Kako konstruirati jednakokračni trokut. Tupokutni trokut: duljine stranica, zbroj kutova. Opisani tupokutni trokut Konstrukcija jednakostraničnog trokuta

Kako nacrtati trokut?

Konstrukcija raznih trokuta obavezan je element školskog tečaja geometrije. Mnogima ovaj zadatak izaziva strah. Ali zapravo je sve vrlo jednostavno. Sljedeći članak opisuje kako nacrtati bilo koju vrstu trokuta pomoću šestara i ravnala.

Postoje trokuti

• svestran;
• jednakokračan;
• jednakostraničan;
• pravokutan;
• tupokutan;
• oštrokutni;
• upisan u krug;
• opisao oko kruga.

Konstrukcija jednakostraničnog trokuta

Jednakostranični trokut je onaj u kojem su sve stranice jednake. Od svih vrsta trokuta, jednakostranične trokute je najlakše nacrtati.

1. Pomoću ravnala nacrtajte jednu od stranica na zadanoj duljini.
2. Izmjerite njegovu duljinu pomoću šestara.
3. Postavite vrh šestara na jedan kraj segmenta i nacrtajte krug.
4. Pomaknite točku na drugi kraj segmenta i nacrtajte krug.
5. Dobili smo 2 točke presjeka krugova. Spajajući bilo koji od njih na rubove segmenta, dobivamo jednakostranični trokut.

Konstrukcija jednakokračnog trokuta

Ova vrsta trokuta može se konstruirati pomoću baze i stranica.

Jednakokračni trokut je onaj u kojem su dvije stranice jednake. Kako biste nacrtali jednakokračni trokut pomoću ovih parametara, morate izvršiti sljedeće korake:

1. Pomoću ravnala označite segment koji je jednak duljini osnovici. Označavamo ga slovima AC.
2. Šestarom izmjerite potrebnu duljinu stranice.
3. Iz točke A, a zatim iz točke C nacrtamo kružnice čiji je polumjer jednak duljini stranice.
4. Dobivamo dvije sjecišne točke. Spajanjem jedne od njih s točkama A i C dobivamo traženi trokut.

Konstruiranje pravokutnog trokuta

Trokut s jednim pravim kutom zove se pravokutni trokut. Ako su nam zadane kateta i hipotenuza, crtanje pravokutnog trokuta nije teško. Može se konstruirati pomoću katete i hipotenuze.

Konstruiranje tupokutnog trokuta pomoću kuta i dviju susjednih stranica

Ako je jedan od kutova trokuta tup (više od 90 stupnjeva), naziva se tup. Da biste nacrtali tupi trokut pomoću navedenih parametara, morate učiniti sljedeće:

1. Pomoću ravnala označite segment koji je jednak duljini jedne od stranica trokuta. Označimo ga slovima A i D.
2. Ako je kut već nacrtan u zadatku, a vi trebate nacrtati isti, tada na njegovu sliku stavite dva segmenta, čija oba kraja leže na vrhu kuta, a duljina je jednaka naznačenim stranama. Spojite dobivene točke. Imamo željeni trokut.
3. Da biste ga prenijeli na svoj crtež, morate izmjeriti duljinu treće strane.

Konstrukcija oštrokutnog trokuta

Oštrokutni trokut (svi kutovi manji od 90 stupnjeva) konstruiran je na isti način.

1. Nacrtajte dva kruga. Središte jedne od njih leži u točki D, a polumjer je jednak duljini treće stranice, a središte druge je u točki A, a polumjer je jednak duljini stranice navedene u zadatku. .
2. Spojite jednu od sjecišta kružnice s točkama A i D. Traženi trokut je konstruiran.

Upisani trokut

Da biste nacrtali trokut u krugu, morate se sjetiti teorema koji kaže da središte opisane kružnice leži u sjecištu simetrala okomitih:

Za tupokutni trokut središte opisane kružnice leži izvan trokuta, dok za pravokutni trokut leži u središtu hipotenuze.

Nacrtaj opisani trokut

Opisani trokut je trokut u čijem je središtu ucrtana kružnica koja dodiruje sve njegove stranice. Središte upisane kružnice nalazi se u sjecištu simetrala. Za njihovu izgradnju potrebno je:

Čak i djeca predškolske dobi znaju kako izgleda trokut. Ali djeca već počinju shvaćati kakvi su u školi. Jedna vrsta je tupokutni trokut. Najlakši način da shvatite što je to je da vidite njegovu sliku. A u teoriji to je ono što oni nazivaju "najjednostavniji poligon" s tri strane i vrhova, od kojih je jedan

Razumijevanje pojmova

U geometriji postoje ove vrste likova s ​​tri strane: oštrokutni, pravokutni i tupokutni trokut. Štoviše, svojstva ovih najjednostavnijih poligona su ista za sve. Dakle, za sve navedene vrste bit će uočena ova nejednakost. Zbroj duljina bilo koje dvije stranice bit će nužno veći od duljine treće stranice.

Ali kako bismo bili sigurni da govorimo o cijeloj slici, a ne o skupu pojedinačnih vrhova, potrebno je provjeriti je li ispunjen glavni uvjet: zbroj kutova tupokutnog trokuta jednak je 180 stupnjeva . Isto vrijedi i za druge vrste figura s tri strane. Istina, u tupokutnom trokutu jedan od kutova bit će čak i veći od 90 °, a preostala dva sigurno će biti oštra. U ovom slučaju, to je najveći kut koji će biti nasuprot najduže stranice. Istina, ovo nisu sva svojstva tupokutnog trokuta. Ali čak i poznavajući samo ove značajke, školarci mogu riješiti mnoge probleme u geometriji.

Za svaki mnogokut s tri vrha također vrijedi da nastavljanjem bilo koje stranice dobivamo kut čija će veličina biti jednaka zbroju dvaju nesusjednih unutarnjih vrhova. Opseg tupokutnog trokuta izračunava se na isti način kao i za druge oblike. Jednaka je zbroju duljina svih njegovih stranica. Kako bi to odredili, matematičari su razvili različite formule, ovisno o tome koji su podaci inicijalno prisutni.

Ispravan stil

Jedan od najvažnijih uvjeta za rješavanje geometrijskih zadataka je ispravno crtanje. Profesori matematike često kažu da će to pomoći ne samo da vizualizirate što je zadano i što se od vas traži, već da se 80% približite točnom odgovoru. Zbog toga je važno znati konstruirati tupokutni trokut. Ako vam treba samo hipotetski lik, tada možete nacrtati bilo koji poligon s tri strane tako da jedan od kutova bude veći od 90 stupnjeva.

Ako su dane određene vrijednosti duljina stranica ili stupnjeva kutova, tada je potrebno nacrtati tupi trokut u skladu s njima. U ovom slučaju, potrebno je pokušati prikazati kutove što je točnije moguće, izračunavajući ih pomoću kutomjera i prikazati strane proporcionalno uvjetima danim u zadatku.

Glavne linije

Često školarcima nije dovoljno znati samo kako bi određene figure trebale izgledati. Ne mogu se ograničiti samo na informacije o tome koji je trokut tupokutan, a koji pravi. Matematički tečaj zahtijeva potpunije poznavanje osnovnih obilježja likova.

Dakle, svaki bi školarac trebao razumjeti definiciju simetrale, medijane, simetrale okomice i visine. Uz to mora poznavati njihova osnovna svojstva.

Dakle, simetrale dijele kut na pola, a suprotnu stranicu na segmente koji su proporcionalni susjednim stranicama.

Medijan dijeli bilo koji trokut na dva jednaka po površini. Na mjestu gdje se sijeku svaki od njih je podijeljen na 2 segmenta u omjeru 2:1, gledano iz vrha iz kojeg je izišao. U ovom slučaju, veliki medijan je uvijek povučen na svoju najmanju stranu.

Ništa se manje pažnje ne posvećuje visini. Ovo je okomito na stranu nasuprot kutu. Visina tupokutnog trokuta ima svoje karakteristike. Ako je povučen iz oštrog vrha, onda ne završava na strani ovog najjednostavnijeg poligona, već na njegovom nastavku.

Simetrala je odsječak koji se proteže od središta površine trokuta. Štoviše, nalazi se pod pravim kutom prema njemu.

Rad s krugovima

Na početku proučavanja geometrije djeci je dovoljno razumjeti kako nacrtati tupi trokut, naučiti ga razlikovati od drugih vrsta i zapamtiti njegova osnovna svojstva. No srednjoškolcima to znanje više nije dovoljno. Na primjer, na Jedinstvenom državnom ispitu često postoje pitanja o opisanim i upisanim krugovima. Prvi od njih dodiruje sva tri vrha trokuta, a drugi ima jednu zajedničku točku sa svim stranicama.

Konstruiranje upisanog ili opisanog tupokutnog trokuta mnogo je teže, jer da biste to učinili, prvo morate saznati gdje bi trebali biti središte kruga i njegov polumjer. Usput, u ovom slučaju, ne samo olovka s ravnalom, već i kompas postat će neophodan alat.

Iste poteškoće nastaju kod konstruiranja upisanih poligona s tri strane. Matematičari su razvili razne formule koje im omogućuju što točnije određivanje njihove lokacije.

Upisani trokuti

Kao što je ranije rečeno, ako krug prolazi kroz sva tri vrha, tada se naziva opisani krug. Njegovo glavno svojstvo je da je jedinstven. Da biste saznali kako bi se trebao nalaziti opisani krug tupokutnog trokuta, morate zapamtiti da je njegovo središte na sjecištu tri bisektoralne okomice koje idu na strane figure. Ako se u oštrokutnom poligonu s tri vrha ova točka nalazi unutar njega, tada će u tupokutnom poligonu biti izvan njega.

Znajući, na primjer, da je jedna od strana tupokutnog trokuta jednaka njegovom polumjeru, možete pronaći kut koji leži nasuprot poznatom licu. Njegov sinus bit će jednak rezultatu dijeljenja duljine poznate strane s 2R (gdje je R polumjer kruga). To jest, greška kuta bit će jednaka ½. To znači da će kut biti jednak 150°.

Ako trebate pronaći polumjer opisanog kruga tupokutnog trokuta, tada će vam trebati informacija o duljini njegovih stranica (c, v, b) i površini S. Uostalom, polumjer se izračunava ovako: (c x v x b) : 4 x S. Usput, nije važno koju vrstu figure imate: tupokutni trokut, jednakokračan, pravokutan ili oštrokutan. U bilo kojoj situaciji, zahvaljujući gornjoj formuli, možete saznati područje zadanog poligona s tri strane.

Opisani trokuti

Također često morate raditi s upisanim krugovima. Prema jednoj formuli, polumjer takve figure, pomnožen s ½ perimetra, bit će jednak površini trokuta. Istina, da biste to shvatili morate znati strane tupokutnog trokuta. Uostalom, da biste odredili ½ opsega, morate zbrojiti njihove duljine i podijeliti s 2.

Da bismo razumjeli gdje treba biti središte kružnice upisane u tupokutni trokut, potrebno je nacrtati tri simetrale. Ovo su linije koje dijele uglove. Na njihovom sjecištu će se nalaziti središte kruga. U ovom slučaju, bit će jednako udaljen od svake strane.

Polumjer takve kružnice upisane u tupokutni trokut jednak je kvocijentu (p-c) x (p-v) x (p-b): p. U ovom slučaju, p je poluopseg trokuta, c, v, b su njegove stranice.

Kako konstruirati jednakokračni trokut? To je lako učiniti s ravnalom, olovkom i ćelijama bilježnice.

Započinjemo konstrukciju jednakokračnog trokuta od baze. Da bi uzorak bio ravnomjeran, broj ćelija u podnožju mora biti paran broj.

Podijelite segment - bazu trokuta - na pola.

Vrh trokuta može se odabrati na bilo kojoj visini od baze, ali uvijek točno iznad sredine.

Kako konstruirati šiljasti jednakokračni trokut?

Kutovi na osnovici jednakokračnog trokuta mogu biti samo šiljasti. Da bi jednakokračni trokut bio šiljast, oštar mora biti i kut pri vrhu.

Da biste to učinili, odaberite vrh trokuta viši, dalje od baze.

Što je vrh viši, to je manji kut vrha. U skladu s tim povećavaju se kutovi na bazi.

Kako konstruirati tupi jednakokračni trokut?

Kako se vrh jednakokračnog trokuta približava osnovici, stupanjska mjera kuta pri vrhu raste.

To znači da za konstruiranje jednakokračnog tupokutnog trokuta odabiremo niži vrh.

Kako konstruirati jednakokračni pravokutni trokut?

Da biste konstruirali jednakokračni pravokutni trokut, trebate odabrati vrh na udaljenosti jednakoj polovici baze (to je zbog svojstava jednakokračnog pravokutnog trokuta).

Na primjer, ako je duljina baze 6 ćelija, tada postavljamo vrh trokuta na visinu od 3 ćelije iznad sredine baze. Imajte na umu: u ovom slučaju svaka ćelija na uglovima u podnožju podijeljena je dijagonalno.

Konstrukcija jednakokračnog pravokutnog trokuta može se započeti od vrha.

Odaberemo vrh, a od njega pod pravim kutom položimo jednake segmente prema gore i udesno. Ovo su stranice trokuta.

Spojimo ih i dobijemo jednakokračan pravokutni trokut.

Konstrukciju jednakokračnog trokuta pomoću šestara i ravnala bez podjela razmotrit ćemo u drugoj temi.

upute

Postavite iglu kompasa na označenu točku. Koristeći nogu s pisaljkom, nacrtajte luk kruga s izmjerenim radijusom.

Postavite točku bilo gdje duž opsega nacrtanog luka. Ovo će biti drugi vrh B trokuta koji se stvara.

Stavite nogu na drugi vrh na sličan način. Nacrtajte drugu kružnicu tako da siječe prvu.

Treći vrh C stvorenog trokuta nalazi se u sjecištu oba nacrtana luka. Označite na slici.

Nakon što ste primili sva tri vrha, povežite ih ravnim linijama koristeći bilo koju ravnu površinu (po mogućnosti ravnalo). Trokut ABC je konstruiran.

Ako kružnica dodiruje sve tri stranice određenog trokuta, a središte joj je unutar trokuta, naziva se upisanom u trokut.

Trebat će vam

• ravnalo, šestar

upute

Iz vrhova trokuta (strana suprotna kutu koji se dijeli) šestarom se povlače kružni lukovi proizvoljnog radijusa dok se međusobno ne presjeku;

Sjecište lukova duž ravnala spojeno je s vrhom djeljivog kuta;

Isto se radi s bilo kojim drugim kutom;

Polumjer kruga upisanog u trokut bit će omjer površine trokuta i njegovog poluopsega: r=S/p, gdje je S površina trokuta, a p=(a+ b+c)/2 je poluopseg trokuta.

Polumjer kružnice upisane u trokut jednako je udaljen od svih stranica trokuta.

Izvori:

• http://www.alleng.ru/d/math/math42.htm

Razmotrimo problem konstruiranja trokuta, pod uvjetom da su poznate njegove tri stranice ili jedna stranica i dva kuta.

Trebat će vam

• - kompas
• - vladar
• - kutomjer

upute

Recimo da postoje tri strane: a, b i c. Korištenje nije teško s takvim stranama. Prvo odaberimo najdužu od ovih stranica, neka to bude stranica c, i nacrtajmo je. Potom otvor šestara postavimo na vrijednost druge strane, stranice a, i šestarom polumjera a nacrtamo krug sa središtem na jednom od krajeva stranice c. Sada postavite otvor šestara na veličinu stranice b i nacrtajte krug sa središtem na drugom kraju stranice c. Polumjer ove kružnice je b. Spojimo točku sjecišta kružnica sa središtima i dobijemo trokut sa traženim stranicama.

Da biste nacrtali trokut sa zadanom stranicom i dva susjedna kuta, koristite kutomjer. Nacrtajte stranicu navedene duljine. Na njegovim rubovima kutomjerom označite kutove. Na raskrižju strana kutova dobijemo treći vrh trokuta.

Video na temu

Bilješka

Za stranice trokuta vrijedi sljedeća tvrdnja: zbroj duljina bilo koje dvije stranice mora biti veći od treće. Ako to nije zadovoljeno, tada je nemoguće konstruirati takav trokut.

Kružnice u koraku 1 sijeku se u dvije točke. Možete odabrati bilo koji, trokuti će biti jednaki.

Pravilan trokut je onaj u kojem su sve stranice jednake duljine. Na temelju ove definicije, konstruiranje ove vrste trokuta nije težak zadatak.

Trebat će vam

• Ravnalo, list papira s linijama, olovka

upute

Pomoću ravnala spojite točke označene na komadu papira redom, jednu za drugom, kao što je prikazano na slici 2.

Bilješka

U pravilnom (jednakostraničnom) trokutu svi kutovi su jednaki 60 stupnjeva.

Koristan savjet

Jednakostranični trokut je ujedno i jednakokračni trokut. Ako je trokut jednakokračan, to znači da su mu 2 od 3 stranice jednake, a treća stranica se smatra bazom. Svaki pravilni trokut je jednakokračan, dok obrnuto ne vrijedi.

Svaki jednakostranični trokut ima iste ne samo strane, već i kutove, od kojih je svaki jednak 60 stupnjeva. Međutim, crtež takvog trokuta, konstruiran pomoću kutomjera, neće biti vrlo točan. Stoga je za konstruiranje ove figure bolje koristiti kompas.

Trebat će vam

• Olovka, ravnalo, šestar

upute

Zatim uzmite šestar, postavite ga na krajeve (budući vrh trokuta) i nacrtajte krug s polumjerom jednakim duljini ovog segmenta. Ne morate nacrtati cijeli krug, već samo četvrtinu, sa suprotnog ruba segmenta.

Sada pomaknite šestar na drugi kraj segmenta i ponovno nacrtajte krug istog radijusa. Ovdje će biti dovoljno konstruirati krug koji prolazi od krajnjeg kraja segmenta do sjecišta s već izgrađenim lukom. Rezultirajuća točka bit će treći vrh vašeg trokuta.

Da biste dovršili konstrukciju, ponovno uzmite ravnalo i olovku i spojite točku sjecišta dvaju krugova s ​​oba kraja segmenta. Na kraju ćete dobiti trokut u kojem su sve tri strane potpuno jednake - to se lako može provjeriti ravnalom.

Video na temu

Trokut je mnogokut koji ima tri stranice. Jednakostranični ili pravilni trokut je trokut u kojem su sve stranice i kutovi jednaki. Pogledajmo kako nacrtati pravilan trokut.

Trebat će vam

• Ravnalo, šestar.

upute

Koristeći šestar, nacrtajte drugu kružnicu čije će središte biti u točki B, a polumjer će biti jednak segmentu BA.

Kružnice će se sjeći u dvije točke. Odaberite bilo koji od njih. Nazovite ga C. Ovo će biti treći vrh trokuta.

Spoji vrhove zajedno. Dobiveni trokut bit će točan. U to se uvjerite izmjerivši njegove stranice ravnalom.

Razmotrimo način konstruiranja pravilnog trokuta pomoću dva ravnala. Nacrtajte segment OK, to će biti jedna od stranica trokuta, a točke O i K bit će njegovi vrhovi.

Bez pomicanja ravnala nakon konstruiranja segmenta OK, pričvrstite drugo ravnalo okomito na njega. Nacrtajte ravnu liniju m koja siječe segment OK u sredini.

Pomoću ravnala izmjerite dužinu OE jednaku dužini OK tako da se jedan kraj poklapa s točkom O, a drugi na ravnoj liniji m. Točka E će biti treći vrh trokuta.

Dovršite konstrukciju trokuta spajanjem točaka E i K. Ispravnost konstrukcije provjerite pomoću ravnala.

Bilješka

U pravilnost trokuta možete se uvjeriti pomoću kutomjera mjerenjem kutova.

Koristan savjet

Jednakostranični trokut može se nacrtati i na kariranom listu papira pomoću jednog ravnala. Umjesto drugog ravnala, upotrijebite okomite crte.

Izvori:

• Klasifikacija trokuta. Jednakostranični trokuti
• Što je trokut
• konstruiranje pravilnog trokuta

Upisani trokut je onaj čiji su svi vrhovi na kružnici. Možete ga izgraditi ako znate barem jednu stranu i kut. Opisana kružnica naziva se opisana kružnica i bit će jedina za ovaj trokut.

Trebat će vam

• - krug;
• - stranica i kut trokuta;
• - papir;
• - kompas;
• - vladar;
• - kutomjer;
• - kalkulator.

upute

Iz točke A kutomjerom iscrtajte zadani kut. Nastavite stranicu kuta dok se ne presječe s kružnicom i postavite točku C. Spojite točke B i C. Dobili ste trokut ABC. Može biti bilo koje vrste. Središte kružnice za oštrokutni trokut je izvan, za tupokutni trokut je izvan, a za pravokutni trokut je na hipotenuzi. Ako vam nije zadan kut, već, na primjer, tri stranice trokuta, izračunajte jedan od kutova iz polumjera i poznate stranice.

Mnogo češće se morate nositi s obrnutom konstrukcijom, kada vam je dan trokut i trebate opisati krug oko njega. Izračunajte njegov polumjer. To se može učiniti pomoću nekoliko formula, ovisno o tome što vam je dano. Polumjer se može pronaći, na primjer, po strani i sinusu suprotnog kuta. U ovom slučaju, jednaka je duljini stranice podijeljenoj s dvostrukim sinusom suprotnog kuta. To jest, R=a/2sinCAB. Također se može izraziti kroz umnožak stranica, u ovom slučaju R=abc/√(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a).

Odredite središte kruga. Podijelite sve strane na pola i povucite okomice na središnje točke. Točka njihovog sjecišta bit će središte kruga. Nacrtajte ga tako da siječe sve vrhove uglova.

Dvije kratke stranice pravokutnog trokuta, koje se obično nazivaju kracima, po definiciji moraju biti okomite jedna na drugu. Ovo svojstvo figure uvelike olakšava njegovu konstrukciju. Međutim, nije uvijek moguće točno odrediti okomitost. U takvim slučajevima možete izračunati duljine svih stranica - one će vam omogućiti da konstruirate trokut na jedini mogući, a time i ispravan način.

Trebat će vam

• Papir, olovka, ravnalo, kutomjer, šestar, kvadrat.