijskih algebarskih izraza uglavnom imaju za cilj njihov prikaz u obliku algebarskog razlomka. Za pronalaženje zajedničkog nazivnika koristi se rastavljanje nazivnika razlomaka na faktore - izraze kako bi se pronašao njihov najmanji zajednički višekratnik. Prilikom smanjivanja algebarskih razlomaka može se narušiti strogi identitet izraza: potrebno je isključiti vrijednosti količina pri kojima faktor kojim se vrši smanjenje postaje nula.

Navedimo primjere identičnih transformacija frakcijskih algebarskih izraza.

Primjer 1: Pojednostavite izraz

Svi pojmovi se mogu svesti na zajednički nazivnik (pogodno je promijeniti predznak u nazivniku zadnjeg pojma i znak ispred njega):

Naš izraz je jednak jedan za sve vrijednosti osim za ove; on je nedefiniran i smanjivanje razlomka je nedopušteno).

Primjer 2. Predstavite izraz kao algebarski razlomak

Riješenje. Izraz se može uzeti kao zajednički nazivnik. Nalazimo redom:

Vježbe

1. Pronađite vrijednosti algebarskih izraza za navedene vrijednosti parametara:

2. Faktoriziraj.

Matematički-kalkulator-online v.1.0

Kalkulator izvodi sljedeće operacije: zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, rad s decimalama, vađenje korijena, potenciranje, izračunavanje postotaka i druge operacije.

Riješenje:

Kako koristiti matematički kalkulator

Ključ	Oznaka	Obrazloženje
5	brojevi 0-9	arapski brojevi. Unos prirodnih brojeva, nula. Da biste dobili negativan cijeli broj, morate pritisnuti tipku +/-
.	točka i zarez)	Razdjelnik za označavanje decimalnog razlomka. Ako ispred točke (zareza) nema broja, kalkulator će automatski zamijeniti nulu ispred točke. Na primjer: bit će napisano .5 - 0.5
+	znak plus	Zbrajanje brojeva (cijeli brojevi, decimale)
-	znak minus	Oduzimanje brojeva (cijeli brojevi, decimale)
÷	znak podjele	Dijeljenje brojeva (cijeli brojevi, decimale)
x	znak množenja	Množenje brojeva (cijeli brojevi, decimale)
√	korijen	Vađenje korijena broja. Kada ponovno pritisnete gumb "root", izračunava se korijen rezultata. Na primjer: korijen od 16 = 4; korijen iz 4 = 2
x 2	kvadratura	Kvadriranje broja. Kada ponovno pritisnete gumb "kvadriranje", rezultat se kvadrira. Na primjer: kvadrat 2 = 4; kvadrat 4 = 16
1/x	frakcija	Ispis u decimalnim razlomcima. Brojnik je 1, nazivnik je upisani broj
%	postotak	Dobivanje postotka broja. Za rad je potrebno unijeti: broj od kojeg će se izračunati postotak, znak (plus, minus, dijeljenje, množenje), koliko posto u numeričkom obliku, gumb "%"
(	otvorena zagrada	Otvorena zagrada za određivanje prioriteta izračuna. Zatvorena zagrada je obavezna. Primjer: (2+3)*2=10
)	zatvorena zagrada	Zatvorena zagrada za određivanje prioriteta izračuna. Otvorena zagrada je obavezna
±	plus minus	Obrnuti znak
=	jednaki	Prikazuje rezultat rješenja. Također iznad kalkulatora, u polju "Rješenje", prikazani su međuizračuni i rezultat.
←	brisanje znaka	Uklanja zadnji znak
S	resetirati	Gumb za resetiranje. Potpuno vraća kalkulator na položaj "0"

Algoritam online kalkulatora pomoću primjera

Dodatak.

Zbrajanje prirodnih cijelih brojeva (5 + 7 = 12)

Zbrajanje cijelih prirodnih i negativnih brojeva ( 5 + (-2) = 3 )

Zbrajanje decimalnih razlomaka (0,3 + 5,2 = 5,5)

Oduzimanje.

Oduzimanje prirodnih cijelih brojeva ( 7 - 5 = 2 )

Oduzimanje prirodnih i negativnih cijelih brojeva ( 5 - (-2) = 7 )

Oduzimanje decimalnih razlomaka ( 6,5 - 1,2 = 4,3 )

Množenje.

Umnožak prirodnih cijelih brojeva (3 * 7 = 21)

Umnožak prirodnih i negativnih cijelih brojeva ( 5 * (-3) = -15 )

Umnožak decimalnih razlomaka ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )

Podjela.

Dijeljenje prirodnih brojeva (27 / 3 = 9)

Dijeljenje prirodnih i negativnih cijelih brojeva (15 / (-3) = -5)

Dijeljenje decimalnih razlomaka (6,2 / 2 = 3,1)

Vađenje korijena broja.

Izdvajanje korijena cijelog broja ( root(9) = 3)

Vađenje korijena decimalnih razlomaka (korijen(2,5) = 1,58)

Vađenje korijena zbroja brojeva ( korijen (56 + 25) = 9)

Vađenje korijena razlike između brojeva (korijen (32 – 7) = 5)

Kvadriranje broja.

Kvadriranje cijelog broja ( (3) 2 = 9 )

Kvadriranje decimala ((2,2)2 = 4,84)

Pretvorba u decimalne razlomke.

Izračunavanje postotaka broja

Povećaj broj 230 za 15% ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )

Smanjite broj 510 za 35% ( 510 – 510 * 0,35 = 331,5 )

18% broja 140 je (140 * 0,18 = 25,2)

Zgodan i jednostavan mrežni kalkulator razlomaka s detaljnim rješenjima Može biti:

• Zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje razlomaka online,
• Primite gotovo rješenje razlomaka sa slikom i jednostavno ga prenesite.



Rezultat rješavanja razlomaka bit će ovdje...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Znak razlomka "/" + - * :
_brisanje Očisti
Naš online kalkulator razlomaka ima brzi unos. Za rješavanje razlomaka, na primjer, jednostavno pišite 1/2+2/7 u kalkulator i pritisnite " Riješite razlomke". Kalkulator će vam pisati detaljno rješavanje razlomaka i izdat će slika koja se lako kopira.

Znakovi koji se koriste za pisanje u kalkulatoru

Primjer rješenja možete upisati s tipkovnice ili pomoću gumba.

Značajke online kalkulatora razlomaka

Kalkulator razlomaka može izvoditi operacije samo na 2 jednostavna razlomka. Mogu biti ispravni (brojnik je manji od nazivnika) ili netočni (brojnik je veći od nazivnika). Brojevi u brojniku i nazivniku ne mogu biti negativni niti veći od 999.
Naš online kalkulator rješava razlomke i dovodi odgovor u točan oblik - smanjuje razlomak i odabire cijeli dio, ako je potrebno.

Ako trebate riješiti negativne razlomke, samo upotrijebite svojstva minusa. Pri množenju i dijeljenju negativnih razlomaka minus s minusom daje plus. Odnosno, umnožak i podjela negativnih razlomaka jednak je umnošku i podjeli istih pozitivnih. Ako je jedan razlomak negativan pri množenju ili dijeljenju, jednostavno uklonite minus i dodajte ga odgovoru. Kada zbrajate negativne razlomke, rezultat će biti isti kao da zbrajate iste pozitivne razlomke. Ako dodate jedan negativni razlomak, to je isto što i oduzimanje istog pozitivnog razlomka.
Pri oduzimanju negativnih razlomaka rezultat će biti isti kao da su zamijenjeni i postali pozitivni. Odnosno, minus po minus u ovom slučaju daje plus, ali preuređivanje članova ne mijenja zbroj. Ista pravila koristimo i pri oduzimanju razlomaka, od kojih je jedan negativan.

Za rješavanje mješovitih razlomaka (razlomaka u kojima je cijeli dio izoliran), jednostavno uklopite cijeli dio u razlomak. Da biste to učinili, pomnožite cijeli dio s nazivnikom i dodajte brojniku.

Ako trebate riješiti 3 ili više razlomaka online, trebali biste ih riješiti jedan po jedan. Prvo prebrojite prva 2 razlomka, zatim riješite sljedeći razlomak s dobivenim odgovorom i tako dalje. Izvršite operacije jednu po jednu, 2 razlomka odjednom, i na kraju ćete dobiti točan odgovor.

Koristeći bilo koji jezik, iste informacije možete izraziti različitim riječima i frazama. Matematički jezik nije iznimka. Ali isti izraz može se ekvivalentno napisati na različite načine. A u nekim situacijama jedan od unosa je jednostavniji. U ovoj lekciji ćemo govoriti o pojednostavljivanju izraza.

Ljudi komuniciraju na različitim jezicima. Za nas je važna usporedba par "ruski jezik - matematički jezik". Iste informacije mogu se prenijeti na različitim jezicima. Ali, osim toga, može se izgovoriti na različite načine u jednom jeziku.

Na primjer: "Petya je prijatelj s Vasyom", "Vasya je prijatelj s Petyom", "Petya i Vasya su prijatelji". Rečeno drugačije, ali isto. Iz bilo kojeg od ovih izraza shvatili bismo o čemu govorimo.

Pogledajmo ovu frazu: "Dječak Petya i dječak Vasya su prijatelji." Razumijemo o čemu govorimo. Međutim, ne sviđa nam se zvuk ove fraze. Ne možemo li to pojednostaviti, reći istu stvar, ali jednostavnije? "Dječak i dječak" - možete jednom reći: "Dječaci Petya i Vasya su prijatelji."

“Dečki”... Zar iz njihovih imena nije jasno da nisu djevojčice? Uklanjamo "dečke": "Petya i Vasya su prijatelji." A riječ "prijatelji" može se zamijeniti s "prijatelji": "Petya i Vasya su prijatelji." Kao rezultat toga, prva, dugačka, ružna fraza zamijenjena je ekvivalentnom izjavom koju je lakše izgovoriti i razumjeti. Pojednostavili smo ovu frazu. Pojednostaviti znači reći jednostavnije, ali ne izgubiti ili iskriviti značenje.

U matematičkom jeziku događa se otprilike ista stvar. Jedno te isto se može reći, drugačije napisati. Što znači pojednostaviti izraz? To znači da za izvorni izraz postoji mnogo ekvivalentnih izraza, odnosno onih koji znače isto. I iz sve te raznolikosti moramo odabrati najjednostavniji, po našem mišljenju, ili najprikladniji za naše daljnje svrhe.

Na primjer, razmotrite numerički izraz. To će biti ekvivalentno .

Također će biti ekvivalentan prva dva: .

Ispada da smo pojednostavili naše izraze i pronašli najkraći ekvivalentni izraz.

Za numeričke izraze uvijek morate učiniti sve i dobiti ekvivalentni izraz kao jedan broj.

Pogledajmo primjer doslovnog izraza . Očito će biti jednostavnije.

Prilikom pojednostavljivanja doslovnih izraza potrebno je izvršiti sve moguće radnje.

Je li uvijek potrebno pojednostaviti izraz? Ne, ponekad će nam biti zgodnije imati ekvivalentan, ali duži unos.

Primjer: potrebno je od broja oduzeti broj.

Moguće je izračunati, ali ako bi prvi broj bio predstavljen svojim ekvivalentnim zapisom: , tada bi izračuni bili trenutni: .

To jest, pojednostavljeni izraz nije uvijek koristan za nas za daljnje izračune.

Ipak, vrlo često se susrećemo sa zadatkom koji samo zvuči kao “pojednostavite izraz”.

Pojednostavite izraz: .

Riješenje

1) Izvršite radnje u prvoj i drugoj zagradi: .

2) Izračunajmo umnoške: .

Očito je da posljednji izraz ima jednostavniji oblik od početnog. Pojednostavili smo ga.

Da bi se izraz pojednostavio, mora se zamijeniti ekvivalentom (jednako).

Za određivanje ekvivalentnog izraza potrebno vam je:

1) izvršiti sve moguće radnje,

2) koristiti svojstva zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja za pojednostavljenje izračuna.

Svojstva zbrajanja i oduzimanja:

1. Komutativno svojstvo zbrajanja: preslagivanje članova ne mijenja zbroj.

2. Kombinativno svojstvo zbrajanja: da biste zbroju dvaju brojeva dodali treći broj, prvom broju možete dodati zbroj drugog i trećeg broja.

3. Svojstvo oduzimanja zbroja od broja: da biste od broja oduzeli zbroj, možete oduzeti svaki član posebno.

Svojstva množenja i dijeljenja

1. Komutativno svojstvo množenja: preslagivanje faktora ne mijenja umnožak.

2. Kombinativno svojstvo: da biste broj pomnožili umnoškom dvaju brojeva, prvo ga možete pomnožiti s prvim faktorom, a zatim dobiveni umnožak pomnožiti s drugim faktorom.

3. Distributivno svojstvo množenja: da bi neki broj pomnožili zbrojem, potrebno ga je pomnožiti sa svakim članom posebno.

Pogledajmo kako zapravo radimo mentalne izračune.

Izračunati:

Riješenje

1) Zamislimo kako

2) Zamislimo prvi faktor kao zbroj bitnih članova i izvršimo množenje:

3) možete zamisliti kako i izvesti množenje:

4) Zamijenite prvi faktor ekvivalentnim zbrojem:

Zakon raspodjele može se koristiti i u suprotnom smjeru: .

Prati ove korake:

1) 2)

Riješenje

1) Radi praktičnosti, možete koristiti zakon distribucije, ali ga koristite u suprotnom smjeru - izbacite zajednički faktor iz zagrada.

2) Izbacimo zajednički faktor iz zagrada

Potrebno je kupiti linoleum za kuhinju i hodnik. Kuhinja - , hodnik - . Postoje tri vrste linoleuma: za, i rubalja za. Koliko će koštati svaka od tri vrste linoleuma? (Sl. 1)

Riža. 1. Ilustracija za postavku problema

Riješenje

Metoda 1. Možete zasebno saznati koliko će novca trebati za kupnju linoleuma za kuhinju, a zatim ga staviti u hodnik i zbrojiti dobivene proizvode.

Važne bilješke!
1. Ako vidite gobbledygook umjesto formula, izbrišite predmemoriju. Ovdje je napisano kako to učiniti u svom pregledniku:
2. Prije nego počnete čitati članak, obratite pozornost na naš navigator za najkorisnije resurse za

Često čujemo ovu neugodnu frazu: "pojednostavite izraz." Obično vidimo neku vrstu čudovišta poput ovog:

"Puno je jednostavnije", kažemo, ali takav odgovor obično ne funkcionira.

Sada ću vas naučiti da se ne bojite takvih zadataka.

Štoviše, na kraju lekcije, sami ćete pojednostaviti ovaj primjer na (samo!) običan broj (da, kvragu s ovim slovima).

Ali prije nego što započnete ovu aktivnost, morate biti u mogućnosti rukovati razlomcima I faktorski polinomi.

Stoga, ako to već niste radili, svakako savladajte teme “” i “”.

Jeste li ga pročitali? Ako da, onda ste sada spremni.

Idemo! (Idemo!)

Osnovne operacije pojednostavljenja izraza

Sada pogledajmo osnovne tehnike koje se koriste za pojednostavljivanje izraza.

Najjednostavniji je

1. Dovođenje sličnih

Što su slični? Uzeli ste ovo u 7. razredu, kada su se u matematici prvi put pojavila slova umjesto brojeva.

Sličan- to su pojmovi (monomi) s istim slovnim dijelom.

Na primjer, u zbroju su slični pojmovi i.

Sjećaš li se?

Dajte slično- znači dodati nekoliko sličnih pojmova jedan drugom i dobiti jedan pojam.

Kako možemo spojiti slova? - pitaš.

Ovo je vrlo lako razumjeti ako zamislite da su slova neka vrsta predmeta.

Na primjer, pismo je stolica. Čemu je onda izraz jednak?

Dvije stolice plus tri stolice, koliko će to biti? Tako je, stolice: .

Sada pokušajte s ovim izrazom: .

Da biste izbjegli zabunu, neka različita slova predstavljaju različite objekte.

Na primjer, - je (kao i obično) stolica, a - je stol.

stolice stolovi stolice stolice stolice stolice stolovi

Nazivaju se brojevi kojima se množe slova u takvim izrazima koeficijenti.

Na primjer, u monomu koeficijent je jednak. I u tome je ravnopravan.

Dakle, pravilo za dovođenje sličnih je:

Primjeri:

Daj slične:

odgovori:

2. (i slično, jer, dakle, ovi pojmovi imaju isti slovni dio).

2. Rastavljanje na faktore

Ovo je obično najvažniji dio u pojednostavljivanju izraza.

Nakon što ste dali slične, najčešće je potreban dobiveni izraz razložiti na činioce, odnosno predstavljeno u obliku proizvoda.

Pogotovo ovo važno u razlomcima: uostalom, da bismo mogli smanjiti razlomak, Brojnik i nazivnik moraju biti predstavljeni kao umnožak.

Metode rastavljanja izraza na faktore ste detaljno prošli u temi “”, pa se ovdje samo trebate prisjetiti što ste naučili.

Da biste to učinili, riješite nekoliko primjera (morate ih faktorizirati)

Primjeri:

rješenja:

3. Smanjenje razlomka.

Pa, što može biti ugodnije nego prekrižiti dio brojnika i nazivnika i izbaciti ih iz svog života?

To je ljepota smanjenja broja zaposlenih.

Jednostavno je:

Ako brojnik i nazivnik sadrže iste faktore, oni se mogu reducirati, odnosno ukloniti iz razlomka.

Ovo pravilo proizlazi iz osnovnog svojstva razlomka:

Odnosno, bit operacije redukcije je u tome Brojnik i nazivnik razlomka dijelimo istim brojem (ili istim izrazom).

Za smanjenje razlomka potrebno je:

1) brojnik i nazivnik razložiti na činioce

2) ako brojnik i nazivnik sadrže zajednički faktori, mogu se prekrižiti.

Primjeri:

Princip je, mislim, jasan?

Želio bih vam skrenuti pozornost na jednu tipičnu pogrešku kod skraćivanja. Iako je ova tema jednostavna, mnogi ljudi rade sve krivo, ne shvaćajući to smanjiti- to znači podijeliti brojnik i nazivnik su isti broj.

Bez kratica ako je brojnik ili nazivnik zbroj.

Na primjer: moramo pojednostaviti.

Neki ljudi to čine: što je apsolutno pogrešno.

Drugi primjer: smanjiti.

"Najpametniji" će učiniti ovo:

Reci mi što ovdje nije u redu? Čini se: - ovo je multiplikator, što znači da se može smanjiti.

Ali ne: - ovo je faktor samo jednog člana u brojniku, ali sam brojnik kao cjelina nije faktoriziran.

Evo još jednog primjera: .

Ovaj izraz je faktoriziran, što znači da ga možete smanjiti, odnosno podijeliti brojnik i nazivnik sa, a zatim sa:

Možete ga odmah podijeliti na:

Da biste izbjegli takve pogreške, sjetite se jednostavnog načina da odredite je li izraz faktoriziran:

Aritmetička operacija koja se izvodi zadnja pri izračunavanju vrijednosti izraza je "glavna" operacija.

To jest, ako zamijenite neke (bilo koje) brojeve umjesto slova i pokušate izračunati vrijednost izraza, onda ako je zadnja radnja množenje, tada imamo umnožak (izraz je faktoriziran).

Ako je posljednja radnja zbrajanje ili oduzimanje, to znači da izraz nije faktoriziran (i stoga se ne može smanjiti).

Da biste to potvrdili, sami riješite nekoliko primjera:

Primjeri:

rješenja:

4. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka. Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Zbrajanje i oduzimanje običnih razlomaka poznata je operacija: tražimo zajednički nazivnik, množimo svaki razlomak faktorom koji nedostaje i zbrajamo/oduzimamo brojnike.

Prisjetimo se:

odgovori:

1. Nazivnici i su relativno prosti, tj. nemaju zajedničkih faktora. Stoga je LCM ovih brojeva jednak njihovom umnošku. Ovo će biti zajednički nazivnik:

2. Ovdje je zajednički nazivnik:

3. Ovdje prije svega pretvaramo mješovite razlomke u neprave, a zatim prema uobičajenoj shemi:

Sasvim je druga stvar ako razlomci sadrže slova, npr.

Počnimo s nečim jednostavnim:

a) Nazivnici ne sadrže slova

Ovdje je sve isto kao i kod običnih brojčanih razlomaka: nalazimo zajednički nazivnik, svaki razlomak množimo faktorom koji nedostaje i zbrajamo/oduzimamo brojnike:

Sada u brojniku možete dati slične, ako ih ima, i faktorizirati ih:

Pokušajte sami:

odgovori:

b) Nazivnici sadrže slova

Sjetimo se principa pronalaženja zajedničkog nazivnika bez slova:

· prije svega utvrđujemo zajedničke faktore;

· zatim ispisujemo sve zajedničke faktore jedan po jedan;

· i pomnožite ih sa svim drugim neuobičajenim faktorima.

Da bismo odredili zajedničke faktore nazivnika, prvo ih rastavimo na proste faktore:

Naglasimo zajedničke čimbenike:

Sada ispisujemo zajedničke faktore jedan po jedan i dodamo im sve neuobičajene (nepodcrtane) faktore:

Ovo je zajednički nazivnik.

Vratimo se slovima. Nazivnici su dati na potpuno isti način:

· rastavite nazivnike na faktore;

· odrediti zajedničke (identične) faktore;

· ispisati sve zajedničke faktore jednom;

· pomnožite ih sa svim drugim neuobičajenim faktorima.

Dakle, redom:

1) rastavite nazivnike na faktore:

2) odrediti zajedničke (identične) faktore:

3) sve zajedničke faktore ispišite jednom i pomnožite sa svim ostalim (nepodcrtanim) faktorima:

Dakle, ovdje postoji zajednički nazivnik. Prvi razlomak mora se pomnožiti s, drugi s:

Usput, postoji jedan trik:

Na primjer: .

Vidimo iste faktore u nazivnicima, samo svi s različitim pokazateljima. Zajednički nazivnik će biti:

do stupnja

do stupnja

do stupnja

do stupnja.

Zakomplicirajmo zadatak:

Kako postići da razlomci imaju isti nazivnik?

Prisjetimo se osnovnog svojstva razlomka:

Nigdje ne piše da se isti broj može oduzeti (ili dodati) od brojnika i nazivnika razlomka. Jer nije istina!

Uvjerite se sami: uzmite, na primjer, bilo koji razlomak i brojniku i nazivniku dodajte neki broj, na primjer, . Što si naučio?

Dakle, još jedno nepokolebljivo pravilo:

Kada razlomke svodite na zajednički nazivnik, koristite samo operaciju množenja!

Ali s čim trebate pomnožiti da biste dobili?

Dakle, pomnožite sa. I pomnožite sa:

Izraze koji se ne mogu faktorizirati nazvat ćemo "elementarni faktori".

Na primjer, - ovo je elementarni faktor. - Isto. Ali ne: može se faktorizirati.

Što je s izrazom? Je li elementarno?

Ne, jer se može faktorizirati:

(o faktorizaciji ste već čitali u temi “”).

Dakle, elementarni faktori na koje rastavljate izraz sa slovima analogni su jednostavnim faktorima na koje rastavljate brojeve. I mi ćemo se s njima nositi na isti način.

Vidimo da oba nazivnika imaju množitelj. Ići će na zajednički nazivnik na stupanj (sjećate se zašto?).

Faktor je elementaran i nemaju zajednički faktor, što znači da će se prvi razlomak jednostavno morati pomnožiti s njim:

Još jedan primjer:

Riješenje:

Prije nego što u panici pomnožite ove nazivnike, morate razmisliti kako ih faktorizirati? Obojica predstavljaju:

Sjajno! Zatim:

Još jedan primjer:

Riješenje:

Kao i obično, faktorizirajmo nazivnike. U prvom nazivniku jednostavno ga stavljamo izvan zagrade; u drugom - razlika kvadrata:

Čini se da nema zajedničkih faktora. Ali ako bolje pogledate, slični su... I to je istina:

Pa napišimo:

Odnosno, ispalo je ovako: unutar zagrade smo zamijenili pojmove, a istovremeno se znak ispred razlomka promijenio u suprotan. Imajte na umu, morat ćete to činiti često.

Dovedimo sada to pod zajednički nazivnik:

kužiš Provjerimo sada.

Zadaci za samostalno rješavanje:

odgovori:

5. Množenje i dijeljenje razlomaka.

Pa, najteži dio je sada prošao. A pred nama je najjednostavniji, ali ujedno i najvažniji:

Postupak

Koji je postupak za izračunavanje brojevnog izraza? Zapamtite izračunavanjem značenja ovog izraza:

Jeste li brojali?

Trebalo bi raditi.

Dakle, da vas podsjetim.

Prvi korak je izračunavanje stupnja.

Drugi je množenje i dijeljenje. Ako postoji više množenja i dijeljenja u isto vrijeme, mogu se raditi bilo kojim redoslijedom.

I na kraju, izvodimo zbrajanje i oduzimanje. Opet, bilo kojim redoslijedom.

Ali: izraz u zagradama vrednuje se izvan reda!

Ako se nekoliko zagrada međusobno pomnoži ili podijeli, prvo izračunamo izraz u svakoj od zagrada, a zatim ih pomnožimo ili podijelimo.

Što ako postoji više zagrada unutar zagrada? Pa, razmislimo: neki izraz je napisan unutar zagrada. Kada izračunavate izraz, što trebate učiniti prvo? Tako je, izračunajte zagrade. Pa, shvatili smo: prvo izračunamo unutarnje zagrade, a zatim sve ostalo.

Dakle, postupak za gornji izraz je sljedeći (trenutna radnja je označena crvenom bojom, odnosno radnja koju upravo sada izvodim):

U redu, sve je jednostavno.

Ali to nije isto što i izraz sa slovima?

Ne, to je isto! Samo umjesto aritmetičkih operacija trebate raditi algebarske, odnosno radnje opisane u prethodnom odjeljku: dovođenje sličnih, zbrajanje razlomaka, smanjivanje razlomaka i tako dalje. Jedina će razlika biti faktoriranje polinoma (ovo često koristimo kada radimo s razlomcima). Najčešće, za rastavljanje na faktore, morate koristiti I ili jednostavno zajednički faktor staviti izvan zagrade.

Obično je naš cilj predstaviti izraz kao produkt ili kvocijent.

Na primjer:

Pojednostavimo izraz.

1) Prvo, pojednostavljujemo izraz u zagradama. Tu imamo razliku razlomaka, a cilj nam je prikazati je kao umnožak ili kvocijent. Dakle, dovodimo razlomke na zajednički nazivnik i dodajemo:

Nemoguće je dalje pojednostaviti ovaj izraz; svi faktori ovdje su elementarni (sjećate li se još što to znači?).

2) Dobivamo:

Množenje razlomaka: što može biti jednostavnije.

3) Sada možete skratiti:

OK, sada je sve gotovo. Ništa komplicirano, zar ne?

Još jedan primjer:

Pojednostavite izraz.

Prvo pokušajte sami riješiti, pa tek onda pogledajte rješenje.

Riješenje:

Prije svega, odredimo redoslijed radnji.

Prvo zbrojimo razlomke u zagradama, tako da umjesto dva razlomka dobijemo jedan.

Zatim ćemo raditi dijeljenje razlomaka. Pa, zbrojimo rezultat sa zadnjim razlomkom.

Shematski ću numerirati korake:

Na kraju ću vam dati dva korisna savjeta:

1. Ako postoje slični, moraju se odmah donijeti. Kad god se slični pojave kod nas, uputno ih je odmah iznijeti.

2. Isto vrijedi i za smanjivanje razlomaka: čim se ukaže prilika za smanjenje, treba je iskoristiti. Izuzetak su razlomci koje zbrajate ili oduzimate: ako oni sada imaju iste nazivnike, tada smanjenje treba ostaviti za kasnije.

Evo nekoliko zadataka koje možete riješiti sami:

I ono što je obećano na samom početku:

odgovori:

Rješenja (ukratko):

Ako ste se snašli barem u prva tri primjera, onda ste svladali temu.

Sada na učenje!

PRETVARANJE IZRAZA. SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE

Osnovne operacije pojednostavljenja:

• Dovođenje sličnih: za zbrajanje (reduciranje) sličnih članova potrebno je zbrojiti njihove koeficijente i dodijeliti slovni dio.
• Faktorizacija: izbacivanje zajedničkog faktora iz zagrada, njegova primjena itd.
• Smanjenje razlomka: Brojnik i nazivnik razlomka mogu se pomnožiti ili podijeliti s istim brojem koji nije nula, što ne mijenja vrijednost razlomka.
  1) brojnik i nazivnik razložiti na činioce
  2) ako brojnik i nazivnik imaju zajedničke faktore, mogu se precrtati.

  VAŽNO: samo se množitelji mogu smanjiti!

• Zbrajanje i oduzimanje razlomaka:
  ;
• Množenje i dijeljenje razlomaka:
  ;

Pa tema je gotova. Ako čitate ove retke, znači da ste vrlo cool.

Jer samo 5% ljudi je u stanju svladati nešto samostalno. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada ono najvažnije.

Razumjeli ste teoriju o ovoj temi. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već si bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda neće biti dovoljno...

Za što?

Za uspješno položen Jedinstveni državni ispit, za upis na proračun na fakultet i, ŠTO JE NAJVAŽNIJE, za život.

Neću te uvjeravati ni u što, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju puno više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno da su SRETNIJI (postoje takve studije). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više prilika i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da biste bili bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju bili... sretniji?

USPORITE SE RJEŠAVANJEM ZADATAKA NA OVU TEMU.

Tijekom ispita nećete tražiti teoriju.

Trebat će vam rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu pogrešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - trebaš ponoviti mnogo puta da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite, obavezno s rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (neobavezno) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Kako biste se bolje snašli u našim zadacima, morate pomoći produžiti vijek trajanja udžbenika YouClever koji upravo čitate.

Kako? Postoje dvije mogućnosti:

1. Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 499 RUR

Da, imamo 99 takvih članaka u našem udžbeniku i odmah se otvara pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima.

Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je CIJELI život stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, nađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!