Calcul de l'espérance mathématique et de la variance. Variables aléatoires discrètes

Les variables aléatoires, en plus des lois de distribution, peuvent également être décrites caractéristiques numériques .

Attente mathématique M (x) d'une variable aléatoire est appelée sa valeur moyenne.

Valeur attendue la variable aléatoire discrète est calculée par la formule

Où – valeurs de variables aléatoires, p je - leurs probabilités.

Considérons les propriétés de l'espérance mathématique :

1. L'espérance mathématique d'une constante est égale à la constante elle-même

2. Si une variable aléatoire est multipliée par un certain nombre k, alors l'espérance mathématique sera multipliée par le même nombre

M (kx) = kM (x)

3. L'espérance mathématique de la somme des variables aléatoires est égale à la somme de leurs espérances mathématiques

M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)

4. M (x 1 - x 2) = M (x 1) - M (x 2)

5. Pour les variables aléatoires indépendantes x 1, x 2, … x n, l'espérance mathématique du produit est égale au produit de leurs espérances mathématiques

M (x 1, x 2, ... x n) = M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0

Calculons l'espérance mathématique pour la variable aléatoire de l'exemple 11.

M(x) = = .

Exemple 12. Soit les variables aléatoires x 1, x 2 spécifiées en conséquence par les lois de distribution :

x 1 Tableau 2

x 2 Tableau 3

Calculons M (x 1) et M (x 2)

M (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 = 0

M (x 2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 = 0

Les attentes mathématiques des deux variables aléatoires sont les mêmes : elles sont égales à zéro. Cependant, la nature de leur répartition est différente. Si les valeurs de x 1 diffèrent peu de leur espérance mathématique, alors les valeurs de x 2 diffèrent dans une large mesure de leur espérance mathématique et les probabilités de tels écarts ne sont pas faibles. Ces exemples montrent qu'il est impossible de déterminer à partir de la valeur moyenne quels écarts se produisent, à la fois plus petits et plus grands. grand côté. Ainsi, avec les mêmes précipitations annuelles moyennes dans deux zones, on ne peut pas dire que ces zones soient également favorables aux travaux agricoles. Semblable à la moyenne salaires il n'est pas possible de juger densité spécifique travailleurs à hauts et bas salaires. Par conséquent, une caractéristique numérique est introduite - dispersion D(x) , qui caractérise le degré d'écart d'une variable aléatoire par rapport à sa valeur moyenne :

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

La dispersion est l'espérance mathématique de l'écart carré d'une variable aléatoire par rapport à l'espérance mathématique. Pour une variable aléatoire discrète, la variance est calculée à l'aide de la formule :

ré(x)= = (3)

De la définition de la dispersion, il résulte que D (x) 0.

Propriétés de dispersion :

1. La variance de la constante est nulle

2. Si une variable aléatoire est multipliée par un certain nombre k, alors la variance sera multipliée par le carré de ce nombre

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) = M (x 2) – M 2 (x)

4. Pour les variables aléatoires indépendantes par paires x 1 , x 2 , … x n la variance de la somme est égale à la somme des variances.

D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)

Calculons la variance de la variable aléatoire de l'exemple 11.

Espérance mathématique M (x) = 1. Par conséquent, d'après la formule (3) nous avons :

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

Notez qu'il est plus facile de calculer la variance si vous utilisez la propriété 3 :

D (x) = M (x 2) – M 2 (x).

Calculons les variances pour les variables aléatoires x 1 , x 2 de l'exemple 12 en utilisant cette formule. Les attentes mathématiques des deux variables aléatoires sont nulles.

D (x 1) = 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204

D (x 2) = (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 = 240 +20 = 260

Comment valeur plus proche dispersion à zéro, plus l'écart de la variable aléatoire par rapport à la valeur moyenne est petit.

La quantité s'appelle écart-type. Mode variable aléatoire X type discret Md La valeur d'une variable aléatoire qui a la probabilité la plus élevée est appelée.

Mode variable aléatoire X type continu Md, est un nombre réel défini comme le point maximum de la densité de distribution de probabilité f(x).

Médiane d'une variable aléatoire X type continu Mn est un nombre réel qui satisfait l'équation

Variable aléatoire appelé valeur variable, qui, à la suite de chaque test, prend une valeur jusqu'alors inconnue, en fonction de raisons aléatoires. Les variables aléatoires sont désignées par des lettres majuscules latines : $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Selon leur type, les variables aléatoires peuvent être discret Et continu.

Variable aléatoire discrète- il s'agit d'une variable aléatoire dont les valeurs ne peuvent être que dénombrables, c'est-à-dire finies ou dénombrables. Par dénombrabilité, nous entendons que les valeurs d'une variable aléatoire peuvent être numérotées.

Exemple 1 . Voici des exemples de variables aléatoires discrètes :

a) le nombre de coups sur la cible avec $n$ tirs, ici les valeurs possibles sont $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) le nombre d'emblèmes abandonnés lors du lancer d'une pièce, ici les valeurs possibles sont $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) le nombre de navires arrivant à bord (un ensemble dénombrable de valeurs).

d) le nombre d'appels arrivant au PBX (ensemble dénombrable de valeurs).

1. Loi de distribution de probabilité d'une variable aléatoire discrète.

Une variable aléatoire discrète $X$ peut prendre des valeurs $x_1,\dots ,\ x_n$ avec des probabilités $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. La correspondance entre ces valeurs et leurs probabilités s'appelle loi de distribution d'une variable aléatoire discrète. En règle générale, cette correspondance est précisée à l'aide d'un tableau dont la première ligne indique les valeurs $x_1,\dots ,\ x_n$, et la deuxième ligne les probabilités $p_1,\dots ,\ p_n$. correspondant à ces valeurs sont indiquées.

$\begin(tableau)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(tableau)$

Exemple 2 . Soit la variable aléatoire $X$ le nombre de points obtenu en lançant un dé. Une telle variable aléatoire $X$ peut prendre les valeurs suivantes : $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Les probabilités de toutes ces valeurs sont égales à 1/6$. Puis la loi de distribution de probabilité de la variable aléatoire $X$ :

$\begin(tableau)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(tableau)$

Commentaire. Puisque dans la loi de distribution d'une variable aléatoire discrète $X$ les événements $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ forment groupe completévénements, alors la somme des probabilités doit être égale à un, c'est-à-dire $\sum(p_i)=1$.

2. Espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète.

Attente d'une variable aléatoire fixe sa signification « centrale ». Pour une variable aléatoire discrète, l'espérance mathématique est calculée comme la somme des produits des valeurs $x_1,\dots ,\ x_n$ et des probabilités $p_1,\dots ,\ p_n$ correspondant à ces valeurs, soit : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Dans la littérature de langue anglaise, une autre notation $E\left(X\right)$ est utilisée.

Propriétés de l'espérance mathématique$M\gauche(X\droite)$ :

1. $M\left(X\right)$ est contenu entre le plus petit et valeurs les plus élevées variable aléatoire $X$.
2. L'espérance mathématique d'une constante est égale à la constante elle-même, c'est-à-dire $M\gauche(C\droite)=C$.
3. Le facteur constant peut être soustrait du signe de l'espérance mathématique : $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. L'espérance mathématique de la somme des variables aléatoires est égale à la somme de leurs espérances mathématiques : $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. L'espérance mathématique du produit de variables aléatoires indépendantes est égale au produit de leurs espérances mathématiques : $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Exemple 3 . Trouvons l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ de l'exemple $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\sur (6))+4\cdot ((1)\sur (6))+5\cdot ((1)\sur (6))+6\cdot ((1 )\plus de (6))=3,5.$$

On peut remarquer que $M\left(X\right)$ se situe entre la plus petite ($1$) et la plus grande ($6$) valeurs de la variable aléatoire $X$.

Exemple 4 . On sait que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est égale à $M\left(X\right)=2$. Trouvez l'espérance mathématique de la variable aléatoire $3X+5$.

En utilisant les propriétés ci-dessus, nous obtenons $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Exemple 5 . On sait que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est égale à $M\left(X\right)=4$. Trouvez l'espérance mathématique de la variable aléatoire $2X-9$.

En utilisant les propriétés ci-dessus, nous obtenons $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Dispersion d'une variable aléatoire discrète.

Les valeurs possibles de variables aléatoires avec des attentes mathématiques égales peuvent se disperser différemment autour de leurs valeurs moyennes. Par exemple, dans deux groupes d'étudiants GPA pour l'examen de théorie des probabilités, il s'est avéré égal à 4, mais dans un groupe, tout le monde s'est avéré être de bons étudiants, et dans l'autre groupe, il n'y avait que des étudiants C et d'excellents étudiants. Par conséquent, il existe un besoin pour une caractéristique numérique d'une variable aléatoire qui montrerait la répartition des valeurs de la variable aléatoire autour de son espérance mathématique. Cette caractéristique est la dispersion.

Variance d'une variable aléatoire discrète$X$ est égal à :

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

Dans la littérature anglaise, la notation $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ est utilisée. Très souvent, la variance $D\left(X\right)$ est calculée à l'aide de la formule $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ gauche(X \droite)\droite))^2$.

Propriétés de dispersion$D\gauche(X\droite)$ :

1. La variance est toujours supérieure ou égale à zéro, c'est-à-dire $D\gauche(X\droite)\ge 0$.
2. La variance de la constante est nulle, c'est-à-dire $D\gauche(C\droite)=0$.
3. Le facteur constant peut être soustrait du signe de la dispersion à condition qu'il soit au carré, c'est-à-dire : $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. La variance de la somme des variables aléatoires indépendantes est égale à la somme de leurs variances, c'est-à-dire $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. La variance de la différence entre variables aléatoires indépendantes est égale à la somme de leurs variances, c'est-à-dire $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Exemple 6 . Calculons la variance de la variable aléatoire $X$ à partir de l'exemple $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\over (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\over (12))\environ 2,92.$$

Exemple 7 . On sait que la variance de la variable aléatoire $X$ est égale à $D\left(X\right)=2$. Trouvez la variance de la variable aléatoire $4X+1$.

En utilisant les propriétés ci-dessus, nous trouvons $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ gauche(X\droite)=16\cdot 2=32$.

Exemple 8 . On sait que la variance de la variable aléatoire $X$ est égale à $D\left(X\right)=3$. Trouvez la variance de la variable aléatoire $3-2X$.

En utilisant les propriétés ci-dessus, nous trouvons $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ gauche(X\droite)=4\cdot 3=12$.

4. Fonction de distribution d'une variable aléatoire discrète.

La méthode de représentation d'une variable aléatoire discrète sous la forme d'une série de distribution n'est pas la seule, et surtout, elle n'est pas universelle, puisqu'une variable aléatoire continue ne peut pas être spécifiée à l'aide d'une série de distribution. Il existe une autre façon de représenter une variable aléatoire : la fonction de distribution.

Fonction de distribution la variable aléatoire $X$ est appelée une fonction $F\left(x\right)$, qui détermine la probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne une valeur inférieure à une valeur fixe $x$, c'est-à-dire $F\ gauche(x\droite)=P\gauche(X< x\right)$

Propriétés de la fonction de distribution:

1. $0\le F\gauche(x\droite)\le 1$.
2. La probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne des valeurs de l'intervalle $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ est égale à la différence entre les valeurs de la fonction de distribution aux extrémités de cet intervalle : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - non décroissant.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

Exemple 9 . Trouvons la fonction de distribution $F\left(x\right)$ pour la loi de distribution de la variable aléatoire discrète $X$ de l'exemple $2$.

$\begin(tableau)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(tableau)$

Si $x\le 1$, alors, évidemment, $F\left(x\right)=0$ (y compris pour $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Si 1 $< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Si 2 $< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Si 3 $< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Si 4$< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Si 5$< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Si $x > 6$, alors $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\gauche(X=4\droite)+P\gauche(X=5\droite)+P\gauche(X=6\droite)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Donc $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ à\ x\le 1,\\
1/6,à\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ à\ 2< x\le 3,\\
1/2,à\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ à\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ à\ 4< x\le 5,\\
1,\ pour\ x > 6.
\fin(matrice)\droite.$

L'espérance mathématique est la définition

L'attente de l'échec et mat est l'un des concepts les plus importants de la statistique mathématique et de la théorie des probabilités, caractérisant la distribution des valeurs ou probabilités Variable aléatoire. Généralement exprimé sous forme de moyenne pondérée de tous les paramètres possibles d’une variable aléatoire. Largement utilisé dans analyse technique, recherche série de nombres, l'étude des processus continus et à long terme. Il a important lors de l'évaluation des risques, de la prévision des indicateurs de prix lors de la négociation sur Marchés financiers, est utilisé dans le développement de stratégies et de méthodes de tactiques de jeu dans théories du jeu.

Échec et mat en attente- Ce valeur moyenne d'une variable aléatoire, distribution probabilités la variable aléatoire est prise en compte dans la théorie des probabilités.

L'attente de l'échec et mat est une mesure de la valeur moyenne d'une variable aléatoire dans la théorie des probabilités. Échec et mat l'attente d'une variable aléatoire X désigné par M(x).

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

L'attente de l'échec et mat est

L'attente de l'échec et mat est en théorie des probabilités, moyenne pondérée de toutes les valeurs possibles que peut prendre une variable aléatoire.

L'attente de l'échec et mat est la somme des produits de toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire et les probabilités de ces valeurs.

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

L'attente de l'échec et mat est le bénéfice moyen d'une décision particulière, à condition qu'une telle décision puisse être considérée dans le cadre de la théorie des grands nombres et des longues distances.

L'attente de l'échec et mat est dans la théorie du jeu, montant des gains qu'un spéculateur peut gagner ou perdre, en moyenne, sur chaque pari. Dans le langage du jeu spéculateurs c'est ce qu'on appelle parfois "avantage" spéculateur" (s'il est positif pour le spéculateur) ou "house edge" (s'il est négatif pour le spéculateur).

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

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Chaque valeur individuelle est entièrement déterminée par sa fonction de distribution. Aussi, pour résoudre des problèmes pratiques, il suffit de connaître plusieurs caractéristiques numériques, grâce auxquelles il devient possible de présenter sous une forme courte les principales caractéristiques d'une variable aléatoire.

Ces quantités comprennent principalement valeur attendue Et dispersion .

Valeur attendue— la valeur moyenne d'une variable aléatoire en théorie des probabilités. Noté comme .

Le plus d'une manière simple espérance mathématique d'une variable aléatoire X(w), découvrez comment intégralLebesgue par rapport à la mesure de probabilité R. original espace de probabilité

Vous pouvez également trouver l'espérance mathématique d'une valeur comme intégrale de Lebesgue depuis X par distribution de probabilité R X quantités X:

où est l'ensemble de toutes les valeurs possibles X.

Espérance mathématique des fonctions d'une variable aléatoire X trouvé grâce à la distribution R X. Par exemple, Si X- une variable aléatoire avec des valeurs dans et f(x)- sans ambiguïté de Borelfonction X , Que:

Si F(x)- fonction de distribution X, alors l'espérance mathématique est représentable intégralLebesgue - Stieltjes (ou Riemann - Stieltjes) :

dans ce cas, l'intégrabilité X En termes de ( * ) correspond à la finitude de l'intégrale

DANS cas spécifiques, Si X a une distribution discrète avec des valeurs probables xk, k=1, 2, . , et les probabilités, alors

Si X a une distribution absolument continue avec une densité de probabilité p(x), Que

dans ce cas, l'existence d'une espérance mathématique équivaut à la convergence absolue de la série ou intégrale correspondante.

Propriétés de l'espérance mathématique d'une variable aléatoire.

• L'espérance mathématique d'une valeur constante est égale à cette valeur :

C- constante;

• M=C.M[X]

• L'espérance mathématique de la somme des valeurs prises au hasard est égale à la somme de leurs espérances mathématiques :

• L'espérance mathématique du produit de variables indépendantes prises au hasard = le produit de leurs espérances mathématiques :

M=M[X]+M[Y]

Si X Et Oui indépendant.

si la série converge :

Algorithme de calcul de l'espérance mathématique.

Propriétés des variables aléatoires discrètes : toutes leurs valeurs peuvent être renumérotées nombres naturels; attribuez à chaque valeur une probabilité non nulle.

1. Multipliez les paires une par une : x je sur p je.

2. Ajoutez le produit de chaque paire x je p je.

Par exemple, Pour n = 4 :

Fonction de distribution d'une variable aléatoire discrète par étapes, elle augmente brusquement aux points dont les probabilités ont un signe positif.

Exemple: Trouvez l'espérance mathématique à l'aide de la formule.

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire X est la valeur moyenne.

1. M(C) = C

2. M(CX) = CM(X), Où C= const

3. M(X ± Y) = M(X) ± M(Y)

4. Si des variables aléatoires X Et Oui sont indépendants, alors M(XY) = M(X) M(Y)

Dispersion

La variance d'une variable aléatoire X est appelée

D(X) = S(x – M(X)) 2 p = M(X 2 ) –M 2 (X).

La dispersion est une mesure de l'écart des valeurs d'une variable aléatoire par rapport à sa valeur moyenne.

1. ré(C) = 0

2. ré(X + C) = ré(X)

3. D(CX) = C 2 D(X), Où C= const

4. Pour les variables aléatoires indépendantes

D(X ± Oui) = D(X) + D(Y)

5. D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2Cov(x, y)

Racine carrée de la variance de la variable aléatoire X est appelé l'écart type .

@Tâche 3: Laissez la variable aléatoire X prendre seulement deux valeurs (0 ou 1) avec probabilités q, p, Où p + q = 1. Trouvez l’espérance mathématique et la variance.

Solution:

M(X) = 1 p + 0 q = p; ré(X) = (1 – p) 2 p + (0 – p) 2 q = pq.

@Tâche 4: Espérance et variance d'une variable aléatoire X sont égaux à 8. Trouvez l'espérance mathématique et la variance des variables aléatoires : a) X-4; b) 3X – 4.

Solution : M(X – 4) = M(X) – 4 = 8 – 4 = 4 ; D(X – 4) = D(X) = 8 ; M(3X – 4) = 3M(X) – 4 = 20 ; D(3X – 4) = 9D(X) = 72.

@Tâche 5: L'ensemble des familles a la répartition suivante par nombre d'enfants :

x je	x1	x2
p je	0,1	p2	0,4	0,35

Définir x1, x2 Et p2, si l'on sait que M(X) = 2 ; D(X) = 0,9.

Solution : La probabilité p 2 est égale à p 2 = 1 – 0,1 – 0,4 – 0,35 = 0,15. Les x inconnus sont trouvés à partir des équations : M(X) = x 1 ·0,1 + x 2 ·0,15 + 2·0,4 + 3·0,35 = 2 ; D(X) = ·0,1 + ·0,15 + 4·0,4 + 9·0,35 – 4 = 0,9. x1 = 0 ; x2 = 1.

Population et échantillon. Estimations des paramètres

Observation sélective

L'observation statistique peut être organisée en continu ou non. L'observation continue consiste à examiner toutes les unités de la population étudiée (population générale). Population est un ensemble de physiques ou entités juridiques, que le chercheur étudie en fonction de sa tâche. Cela n’est souvent pas économiquement viable, voire parfois impossible. À cet égard, seule une partie de la population générale est étudiée - échantillon de population .

Les résultats obtenus à partir d’un échantillon de population peuvent être étendus à la population générale si les principes suivants sont respectés :

1. La population échantillon doit être déterminée de manière aléatoire.

2. Le nombre d'unités dans la population échantillonnée doit être suffisant.

3. Doit être fourni représentativité ( représentativité) de l’échantillon. Un échantillon représentatif est un modèle plus petit mais précis de la population qu’il est censé refléter.

Types d'échantillons

En pratique, ils sont utilisés types suivantséchantillons :

a) strictement aléatoire, b) mécanique, c) typique, d) en série, e) combiné.

Échantillonnage aléatoire approprié

À échantillon aléatoire réel la sélection des unités dans la population échantillonnée est effectuée de manière aléatoire, par exemple par tirage au sort ou par un générateur de nombres aléatoires.

Les échantillons peuvent être répétés ou non. Lors du rééchantillonnage, l'unité qui était incluse dans l'échantillon est renvoyée et stockée l'égalité des chancesêtre à nouveau inclus dans l’échantillon. Dans l'échantillonnage non répétitif, une unité de population incluse dans l'échantillon ne participera pas à l'échantillon à l'avenir.

Les erreurs inhérentes à l'observation par échantillonnage, dues au fait que la population échantillonnée ne reproduit pas complètement la population générale, sont appelées erreurs types . Ils représentent la différence quadratique moyenne entre les valeurs des indicateurs obtenus à partir de l'échantillon et les valeurs correspondantes des indicateurs de la population générale.

Formules de calcul erreur standard avec sélection aléatoire répétée ce qui suit : , et avec sélection aléatoire non répétitive ce qui suit : , où S 2 est la variance de la population échantillon, n/N – partage d'échantillon, n, N- le nombre d'unités dans l'échantillon et la population générale. À n = N erreur type m = 0.

Échantillonnage mécanique

À échantillonnage mécanique La population est divisée en intervalles égaux et une unité est sélectionnée au hasard dans chaque intervalle.

Par exemple, avec un taux d'échantillonnage de 2 %, une unité sur 50 est sélectionnée dans la liste de population.

L'erreur standard de l'échantillonnage mécanique est définie comme l'erreur d'un échantillonnage véritablement aléatoire et non répétitif.

Échantillon typique

À échantillon typique la population générale est divisée en groupes typiques homogènes, puis des unités sont sélectionnées au hasard dans chaque groupe.

Un échantillon type est utilisé dans le cas d’une population hétérogène. Un échantillon typique fournit des résultats plus précis car il garantit la représentativité.

Par exemple, les enseignants, en tant que population générale, sont divisés en groupes selon les caractéristiques suivantes : sexe, expérience, qualifications, éducation, milieu urbain et écoles rurales etc.

Les erreurs types d'un échantillon typique sont définies comme les erreurs d'un échantillon véritablement aléatoire, avec la seule différence que S2 est remplacé par la moyenne des variances intra-groupe.

Échantillonnage en série

À échantillonnage en série la population générale est divisée en groupes distincts (séries), puis des groupes sélectionnés au hasard sont soumis à une observation continue.

Les erreurs types d'un échantillon en série sont définies comme les erreurs d'un échantillon véritablement aléatoire, à la seule différence que S2 est remplacé par la moyenne des variances inter-groupes.

Échantillon combiné

Échantillon combiné est une combinaison de deux ou plusieurs types d’échantillons.

Estimation ponctuelle

Le but ultime l'observation d'un échantillon consiste à trouver les caractéristiques de la population. Comme cela ne peut être fait directement, les caractéristiques de la population échantillon sont étendues à la population générale.

La possibilité fondamentale de déterminer la moyenne arithmétique de la population à partir des données de l'échantillon moyen est prouvée Théorème de Chebyshev. Avec un grossissement illimité n la probabilité que la différence entre la moyenne de l’échantillon et la moyenne générale soit arbitrairement petite tend vers 1.

Cela signifie que les caractéristiques de la population avec une précision de . Cette évaluation est appelée indiquer .

Estimation d'intervalle

La base de l’estimation d’intervalle est théorème central limite.

Estimation d'intervalle permet de répondre à la question : dans quel intervalle et avec quelle probabilité se situe la valeur inconnue et recherchée du paramètre de population ?

On parle généralement de probabilité de confiance p = 1 – a, avec lequel ce sera dans l'intervalle – D< < + D, где D = t cr m > 0 erreur marginale des échantillons, un - niveau de signification (probabilité que l'inégalité soit fausse), t cr - valeur critique, qui dépend des valeurs n et un. Pour un petit échantillon n< 30 t cr est spécifié en utilisant la valeur critique de la distribution t de Student pour un test bilatéral avec n– 1 degrés de liberté de niveau de signification a ( t cr(n – 1, a) se trouve dans le tableau « Valeurs critiques de la distribution t de Student », annexe 2). Pour n > 30, t cr est un quantile de la loi de distribution normale ( t cr se trouve à partir du tableau des valeurs de la fonction de Laplace F(t) = (1 – a)/2 comme argument). À p = 0,954 la valeur critique t cr= 2 à p = 0,997 valeur critique t cr= 3. Cela signifie que l'erreur marginale est généralement 2 à 3 fois supérieure à l'erreur standard.

Ainsi, l'essence de la méthode d'échantillonnage est que, sur la base des données statistiques d'une certaine petite partie de la population, il est possible de trouver un intervalle dans lequel, avec une probabilité de confiance p on retrouve la caractéristique recherchée de la population générale (nombre moyen de travailleurs, score moyen, rendement moyen, écart type, etc.).

@Tache 1. Déterminer la rapidité des règlements avec les créanciers des entreprises par actions en Banque commerciale Un échantillon aléatoire de 100 documents de paiement a été réalisé, selon lequel durée moyenne le transfert et la réception de l'argent se sont avérés être de 22 jours (= 22) avec un écart type de 6 jours (S = 6). Avec probabilité p= 0,954 déterminer l'erreur maximale de la moyenne de l'échantillon et de l'intervalle de confiance Durée moyenne règlements des entreprises de cette société.

Solution : Erreur marginale de la moyenne de l'échantillon selon(1)égal à D= 2· 0,6 = 1,2, et l'intervalle de confiance est défini comme (22 – 1,2 ; 22 + 1,2), c'est-à-dire (20,8 ; 23,2).

§6.5 Corrélation et régression