Subsumer le numérateur sous le signe différentiel

C'est la dernière partie de la leçon, cependant, les intégrales de ce type sont assez courantes ! Si vous êtes fatigué, peut-être vaut-il mieux lire demain ? ;)

Les intégrales que nous considérerons sont similaires aux intégrales du paragraphe précédent, elles ont la forme : ou (coefficients , et ne sont pas égaux à zéro).

Autrement dit, nous avons maintenant une fonction linéaire au numérateur. Comment résoudre de telles intégrales ?

Exemple 14

Soyez prudent, nous allons maintenant examiner un algorithme typique.

1) Lorsqu'on lui donne une intégrale de la forme ou (les coefficients , et ne sont pas égaux à zéro), alors la première chose que nous faisons est... de prendre un brouillon. Le fait est que nous devons maintenant effectuer une petite sélection.

2) On conclut l'expression qui est au dénominateur (peu importe - sous la racine ou sans la racine) sous le signe différentiel, dans cet exemple :

3) Ouvrir le différentiel :

Regardons le numérateur de notre intégrale :

Les choses se sont avérées un peu différentes... Et maintenant, nous devons sélectionner un multiplicateur pour le différentiel, de telle sorte que lorsqu'il s'ouvre, nous obtenions au moins . Dans ce cas, le multiplicateur approprié est :

4) Pour la maîtrise de soi, on ouvre à nouveau notre différentiel :

Regardons à nouveau le numérateur de notre intégrale : .
C’est plus proche, mais nous avons le mauvais terme :

5) À notre différentiel :
– on attribue le terme que l’on avait initialement dans l’intégrande :

– Soustraire ( dans ce cas, on soustrait, parfois il faut, au contraire, ajouter) notre « mauvais » terme :
– Nous mettons les deux constantes entre parenthèses et attribuons un symbole différentiel à droite :

– Soustraire (dans certains exemples, vous devez ajouter) constantes :

6) On vérifie :

Nous avons obtenu exactement le numérateur de l'intégrande, ce qui signifie que la sélection a été réussie.

La conception finale de la solution ressemble à ceci :

(1) Nous sélectionnons le numérateur sur le brouillon selon l'algorithme discuté ci-dessus. Nous veillons à vérifier si la sélection a été effectuée correctement. Avec une certaine expérience dans la résolution d’intégrales, la sélection n’est pas difficile à effectuer dans votre tête.

(2) Divisez le numérateur par le dénominateur terme par terme. Dans la résolution pratique de problèmes, cette étape peut être omise

(3) En utilisant la propriété de linéarité, nous séparons les intégrales. Il est conseillé de déplacer toutes les constantes en dehors des signes intégraux.

(4) La première intégrale est en fait tabulaire ; nous utilisons la formule (nous ajouterons une constante plus tard lorsque nous prendrons la deuxième intégrale). Dans la deuxième intégrale, nous sélectionnons un carré complet (nous avons examiné ce type d'intégrales dans le paragraphe précédent).

Le reste est une question de technique.

Et, pour commencer, quelques exemples que vous pourrez résoudre vous-même : l’un est plus simple, l’autre est plus complexe.

Exemple 15

Trouvez l'intégrale indéfinie :

Exemple 16

Trouvez l'intégrale indéfinie :

Pour résoudre ces exemples, un cas particulier d'intégration d'une fonction puissance, qui n'est pas dans mon tableau, sera utile :

Comme vous pouvez le constater, l’intégration de fractions est une tâche fastidieuse ; vous devez souvent recourir à des techniques et à des sélections artificielles. Mais que faire…

Il existe d'autres types de fractions, appelées fonctions fractionnaires-rationnelles, elles sont résolues par la méthode des coefficients indéfinis. Mais c'est déjà le sujet de la leçon Intégration de fonctions fractionnement rationnelles.

Calcul intégral

1.1 Primitive, intégrale indéfinie

Définition. Fonction F(x) appelé la primitive de la fonction f(x) sur l'ensemble X si pour tout .

Expression F(x)+C représente la famille de toutes les primitives de la fonction f(x). (C=const).

Définition. Si F(x)– une des primitives de la fonction f(x), alors l'expression F(x)+C appelée intégrale indéfinie.

Désigné .

Les propriétés les plus simples.

1)

2)

3)

Tableau des intégrales de base

1) .	10) .
2) .	11) .
3) .	12) .
4) .	13) .
5) .	14) .
6) .	15) .
7) .	16) .
8) .	17) .
9) .

En particulier:

; ; .

De la définition et des propriétés de l'intégrale indéfinie, il s'ensuit que la différenciation et l'intégration sont des actions mutuellement inverses : la dérivée du côté droit dans chaque formule est égale à l'intégrande. Vérifions, par exemple, la formule 2.

Exemples:

Méthodes d'intégration

Méthode de subsomption d'un signe différentiel (substitution orale d'une variable)

Si l'intégrale par rapport à une variable donnée n'est pas tabulaire, alors dans certains cas, elle peut être réduite à une intégrale par rapport à une nouvelle variable en subsumant la fonction souhaitée sous le signe différentiel.

Dans ce cas, il est pratique d'utiliser les formules suivantes, qui sont obtenues à partir des formules de différenciation lues dans l'ordre inverse :

…
, n≠-1

Exemples(voir tâche 1a)

Méthode de remplacement de variable écrite (substitution)

1. Introduire une nouvelle variable (substitution)

2. Différenciez la substitution.

3. Nous introduisons une nouvelle variable dans l'intégrande.

4. Calculez l’intégrale.

5. Nous revenons à l'ancienne variable.

Exemples(voir tâche 1a) :

Méthode d'intégration par parties

Cette méthode est utilisée pour les intégrales de la forme :

UN) , , ;

b) , , , , ;

où est un polynôme.

La formule d'intégration par parties ressemble à :

.

1) Pour les intégrales de type a) prendre U = P(x), tout le reste est dV.

2) Pour les intégrales de type b) prendre dV =P(x)dx.

3) pour les intégrales de type c) pour U acceptez n’importe quelle fonction, la méthode est appliquée deux fois.

Exemples(voir tâche 1b) :

.

4) la solution peut s'écrire différemment :

Nous avons obtenu l'intégrale initiale ; oui

Intégrale définie

Problème de zone.

Calculons l'aire d'une figure plate délimitée par le graphique d'une fonction continue non négative y=f(x), droit x=a, x=b, segment [ un B]. Cette figure s'appelle un trapèze courbe.

1) Divisons le segment [ un B] au hasard pour n parties avec des points. On a n petits segments avec des longueurs ; .

2) Tracez des lignes verticales passant par les points de division. Le trapèze va s'introduire n trapèze. Sur chacun des segments élémentaires on choisit arbitrairement un point .

Trouvons les valeurs de la fonction en ces points

Prenons ces ordonnées comme hauteurs des rectangles.

3) Calculons que les aires des petits trapèzes courbes sont approximativement égales aux aires des rectangles avec bases et hauteurs. Alors

Plus les segments de division sont petits, plus cette égalité est précise. Pour la valeur exacte de l'aire d'un trapèze, nous prendrons la limite vers laquelle tendent les aires des figures en escalier à mesure que le nombre de segments de division augmente indéfiniment et que la plus longue des longueurs de ces segments tend vers zéro.

.

Propriétés d'une intégrale définie

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

6) Si, alors ;

Si donc.

Conséquence. Si donc .

7) Si f(x) est continu sur [ un B], m, M- sa valeur respectivement la plus petite et la plus grande sur [ un B], alors l'estimation est valide

8) (Théorème de la valeur moyenne). Si f(x) est continu sur [ un B], alors il y a au moins un point tel que

Formule de Newton-Leibniz

Laisser f(x)– allumé en continu [ un B], F(x)– primitive de fonction f(x) sur [ un B], alors l'intégrale définie est égale à l'incrément de la primitive (c'est-à-dire l'intégrale indéfinie) sur ce segment :

Exemples

Intégration par parties

(voir intégration par parties dans la section "Intégrale indéfinie")

La formule d'intégration par parties pour une intégrale définie a la forme

Exemple.

Changer une variable dans une intégrale définie

Théorème. Laisser f(x) est continu sur [ un B], introduisez la substitution . Si

1) continu pendant ,

2) lors du changement t de à , la fonction passe de un avant b, , alors la formule de remplacement de variable est valide :

Exemple (voir tâche 2) :

Concepts de base

1. Équation différentielle (DE) est une équation qui relie la variable indépendante, la fonction souhaitée et ses dérivées :

2. L'ordre le plus élevé de la dérivée de la fonction souhaitée incluse dans le DE est appelé Commande DU.

3. Résoudre une équation différentielle signifie trouver toutes les fonctions qui la satisfont, c'est-à-dire qu'en les substituant dans l'équation, elle se transforme en identité.

4. Trouver des solutions au DE s'appelle intégration de la télécommande, le graphe de solution pour le DE s'appelle courbe intégrale.

Fonctions homogènes

Fonction f(x,y) dit homogène kème degré d'homogénéité, si l'égalité est vraie :

En particulier, si

– fonction homogène de degré d'homogénéité nul.

Exemples

1) .

– fonction homogène du deuxième degré d'homogénéité.

2) .

– fonction homogène de degré d'homogénéité nul.

Chances

Ce sont des équations de la forme

,

(1)

où sont les constantes.

La solution générale d’une telle équation a la forme

où sont des constantes arbitraires

Solution générale d'une équation homogène,

Solutions partielles linéairement indépendantes de l’équation (1).

Définition. Les fonctions et sont dites linéairement indépendantes (dépendantes) de ( un B), si à

La résolution de l'équation (1) se réduit à la résolution de l'équation algébrique

,

(2)

appelée caractéristique, dans laquelle le degré k est égal à l'ordre de la dérivée dans l'équation (1).

Les cas suivants sont possibles :

1. Quand l'équation (2) a des racines réelles différentes , alors les solutions partielles de DE (1) ont la forme , (qui peut être vérifiée par substitution directe).

Ils sont linéairement indépendants (voir définition). Alors la solution générale (1) a la forme :

2. Quand l'équation caractéristique (2) a deux racines réelles égales, alors les solutions partielles de D.U. (1) sont des fonctions, la solution générale (1) a la forme

3. Si , alors l'équation caractéristique (2) n'a pas de racines réelles, mais a des racines complexes de la forme .

Puis des solutions particulières

La solution générale (1) a la forme

Exemples(voir tâche 5) :

1) , créons une équation caractéristique :

; ; .

2) , créons une équation caractéristique

;

;

3)

Lignes

Série, convergence, somme.

Soit une séquence de nombres

Série de numéros expression appelée

. (1)

La somme des premiers termes s'appelle montant partiel.

Les sommes partielles forment à leur tour la séquence , qui converge pour certaines séries et diverge pour d’autres.

La ligne (1) est appelée convergent, s'il existe une limite finie à la séquence de sommes partielles.

S s'appelle la somme de la série. Si cette limite n'existe pas ou est égale à l'infini, alors la série s'appelle divergent.

Les séries divergentes n'ont pas de somme.

Série alternée

Le signe de Leibniz.

Si dans une série alternée

1) les valeurs absolues des membres de la série diminuent ;

alors la série alternée converge et sa somme ne dépasse pas le module du premier terme.

Conséquence. Laissez les séries alternées converger selon le critère de Leibniz. Si la somme de cette série est remplacée par la somme n premiers termes, alors l'erreur autorisée ne dépasse pas le module du premier terme écarté.

Considérons une série alternée et une série composée de ses valeurs absolues. Si une série composée de valeurs absolues converge, alors la série alternée est appelée absolument convergent près. Si une série alternée converge et qu'une série composée de valeurs absolues diverge, alors la série alternée est appelée conditionnellement convergent.

Exemple. Examinez la série pour la convergence conditionnelle et absolue.

Il s'agit d'une série alternée. Appliquons le test de Leibniz.

1) ;

2) . => la série converge selon le critère de Leibniz.

Nous examinons la série pour la convergence conditionnelle et absolue. Pour ce faire, considérons une série composée des valeurs absolues de cette série.

est une série harmonique généralisée, elle converge car k=3>1, alors la série alternée est une série absolument convergente.

Série de puissance

Une série entière est une série de la forme :

où sont les quantités constantes, les coefficients de série, le nombre un– centre de la rangée.

À un=0 nous avons

(1)

Lorsque la série entière (1) prend la forme

(2)

C'est déjà une série de numéros. il peut converger ou diverger.

Si la série (2) converge, alors – point de convergence série entière (1). Si la série (2) diverge, alors – point de divergence. L’ensemble des points de convergence est appelé zone de convergence série de puissance.

Théorème d'Abel. Pour toute série de puissances (1), il existe un intervalle à l'intérieur duquel la série converge absolument, à l'extérieur elle diverge, et aux frontières elle peut avoir une nature de convergence différente.

– rayon de l'intervalle de convergence.

– intervalle de convergence.

Si R.=0, puis pointez X=0 est le seul point de convergence.

Si R.=¥, alors la série converge sur toute la droite numérique.

Exemple.

1) Trouvez le rayon et l'intervalle de convergence de la série entière. Étudiez la convergence des séries aux extrémités de l’intervalle.

Alors (-5 ; 5) est l’intervalle dans lequel la série converge absolument. Etudions la nature de la convergence des séries aux frontières.

1) X=–5, alors la série entière prend la forme

Il s'agit d'une série alternée. Nous appliquons pour cela le critère de Leibniz :

– la première condition du test de Leibniz n'est pas satisfaite, alors la série

diverge, point – point de divergence.

2) X=5; – la série diverge selon la conséquence du critère nécessaire, alors X=5 – point de divergence.

(-5 ; 5) – zone de convergence de cette série de puissances.

.

– intervalle de convergence de cette série de puissances. Nous explorons aux frontières :

1), alors la série entière prendra la forme :

– c'est une série alternée. Vérifions deux conditions :

1) ;

2) , alors la série converge selon le critère de Leibniz, le point est le point de convergence de la série entière originale, il entre dans la région de convergence.

2) . Comparons cette série avec la série harmonique qui, comme on le sait, diverge.

est un nombre fini, alors, par conséquence du critère de comparaison, les séries se comportent de la même manière, c'est-à-dire que les deux divergent, donc le point est le point de divergence de la série entière initiale.

– région de convergence des séries entières.

Théorie des probabilités

Probabilité de l'événement

Probabilitéévénements UN est le rapport du nombre d'issues favorables à la survenance de cet événement sur le nombre total de toutes les issues élémentaires possibles du test, c'est-à-dire où m– le nombre d’issues élémentaires dans lesquelles l’événement se produit UN(issues favorables), n– le nombre de tous les résultats possibles d’un test donné. C'est la définition classique de la probabilité d'un événement.

1) Laissez U- un événement fiable, alors toute issue du test est favorable à l'apparition U, c'est à dire. m=n, Alors

P.(U)=1.

2) V– un événement impossible, alors aucun résultat du test ne sera favorable, c'est-à-dire m= 0, alors

P.(V)=0.

3) UN– événement aléatoire, 0<m<n, alors, c'est-à-dire

0<P.(UN)<1.

Exemple. Nous lançons la pièce deux fois. Déterminez la probabilité que les armoiries apparaissent au moins une fois.

Laisser UN- un événement consistant en l'apparition d'un blason au moins une fois. Les issues élémentaires sont GG, GC, CG, CC, il n'y a que quatre issues, parmi lesquelles sont favorables à la survenance de l'événement UN– trois, alors.

Éléments de combinatoire

1. Ayons trois éléments une, b, c. Nous formons à partir d'eux des combinaisons (sélections) de deux éléments : ab, ba, ac, ca, avant JC, cb- il y en a six. Ils diffèrent les uns des autres soit par les éléments, soit par l'ordre dans lequel les éléments apparaissent. De tels échantillons sont appelés emplacements, sont désignés .

2. Les sélections qui diffèrent les unes des autres uniquement par l'ordre dans lequel les éléments sont disposés sont appelées permutations, sont désignés .

3. Les échantillons qui diffèrent les uns des autres par au moins un élément sont appelés combinaisons, sont désignés .

,

.

Il faut le rappeler.

Exemple. Parmi les 20 élèves du groupe, qui comprend 6 filles, cinq tickets sont tirés au sort. Déterminez la probabilité qu’il y ait deux filles parmi les détenteurs de billets.

5 billets parmi 20 personnes peuvent être distribués de différentes manières. 3 billets parmi 14 garçons peuvent être distribués de différentes manières, 2 billets parmi 6 filles peuvent être distribués de différentes manières. Chaque paire de filles peut être combinée avec trois garçons quelconques, c'est-à-dire que le nombre de résultats favorables est , et le nombre de tous les résultats possibles est . Alors

.

Théorèmes de base.

Théorèmes d'addition

1. La probabilité de survenance d'au moins un des événements incompatibles est égale à la somme des probabilités de ces événements :

P.(A+B)=P(UN)+P(B).

2. La probabilité de survenance d'au moins un des deux événements conjoints est égale à la somme des probabilités de ces événements sans la probabilité de leur survenance conjointe :

P.(A+B)=P(UN)+P(B)–P.(UN B).

Théorèmes de multiplication

Définitions.

1) Les événements sont appelés indépendant, si la probabilité qu'un événement se produise ne dépend pas du fait qu'un autre événement s'est produit ou non.

2) Les événements sont appelés dépendant, si la probabilité que l'un d'entre eux se produise dépend du fait que l'autre se soit produit ou non.

3) Probabilité de l'événement UN, calculé sous la condition que l'événement DANS c'est déjà arrivé, ça s'appelle probabilite conditionnelle, noté (lire : « R. depuis UNà condition que DANS arrivé").

Théorème 1. La probabilité d'occurrence conjointe de deux événements dépendants est égale au produit de la probabilité de l'un d'eux par la probabilité conditionnelle de l'autre, à condition que le premier événement se soit déjà produit.

.

Théorème 2. La probabilité d'occurrence conjointe d'événements indépendants est égale au produit des probabilités de ces événements.

Tâche. Dans un jeu de 36 cartes, deux cartes sont tirées au hasard, l'une après l'autre. trouvez la probabilité que deux valets soient tirés.

Laisser UN– le cas où la première carte est un valet ;

DANS– le cas où la deuxième carte est un valet ;

AVEC– un événement consistant dans le fait que deux valets sont tirés.

Alors . Événements UN Et DANS– dépendant, alors .

Groupe complet d'événements

Si la somme des événements est un événement fiable (c'est-à-dire qu'à la suite du test, au moins l'un d'entre eux se produira certainement), alors les événements se forment groupe completévénements. Si ces événements sont incompatibles par paire, ils forment alors un groupe complet d’événements incompatibles par paire.

Théorème. S'ils forment un groupe complet d'événements deux à deux incompatibles, alors la somme des probabilités de ces événements est égale à 1. .

Définition. Les deux seuls événements possibles formant un groupe complet sont appelés opposé.

Ou : le contraire de l'événement UN un événement consistant en une non-occurrence est appelé UN(lit "pas UN»).

Théorème. La somme des probabilités de deux événements opposés est égale à 1 : .

Si , Que p+q= 1 .

Probabilité qu'au moins un événement se produise

Théorème. Laisser UN– un événement consistant en la survenance d'au moins un des événements. – des événements collectivement indépendants. Alors .

Tâche. Les trois machines fonctionnent indépendamment les unes des autres. La probabilité que la première machine tombe en panne dans une heure est de 0,015 ; pour les deuxième et troisième machines, ces probabilités sont de 0,02 et 0,025. Trouvez la probabilité qu'au moins une machine tombe en panne dans une heure.

A Soit toutes les conditions du théorème précédent satisfaites. Mais sachons déjà que l'événement UN- arrivé. Ensuite, la probabilité de l'hypothèse après l'expérience est déterminée par la formule :

.

P.(UN) est trouvé à l’aide de la formule de probabilité totale.

Tâche. Deux machines produisent des pièces identiques, qui sont assemblées sur un convoyeur commun. La productivité de la première machine est le double de celle de la seconde. Le premier produit en moyenne 60 % de pièces d'excellente qualité, le second – 84 %. La pièce prise au hasard sur la chaîne de montage s'est avérée d'excellente qualité. Trouvez la probabilité qu'il ait été produit par la deuxième machine.

– un événement consistant dans le fait qu'une pièce prise au hasard est fabriquée par la première machine, par la seconde. UN– un événement consistant dans le fait qu’une pièce prise au hasard est d’excellente qualité.

La formule de Bernoulli

Qu'il soit produit népreuves indépendantes, dans chacune desquelles l'événement UN peut apparaître avec probabilité P.(UN)=p, et . Séquence d'occurrence de l'événement UNça n'a pas d'importance. Alors la probabilité que dans névénement de test indépendant UN vient exactement m les temps sont calculés par la formule :

,

où est le nombre de combinaisons de néléments par m(voir au dessus).

Tâche. L'arme tire cinq fois sur la cible. La probabilité de toucher d'un seul coup est de 0,6. Trouvez la probabilité que le pistolet frappe deux fois.

Variables aléatoires

Variable aléatoire Ils appellent une grandeur qui, à la suite d'un test, prend une et une seule de ses valeurs possibles, inconnues à l'avance et dépendant de circonstances aléatoires qui ne peuvent pas toujours être prises en compte. Désigné X, Y, Z,

Alors la loi de distribution de cette variable aléatoire prend la forme :

X
P.	0,512	0,384	0,096	0,008

Contrôle:

Caractéristiques numériques

Attente mathématique Une variable aléatoire discrète est la somme des produits des valeurs possibles d'une variable aléatoire et des probabilités de ces valeurs possibles. Indiqué par:

L'espérance mathématique est un nombre, centre de distribution d'une variable aléatoire ; ses valeurs possibles sont situées sur l'axe à gauche et à droite de l'espérance mathématique.

Variance d'une variable aléatoire discrète est l'espérance mathématique de l'écart carré de cette variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique.

On peut prouver que

Cette formule est pratique à utiliser dans les calculs. La dispersion caractérise la mesure de dispersion des valeurs possibles d'une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique.

Écart-type appelé .

Exemple. (voir tâche 8). Une série de distribution d'une variable aléatoire est donnée. Trouver .

Dans cette leçon, nous nous familiariserons avec l'une des techniques les plus importantes et les plus courantes utilisées lors de la résolution d'intégrales indéfinies : la méthode du changement de variable. La maîtrise réussie de la matière nécessite des connaissances initiales et des compétences d’intégration. S'il y a une sensation de bouilloire vide et pleine dans le calcul intégral, vous devez d'abord vous familiariser avec le matériel, où j'ai expliqué sous une forme accessible ce qu'est une intégrale et analysé en détail des exemples de base pour les débutants.

Techniquement, la méthode de changement d'une variable en intégrale indéfinie est mise en œuvre de deux manières :

– Subsumer la fonction sous le signe différentiel;
– En fait, remplacer la variable.

Il s’agit essentiellement de la même chose, mais la conception de la solution semble différente.

Commençons par un cas plus simple.

Subsumer une fonction sous le signe différentiel

À la leçon Intégrale indéfinie. Exemples de solutions nous avons appris à ouvrir le différentiel, je vous rappelle l'exemple que j'ai donné :

Autrement dit, révéler une différentielle revient formellement presque à trouver une dérivée.

Exemple 1

Effectuer une vérification.

Nous regardons le tableau des intégrales et trouvons une formule similaire : . Mais le problème est que sous le sinus se trouve non seulement la lettre « X », mais une expression complexe. Ce qu'il faut faire?

On amène la fonction sous le signe différentiel :

En ouvrant le différentiel, il est facile de vérifier que :

En fait et est un enregistrement de la même chose.

Mais néanmoins, la question restait de savoir comment en sommes-nous arrivés à l'idée qu'à la première étape, nous devions écrire notre intégrale exactement comme ceci : ? Pourquoi est-ce le cas et pas autrement ?

Formule (et toutes les autres formules de tableau) sont valides et applicables NON SEULEMENT pour la variable, mais aussi pour toute expression complexe UNIQUEMENT COMME ARGUMENT DE FONCTION( – dans notre exemple) ET L'EXPRESSION SOUS LE SIGNE DIFFÉRENTIEL ÉTAIT LE MÊME .

Par conséquent, le raisonnement mental lors de la résolution devrait ressembler à ceci : « Je dois résoudre l’intégrale. J'ai regardé dans le tableau et j'ai trouvé une formule similaire . Mais j’ai un argument complexe et je ne peux pas immédiatement utiliser la formule. Cependant, si j'arrive à le mettre sous le signe différentiel, alors tout ira bien. Si je l'écris, alors. Mais dans l'intégrale d'origine, il n'y a pas de facteur trois, donc, pour que la fonction intégrale ne change pas, je dois la multiplier par ". Au cours d'un tel raisonnement mental, l'entrée suivante naît :

Vous pouvez maintenant utiliser la formule tabulaire :

Prêt

La seule différence est que nous n’avons pas la lettre « X », mais une expression complexe.

Allons vérifier. Ouvrez le tableau des dérivées et différenciez la réponse :

La fonction intégrale d'origine a été obtenue, ce qui signifie que l'intégrale a été trouvée correctement.

Veuillez noter que lors de la vérification nous avons utilisé la règle de différenciation d'une fonction complexe . Essentiellement, en subsumant la fonction sous le signe différentiel et - ce sont deux règles mutuellement inverses.

Exemple 2

Analysons la fonction intégrande. Ici nous avons une fraction, et le dénominateur est une fonction linéaire (avec « x » à la puissance première). Nous regardons le tableau des intégrales et trouvons la chose la plus similaire : .

On amène la fonction sous le signe différentiel :

Ceux qui ont du mal à déterminer immédiatement par quelle fraction multiplier peuvent rapidement révéler le différentiel dans un brouillon : . Ouais, il s'avère que cela signifie que pour que rien ne change, je dois multiplier l'intégrale par .
Ensuite, nous utilisons la formule tabulaire :

Examen:


La fonction intégrale d'origine a été obtenue, ce qui signifie que l'intégrale a été trouvée correctement.

Exemple 3

Trouvez l'intégrale indéfinie. Effectuer une vérification.

Exemple 4

Trouvez l'intégrale indéfinie. Effectuer une vérification.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. La réponse se trouve à la fin de la leçon.

Avec une certaine expérience dans la résolution d'intégrales, de tels exemples sembleront faciles et cliqueront comme des fous :

A la fin de cette section, je voudrais également m'attarder sur le cas « libre », lorsque dans une fonction linéaire une variable entre avec un coefficient unitaire, par exemple :

À proprement parler, la solution devrait ressembler à ceci :

Comme vous pouvez le constater, subsumer la fonction sous le signe différentiel était « indolore », sans aucune multiplication. Par conséquent, dans la pratique, une solution aussi longue est souvent négligée et immédiatement écrite comme suit : . Mais soyez prêt, si nécessaire, à expliquer au professeur comment vous avez résolu le problème ! Parce qu’il n’y a en réalité aucune intégrale dans le tableau.

Méthode de changement de variable en intégrale indéfinie

Passons à l'examen du cas général - la méthode de changement de variables dans l'intégrale indéfinie.

Exemple 5

Trouvez l'intégrale indéfinie.

A titre d'exemple, j'ai pris l'intégrale que nous avons regardée au tout début de la leçon. Comme nous l'avons déjà dit, pour résoudre l'intégrale nous avons aimé la formule tabulaire , et je voudrais lui ramener toute l’affaire.

L'idée derrière la méthode de remplacement est de remplacer une expression complexe (ou une fonction) par une seule lettre.
Dans ce cas, il faut :
La deuxième lettre de remplacement la plus populaire est la lettre .
En principe, vous pouvez utiliser d'autres lettres, mais nous respecterons toujours les traditions.

Donc:
Mais quand on le remplace, il nous reste ! Probablement, beaucoup ont deviné que si une transition est effectuée vers une nouvelle variable, alors dans la nouvelle intégrale, tout devrait être exprimé par la lettre , et il n'y a aucune place pour une différentielle là-bas.
La conclusion logique est qu'il est nécessaire se transformer en une expression qui ne dépend que de.

L'action est la suivante. Après avoir sélectionné un remplacement, dans cet exemple, nous devons trouver le différentiel. Avec les différentiels, je pense que tout le monde a déjà établi une amitié.

Depuis lors

Après avoir démonté le différentiel, je recommande de réécrire le résultat final le plus brièvement possible :
Maintenant, selon les règles de proportion, nous exprimons ce dont nous avons besoin :

Finalement:
Ainsi:

Et c'est déjà l'intégrale la plus tabulaire (le tableau des intégrales, bien entendu, est également valable pour la variable).

Finalement, il ne reste plus qu'à effectuer le remplacement inverse. Rappelons-le.

Prêt.

La conception finale de l’exemple considéré devrait ressembler à ceci :

“

Remplaçons :

“

L'icône n'a aucune signification mathématique ; elle signifie que nous avons interrompu la solution pour des explications intermédiaires.

Lors de la préparation d'un exemple dans un cahier, il est préférable de marquer la substitution inverse avec un simple crayon.

Attention! Dans les exemples suivants, la recherche du différentiel ne sera pas décrite en détail.

Et maintenant il est temps de rappeler la première solution :

Quelle est la différence? Il n'y a pas de différence fondamentale. C'est en fait la même chose. Mais du point de vue de la conception de la tâche, la méthode permettant de subsumer une fonction sous le signe différentiel est beaucoup plus courte..

La question se pose. Si la première méthode est plus courte, alors pourquoi utiliser la méthode de remplacement ? Le fait est que pour un certain nombre d'intégrales, il n'est pas si facile d'« adapter » la fonction au signe de la différentielle.

Exemple 6

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Faisons un remplacement : (il est difficile de penser à un autre remplacement ici)

Comme vous pouvez le constater, à la suite du remplacement, l'intégrale d'origine a été considérablement simplifiée - réduite à une fonction de puissance ordinaire. C'est le but du remplacement - simplifier l'intégrale.

Les paresseux avancés peuvent facilement résoudre cette intégrale en subsumant la fonction sous le signe différentiel :

Une autre chose est qu’une telle solution ne convient évidemment pas à tous les étudiants. De plus, déjà dans cet exemple, l'utilisation de la méthode de subsumation d'une fonction sous le signe différentiel augmente considérablement le risque de se tromper dans une décision.

Exemple 7

Trouvez l'intégrale indéfinie. Effectuer une vérification.

Exemple 8

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Remplacement:
Reste à savoir ce que cela va donner

D’accord, nous l’avons exprimé, mais que faire du « X » restant au numérateur ?!
De temps en temps, lors de la résolution d'intégrales, nous rencontrons l'astuce suivante : nous exprimerons à partir du même remplacement !

Exemple 9

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. La réponse se trouve à la fin de la leçon.

Exemple 10

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Certaines personnes ont sûrement remarqué que dans ma table de recherche, il n'y a pas de règle de remplacement de variable. Cela a été fait délibérément. La règle créerait une confusion dans l’explication et la compréhension, puisqu’elle n’apparaît pas explicitement dans les exemples ci-dessus.

Il est maintenant temps de parler du principe de base de l'utilisation de la méthode de substitution de variable : l'intégrande doit contenir une fonction et sa dérivée :(les fonctions peuvent ne pas être dans le produit)

À cet égard, lors de la recherche d'intégrales, il faut souvent consulter le tableau des dérivées.

Dans l’exemple considéré, on remarque que le degré du numérateur est inférieur de un au degré du dénominateur. Dans le tableau des dérivées, nous trouvons la formule qui réduit simplement le degré de un. Et cela signifie que si vous le désignez comme dénominateur, il y a de fortes chances que le numérateur se transforme en quelque chose de bon.

Nous continuons donc notre connaissance des méthodes de base de l'intégration. La dernière fois, nous avons appris à utiliser et examiné la plus simple des fonctions les plus simples. Il est maintenant temps d'avancer et d'étendre progressivement nos capacités.

Donc, méthode pour subsumer une fonction sous le signe différentiel – quelle est son essence ? D’une manière générale, cette méthode n’est pas une méthode d’intégration indépendante. Il s'agit plutôt d'un cas particulier d'une méthode plus générale et plus puissante - méthode de remplacement des variables. Ou méthode de substitution. Pourquoi? Mais parce que le processus d’intégration lui-même, en le subsumant sous un différentiel, s’accompagne toujours de l’introduction ultérieure d’une nouvelle variable. Cela semble flou pour le moment, mais avec des exemples, tout deviendra beaucoup plus clair.

Ce dont nous avons besoin dans le matériel d'aujourd'hui :

1) La règle d'ouverture du différentiel de toute fonction F(X). C'est la règle elle-même. Nous n’avons pas besoin ici d’une définition stricte de ce qu’est un différentiel. Et la règle est la suivante :

d(f(x)) = f ’(X)DX

Tout est simple, comme dans un conte de fées : on calcule la dérivée de la fonctionF'(X)et multipliez-le par dx(argument différentiel).

2) Tableau des dérivés. Oui oui! Je suis sérieux. :)

3) Eh bien, c'est logique. Puisque nous intégrons ici de toutes nos forces.) C'est le sujet des deux dernières leçons.

4) Règle de différenciation des fonctions complexes.

C'est tout, en fait.

Quand cette méthode est-elle le plus souvent utilisée ? Le plus souvent, il est utilisé dans deux situations typiques :

Cas 1 - Fonction complexe d'un argument linéaire

La fonction intégrande a la forme :

F(kx+ b)

Dans l'argumentation - conception linéairekx+ b. Ou, en d’autres termes, sous l’intégrale se trouve une fonction complexe de l’argument linéaire kx+b.

Par exemple:

Et des fonctions similaires. Les intégrales de telles fonctions sont très facilement réduites aux intégrales tabulaires et sont prises en compte littéralement après quelques exemples résolus avec succès. Et nous déciderons.)

Cas 2 - Fonction complexe à partir d'un argument arbitraire

Dans ce cas, la fonction intégrale est le produit :

F(g(X))· g’(X)

En d’autres termes, sous l’intégrale se trouve le produit d’un certain fonction complexeF(g(X)) Et dérivé de son argument interne g’(X) . Ou bien l’intégrale peut facilement être réduite à cette forme. Il s'agit d'un cas plus compliqué. À propos de lui - dans la deuxième partie de la leçon.

Afin de ne pas tourmenter les gens avec de longues attentes et des divagations, passons immédiatement aux exemples sur cas 1 . Nous intégrerons les fonctions que j'ai écrites ci-dessus. En ordre.

Comment appliquer une fonction linéaire à un différentiel ?

Et envoyez immédiatement un exemple au studio.)

Exemple 1

On regarde le tableau des intégrales et on trouve une formule similaire (c'est le 4ème groupe) :

Tout irait bien, mais... il y a un problème. :) Dans le tableau des intégrales dans l'exposant ex frais juste x. Dans notre indicateur, 3x traîne. Trois X. Ça ne marche pas... La formule tabulaire ne se prête pas à une application directe : le trois a tout gâché. Maître assistant! Ah, professeur assistant ! Que ferons-nous ? (Avec)

Pour faire face à cet exemple, nous devrons « ajuster » cette intégrale à la formule tabulaire. Et maintenant, je vais montrer en détail comment se produit exactement l'ajustement. Pour ce faire, revenons au tout début de la section et rappelons la notation la plus générale de l'intégrale indéfinie. En général. Elle est là:

Alors voilà. L'astuce est que cet enregistrement le plus général de l'intégrale indéfinie sera valide pas seulement pour la variable x, mais aussi pour toute autre lettre - y, z, t ou même un entier expression complexe. Lequel voulons-nous ? Il est important de respecter une seule exigence : entre parenthèses, la fonction intégrande f(...), la fonction primitive F(...) et sous le différentiel d(…) se trouvait expressions identiques. Aux trois endroits ! C'est important.

Par exemple:

Et ainsi de suite.) Quelle que soit la lettre et quelle que soit l'expression complexe apparaissant à ces trois endroits, la formule d'intégration tabulaire fonctionnera toujours ! Et ce n'est pas surprenant : on a parfaitement le droit de désigner n'importe quelle expression complexe une lettre. Et travaillez entièrement avec l'ensemble de la structure comme si c'était le cas une lettre. Et le tableau ne se soucie pas de la lettre qu'il contient - X, Y, Zet, Te... Pour lui, toutes les lettres sont égales.) Par conséquent, le dessin lui-même entre parenthèses peut être absolument n'importe quoi. Si seulement le même.)

Par conséquent, pour notre formule tabulaire spécifique ∫ e x dx = e x + C , nous pouvons écrire:

Maintenant, spéculons. Pour que nous ayons le droit d'utiliser la table dans notre exemple, nous devons nous assurer que la construction suivante est formée sous l'intégrale :

Tant dans l'indicateur que sous le différentiel, il devrait y avoir une expression 3x. Reprenons maintenant notre exemple :

Tout est comme il se doit avec l'indicateur, nous en avons 3x. Selon les conditions.) Mais sous le différentiel il y a encore juste x. Désordre! Comment pouvons-nous dx faire ré(3x)?

Pour atteindre ce noble objectif, nous devons d'une manière ou d'une autre relier deux différentiels - un nouveau ré(3x) et vieux dx. Dans ce cas, c’est très simple à faire. Si, bien sûr, vous savez comment le différentiel s'ouvre.)

On a:

Super! Ainsi, la connexion entre les anciens et les nouveaux différentiels sera la suivante :

Dx = d(3x)/3.

Quoi? Vous ne savez plus comment ouvrir le différentiel ? C'est une question pour le premier semestre. Vers le calcul différentiel.)

Maintenant, que faisons-nous ? Droite! Au lieu de l’ancienne différentielle dx, nous substituons la nouvelle expression d(3x)/3 dans notre exemple. Le trois au dénominateur n'est plus un frein pour nous : on peut le sortir... le sortir. Pour le signe de l'intégrale.)

Ce que nous obtenons :

C'est super. Dans l'indicateur exposants et sous le différentiel une expression absolument identique 3x a été formée. C'est exactement ce que nous essayions tant de réaliser.) Et maintenant vous pouvez travailler entièrement avec l'expression 3x, comme avec une nouvelle lettre. Soit t, par exemple. Ensuite, après avoir remplacé l’expression 3x par t, notre intégrale ressemblera à ceci :

Et la nouvelle intégrale sur la variable t est déjà une intégrale tabulaire dont nous avons vraiment besoin ! Et maintenant, vous pouvez, en toute conscience, utiliser la formule tabulaire et écrire d'une main ferme :

Mais il est trop tôt pour se détendre. Ce n’est pas encore la réponse : nous avons besoin de x, pas de t. Il ne reste plus qu'à rappeler que t = 3x et à exécuter remplacement inversé. Et maintenant, notre réponse est complètement prête ! Il est la:

C’est comme ça que tout s’est passé.) Eh bien, vérifions ça ? Et s'ils se trompaient quelque part ? Différencions le résultat :

Non. Tout est bon.)

Exemple 2

Dans le tableau des fonctions intégrales parce que(X+4) Il n'y a pas. Il y a simplement le cosinus x. Mais! Si nous organisons d'une manière ou d'une autre l'expression x+4 et sous le différentiel d ( X +4) , alors on arrive à l'intégrale de table :

∫ cos x dx = péché x + C

Nous connectons donc notre nouveau différentiel requis d(x+4) à l’ancien dx :

d(X+4) = (x+4)'·dx= 1·dx = dx

Wow, comme c'est bon ! Il s'avère que notre nouveau différentiel d(x+4) est identique à dx ! Et sans aucun coefficient supplémentaire. Cadeau total !)

Oui, c'est correcte. N'hésitez pas à remplacer dx par d(x+4), à travailler avec la parenthèse (x+4) comme une nouvelle lettre et à utiliser le tableau en toute bonne conscience.

Cette fois, j'écrirai la solution de manière un peu plus compacte :

On vérifie le résultat de l'intégration par différenciation inverse :

(sin(x+4)+C)' = (sin(x+4))' + C' = cos(x+4)∙(x+4)'+0 = cos(x+4)∙1 = cos(x+4)

Tout en chocolat.)

Eh bien, est-ce gênant ? Je suis d'accord, c'est gênant. A chaque fois écrire des différentiels, relier les uns aux autres, exprimer l’ancien différentiel à travers le nouveau… Ne désespérez pas ! Il y a une bonne nouvelle ! Ils ne font généralement pas ça. :) J'ai décrit la solution avec autant de détails uniquement pour comprendre l'essence de l'algorithme. En pratique, les choses sont beaucoup plus simples. Écrivons à nouveau nos liens entre les anciens et les nouveaux différentiels à partir des deux exemples :

Que remarquez-vous dans ces enregistrements ? Deux Très faits importants!

Souviens-toi:

1) Tout coefficient numérique non nul k (k≠0)peut être inscrit sous le différentiel, pour compenser, en divisant le résultat par ce coefficient :

2) Tout terme constant bpeuvent être ajoutés sous le différentiel sans conséquences :

Je ne prouverai pas strictement ces faits. Parce que c'est simple. Tout est clair dans les exemples, j’espère.) Si vous voulez de la rigueur, pour l’amour de Dieu. Simplifiez les membres droits des deux égalités en élargissant les différentiels. Et ici et là, vous obtenez juste du dx. :)

Ces deux faits peuvent facilement être combinés en un seul, plus universel.

Toute conception linéaire kx+b peut être ajouté sous le différentiel dxselon la règle :

Cette procédure est appelée subsumer une fonction sous le signe différentiel. Dans ce cas, sous le différentiel résumé conception linéaire kx+ b. Nous transformons artificiellement un différentiel qui nous gêne dx dans un endroit pratique d(kx+ b) .

Et pourquoi avons-nous besoin d’opportunités aussi terrifiantes – demandez-vous ? Ce n’est tout simplement pas nécessaire. Mais grâce à une manœuvre aussi habile, de nombreuses intégrales non tabulaires vont désormais cliquer littéralement dans l'esprit. Comme des noix.)

Regarder!

Exemple 3

Nous réduirons cet exemple à une intégrale tabulaire d’une fonction puissance :

Pour ce faire, nous placerons notre structure linéaire 2x+1 sous le différentiel, debout sous le carré. Autrement dit, au lieu de dx, nous écrivons d(2x+1). Donc nous nécessaire. Mais mathématiques il faut que de nos actions l'essence de l'exemple n'a pas changé ! Par conséquent, nous faisons un compromis et, selon notre règle, multiplions en plus la structure entière par un facteur de 1/2 (nous avons k = 2, donc 1/k = 1/2).

Comme ça:

Et maintenant on compte :

Le travail est terminé.) Mais ici, certains lecteurs peuvent avoir une question. Une très bonne question d’ailleurs !

Après tout, on ne pouvait pas mettre l'expression 2x + 1 sous la différentielle, ne pas introduire de nouvelle variable, mais simplement prendre et bêtement mettre les parenthèses au carré en utilisant la formule scolaire du carré de la somme

(2x+1) 2 = 4x2 +4x+1,

Intégrez ensuite chaque terme terme par terme (dans votre tête !). Est-il possible de faire cela? Certainement! Pourquoi pas? Essayez-le ! Et comparez les résultats. Il y aura une surprise pour vous ! Les détails sont à la fin de la leçon. :)

Pour l'instant, nous passons à autre chose. J'écrirai les exemples restants sans aucun commentaire particulier... Nous plaçons l'argument linéaire kx+b sous le différentiel et prenons le coefficient résultant 1/k en dehors du signe intégral. Et nous travaillons selon le tableau. Les réponses finales sont en gras.

Exemple 4

Facilement!

Exemple5

Aucun problème!

Et enfin, un dernier exemple.

Exemple 6

Et tout est aussi simple que ça !

Alors comment ? Aimé? Et maintenant, vous pouvez cliquer sur de tels exemples dans votre esprit ! Une possibilité tentante, n'est-ce pas ?) De plus, de telles intégrales elles-mêmes apparaissent souvent comme des termes distincts dans des exemples plus compliqués.

À propos, après une certaine habileté à travailler avec le tableau des primitives, il n'est pas nécessaire, au fil du temps, d'introduire une nouvelle variable intermédiaire t. Comme inutile.

Par exemple, très bientôt, vous serez immédiatement dans mon esprit Vous donnerez une réponse toute prête à de tels exemples :

Et même en une seule séance, affrontez des monstres comme :

Et vous essayez de calculer cette intégrale « de front », en l’élevant à la puissance 1000ème grâce à la formule binomiale de Newton ! Il faudra intégrer 1001 termes terme par terme, oui... Mais en les ajoutant sous le différentiel - sur une seule ligne !

Alors ok! Avec une fonction linéaire, tout est très clair. La manière exacte de le faire passer sous le différentiel est la même. Et puis j'entends une question logique : Mais seule une fonction linéaire peut-elle être subsumée sous une différentielle ?

Bien sûr que non! Toute fonction f(x) peut être subsumée sous un différentiel ! Celui qui pratique dans un exemple précis. Et ce qui est pratique là-bas dépend de l'exemple spécifique, oui... C'est juste qu'en utilisant l'exemple d'une fonction linéaire, il est très facile de démontrer la procédure de sommation elle-même. Sur les doigts, comme on dit.) Et maintenant nous nous approchons progressivement d'une vision plus générale cas 2 .

Comment subsumer n’importe quelle fonction arbitraire sous un différentiel ?

Nous parlerons du cas où l'intégrande a la forme suivante :

F(g(X))· g’(X ) .

Ou, ce qui est pareil, intégrande a la forme :

F(g(X))· g’(X)dx

Rien de spécial. Je viens d'ajouter dx.)

En un mot, nous parlerons d'intégrales de la forme :

N'ayez pas peur de tous les traits et parenthèses ! Maintenant, tout deviendra beaucoup plus clair.)

Quel est l’intérêt ici ? De l'intégrande d'origine, nous pouvons distinguer argument complexe g(X ) Et son dérivé g’(X) . Mais ne vous contentez pas de surligner, mais écrivez-le sous la forme travaux une fonction complexe F(g(X)) de cet argument même à son dérivé g’(X) . Ce qui s'exprime par l'entrée :

F(g(X))· g’(X)

Reformulons maintenant le tout en termes de différentiel : intégrande expression peut être représenté comme le produit d’une fonction complexe F(g(X)) Et différentiel de son argument g’(X) dx.

Et donc, notre intégrande entière peut s’écrire ainsi :

Parlant russe, nous introduire une fonction intermédiaireg(X) sous le signe différentiel . C'était dx, mais est devenu d(g(x)). Et pourquoi avons-nous besoin de ces métamorphoses ? Et si nous introduisions une nouvelle variable maintenant t = g(x), alors notre intégrale sera considérablement simplifiée :

Et, si la nouvelle intégrale par nouvelle variable t du coup (!) ça s'avère tabulaire, alors tout est en chocolat. Célébrons la victoire !)

"Beaucoup de livres", oui. Mais avec des exemples, tout sera désormais beaucoup plus clair. :) Alors, la deuxième partie de la pièce !

Exemple7

C'est un classique du genre. En dessous de l'intégrale se trouve une fraction. Vous ne pouvez pas utiliser le tableau directement ; vous ne pouvez rien transformer avec aucune formule scolaire. Le placer uniquement sous la sauvegarde différentielle, oui.) Pour ce faire, écrivons notre intégrande sous forme de produit. Au moins ça :

Voyons maintenant cela. Tout est clair avec le logarithme carré. C'est aussi un logarithme en Afrique... Qu'est-ce que 1/x ? Souvenons-nous de notre inoubliable table des dérivés... Oui ! Ce dérivée du logarithme !

Nous insérons maintenant dans la fonction intégrande au lieu de 1 fois expression (lnx) ’ :

Nous avons donc présenté la fonction intégrande originale sous la forme dont nous avons besoin F(g(X))· g’(X) . Ils l'ont transformée en le produit d'une certaine fonction du logarithme f(lnx) Et dérivée de ce même logarithme (lnx) ’ . À savoir - dans le travail dans 2 x Et (lnx) ’.

Voyons maintenant en détail quelles actions se cachent exactement derrière chaque lettre.

Eh bien, avec la fonction g(x), tout est clair. Voici le logarithme : g(x) = journal x.

Qu'est-ce qui se cache sous la lettre f ? Tout le monde ne comprend pas tout de suite... Et sous la lettre f nous avons une action cachée - la quadrature:

C'est toute la transcription.)

UN l'intégrande entière vous pouvez maintenant le réécrire comme ceci :

Et quelle fonction avons-nous ajoutée au différentiel dans cet exemple ? Dans cet exemple, nous avons ajouté sous le différentiel logarithmique fonction ln x!

Le travail est terminé.) Afin de vous assurer que le résultat est correct, vous pouvez toujours (et devez) différencier la réponse :

Hourra! Tout va bien.)

Faites maintenant attention à la façon dont nous différencions exactement la réponse finale de tous les exemples de cette leçon. Vous n'avez pas encore saisi le modèle ? Oui! Comment fonction complexe ! C'est naturel : la différenciation d'une fonction complexe et la subsomption de la fonction sous le signe différentiel sont deux actions mutuellement inverses. :)

C'était un exemple assez simple. Pour comprendre quoi. Maintenant, l'exemple est plus impressionnant.)

Exemple 8

Encore une fois, rien n’est décidé directement. Essayons la méthode consistant à le placer sous le différentiel puis à le remplacer. La question est : qu’allons-nous ajouter et remplacer ? Maintenant, voici un problème.)

Nous devons essayer la fonction intégrande x cos(x 2 +1) le présenter en quelque sorte sous la forme d'une œuvre les fonctions à partir de quelque chose dérivé c'est vraiment quelque chose:

Eh bien, nous avons le travail de toute façon déjà il y a x et cosinus.) Mon instinct me dit que la fonction g(x), que nous engloberons sous la différentielle, sera l'expression x2 +1, qui se trouve à l’intérieur du cosinus. Cela ne demande qu'à être :

Tout est clair. La fonction interne g estx2 +1,et le f extérieur est un cosinus.

Bien. Vérifions maintenant si le multiplicateur restant est lié d'une manière ou d'une autre X Avec dérivé de l'expression x2 +1, que nous avons choisi comme candidat pour terminer le différentiel.

Distinguons :

Oui! Il y a un lien ! Si 2x = (x2 +1)', alors pour un seul X on peut écrire :

Ou, sous forme de différentiels :

Tous. Hormis x 2 +1, nous n’avons aucune autre expression avec x ailleurs dans l’exemple. Ni dans l'intégrande ni sous le signe différentiel. C'est ce que nous voulions.

Nous réécrivons maintenant notre exemple en tenant compte de ce fait, en remplaçant l'expression x 2 +1 avec une nouvelle lettre et - en avant ! C'est vrai, c'est... Le coefficient 1/2 est quand même sorti... Ce n'est pas grave, on va le sortir, sortir ! :)

C'est tout. Comme nous le voyons, dans l'exemple précédent, une fonction logarithmique a été introduite sous le différentiel, et ici - quadratique

Considérons maintenant un exemple plus exotique.

Exemple 9

Ça l'air horrible! Cependant, il est trop tôt pour faire son deuil. Il est temps de se souvenir de notre bien-aimé tableau des dérivés.) Et un peu plus précisément - dérivée de l'arc sinus.

Elle est là:

Ensuite, si nous mettons cet arc sinus sous le différentiel, alors cet exemple maléfique est résolu en une seule ligne :

Et c'est tout!

Utilisons maintenant cet exemple pour analyser l’ensemble de notre processus fascinant de subsumation de la fonction arc sinus sous le différentiel. Que devions-nous faire pour mener à bien cette tâche ? Nous devions identifier en expression

dérivé d'une autre expression – arc sinus! En d'autres termes, d'abord rappel(selon le tableau des dérivés) que

Et puis travailler de droite à gauche. Comme ça:

Mais c’est plus compliqué qu’une simple différenciation, vous en conviendrez ! Tout comme, par exemple, prendre une racine carrée est plus difficile que la mettre au carré.) Nous devons ramasser la fonction souhaitée. D'après le tableau des dérivés.

Par conséquent, en plus de la différenciation directe, lors de l'intégration, nous devrons également effectuer constamment l'opération inverse - reconnaître dans les fonctions dérivées d'autres fonctions. Il n'y a pas d'algorithme clair ici. Ici, pratiquez les règles.) Il n'y a qu'une seule recette - résolvez des exemples ! Autant que possible. Résolvez au moins 20 à 30 exemples - et vous remarquerez de tels remplacements et les effectuerez rapidement et facilement. Automatiquement, je dirais même. Et absolument nécessaire connaissez la table des dérivées ! Par coeur.)

Je ne serai même pas paresseux et je regrouperai les designs les plus populaires dans un autre. tableau différentiel.

Ce petit tableau récapitulatif est déjà largement suffisant pour traiter avec succès la plupart des exemples résolus par la méthode de subsomption d'une fonction sous le signe différentiel ! Il est logique de le comprendre. :)

Je dirai séparément que la construction dx/x et l'intégrale de table correspondante ln|x| – l’un des plus populaires en intégration !

Cette formule tabulaire avec logarithme se réduit à Tous intégrales de fractions, dont le numérateur est la dérivée du dénominateur. Voir par vous-même:

Par exemple, même sans aucun remplacement, selon cette règle vous pouvez en une seule ligne intégrer la tangente, par exemple. Quelqu'un ici a déjà posé une question sur la tangente ? S'il te plaît!

Et même de tels géants sont également intégrés dans une seule ligne !

C'est drôle, n'est-ce pas ? :)

Peut-être que ceux qui ont un œil particulièrement vif se sont peut-être demandé pourquoi dans les trois premiers cas j'ai écrit un module sous le logarithme, mais dans le dernier cas je ne l'ai pas écrit ?

Réponse : expression e x +1, placé sous le logarithme dans le dernier exemple, positif pour tout x réel. Par conséquent, le logarithme de l’expressione x +1est toujours défini, et dans ce cas, des parenthèses régulières peuvent être utilisées à la place d'un module. :)

Pourquoi y a-t-il un module sous le logarithme dans la table intégrale ? Après tout, dans le tableau des dérivées le logarithme n'a aucun module, et lors de la différenciation on écrit calmement :

(lnx)’ = 1/x

Et lors de l'intégration de la fonction 1/x, pour une raison quelconque, nous écrivons également un module...

Je répondrai à cette question plus tard. Dans les cours dédiés à Intégrale définie. Ce module est associé à domaine de définition de la primitive.

Remarque : nous, comme les magiciens d'un cirque, effectuons en réalité simplement un ensemble de manipulations avec des fonctions, en les transformant les unes dans les autres selon un certain signe. :) Et pour l’instant nous ne nous soucions pas du tout du domaine de la définition. Et, pour être honnête, en vain. Après tout, nous travaillons toujours avec des fonctions ! Et le domaine de définition est d’ailleurs la partie la plus importante de toute fonction ! :) Y compris les fonctions avec lesquelles nous travaillons ici - l'intégrande f(x) et primitive F(x). Nous retiendrons donc plus tard le domaine de la définition. Dans une leçon spéciale.) Patience, les amis !

Nous avons donc examiné des exemples typiques d'intégrales résolues en subsumant une fonction sous le signe différentiel.) Est-ce difficile ? Au début, oui. Mais après quelques entraînements et développement de compétences, de telles intégrales vous paraîtront parmi les plus simples !

Et maintenant, la surprise promise ! :)

Revenons à exemple n°3. Là, résumant l'expression 2x+1 sous le différentiel, nous avons reçu cette réponse :

C'est la bonne réponse. Différenciez-vous sur papier en tant que fonction complexe et voyez par vous-même. :)

Voyons maintenant une autre façon de résoudre le même exemple. On ne mettra rien sous le différentiel, mais on élargira simplement bêtement le carré de la somme et intégrera chaque terme terme par terme. Nous avons tous les droits !

On a:

Et ça aussi la bonne réponse !

Question : les première et deuxième réponses à la même intégrale sont-elles identiques ou différentes ?

Après tout, logiquement, les réponses au même exemple obtenues de deux manières différentes devraient correspondre, n'est-ce pas ? Maintenant, nous allons le découvrir ! Transformons le premier résultat en développant cube de somme selon la formule de multiplication abrégée (un+ b) 3 = un 3 +3 un 2 b+3 un B 2 + b 3 .

Ce que nous obtenons :

Comparons maintenant les deux résultats :

Et... quelque chose ne va pas ici ! D'où vient la fraction « supplémentaire » 1/6 dans le premier résultat ? Il s’avère que pour une même intégrale on obtient deux réponses différentes !

Paradoxe? Mystique?

Calme! La solution au mystère réside là-dedans. Rappelons la toute première leçon sur l'intégration. :) Pour une raison quelconque, il y a une phrase très importante ici : deux primitives de la même fonctionF 1 ( X ) EtF 2 ( X ) diffèrent les uns des autres par une constante.

Et maintenant, regardons de plus près nos résultats. Et... on voit que dans notre cas c'est le cas : les réponses obtenues de deux manières différentes diffèrent par une constante. D'un sixième. :)

F1 (x) – F2 (x) = 1/6

C'est tout le secret. Il n'y a donc pas de contradiction. :)

Et vous pouvez en fait le prendre de trois manières différentes ! Vous ne me croyez pas ? Voir par vous-même! :)

Méthode n°1 . On ne touche pas au sinus du double angle, mais on résume simplement l'argument 2x sous le différentiel (comme d'ailleurs nous l'avons déjà fait lors du processus d'analyse) :

Méthode n°2 . On ouvre le sinus du double angle et on le ramène sous le différentiel péché x:

Méthode n°3 . On ouvre à nouveau le sinus du double angle, mais on le ramène sous le différentiel parce que x :

Maintenant, différencions les trois réponses et approfondissons la question :

Des miracles, et c'est tout ! Il y avait trois réponses différentes ! Et cette fois, ils ne se ressemblent même pas. Et la dérivée est la même ! :) S'agit-il encore vraiment d'une constante intégrale, et chacune des trois fonctions diffère de l'autre par une constante ? Oui! Curieusement, mais c'est exactement le cas.) Et vous explorez vous-même ces trois fonctions ! Ne pensez pas que c'est un travail difficile. :) Convertissez chaque fonction en un type - soit à péché 2 x, soit à parce que 2 x. Et que les formules de trigonométrie scolaire vous aident ! :)

Pourquoi ai-je regardé ces surprises et même commencé toutes ces petites discussions sur la constante intégrale ?

Voici le truc.Comme vous pouvez le constater, même une petite différence dans la constante intégrale peut, en principe, modifier considérablement l'apparence de la réponse, oui... Mais le problème est que cela ne change pas la réponse ne cesse jamais d'avoir raison ! Et si soudain vous voyez la réponse dans un ensemble de problèmes, ne correspond pas avec le vôtre, il est trop tôt pour être contrarié. Car ce fait ne veut pas du tout dire que votre réponse est incorrecte ! Il est possible que vous soyez simplement parvenu à la réponse d'une manière différente de celle prévue par l'auteur de l'exemple. Cela arrive.) Et le contrôle le plus fiable, basé sur. Lequel? Droite! Différencier la réponse finale ! Nous avons la fonction intégrande - cela signifie que tout va bien.

Eh bien, maintenant nous le ressentons, quelle est l'importance du symbole dx sous l'intégrale ? Dans de nombreux exemples, il est le seul à épargner, oui. Chose puissante ! Alors ne le négligeons pas maintenant ! :)

Maintenant, entraînons-nous ! Comme le sujet n'est pas des plus simples, il y aura cette fois plus d'exemples pour la formation.

En utilisant la méthode de subsumation d'une fonction sous le signe différentiel, trouvez des intégrales indéfinies :

Je ne donnerai pas de réponses cette fois. Ce ne sera pas intéressant. :) Ne soyez pas paresseux pour différencier le résultat ! Nous avons la fonction intégrande - OK. Non, cherchez où vous avez fait une erreur. Tous les exemples sont très simples et peuvent être résolus en une (deux au maximum) lignes. Pour ceux qui ont désespérément besoin de réponses, tous les exemples sont tirés de la collection de problèmes d'analyse mathématique de G.N. Berman. Téléchargez, cherchez votre exemple, vérifiez-le. :) Bonne chance!

§ 5. Intégrales et leurs applications

.

5.1. Définitions et formules de base. Fonction F(X) est fonction primitive F(X), si sur un plateau X l'égalité est vraie F (X)= F(X). L'ensemble de toutes les primitives pour F(X) appelé intégrale indéfinie et est désigné . En même temps, si F(X) - n'importe laquelle des primitives F(X), Que
, constante C parcourt l’ensemble des nombres réels. Le tableau 2 montre les formules de base dans lesquelles toi= toi(X).

Tableau 2

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) , 9)

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

Il est évident que les formules 10), 12) Et 14) sont des cas particuliers des formules 11), 13) Et 15) respectivement.

Si F(X) – fonction continue sur le segment [ un; b], ensuite il y a Intégrale définieà partir de cette fonction, qui peut être calculée par Formule de Newton-Leibniz:

, (5.1)

Où F(X) - toute primitive pour F(X). Contrairement à une intégrale indéfinie (qui est un ensemble de fonctions), une intégrale définie est un certain nombre.

Les intégrales indéfinies et définies ont la propriété linéarité(l'intégrale de la somme des fonctions est égale à la somme des intégrales, et le facteur constant peut être soustrait du signe de l'intégrale) :

.

Exemple 5.1. Trouver un)
; b)
.

Solution. En mission UN) On simplifie d'abord l'intégrande en divisant terme par terme chaque terme du numérateur par le dénominateur, puis on utilise la propriété linéarité et formules « tabulaires » 1)-3):

En mission b), en plus linéarité et formules « tabulaires » 3), 9), 1), on utilise la formule de Newton-Leibniz (5.1):

5.2. Saisir sous le signe différentiel et remplacer la variable. Vous remarquerez peut-être que parfois une partie de l'intégrande forme le différentiel d'une expression, ce qui permet l'utilisation de formules tabulaires.

Exemple 5.2 Trouver un)
; b)
.

Solution. Dans l'exemple UN) tu peux remarquer que
, puis utilisez la formule 5) à toi=ln X:

Quand b)
, et donc en raison de 11) à
on a:

Note 1. Lors de la saisie du signe différentiel, il est utile, en plus de ceux utilisés ci-dessus, de prendre en compte les relations suivantes :

;
;
; ; ;

;
;
;
.

Note 2. Intégrales de exemple 5.2. pourrait également être trouvé en utilisant un changement de variable. Dans ce cas, dans une intégrale définie, les limites de l'intégration devraient également être modifiées. Conversions en 5.2.b) ressemblerait par exemple à ceci :

Dans le cas général, le choix du remplacement est déterminé par le type de l'intégrande. Dans certains cas, des remplacements spéciaux sont recommandés. Par exemple, si l'expression contient une irrationalité de la forme
, alors on peut mettre
ou
.

Exemple 5.3 Trouver un)
; b)
.

Solution. Quand UN) nous avons

(après remplacement, nous avons appliqué la formule tabulaire 11 )).

Au moment de décider b) Nous veillons à dépasser les limites de l'intégration.

5.3. Intégration par parties. Dans certains cas, la « formule d’intégration par parties » est utile. Pour l'intégrale indéfinie, il a la forme

, (5.2)

pour un certain

, (5.3)

Il est important de considérer les éléments suivants.

1) Si l'intégrande contient le produit d'un polynôme de X sur les fonctions
, alors comme toi un polynôme est sélectionné, et l'expression restant sous le signe intégral fait référence à dv.

2) Si l'intégrande contient un trigonométrique inverse ( ) ou logarithmique (
) fonctionne, alors comme toi l'un d'eux est sélectionné.

Exemple 5.4. Trouver un)
; b)
.

Solution. Quand UN) appliquer la formule (5.2) Et deuxième règle. Exactement, nous croyons
. Alors
. Plus loin,
, et donc
. Ainsi, . Dans l'intégrale résultante, on sélectionne toute la partie de l'intégrande (cela se fait lorsque le degré du numérateur n'est pas inférieur au degré du dénominateur) :

.

La solution finale ressemble à ceci :

Dans l'exemple b) nous utilisons (5.3) Et première des règles.

5.4. Intégration d'expressions contenant un trinôme quadratique. Les idées principales sont d'isoler un carré complet dans un trinôme quadratique et d'effectuer une substitution linéaire, ce qui permet de réduire l'intégrale originale à une forme tabulaire 10 )-16 ).

Exemple 5.5. Trouver un)
; b)
; V)
.

Solution. Quand UN) procédez comme suit:

donc (en tenant compte 13) )

Lors de la résolution de l'exemple b) des transformations supplémentaires liées à la présence d'une variable au numérateur de l'intégrande seront nécessaires. En sélectionnant le carré parfait au dénominateur (), on obtient :

Pour la seconde des intégrales, en raison de 11) (Tableau 2) nous avons :
. Dans la première intégrale nous entrerons sous le signe différentiel :

Donc, tout mettre en place et revenir à la variable X, on a:

Dans l'exemple V) Nous sélectionnons également d'abord un carré complet :

5.5. Intégration de fonctions trigonométriques simples. Lors de l'intégration d'expressions de la forme
(Où m Et n– nombres naturels), il est recommandé de prendre en compte les règles suivantes.

1) Si les deux degrés sont pairs, alors les formules de « réduction du degré » sont appliquées : ; .

2) Supposons que l'un des nombres m Et n- impair. Par exemple, n=2 k+1. Dans ce cas, l'un des degrés de la fonction cosx « split off » pour le mettre sous le signe différentiel (depuis). Dans l'expression restante
en utilisant l'identité trigonométrique de base
exprimé à travers
(). Après transformation de l'intégrande (et prise en compte de la propriété de linéarité), on obtient une somme algébrique d'intégrales de la forme
, dont chacun peut être trouvé à l'aide de la formule 2) du tableau 2 :
.

De plus, dans certains cas, les formules sont également utiles

Exemple 5.6. Trouver un)
; b)
; V)
.

Solution. UN) L'intégrande comprend un (5ème) degré impair péché, c'est pourquoi nous agissons selon deuxième règle, étant donné que .

Dans l'exemple b) utilisons la formule (5.4 ), linéarité intégrale indéfinie, égalité
et formule tabulaire 4):

Quand V) séquentiellement baisser le diplôme, on prend en compte la linéarité, la possibilité d'introduire une constante sous le signe différentiel et les formules tabulaires nécessaires :

5.6. Applications d'une intégrale définie. Comme on le sait, un trapèze curviligne correspondant à un segment non négatif et continu [ un; b] les fonctions F(X), appelé l'aire délimitée par le graphique d'une fonction oui= F(X), axe BŒUF et deux lignes verticales X= un, X= b. En bref, cela peut s'écrire comme suit : (voir. Figure 3). et où