Graphique X 1 5. Fonctions et graphiques
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Leçon sur le thème : "Graphique et propriétés de la fonction $y=x^3$. Exemples de tracé de graphiques"
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Propriétés de la fonction $y=x^3$
Décrivons les propriétés de cette fonction :
1. x est une variable indépendante, y est une variable dépendante.
2. Domaine de définition : il est évident que pour toute valeur de l'argument (x) la valeur de la fonction (y) peut être calculée. En conséquence, le domaine de définition de cette fonction est la droite numérique entière.
3. Plage de valeurs : y peut être n'importe quoi. En conséquence, la plage de valeurs correspond également à la droite numérique entière.
4. Si x= 0, alors y= 0.
Graphique de la fonction $y=x^3$
1. Créons une table de valeurs :
2. Pour des valeurs positives de x, le graphique de la fonction $y=x^3$ est très similaire à une parabole dont les branches sont plus « pressées » vers l'axe OY.
3. Puisque pour les valeurs négatives de x la fonction $y=x^3$ a des valeurs opposées, le graphique de la fonction est symétrique par rapport à l'origine.
Marquons maintenant les points sur le plan de coordonnées et construisons un graphique (voir Fig. 1).
Cette courbe s'appelle une parabole cubique.
Exemples
I. Sur un petit bateau, c'était complètement fini eau douce. Il est nécessaire d'apporter une quantité suffisante d'eau de la ville. L'eau est commandée à l'avance et payée au cube plein, même si vous la remplissez un peu moins. Combien de cubes dois-je commander pour ne pas payer trop cher un cube supplémentaire et remplir complètement le réservoir ? On sait que le réservoir a la même longueur, largeur et hauteur, qui sont égales à 1,5 m. Résolvons ce problème sans effectuer de calculs.
Solution:
1. Construisons un graphique de la fonction $y=x^3$.
2. Trouvons un point Une coordonnée x, qui est égale à 1,5. On voit que la coordonnée de la fonction est comprise entre les valeurs 3 et 4 (voir Fig. 2). Il faut donc commander 4 cubes.
Choisissons un système de coordonnées rectangulaires sur le plan et traçons les valeurs de l'argument sur l'axe des abscisses X, et en ordonnée - les valeurs de la fonction y = f(x).
Graphique de fonction y = f(x) est l'ensemble de tous les points dont les abscisses appartiennent au domaine de définition de la fonction, et les ordonnées sont égales aux valeurs correspondantes de la fonction.
Autrement dit, le graphe de la fonction y = f (x) est l'ensemble de tous les points du plan, coordonnées X, à qui satisfont la relation y = f(x).
Sur la fig. 45 et 46 montrent des graphiques de fonctions y = 2x + 1 Et y = x 2 - 2x.
À proprement parler, il faut distinguer le graphique d'une fonction (dont la définition mathématique exacte a été donnée ci-dessus) et une courbe tracée, qui ne donne toujours qu'une esquisse plus ou moins précise du graphique (et même alors, en règle générale, pas le graphe entier, mais seulement sa partie située dans les parties finales du plan). Cependant, dans ce qui suit, nous dirons généralement « graphique » plutôt que « croquis graphique ».
À l’aide d’un graphique, vous pouvez trouver la valeur d’une fonction en un point. À savoir, si le point x = un appartient au domaine de définition de la fonction y = f(x), puis pour trouver le numéro fa)(c'est-à-dire les valeurs de la fonction au point x = un) tu devrais faire ça. Il faut passer par le point d'abscisse x = un tracer une ligne droite parallèle à l'axe des ordonnées ; cette ligne coupera le graphique de la fonction y = f(x)à un moment donné ; l'ordonnée de ce point sera, en vertu de la définition du graphique, égale à fa)(Fig. 47).
Par exemple, pour la fonction f(x) = x2 - 2x en utilisant le graphique (Fig. 46) on trouve f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, etc.
Un graphique de fonction illustre clairement le comportement et les propriétés d'une fonction. Par exemple, en considérant la Fig. 46 il est clair que la fonction y = x 2 - 2x prend des valeurs positives quand X< 0 et à x > 2, négatif - à 0< x < 2; plus petite valeur fonction y = x 2 - 2x accepte à x = 1.
Pour représenter graphiquement une fonction f(x) il faut trouver tous les points de l'avion, les coordonnées X,à qui satisfont à l'équation y = f(x). Dans la plupart des cas, cela est impossible à faire, car il existe un nombre infini de tels points. Par conséquent, le graphique de la fonction est représenté approximativement - avec plus ou moins de précision. La plus simple est la méthode consistant à tracer un graphique utilisant plusieurs points. Cela consiste dans le fait que l’argument X donnez un nombre fini de valeurs - disons, x 1, x 2, x 3,..., x k et créez un tableau qui inclut les valeurs de fonction sélectionnées.
Le tableau ressemble à ceci :
Après avoir dressé un tel tableau, nous pouvons tracer plusieurs points sur le graphique de la fonction y = f(x). Ensuite, en reliant ces points par une ligne lisse, nous obtenons une vue approximative du graphique de la fonction y = f(x).
Il convient toutefois de noter que la méthode de tracé multipoint est très peu fiable. En fait, le comportement du graphe entre les points visés et son comportement en dehors du segment entre les points extrêmes pris restent inconnus.
Exemple 1. Pour représenter graphiquement une fonction y = f(x) quelqu'un a compilé un tableau de valeurs d'arguments et de fonctions :
Les cinq points correspondants sont représentés sur la Fig. 48.
Sur la base de l'emplacement de ces points, il a conclu que le graphique de la fonction est une ligne droite (représentée sur la figure 48 avec une ligne pointillée). Cette conclusion peut-elle être considérée comme fiable ? À moins de considérations supplémentaires pour étayer cette conclusion, elle peut difficilement être considérée comme fiable. fiable.
Pour étayer notre affirmation, considérons la fonction
.
Les calculs montrent que les valeurs de cette fonction aux points -2, -1, 0, 1, 2 sont exactement décrites par le tableau ci-dessus. Cependant, le graphique de cette fonction n'est pas du tout une ligne droite (il est représenté sur la Fig. 49). Un autre exemple serait la fonction y = x + l + sinπx ; ses significations sont également décrites dans le tableau ci-dessus.
Ces exemples montrent que dans sa forme « pure » la méthode de construction d'un graphe à plusieurs points n'est pas fiable. Par conséquent, pour tracer un graphique d’une fonction donnée, procédez généralement comme suit. Tout d'abord, les propriétés de cette fonction sont étudiées, à l'aide desquelles vous pouvez construire un croquis du graphique. Ensuite, en calculant les valeurs de la fonction en plusieurs points (dont le choix dépend des propriétés établies de la fonction), on trouve les points correspondants du graphe. Et enfin, une courbe est tracée passant par les points construits en utilisant les propriétés de cette fonction.
Nous examinerons plus tard certaines propriétés (les plus simples et les plus fréquemment utilisées) des fonctions utilisées pour trouver une esquisse graphique, mais nous examinerons maintenant certaines méthodes couramment utilisées pour construire des graphiques.
Graphique de la fonction y = |f(x)|.
Il est souvent nécessaire de tracer une fonction y = |f(x)|, où f(x) - pour cette fonction. Rappelons comment cela se fait. Par définition valeur absolue les nombres peuvent être écrits
Cela signifie que le graphique de la fonction y =|f(x)| peut être obtenu à partir du graphique, fonction y = f(x) comme suit : tous les points du graphique de la fonction y = f(x), dont les ordonnées sont non négatives, doivent rester inchangées ; de plus, au lieu des points du graphe de fonction y = f(x) ayant des coordonnées négatives, vous devez construire les points correspondants sur le graphique de la fonction y = -f(x)(c'est-à-dire une partie du graphique de la fonction
y = f(x), qui se trouve en dessous de l'axe X, doit être réfléchi symétriquement par rapport à l'axe X).
Exemple 2. Représenter graphiquement la fonction y = |x|.
Prenons le graphique de la fonction y = x(Fig. 50, a) et une partie de ce graphique à X< 0 (situé sous l'axe X) réfléchi symétriquement par rapport à l'axe X. En conséquence, nous obtenons un graphique de la fonction y = |x|(Fig. 50, b).
Exemple 3. Représenter graphiquement la fonction y = |x 2 - 2x|.
Commençons par tracer la fonction y = x 2 - 2x. Le graphique de cette fonction est une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut, le sommet de la parabole a les coordonnées (1 ; -1), son graphique coupe l'axe des x aux points 0 et 2. Dans l'intervalle (0 ; 2) la fonction prend des valeurs négatives, donc cette partie du graphique est réfléchie symétriquement par rapport à l'axe des abscisses. La figure 51 montre le graphique de la fonction y = |x 2 -2x|, basé sur le graphique de la fonction y = x 2 - 2x
Graphique de la fonction y = f(x) + g(x)
Considérons le problème de la construction d'un graphique d'une fonction y = f(x) + g(x). si des graphiques de fonctions sont donnés y = f(x) Et y = g(x).
Notez que le domaine de définition de la fonction y = |f(x) + g(x)| est l'ensemble de toutes les valeurs de x pour lesquelles les deux fonctions y = f(x) et y = g(x) sont définies, c'est-à-dire ce domaine de définition est l'intersection des domaines de définition, fonctions f(x) et g(x).
Laissez les points (x 0 , y 1) Et (x 0, y 2) appartiennent respectivement aux graphes de fonctions y = f(x) Et y = g(x), c'est-à-dire y 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Alors le point (x0;. y1 + y2) appartient au graphe de la fonction y = f(x) + g(x)(pour f(x 0) + g(x 0) = oui 1 +y2),. et n'importe quel point du graphique de la fonction y = f(x) + g(x) peut être obtenu de cette façon. Par conséquent, le graphique de la fonction y = f(x) + g(x) peut être obtenu à partir de graphiques de fonctions y = f(x). Et y = g(x) en remplaçant chaque point ( x n, y 1) graphiques de fonctions y = f(x) point (x n, y 1 + y 2), Où y 2 = g(x n), c'est à dire en décalant chaque point ( x n, y 1) graphique de fonction y = f(x) le long de l'axe à par le montant oui 1 = g(x n). Dans ce cas, seuls ces points sont pris en compte X n pour lequel les deux fonctions sont définies y = f(x) Et y = g(x).
Cette méthode de tracé d'une fonction y = f(x) + g(x) est appelé addition de graphes de fonctions y = f(x) Et y = g(x)
Exemple 4. Sur la figure, un graphique de la fonction a été construit en utilisant la méthode d'addition de graphiques
y = x + sinx.
Lors du tracé d'une fonction y = x + sinx nous pensions que f(x) = x, UN g(x) = péchéx. Pour tracer le graphique de fonction, nous sélectionnons les points avec les abscisses -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Valeurs f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Calculons aux points sélectionnés et plaçons les résultats dans le tableau.
Dans l'âge d'or informatique peu de gens achèteront du papier millimétré et passeront des heures à dessiner une fonction ou un ensemble arbitraire de données, et pourquoi s'embêter avec un travail aussi fastidieux alors que vous pouvez tracer un graphique de fonction en ligne. De plus, compter des millions de valeurs d'expression pour un affichage correct est presque irréaliste et difficile, et malgré tous les efforts, le résultat sera une ligne brisée, pas une courbe. Parce que l'ordinateur est dans ce cas – assistant indispensable.
Qu'est-ce qu'un graphe de fonctions
Une fonction est une règle selon laquelle chaque élément d'un ensemble est associé à un élément d'un autre ensemble, par exemple, l'expression y = 2x + 1 établit une connexion entre les ensembles de toutes les valeurs de x et toutes les valeurs de y, c’est donc une fonction. En conséquence, le graphique d’une fonction sera l’ensemble des points dont les coordonnées satisfont à l’expression donnée.
Sur la figure, nous voyons le graphique de la fonction y = x. C'est une ligne droite et chacun de ses points a ses propres coordonnées sur l'axe X et sur l'axe Oui. Sur la base de la définition, si nous substituons la coordonnée Xà un moment donné équation donnée, alors on obtient la coordonnée de ce point sur l'axe Oui.
Services en ligne pour tracer des graphiques de fonctions
Examinons plusieurs services populaires et meilleurs qui vous permettent de dessiner rapidement un graphique d'une fonction.
La liste s'ouvre avec le service le plus courant qui vous permet de tracer un graphique de fonctions à l'aide d'une équation en ligne. Umath ne contient que outils nécessaires, comme la mise à l'échelle, le déplacement le long du plan de coordonnées et l'affichage des coordonnées du point pointé par la souris.
Instructions:
- Entrez votre équation dans le champ après le signe "=".
- Cliquez sur le bouton "Construire un graphique".
Comme vous pouvez le constater, tout est extrêmement simple et accessible ; la syntaxe d'écriture de fonctions mathématiques complexes : à module, trigonométrique, exponentielle - est donnée juste en dessous du graphique. De plus, si nécessaire, vous pouvez définir l'équation à l'aide de la méthode paramétrique ou créer des graphiques dans le système de coordonnées polaires.
Yotx possède toutes les fonctions du service précédent, mais il contient en même temps des innovations aussi intéressantes que la création d'un intervalle d'affichage des fonctions, la possibilité de créer un graphique à l'aide de données tabulaires et également d'afficher un tableau avec des solutions entières.
Instructions:
- Sélectionner méthode nécessaire planifier les affectations.
- Entrez votre équation.
- Réglez l'intervalle.
- Cliquez sur le bouton "Construire".
Pour ceux qui sont trop paresseux pour savoir comment noter certaines fonctions, ce poste propose un service avec la possibilité de sélectionner celle dont vous avez besoin dans une liste en un seul clic de souris.
Instructions:
- Recherchez la fonction dont vous avez besoin dans la liste.
- Clic gauche dessus
- Si nécessaire, saisissez les coefficients dans le champ "Fonction:".
- Cliquez sur le bouton "Construire".
En termes de visualisation, il est possible de changer la couleur du graphique, ainsi que de le masquer ou de le supprimer complètement.
Desmos est de loin le service le plus sophistiqué pour construire des équations en ligne. En déplaçant le curseur avec le bouton gauche de la souris enfoncé le long du graphique, vous pouvez visualiser en détail toutes les solutions de l'équation avec une précision de 0,001. Le clavier intégré vous permet d'écrire rapidement des puissances et des fractions. L'avantage le plus important est la possibilité d'écrire l'équation dans n'importe quel état sans conduire à la forme : y = f(x).
Instructions:
- Dans la colonne de gauche, faites un clic droit sur une ligne vide.
- Dans le coin inférieur gauche, cliquez sur l'icône du clavier.
- Dans le panneau qui apparaît, saisissez l'équation souhaitée (pour écrire les noms des fonctions, rendez-vous dans la section « A B C »).
- Le planning est construit en temps réel.
La visualisation est tout simplement parfaite, adaptative, force est de constater que les designers ont travaillé sur l'application. Du côté positif, on peut noter l'énorme abondance de possibilités, pour le mastering dont vous pouvez voir des exemples dans le menu dans le coin supérieur gauche.
Il existe de nombreux sites permettant de créer des graphiques de fonctions, mais chacun est libre de choisir lui-même en fonction des fonctionnalités requises et de ses préférences personnelles. La liste des meilleurs a été dressée de manière à satisfaire les exigences de tout mathématicien, jeune et vieux. Bonne chance à vous pour comprendre la « reine des sciences » !
La construction de graphiques de fonctions contenant des modules pose généralement des difficultés considérables aux écoliers. Cependant, tout n'est pas si mal. Il suffit de mémoriser quelques algorithmes pour résoudre de tels problèmes, et vous pouvez facilement créer un graphique même pour les plus apparemment fonction complexe. Voyons de quel type d'algorithmes il s'agit.
1. Tracer un graphique de la fonction y = |f(x)|
Notez que l'ensemble des valeurs de fonction y = |f(x)| : y ≥ 0. Ainsi, les graphiques de telles fonctions sont toujours situés entièrement dans le demi-plan supérieur.
Tracer un graphique de la fonction y = |f(x)| se compose des quatre étapes simples suivantes.
1) Construisez soigneusement et soigneusement un graphique de la fonction y = f(x).
2) Laissez inchangés tous les points du graphique qui se trouvent au-dessus ou sur l'axe 0x.
3) Affichez la partie du graphique qui se situe sous l'axe 0x symétriquement par rapport à l'axe 0x.
Exemple 1. Tracez un graphique de la fonction y = |x 2 – 4x + 3|
1) On construit un graphe de la fonction y = x 2 – 4x + 3. Évidemment, le graphe de cette fonction est une parabole. Trouvons les coordonnées de tous les points d'intersection de la parabole avec les axes de coordonnées et les coordonnées du sommet de la parabole.
x2 – 4x + 3 = 0.
x1 = 3, x2 = 1.
Par conséquent, la parabole coupe l'axe 0x aux points (3, 0) et (1, 0).
y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.
Par conséquent, la parabole coupe l’axe 0y au point (0, 3).
Coordonnées du sommet de la parabole :
x dans = -(-4/2) = 2, y dans = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
Le point (2, -1) est donc le sommet de cette parabole.
Dessinez une parabole en utilisant les données obtenues (Fig.1)
2) La partie du graphique située en dessous de l'axe 0x est affichée symétriquement par rapport à l'axe 0x.
3) On obtient un graphique de la fonction originale ( riz. 2, représenté en pointillé).
2. Représenter graphiquement la fonction y = f(|x|)
Notez que les fonctions de la forme y = f(|x|) sont paires :
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Cela signifie que les graphiques de ces fonctions sont symétriques par rapport à l’axe 0y.
Tracer un graphique de la fonction y = f(|x|) consiste en la chaîne d'actions simple suivante.
1) Représentez graphiquement la fonction y = f(x).
2) Laissez la partie du graphique pour laquelle x ≥ 0, c'est-à-dire la partie du graphique située dans le demi-plan droit.
3) Afficher la partie du graphique spécifiée au point (2) symétriquement à l'axe 0y.
4) Comme graphique final, sélectionnez l'union des courbes obtenues aux points (2) et (3).
Exemple 2. Tracez un graphique de la fonction y = x 2 – 4 · |x| + 3
Puisque x 2 = |x| 2, alors la fonction originale peut être réécrite comme le formulaire suivant: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Nous pouvons maintenant appliquer l'algorithme proposé ci-dessus.
1) Nous construisons soigneusement et soigneusement un graphique de la fonction y = x 2 – 4 x + 3 (voir aussi riz. 1).
2) On laisse la partie du graphe pour laquelle x ≥ 0, c'est-à-dire la partie du graphe située dans le demi-plan droit.
3) Affichez le côté droit du graphique symétriquement à l'axe 0y.
(Fig.3).
Exemple 3. Tracez un graphique de la fonction y = log 2 |x|
Nous appliquons le schéma donné ci-dessus.
1) Construire un graphique de la fonction y = log 2 x (Fig.4).
3. Tracer la fonction y = |f(|x|)|
Notez que les fonctions de la forme y = |f(|x|)| sont également pairs. En effet, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), et par conséquent, leurs graphiques sont symétriques par rapport à l'axe 0y. L'ensemble des valeurs de telles fonctions : y ≥ 0. Cela signifie que les graphiques de ces fonctions sont entièrement situés dans le demi-plan supérieur.
Pour tracer la fonction y = |f(|x|)|, vous devez :
1) Construisez soigneusement un graphique de la fonction y = f(|x|).
2) Laissez inchangée la partie du graphique qui se trouve au-dessus ou sur l'axe 0x.
3) Afficher la partie du graphique située sous l'axe 0x symétriquement par rapport à l'axe 0x.
4) Comme graphique final, sélectionnez l'union des courbes obtenues aux points (2) et (3).
Exemple 4. Tracez un graphique de la fonction y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Notez que x 2 = |x| 2. Cela signifie qu'au lieu de la fonction originale y = -x 2 + 2|x| – 1
vous pouvez utiliser la fonction y = -|x| 2 + 2|x| – 1, puisque leurs graphiques coïncident.
On construit un graphe y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Pour cela nous utilisons l’algorithme 2.
a) Représentez graphiquement la fonction y = -x 2 + 2x – 1 (Fig.6).
b) On laisse la partie du graphique qui se situe dans le demi-plan droit.
c) Nous affichons la partie résultante du graphique symétriquement à l'axe 0y.
d) Le graphique résultant est représenté par la ligne pointillée sur la figure (Fig.7).
2) Il n'y a aucun point au-dessus de l'axe 0x ; nous laissons les points sur l'axe 0x inchangés.
3) La partie du graphique située en dessous de l'axe 0x est affichée symétriquement par rapport à 0x.
4) Le graphique résultant est représenté sur la figure avec une ligne pointillée (Fig.8).
Exemple 5. Représentez graphiquement la fonction y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Vous devez d’abord tracer la fonction y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Pour ce faire, nous revenons à l'algorithme 2.
a) Tracez soigneusement la fonction y = (2x – 4) / (x + 3) (Fig.9).
Notez que cette fonction est linéaire fractionnaire et que son graphique est une hyperbole. Pour tracer une courbe, vous devez d’abord trouver les asymptotes du graphique. Horizontal – y = 2/1 (le rapport des coefficients de x au numérateur et au dénominateur de la fraction), vertical – x = -3.
2) Nous laisserons inchangée la partie du graphique qui se trouve au-dessus de l’axe 0x ou sur celui-ci.
3) La partie du graphique située en dessous de l'axe 0x sera affichée symétriquement par rapport à 0x.
4) Le graphique final est présenté dans la figure (Fig.11).
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