1. Impulsion du moment, Mdt, agissant sur corps rotatif, est égal à la variation de son moment cinétique dL :
Mdt = d(J ω) ou Mdt = dL
Où : Mdt – impulsion du moment de force (le produit du moment de force M par l'intervalle de temps dt)
Jdω = d(Jω) – modification du moment cinétique du corps,
Jω = L - le moment cinétique d'un corps est le produit du moment d'inertie J et de la vitesse angulaire ω ω, et d(Jω) est dL.

2. Caractéristiques cinématiques La rotation d'un corps rigide dans son ensemble est caractérisée par un angle φ, mesuré en degrés angulaires ou en radians, vitesse angulaire
ω = dφ/dt(mesuré en rad/s)
et accélération angulaire
ε = d²φ/dt² (mesuré en rad/s²).
Avec une rotation uniforme (T tours par seconde), la fréquence de rotation est le nombre de tours du corps par unité de temps :
f = 1/T =ω/2
La période de rotation est la durée d'un tour complet. La période de rotation T et sa fréquence f sont liées par la relation
T = 1/f

Vitesse linéaire d'un point situé à une distance R de l'axe de rotation

Vitesse angulaire de rotation du corps
ω = f/Dt = 2/T

Caractéristiques dynamiques Les propriétés d'un corps rigide lors de sa rotation sont décrites par le moment d'inertie solide. Cette fonctionnalité est incluse dans équations différentielles, obtenu à partir des équations de Hamilton ou de Lagrange. L’énergie cinétique de rotation peut s’écrire :
E=

Dans cette formule, le moment d'inertie joue le rôle de masse, et la vitesse angulaire joue le rôle vitesse normale. Le moment d'inertie exprime la répartition géométrique de la masse dans un corps et peut être trouvé à partir de la formule :

Le moment d'inertie d'un système mécanique par rapport à un axe fixe a (« moment d'inertie axial ») est une grandeur physique Ja égale à la somme des produits des masses de tous n points matériels systèmes par les carrés de leurs distances à l'axe :
= ∑

Où : mi est la masse du i-ème point, ri est la distance du i-ème point à l'axe. Le moment d'inertie axial d'un corps Ja est une mesure de l'inertie d'un corps en mouvement de rotation autour de l'axe a, tout comme la masse d'un corps est une mesure de son inertie en mouvement de translation.

3. Le pendule représente systeme ferme.
Si le pendule est en point extrême, son énergie potentielle est maximale et son énergie cinétique est nulle.
Dès que le pendule commence à bouger, son énergie potentielle diminue et son énergie cinétique augmente.
Au point le plus bas, l’énergie cinétique est maximale et l’énergie potentielle est minimale. Après cela, le processus inverse commence. L'énergie cinétique accumulée déplace le pendule vers le haut et augmente ainsi l'énergie potentielle du pendule. Énergie cinétique diminue jusqu'à ce que le pendule s'arrête à nouveau à l'autre point extrême.
On peut dire que lors du mouvement du pendule se produit une transition énergie potentielleà la cinétique et vice versa.

La somme de l'énergie cinétique et potentielle des corps qui composent un système fermé et interagissent les uns avec les autres par les forces gravitationnelles et élastiques reste constante.
Ou ceci : l’énergie mécanique totale d’un système fermé de corps interagissant avec les forces gravitationnelles et élastiques reste inchangée.
(La somme de l'énergie cinétique et potentielle des corps est appelée énergie mécanique totale)

Pour dériver cette loi, considérons le cas le plus simple de mouvement de rotation d’un point matériel. Décomposons la force agissant sur un point matériel en deux composantes : normale - et tangente - (Fig. 4.3). La composante normale de la force conduira à l'apparition d'une accélération normale (centripète) : ; , où r = OA - rayon du cercle.

Une force tangentielle fera apparaître une accélération tangentielle. Conformément à la deuxième loi de Newton, F t = ma t ou F cos a = ma t.

Exprimons l'accélération tangentielle en termes d'accélération angulaire : a t = re. Alors F cos a=mre. Multiplions cette expression par le rayon r : Fr cos a=mr 2 e. Introduisons la notation r cos a = l , Où je - effet de levier de force, c'est-à-dire longueur de la perpendiculaire abaissée de l'axe de rotation à la ligne d'action de la force. Depuis mr 2 =Je - moment d'inertie d'un point matériel, et produit = Fl = M. - moment de force, alors

Produit du moment de force M. pendant toute la durée de sa validité dt s'appelle l'impulsion du moment. Produit du moment d'inertie je par vitesse angulaire w est appelé le moment cinétique du corps : L = Iw. Alors la loi fondamentale de la dynamique du mouvement de rotation sous la forme (4.5) peut être formulée comme suit : l'élan du moment de force est égal à la variation du moment cinétique du corps. Dans cette formulation, cette loi est similaire à la deuxième loi de Newton sous la forme (2.2).

Fin du travail -

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Cours court de physique

Ministère de l'Éducation et des Sciences de l'Ukraine. Académie maritime nationale d'Odessa.

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15. Dérivation de la loi fondamentale de la dynamique du mouvement de rotation.

Riz. 8.5. À la dérivation de l'équation de base de la dynamique du mouvement de rotation.

Dynamique du mouvement de rotation d'un point matériel.Considérons une particule de masse m tournant autour d'un courant O le long d'un cercle de rayon R. , sous l'action de la force résultante F (voir Fig. 8.5). DANS système inertiel compter est juste 2 Aie La loi de Newton. Écrivons-le par rapport à un moment arbitraire dans le temps :

F = m·a.

La composante normale de la force n'est pas capable de provoquer la rotation du corps, nous ne considérerons donc que l'action de sa composante tangentielle. En projection sur la direction tangentielle, l'équation du mouvement prendra la forme :

F t = m·a t .

Puisque a t = e·R, alors

F t = m e R (8,6)

En multipliant scalairement les côtés gauche et droit de l’équation par R, nous obtenons :

F t R= m e R 2 (8,7)
M = C'est-à-dire. (8.8)

L'équation (8.8) représente 2 Aie Loi de Newton (équation de la dynamique) pour le mouvement de rotation d'un point matériel. On peut lui donner un caractère vectoriel, en tenant compte du fait que la présence d'un couple provoque l'apparition d'un vecteur d'accélération angulaire parallèle dirigé le long de l'axe de rotation (voir Fig. 8.5) :

M = I·e. (8.9)

La loi fondamentale de la dynamique d'un point matériel lors d'un mouvement de rotation peut être formulée comme suit :

le produit du moment d'inertie et de l'accélération angulaire est égal au moment résultant des forces agissant sur un point matériel.

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Dynamique du mouvement de rotation

Les fondations et fondations sont calculées selon 2 états limites

	Selon la capacité portante :	N– charge de calcul donnée sur la base dans la combinaison la plus défavorable ; - Capacité de chargement(charge ultime) fondations pour une direction de charge donnée N; - coefficient de conditions de fonctionnement de la base (<1); - коэффициент надежности (>1).
	Selon les déformations limites :	- tassement absolu calculé de la fondation ; - différence relative calculée dans le tassement des fondations ; , - valeurs limites, respectivement, de la différence absolue et relative de tassement des fondations (SNiP 2.02.01-83*)

Dynamique du mouvement de rotation

Préface

J'attire l'attention des élèves sur le fait que CE matériel n'était pas considéré ABSOLUMENT à l'école (sauf pour la notion de moment de force).

1. Loi de la dynamique du mouvement de rotation

un. Loi de la dynamique du mouvement de rotation

b. Moment de pouvoir

c. Moment de quelques forces

d. Moment d'inertie

2. Moments d'inertie de certains corps :

un. Anneau (cylindre à paroi mince)

b. Cylindre à paroi épaisse

c. Cylindre plein

e. Tige fine

3. Théorème de Steiner

4. Élan du corps. Modification du moment cinétique d'un corps. Impulsion d'élan. Loi de conservation du moment cinétique

5. Travail rotatif

6. Énergie cinétique de rotation

7. Comparaison des grandeurs et des lois pour les mouvements de translation et de rotation

1a. Considérons un corps rigide pouvant tourner autour d'un axe fixe OO (Fig. 3.1). Décomposons ce corps solide en masses élémentaires distinctes Δ m je. La résultante de toutes les forces appliquées à Δ m je, désigne par . Il suffit de considérer le cas où la force se situe dans un plan perpendiculaire à l'axe de rotation : les composantes des forces parallèles à l'axe ne peuvent pas influencer la rotation du corps, puisque l'axe est fixe. Alors l’équation de la deuxième loi de Newton pour les composantes tangentielles de la force et de l’accélération s’écrira comme suit :

. (3.1)

La composante normale de la force fournit une accélération centripète et n’affecte pas l’accélération angulaire. D’après (1.27) : ,où est le rayon de rotation je-ce point. Alors

. (3.2)

Multiplions les deux côtés (3.2) par :

remarquerez que

où α est l'angle entre le vecteur force et le rayon vecteur du point (Fig. 3.1), est la perpendiculaire abaissée à la ligne d'action de la force depuis le centre de rotation (bras de force). Introduisons la notion de moment de force.

1b. Un moment de pouvoir par rapport à l'axe est un vecteur dirigé le long de l'axe de rotation et lié à la direction de la force par la règle de la vrille dont le module est égal au produit de la force par son bras : . Épaule de pouvoir je par rapport à l'axe de rotation - c'est la distance la plus courte entre la ligne d'action de la force et l'axe de rotation. Dimension du moment de force :

Sous forme vectorielle, le moment de force autour d'un point :

Le vecteur du moment de force est perpendiculaire à la fois à la force et au rayon vecteur du point de son application :

Si le vecteur force est perpendiculaire à l'axe, alors le vecteur force moment est dirigé le long de l'axe selon la règle de la vis droite, et l'amplitude du moment force par rapport à cet axe (projection sur l'axe) est déterminée par la formule (3.4 ) :

Le moment de force dépend à la fois de l’ampleur de la force et de l’effet de levier de la force. Si la force est parallèle à l’axe, alors .

1c. Couple de forces - ce sont deux forces de même ampleur et de direction opposée dont les lignes d'action ne coïncident pas (Fig. 3.2). Le bras d’un couple de forces est la distance entre les lignes d’action des forces. Trouvons le moment total du couple de forces u() en projection sur l'axe passant par le point O :

C'est-à-dire que le moment d'une paire de forces est égal au produit de la grandeur de la force par le plccho de la paire :

. (3.6)

Revenons à (3.3). Compte tenu de (3.4) et (3.6) :

. (3.7)

1d. Définition : une quantité scalaire égale au produit de la masse d'un point matériel par le carré de sa distance à l'axe s'appelle moment d'inertie d'un point matériel par rapport à l'axe OO :

Dimension du moment d'inertie

Les vecteurs et coïncident en direction avec l'axe de rotation et sont liés au sens de rotation selon la règle de la vrille, donc l'égalité (3.9) peut être réécrite sous forme vectorielle :

. (3.10)

Faisons la somme (3.10) sur toutes les masses élémentaires en lesquelles le corps est divisé :

. (3.11)

Ici, il est pris en compte que l'accélération angulaire de tous les points d'un corps rigide est la même et peut être soustraite du signe somme. Sur le côté gauche de l'égalité se trouve la somme des moments de toutes les forces (externes et internes) appliquées à chaque point du corps. Mais selon la troisième loi de Newton, les forces avec lesquelles les points du corps interagissent les uns avec les autres (forces internes) sont de même ampleur et de direction opposée et se trouvent sur la même ligne droite, de sorte que leurs moments s'annulent. Ainsi, du côté gauche de (3.11) le moment total reste seulement forces externes: .

La somme des produits des masses élémentaires par le carré de leurs distances à l'axe de rotation s'appelle moment d'inertie d'un corps rigide par rapport à cet axe :

. (3.12)

Ainsi, ; - c'est la loi fondamentale de la dynamique du mouvement de rotation d'un corps rigide (analogue de la deuxième loi de Newton) : l'accélération angulaire d'un corps est directement proportionnelle au moment total des forces extérieures et inversement proportionnelle au moment d'inertie du corps :

. (3.13)

Moment d'inertie jele corps solide est une mesure des propriétés inertes d'un corps solide pendant un mouvement de rotation et est similaire à la masse d'un corps dans la deuxième loi de Newton. Cela dépend significativement non seulement de la masse corporelle, mais aussi de sa répartition par rapport à l'axe de rotation (dans la direction perpendiculaire à l'axe).

Dans le cas d'une distribution continue de masse, la somme en (3.12) se réduit à l'intégrale sur tout le volume du corps :

2a. Moment d'inertie d'un anneau mince autour d'un axe passant par son centre perpendiculaire au plan de l'anneau.

,

puisque pour tout élément de l'anneau sa distance à l'axe est la même et égale au rayon de l'anneau : .

2b. Cylindre (disque) à paroi épaisse avec un rayon intérieur et un rayon extérieur.

Calculons le moment d'inertie d'un disque homogène de densité ρ , hauteur h, rayon interne et rayon externe (Fig. 3.3) par rapport à l'axe passant par le centre de masse perpendiculaire au plan du disque. Divisons le disque en anneaux minces d'épaisseur et de hauteur de sorte que le rayon intérieur de l'anneau soit égal à et le rayon extérieur soit égal à . Le volume d'un tel anneau, où – zone de la base de l’anneau mince. Sa masse :

Remplaçons dans (3.14) et intégrons sur r():

Masse disque, puis enfin :

. (3.17)

2c. Cylindre plein (disque).

Dans le cas particulier d'un disque ou cylindre plein de rayon R. remplaçons par (3.17) R. 1 =0, R. 2 =R. et on obtient :

. (3.18)

Moment d'inertie d'une boule de rayon R. et la masse par rapport à l'axe passant par son centre (Fig. 3.4) est égale à (sans preuve) :

2e. Le moment d'inertie d'une tige mince avec une masse et une longueur par rapport à un axe passant par son extrémité perpendiculaire à la tige (Fig. 3.5).

Divisons la tige en sections infinitésimales de longueur. La masse d'une telle section. Remplaçons dans (3.14) et intégrons de 0 à :

Si l'axe passe par le centre de la tige perpendiculairement à lui, vous pouvez calculer le moment d'inertie de la moitié de la tige à l'aide de (3.20) puis le doubler :

. (3.21)

3. Si l'axe de rotation ça ne marche pas passant par le centre de masse du corps (Fig. 3.6), les calculs utilisant la formule (3.14) peuvent être assez complexes. Dans ce cas, le calcul du moment d'inertie est simplifié en utilisant Théorème de Steiner : le moment d'inertie du corps par rapport à un axe arbitraire est égal à la somme des moments d'inertie je c corps par rapport à un axe passant par le centre de masse du corps parallèle à cet axe, et le produit de la masse corporelle par le carré de la distance entre axes :

. (3.22)

Voyons comment fonctionne le théorème de Steiner si nous l'appliquons à une tige :

Il est facile de vérifier qu'une identité est obtenue, puisque dans ce cas la distance entre les axes est égale à la moitié de la longueur de la tige.

4. Élan du corps. Modification du moment cinétique d'un corps. Impulsion d'élan. Loi de conservation du moment cinétique.

De la loi de la dynamique du mouvement de rotation et de la définition de l'accélération angulaire, il résulte :

.

Si donc. Introduisons le moment cinétique d'un corps rigide comme

La relation (3.24) est la loi fondamentale de la dynamique des corps rigides pour le mouvement de rotation. On peut le réécrire ainsi :

et alors ce sera un analogue de la deuxième loi de Newton pour mouvement vers l'avant sous forme d'impulsions (2.5)

L'expression (3.24) peut être intégrée :

et formuler la loi du changement du moment cinétique : le changement du moment cinétique du corps est égal à l'impulsion du moment total des forces externes . La quantité est appelée l'impulsion du moment de force et est similaire à l'impulsion de force dans la formulation de la deuxième loi de Newton pour le mouvement de translation (2.2) ; le moment cinétique est analogue au moment.

Dimension du moment cinétique

Le moment cinétique d'un corps rigide par rapport à son axe de rotation est un vecteur dirigé le long de l'axe de rotation selon la règle de la vrille.

Le moment cinétique d'un point matériel par rapport au point O (Fig. 3.6) est :

où est le rayon vecteur du point matériel, est son élan. Le vecteur moment cinétique est dirigé selon la règle de la vrille perpendiculairement au plan dans lequel se trouvent les vecteurs et : sur la Fig. 3.7 - vers nous en raison de la figure. Ampleur du moment cinétique

Divisons un corps rigide tournant autour d'un axe en masses élémentaires et résumons le moment cinétique de chaque masse sur l'ensemble du corps (le même peut s'écrire sous forme d'intégrale ; ce n'est pas important) :

.

Puisque la vitesse angulaire de tous les points est la même et est dirigée le long de l’axe de rotation, nous pouvons l’écrire sous forme vectorielle :

Ainsi, l'équivalence des définitions (3.23) et (3.26) est prouvée.

Si le moment total des forces externes est nul, alors le moment cinétique du système ne change pas(voir 3.25) :

. C'est la loi de conservation du moment cinétique . Ceci est possible lorsque :

a) le système est fermé (ou );

b) les forces externes n'ont pas de composantes tangentielles (le vecteur force passe par l'axe/centre de rotation) ;

c) les forces externes sont parallèles à l'axe de rotation fixe.

Exemples d'utilisation/action de la loi de conservation du moment cinétique :

1. gyroscope ;

2. Banc Joukovski ;

3. patineur artistique sur glace.

5. Travaillez en mouvement de rotation.

Laissez le corps tourner d'un angle sous l'action d'une force et l'angle entre le déplacement et la force est égal à ; – rayon vecteur du point d'application de la force (Fig. 3.8), alors le travail de la force est égal.

Dans un référentiel inertiel, l'accélération angulaire acquise par un corps tournant autour d'un axe fixe est proportionnelle au moment total de toutes les forces extérieures agissant sur le corps, et inversement proportionnelle au moment d'inertie du corps par rapport à un axe donné :

Une formulation plus simple peut être donnée principal loi de la dynamique de rotation (on l'appelle aussi Deuxième loi de Newton pour le mouvement de rotation) : le couple est égal au produit du moment d'inertie et de l'accélération angulaire:

moment d'impulsion(moment cinétique, moment cinétique) d'un corps est appelé le produit de son moment d'inertie et de sa vitesse angulaire :

Élan– quantité vectorielle. Sa direction coïncide avec la direction du vecteur vitesse angulaire.

La variation du moment cinétique est déterminée comme suit :

. (I.112)

Un changement de moment cinétique (avec un moment d'inertie constant du corps) ne peut se produire qu'à la suite d'un changement de vitesse angulaire et est toujours dû à l'action d'un moment de force.

D'après la formule, ainsi que les formules (I.110) et (I.112), la variation du moment cinétique peut être représentée comme :

. (I.113)

Le produit de la formule (I.113) s'appelle impulsion d'élan ou force motrice. C'est égal à la variation du moment cinétique.

La formule (I.113) est valable à condition que le moment de force ne change pas dans le temps. Si le moment de force dépend du temps, c'est-à-dire , Que

. (I.114)

La formule (I.114) montre que : la variation du moment cinétique est égale à l'intégrale temporelle du moment de force. De plus, si cette formule se présente sous la forme : , alors la définition en découlera moment de force: le couple instantané est la dérivée première du moment cinétique par rapport au temps,

L'expression (I.115) est une autre forme équation de base (loi ) dynamique du mouvement de rotation d'un corps rigide par rapport à l'axe fixe : la dérivée du moment cinétique d'un corps rigide par rapport à un axe est égale au moment de force par rapport au même axe.

Question 15

Moment d'inertie

Le moment d'inertie d'un système (corps) par rapport à un axe donné est une grandeur physique égale à la somme des produits des masses n points matériels du système par les carrés de leur distance à l'axe considéré :

J=

La sommation est effectuée sur toutes les masses élémentaires m(i) en lesquelles le corps est divisé

Dans le cas d'une distribution de masse continue, cette somme se réduit à l'intégrale

où l'intégration s'effectue sur tout le volume du corps. La valeur de z dans ce cas est fonction de la position du point de coordonnées x, y, z.

A titre d'exemple, trouvons le moment d'inertie d'un cylindre solide homogène de hauteur h et de rayon R par rapport à son axe géométrique. Divisons le cylindre en cylindres concentriques creux séparés d'épaisseur infinitésimale dr avec un rayon interne r et un rayon externe r + dr. Le moment d'inertie de chaque cylindre creux d,/ = r^2 dm (puisque dr≤r on suppose que la distance de tous les points du cylindre à l'axe est égale à r), où dm est la masse de l'ensemble élémentaire cylindre; son volume est de 2 πr DRH r. Si p est la densité du matériau, alors dm = 2πhpr^3d r. Alors le moment d'inertie d'un cylindre solide

mais puisque πR^3h est le volume du cylindre, alors sa masse m= πR^2hp, et le moment d'inertie

Théorème de Steiner

Le moment d'inertie d'un corps J par rapport à un axe arbitraire est égal à son moment d'inertie par rapport à un axe parallèle passant par le centre de masse C du corps, ajouté au produit de la masse corporelle et du carré de la distance a entre les axes :

J= +ma^2

1. Moment d'inertie d'une tige cylindrique fine et droite homogène longueur et masse par rapport à un axe passant par son milieu et perpendiculaire à sa longueur :

2. Moment d'inertie d'un cylindre solide homogène(ou disque) rayon et masse par rapport à l'axe de symétrie perpendiculaire à son plan et passant par son centre :

3. Moment d'inertie du cylindre rayon, masse et hauteur par rapport à un axe perpendiculaire à sa hauteur et passant par son milieu :

4. Moment d'inertie du ballon(sphère à paroi mince) rayon et masse par rapport à son diamètre (ou axe passant par le centre de la sphère) :

5. Moment d'inertie de la tige longueur et masse par rapport à un axe passant par l'une de ses extrémités et perpendiculaire à sa longueur :

6. Moment d'inertie d'un cylindre creux à paroi mince rayon et masse, par rapport à l'axe du cylindre :

7. Moment d'inertie d'un cylindre avec un trou(roue, embrayage):

,

où et sont les rayons du cylindre et le trou qu'il contient. Le moment cinétique est également constant pour les systèmes ouverts si le moment résultant des forces externes appliquées au système est nul.

Un gyroscope (exemple : toupie) est un corps symétrique tournant autour de son axe à grande vitesse.

Le moment cinétique du gyroscope coïncide avec son axe de rotation.

Charge électrique est une mesure de la participation des corps aux interactions électromagnétiques.

Il existe deux sortes charges électriques, conventionnellement appelé positif et négatif.

La loi de coulomb:

.

Champ électrique est une forme particulière de matière à travers laquelle se produit une interaction entre des particules chargées.

Tension champ électrique– grandeur physique vectorielle. La direction du vecteur tension coïncide en chaque point de l’espace avec la direction de la force agissant sur la charge d’essai positive.

Les lignes électriques Champs coulombiens de charges ponctuelles positives et négatives :