Kako pronaći ukupnu površinu piramidne formule. Odredite površinu pravilne trokutaste piramide

Prilikom pripreme za jedinstveni državni ispit iz matematike, učenici moraju sistematizirati svoje znanje iz algebre i geometrije. Želio bih kombinirati sve poznate informacije, na primjer, o tome kako izračunati površinu piramide. Štoviše, počevši od baze i bočnih rubova do cijele površine. Ako je situacija s bočnim stranama jasna, budući da su trokuti, tada je baza uvijek drugačija.

Kako pronaći područje baze piramide?

To može biti apsolutno bilo koja figura: od proizvoljnog trokuta do n-kuta. A ta baza, osim razlike u broju kutova, može biti pravilan lik ili nepravilan. U zadacima Jedinstvenog državnog ispita koji zanimaju školarce postoje samo zadaci s točnim brojkama u osnovi. Stoga ćemo govoriti samo o njima.

Pravilni trokut

Odnosno, jednakostraničan. Ona u kojoj su sve strane jednake i označene slovom "a". U ovom slučaju, površina baze piramide izračunava se formulom:

S = (a 2 * √3) / 4.

Kvadrat

Formula za izračunavanje njegove površine je najjednostavnija, ovdje je "a" opet strana:

Proizvoljni pravilni n-kut

Stranica poligona ima istu oznaku. Za broj kutova koristi se latinično slovo n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Što učiniti pri izračunu bočne i ukupne površine?

Jer u osnovi leži ispravna figura, tada su sva lica piramide jednaka. Štoviše, svaki od njih je jednakokračan trokut, jer su bočni rubovi jednaki. Zatim kako bi se izračunalo bočno područje piramide, trebat će vam formula koja se sastoji od zbroja identičnih monoma. Broj članova određen je brojem stranica baze.

Kvadrat jednakokračan trokut izračunava se pomoću formule u kojoj se polovica umnoška baze množi s visinom. Ova visina u piramidi naziva se apotemom. Njegova oznaka je "A". Opća formula za bočnu površinu izgleda ovako:

S = ½ P*A, gdje je P opseg baze piramide.

Postoje situacije kada stranice baze nisu poznate, ali su zadani bočni bridovi (c) i ravni kut pri njezinu vrhu (α). Zatim morate koristiti sljedeću formulu za izračunavanje bočne površine piramide:

S = n/2 * u 2 sin α .

Zadatak br. 1

Stanje. Pronaći ukupna površina piramide, ako joj baza ima stranicu 4 cm, a apotem ima vrijednost √3 cm.

Riješenje. Morate početi izračunavanjem perimetra baze. Budući da je ovo pravilan trokut, tada je P = 3*4 = 12 cm. Budući da je apotem poznat, možemo odmah izračunati površinu cijele bočne površine: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.

Za trokut u osnovi dobivate sljedeću vrijednost površine: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

Da biste odredili cijelu površinu, morat ćete zbrojiti dvije dobivene vrijednosti: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Odgovor. 10√3 cm 2.

Problem br. 2

Stanje. Postoji pravilna četverokutna piramida. Duljina donje stranice je 7 mm, bočnog ruba 16 mm. Potrebno je saznati njegovu površinu.

Riješenje. Budući da je poliedar četverokutan i pravilan, baza mu je kvadrat. Nakon što saznate površinu baze i bočnih stranica, moći ćete izračunati površinu piramide. Formula za kvadrat je data gore. A za bočne strane poznate su sve strane trokuta. Stoga možete koristiti Heronovu formulu za izračunavanje njihovih površina.

Prvi izračuni su jednostavni i dovode do sljedećeg broja: 49 mm 2. Za drugu vrijednost morat ćete izračunati poluopseg: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Sada možete izračunati površinu jednakokračnog trokuta: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Postoje samo četiri takva trokuta, pa ćete ga pri izračunavanju konačnog broja morati pomnožiti s 4.

Ispada: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.

Odgovor. Željena vrijednost je 267,576 mm 2.

Problem br. 3

Stanje. Za pravilnu četverokutnu piramidu morate izračunati površinu. Poznato je da je stranica kvadrata 6 cm, a visina 4 cm.

Riješenje. Najlakši način je upotrijebiti formulu s umnoškom opsega i apoteme. Prvu vrijednost je lako pronaći. Drugi je malo kompliciraniji.

Morat ćemo se sjetiti Pitagorinog poučka i uzeti u obzir da se sastoji od visine piramide i apoteme, što je hipotenuza. Drugi krak je jednak polovici stranice kvadrata, budući da visina poliedra pada u njegovu sredinu.

Traženi apotem (hipotenuza pravokutnog trokuta) jednak je √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Sada možete izračunati traženu vrijednost: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Odgovor. 96 cm 2.

Problem broj 4

Stanje. Dana ispravna strana baze su mu 22 mm, bočna rebra 61 mm. Kolika je bočna površina ovog poliedra?

Riješenje. Obrazloženje u njemu je isto kao ono opisano u zadatku br. 2. Samo tamo je dana piramida s kvadratom u bazi, a sada je šesterokut.

Prije svega, osnovna površina izračunava se pomoću gornje formule: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.

Sada morate saznati poluopseg jednakokračnog trokuta, koji je bočna strana. (22+61*2):2 = 72 cm. Ostaje samo izračunati Heronovu formulu za površinu svakog takvog trokuta, a zatim je pomnožiti sa šest i dodati onom dobivenom za bazu.

Izračuni pomoću Heronove formule: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Izračuni koji će dati bočnu površinu: 660 * 6 = 3960 cm 2. Ostaje ih zbrojiti kako bismo saznali cijelu površinu: 5217,47≈5217 cm 2.

Odgovor. Baza je 726√3 cm 2, bočna površina 3960 cm 2, cjelokupna površina 5217 cm 2.

Piramida- jedna od varijanti poliedra formiranog od poligona i trokuta koji leže u podnožju i njegova su lica.

Štoviše, na vrhu piramide (tj. u jednoj točki) sva su lica ujedinjena.

Da bi se izračunala površina piramide, vrijedi utvrditi da se njezina bočna površina sastoji od nekoliko trokuta. I lako možemo pronaći njihova područja pomoću

razne formule. Ovisno o tome koje podatke znamo o trokutima, tražimo njihovu površinu.

Navodimo neke formule koje se mogu koristiti za pronalaženje površine trokuta:

1. S = (a*h)/2 . U u ovom slučaju znamo visinu trokuta h , koji je spušten na stranu a .
2. S = a*b*sinβ . Ovdje su stranice trokuta a , b , a kut između njih je β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Ovdje su stranice trokuta a, b, c . Polumjer kruga upisanog u trokut je r .
4. S = (a*b*c)/4*R . Polumjer opisane kružnice oko trokuta je R .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Ova formula treba koristiti samo kada je trokut pravokutan.
6. S = (a²*√3)/4 . Ovu formulu primjenjujemo na jednakostranični trokut.

Tek nakon što izračunamo površine svih trokuta koji su lica naše piramide, možemo izračunati površinu njezine bočne površine. Da bismo to učinili, koristit ćemo gornje formule.

Da biste izračunali površinu bočne površine piramide, nema poteškoća: morate saznati zbroj površina svih trokuta. Izrazimo to formulom:

Sp = ΣSi

Ovdje Si je površina prvog trokuta, i S P - područje bočne površine piramide.

Pogledajmo primjer. S obzirom na pravilnu piramidu, njezine bočne stranice čine nekoliko jednakostraničnih trokuta,

« Geometrija je najmoćniji alat za izoštravanje naših mentalnih sposobnosti».

Galileo Galilei.

a kvadrat je baza piramide. Štoviše, rub piramide ima duljinu od 17 cm. Nađimo površinu bočne površine ove piramide.

Rezoniramo ovako: znamo da su lica piramide trokuti, jednakostranični. Također znamo kolika je duljina brida ove piramide. Slijedi da svi trokuti imaju jednake stranice i da im je duljina 17 cm.

Da biste izračunali površinu svakog od ovih trokuta, možete koristiti sljedeću formulu:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Dakle, budući da znamo da kvadrat leži u osnovi piramide, ispada da imamo četiri jednakostranična trokuta. To znači da se površina bočne površine piramide može lako izračunati pomoću sljedeće formule: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Naš odgovor je sljedeći: 500,548 cm² - ovo je površina bočne površine ove piramide.

Površina piramide. U ovom ćemo članku razmotriti probleme s pravilnim piramidama. Da vas podsjetim da je pravilna piramida ona piramida čija je baza pravilan poligon, vrh piramide je projiciran u središte ovog poligona.

Bočna strana takve piramide je jednakokračan trokut.Visina ovog trokuta, izvučena iz vrha pravilne piramide, naziva se apotem, SF - apotem:

U dolje prikazanoj vrsti problema morate pronaći površinu cijele piramide ili površinu njezine bočne površine. Na blogu je već bilo riječi o nekoliko problema s pravilnim piramidama, gdje se postavljalo pitanje pronalaženja elemenata (visina, osnovni rub, bočni rub).

U Zadaci Jedinstvenog državnog ispita U pravilu se razmatraju pravilne trokutaste, četverokutne i šesterokutne piramide. Nisam vidio nikakvih problema s pravilnim peterokutnim i sedmerokutnim piramidama.

Formula za površinu cijele površine je jednostavna - trebate pronaći zbroj površine baze piramide i površine njezine bočne površine:

Razmotrimo zadatke:

Stranice baze pravilne četverokutne piramide su 72, bočni bridovi su 164. Nađite površinu ove piramide.

Površina piramide jednaka je zbroju površina bočne površine i baze:

*Bočnu plohu čine četiri trokuta jednake površine. Osnova piramide je kvadrat.

Možemo izračunati površinu strane piramide koristeći:

Dakle, površina piramide je:

Odgovor: 28224

Stranice baze pravilne šesterokutne piramide jednake su 22, bočni rubovi su jednaki 61. Nađite bočnu površinu ove piramide.

Osnova pravilne šesterokutne piramide je pravilni šesterokut.

Bočna površina ove piramide sastoji se od šest područja jednakih trokuta sa stranicama 61,61 i 22:

Nađimo površinu trokuta pomoću Heronove formule:

Dakle, bočna površina je:

Odgovor: 3240

*U gore navedenim problemima, područje bočne strane može se pronaći pomoću druge formule trokuta, ali za to morate izračunati apotemu.

27155. Odredite površinu pravilne četverokutne piramide čije su osnovne stranice 6, a visina 4.

Da bismo pronašli površinu piramide, moramo znati površinu baze i površinu bočne površine:

Površina baze je 36 jer je kvadrat sa stranicom 6.

Bočna površina sastoji se od četiri lica, koja su jednaki trokuti. Da biste pronašli područje takvog trokuta, morate znati njegovu bazu i visinu (apotem):

*Površina trokuta jednaka je polovici umnoška baze i visine povučene na tu bazu.

Baza je poznata, jednaka je šest. Nađimo visinu. Razmotrimo pravokutni trokut(označeno je žutom bojom):

Jedan krak je jednak 4, jer je to visina piramide, drugi je jednak 3, jer je jednak polovici ruba baze. Hipotenuzu možemo pronaći pomoću Pitagorine teoreme:

To znači da je površina bočne površine piramide:

Dakle, površina cijele piramide je:

Odgovor: 96

27069. Stranice baze pravilne četverokutne piramide jednake su 10, bočni bridovi su jednaki 13. Nađite površinu ove piramide.

27070. Stranice baze pravilne šesterokutne piramide jednake su 10, bočni bridovi su jednaki 13. Nađite bočnu površinu ove piramide.

Postoje i formule za bočnu površinu pravilne piramide. U pravilnoj piramidi baza je ortogonalna projekcija bočne plohe, dakle:

P- osnovni opseg, l- apotem piramide

*Ova formula se temelji na formuli za površinu trokuta.

Ako želite saznati više o tome kako se te formule izvode, ne propustite, pratite objavljivanje članaka.To je sve. Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako biste mi rekli nešto o stranici na društvenim mrežama.

Cilindar je geometrijsko tijelo omeđeno s dva paralelne ravnine i cilindričnu površinu. U članku ćemo govoriti o tome kako pronaći površinu cilindra i, koristeći formulu, riješit ćemo nekoliko problema kao primjer.

Cilindar ima tri površine: vrh, bazu i bočnu površinu.

Vrh i baza cilindra su krugovi i lako ih je prepoznati.

Poznato je da je površina kruga jednaka πr 2. Stoga će formula za površinu dva kruga (vrh i baza cilindra) biti πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

Treća, bočna površina cilindra, je zakrivljena stijenka cilindra. Kako bismo bolje predstavili ovu površinu, pokušajmo je transformirati da dobijemo prepoznatljiv oblik. Zamislite da je cilindar običan kositar, koji nema gornji ili donji poklopac. Napravimo okomiti rez na bočnoj stijenci od vrha do dna limenke (Korak 1 na slici) i pokušajmo što više otvoriti (ispraviti) dobivenu figuru (Korak 2).

Nakon što se staklenka potpuno otvori, vidjet ćemo poznatu figuru (3. korak), ovo je pravokutnik. Površina pravokutnika je lako izračunati. Ali prije toga, vratimo se na trenutak na izvorni cilindar. Vrh izvornog valjka je kružnica, a znamo da se opseg izračunava po formuli: L = 2πr. Na slici je označen crvenom bojom.

Kada bočni zid cilindar je potpuno otvoren, vidimo da opseg postaje duljina rezultirajućeg pravokutnika. Stranice tog pravokutnika bit će opseg (L = 2πr) i visina valjka (h). Površina pravokutnika jednaka je umnošku njegovih stranica - S = duljina x širina = L x h = 2πr x h = 2πrh. Kao rezultat toga, dobili smo formulu za izračunavanje površine bočne površine cilindra.

Formula za bočnu površinu cilindra
S strana = 2πrh

Ukupna površina cilindra

Konačno, ako zbrojimo površinu svih tri površine, dobivamo formulu površine puna površina cilindar. Površina cilindra jednaka je površini vrha cilindra + površini baze cilindra + površini bočne površine cilindra ili S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Ponekad se ovaj izraz piše identično formuli 2πr (r + h).

Formula za ukupnu površinu cilindra
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – polumjer cilindra, h – visina cilindra

Primjeri izračunavanja površine cilindra

Da bismo razumjeli gornje formule, pokušajmo izračunati površinu cilindra pomoću primjera.

1. Polumjer baze cilindra je 2, visina je 3. Odredite površinu bočne površine cilindra.

Ukupna površina izračunava se po formuli: S strana. = 2πrh

S strana = 2 * 3,14 * 2 * 3

S strana = 6,28 * 6

S strana = 37,68

Bočna površina cilindra je 37,68.

2. Kako pronaći površinu valjka ako je visina 4, a polumjer 6?

Ukupna površina izračunava se po formuli: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

Površina bočne površine proizvoljne piramide jednaka je zbroju površina njezinih bočnih stranica. Ima smisla dati posebnu formulu za izražavanje ove površine u slučaju pravilne piramide. Dakle, neka nam je dana pravilna piramida u čijoj osnovi leži pravilan n-kut sa stranicom jednakom a. Neka je h visina bočne strane, koja se također naziva apotema piramide. Površina jedne bočne plohe jednaka je 1/2ah, a cijela bočna ploha piramide ima površinu jednaku n/2ha. Kako je na opseg baze piramide, možemo napisati pronađenu formulu u obliku:

Bočna površina pravilne piramide jednak je umnošku njezina apotema i polovice opsega baze.

O ukupna površina, onda jednostavno dodamo površinu baze bočnoj.

Upisana i opisana kugla i kugla. Treba napomenuti da središte sfere upisane u piramidu leži u sjecištu simetrala unutarnjih diedarskih kutova piramide. Središte sfere opisane u blizini piramide nalazi se u sjecištu ravnina koje prolaze središtima bridova piramide i okomite su na njih.

Krnja piramida. Ako je piramida presječena ravninom paralelnom s bazom, tada se dio između rezne ravnine i baze naziva krnja piramida. Na slici je prikazana piramida; odbacivanjem njenog dijela koji leži iznad rezne ravnine, dobivamo krnju piramidu. Jasno je da je mala odbačena piramida homotetična velikoj piramidi sa središtem homotetije na vrhu. Koeficijent sličnosti jednaka omjeru visine: k=h 2 /h 1, ili bočna rebra, ili drugo odgovarajuće linearne dimenzije obje piramide. Znamo da su površine sličnih likova međusobno povezane poput kvadrata linearnih dimenzija; pa su površine baza obiju piramida (tj. površina baza krnje piramide) povezane kao

Ovdje je S 1 područje donje baze, a S 2 područje gornje baze krnje piramide. U istom su odnosu bočne površine piramide Slično pravilo postoji i za volumene.

Volumeni sličnih tijela međusobno su povezani kao kocke svojih linearnih dimenzija; na primjer, volumeni piramida povezani su kao umnožak njihovih visina i površine baza, iz čega se odmah dobiva naše pravilo. Ima apsolutno opći karakter a izravno proizlazi iz činjenice da volumen uvijek ima dimenziju treće potencije duljine. Koristeći ovo pravilo, izvodimo formulu koja izražava volumen krnje piramide kroz visinu i površinu baza.

Neka je zadana krnja piramida visine h i baza S 1 i S 2 . Ako zamislimo da se nastavlja da puna piramida, tada je koeficijent sličnosti između pune piramide i male piramide lako pronaći kao korijen omjera S 2 /S 1 . Visina krnje piramide izražava se kao h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Sada imamo za volumen krnje piramide (V 1 i V 2 označavaju volumen pune i male piramide)

formula za volumen krnje piramide

Izvedimo formulu za površinu S bočne plohe pravilne krnje piramide kroz opsege P 1 i P 2 baza i duljinu apoteme a. Rezoniramo na potpuno isti način kao kod izvođenja formule za volumen. Piramidu dopunimo gornjim dijelom, imamo P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, gdje je k koeficijent sličnosti, P 1 i P 2 su perimetri baza, a S 1 i S 2 su površine bočnih ploha cijele dobivene piramide i njezinog gornjeg dijela prema tome. Za bočnu površinu nalazimo (a 1 i a 2 su apoteme piramida, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

formula za bočnu površinu pravilne krnje piramide