Si la fonction est paire ou impaire. Fonctions paires et impaires

14.10.2019

Graphique d'une fonction paire

Si vous tracez un graphique d’une fonction paire, il sera symétrique par rapport à l’axe Oy.

Par exemple, la fonction y=x^2 est paire. Regardons ça. Le domaine de définition est l’ensemble de l’axe numérique, ce qui signifie qu’il est symétrique par rapport au point O.

Prenons un x=3 arbitraire. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Donc f(x) = f(-x). Ainsi, les deux conditions sont remplies, ce qui signifie que la fonction est paire. Vous trouverez ci-dessous un graphique de la fonction y=x^2.

La figure montre que le graphique est symétrique par rapport à l’axe Oy.

Graphique d'une fonction impaire

Une fonction y=f(x) est dite impaire si elle satisfait aux deux conditions suivantes :

1. Le domaine de définition d'une fonction donnée doit être symétrique par rapport au point O. Autrement dit, si un point a appartient au domaine de définition de la fonction, alors le point correspondant -a doit également appartenir au domaine de définition de la fonction donnée.

2. Pour tout point x, l'égalité suivante doit être satisfaite à partir du domaine de définition de la fonction : f(x) = -f(x).

Le graphique d'une fonction impaire est symétrique par rapport au point O - l'origine des coordonnées. Par exemple, la fonction y=x^3 est impaire. Regardons ça. Le domaine de définition est l’ensemble de l’axe numérique, ce qui signifie qu’il est symétrique par rapport au point O.

Prenons un x = 2 arbitraire. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Donc f(x) = -f(x). Ainsi, les deux conditions sont remplies, ce qui signifie que la fonction est impaire. Vous trouverez ci-dessous un graphique de la fonction y=x^3.

La figure montre clairement que la fonction impaire y=x^3 est symétrique par rapport à l'origine.

même, si pour tout \(x\) de son domaine de définition ce qui suit est vrai : \(f(-x)=f(x)\) .

Le graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe \(y\) :

Exemple : la fonction \(f(x)=x^2+\cos x\) est paire, car \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) La fonction \(f(x)\) est appelée impair, si pour tout \(x\) de son domaine de définition ce qui suit est vrai : \(f(-x)=-f(x)\) .

Le graphique d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine :

Exemple : la fonction \(f(x)=x^3+x\) est impaire car \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Les fonctions qui ne sont ni paires ni impaires sont appelées fonctions vue générale. Une telle fonction peut toujours être représentée de manière unique comme la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.

Par exemple, la fonction \(f(x)=x^2-x\) est la somme de la fonction paire \(f_1=x^2\) et de l'impair \(f_2=-x\) .

\(\trianglenoirdroit\) Quelques propriétés :

1) Le produit et le quotient de deux fonctions de même parité est une fonction paire.

2) Le produit et le quotient de deux fonctions de parités différentes est une fonction étrange.

3) La somme et la différence des fonctions paires sont une fonction paire.

4) Somme et différence des fonctions impaires - fonction impaire.

5) Si \(f(x)\) est une fonction paire, alors l'équation \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) a une racine unique si et seulement quand \( x =0\) .

6) Si \(f(x)\) est une fonction paire ou impaire, et que l'équation \(f(x)=0\) a une racine \(x=b\), alors cette équation aura nécessairement une seconde racine \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) Une fonction \(f(x)\) est appelée périodique sur \(X\) si pour un certain nombre \(T\ne 0\) ce qui suit est vrai : \(f(x)=f( x+T) \) , où \(x, x+T\in X\) . Le plus petit \(T\) pour lequel cette égalité est satisfaite est appelé la période principale (principale) de la fonction.

U fonction périodique n'importe quel nombre de la forme \(nT\) , où \(n\in \mathbb(Z)\) sera également un point.

Exemple : n'importe lequel fonction trigonométrique est périodique ;
pour les fonctions \(f(x)=\sin x\) et \(f(x)=\cos x\) période principale est égal à \(2\pi\), les fonctions \(f(x)=\mathrm(tg)\,x\) et \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) ont un période principale égale à \ (\pi\) .

Afin de construire un graphique d'une fonction périodique, vous pouvez tracer son graphique sur n'importe quel segment de longueur \(T\) (période principale) ; puis le graphique de l'ensemble de la fonction est complété en décalant la partie construite d'un nombre entier de périodes vers la droite et la gauche :

\(\blacktriangleright\) Le domaine \(D(f)\) de la fonction \(f(x)\) est un ensemble constitué de toutes les valeurs de l'argument \(x\) pour lesquelles la fonction a un sens (est défini).

Exemple : la fonction \(f(x)=\sqrt x+1\) a un domaine de définition : \(x\in

Tâche 1 #6364

Niveau de tâche : Égal à l'examen d'État unifié

A quelles valeurs du paramètre \(a\) l'équation

a une seule solution ?

Notez que puisque \(x^2\) et \(\cos x\) sont des fonctions paires, si l'équation a une racine \(x_0\) , elle aura également une racine \(-x_0\) .
En effet, soit \(x_0\) une racine, c'est-à-dire l'égalité \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) droite. Remplaçons \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Ainsi, si \(x_0\ne 0\) , alors l'équation aura déjà au moins deux racines. Par conséquent, \(x_0=0\) . Alors:

Nous avons reçu deux valeurs pour le paramètre \(a\) . Notez que nous avons utilisé le fait que \(x=0\) est exactement la racine de l’équation d’origine. Mais nous n’avons jamais utilisé le fait qu’il est le seul. Par conséquent, vous devez remplacer les valeurs résultantes du paramètre \(a\) dans l'équation d'origine et vérifier pour quel \(a\) spécifique la racine \(x=0\) sera vraiment unique.

1) Si \(a=0\) , alors l'équation prendra la forme \(2x^2=0\) . Évidemment, cette équation n’a qu’une seule racine \(x=0\) . La valeur \(a=0\) nous convient donc.

2) Si \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , alors l'équation prendra la forme \ Réécrivons l'équation sous la forme \ Parce que \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), Que \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Par conséquent, les valeurs du côté droit de l'équation (*) appartiennent au segment \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Puisque \(x^2\geqslant 0\) , alors côté gauche l'équation (*) est supérieure ou égale à \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Ainsi, l'égalité (*) ne peut être vraie que lorsque les deux côtés de l'équation sont égaux à \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Et cela signifie que \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] La valeur \(a=-\mathrm(tg)\,1\) nous convient donc.

Répondre:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Tâche 2 #3923

Niveau de tâche : Égal à l'examen d'État unifié

Trouver toutes les valeurs du paramètre \(a\) , pour chacune desquelles le graphique de la fonction \

symétrique par rapport à l'origine.

Si le graphique d'une fonction est symétrique par rapport à l'origine, alors une telle fonction est impaire, c'est-à-dire que \(f(-x)=-f(x)\) est valable pour tout \(x\) du domaine de définition de la fonction. Ainsi, il est nécessaire de trouver les valeurs de paramètres pour lesquelles \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aligné)\]

La dernière équation doit être satisfaite pour tout \(x\) du domaine de \(f(x)\), donc, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Répondre:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Tâche 3 #3069

Niveau de tâche : Égal à l'examen d'État unifié

Trouver toutes les valeurs du paramètre \(a\) , pour chacune desquelles l'équation \ a 4 solutions, où \(f\) est une fonction périodique paire de période \(T=\dfrac(16)3\) défini sur toute la droite numérique, et \(f(x)=ax^2\) pour \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Tâche des abonnés)

Puisque \(f(x)\) est une fonction paire, son graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, donc lorsque \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Ainsi, quand \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), et c'est un segment de longueur \(\dfrac(16)3\) , fonction \(f(x)=ax^2\) .

1) Soit \(a>0\) . Alors le graphique de la fonction \(f(x)\) ressemblera à ceci :

Ensuite, pour que l'équation ait 4 solutions, il faut que le graphe \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) passe par le point \(A\) :

Ainsi, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(rassemblé)\begin(aligné) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(aligné)\end(rassemblé)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(rassemblé)\begin(aligné) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligné) \end( rassemblé)\droite.\] Puisque \(a>0\) , alors \(a=\dfrac(18)(23)\) convient.

2) Soit \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:

Il faut que le graphe \(g(x)\) passe par le point \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(rassemblé)\begin(aligné) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligné) \end(rassemblé)\right.\] Depuis un<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Le cas où \(a=0\) ne convient pas, puisque alors \(f(x)=0\) pour tout \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) et le l'équation n'aura qu'une seule racine.

Répondre:

\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)

Tâche 4 #3072

Niveau de tâche : Égal à l'examen d'État unifié

Trouver toutes les valeurs de \(a\) , pour chacune desquelles l'équation \

a au moins une racine.

(Tâche des abonnés)

Réécrivons l'équation sous la forme \ et considérons deux fonctions : \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) et \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
La fonction \(g(x)\) est paire et a un point minimum \(x=0\) (et \(g(0)=49\) ).
La fonction \(f(x)\) pour \(x>0\) est décroissante, et pour \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
En effet, lorsque \(x>0\) le deuxième module s'ouvrira positivement (\(|x|=x\) ), donc, quelle que soit la manière dont le premier module s'ouvrira, \(f(x)\) sera égal à \( kx+A\) , où \(A\) est l'expression de \(a\) et \(k\) est égal à \(-9\) ou \(-3\) . Quand \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Trouvons la valeur de \(f\) au point maximum : \

Pour que l'équation ait au moins une solution, il faut que les graphiques des fonctions \(f\) et \(g\) aient au moins un point d'intersection. Il vous faut donc : \ \\]

Répondre:

\(a\in \(-7\)\cup\)

Tâche 5 #3912

Niveau de tâche : Égal à l'examen d'État unifié

Trouver toutes les valeurs du paramètre \(a\) , pour chacune desquelles l'équation \

a six solutions différentes.

Faisons le remplacement \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . L’équation prendra alors la forme \ Nous écrirons progressivement les conditions dans lesquelles l'équation originale aura six solutions.
Notez que l'équation quadratique \((*)\) peut avoir un maximum de deux solutions. Toute équation cubique \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) ne peut pas avoir plus de trois solutions. Donc, si l'équation \((*)\) a deux solutions différentes (positives !, puisque \(t\) doit être supérieur à zéro) \(t_1\) et \(t_2\) , alors, en faisant l'inverse substitution, on obtient : \[\left[\begin(rassemblé)\begin(aligné) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(aligné)\end(rassemblé)\right.\] Puisque tout nombre positif peut être représenté par \(\sqrt2\) dans une certaine mesure, par exemple, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), alors la première équation de l'ensemble sera réécrite sous la forme \ Comme nous l'avons déjà dit, toute équation cubique n'a pas plus de trois solutions, par conséquent, chaque équation de l'ensemble n'aura pas plus de trois solutions. Cela signifie que l'ensemble complet n'aura pas plus de six solutions.
Cela signifie que pour que l'équation originale ait six solutions, l'équation quadratique \((*)\) doit avoir deux solutions différentes, et chaque équation cubique résultante (de l'ensemble) doit avoir trois solutions différentes (et non une seule solution de une équation doit coïncider avec n'importe laquelle - par la décision de la seconde !)
Évidemment, si l’équation quadratique \((*)\) a une solution, alors nous n’obtiendrons pas six solutions à l’équation d’origine.

Ainsi, le plan de solution devient clair. Notons point par point les conditions à remplir.

1) Pour que l'équation \((*)\) ait deux solutions différentes, il faut que son discriminant soit positif : \

2) Il faut aussi que les deux racines soient positives (puisque \(t>0\) ). Si le produit de deux racines est positif et que leur somme est positive, alors les racines elles-mêmes seront positives. Il vous faut donc : \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Ainsi, nous nous sommes déjà dotés de deux racines positives différentes \(t_1\) et \(t_2\) .

3) Regardons cette équation \ Pour quoi \(t\) aura-t-il trois solutions différentes ?
Considérons la fonction \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Peut être factorisé : \ Par conséquent, ses zéros sont : \(x=-1;2\) .
Si nous trouvons la dérivée \(f"(x)=3x^2-6x\) , alors nous obtenons deux points extremum \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Le graphique ressemble donc à ceci :

On voit que toute ligne horizontale \(y=k\) , où \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) avait trois solutions différentes, il faut que \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Ainsi, il vous faut : \[\begin(cas) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Notons aussi immédiatement que si les nombres \(t_1\) et \(t_2\) sont différents, alors les nombres \(\log_(\sqrt2)t_1\) et \(\log_(\sqrt2)t_2\) seront différent, ce qui signifie que les équations \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) Et \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) aura des racines différentes.
Le système \((**)\) peut être réécrit comme suit : \[\begin(cas) 1

Ainsi, nous avons déterminé que les deux racines de l’équation \((*)\) doivent se situer dans l’intervalle \((1;4)\) . Comment écrire cette condition ?
Nous n’écrirons pas explicitement les racines.
Considérons la fonction \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Son graphique est une parabole à branches ascendantes, qui possède deux points d'intersection avec l'axe des x (nous avons noté cette condition au paragraphe 1)). À quoi doit ressembler son graphique pour que les points d'intersection avec l'axe des x soient dans l'intervalle \((1;4)\) ? Donc:

Premièrement, les valeurs \(g(1)\) et \(g(4)\) de la fonction aux points \(1\) et \(4\) doivent être positives, et deuxièmement, le sommet de la la parabole \(t_0\ ) doit également être dans l'intervalle \((1;4)\) . On peut donc écrire le système : \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) a toujours au moins une racine \(x=0\) . Cela signifie que pour remplir les conditions du problème, il faut que l’équation \

avait quatre racines différentes, différentes de zéro, représentant, avec \(x=0\), une progression arithmétique.

Notez que la fonction \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) est paire, ce qui signifie que si \(x_0\) est la racine de l'équation \( (*)\ ) , alors \(-x_0\) sera également sa racine. Il faut alors que les racines de cette équation soient des nombres ordonnés par ordre croissant : \(-2d, -d, d, 2d\) (donc \(d>0\)). C'est alors que ces cinq nombres formeront une progression arithmétique (avec la différence \(d\)).

Pour que ces racines soient les nombres \(-2d, -d, d, 2d\) , il faut que les nombres \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) soient les racines de l'équation \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Alors, d’après le théorème de Vieta :

Réécrivons l'équation sous la forme \ et considérons deux fonctions : \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) et \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
La fonction \(g(x)\) a un point maximum \(x=0\) (et \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Dérivée nulle : \(x=0\) . Quand \(x<0\) имеем: \(g">0\) , pour \(x>0\) : \(g"<0\) .
La fonction \(f(x)\) pour \(x>0\) est croissante, et pour \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
En effet, lorsque \(x>0\) le premier module s'ouvrira positivement (\(|x|=x\)), donc, quelle que soit la façon dont le deuxième module s'ouvrira, \(f(x)\) sera égal à \( kx+A\) , où \(A\) est l'expression de \(a\) et \(k\) est égal à \(13-10=3\) ou \(13+10 =23\) . Quand \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Trouvons la valeur de \(f\) au point minimum : \

Pour que l'équation ait au moins une solution, il faut que les graphiques des fonctions \(f\) et \(g\) aient au moins un point d'intersection. Il vous faut donc : \ En résolvant cet ensemble de systèmes, nous obtenons la réponse : \\]

Répondre:

\(a\in \(-2\)\cup\)

La régularité et l'impair d'une fonction sont l'une de ses principales propriétés, et la parité occupe une part impressionnante du cours de mathématiques à l'école. Il détermine en grande partie le comportement de la fonction et facilite grandement la construction du graphe correspondant.

Déterminons la parité de la fonction. D'une manière générale, la fonction étudiée est considérée même si pour des valeurs opposées de la variable indépendante (x) située dans son domaine de définition, les valeurs correspondantes de y (fonction) s'avèrent égales.

Donnons une définition plus stricte. Considérons une fonction f (x), qui est définie dans le domaine D. Ce sera même si pour tout point x situé dans le domaine de définition :

-x (point opposé) entre également dans cette portée,

f(-x) = f(x).

De la définition ci-dessus découle la condition nécessaire au domaine de définition d'une telle fonction, à savoir la symétrie par rapport au point O, qui est l'origine des coordonnées, car si un point b est contenu dans le domaine de définition d'un pair fonction, alors le point correspondant b se trouve également dans ce domaine. De ce qui précède découle donc la conclusion : la fonction paire a une forme symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (Oy).

Comment déterminer la parité d’une fonction en pratique ?

Soit spécifié en utilisant la formule h(x)=11^x+11^(-x). En suivant l'algorithme qui découle directement de la définition, nous examinons d'abord son domaine de définition. Évidemment, il est défini pour toutes les valeurs de l'argument, c'est-à-dire que la première condition est satisfaite.

L'étape suivante consiste à remplacer l'argument (x) par la valeur opposée (-x).
On a:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Puisque l'addition satisfait la loi commutative (commutative), il est évident que h(-x) = h(x) et la dépendance fonctionnelle donnée est paire.

Vérifions la parité de la fonction h(x)=11^x-11^(-x). En suivant le même algorithme, nous obtenons que h(-x) = 11^(-x) -11^x. En enlevant le moins, au final nous avons
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Donc h(x) est impair.

D'ailleurs, il convient de rappeler qu'il existe des fonctions qui ne peuvent être classées selon ces critères ; elles ne sont appelées ni paires ni impaires.

Même les fonctions ont un certain nombre de propriétés intéressantes :

suite à l'ajout de fonctions similaires, ils en obtiennent une paire ;
en soustrayant de telles fonctions, on obtient une fonction paire ;
même, aussi même;
en multipliant deux de ces fonctions, on en obtient une paire ;
en multipliant les fonctions impaires et paires, on obtient une fonction impaire ;
en divisant les fonctions impaires et paires, on obtient une fonction impaire ;
la dérivée d'une telle fonction est impaire ;
Si vous mettez au carré une fonction impaire, vous obtenez une fonction paire.

La parité d'une fonction peut être utilisée pour résoudre des équations.

Pour résoudre une équation comme g(x) = 0, où le côté gauche de l'équation est une fonction paire, il suffira amplement de trouver ses solutions pour des valeurs non négatives de la variable. Les racines résultantes de l'équation doivent être combinées avec les nombres opposés. L'un d'eux est soumis à vérification.

Ceci est également utilisé avec succès pour résoudre des problèmes non standard avec un paramètre.

Par exemple, existe-t-il une valeur du paramètre a pour laquelle l'équation 2x^6-x^4-ax^2=1 aura trois racines ?

Si nous prenons en compte le fait que la variable entre dans l'équation avec des puissances paires, alors il est clair que remplacer x par - x ne changera pas l'équation donnée. Il s’ensuit que si un certain nombre est sa racine, alors le nombre opposé est également la racine. La conclusion est évidente : les racines d'une équation différentes de zéro sont incluses dans l'ensemble de ses solutions « par paires ».

Il est clair que le nombre lui-même n'est pas 0, c'est-à-dire que le nombre de racines d'une telle équation ne peut être que pair et, bien entendu, pour toute valeur du paramètre, il ne peut pas y avoir trois racines.

Mais le nombre de racines de l'équation 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 peut être impair, et pour n'importe quelle valeur du paramètre. En effet, il est facile de vérifier que l’ensemble des racines d’une équation donnée contient des solutions « par paires ». Vérifions si 0 est une racine. Lorsque nous le substituons dans l’équation, nous obtenons 2=2. Ainsi, en plus des « paires », 0 est aussi une racine, ce qui prouve leur nombre impair.

Pour ce faire, utilisez du papier millimétré ou une calculatrice graphique. Sélectionnez n'importe quel nombre de valeurs de variables indépendantes x (style d'affichage x) et branchez-les dans la fonction pour calculer les valeurs de la variable dépendante y (style d'affichage y). Tracez les coordonnées trouvées des points sur le plan de coordonnées, puis connectez ces points pour créer un graphique de la fonction.

Remplacez les valeurs numériques positives dans la fonction x (style d'affichage x) et les valeurs numériques négatives correspondantes. Par exemple, étant donné la fonction . Remplacez-y les valeurs suivantes x (style d'affichage x):
- f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3) (\displaystyle (1,3)).
- f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). Nous avons un point avec des coordonnées (2 , 9) (\style d'affichage (2,9)).
- f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3). Nous avons un point avec des coordonnées (− 1 , 3) (\displaystyle (-1,3)).
- f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9). Nous avons un point avec des coordonnées (− 2 , 9) (\displaystyle (-2,9)).

Vérifiez si le graphique de la fonction est symétrique par rapport à l'axe Y. La symétrie signifie une image miroir du graphique par rapport à l'ordonnée. Si la partie du graphique à droite de l'axe Y (valeurs positives de la variable indépendante) est la même que la partie du graphique à gauche de l'axe Y (valeurs négatives de la variable indépendante ), le graphique est symétrique par rapport à l'axe Y. Si la fonction est symétrique par rapport à l'axe Y, la fonction est paire.

Vous pouvez vérifier la symétrie du graphique à l'aide de points individuels. Si la valeur y (style d'affichage y) x (style d'affichage x), correspond à la valeur y (style d'affichage y), ce qui correspond à la valeur − x (\style d'affichage -x), la fonction est paire. Dans notre exemple avec la fonction f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) nous avons reçu les coordonnées suivantes des points :
- (1,3) et (-1,3)
- (2,9) et (-2,9)
Notez que pour x=1 et x=-1, la variable dépendante est y=3, et pour x=2 et x=-2, la variable dépendante est y=9. La fonction est donc paire. En fait, pour déterminer avec précision la forme de la fonction, vous devez considérer plus de deux points, mais la méthode décrite est une bonne approximation.

Vérifiez si le graphique de la fonction est symétrique par rapport à l'origine. L'origine est le point de coordonnées (0,0). La symétrie par rapport à l'origine signifie qu'une valeur positive y (style d'affichage y)(avec une valeur positive x (style d'affichage x)) correspond à une valeur négative y (style d'affichage y)(avec une valeur négative x (style d'affichage x)), et vice versa. Les fonctions impaires ont une symétrie par rapport à l'origine.

Si vous remplacez plusieurs valeurs positives et négatives correspondantes dans la fonction x (style d'affichage x), valeurs y (style d'affichage y) sera différent en signe. Par exemple, étant donné la fonction f (x) = x 3 + x (\displaystyle f(x)=x^(3)+x). Remplacez-y plusieurs valeurs x (style d'affichage x):
- f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\displaystyle f(1)=1^(3)+1=1+1=2). Nous avons un point avec les coordonnées (1,2).
- f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(3)+(-1)=-1- 1=-2)
- f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(3)+2=8+2=10)
- f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(3)+(-2)=-8- 2=-10). Nous avons reçu un point avec les coordonnées (-2,-10).
Ainsi, f(x) = -f(-x), c'est-à-dire que la fonction est impaire.

Vérifiez si le graphique de la fonction a une symétrie. Le dernier type de fonction est une fonction dont le graphique n'a pas de symétrie, c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'image miroir à la fois par rapport à l'axe des ordonnées et par rapport à l'origine. Par exemple, étant donné la fonction .

Remplacez plusieurs valeurs positives et négatives correspondantes dans la fonction x (style d'affichage x):
- f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (\displaystyle f(1)=1^(2)+2(1)+1=1+2+1=4 ). Nous avons un point avec les coordonnées (1,4).
- f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(2)+2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2). Nous avons un point avec les coordonnées (-1,-2).
- f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(2)+2(2)+2=4+4+2=10 ). Nous avons un point avec les coordonnées (2,10).
- f (− 2) = (− 2) 2 + 2 (− 2) + (− 2) = 4 − 4 − 2 = − 2 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(2)+2 (-2)+(-2)=4-4-2=-2). Nous avons un point avec les coordonnées (2,-2).
D’après les résultats obtenus, il n’y a pas de symétrie. Valeurs y (style d'affichage y) pour des valeurs opposées x (style d'affichage x) ne coïncident pas et ne sont pas opposés. La fonction n’est donc ni paire ni impaire.
Veuillez noter que la fonction f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) peut s'écrire ainsi : f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Lorsqu'elle est écrite sous cette forme, la fonction apparaît paire car il y a un exposant pair. Mais cet exemple prouve que le type de fonction ne peut pas être déterminé rapidement si la variable indépendante est mise entre parenthèses. Dans ce cas, vous devez ouvrir les parenthèses et analyser les exposants obtenus.

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Attention! Les aperçus des diapositives sont fournis à titre informatif uniquement et peuvent ne pas représenter toutes les fonctionnalités de la présentation. Si ce travail vous intéresse, veuillez télécharger la version complète.

Objectifs:

formuler le concept de fonctions paires et impaires, enseigner la capacité de déterminer et d'utiliser ces propriétés lors de l'étude de fonctions et de la construction de graphiques ;
développer l’activité créative des élèves, leur pensée logique, leur capacité à comparer et à généraliser ;
cultiver le travail acharné et la culture mathématique ; développer des compétences en communication .

Équipement: installation multimédia, tableau blanc interactif, polycopiés.

Formes de travail : frontal et groupe avec des éléments d'activités de recherche et de recherche.

Sources d'informations:

1. Algèbre 9e classe A.G. Mordkovitch. Cahier de texte.
2. Algèbre 9e année A.G. Mordkovitch. Livre de problèmes.
3. Algèbre 9e année. Tâches pour l'apprentissage et le développement des élèves. Belenkova E. Yu. Lebedintseva E.A.

PENDANT LES COURS

1. Moment organisationnel

Fixer des buts et des objectifs pour la leçon.

2. Vérification des devoirs

N° 10.17 (livre de problèmes de 9e année. A.G. Mordkovich).

UN) à = F(X), F(X) =

b) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;

c) 1. D( F) = [– 2; + ∞)
2.E( F) = [– 3; + ∞)
3. F(X) = 0 à X ~ 0,4
4. F(X) >0 à X > 0,4 ; F(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. La fonction augmente lorsque X € [– 2; + ∞)
6. La fonction est limitée par le bas.
7. à naïm = – 3, à Naib n'existe pas
8. La fonction est continue.

(Avez-vous utilisé un algorithme d'exploration de fonctions ?) Glisser.

2. Vérifions le tableau qui vous a été demandé dans la diapositive.

Remplissez le tableau
	Domaine	Zéros de fonction	Intervalles de constance des signes		Coordonnées des points d'intersection du graphique avec Oy
	Domaine	Zéros de fonction			Coordonnées des points d'intersection du graphique avec Oy
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞ ; –5) U U(2;∞)	x € (–5 ; 2)

3. Actualisation des connaissances

– Les fonctions sont données.
– Préciser le périmètre de définition de chaque fonction.
– Comparez la valeur de chaque fonction pour chaque paire de valeurs d'argument : 1 et – 1 ; 2 et – 2.
– Pour laquelle de ces fonctions dans le domaine de définition les égalités sont vraies F(– X) = F(X), F(– X) = – F(X)? (entrez les données obtenues dans le tableau) Glisser

		F(1) et F(– 1)	F(2) et F(– 2)	graphique	F(– X) = –F(X)	F(– X) = F(X)
1. F(X) =
2. F(X) = X 3
3. F(X) = \| X \|
4.F(X) = 2X – 3
5. F(X) =	X ≠ 0
6. F(X)=	X > –1		et non défini

4. Nouveau matériel

– Réalisation ce travail, les gars, nous avons identifié une autre propriété de la fonction, qui ne vous est pas familière, mais non moins importante que les autres - c'est la régularité et l'étrangeté de la fonction. Notez le sujet de la leçon : « Fonctions paires et impaires », notre tâche est d'apprendre à déterminer la régularité et l'impair d'une fonction, de découvrir l'importance de cette propriété dans l'étude des fonctions et le tracé de graphiques.
Alors, retrouvons les définitions dans le manuel et lisons (p. 110) . Glisser

Déf. 1 Fonction à = F (X), défini sur l'ensemble X est appelé même, si pour une valeur XЄ X est exécuté égalité f(–x)= f(x). Donne des exemples.

Déf. 2 Fonction y = f(x), défini sur l'ensemble X est appelé impair, si pour une valeur XЄ X l'égalité f(–х)= –f(х) est vraie. Donne des exemples.

Où avons-nous rencontré les termes « pair » et « impair » ?
Selon vous, laquelle de ces fonctions sera paire ? Pourquoi? Lesquels sont étranges ? Pourquoi?
Pour toute fonction du formulaire à= xn, Où n– un entier, on peut affirmer que la fonction est impaire lorsque n– impair et la fonction est paire quand n- même.
– Afficher les fonctions à= et à = 2X– 3 ne sont ni pairs ni impairs, car les égalités ne sont pas satisfaites F(– X) = – F(X), F(– X) = F(X)

L’étude du caractère pair ou impair d’une fonction est appelée étude de la parité d’une fonction. Glisser

Dans les définitions 1 et 2, nous parlions des valeurs de la fonction en x et – x, on suppose donc que la fonction est également définie à la valeur X, et à – X.

Déf 3. Si un ensemble numérique, avec chacun de ses éléments x, contient également l'élément opposé –x, alors l'ensemble X appelé un ensemble symétrique.

Exemples:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) sont des ensembles symétriques, et , [–5;4] sont asymétriques.

– U même les fonctions le domaine de définition est-il un ensemble symétrique ? Les étranges ?
– Si D( F) est un ensemble asymétrique, alors quelle est la fonction ?
– Ainsi, si la fonction à = F(X) – pair ou impair, alors son domaine de définition est D( F) est un ensemble symétrique. L'affirmation inverse est-elle vraie : si le domaine de définition d'une fonction est un ensemble symétrique, alors est-il pair ou impair ?
– Cela signifie que la présence d’un ensemble symétrique du domaine de définition est une condition nécessaire, mais pas suffisante.
– Alors, comment examiner une fonction pour la parité ? Essayons de créer un algorithme.

Glisser

Algorithme d'étude d'une fonction pour la parité

1. Déterminer si le domaine de définition de la fonction est symétrique. Sinon, la fonction n’est ni paire ni impaire. Si oui, passez à l’étape 2 de l’algorithme.

2. Écrivez une expression pour F(–X).

3. Comparez F(–X).Et F(X):

Si F(–X).= F(X), alors la fonction est paire ;
Si F(–X).= – F(X), alors la fonction est impaire ;
Si F(–X) ≠ F(X) Et F(–X) ≠ –F(X), alors la fonction n’est ni paire ni impaire.

Exemples:

Examiner la fonction a) pour la parité à= x5 + ; b) à= ; V) à= .

Solution.

une) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), ensemble symétrique.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => fonction h(x)= x 5 + impair.

b) y =,

à = F(X), D(f) = (–∞; –9) ? (–9; +∞), un ensemble asymétrique, ce qui signifie que la fonction n'est ni paire ni impaire.

V) F(X) = , y = f (x),

1) ré( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Option 2

1. L'ensemble donné est-il symétrique : a) [–2;2] ; b) (∞; 0], (0; 7) ?

UN); b) y = x (5 – x 2). 2. Examinez la fonction de parité :

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. Sur la fig. un graphique a été construit à = F(X), pour tous X, satisfaisant la condition X? 0.
Représenter graphiquement la fonction à = F(X), Si à = F(X) est une fonction paire.

3. Sur la fig. un graphique a été construit à = F(X), pour tout x satisfaisant la condition x ? 0.
Représenter graphiquement la fonction à = F(X), Si à = F(X) est une fonction étrange.

Contrôle mutuel glisser.

6. Devoirs : №11.11, 11.21,11.22;

Preuve de la signification géométrique de la propriété de parité.

***(Attribution de l'option Examen d'État unifié).

1. La fonction impaire y = f(x) est définie sur toute la droite numérique. Pour toute valeur non négative de la variable x, la valeur de cette fonction coïncide avec la valeur de la fonction g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X- 7). Trouver la valeur de la fonction h( X) = à X = 3.

7. Résumé

Si la fonction est paire ou impaire. Fonctions paires et impaires

Lire aussi

Graphique d'une fonction paire

Graphique d'une fonction impaire