Calculez la surface latérale. Comment calculer l'aire d'une pyramide : base, côté et total
Nous savons ce qu'est un cône, essayons de trouver sa surface. Pourquoi avez-vous besoin de résoudre un tel problème ? Par exemple, vous devez comprendre à quel point le test fonctionnera pour faire un cornet gaufré ? Ou combien de briques faut-il pour empiler toit en brique château?
Mesurer la surface latérale d'un cône n'est tout simplement pas possible. Mais imaginons la même corne enveloppée de tissu. Pour connaître l'aire d'un morceau de tissu, vous devez le découper et le disposer sur la table. Le résultat est une figure plate, on peut trouver son aire.
Riz. 1. Section d'un cône le long de la génératrice
Faisons de même avec le cône. "Coupons-le" surface latérale le long de n'importe quelle génératrice, par exemple (voir Fig. 1).
Maintenant, « déroulez » la surface latérale sur un plan. Nous obtenons un secteur. Le centre de ce secteur est le sommet du cône, le rayon du secteur est égal à la génératrice du cône et la longueur de son arc coïncide avec la circonférence de la base du cône. Ce secteur est appelé développement de la surface latérale du cône (voir Fig. 2).
Riz. 2. Développement de la surface latérale
Riz. 3. Mesure d'angle en radians
Essayons de trouver la superficie du secteur en utilisant les données disponibles. Tout d'abord, introduisons la notation : soit l'angle au sommet du secteur en radians (voir Fig. 3).
Nous devrons souvent traiter de l’angle le plus élevé des problèmes. Pour l’instant, essayons de répondre à la question : cet angle ne peut-il pas s’avérer supérieur à 360 degrés ? Autrement dit, ne s’avérerait-il pas que le balayage se chevaucherait ? Bien sûr que non. Prouvons cela mathématiquement. Laissez le scan se « superposer » sur lui-même. Cela signifie que la longueur de l'arc de balayage est supérieure à la longueur du cercle de rayon. Mais, comme déjà mentionné, la longueur de l'arc de balayage est la longueur du cercle de rayon . Et le rayon de la base du cône, bien sûr, est inférieur à la génératrice, par exemple, car la jambe d'un triangle rectangle est inférieure à l'hypoténuse
Retenons ensuite deux formules du cours de planimétrie : la longueur de l'arc. Superficie du secteur : .
Dans notre cas, le rôle est joué par le générateur , et la longueur de l'arc est égale à la circonférence de la base du cône, c'est-à-dire. Nous avons:
Finalement on obtient : .
Outre la surface latérale, on peut également connaître la surface totale. Pour ce faire, ajoutez l'aire de la base à l'aire de la surface latérale. Mais la base est un cercle de rayon dont l'aire selon la formule est égale à .
Finalement nous avons : , où est le rayon de la base du cylindre, est la génératrice.
Résolvons quelques problèmes en utilisant les formules données.
Riz. 4. Angle requis
Exemple 1. Le développement de la surface latérale du cône est un secteur présentant un angle au sommet. Trouvez cet angle si la hauteur du cône est de 4 cm et le rayon de la base est de 3 cm (voir Fig. 4).
Riz. 5. Triangle rectangle formant un cône
Par la première action, selon le théorème de Pythagore, on trouve le générateur : 5 cm (voir Fig. 5). Ensuite, nous savons que .
Exemple 2. La section axiale du cône est égale à , la hauteur est égale à . Trouvez la surface totale (voir Fig. 6).
est une figure dont la base est un polygone arbitraire et dont les faces latérales sont représentées par des triangles. Leurs sommets se situent au même point et correspondent au sommet de la pyramide.
La pyramide peut être variée – triangulaire, quadrangulaire, hexagonale, etc. Son nom peut être déterminé en fonction du nombre d'angles adjacents à la base.
La bonne pyramide appelée pyramide dans laquelle les côtés de la base, les angles et les arêtes sont égaux. De plus, dans une telle pyramide, l'aire des faces latérales sera égale.
La formule de l'aire de la surface latérale d'une pyramide est la somme des aires de toutes ses faces : 
Autrement dit, pour calculer l'aire de la surface latérale d'une pyramide arbitraire, vous devez trouver l'aire de chaque triangle individuel et les additionner. Si la pyramide est tronquée, alors ses faces sont représentées par des trapèzes. Il existe une autre formule pour une pyramide régulière. Dans celui-ci, la surface latérale est calculée à travers le demi-périmètre de la base et la longueur de l'apothème :
Considérons un exemple de calcul de l'aire de la surface latérale d'une pyramide.
Soit une pyramide quadrangulaire régulière. Côté socle b= 6 cm, apothème un= 8 cm. Trouvez l'aire de la surface latérale.
À la base d’une pyramide quadrangulaire régulière se trouve un carré. Tout d'abord, trouvons son périmètre :
Nous pouvons maintenant calculer la surface latérale de notre pyramide : 
Pour trouver zone complète polyèdre, vous devez trouver l'aire de sa base. La formule pour l'aire de la base d'une pyramide peut différer selon le polygone se trouvant à la base. Pour ce faire, utilisez la formule de l'aire d'un triangle, aire d'un parallélogramme etc.
Prenons un exemple de calcul de l'aire de la base d'une pyramide donnée par nos conditions. La pyramide étant régulière, il y a un carré à sa base.
Surface carrée calculé par la formule : ,
où a est le côté du carré. Pour nous, c'est 6 cm. Cela signifie que l'aire de la base de la pyramide est : 
Il ne reste plus qu'à trouver l'aire totale du polyèdre. La formule de l'aire d'une pyramide consiste en la somme de l'aire de sa base et de la surface latérale.
Dans cette leçon :
- Problème 1. Trouver la surface totale de la pyramide
- Problème 2. Trouver la surface latérale d'une pyramide triangulaire régulière
.
Note . Si vous avez besoin de résoudre un problème de géométrie qui n'est pas ici, écrivez-le sur le forum. Dans les tâches, au lieu du symbole "racine carrée", la fonction sqrt() est utilisée, dans laquelle sqrt est le symbole racine carrée, et l'expression radicale est indiquée entre parenthèses. Pour les expressions radicales simples, le signe "√" peut être utilisé.
Problème 1. Trouver la surface totale d'une pyramide régulière
La hauteur de la base d'une pyramide triangulaire régulière est de 3 cm et l'angle entre la face latérale et la base de la pyramide est de 45 degrés.Trouver la surface totale de la pyramide
Solution.
À la base d’une pyramide triangulaire régulière se trouve un triangle équilatéral.
Par conséquent, pour résoudre le problème, nous utiliserons les propriétés d’un triangle régulier : 
Nous connaissons la hauteur du triangle, d’où nous pouvons déterminer son aire.
h = √3/2 une
une = h / (√3/2)
une = 3 / (√3/2)
une = 6 / √3
D'où l'aire de la base sera égale à :
S = √3/4 une 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3
Afin de trouver l'aire de la face latérale, on calcule la hauteur KM. Selon le problème, l'angle OKM est de 45 degrés.
Ainsi:
OK/MK = cos 45
Utilisons le tableau des valeurs des fonctions trigonométriques et remplaçons valeurs connues.
OK / MK = √2/2
Prenons en compte que tout va bien égal au rayon cercle inscrit. Alors
OK = √3/6a
D'accord = √3/6 * 6/√3 = 1
Alors
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2
L'aire de la face latérale est alors égale à la moitié du produit de la hauteur et de la base du triangle.
Côté = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6
Ainsi, la surface totale de la pyramide sera égale à
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6
Répondre: 3√3 + 18/√6
Problème 2. Trouver la surface latérale d'une pyramide régulière
Dans une pyramide triangulaire régulière, la hauteur est de 10 cm et le côté de la base est de 16 cm . Trouver la surface latérale .Solution.
Puisque la base d’une pyramide triangulaire régulière est un triangle équilatéral, AO est le rayon du cercle circonscrit autour de la base.
(Cela découle de)
On trouve le rayon d'un cercle circonscrit à un triangle équilatéral à partir de ses propriétés
D’où la longueur des arêtes d’une pyramide triangulaire régulière sera égale à :
AM 2 = MO 2 + AO 2
la hauteur de la pyramide est connue par condition (10 cm), AO = 16√3/3
SUIS 2 = 100 + 256/3
UN M = √(556/3)
Chaque côté de la pyramide est un triangle isocèle. Carré triangle isocèle on retrouve de la première formule présentée ci-dessous 
S = 1/2 * 16 carrés ((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 carrés ((556/3) - 64)
S = 8 carrés (364/3)
S = 16 m² (91/3)
Puisque les trois faces d’une pyramide régulière sont égales, la surface latérale sera égale à
3S = 48 √(91/3)
Répondre: 48 √(91/3)
Problème 3. Trouver la surface totale d'une pyramide régulière
Le côté d’une pyramide triangulaire régulière mesure 3 cm et l’angle entre la face latérale et la base de la pyramide est de 45 degrés. Trouver la surface totale de la pyramide.
Solution.
La pyramide étant régulière, il y a à sa base un triangle équilatéral. L’aire de la base est donc 
Donc = 9 * √3/4
Afin de trouver l'aire de la face latérale, on calcule la hauteur KM. Selon le problème, l'angle OKM est de 45 degrés.
Ainsi:
OK/MK = cos 45
Profitons
Lors de la préparation à l'examen d'État unifié de mathématiques, les étudiants doivent systématiser leurs connaissances en algèbre et en géométrie. Je voudrais combiner toutes les informations connues, par exemple sur la façon de calculer l'aire d'une pyramide. De plus, depuis la base et les bords latéraux jusqu'à toute la surface. Si la situation avec les faces latérales est claire, puisqu'il s'agit de triangles, alors la base est toujours différente.
Comment trouver l'aire de la base de la pyramide ?
Il peut s'agir d'absolument n'importe quelle figure : d'un triangle arbitraire à un n-gon. Et cette base, outre la différence du nombre d'angles, peut être une figure régulière ou irrégulière. Dans les tâches de l'examen d'État unifié qui intéressent les écoliers, il n'y a que des tâches avec des chiffres corrects à la base. Par conséquent, nous ne parlerons que d'eux.
Triangle régulier
Autrement dit, équilatéral. Celui dans lequel tous les côtés sont égaux et sont désignés par la lettre « a ». Dans ce cas, l'aire de la base de la pyramide est calculée par la formule :
S = (une 2 * √3) / 4.
Carré
La formule pour calculer son aire est la plus simple, ici « a » est encore le côté :
N-gon régulier arbitraire
Le côté d'un polygone a la même notation. Pour le nombre d'angles, la lettre latine n est utilisée.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Que faire lors du calcul de la surface latérale et totale ?
Parce qu'à la base se trouve chiffre correct, alors toutes les faces de la pyramide s'avèrent égales. De plus, chacun d'eux est un triangle isocèle, puisque les bords latéraux sont égaux. Alors pour calculer zone latérale pyramide, vous aurez besoin d'une formule composée de la somme de monômes identiques. Le nombre de termes est déterminé par le nombre de côtés de la base.
L'aire d'un triangle isocèle est calculée par la formule dans laquelle la moitié du produit de la base est multipliée par la hauteur. Cette hauteur dans la pyramide est appelée apothème. Sa désignation est « A ». Formule générale pour la surface latérale, cela ressemble à ceci :
S = ½ P*A, où P est le périmètre de la base de la pyramide.
Il existe des situations où les côtés de la base ne sont pas connus, mais les bords latéraux (c) et l'angle plat à son sommet (α) sont donnés. Ensuite, vous devez utiliser la formule suivante pour calculer l'aire latérale de la pyramide :
S = n/2 * dans 2 sin α .
Tâche n°1
Condition. Trouver superficie totale pyramide, si sa base a un côté de 4 cm et que l'apothème a une valeur de √3 cm.
Solution. Vous devez commencer par calculer le périmètre de la base. Puisqu'il s'agit d'un triangle régulier, alors P = 3*4 = 12 cm Puisque l'apothème est connu, on peut immédiatement calculer l'aire de toute la surface latérale : ½*12*√3 = 6√3 cm 2.
Pour le triangle à la base, vous obtenez la valeur d'aire suivante : (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.
Pour déterminer la surface entière, vous devrez additionner les deux valeurs résultantes : 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Répondre. 10√3cm2.
Problème n°2
Condition. Il y a une pyramide quadrangulaire régulière. La longueur du côté de base est de 7 mm, le bord latéral est de 16 mm. Il faut connaître sa superficie.
Solution. Le polyèdre étant quadrangulaire et régulier, sa base est un carré. Une fois que vous connaîtrez l'aire de la base et des faces latérales, vous pourrez calculer l'aire de la pyramide. La formule du carré est donnée ci-dessus. Et pour les faces latérales, tous les côtés du triangle sont connus. Par conséquent, vous pouvez utiliser la formule de Heron pour calculer leurs aires.
Les premiers calculs sont simples et conduisent au nombre suivant : 49 mm 2. Pour la deuxième valeur, vous devrez calculer le demi-périmètre : (7 + 16*2) : 2 = 19,5 mm. Vous pouvez maintenant calculer l'aire d'un triangle isocèle : √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Il n'y a que quatre triangles de ce type, donc lors du calcul du nombre final, vous devrez le multiplier par 4.
Il s'avère : 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.
Répondre. La valeur requise est de 267,576 mm 2.
Tâche n°3
Condition. Pour une pyramide quadrangulaire régulière, vous devez calculer l’aire. Le côté du carré est connu pour mesurer 6 cm et la hauteur est de 4 cm.
Solution. Le moyen le plus simple est d'utiliser la formule avec le produit du périmètre et de l'apothème. La première valeur est facile à trouver. Le second est un peu plus compliqué.
Nous devrons nous souvenir du théorème de Pythagore et considérer qu'il est formé par la hauteur de la pyramide et l'apothème, qui est l'hypoténuse. La deuxième branche est égale à la moitié du côté du carré, puisque la hauteur du polyèdre tombe en son milieu.
L'apothème requis (hypoténuse d'un triangle rectangle) est égal à √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Vous pouvez maintenant calculer la valeur requise : ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).
Répondre. 96cm2.
Problème n°4
Condition. Dana bon côté ses bases font 22 mm, les nervures latérales font 61 mm. Quelle est la surface latérale de ce polyèdre ?
Solution. Le raisonnement est le même que celui décrit dans la tâche n°2. Seulement, on leur a donné une pyramide avec un carré à la base, et maintenant c'est un hexagone.
Tout d'abord, la surface de base est calculée à l'aide de la formule ci-dessus : (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.
Vous devez maintenant connaître le demi-périmètre d'un triangle isocèle, qui est la face latérale. (22+61*2) :2 = 72 cm. Il ne reste plus qu'à utiliser la formule de Héron pour calculer l'aire de chacun de ces triangles, puis à la multiplier par six et à l'ajouter à celle obtenue pour la base.
Calculs utilisant la formule de Heron : √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Calculs qui donneront la surface latérale : 660 * 6 = 3960 cm 2. Reste à les additionner pour connaître la surface entière : 5217,47≈5217 cm 2.
Répondre. La base mesure 726√3 cm 2, la surface latérale est de 3960 cm 2, la surface totale est de 5217 cm 2.
Définition. Bord latéral- il s'agit d'un triangle dont un angle se situe au sommet de la pyramide et le côté opposé coïncide avec le côté de la base (polygone).
Définition. Côtes latérales- ce sont les côtés communs des faces latérales. Une pyramide a autant d’arêtes que d’angles d’un polygone.
Définition. Hauteur de la pyramide- c'est une perpendiculaire abaissée du haut à la base de la pyramide.
Définition. Apothème- il s'agit d'une perpendiculaire à la face latérale de la pyramide, abaissée du sommet de la pyramide jusqu'au côté de la base.
Définition. Section diagonale- il s'agit d'une section d'une pyramide par un plan passant par le sommet de la pyramide et la diagonale de la base.
Définition. Pyramide correcte est une pyramide dont la base est un polygone régulier et dont la hauteur descend jusqu'au centre de la base.
Volume et superficie de la pyramide
Formule. Volume de la pyramideà travers la surface de base et la hauteur :
Propriétés de la pyramide
Si tous les bords latéraux sont égaux, alors un cercle peut être tracé autour de la base de la pyramide et le centre de la base coïncide avec le centre du cercle. De plus, une perpendiculaire tombant du haut passe par le centre de la base (cercle).
Si tous les bords latéraux sont égaux, ils sont alors inclinés par rapport au plan de base selon les mêmes angles.
Les nervures latérales sont égales lorsqu'elles se forment avec le plan de la base angles égaux ou si un cercle peut être décrit autour de la base de la pyramide.
Si les faces latérales sont inclinées du même angle par rapport au plan de la base, alors un cercle peut être inscrit dans la base de la pyramide et le sommet de la pyramide est projeté en son centre.
Si les faces latérales sont inclinées du même angle par rapport au plan de la base, alors les apothèmes des faces latérales sont égaux.
Propriétés d'une pyramide régulière
1. Le sommet de la pyramide est à égale distance de tous les coins de la base.
2. Tous les bords latéraux sont égaux.
3. Toutes les nervures latérales sont inclinées à des angles égaux par rapport à la base.
4. Les apothèmes de toutes les faces latérales sont égaux.
5. Les aires de toutes les faces latérales sont égales.
6. Toutes les faces ont les mêmes angles dièdres (plats).
7. Une sphère peut être décrite autour de la pyramide. Le centre de la sphère circonscrite sera le point d’intersection des perpendiculaires passant par le milieu des arêtes.
8. Vous pouvez insérer une sphère dans une pyramide. Le centre de la sphère inscrite sera le point d'intersection des bissectrices issues de l'angle entre le bord et la base.
9. Si le centre de la sphère inscrite coïncide avec le centre de la sphère circonscrite, alors la somme des angles plans au sommet est égale à π ou vice versa, un angle est égal à π/n, où n est le nombre d'angles à la base de la pyramide.
Le lien entre la pyramide et la sphère
Une sphère peut être décrite autour d'une pyramide lorsqu'à la base de la pyramide se trouve un polyèdre autour duquel un cercle peut être décrit (condition nécessaire et suffisante). Le centre de la sphère sera le point d’intersection des plans passant perpendiculairement par les milieux des bords latéraux de la pyramide.
Il est toujours possible de décrire une sphère autour de n'importe quelle pyramide triangulaire ou régulière.
Une sphère peut être inscrite dans une pyramide si les plans bissecteurs des angles dièdres internes de la pyramide se coupent en un point (condition nécessaire et suffisante). Ce point sera le centre de la sphère.
Connexion d'une pyramide avec un cône
Un cône est dit inscrit dans une pyramide si leurs sommets coïncident et que la base du cône est inscrite dans la base de la pyramide.
Un cône peut s'inscrire dans une pyramide si les apothèmes de la pyramide sont égaux les uns aux autres.
Un cône est dit circonscrit à une pyramide si leurs sommets coïncident et que la base du cône est circonscrite à la base de la pyramide.
Un cône peut être décrit autour d’une pyramide si tous les bords latéraux de la pyramide sont égaux les uns aux autres.
Relation entre une pyramide et un cylindre
Une pyramide est dite inscrite dans un cylindre si le sommet de la pyramide repose sur une base du cylindre et que la base de la pyramide est inscrite dans une autre base du cylindre.
Un cylindre peut être décrit autour d’une pyramide si un cercle peut être décrit autour de la base de la pyramide.
Un tétraèdre a quatre faces, quatre sommets et six arêtes, deux arêtes n'ayant pas de sommets communs mais ne se touchant pas.
Chaque sommet est constitué de trois faces et arêtes qui forment angle triangulaire.
Le segment reliant le sommet d'un tétraèdre au centre de la face opposée est appelé médiane du tétraèdre(GM).
Bimédian appelé segment reliant les milieux des bords opposés qui ne se touchent pas (KL).
Toutes les bimédianes et médianes d'un tétraèdre se coupent en un point (S). Dans ce cas, les bimédianes sont divisées en deux et les médianes sont divisées dans un rapport de 3 : 1 en partant du haut.
Définition. Pyramide à angle aigu- une pyramide dans laquelle l'apothème fait plus de la moitié de la longueur du côté de la base.
Définition. Pyramide obtuse- une pyramide dont l'apothème fait moins de la moitié de la longueur du côté de la base.
Définition. Tétraèdre régulier- un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. Il est l'un des cinq polygones réguliers. Dans un tétraèdre régulier, tous les angles dièdres (entre les faces) et les angles trièdres (au sommet) sont égaux.
Définition. Tétraèdre rectangulaire s'appelle un tétraèdre dans lequel il y a un angle droit entre trois arêtes au sommet (les arêtes sont perpendiculaires). Trois visages se forment angle triangulaire rectangulaire et les bords sont triangles rectangles, et la base est un triangle arbitraire. L'apothème d'une face est égal à la moitié du côté de la base sur laquelle tombe l'apothème.
Définition. Tétraèdre isoédrique s'appelle un tétraèdre dont les faces latérales sont égales les unes aux autres et dont la base est un triangle régulier. Un tel tétraèdre a des faces qui sont des triangles isocèles.
Définition. Tétraèdre orthocentrique s'appelle un tétraèdre dans lequel toutes les hauteurs (perpendiculaires) qui descendent du haut vers la face opposée se coupent en un point.
Définition. Pyramide étoilée appelé polyèdre dont la base est une étoile.
