Le principe de D'Alembert permet de réduire le processus de composition d'équations dynamiques à la composition d'équations statiques.

Ce principe, que nous présenterons ici pour un point matériel libre et pour un point se déplaçant le long d'une surface ou le long d'une courbe, est applicable à tout problème de dynamique. Cela nous permettra de résumer toute la théorie du mouvement des points.

Considérons un point matériel M de masse soumis à l'influence de forces dont la résultante présente des projections. Les équations de mouvement de ce point peuvent s'écrire comme suit :

Nous considérerons, à côté des vecteurs représentant les forces appliquées au point M, un vecteur à projections - Ce vecteur, numériquement égal au produit de la masse et de l'accélération et dirigé à l'opposé de l'accélération, est appelé force d'inertie, bien que cela ne signifie en aucun cas être une force appliquée au point. Les équations expriment alors que la somme géométrique des vecteurs et est égale à zéro, ou qu'à chaque instant il existe un équilibre entre la force d'inertie et les forces réellement appliquées au point.

Dérivation des équations du mouvement à partir du principe de d'Alembert. D'après ce qui vient d'être dit, pour trouver les équations du mouvement d'un point dans n'importe quelles conditions, il suffit d'exprimer qu'il existe un équilibre entre toutes les forces appliquées au point et la force d'inertie. Mais cela peut être fait en utilisant des méthodes statiques. Vous pouvez, par exemple, appliquer le théorème des opportunités de travail. Pour ce faire, il faut distinguer entre les forces appliquées en un point, les forces précisées et les réactions des liaisons. Désignons les projections de forces données.

Pour écrire qu'il existe un équilibre entre les forces agissant sur un point et la force d'inertie, il suffit d'écrire qu'à

tous les mouvements possibles permis par les liaisons existant à l'heure actuelle la somme du travail des forces données et de la force d'inertie est égale à zéro :

Trois cas sont à distinguer :

1°. Point gratuit. arbitraire. Si, comme au paragraphe 282, un système de coordonnées arbitraire est utilisé, alors, en le remplaçant par des variations, nous obtenons :

où sont arbitraires.

En substituant par l'égalité (2) et en assimilant le résultat à zéro pour arbitraire, nous obtenons les équations de mouvement sous la forme indiquée au paragraphe 282, à partir desquelles nous avons dérivé les équations de Lagrange pour un point libre.

2°. Un point en surface. Laisser

est l'équation d'une surface qui, pour généralité, est supposée être en mouvement. En donnant à une variable une valeur spécifique, on voit que l'on doit satisfaire la condition

exprimer que le mouvement possible est permis par la connexion existant à l'heure actuelle. Si, comme au paragraphe 263, nous exprimons les coordonnées d'un point de la surface en fonctions de deux paramètres, alors nous obtenons.

et la relation (2) doit avoir lieu, quelles qu'elles soient. De cette manière, les équations du mouvement seront obtenues sous la forme (4) du paragraphe 263. 3°. Un point sur une courbe. Laisser

principe de d'Alembert

L'œuvre principale de Zh.L. d'Alembert(1717-1783) - "Traité de dynamique" - publié en 1743

La première partie du traité est consacrée à la construction de la statique analytique. D'Alembert formule ici les « principes fondamentaux de la mécanique », dont le « principe d'inertie », « le principe d'addition de mouvement » et le « principe d'équilibre ».

Le « principe d'inertie » est formulé séparément pour le cas du repos et pour le cas du mouvement rectiligne uniforme. « La force d'inertie », écrit d'Alembert, « avec Newton, j'appelle la propriété d'un corps de conserver l'état dans lequel il se trouve ».

Le « principe d’addition de mouvement » est la loi d’addition de vitesses et de forces selon la règle du parallélogramme. Partant de ce principe, d'Alembert résout des problèmes de statique.

Le « principe d’équilibre » est formulé sous la forme du théorème suivant : « Si deux corps se déplaçant à des vitesses inversement proportionnelles à leurs masses ont des directions opposées, de sorte qu’un corps ne peut se déplacer sans déplacer l’autre corps d’un endroit à l’autre, alors ces les corps seront en état d’équilibre ». Dans la deuxième partie du Traité, d'Alembert propose une méthode générale de composition d'équations différentielles de mouvement pour tout système matériel, basée sur la réduction du problème de la dynamique à la statique. Il a formulé une règle pour tout système de points matériels, appelée plus tard « principe de D'Alembert », selon laquelle les forces appliquées aux points du système peuvent être décomposées en forces « actives », c'est-à-dire celles qui provoquent l'accélération de la force. système, et ceux « perdus », nécessaires à l’équilibre du système. D'Alembert estime que les forces qui correspondent à l'accélération « perdue » forment un ensemble qui n'affecte en rien le comportement réel du système. En d’autres termes, si seule la totalité des forces « perdues » est appliquée au système, alors le système restera au repos. La formulation moderne du principe de d'Alembert a été donnée par M. E. Joukovski dans son « Cours de mécanique théorique » : « Si à un moment donné vous arrêtez un système en mouvement et y ajoutez, en plus de ses forces motrices, toutes les forces d'inertie correspondant à un instant donné, alors l'équilibre sera observé, et toutes les forces de pression, de tension, etc. se développant entre les parties du système à un tel équilibre seront de réelles forces de pression, de tension, etc. pendant le mouvement du système à l’instant considéré. Il est à noter que d'Alembert lui-même, lors de la présentation de son principe, n'a eu recours ni à la notion de force (estimant qu'elle n'était pas assez claire pour figurer dans la liste des concepts fondamentaux de la mécanique), ni encore moins à la notion de force d'inertie. La présentation du principe de d'Alembert sous le terme de « force » appartient à Lagrange, qui dans sa « Mécanique analytique » en donna l'expression analytique sous la forme du principe des déplacements possibles. C'est Joseph Louis Lagrange (1736-1813) et surtout. Leonardo Euler (1707-1783) qui joua un rôle important dans la transformation finale de la mécanique en mécanique analytique.

Mécanique analytique d'un point matériel et dynamique des corps rigides d'Euler

Léonard Euler- l'un des scientifiques exceptionnels qui ont grandement contribué au développement des sciences physiques et mathématiques au XVIIIe siècle. Son travail étonne par la perspicacité de sa pensée de recherche, la polyvalence de son talent et l'énorme quantité d'héritage scientifique qu'il a laissé derrière lui.

Déjà dans les premières années d'activité scientifique à Saint-Pétersbourg (Euler arriva en Russie en 1727), il élabora un programme pour un cycle de travail grandiose et complet dans le domaine de la mécanique. Cette application se retrouve dans son ouvrage en deux volumes « La mécanique ou la science du mouvement, expliquée analytiquement » (1736). La Mécanique d'Euler fut le premier cours systématique de mécanique newtonienne. Il contenait les principes fondamentaux de la dynamique d'un point - par mécanique, Euler entendait la science du mouvement, par opposition à la science de l'équilibre des forces, ou statique. La caractéristique déterminante de la mécanique d'Euler était l'utilisation généralisée d'un nouvel appareil mathématique : le calcul intégral différentiel. Décrivant brièvement les principaux ouvrages sur la mécanique parus au tournant des XVIIe et XVIIIe siècles, Euler a noté le style son-thétique-géométrique de leur écriture, qui a créé beaucoup de travail pour les lecteurs. C’est de cette manière que furent écrits les « Principia » de Newton et plus tard « Phoronomy » (1716) de J. Herman. Euler souligne que les œuvres d'Hermann et de Newton ont été présentées « selon la coutume des anciens, à l'aide de preuves géométriques synthétiques » sans recourir à l'analyse, « seulement grâce à laquelle on peut parvenir à une compréhension complète de ces choses ».

La méthode synthétique-géométrique n'avait pas un caractère généralisant, mais nécessitait en règle générale des constructions individuelles concernant chaque problème séparément. Euler admet qu'après avoir étudié « Phoronomy » et « Principia », il lui a semblé « qu'il comprenait très clairement les solutions à de nombreux problèmes, mais il ne pouvait plus résoudre des problèmes qui s'en écartaient dans une certaine mesure ». Il a ensuite tenté « d’isoler l’analyse de cette méthode synthétique et de réaliser analytiquement les mêmes propositions pour son propre bénéfice ». Euler note que grâce à cela, il a beaucoup mieux compris l'essence du problème. Il a développé des méthodes fondamentalement nouvelles pour étudier les problèmes de mécanique, a créé son appareil mathématique et l'a appliqué avec brio à de nombreux problèmes complexes. Grâce à Euler, la géométrie différentielle, les équations différentielles et le calcul des variations sont devenus des outils de la mécanique. La méthode d'Euler, développée plus tard par ses successeurs, était sans ambiguïté et adaptée au sujet.

L'ouvrage d'Euler sur la dynamique des corps rigides, La théorie du mouvement des corps rigides, comporte une grande introduction de six sections, qui expose à nouveau la dynamique d'un point. Un certain nombre de modifications ont été apportées à l'introduction : notamment, les équations du mouvement d'un point sont écrites par projection sur les axes de coordonnées rectangulaires fixes (et non sur la tangente, la normale principale et la normale, c'est-à-dire la axes d'un trièdre naturel fixe associés aux points de la trajectoire, comme dans "Mécanique") .

Après l'introduction, le « Traité sur le mouvement des corps rigides » comprend 19 sections. Le traité est basé sur le principe de D'Alembert. Après avoir brièvement discuté du mouvement de translation d'un corps rigide et introduit le concept de centre d'inertie, Euler considère. rotations autour d'un axe fixe et autour d'un point fixe. Voici les formules de projections de vitesse angulaire instantanée, d'accélération angulaire sur l'axe de coordonnées, les angles dits d'Euler, etc. Ensuite, les propriétés du moment d'inertie sont décrites, après quoi Euler procède à la dynamique d'un corps rigide. Il dérive les équations différentielles de la rotation d'un corps lourd autour de son centre de gravité stationnaire en l'absence de forces extérieures et les résout pour un cas particulier simple. le problème bien connu et tout aussi important de la théorie du gyroscope s'est posé : la rotation d'un corps rigide autour d'un point fixe Euler a également travaillé sur la théorie de la construction navale, aux yeux de l'hydro- et de l'aéromécanique, de la balistique et de la théorie. de stabilité. théorie des petites vibrations, mécanique céleste, etc.

Huit ans après la publication de Mechanics, Euler enrichit la science avec la première formulation précise du principe de moindre action. La formulation du principe de moindre action, qui appartenait à Maupertuis, était encore très imparfaite. La première formulation scientifique du principe appartient à Euler. Il formule son principe ainsi : l'intégrale a la moindre valeur pour la trajectoire réelle si l'on considère

le dernier d'un groupe de trajectoires possibles qui ont une position initiale et finale commune et sont réalisées avec la même valeur énergétique. Euler donne à son principe une expression mathématique exacte et une justification stricte pour un point matériel qui subit les actions des forces centrales. Durant 1746-1749 pp. Euler a écrit plusieurs articles sur les figures d'équilibre d'un fil flexible, dans lesquels le principe de moindre action a été appliqué à des problèmes dans lesquels agissent des forces élastiques.

Ainsi, dès 1744, la mécanique s'enrichit de deux principes importants : le principe de d'Alembert et le principe de moindre action de Maupertuis-Euler. Sur la base de ces principes, Lagrange a construit un système de mécanique analytique.

Forces d'inertie dans la dynamique d'un point matériel et d'un système mécanique

Par la force de l'inertie d'un point matériel est le produit de la masse du point et de son accélération, prise avec un signe moins, c'est-à-dire que les forces d'inertie en dynamique s'appliquent dans les cas suivants :

• 1. Lors de l'étude du mouvement d'un point matériel dans non inertiel système de coordonnées (mobile), c'est-à-dire mouvement relatif. Il s’agit des forces de transport et d’inertie de Coriolis, souvent appelées forces d’Euler.
• 2. Lors de la résolution de problèmes de dynamique à l'aide de la méthode kinétostatique. Cette méthode est basée sur le principe d’Alembert selon lequel les forces d’inertie d’un point matériel ou d’un système de points matériels se déplaçant avec une certaine accélération dans inertiel système de référence. Ces forces d'inertie sont appelées forces d'Alembert.
• 3. Les forces d'inertie de D'Alembert sont également utilisées pour résoudre des problèmes de dynamique en utilisant le principe de Lagrange-D'Alembert ou l'équation générale de la dynamique.

Expression en projections sur des axes de coordonnées cartésiennes

Où - modules de projections de l'accélération d'un point sur l'axe des coordonnées cartésiennes.

Lorsqu'un point se déplace dans une direction curviligne, la force d'inertie peut être décomposée en tangente et normale : ; , - module d'accélérations tangentielles et normales ; - rayon de courbure de la trajectoire ;

V- vitesse des points.

Le principe de D'Alembert pour un point matériel

Si ce n'est pas gratuit Si un point matériel se déplace sous l'influence de forces actives appliquées et de forces de réaction de liaison, alors à tout moment le système de forces résultant sera équilibré, c'est-à-dire la somme géométrique de ces forces sera égale à zéro.

matériau du corps du point mécanique

Où - résultante des forces actives appliquées en un point ; - résultante de réactions de liaisons imposées sur un point ; force d'inertie d'un point matériel. Remarque : En fait, la force d'inertie d'un point matériel n'est pas appliquée au point lui-même, mais au corps qui transmet l'accélération à ce point.

Le principe de D'Alembert pour un système mécanique

Somme géométrique les principaux vecteurs des forces externes agissant sur le système et les forces d'inertie de tous les points du système, ainsi que la somme géométrique des principaux moments de ces forces par rapport à un centre pour un système mécanique non libre à tout instant sont égaux à zéro, c'est-à-dire

Vecteur principal et moment principal des forces d'inertie d'un corps rigide

Le vecteur principal et le moment principal des forces d'inertie des points du système sont déterminés séparément pour chaque corps rigide inclus dans un système mécanique donné. Leur définition est basée sur la méthode Poinsot, connue de la statique, consistant à amener un système arbitraire de forces vers un centre donné.

Sur la base de cette méthode, les forces d'inertie de tous les points du corps, dans le cas général, ses mouvements peuvent être ramenés au centre de masse et remplacés par le vecteur principal* et le moment principal par rapport au centre de masse. Ils sont déterminés par les formules c'est-à-dire pour tout dans le mouvement d'un corps rigide, le vecteur principal des forces d'inertie est égal, avec un signe moins, au produit de la masse du corps et de l'accélération du centre de masse du corps ; ,Où r kc -- vecteur de rayon k-ième points tirés du centre de masse. Ces formules dans des cas particuliers de mouvement d'un corps rigide ont la forme :

1. Mouvement vers l'avant.

2. Rotation d'un corps autour d'un axe passant par le centre de masse

3. Mouvement plan-parallèle

Introduction à la mécanique analytique

Concepts de base de la mécanique analytique

Mécanique analytique- un domaine (section) de la mécanique dans lequel le mouvement ou l'équilibre des systèmes mécaniques est étudié à l'aide de méthodes analytiques générales et unifiées utilisées pour tout système mécanique.

Considérons les concepts les plus caractéristiques de la mécanique analytique.

1. Connexions et leur classification.

Connexions-- toutes restrictions sous forme de corps ou toutes conditions cinématiques imposées aux mouvements de points d'un système mécanique. Ces contraintes peuvent être écrites sous forme d’équations ou d’inégalités.

Connexions géométriques-- des connexions dont les équations contiennent uniquement les coordonnées des points, c'est-à-dire que des restrictions sont imposées uniquement sur les coordonnées des points. Ce sont des connexions sous forme de corps, de surfaces, de lignes, etc.

Connexions différentielles-- des connexions qui imposent des restrictions non seulement sur les coordonnées des points, mais aussi sur leur vitesse.

Connexions holonomiques -- toutes les connexions géométriques et celles différentielles dont les équations peuvent être intégrées.

Connexions non holonomiques-- connexions différentielles non intégrables.

Connexions téléphoniques -- connexions dont les équations n’incluent pas explicitement le temps.

Communications non stationnaires- des connexions qui évoluent dans le temps, c'est-à-dire dont les équations incluent clairement le temps.

Connexions bidirectionnelles (de maintien) -- connexions qui limitent le mouvement d’un point dans deux directions opposées. De telles connexions sont décrites par les équations .

Unilatéral connexions (non restrictives) - connexions qui limitent le mouvement dans une seule direction. De telles connexions sont décrites par les inégalités

2. Mouvements possibles (virtuels) et réels.

Possible ou virtuel les déplacements de points d'un système mécanique sont des mouvements infinitésimaux imaginaires qui permettent des connexions imposées au système.

Possible Le mouvement d'un système mécanique est un ensemble de mouvements simultanés possibles de points du système compatibles avec les connexions. Supposons que le système mécanique soit un mécanisme à manivelle.

Mouvement possible de la pointe UN est un mouvement qui, en raison de sa petitesse, est considéré comme rectiligne et dirigé perpendiculairement à OA.

Mouvement possible de la pointe DANS(curseur) se déplace dans les guides. Mouvement possible de la manivelle OA est l'angle de rotation, et la bielle UN B --à un angle autour du MCS (point R).

Valide les déplacements des points du système sont aussi appelés déplacements élémentaires qui permettent des liaisons superposées, mais en tenant compte des conditions initiales de mouvement et des forces agissant sur le système.

Nombre de diplômes liberté S d'un système mécanique est le nombre de ses mouvements indépendants possibles qui peuvent être communiqués aux points du système à un instant donné.

Le principe des mouvements possibles (principe de Lagrange)

Le principe des déplacements possibles ou principe de Lagrange exprime la condition d'équilibre d'un système mécanique non libre sous l'influence de forces actives appliquées. Énoncé du principe.

Pour l'équilibre d'un système mécanique non libre à liaisons bidirectionnelles, stationnaires, holonomiques et idéales, qui est au repos sous l'action des forces actives appliquées, il faut et suffisant que la somme des travaux élémentaires de toutes les forces actives soit égale à la balle sur tout déplacement possible du système par rapport à la position d'équilibre considérée :

Équation générale de la dynamique (principe de Lagrange-D'Alembert)

L'équation générale de la dynamique est appliquée à l'étude du mouvement des systèmes mécaniques non libres, dont les corps ou points se déplacent avec certaines accélérations.

Conformément au principe de d'Alembert, l'ensemble des forces actives appliquées à un système mécanique, couplant forces de réaction et forces d'inertie en tous points du système forme un système de forces équilibré.

Si l’on applique le principe des déplacements possibles (principe de Lagrange) à un tel système, on obtient le principe combiné de Lagrange-D’Alembert ou équation générale de la dynamique.Énoncé de ce principe.

Lorsque vous bougez sans liberté d'un système mécanique à connexions bidirectionnelles, idéales, stationnaires et holonomiques, la somme des travaux élémentaires de toutes les forces actives et forces d'inertie appliquées aux points du système à tout mouvement possible du système est nulle :

Équations de Lagrange du deuxième type

équations de Lagrange du deuxième type sont les équations différentielles du mouvement d'un système mécanique en coordonnées généralisées.

Pour un système avec S degrés de liberté, ces équations ont la forme

Différence la dérivée totale par rapport au temps de la dérivée partielle de l'énergie cinétique du système par rapport à la vitesse généralisée et la dérivée partielle de l'énergie cinétique par rapport à la coordonnée généralisée est égale à la force généralisée.

Équations de Lagrange pour les systèmes mécaniques conservateurs. Coordonnées cycliques et intégrales

Pour un système conservateur, les forces généralisées sont déterminées par l'énergie potentielle du système selon la formule

Ensuite les équations de Lagrange seront réécrites sous la forme

Puisque l'énergie potentielle du système est fonction uniquement de coordonnées généralisées, c'est-à-dire, en tenant compte de cela, présentons-la sous la forme où T-P = L-- Fonction de Lagrange (potentiel cinétique). Enfin, les équations de Lagrange pour un système conservateur

Stabilité de la position d'équilibre d'un système mécanique

La question de la stabilité de la position d'équilibre des systèmes mécaniques est d'une importance directe dans la théorie de la vibration des systèmes.

La position d'équilibre peut être stable, instable et indifférente.

Durable position d'équilibre - une position d'équilibre dans laquelle les points d'un système mécanique, éloignés de cette position, se déplacent ensuite sous l'action de forces à proximité immédiate de leur position d'équilibre.

Ce mouvement aura un certain degré de répétabilité dans le temps, c'est-à-dire que le système effectuera un mouvement oscillatoire.

Instable position d'équilibre - une position d'équilibre à partir de laquelle, avec un écart arbitrairement petit des points du système, d'autres forces agissant éloigneront encore plus les points de leur position d'équilibre .

Indifférent position d'équilibre - une position d'équilibre lorsque, pour tout petit écart initial des points du système par rapport à cette position, dans la nouvelle position, le système reste également en équilibre. .

Il existe différentes méthodes pour déterminer la position d'équilibre stable d'un système mécanique.

Considérons la définition d'une position d'équilibre stable basée sur Théorèmes de Lagrange-Dirichlet

Si en positionéquilibre d'un système mécanique conservateur avec des connexions idéales et stationnaires, son énergie potentielle a un minimum, alors cette position d'équilibre est stable.

Phénomène d'impact. Force d'impact et impulsion d'impact

Le phénomène dans lequel, sur une période de temps négligeable, la vitesse des points sur un corps change d'une quantité finie est appelé souffler. Cette période de temps est appelée temps d'impact. Lors d’un impact, une force d’impact s’exerce sur une durée infinitésimale. Force d'impact appelée force dont l'élan lors de l'impact est une valeur finie.

Si la force est finie en module agit dans le temps, commençant son action à un moment donné , alors son impulsion a la forme

Aussi, lorsqu’une force d’impact agit sur un point matériel, on peut dire que :

l'action des forces non instantanées lors de l'impact peut être négligée ;

le mouvement du point matériel lors de l'impact peut être ignoré ;

le résultat de l'action d'une force d'impact sur un point matériel s'exprime dans la variation finale de son vecteur vitesse lors de l'impact.

Théorème sur le changement de quantité de mouvement d'un système mécanique lors d'un impact

la variation de l'impulsion du système mécanique lors de l'impact est égale à la somme géométrique de toutes les impulsions de choc externes appliquées aux points des systèmes, Où - l'ampleur du mouvement du système mécanique au moment de la fin des forces d'impact, - l'ampleur du mouvement du système mécanique au moment où les forces d'impact commencent à agir, - impulsion de choc externe.

Les méthodes de résolution de problèmes mécaniques envisagées jusqu'à présent sont basées sur des équations qui découlent soit directement des lois de Newton, soit de théorèmes généraux qui sont des conséquences de ces lois. Cependant, cette voie n’est pas la seule. Il s’avère que les équations du mouvement ou les conditions d’équilibre d’un système mécanique peuvent être obtenues en le basant sur d’autres principes généraux, appelés principes de la mécanique, au lieu des lois de Newton. Dans certains cas, l'application de ces principes permet, comme nous le verrons, de trouver des méthodes plus efficaces pour résoudre les problèmes correspondants. Ce chapitre examinera l'un des principes généraux de la mécanique, appelé principe de d'Alembert.

Trouvons d'abord l'expression du principe pour un point matériel. Supposons qu'un point matériel de masse soit soumis à l'action d'un système de forces actives, dont la résultante sera désignée par la réaction de couplage N (si le point n'est pas libre). Sous l'influence de toutes ces forces, le point va se déplacer par rapport au référentiel inertiel avec une certaine accélération a.

Introduisons en considération la quantité

ayant la dimension de la force. Une quantité vectorielle égale en grandeur au produit de la masse d'un point et de son accélération et dirigée à l'opposé de cette accélération est appelée la force d'inertie du point.

Il s'avère alors que le mouvement d'un point a la propriété suivante : si à tout moment la force d'inertie s'ajoute aux forces actives agissant sur le point et à la réaction de couplage, alors le système de forces résultant sera équilibré, c'est à dire.

Cette position exprime le principe de d'Alembert sur un point matériel. Il est facile de voir que cela équivaut à la deuxième loi de Newton et vice versa. En fait, la deuxième loi de Newton pour le point considéré donne. En transférant ici la valeur m à droite de l'égalité et en tenant compte de la notation (84), on arrive à la relation (85). Au contraire, en transférant la quantité de l’équation (85) vers l’autre partie de l’égalité et en tenant compte de la notation (84), on obtient l’expression de la deuxième loi de Newton.

Considérons maintenant un système mécanique constitué de points matériels. Sélectionnons l'un des points du système de masse . Sous l'influence des forces externes et internes qui lui sont appliquées (qui incluent à la fois les forces actives et les réactions de couplage), le point se déplacera par rapport au référentiel inertiel avec une certaine accélération. En introduisant la force d'inertie pour ce point, on obtient selon. égalité (85) qui

c'est-à-dire qu'ils forment un système de forces équilibré. En répétant ce raisonnement pour chacun des points du système, on arrive au résultat suivant, exprimant le principe de D'Alembert pour le système : si à un instant donné les forces d'inertie correspondantes s'ajoutent à chacun des points du système, en En plus des forces externes et internes agissant sur lui, le système de forces résultant sera alors équilibré et toutes les équations de la statique pourront lui être appliquées.

Mathématiquement, le principe de D'Alembert pour un système s'exprime par des égalités vectorielles de la forme (85), qui sont évidemment équivalentes aux équations différentielles du mouvement du système (13), obtenues au § 106. Par conséquent, à partir du principe de D'Alembert , ainsi qu'à partir des équations (13), on peut obtenir tous les théorèmes généraux des locuteurs.

L'importance du principe de d'Alembert réside dans le fait que lorsqu'elles sont directement appliquées à des problèmes de dynamique, les équations de mouvement du système sont compilées sous la forme d'équations d'équilibre bien connues ; cela uniformise l'approche de résolution des problèmes et simplifie souvent les calculs correspondants. De plus, en combinaison avec le principe des déplacements possibles, qui sera discuté dans le chapitre suivant, le principe de d'Alembert permet d'obtenir une nouvelle méthode générale de résolution de problèmes de dynamique (voir § 141).

On sait de la statique que la somme géométrique des forces en équilibre et la somme de leurs moments par rapport à tout centre O sont égales à zéro, et, comme le montre le § 120, cela est vrai pour les forces agissant non seulement sur un corps rigide mais également sur tout système mécanique variable.

Alors, selon le principe de D'Alembert, cela devrait être :

Introduisons la notation suivante :

Les grandeurs représentent le vecteur principal et le moment principal par rapport au centre O du système de forces d'inertie. De ce fait, sachant que la somme géométrique des efforts internes et la somme de leurs moments sont égales à zéro, on obtient des égalités (86) :

L'utilisation des équations (88), résultant du principe de d'Alembert, simplifie le processus de résolution des problèmes, puisque ces équations ne contiennent pas de forces internes. Essentiellement, les équations (88) sont équivalentes aux équations exprimant des théorèmes sur les changements de quantité de mouvement et le moment de quantité de mouvement principal du système, et n'en diffèrent que par la forme.

Les équations (88) sont particulièrement pratiques à utiliser lors de l'étude du mouvement d'un corps rigide ou d'un système de corps rigides. Pour une étude complète du mouvement de tout système variable, ces équations ne suffiront pas, tout comme les équations de la statique ne suffisent pas pour étudier l'équilibre de tout système mécanique (voir § 120).

En projections sur les axes de coordonnées, les égalités (88) donnent des équations similaires aux équations statiques correspondantes (voir § 16, 30). Pour utiliser ces équations lors de la résolution de problèmes, vous devez connaître les expressions du vecteur principal et du moment principal des forces d'inertie.

En conclusion, il convient de souligner que lors de l'étude du mouvement par rapport à un référentiel inertiel, considéré ici, les forces d'inertie ne sont introduites que lorsque le principe de d'Alembert est appliqué pour résoudre des problèmes.

Le principe de D'Alembert pour un point matériel. La forme d'écriture de l'équation du mouvement conformément aux lois de Newton n'est pas la seule. Ces équations peuvent être écrites sous d’autres formes. Une de ces possibilités est principe de d'Alembert, ce qui permet formellement aux équations différentielles du mouvement de prendre la forme d'équations d'équilibre.

Ce principe peut être considéré comme un axiome indépendant remplaçant la deuxième loi de Newton. Utilisons-le comme moyen de résoudre des problèmes et dérivons-le de la loi de Newton.

Considérons le mouvement d'un point matériel par rapport à un référentiel inertiel. Pour un point matériel gratuit

nous avons: que = = JE.

Transfert de vecteur que du côté droit de l’égalité, cette relation peut être représentée comme une équation d’équilibre : je suis celui 0.

Présentons le concept forces d'inertie. Appelons un vecteur dirigé opposé à l'accélération et égal au produit de la masse d'un point et de son accélération force d'inertie d'un point matériel: = -ta.

En utilisant ce concept, nous pouvons écrire (Fig. 3.42) :

• ? ^ + P"n) = 0. (3.47)

Riz. 3.42.

pour un point matériel

L’équation (3.47) est le principe de D’Alembert pour un point matériel libre : Si l’on ajoute la force d’inertie aux forces appliquées au point, alors le point sera en état d’équilibre.

À proprement parler, la position énoncée n'est pas le principe de D'Alembert tel qu'il a été formulé par l'auteur.

d'Alembert considérait mouvement non libre de la pointe, sans utiliser le principe de libération des connexions, sans introduire de réaction de connexion. Notant qu'en présence d'une connexion, l'accélération d'un point ne coïncide pas en direction avec la force et ta FR, il a introduit le concept perte de puissance P - que et a déclaré que l'application d'une force perdue à un point ne perturbe pas son état d'équilibre, puisque la force perdue est compensée par la réaction de la connexion.

La relation (3.47) est équation de base de la kinétostatique, ou équation du principe de Petersburg d'Hermann-Euler. La méthode kinétostatique peut être considérée comme une modification de la notation du principe de d'Alembert, y compris pour un point matériel libre, plus pratique pour une utilisation pratique. Par conséquent, dans la plupart des sources littéraires, l'équation (3.47) est appelée principe de d'Alembert.

Si le point n'est pas gratuit, c'est à dire une connexion lui est imposée, il convient de diviser les forces qui agissent sur le point en actives 1, R°(demander-

e) et la réaction de la connexion de la centrale : p(une) + N =

Cette technique est pratique car avec certains types de connexions, il est possible de créer une équation de mouvement de sorte que les réactions de ces connexions n'y soient pas incluses. Ainsi, le principe de d’Alembert pour un point non libre peut s’écrire comme (Fig. 3.43) :

R(a)+ /V + R Sh) = 0, (3.48)

c'est-à-dire que si, en plus des forces actives et des réactions de couplage, une force d'inertie est appliquée à un point matériel non libre, alors le système de forces résultant sera en équilibre à tout moment.

Riz. 3.43.

point matériel

UN- de l'anglais, actif- actif. Rappelons que les forces actives sont celles qui conservent leurs valeurs lorsque toutes les connexions sont supprimées.

Lorsqu'on considère le mouvement curviligne d'un point, il convient de représenter la force d'inertie sous la forme de deux composantes : G "' p) = -ta p- centrifuge et Shch,n) = -tax- tangente (Fig. 3.44).

Riz. 3.44.

mouvement d'un point matériel

Rappelons que les expressions des valeurs des accélérations normales et tangentielles ont la forme : un p -U 2 / p et je t = s1U D/L

On peut alors écrire : Р^t) - -t-p Рр p) - -t-t, ou enfin : R

rt + p(t) + p(a) + aa = o (3,49)

L'égalité (3.49) exprime le principe de d'Alembert pour le mouvement curviligne d'un point non libre.

Considérons un fil de longueur /, au bout duquel est fixé un point de masse T. Le fil tourne autour d'un axe vertical, décrivant une surface conique avec un angle d'inclinaison constant de la génératrice UN. Déterminer la vitesse constante correspondante de la pointe et la tension du fil T(Fig. 3.45).

Riz. 3.45.

mouvement d'un point matériel non libre

Oui, mais : /et,/, a = const. Trouver: LA TÉLÉ.

Appliquons au point des forces d'inertie, dirigées à l'opposé des composantes d'accélération correspondantes. A noter que la force d'inertie tangentielle est nulle, puisque selon la condition la vitesse est constante :

/1°") = -ta = -t-= Ah,

et la force centrifuge d'inertie est déterminée par l'expression Р^т) = ТУ 2 /р, où p = /Bta.

L'application du principe de d'Alembert à ce problème permet d'écrire l'équation du mouvement du point matériel étudié sous la forme d'une condition d'équilibre de forces convergentes : T? + T + PP p) = 0.

Dans ce cas, toutes les équations d'équilibre sont valables en projection sur les axes de coordonnées naturels :

X ^ " = 0, - FJ"1+ Tsina = 0 ; ^ F h = 0, - mg + T cosa = 0,

+ T péché a =

-mg + T cosa = 0,

on le trouve d'où ? T= /u#/soBa; V= Btal/^/Tsosa.

Principe de D'Alembert pour un système de points matériels. Considérons le mouvement d'un système mécanique de points matériels. Comme pour la dérivation de l'OMS, nous divisons les forces appliquées à chaque point en externes et internes (Fig. 3.46).

Riz. 3.46.

Soit ' la résultante des forces externes appliquées au i-ème point, et /Γ(L) la résultante des forces internes appliquées au même point. Conformément au principe de d'Alembert, les forces d'inertie doivent être appliquées à chaque matériau. point du système : Рр p) = -t,a g

Alors les forces appliquées à chaque point du système satisfont la relation :

1?E) + рУ) + р0п)

ceux. le système de points matériels sera en équilibre si des forces d'inertie supplémentaires sont appliquées à chacun de ses points. Ainsi, à l'aide du principe de d'Alembert, il est possible de donner aux équations du mouvement d'un système la forme d'équations d'équilibre.

Exprimons les conditions kinétostatiques d'équilibre du système en utilisant des équivalents statiques des forces d'inertie et des forces externes. A cet effet, résumons l’ensemble P.équations (UN), décrivant les forces appliquées à des points individuels du système. Ensuite, nous calculons les moments de toutes les forces externes et internes et des forces d'inertie appliquées à des points individuels, par rapport à un point arbitraire. À PROPOS DE:

g un X P" E> + g une X /*") +g a X R t > =0. і = 1,2,...,«.

Ensuite, nous effectuons la sommation, nous obtenons ainsi

// p p

'(E) і G(1)

1l (?) +L (/) +L (,p) = 0 ;

[M (0 E) + M (0 p + M% a) = 0.

Parce que le K i)= 0 et M 1 0 p = 0, alors on a finalement :

II (?) + L (/I) =0;

M (un E) + M(‘n) = 0.

D'après le système d'équations (3.50), il est clair que le vecteur principal des forces d'inertie est équilibré par le vecteur principal des forces externes, et que le moment principal des forces d'inertie par rapport à un point arbitraire est équilibré par le moment principal des forces externes relatives au même point.

Lors de la résolution de problèmes, il est nécessaire d'avoir des expressions pour le vecteur principal et le moment principal des forces d'inertie. Les grandeurs et directions de ces vecteurs dépendent de la distribution des accélérations des points individuels et de leurs masses. En règle générale, la détermination directe Je (merde) Et M(""] la sommation géométrique ne peut être effectuée relativement simplement qu'avec P- 2 ou P.= 3. Parallèlement, dans le problème du mouvement d'un corps rigide, il est possible d'exprimer les équivalents statiques des forces d'inertie dans certains cas particuliers de mouvement en fonction des caractéristiques cinématiques.

Le vecteur principal et le moment principal des forces d'inertie d'un corps rigide dans divers cas de mouvement. D'après le théorème sur le mouvement du centre de masse t c a c = I (E). D'après le principe de d'Alembert on a : Je (1P) + Je (E) = Ah, où trouve-t-on : Je" 1P) = -c'est un s. Ainsi, à tout mouvement du corps le vecteur principal des forces d'inertie est égal au produit de la masse corporelle et de l'accélération du centre de masse et est dirigé à l'opposé de l'accélération du centre de masse(Fig. 3.47).

Riz. 3.47.

Exprimons le moment principal des forces d'inertie lors du mouvement de rotation d'un corps autour d'un axe fixe perpendiculaire au plan de symétrie matérielle du corps (Fig. 3.48). Forces d'inertie appliquées au point : R" ! n) = m,x oups ; 2 et R? P)= /u,euh,.

Puisque toutes les forces d'inertie centrifuges coupent l'axe de rotation, le moment principal de ces forces d'inertie est égal à zéro, et le moment principal des forces d'inertie tangentielles est égal à :

mt =?_ C > P(= ?-sh.d x/P. = = -e?/i.p; = - Jzg. (3.51)

Ainsi, le moment principal des forces d'inertie tangentielles par rapport à l'axe de rotation est égal au produit du moment d'inertie par rapport à cet axe et de l'accélération angulaire, et la direction du moment principal des forces d'inertie tangentielles est opposée à la direction de l’accélération angulaire.

Riz. 3.48.

par rapport à l'axe de rotation

Ensuite, nous exprimons les forces d’inertie lors d’un mouvement plan-parallèle du corps. Considérer le mouvement plan parallèle d'un corps (Fig. 3.49) comme la somme des mouvements de translation avec le centre de masse et un mouvement de rotation autour axe passant par le centre de masse perpendiculaire au plan de mouvement, il peut être prouvé en présence d'un plan de symétrie matérielle coïncidant avec le plan de mouvement du centre de masse que les forces d'inertie lors d'un mouvement plan-parallèle sont équivalentes au vecteur principal /? ("n) appliqué au centre de masse opposé à l'accélération du centre de masse, et au moment principal des forces d'inertie M^n) par rapport à l'axe central, perpendiculaire au plan de mouvement, dirigé dans le sens opposé à l'accélération angulaire :

Riz. 3.49.

Remarques

• 1. Notons que, puisque le principe de d'Alembert permet il suffit d'écrire l'équation du mouvement sous la forme d'une équation d'équilibre, alors il ne donne aucune intégrale de l’équation du mouvement.
• 2. Soulignons que force d'inertie Le principe de d'Alembert est gris fictif appliquée en plus des forces agissantes dans le seul but d’obtenir un système d’équilibre. Cependant, dans la nature, il existe des forces géométriquement égales aux forces d'inertie, mais ces forces sont appliquées à d'autres corps (accélérateurs), en interaction avec lesquels apparaît une force accélératrice, appliquée au corps en mouvement en question. Par exemple, lors du déplacement d'un point attaché à un fil tournant à vitesse constante en cercle dans un plan horizontal, la tension dans le fil est exactement égale à force d'inertie, ceux. la force de réaction de la pointe sur le fil, tandis que la pointe se déplace sous l'influence de la réaction du fil.
• 3. Comme nous l'avons déjà montré, la forme donnée du principe de D'Alembert diffère de celle que D'Alembert lui-même a utilisée. La méthode de composition des équations différentielles du mouvement d'un système, utilisée ici, a été développée et étendue par un certain nombre de scientifiques de Saint-Pétersbourg et s'appelait méthode kinétostatique.

Application des méthodes mécaniques à quelques problèmes de dynamique des véhicules ferroviaires :

? mouvement d'un véhicule ferroviaire le long d'une voie courbe. Actuellement, grâce aux capacités de la technologie informatique, l'analyse de tous les phénomènes mécaniques se produisant lorsqu'un véhicule ferroviaire se déplace dans une courbe est réalisée à l'aide d'un modèle assez complexe, qui prend en compte l'ensemble des organes individuels du système et les caractéristiques des liens entre eux. Cette approche nous permet d'obtenir toutes les caractéristiques cinématiques et dynamiques nécessaires du mouvement.

Cependant, lors de l'analyse des résultats finaux et de la réalisation de calculs préliminaires grossiers dans la littérature technique, certaines distorsions de certains concepts de la mécanique sont assez souvent rencontrées. Il convient donc de parler des « principes fondamentaux primordiaux » utilisés pour décrire le mouvement de l’équipage dans une courbe.

Présentons quelques descriptions mathématiques des processus considérés dans une formulation élémentaire.

Pour une explication correcte et cohérente des caractéristiques mouvement d'équipage stationnaire dans une courbe circulaire il vous faut :

• sélectionner la méthode mécanique utilisée pour décrire ce mouvement ;
• partir d'une notion claire, d'un point de vue mécanique, de « force » ;
• n'oubliez pas la loi de l'égalité d'action et de réaction.

Le processus de déplacement de l'équipage dans une courbe implique inévitablement un changement de direction de la vitesse. Une caractéristique de la vitesse de ce changement est l'accélération normale dirigée vers le centre de courbure de la trajectoire curviligne du centre de masse : un n - V 2/р, où р est le rayon de la courbe.

Pendant le mouvement, l'équipage interagit avec la voie ferrée, ce qui entraîne des forces de réaction normales et tangentielles appliquées aux paires de roues. Naturellement, des forces de pression égales et opposées sont appliquées aux rails. Selon les concepts mécaniques présentés, la force est comprise comme le résultat de l'interaction de corps, ou d'un corps et d'un champ. Dans le problème considéré, il existe deux systèmes physiques : un wagon à essieux et une voie ferrée, il faut donc rechercher les forces aux points de leur contact. De plus, l'interaction de l'équipage et du champ gravitationnel terrestre crée la gravité.

Une description du mouvement de l'équipage dans une courbe peut être faite à l'aide de théorèmes généraux de la dynamique, qui sont des conséquences de l'assurance maladie, ou basées sur principes de mécanique(par exemple, le principe de d'Alembert), qui est à la base méthode kinétostatique.

Vouloir expliquer caractéristiques égales méthodes de prise en compte de la courbure de l'axe de la voie sur les caractéristiques du mouvement de l'équipage, nous utilisons d'abord le modèle idéalisé le plus simple. Nous considérerons l'équipage comme un avion matériel de masse égale à la masse de ce système.

Le centre de masse situé dans ce plan effectue un mouvement donné le long d'une trajectoire congruente à l'axe de la trajectoire, avec une vitesse V. Le contact avec la voie ferrée s'effectue en deux points d'intersection du plan mobile avec les filetages du rail. Par conséquent, lorsqu'on parle de l'interaction de l'équipage avec la voie ferrée, nous pouvons parler de forces concentrées, qui représentent la résultante de toutes les réactions des rails sur les essieux individuels de chacun des rails. De plus, la nature de l’apparition des forces réactives n’a pas d’importance ;

? mouvement de l'équipage le long de la voie sans soulever le rail extérieur. En figue. La figure 3.50 montre un schéma de conception d'un équipage se déplaçant le long d'une trajectoire courbe. Les rails extérieurs et intérieurs, dans ce cas, sont situés au même niveau. En figue. 3.50 indique les forces et réactions des liaisons agissant sur l'équipage. Nous soulignons qu'il n'y a pas Il n’y a pas de véritables forces centrifuges dans ce schéma.

Dans le cadre de la mécanique géométrique newtonienne, le mouvement du véhicule dans une courbe est décrit par des théorèmes généraux de la dynamique des systèmes.

Dans ce cas, d’après le théorème sur le mouvement du centre de masse,

t s a s - je a) , (a)

où R) est le vecteur principal des forces externes.

Concevoir les deux côtés de l’expression (UN) aux axes de coordonnées naturels d'accompagnement, dont le centre est situé au centre de masse de l'équipage, de vecteurs unitaires m, i, b et compter c'est = T.

Dans la projection sur la normale principale, nous obtenons homme = Fn, ou

mV /p = F„ (b)

Où Fn - force réelle réactions du rail aux essieux, qui est la somme des projections des réactions des rails à la normale à la trajectoire. Il peut s'agir de forces de pression dirigeantes des rails sur les boudins des roues. Il n’y a aucune autre force extérieure dans cette direction.

Dans la projection de l'expression (UN) pour le binormal on obtient :

O = -mg + N sortie + N auberge. (Avec)

Voici les indices sortie 1 correspondent à l'extérieur, un auberge - le rail intérieur de la courbe. Le côté gauche dans l’expression (c) est égal à zéro, puisque la projection de l’accélération sur la binormale est égale à zéro.

On obtient la troisième équation en utilisant le théorème sur la variation du moment cinétique par rapport au centre de masse :

dK c /dt = ^M c . (d)

Concevoir des expressions d sur l'axe t, où t = nxb- produit vectoriel de vecteurs unitaires P. Et b, en tenant compte du fait que Cl K=U St so t, U St est le moment d'inertie de l'équipage par rapport à l'axe tangent à la trajectoire du centre de masse, on aura

J a *i=NJS-N m S + F K H = 0, (e)

puisque l'accélération angulaire par rapport à l'axe m en mouvement constant le long d'une courbe circulaire est nulle.

Expressions ( b), c) et (e) représenter un système d'équations algébriques linéaires pour trois quantités inconnues M-tp> en résolvant cela, on obtient :

Riz. 3h50.

Ainsi, l'application cohérente des théorèmes généraux de dynamique permet dans le problème considéré d'établir tous les phénomènes associés au passage d'une section courbe de la trajectoire par l'équipage.

En effet, les deux roues sont soumises à des forces dirigées à l’intérieur de la courbe. La résultante de ces forces crée un moment autour du centre de masse de l'équipage, ce qui peut provoquer une rotation et même un basculement hors de la courbe si V2N/р5" > g. L'action de cette force entraîne une usure des roues. Naturellement, la force de direction opposée agissant sur le rail -Rp provoque l’usure des rails.

Notez que dans la formulation énoncée, nous ne pouvons trouver que la résultante des réactions horizontales de deux rails R. Pour déterminer la répartition de cette force entre les rails intérieur et extérieur, il est nécessaire de résoudre un problème statiquement indéterminé en utilisant des conditions supplémentaires. De plus, lorsque le chariot se déplace, les réactions normales des rails extérieurs et intérieurs ont des valeurs différentes. Le filetage extérieur du rail est plus chargé.

La réaction du filetage interne au chariot est moindre et à une certaine valeur de vitesse peut même être égale à zéro.

En mécanique classique, cet état est appelé chavirer, même s'il n'y a pas encore de véritable chavirage. Pour savoir quand se produit un état de chavirage effectif, il faut considérer la rotation de la voiture autour d'un axe parallèle à m et passant par le point de contact de la roue avec le rail extérieur en ? T F 0. Ce problème présente un intérêt purement académique, car, bien entendu, amener un système réel à un tel état est inacceptable.

Soulignons encore une fois que pour expliquer tous les phénomènes, nous sommes partis du fait mouvement de la voiture sous l'influence uniquement de forces réelles.

A noter que l'équation différentielle de rotation autour de l'axe m, même à = 0, s'écrit par rapport à l'axe central m. La sélection de cet axe en un autre point entraîne un changement de forme du côté gauche de l'équation du théorème. d'instants. Il est donc impossible, par exemple, d'écrire cette équation sous la même forme par rapport à l'axe passant par le point de contact de la roue avec le rail, même s'il semblerait qu'il serait plus facile de trouver la valeur de la normale réactions. Cependant, cette approche conduira à un résultat erroné : Et osh = M 1Sh1 = mg| 2.

On peut montrer que le fait est que l'équation de rotation autour d'un axe passant, par exemple, par un point À, doit être écrit en tenant compte du moment d'impulsion du corps issu de la partie translationnelle du mouvement g x x t s : J Cl? t + T(ok xyg)=^ M Kh.

Ainsi, au lieu de l'équation (c) en projection sur l'axe St, on obtient l'expression

(8 )

/ St? t + merci X et avec) t = -tёB + N іпп 25,

où entre parenthèses s'écrit la valeur de la projection sur l'axe C du produit vectoriel ? ks a s.

Montrons que la mise en œuvre séquentielle des procédures nécessaires permet de trouver Oui spà partir de l'équation résultante). De la fig. 3,50 il est clair que

g ks - Bp + NH Et un c =

Calculons le produit vectoriel :

Il est pris en compte ici que php = 0 Et bxn = - t. Par conséquent,

TNU2

2L g/pl 5’,

où l'on retrouve la réaction du rail intérieur :

ce qui est le même que le résultat obtenu dans l’expression (/).

Pour conclure la présentation du problème, rappelons que considérer une voiture en mouvement l'utilisation des méthodes de mécanique géométrique newtonienne nous permet de résoudre le problème sans introduire d’inertie fictive. Il vous suffit d'utiliser correctement toutes les mécaniques. Il convient toutefois de noter que l'utilisation de cette méthode peut impliquer une quantité de calculs plus importante que, par exemple, l'utilisation du principe d'Alembert.

Montrons maintenant comment le même problème est résolu en utilisant le principe de d'Alembert sous la forme généralement acceptée de la méthode kinétostatique. Dans ce cas, il est nécessaire d'appliquer des

personnel fictif force d'inertie : G* = -ta Sp = -T-P. Et équi-

page s'arrête, c'est à dire. maintenant l'accélération de son centre de masse et avec= 0. Sur la Fig. 3.51 le montre système de repos. Toutes les forces qui lui sont appliquées, y compris la force d'inertie, doivent satisfaire aux équations cinétiques-statiques l'équilibre, pas le mouvement, comme dans le cas précédent.

Cette circonstance nous permet de trouver toutes les quantités inconnues de équation d’équilibre. Dans ce cas, le choix de la forme des équations d'équilibre et des points par rapport auxquels les moments sont calculés devient arbitraire. Cette dernière circonstance nous permet de trouver toutes les inconnues indépendamment les unes des autres :

je M. = oh, je m,_= oh

-n = o.

1 à Député

Riz. 3.51. Schéma de calcul des forces agissant sur l'équipage dans les mêmes conditions que sur la Fig. 3,50 en utilisant le principe de d'Alembert

Il est facile de voir que les solutions de ce système d'équations coïncident avec les formules correspondantes obtenues à l'aide de la théorie de la dynamique. Ainsi, dans l'exemple considéré, l'application du principe de d'Alembert a permis de simplifier quelque peu la solution du problème.

Cependant, lors de l'interprétation des résultats, il convient de garder à l'esprit que la force d'inertie supplémentaire appliquée est fictive dans le sens où en réalité aucune force de ce type n’agit sur l’équipage. De plus, cette force ne satisfait pas à la troisième loi de Newton : il n’y a pas de « seconde extrémité » de cette force, c’est-à-dire il n'y a pas d'opposition.

En général, pour résoudre de nombreux problèmes de mécanique, y compris le problème du mouvement du véhicule dans un virage, il convient d'appliquer le principe de d'Alembert. Il ne faut cependant associer aucun phénomène à action cette force d'inertie. Par exemple, on peut dire que cette force centrifuge d'inertie charge en plus le rail extérieur et décharge le rail intérieur, et de plus, que cette force peut faire chavirer le chariot. C’est non seulement ignorant, mais aussi inutile.

Rappelons encore une fois que les forces externes appliquées agissant sur le wagon dans une courbe et modifiant l'état de son mouvement sont la gravité, les réactions verticales et horizontales des rails ;

? mouvement du chariot le long d'une courbe avec élévation du rail extérieur. Comme il a été démontré, les processus qui se produisent lorsqu'un véhicule passe dans les virages sans soulever le rail extérieur sont associés à des conséquences indésirables - charge verticale inégale des rails, réaction horizontale normale importante du rail sur la roue, accompagnée d'une usure accrue des deux roues et rails, possibilité de chavirer lorsque la vitesse est dépassée, mouvement d'une certaine limite, etc.

Dans une large mesure, les phénomènes désagréables qui accompagnent le passage des courbes peuvent être évités si le rail extérieur est surélevé au-dessus du rail intérieur. Dans ce cas, le chariot roulera le long de la surface du cône avec l'angle d'inclinaison de la génératrice par rapport à l'axe horizontal (Fig. 3.52) : f L = arcsin (L/25), ou sous de petits angles

F A * L/2 S.

Riz. 3.52.

avec rail extérieur surélevé

Dans le cas stationnaire, lorsque V- const et φ A = const, on peut considérer le déplacement d'un tronçon plat du chariot dans son plan de la même manière que lorsqu'il s'insère dans une courbe sans relever le rail extérieur.

Considérons la technique pour résoudre le problème en utilisant les théorèmes généraux de la dynamique. Nous supposerons que le centre de masse de l'équipage se déplace le long d'une courbe circulaire de rayon p, bien que dans le cas considéré, à proprement parler, le rayon de courbure de l'axe de la piste diffère du rayon de courbure de la trajectoire du centre de masse par une petite quantité :

N péché moy L ~ N loin.

Par conséquent, par rapport à p, cette dernière valeur peut être négligée. Le mouvement de la « section plate » du véhicule sera attribué aux axes d'accompagnement Su Si x(voir Fig. 3.52), où l'axe Su] parallèle au plan du chemin. A vitesse de déplacement constante, la projection de l'accélération du centre de masse sur la normale principale de la trajectoire de son mouvement peut s'écrire de la même manière que lors d'un déplacement dans une courbe sans élévation, c'est-à-dire un p = VI/R.

Projections d'accélération sur l'axe Su, et Cz^ sont égaux respectivement :

a euh = a p sovf; JE. =a"smy h .

Les équations de mouvement d'une section plane basées sur le théorème du mouvement du centre de masse et le théorème de la variation du moment cinétique par rapport à l'axe Cx sont les suivantes :

Compte tenu du fait que = 0, après substitution on obtient un système de trois équations algébriques linéaires à trois inconnues F Vi, N iiw, N (néant :

/i-si Pf l = -mg cos V/ , + SUBST mn + N dehors; P.

-soєf A = mg ipf A + F ;

0 = +N ilw S-N oul S + F y H.

Notons que l'inclinaison du plan de l'axe de la voie due à l'élévation du rail extérieur entraîne une modification de la projection de l'accélération du centre de masse sur l'axe Cy et Cr, qui est associée à une modification de les réactions des rails par rapport à celles en absence d'élévation, lorsque UN. - 0, a l Ces changements dans les projections d'accélération peuvent s'expliquer si l'on considère la rotation du véhicule autour de la binormale passant par le centre de courbure de la courbe comme la somme géométrique de deux rotations avec A = co (+ b) autour des axes ?, y, passant par le même centre de la courbe.

Lors de la compilation d'un système d'équations (À) la petitesse de l'angle sr L n'était pas prévue. Cependant, dans une conception pratiquement réalisable

wtf A ~ /g/25.

Ainsi, dans le cas de f L petit, le système d'équations permettant de déterminer les réactions de la piste sur l'équipage a la forme suivante :

= -g^+ LG," + M gsh,;

T- = /gg#--1- g, ;

O = + L/-5 - /U 0I/ 5 + R p N.

En résolvant ces équations, on obtient :

N...... =

mg + tU/G

Ven/77 Ko ET /77 „

• - +--+-n
• 2р 25 25

Dans le cas particulier où il n'y a pas d'élévation (ET= 0), ces expressions coïncident avec celles obtenues précédemment (/).

Passons maintenant à l'analyse des résultats de la résolution du problème avec SI 0.

Il est à noter que dans ce cas la réaction transversale du rail, dirigée dans le plan de la voie, diminue. Cela s'explique par le fait que non seulement la force // participe à la formation de l'accélération du centre de masse en direction de l'axe Cy, mais également la composante de la gravité. De plus, à une certaine valeur ET= 25K 2 /r ? forcer R. devient égal à zéro :

En gardant à l'esprit que

tg - T,=X A,%>+X UN[

• (3.42)

La valeur entre parenthèses est appelée accélération exceptionnelle. Indiquer quand P = 0, correspond au cas où l'accélération normale UN est formé uniquement par la projection sur l'axe d> de la force de gravité de l'équipage.

Lorsqu'on discute du problème à l'étude, un argument sophistique surgit parfois selon lequel l'accélération un p est dirigé horizontalement et la force de gravité est verticale (voir Fig. 3.52), et ne peut donc pas former l'accélération en question un pà R.= 0. Ce raisonnement contient une erreur, puisque dans la formation de l'accélération horizontale, en plus de la force R., les réactions normales D g shya et /U o uG participent également. La somme de ces deux réactions pour un petit φ L est égale. 1H tp + 1U oig = mg. Par conséquent, la gravité participe toujours à la formation de l'accélération horizontale un p, mais par l'action de réactions N tp Et SOIG

Voyons maintenant comment les réactions normales des rails perpendiculaires à la surface de la voie changent.

A noter que contrairement au cas /7 = 0, les réactions augmentent de la même valeur TU 2 I/2r28, qui est négligé car ///25 - la valeur est petite. Cependant, dans un raisonnement strict, omettez ce terme pour les expressions et N w ne fais pas ça.

Quand -> -2-, c'est-à-dire avec accélération positive non amortie, p 25

la réaction du rail intérieur est inférieure à celle du rail extérieur, cependant, la différence entre eux n'est pas aussi significative qu'avec ET = 0.

Si l'accélération exceptionnelle est égale à zéro, les valeurs de réaction deviennent égales à /U /yal = IV oh = mg|2(au petit ET), ceux. relever le rail extérieur permet non seulement d'obtenir RU= 0, mais aussi pour égaliser la pression sur les rails extérieurs et extérieurs. Ces circonstances permettent d'obtenir des valeurs d'usure plus uniformes pour les deux rails.

Dans le même temps, en raison de l'élévation du rail extérieur, il existe la possibilité d'une valeur négative. R.", ce qui dans un système réel avec des liaisons non contraignantes correspond au processus de glissement du véhicule le long de l'axe y g ceux. à l'intérieur du chemin courbe. En raison de la même pente du chemin, une redistribution des réactions peut se produire N w Et Non je! avec une signification prédominante M ch.

Ainsi, des études du mouvement du véhicule en courbe le long d'un trajet avec élévation du rail extérieur, réalisées selon les méthodes de la mécanique géométrique newtonienne, permettent d'analyser l'état du système sans hypothèses terminologiques supplémentaires. Aucune force d'inertie n'est présente dans le raisonnement.

Voyons maintenant comment le mouvement de l'équipage dans la même courbe est décrit à l'aide du principe de D'Alembert.

En appliquant ce principe dans la formulation de la méthode kinétostatique de la même manière que dans le cas précédent, il faut appliquer une force d'inertie normale (centrifuge) au centre de masse Р„п) , dirigé dans le sens opposé à l'accélération normale (Fig. 3.53) :

Où système encore s'arrête, c'est à dire. l'équipage ne se déplace pas le long de la piste. Par conséquent, toutes les équations d’équilibre cinétique-statique sont valables :

je À= °-X g* = O.

/L^ypf, - G'p sovf* + GU[ = 0;

- /L?S08f/; - BIPf, + +N^1

En substituant la valeur ici, nous obtenons le même système d'équations que le système (/) pour tout φ /(ou (À) au petit ET.

Ainsi, l’utilisation des deux méthodes conduit exactement aux mêmes résultats. Système d'équations ( À) et le système obtenu sur la base du principe de d'Alembert sont identiques.

Notons en même temps que dans Les résultats finaux n'incluent aucune force d'inertie. Ceci est compréhensible, puisque le principe d'Alembert, qui sous-tend la méthode kinétostatique, n'est que un moyen de compiler des équations différentielles du mouvement d'un système. En même temps, on voit que dans le problème considéré, l’application du principe de d’Alembert a permis de simplifier les calculs et peut être recommandée lors de la réalisation de calculs pratiques.

Cependant, soulignons encore une fois qu'en réalité il n'existe aucune force MA 2/p appliqué au centre de masse du véhicule en mouvement. Par conséquent, tous les phénomènes associés au mouvement dans une courbe doivent être expliqués comme cela a été fait sur la base d'une analyse des résultats de la résolution du système (/), ou (À).

Signalons en conclusion que la « méthode de Newton » et la « méthode de D'Alembert » dans le problème considéré n'ont été utilisées que dans le but de composer des équations différentielles du mouvement. Dans ce cas, dans un premier temps, nous ne recevons aucune information autre que les équations différentielles elles-mêmes. La solution ultérieure des équations résultantes et l'analyse effectuée ne sont pas liées à la méthode d'obtention des équations elles-mêmes.

Riz. 3.53.

• dehors - de l'anglais, extérieur - externe.
• auberge - de l'anglais, intérieur - intérieur.
• auberge - de l'anglais, intérieur - intérieur.