Moyenne mobile pondérée. Série temporelle de lissage

§2.1. Principaux indicateurs de la dynamique des phénomènes économiques

Pour quantifier la dynamique des phénomènes, des indicateurs statistiques sont utilisés : augmentations absolues, taux de croissance, taux de croissance, et ils peuvent être divisés en chaîne, de base et moyenne.

Le calcul de ces indicateurs de dynamique repose sur une comparaison des niveaux des séries temporelles. Si la comparaison est effectuée avec le même niveau pris comme base de comparaison, alors ces indicateurs sont dits basiques. Si la comparaison est effectuée avec une base variable et que chaque niveau suivant est comparé au précédent, alors les indicateurs ainsi calculés sont appelés indicateurs de chaîne.

Augmentation absolue égal à la différence entre les deux niveaux comparés.

Le taux de croissance T caractérise le rapport des deux niveaux comparés de la série, exprimé en pourcentage.

Le taux de croissance K caractérise la croissance absolue en valeurs relatives. Le taux de croissance défini en % indique de combien de pour cent le niveau comparé a changé par rapport au niveau pris comme base de comparaison. Dans le tableau 2.1. des expressions sont données pour calculer les incréments de base et en chaîne, les taux de croissance, les taux de croissance. Les notations suivantes sont utilisées :

Tableau 2.1.

Indicateurs clés de dynamique

Pour obtenir des indicateurs généraux de la dynamique de développement, des valeurs moyennes sont déterminées : croissance absolue moyenne, taux de croissance moyens et d'incrémentation.

La description de la dynamique d'une série par la croissance moyenne correspond à sa représentation sous la forme d'une droite passant par deux points extrêmes. Dans ce cas, pour avoir une prévision avec une longueur d'avance, il suffit d'ajouter la valeur de l'augmentation absolue moyenne à la dernière observation.

(2.1.),

Où y n - valeur réelle au dernier nième point de la série ;

Estimation prédictive de la valeur du niveau au point n+1 ;

Valeur d'augmentation moyenne calculée pour les séries chronologiques .

Évidemment, cette approche pour obtenir une valeur prévisionnelle est correcte si la nature du développement est proche de la linéaire. Une telle nature uniforme du développement peut être indiquée par approximativement les mêmes valeurs d'augmentation absolue en chaîne.

L'utilisation du taux de croissance moyen (et du taux de croissance moyen) pour décrire la dynamique d'une série correspond à sa présentation sous la forme d'une courbe exponentielle ou exponentielle tracée par deux points extrêmes. Par conséquent, il est conseillé d'utiliser cet indicateur à titre général pour les processus dont la dynamique change à un taux de croissance approximativement constant. Dans ce cas, la valeur prévisionnelle pour i pas d'avance peut être obtenue à l'aide de la formule :

(2.2.),

où est l'estimation prévue de la valeur du niveau au point n+i ;

Valeur réelle au dernier nième point de la série ;

Taux de croissance moyen calculé pour la série (pas en termes de %).

Les inconvénients de la croissance moyenne et du taux de croissance moyen incluent le fait qu'ils ne prennent en compte que la valeur finale et niveaux d'entrée séries, excluent l’influence des niveaux intermédiaires. Cependant, ces indicateurs ont un champ d'application très large, ce qui s'explique par l'extrême simplicité de leur calcul. Elles peuvent être utilisées comme méthodes de prévision approximatives et les plus simples, précédant une analyse quantitative et qualitative plus approfondie.

§2.2. Lissage des séries chronologiques à l'aide d'une moyenne mobile

Une technique courante pour identifier les tendances de développement consiste à lisser les séries chronologiques. L’essence des différentes techniques de lissage consiste à remplacer les niveaux réels d’une série temporelle par des niveaux calculés, moins sujets aux fluctuations. Cela contribue à une manifestation plus claire de la tendance au développement. Parfois, le lissage est utilisé comme étape préliminaire avant d’utiliser d’autres méthodes pour identifier les tendances (par exemple celles évoquées dans le troisième chapitre).

Les moyennes mobiles permettent de lisser les fluctuations aussi bien aléatoires que périodiques, d'identifier la tendance existante dans l'évolution du processus, et sont donc outil important lors du filtrage des composants de séries chronologiques.

L'algorithme de lissage utilisant une simple moyenne mobile peut être représenté comme la séquence d'étapes suivante :

1. Déterminer la longueur de l'intervalle de lissage g, qui comprend g niveaux successifs de la série (g annuler fluctuations, et la tendance de développement est de plus en plus douce. Plus les fluctuations sont fortes, plus l’intervalle de lissage doit être large.

2. La période d'observation entière est divisée en sections, l'intervalle de lissage glissant le long de la série avec un pas égal à 1.

3. Les moyennes arithmétiques sont calculées à partir des niveaux des séries qui composent chaque section.

4. Remplacez les valeurs réelles de la série située au centre de chaque section par les valeurs moyennes correspondantes.

Dans ce cas, il convient de prendre la longueur de l’intervalle de lissage g sous la forme d’un nombre impair : g=2p+1, car dans ce cas, les valeurs moyennes mobiles obtenues tombent sur le moyen terme de l'intervalle.

Les observations prises pour calculer la moyenne sont appelées région de lissage active.

Pour une valeur impaire de g, tous les niveaux du site actif peuvent être représentés comme suit :

UN la moyenne mobile est déterminée par la formule :

(2.3.),

Où - valeur réelle du ième niveau ;

Valeur moyenne mobile pour le moment t ;

2p+1 - longueur de l'intervalle de lissage.

La procédure de lissage conduit à l'élimination complète des oscillations périodiques dans une série temporelle si la longueur de l'intervalle de lissage est prise égale ou multiple du cycle, la période des oscillations.

Pour éliminer les fluctuations saisonnières, il serait souhaitable d'utiliser des moyennes mobiles à quatre et douze membres, mais dans ce cas, la condition d'étrangeté de la longueur de l'intervalle de lissage ne sera pas remplie. Ainsi, avec un nombre pair de niveaux, il est d'usage de prendre la première et la dernière observation de la section active avec la moitié des poids :

(2.4.)

Ensuite, pour lisser les fluctuations saisonnières lorsque vous travaillez avec des séries chronologiques de dynamiques trimestrielles ou mensuelles, vous pouvez utiliser les moyennes mobiles suivantes :

(2.5.)

(2.6.)

Lors de l'utilisation d'une moyenne mobile avec la longueur de la section active g=2p+1, les premier et dernier niveaux p de la série ne peuvent pas être lissés, leurs valeurs sont perdues.Evidemment, la perte des valeurs des derniers points est un inconvénient important, car Pour le chercheur, les dernières données « fraîches » ont la plus grande valeur informative. Considérons l'une des techniques qui permettent de restaurer les valeurs perdues d'une série chronologique. Pour ce faire, vous avez besoin de :

1) Calculer l'augmentation moyenne de la dernière section active

,

Où g est la longueur de la section active ;

La valeur du dernier niveau dans la section active ;

La valeur du premier niveau dans la section active ;

Augmentation absolue moyenne.

2) Obtenez P valeurs lissées à la fin de la série chronologique en ajoutant séquentiellement l'augmentation absolue moyenne à la dernière valeur lissée.

Une procédure similaire peut être mise en œuvre pour estimer les premiers niveaux d’une série temporelle.

La méthode de la moyenne mobile simple est applicable si la représentation graphique d'une série chronologique ressemble à une ligne droite. Lorsque la tendance des séries alignées présente des courbes et qu'il est souhaitable que le chercheur préserve les petites vagues, l'utilisation d'une simple moyenne mobile est inappropriée.

Si le processus est caractérisé par un développement non linéaire, alors une simple moyenne mobile peut entraîner des distorsions importantes. Dans ces cas, l’utilisation d’une moyenne mobile pondérée est plus fiable.

Lors du lissage à l'aide d'une moyenne mobile pondérée, dans chaque section l'alignement est effectué à l'aide de polynômes d'ordres faibles. Les polynômes les plus couramment utilisés sont du 2e et du 3e ordre. Puisqu'avec une moyenne mobile simple l'alignement sur chaque section active s'effectue selon une droite (un polynôme du premier ordre), la méthode de la moyenne mobile simple peut être considérée comme un cas particulier de la méthode de la moyenne mobile pondérée. Une moyenne mobile simple prend en compte tous les niveaux d'une série inclus dans la section de lissage active avec des poids égaux, et une moyenne pondérée attribue un poids à chaque niveau en fonction du retrait de ce niveau au niveau du milieu de la section active.

L'alignement à l'aide d'une moyenne mobile pondérée s'effectue comme suit.

Pour chaque zone active, un polynôme de la forme est sélectionné

,

choixqui sont estimés à l’aide de la méthode des moindres carrés. Dans ce cas, le point de référence est transféré au milieu de la section active. Par exemple, pour la longueur de l'intervalle de lissage g=5, les indices des niveaux de la section active seront les i suivants : -2, -1, 0, 1, 2.

Alors la valeur lissée pour le niveau situé au milieu de la section active sera la valeur du paramètre a 0 du polynôme sélectionné.

Il n'est pas nécessaire de recalculer à chaque fois les coefficients de pondération pour les niveaux de séries inclus dans la section de lissage actif, car ils seront les mêmes pour chaque site actif. De plus, lors du lissage à l'aide d'un polynôme oh degré impair, les coefficients de pondération seront les mêmes que lors d'un lissage par un degré polynomial (k-1). Dans le tableau 2.2. Des coefficients de pondération pour le lissage utilisant un polynôme d'ordre 2 ou 3 sont présentés (en fonction de la longueur de l'intervalle de lissage).

Les poids étant symétriques par rapport au niveau central, une notation symbolique est utilisée dans le tableau : les poids sont donnés pour la moitié des niveaux de la section active ; le poids lié au niveau situé au centre de la zone de lissage est attribué. Pour les niveaux restants, les pondérations ne sont pas données, car elles peuvent être reflétées symétriquement.

Par exemple, illustrons l'utilisation du tableau pour lisser le long d'une parabole du 2ème ordre sur une moyenne mobile pondérée à 5 termes. Puis la valeur centrale sur chaque site actif , sera estimé à l'aide de la formule :

Notons les propriétés importantes des échelles données :

1) Ils sont symétriques par rapport au niveau central.

2) La somme des poids, compte tenu du facteur commun pris entre parenthèses, est égale à un.

3) La présence de poids positifs et négatifs permet à la courbe lissée de préserver les différentes courbures de la courbe de tendance.

Il existe des techniques qui permettent, à l'aide de calculs supplémentaires, d'obtenir des valeurs lissées pour P des niveaux initial et final de la série avec la longueur de l'intervalle de lissage g=2p+1.

La méthode de la moyenne mobile est un outil statistique qui peut être utilisé pour résoudre différents types de problèmes. En particulier, il est assez souvent utilisé en prévision. Dans Excel, vous pouvez également utiliser cet outil pour résoudre un certain nombre de problèmes. Voyons comment une moyenne mobile est utilisée dans Excel.

L'intérêt de cette méthode est qu'elle permet de changer les valeurs dynamiques absolues de la série sélectionnée en moyennes arithmétiques pour une certaine période en lissant les données. Cet outil est utilisé pour les calculs économiques, les prévisions, en cours de négociation en bourse, etc. Il est préférable d'utiliser la méthode de la moyenne mobile dans Excel en utilisant un puissant outil de traitement de données statistiques appelé Pack d'analyse. De plus, vous pouvez utiliser la fonction Excel intégrée aux mêmes fins MOYENNE.

Méthode 1 : Progiciel d'analyse

Pack d'analyse est un complément Excel désactivé par défaut. Par conséquent, vous devez tout d’abord l’activer.

Après cette action, le paquet "L'analyse des données" activé, et le bouton correspondant est apparu sur le ruban dans l'onglet "Données".

Voyons maintenant comment vous pouvez utiliser directement les capacités du package L'analyse des données pour travailler en utilisant la méthode de la moyenne mobile. Faisons une prévision pour le douzième mois sur la base des informations sur les revenus de l'entreprise pour les 11 périodes précédentes. Pour ce faire, nous utiliserons un tableau rempli de données, ainsi que des outils Pack d'analyse.

1. Allez dans l'onglet "Données" et appuyez sur le bouton "L'analyse des données", qui se trouve sur le ruban d'outils dans le bloc "Analyse".



2. Une liste des outils disponibles dans Pack d'analyse. Sélectionnez-leur un nom "Moyenne mobile" et appuyez sur le bouton "D'ACCORD".



3. La fenêtre de saisie des données pour la prévision à l'aide de la méthode de la moyenne mobile s'ouvre.

   Sur le terrain "Intervalle de saisie" Nous indiquons l'adresse de la plage où se situe le montant des revenus mensuels sans la cellule dans laquelle les données doivent être calculées.

   Sur le terrain "Intervalle" vous devez spécifier l'intervalle de traitement des valeurs à l'aide de la méthode de lissage. Tout d'abord, fixons la valeur de lissage à trois mois, et saisissons donc le nombre "3".

   Sur le terrain "Intervalle de sortie" vous devez spécifier une plage vide arbitraire sur la feuille où les données seront affichées après le traitement, qui doit être une cellule plus grande que l'intervalle de saisie.

   Vous devez également cocher la case à côté du paramètre "Erreurs standards".

   Si nécessaire, vous pouvez également cocher la case à côté de l'élément "Sortie graphique" pour une démonstration visuelle, bien que dans notre cas cela ne soit pas nécessaire.

   Une fois tous les réglages effectués, cliquez sur le bouton "D'ACCORD".



4. Le programme affiche le résultat du traitement.



5. Nous allons maintenant effectuer un lissage sur une période de deux mois pour déterminer quel résultat est le plus correct. A ces fins, nous lançons à nouveau l'outil "Moyenne mobile" Pack d'analyse.

   Sur le terrain "Intervalle de saisie" on laisse les mêmes valeurs que dans le cas précédent.

   Sur le terrain "Intervalle" mettre un numéro "2".

   Sur le terrain "Intervalle de sortie" Nous indiquons l'adresse de la nouvelle plage vide, qui, encore une fois, doit être une cellule plus grande que l'intervalle de saisie.

   Nous laissons le reste des paramètres inchangés. Après cela, cliquez sur le bouton "D'ACCORD".



6. Suite à cela, le programme effectue un calcul et affiche le résultat à l'écran. Afin de déterminer lequel des deux modèles est le plus précis, nous devons comparer les erreurs types. Plus cet indicateur est bas, plus la probabilité d'exactitude du résultat obtenu est élevée. Comme vous pouvez le constater, pour toutes les valeurs, l'erreur type lors du calcul d'une moyenne mobile sur deux mois est inférieure au même indicateur sur 3 mois. Ainsi, la valeur prévue pour décembre peut être considérée comme la valeur calculée par la méthode glissante pour la dernière période. Dans notre cas, cette valeur est de 990,4 mille roubles.

Méthode 2 : Utilisation de la fonction MOYENNE

Il existe une autre façon d'utiliser la méthode de la moyenne mobile dans Excel. Pour l'utiliser, vous devez utiliser un certain nombre de fonctions de programme standard, dont la base pour notre objectif est MOYENNE. Par exemple, nous utiliserons le même tableau des revenus des entreprises que dans le premier cas.

Tout comme la dernière fois, nous devrons créer des séries temporelles lissées. Mais cette fois, les actions ne seront pas aussi automatisées. Vous devez calculer la moyenne tous les deux puis trois mois pour pouvoir comparer les résultats.

Tout d'abord, calculons les valeurs moyennes des deux périodes précédentes à l'aide de la fonction MOYENNE. Nous ne pouvons le faire qu'à partir de mars, car pour les dates ultérieures, il y a une rupture de valeurs.

1. Sélectionnez une cellule dans une colonne vide de la ligne de mars. Ensuite, cliquez sur l'icône "Insérer une fonction", qui se trouve près de la barre de formule.



2. La fenêtre est activée Assistants de fonctions. Dans la catégorie "Statistique"à la recherche du sens "MOYENNE", sélectionnez-le et cliquez sur le bouton "D'ACCORD".



3. La fenêtre des arguments de l'opérateur s'ouvre MOYENNE. Sa syntaxe est la suivante :

   MOYENNE(numéro1,numéro2,…)

   Un seul argument est requis.

   Dans notre cas, sur le terrain "Numéro 1" nous devons fournir un lien vers la fourchette où sont indiqués les revenus des deux périodes précédentes (janvier et février). Placez le curseur dans le champ et sélectionnez les cellules correspondantes sur la feuille dans la colonne "Revenu". Après cela, cliquez sur le bouton "D'ACCORD".



4. Comme vous pouvez le constater, le résultat du calcul de la valeur moyenne des deux périodes précédentes était affiché dans la cellule. Afin d'effectuer des calculs similaires pour tous les autres mois de la période, nous devons copier cette formule dans d'autres cellules. Pour cela, placez le curseur dans le coin inférieur droit de la cellule contenant la fonction. Le curseur se transforme en une poignée de remplissage qui ressemble à une croix. Maintenez le bouton gauche de la souris enfoncé et faites-le glisser jusqu'à la toute fin de la colonne.



5. Nous obtenons le calcul des résultats de la valeur moyenne des deux mois précédents avant la fin de l'année.



6. Sélectionnez maintenant la cellule dans la prochaine colonne vide de la ligne d'avril. Appel de la fenêtre des arguments de la fonction MOYENNE de la même manière que décrit précédemment. Sur le terrain "Numéro 1" entrez les coordonnées des cellules dans la colonne "Revenu" de janvier à mars. Cliquez ensuite sur le bouton "D'ACCORD".



7. À l'aide du marqueur de remplissage, copiez la formule dans les cellules du tableau ci-dessous.



8. Nous avons donc calculé les valeurs. Maintenant, comme la fois précédente, il va falloir déterminer quel type d’analyse est le meilleur : avec un lissage de 2 ou 3 mois. Pour ce faire, vous devez calculer l'écart type et certains autres indicateurs. Tout d'abord, calculons l'écart absolu à l'aide de la fonction Excel standard abdos, qui renvoie leur module au lieu de nombres positifs ou négatifs. Cette valeur sera égale à la différence entre l'indicateur de revenus réels du mois sélectionné et celui prévu. Placez le curseur dans la prochaine colonne vide de la ligne du mois de mai. Appel Assistant de fonction.



9. Dans la catégorie "Mathématique" mettre en surbrillance le nom de la fonction "ABDOS". Cliquez sur le bouton "D'ACCORD".



10. La fenêtre des arguments de la fonction s'ouvre abdos. Dans un seul champ "Nombre" indiquer la différence entre le contenu des cellules dans les colonnes "Revenu" Et "2 mois" pour mai. Cliquez ensuite sur le bouton "D'ACCORD".



11. À l'aide du marqueur de remplissage, copiez cette formule sur toutes les lignes du tableau jusqu'en novembre inclus.



12. Nous calculons la valeur moyenne de l'écart absolu pour toute la période en utilisant la fonction qui nous est déjà familière MOYENNE.



13. Nous effectuons une procédure similaire afin de calculer l'écart absolu pour une moyenne mobile sur 3 mois. Nous appliquons d’abord la fonction abdos. Seulement cette fois, nous calculons la différence entre le contenu des cellules avec le revenu réel et le revenu prévu, calculé selon la méthode de la moyenne mobile sur 3 mois.



14. Ensuite, nous calculons la valeur moyenne de toutes les données d'écart absolu à l'aide de la fonction MOYENNE.



15. L'étape suivante consiste à calculer l'écart relatif. Il est égal au rapport entre l'écart absolu et l'indicateur réel. Afin d'éviter les valeurs négatives, nous utiliserons à nouveau les possibilités offertes par l'opérateur abdos. Cette fois, en utilisant cette fonction, nous divisons la valeur de l'écart absolu lors de l'utilisation de la méthode de la moyenne mobile sur 2 mois par le revenu réel du mois sélectionné.



16. Mais l'écart relatif est généralement affiché sous forme de pourcentage. Sélectionnez donc la plage correspondante sur la feuille et allez dans l'onglet "Maison", où dans le bloc d'outils "Nombre" dans un champ de formatage spécial, nous définissons le format de pourcentage. Après cela, le résultat du calcul de l'écart relatif est affiché sous forme de pourcentage.



17. Nous effectuons une opération similaire pour calculer l'écart relatif avec des données en utilisant un lissage sur 3 mois. Seulement dans ce cas, pour calculer le dividende, nous utilisons une autre colonne du tableau, que nous appelons "Abdos. éteint (3 m)". Ensuite, nous convertissons les valeurs numériques sous forme de pourcentage.



18. Après cela, nous calculons les valeurs moyennes pour les deux colonnes avec écart relatif, comme avant d'utiliser la fonction MOYENNE. Étant donné que pour le calcul, nous prenons des valeurs en pourcentage comme arguments de fonction, il n'est pas nécessaire d'effectuer une conversion supplémentaire. L'opérateur de sortie produit le résultat sous forme de pourcentage.



19. Passons maintenant au calcul de l'écart type. Cet indicateur permettra de comparer directement la qualité du calcul lors de l'utilisation d'un lissage sur deux et trois mois. Dans notre cas, l'écart type sera égal à la racine carrée de la somme des carrés des différences entre le chiffre d'affaires réel et la moyenne mobile, divisée par le nombre de mois. Afin d'effectuer des calculs dans le programme, nous devons utiliser un certain nombre de fonctions, notamment RACINE, SOMME DIFFÉRENTE Et VÉRIFIER. Par exemple, pour calculer l'écart type lors de l'utilisation d'une ligne de lissage sur deux mois de mai, dans notre cas, la formule suivante sera utilisée :

    SQRT(SUMVARE(B6:B12,C6:C12)/COUNT(B6:B12))

    Nous le copions dans d'autres cellules de la colonne et calculons l'écart type à l'aide du marqueur de remplissage.



20. Nous effectuons une opération similaire pour calculer l’écart type de la moyenne mobile sur 3 mois.



21. Après cela, nous calculons la valeur moyenne pour toute la période pour ces deux indicateurs à l'aide de la fonction MOYENNE.



22. Après avoir comparé les calculs utilisant la méthode de la moyenne mobile avec un lissage de 2 et 3 mois en termes d'indicateurs tels que l'écart absolu, l'écart relatif et l'écart type, nous pouvons affirmer avec certitude que le lissage sur deux mois donne des résultats plus fiables que l'utilisation du lissage sur trois mois. En témoigne le fait que les indicateurs ci-dessus pour une moyenne mobile sur deux mois sont inférieurs à ceux pour une moyenne mobile sur trois mois.



23. Ainsi, le revenu projeté de l'entreprise pour décembre sera de 990,4 mille roubles. Comme vous pouvez le constater, cette valeur coïncide complètement avec celle que nous avons reçue lors du calcul à l'aide d'outils Pack d'analyse.

Nous avons calculé la prévision en utilisant la méthode de la moyenne mobile de deux manières. Comme vous pouvez le constater, cette procédure est beaucoup plus simple à réaliser à l'aide d'outils Pack d'analyse. Cependant, certains utilisateurs ne font pas toujours confiance au calcul automatique et préfèrent utiliser la fonction pour les calculs. MOYENNE et accompagnant les opérateurs pour vérifier l'option la plus fiable. Cependant, si tout est fait correctement, le résultat final des calculs devrait être complètement le même.

2.3.1. Exercice*

Les deux premières colonnes du tableau 17 montrent des données reflétant la demande pour un produit donné sur une période de huit ans. Lisser les données en utilisant la méthode de la moyenne mobile avec une fenêtre de lissage k=3.

2.3.2. Terminer la tâche

La moyenne mobile est calculée à l'aide de la fonction MOYENNE. Les résultats du calcul sont présentés dans la troisième colonne du tableau 16 et illustrés à la figure 8.

Tableau 17. Demande pour le produit

2.4. Identification des composantes tendancielles et cycliques d'une série chronologique **

Exercice 1

Le tableau 18 présente des données sur le volume oui consommation d'énergie sur quatre ans (durée t mesuré en quarts). Lisser une série temporelle en utilisant la méthode de la moyenne mobile, en choisissant vous-même la taille k lissage des fenêtres.

2.4.2. Terminer la tâche 1

À partir du graphique de dépendance oui(t) (voir Fig. 9), il est clair que la série chronologique contient une composante cyclique avec une période T n =4. En calculant l'échantillon de coefficient d'autocorrélation à l'aide de la fonction CORREL r(1,t) (voir Tableau 19) et en construisant un corrélogramme (à l'aide de l'assistant de diagramme - voir Fig. 10), nous constatons que le coefficient d'autocorrélation maximum se produit à des valeurs de t qui sont des multiples de quatre ; cela confirme (voir §1.2) que T n =4. La fenêtre de lissage doit être choisie égale (voir §1.5) à la période de la composante cyclique : k=T n =4. Le résultat du lissage sera alors une tendance approximative (sur la période, les valeurs positives et négatives de la composante cyclique se compenseront).

La troisième colonne du tableau 18 montre les résultats du calcul de la moyenne mobile toi 1 (t) Pour k=4. Point médian t Le cf de la fenêtre de lissage se situe entre le deuxième et le troisième temps de la fenêtre. Ainsi, par exemple, pour la première fenêtre (contenant des points temporels t=1, 2, 3, 4) t moyenne =2,5 ; il n'y a pas un tel moment dans nos données, et nous attribuons la valeur moyenne des observations sur la fenêtre au moment t=2. Pour la deuxième fenêtre t av = 3,5, et la valeur moyenne des observations dans la deuxième fenêtre sera attribuée au moment t=3. De même, nous attribuerons la valeur moyenne des observations pour chaque fenêtre glissante suivante au deuxième instant de cette fenêtre.

Etablir une correspondance entre la valeur moyenne des observations sur une fenêtre et le milieu de la fenêtre t cf doit être appliqué à toi 1 (t) méthode de moyenne mobile avec une fenêtre de lissage égale à deux : toi 2 (t)=[toi 1 (t-1)+toi 1 (t)]/2. Les résultats du calcul sont présentés dans le tableau 18 (quatrième colonne). Rappelons (voir aussi §1.5) que le calcul toi 2 n'est nécessaire qu'en cas de pair k. Pour bizarre k point médian de la fenêtre de lissage t cf coïncide avec l'un des instants du tableau.

Tableau 18. Calcul de la composante tendancielle et cyclique

Tâche 2

Calculez les valeurs de la composante cyclique de la série chronologique selon les données du tableau 18. Écrivez les résultats dans le même tableau.

2.4.4. Terminer la tâche 2

La série temporelle considérée est décrite par un modèle additif, puisque l'amplitude des fluctuations des niveaux de la série est pratiquement indépendante du temps (voir Fig. 9). D'après la formule (43) (en tenant compte du fait que T» toi 2) compter S

Valeurs S 2 obtenu en faisant la moyenne S 1 par période. Puisque la valeur moyenne de la composante cyclique sur la période pour le modèle de série additive doit être égale à zéro, nous alignons les valeurs S 2: S 3 =S 2 -S 2 mercredi, où dans S 2 sr indique la valeur moyenne S S obtenu par copie S 3 pour toutes les périodes.

Après avoir obtenu la composante cyclique, nous calculons la prochaine approximation de la tendance en supposant que la tendance est linéaire. Calculons les valeurs de tendance bruyantes : T+E=Oui-S(voir formule (40)). En appliquant la méthode des moindres carrés à ces valeurs (à l'aide de la fonction LINEST), on obtient la formule suivante : T(t)=0,186t+5,72. À l'aide de cette formule, nous calculons les valeurs de tendance, puis, en tenant compte du fait que E=Oui-T-S, – valeurs de la composante aléatoire E.

En figue. 9, les composants de la série sont représentés graphiquement. Étant donné que la composante aléatoire est nettement plus petite que les autres composantes de la série, nous pouvons supposer que les estimations obtenues de la composante tendancielle et cyclique sont tout à fait acceptables.

Tâche 3

Les deux premières colonnes du tableau 20 présentent des données trimestrielles sur les bénéfices de l'entreprise (en unités arbitraires) pour les quatre dernières années. Déterminer les composantes tendancielles, cycliques et aléatoires d’une série chronologique.

2.4.6. Terminer la tâche 3

À partir du graphique de dépendance oui(t) (voir Fig. 11, a), il est clair que la série chronologique contient une composante cyclique avec une période T n =4. En construisant un corrélogramme (qui n'est pas présenté ici), vous pouvez vous assurer que le coefficient d'autocorrélation maximum se produit à des valeurs de t multiples de quatre ; cela confirme que T n =4. On choisit la fenêtre de lissage égale (voir §1.5) à la période de la composante cyclique : k=T n =4.

Les troisième et quatrième colonnes du tableau 20 montrent les résultats du calcul des approximations des tendances toi 1 (t) Et toi 2 (t), obtenu de la même manière que dans le tableau 18.

Pour la série chronologique considérée, un modèle multiplicatif doit être choisi, car l'amplitude des fluctuations des niveaux de la série change proportionnellement à la tendance (voir Fig. 11, a). D'après la formule (44) (en tenant compte du fait que T» toi 2) compter S 1 – première approximation de la composante cyclique de la série.

Valeurs S 2 obtenu en faisant la moyenne S 1 par période. Puisque la valeur moyenne de la composante cyclique sur une période pour un modèle multiplicatif doit être égale à un, alors à partir de S 2, nous passons à l'approximation suivante de la composante cyclique : S 3 =S 2 /S 2 mercredi, où S 2 moy – valeur moyenne S 2. Valeurs des composants cycliques S obtenu par copie S 3 pour toutes les périodes.

Ensuite, nous calculons la prochaine approximation de la tendance en supposant que la tendance est linéaire. Calculons les valeurs de tendance bruyantes : T.E.=Oui/S(voir formule (41)). En appliquant la méthode des moindres carrés à ces valeurs (à l'aide de la fonction LINEST), on obtient la formule de la tendance : T(t)=-2,77t+90.57. À l'aide de cette formule, nous calculons les valeurs de tendance, puis les valeurs des composants aléatoires. E(E=Oui/(T.S.)). L'erreur absolue du modèle est calculée à l'aide de la formule : EAB=Oui-T.S..

En figue. 11, les composants de la série sont représentés graphiquement. Notez que l’erreur absolue est nettement inférieure aux niveaux de série et de tendance. De plus, la composante aléatoire pour presque toutes les valeurs t est proche de l’unité. Par conséquent, les estimations de la tendance et de la composante cyclique sont tout à fait acceptables.

Tableau 20. Données sur les bénéfices de l'entreprise

3. Mission de travail indépendante

1. Le tableau 21* présente des données sur la productivité du travail Oui pour certaines entreprises de 1987 à 1996. Obtenir des équations et des graphiques de tendances : linéaire, logarithmique, puissance, polynomiale, exponentielle. Sélectionnez parmi eux la tendance qui correspond le plus aux observations (en comparant la valeur R. 2). Pour la tendance sélectionnée, vérifier l'hypothèse d'indépendance des résidus à l'aide du test de Durbin-Watson (avec n=10 d n =0,88 d en =1,32). Pourquoi est-il nécessaire de tester cette hypothèse ?

2. Le tableau 22** montre le nombre moyen ouiœufs par pondeuse pour chaque mois aux États-Unis de 1938 à 1940. Requis :

1) construire un graphique oui(t) et corrélogramme. En les analysant, répondez aux questions : la série contient-elle une tendance linéaire ? La série contient-elle une composante cyclique ? Quelle est la période de la composante cyclique Tc ? Quel modèle convient pour décrire une série – additif ou multiplicatif ?

2) déterminer les composantes de la série.

Tableau 22. Moyenne oui oeufs pour poules pondeuses

3. Le tableau 23 montre les niveaux d'une certaine série, le temps t mesuré en quarts. Effectuez des recherches similaires à l’étape 2 pour ces données.

Tableau 23. Niveaux de ligne

Travaux pratiques n°5. Utiliser un mannequin
variables dans la résolution de problèmes d'économétrie

Partie théorique

Vous pourrez trouver une option qui vous permet de sélectionner la méthode de calcul. Il existe trois options : SMA (simple), EMA (exponentielle) et WMA (pondérée). Cet article est dédié à la révision moyenne mobile pondérée.

Quelle est l’essence d’une moyenne pondérée ?

Alors qu'une simple moyenne mobile n'est que la moyenne arithmétique des valeurs du nombre de périodes spécifié par le trader dans les paramètres (la valeur par défaut est généralement de 20 périodes), la moyenne pondérée prend en compte que les valeurs de la dernière les périodes (c'est-à-dire les données les plus récentes) sont plus importantes que les valeurs de la première. L'utilisation d'un tel indicateur est particulièrement appropriée si, à l'heure actuelle, il existe une tendance claire sur le marché vers une augmentation ou une diminution de la valeur de l'actif. Visuellement, la formule de calcul du WMA ressemble à ceci :

Il est important de noter que la moyenne exponentielle (EMA) est également pondérée dans une certaine mesure – le principe d'augmentation du poids d'un indicateur au fil du temps reste le même. Cependant, le calcul de l'EMA est légèrement différent :

Ce sont les moyennes mobiles pondérées qui sont populaires parmi les traders - elles sont considérées comme beaucoup plus flexibles. Une simple moyenne mobile est un outil « maladroit », qui est le plus souvent utilisé comme composant d’un indicateur plus sophistiqué.

Comment est calculée une moyenne mobile pondérée ?

La formule suivante est utilisée pour le calcul :

La formule peut paraître effrayante, mais elle est étonnamment simple : la valeur P est le prix d'un actif sur une certaine période, la valeur W est le poids spécifique. Calculer manuellement la moyenne pondérée n’est pas difficile, comme nous le prouverons avec l’exemple suivant :

Il faut déterminer la valeur de la moyenne mobile pondérée au 6 mai pour les 5 dernières périodes.

Remplacez les valeurs dans la formule :

On peut voir que la valeur WMA est plus grande, ce qui reflète une tendance prononcée vers des valeurs croissantes :

Bien entendu, en réalité, la moyenne sur cinq périodes n'est pas prise en compte, car une telle analyse donne un résultat trop subjectif. Cependant, effectuer manuellement des calculs plus massifs est problématique et prend tout simplement du temps, nous pouvons donc remercier les ordinateurs d’avoir fait ce travail à notre place.

Avantages et inconvénients des moyennes pondérées

L'avantage de la moyenne pondérée a déjà été illustré : cet indicateur réagit avec plus de flexibilité aux dernières tendances de l'évolution des prix des actifs. Les inconvénients sont les suivants :

• Le décalage entre l’entrée et la sortie d’une tendance reste encore assez perceptible, quoique dans une moindre mesure que lorsqu’on utilise des moyennes simples. À propos, pour éliminer cet inconvénient, il est recommandé d'utiliser des indicateurs EMA exponentiels, qui sont actuellement considérés comme le modèle de moyenne mobile le plus avancé.

• La moyenne pondérée change fortement lorsqu'un faux signal apparaît (puisque c'est ce dernier signal qui fait l'objet d'une attention particulière). À cet égard, une simple moyenne mobile est plus parfaite.

• Le WMA est inefficace pour le trading positionnel car il semble plus fluide en raison du faible bruit du marché. Il est préférable d'utiliser une telle moyenne pour les transactions à moyen et court terme. Cet article vous expliquera quels outils utiliser lors du trading sur de longues périodes.

Stratégie de trading moyenne pondérée

Pour illustrer le fonctionnement des moyennes mobiles, il est nécessaire de donner un exemple d'une des stratégies basées sur cet indicateur - appelée « Weighted Taylor ».

Les termes de l'échange sont les suivants :

• La période quotidienne est sélectionnée - il est préférable que l'actif soit la devise EURUSD. Si la réserve de dépôt n'est pas suffisante pour négocier sur des périodes aussi longues, cela n'en vaut pas la peine - vous devez réduire la taille de la transaction.

• Établissez 5 moyennes pondérées avec des périodes de 5 (bleu), 15 (orange), 30 (jaune), 60 (rose), 90 (rouge). Le graphique ressemble à ceci :

• Le RSI est fixé avec une période de 5 et deux niveaux (60 et 40).

• Le MACD est défini avec les paramètres suivants : rapide EMA 5, lent EMA 13, simple SMA. Deux niveaux de rouge sont également définis : 0,005 et -0,005.

L'image entière ressemble à ceci :

Vous devez trader comme suit : tout d'abord, faites attention aux moyennes mobiles. Les moyennes pondérées à long terme ont un aspect plus lisse - en règle générale, lorsque les moyennes pondérées à court terme les croisent, cela indique le début d'une tendance. D'après notre exemple, il est clair qu'il y a une accalmie sur le marché, cependant, le bleu (le terme le plus court) a changé de direction et se dirige vers le rose et le rouge (les termes le plus long), le trader doit donc être sur ses gardes.

Ensuite, faites attention à l'indicateur RSI. Si la ligne verte se situe dans le couloir 40-60, il n'est pas recommandé d'ouvrir une position (c'est notre exemple), car cet intervalle est caractérisé par un niveau élevé de bruit de marché et de faux signaux.

L'indicateur MACD est utilisé pour rechercher des points d'entrée sur. En parallèle, il faut faire attention au « couloir rouge » - le principe est le même que celui du RSI : aucun accord ne peut être conclu. Dans notre exemple, la ligne indicatrice se situe exactement dans ce couloir.

Ainsi, vous ne devez ouvrir une position que lorsque les 3 indicateurs donnent le même signal.

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