Série de Fourier trigonométrique. Série de Fourier pour les fonctions paires et impaires. Comment étendre une fonction dans une série de Fourier

Séries de Fourier et leur application dans les technologies de communication

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Sujet de l'article :	Séries de Fourier et leur application dans les technologies de communication
Rubrique (catégorie thématique)	Éducation

Décomposition d'un signal continu en séries orthogonales

Conférence 6. Canal continu

Critères de qualité de la restauration.

Exister critères suivants:

1) Critère du plus grand écart

où : erreur de reconstruction admissible, - valeur maximale - erreur d'approximation actuelle.

Dans le même temps, il est certain que toute modification du signal d'origine, y compris les émissions à court terme, sera enregistrée.

2) Critère SKZ. où : - erreur d'approximation CS supplémentaire, - erreur d'approximation CS.

3) Critère intégral

La valeur moyenne maximale pour la période d'échantillonnage est déterminée.

4) Critère probabiliste

Ensemble niveau admissible, la valeur P est la probabilité que l'erreur d'approximation actuelle ne dépende pas d'une valeur spécifique.

Objectif du cours : familiarisation avec le canal continu

a) décomposition d'un signal continu en séries orthogonales ;

b) les séries de Fourier et leur application dans les technologies des communications ;

c) le théorème de Kotelnikov (théorème fondamental de Shannon) ;

G) débit canal continu ;

e) Modèle NKS.

En théorie de la communication, deux cas particuliers d'expansion de fonctions en séries orthogonales sont largement utilisés pour représenter des signaux : l'expansion en fonctions trigonométriques et l'expansion en fonctions de la forme sinx/x. Dans le premier cas, on obtient une représentation spectrale du signal sous forme d'une série de Fourier ordinaire, et dans le second cas, une représentation temporelle sous forme d'une série V.A. Kotelnikov.

La forme la plus simple d'expression d'un signal d'un point de vue pratique est une combinaison linéaire de certains fonctions élémentaires

En général, le signal est une oscillation complexe et il est donc extrêmement important de représenter fonction complexe St), définir le signal à travers des fonctions simples.

Lors de l’étude de systèmes linéaires, cette représentation du signal est très pratique. Il permet de diviser la solution de nombreux problèmes en parties en utilisant le principe de superposition. Par exemple, pour déterminer le signal à la sortie d'un système linéaire, la réponse du système à chaque effet élémentaire ψ k (t) est calculée, puis les résultats multipliés par les coefficients correspondants a k ont ​​été facilement calculés et ne dépendaient pas du nombre des termes de la somme. Ces exigences sont pleinement satisfaites par un ensemble de fonctions orthogonales.

Fonctions ψ 1 (t), ψ 2 (t), . . . . , ψ n (t) . (6.2)

Les données sur un intervalle sont dites orthogonales,

si à. (6.3)

La base de l'analyse spectrale des signaux est la représentation des fonctions temporelles sous la forme d'une série de Fourier ou d'une intégrale. Tout signal périodique s(t) qui satisfait à la condition de Dirichlet doit être représenté sous forme de série dans des fonctions trigonométriques

La quantité a 0, exprimant la valeur moyenne du signal sur une période, est habituellement appelée composante constante. Il est calculé par la formule

La forme complexe d'écriture de la série de Fourier est très pratique

Ordre de grandeur Un k est une amplitude complexe, elle se trouve par la formule

Les relations (6.8) et (6.9) constituent une paire de transformées de Fourier discrètes. Il est à noter que la série de Fourier peut représenter non seulement un signal périodique, mais aussi tout signal de durée finie. Dans ce dernier cas, le signal St) est supposé s'étendre périodiquement sur tout l'axe du temps. Dans ce cas, l'égalité (6.4) ou (6.8) représente le signal uniquement dans l'intervalle de sa durée (- T/2,T/2). Un signal (ou bruit) aléatoire spécifié sur un intervalle (- T/2,T/2), doit également être représenté par une série de Fourier

Où un k Et b k sont Variables aléatoires(pour le bruit de fluctuation - aléatoire indépendant avec distribution normale).

Séries de Fourier et leur application dans les technologies de communication - concept et types. Classement et caractéristiques de la catégorie « Séries de Fourier et leur application dans les technologies de communication » 2017, 2018.

Cette série peut également s’écrire :

(2),
Où , k-ième complexe amplitude.

La relation entre les coefficients (1) et (3) est exprimée par les formules suivantes :

Notez que ces trois représentations de la série de Fourier sont complètement équivalentes. Parfois, lorsque l'on travaille avec des séries de Fourier, il est plus pratique d'utiliser les exposants de l'argument imaginaire au lieu des sinus et des cosinus, c'est-à-dire d'utiliser la transformée de Fourier pour forme complexe. Mais il nous convient d'utiliser la formule (1), où la série de Fourier est présentée comme une somme d'ondes cosinusoïdales avec les amplitudes et phases correspondantes. Quoi qu’il en soit, il est inexact de dire que la transformée de Fourier d’un signal réel aboutira à des amplitudes harmoniques complexes. Comme le dit correctement Wiki, « La transformée de Fourier (?) est une opération qui associe une fonction d'une variable réelle à une autre fonction, également une variable réelle. »

Total:
La base mathématique de l'analyse spectrale des signaux est la transformée de Fourier.

La transformée de Fourier permet de représenter une fonction continue f(x) (signal) définie sur le segment (0, T) comme la somme d'un nombre infini (série infinie) fonctions trigonométriques(sinus et/ou cosinus) avec certaines amplitudes et phases, également considérées sur le segment (0, T). Une telle série est appelée série de Fourier.

Notons encore quelques points dont la compréhension est nécessaire pour application correcte Transformations de Fourier pour l'analyse du signal. Si l'on considère la série de Fourier (la somme des sinusoïdes) sur tout l'axe X, on voit qu'en dehors du segment (0, T) la fonction représentée par la série de Fourier répétera périodiquement notre fonction.

Par exemple, dans le graphique de la figure 7, la fonction d'origine est définie sur le segment (-T\2, +T\2), et la série de Fourier représente une fonction périodique définie sur tout l'axe des x.

Cela se produit parce que les sinusoïdes elles-mêmes sont des fonctions périodiques et que, par conséquent, leur somme sera une fonction périodique.

Fig.7 Représentation d'une fonction originale non périodique par une série de Fourier

Ainsi:

Notre fonction originale est continue, non périodique, définie sur un certain segment de longueur T.
Le spectre de cette fonction est discret, c'est-à-dire qu'il se présente sous la forme d'une série infinie de composantes harmoniques - la série de Fourier.
En fait, la série de Fourier définit certains fonction périodique, coïncidant avec le nôtre sur le segment (0, T), mais pour nous cette périodicité n'est pas significative.

Les périodes des composantes harmoniques sont des multiples de la valeur du segment (0, T) sur lequel la fonction originale f(x) est définie. Autrement dit, les périodes harmoniques sont des multiples de la durée de la mesure du signal. Par exemple, la période de la première harmonique de la série de Fourier est égale à l'intervalle T sur lequel est définie la fonction f(x). La période de la deuxième harmonique de la série de Fourier est égale à l'intervalle T/2. Et ainsi de suite (voir Fig. 8).

Fig.8 Périodes (fréquences) des composantes harmoniques de la série de Fourier (ici T = 2 ?)

En conséquence, les fréquences des composantes harmoniques sont des multiples de 1/T. Autrement dit, les fréquences des composantes harmoniques Fk sont égales à Fk = k\T, où k va de 0 à ?, par exemple k = 0 F0 = 0 ; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (à fréquence nulle - composante constante).

Soit notre fonction originale un signal enregistré pendant T=1 sec. Alors la période de la première harmonique sera égale à la durée de notre signal T1=T=1 sec et la fréquence harmonique sera de 1 Hz. La période de la deuxième harmonique sera égale à la durée du signal divisée par 2 (T2=T/2=0,5 sec) et la fréquence sera de 2 Hz. Pour la troisième harmonique T3=T/3 sec et la fréquence est de 3 Hz. Et ainsi de suite.

Le pas entre les harmoniques dans ce cas est de 1 Hz.

Ainsi, un signal d'une durée de 1 seconde peut être décomposé en composantes harmoniques (obtention d'un spectre) avec une résolution en fréquence de 1 Hz.
Pour augmenter la résolution de 2 fois à 0,5 Hz, vous devez augmenter la durée de mesure de 2 fois - jusqu'à 2 secondes. Un signal d'une durée de 10 secondes peut être décomposé en composantes harmoniques (pour obtenir un spectre) avec une résolution en fréquence de 0,1 Hz. Il n’existe aucun autre moyen d’augmenter la résolution en fréquence.

Il existe un moyen d'augmenter artificiellement la durée d'un signal en ajoutant des zéros au tableau d'échantillons. Mais cela n’augmente pas la résolution en fréquence réelle.

3. Signaux discrets et transformée de Fourier discrète

Avec développement technologie digitale Les méthodes de stockage des données de mesure (signaux) ont également changé. Si auparavant un signal pouvait être enregistré sur un magnétophone et stocké sur bande sous forme analogique, les signaux sont désormais numérisés et stockés dans des fichiers dans la mémoire de l'ordinateur sous la forme d'un ensemble de nombres (échantillons).

Le schéma habituel pour mesurer et numériser un signal est le suivant.

Fig.9 Schéma du canal de mesure

Le signal du transducteur de mesure arrive à l'ADC pendant un temps T. Les échantillons de signal (échantillonnage) obtenus pendant le temps T sont transmis à l'ordinateur et stockés en mémoire.

Fig. 10 Signal numérisé - N échantillons reçus pendant le temps T

Quelles sont les exigences relatives aux paramètres de numérisation du signal ? Un appareil qui convertit l'entrée Signal analogique au code discret ( signal numérique) est appelé convertisseur analogique-numérique (ADC, anglais Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

L'un des principaux paramètres de l'ADC est la fréquence d'échantillonnage maximale (ou taux d'échantillonnage, taux d'échantillonnage anglais) - le taux d'échantillonnage d'un signal continu dans le temps lors de son échantillonnage. Elle se mesure en hertz. ((Wiki))

Selon le théorème de Kotelnikov, si un signal continu a un spectre limité par la fréquence Fmax, alors il peut être reconstruit complètement et sans ambiguïté à partir de ses échantillons discrets prélevés à intervalles de temps. , c'est à dire. avec la fréquence Fd ? 2*Fmax, où Fd est la fréquence d'échantillonnage ; Fmax - fréquence maximale du spectre du signal. Autrement dit, la fréquence de numérisation du signal (fréquence d'échantillonnage ADC) doit être au moins 2 fois supérieure à la fréquence maximale du signal que l'on souhaite mesurer.

Que se passera-t-il si nous prélevons des échantillons avec une fréquence inférieure à celle requise par le théorème de Kotelnikov ?

Dans ce cas, il se produit l'effet « aliasing » (également connu sous le nom d'effet stroboscopique, effet moiré), dans lequel un signal haute fréquence, après numérisation, se transforme en un signal basse fréquence, qui n'existe pas en réalité. En figue. L'onde sinusoïdale haute fréquence rouge 5 est un signal réel. Une sinusoïde bleue d'une fréquence inférieure est un signal fictif qui apparaît du fait que pendant la période d'échantillonnage, plus d'une demi-période du signal haute fréquence a le temps de passer.

Riz. 11. L'apparition d'un faux signal basse fréquence à un taux d'échantillonnage insuffisamment élevé

Pour éviter l'effet de crénelage, un filtre anti-crénelage spécial est placé devant l'ADC - un filtre passe-bas (LPF), qui laisse passer les fréquences inférieures à la moitié de la fréquence d'échantillonnage de l'ADC et coupe les fréquences plus élevées.

Afin de calculer le spectre d'un signal à partir de ses échantillons discrets, la transformée de Fourier discrète (TFD) est utilisée. Notons encore une fois que le spectre d'un signal discret « par définition » est limité par la fréquence Fmax, qui est inférieure à la moitié de la fréquence d'échantillonnage Fd. Par conséquent, le spectre d'un signal discret peut être représenté par la somme d'un nombre fini d'harmoniques, contrairement à la somme infinie pour la série de Fourier d'un signal continu, dont le spectre peut être illimité. Selon le théorème de Kotelnikov, la fréquence maximale d'une harmonique doit être telle qu'elle représente au moins deux échantillons, donc le nombre d'harmoniques est égal à la moitié du nombre d'échantillons d'un signal discret. Autrement dit, s’il y a N échantillons dans l’échantillon, alors le nombre d’harmoniques dans le spectre sera égal à N/2.

Considérons maintenant la transformée de Fourier discrète (TFD).

Comparaison avec la série de Fourier

Nous voyons qu'ils coïncident, sauf que le temps dans la DFT est de nature discrète et que le nombre d'harmoniques est limité par N/2 - la moitié du nombre d'échantillons.

Les formules DFT sont écrites en variables entières sans dimension k, s, où k sont le nombre d'échantillons de signal, s est le nombre de composantes spectrales.
La valeur s indique le nombre d'oscillations harmoniques complètes sur la période T (durée de mesure du signal). La transformée de Fourier discrète est utilisée pour trouver les amplitudes et les phases des harmoniques à l'aide d'une méthode numérique, c'est-à-dire "sur l'ordinateur"

Revenons aux résultats obtenus au début. Comme mentionné ci-dessus, lors de l'expansion d'une fonction non périodique (notre signal) en une série de Fourier, la série de Fourier résultante correspond en fait à une fonction périodique de période T (Fig. 12).

Fig. 12 Fonction périodique f(x) avec période T0, avec période de mesure T>T0

Comme on peut le voir sur la figure 12, la fonction f(x) est périodique de période T0. Cependant, du fait que la durée de l'échantillon de mesure T ne coïncide pas avec la période de la fonction T0, la fonction obtenue sous forme de série de Fourier présente une discontinuité au point T. De ce fait, le spectre de cette fonction contiendra un grand nombre d'harmoniques haute fréquence. Si la durée de l'échantillon de mesure T coïncidait avec la période de la fonction T0, alors le spectre obtenu après transformée de Fourier ne contiendrait que la première harmonique (sinusoïde de période égale à la durée d'échantillonnage), puisque la fonction f(x) est une sinusoïde.

En d'autres termes, le programme DFT "ne sait pas" que notre signal est un "morceau de sinusoïde", mais essaie de représenter une fonction périodique sous la forme d'une série, qui présente une discontinuité due à l'incohérence des morceaux individuels de la sinusoïde.

De ce fait, des harmoniques apparaissent dans le spectre, qui doivent résumer la forme de la fonction, y compris cette discontinuité.

Ainsi, pour obtenir le spectre « correct » d’un signal qui est la somme de plusieurs sinusoïdes de différentes périodes, il faut que la période de mesure du signal contienne un nombre entier de périodes de chaque sinusoïde. En pratique, cette condition peut être remplie pour une durée de mesure du signal suffisamment longue.

Fig. 13 Exemple de fonction et de spectre du signal d'erreur cinématique de la boîte de vitesses

Avec une durée plus courte, l'image sera « pire » :

Fig. 14 Exemple de fonction et de spectre d'un signal de vibration du rotor

En pratique, il peut être difficile de comprendre où sont les « composantes réelles » et où sont les « artefacts » provoqués par les périodes non multiples des composantes et la durée d’échantillonnage du signal ou les « sauts et ruptures » dans la forme du signal. . Bien entendu, les mots « composants réels » et « artefacts » sont mis entre guillemets pour une raison. La présence de nombreuses harmoniques sur le graphique du spectre ne signifie pas que notre signal en est réellement « constitué ». Cela revient à penser que le nombre 7 « se compose » des nombres 3 et 4. Le nombre 7 peut être représenté comme la somme des nombres 3 et 4 – c’est exact.

Donc notre signal... ou plutôt même pas « notre signal », mais une fonction périodique composée de la répétition de notre signal (échantillonnage) peut être représentée comme une somme d'harmoniques (ondes sinusoïdales) avec certaines amplitudes et phases. Mais dans de nombreux cas importants pour la pratique (voir les figures ci-dessus), il est effectivement possible de relier les harmoniques obtenues dans le spectre à processus réels, qui sont de nature cyclique et apportent une contribution significative à la forme du signal.

Quelques résultats

1. Un signal réel mesuré d'une durée de T secondes, numérisé par un CAN, c'est-à-dire représenté par un ensemble d'échantillons discrets (N pièces), possède un spectre discret non périodique, représenté par un ensemble d'harmoniques (N/ 2 pièces).

2. Le signal est représenté par un ensemble de valeurs réelles et son spectre est représenté par un ensemble de valeurs réelles. Les fréquences harmoniques sont positives. Le fait qu’il soit plus pratique pour les mathématiciens de représenter le spectre sous une forme complexe en utilisant des fréquences négatives ne signifie pas que « c’est correct » et que « cela devrait toujours être fait ».

3. Un signal mesuré sur un intervalle de temps T est déterminé uniquement sur un intervalle de temps T. Ce qui s'est passé avant que nous commencions à mesurer le signal, et ce qui se passera après cela, est inconnu de la science. Et dans notre cas, ce n’est pas intéressant. La TFD d'un signal limité dans le temps donne son « vrai » spectre, dans le sens où, sous certaines conditions, elle permet de calculer l'amplitude et la fréquence de ses composantes.

Matériaux utilisés et autres matériaux utiles.

Transcription

1 Moscou Institut de physique et de technologie Université d'État) O.V. SÉRIE TRIGONOMÉTRIQUE DE FOURIER Besov Manuel pédagogique et méthodologique Moscou, 004

2 Compilé par O.V. Besov UDC 517. Série trigonométrique de Fourier. Manuel pédagogique et méthodologique destiné aux étudiants de 1ère année). MIPT. M., p. Conformément au programme du département mathématiques supérieures MIPT présente des premières informations sur la théorie des séries de Fourier trigonométriques, des théorèmes sur la convergence et la convergence uniforme des séries de Fourier, le théorème de Weierstrass sur l'approximation des fonctions continues. L'accent est mis sur les questions de convergence uniforme de la série de Fourier. Contrairement à de nombreux cours de calcul, la convergence uniforme de la série de Fourier d'une fonction continue et lisse par morceaux est prouvée avec une estimation non améliorable du taux de convergence de la série de Fourier. La dépendance du taux de convergence de la série de Fourier d'une fonction sur sa régularité est également établie ainsi que des estimations exactes. c Institut de physique et de technologie de Moscou, 004 c O.V. Besov, 004

3 Sommaire 3 1. Définition de la série de Fourier et principe de localisation Convergence de la série de Fourier Convergence uniforme de la série de Fourier approximation de fonctions continues par polynômes Différenciation terme par terme des séries trigonométriques. La vitesse à laquelle les coefficients et le reste de la série de Fourier tendent vers zéro. Remarque finale.

4 SÉRIE DE FOURIER TRIGONOMÉTRIQUE 1. Définition de la série de Fourier et principe de localisation Définition 1.1. Une série de la forme a 0 + a k cos kx + b k sin kx a k, b k R) est appelée une série trigonométrique. L'ensemble des fonctions 1, cos x, sin x, cosx, sin x, cos 3x, sin 3x,... est appelé le système trigonométrique. La fonction du système trigonométrique est un système orthogonal dans le sens où De plus, cos kx cos mx dx = 0, k, m N 0, k m, sin kx sin mx dx = 0, k, m N 0, k m, cos kx sin mx dx = 0, k, m N 0, m N. cos kx dx = Lemme 1.1. Soit sin kx dx = π, k N. fx) = a 0 + a k cos kx + b k sin kx, 1.1)

5 1. Définition de la série de Fourier et principe de localisation. 5 et cette série converge uniformément vers R. Alors a 0 = 1 π a k = 1 π b k = 1 π fx) dx, fx) cos kx dx, fx) sin kx dx, k N. 1.) Preuve a t e l s t v o. La fonction f est continue sur [, π] comme somme d'une série uniformément convergente de fonctions continues. Multiplions l'égalité 1.1) terme par cos nx ou sin nx n N). Les séries résultantes convergeront également uniformément et leur intégration terme par terme utilisant la propriété d'orthogonalité des fonctions du système donne fx) cos nx dx = fx) sin nx dx = a n cos nx dx = πa n, b n sin nx dx = πb n, d'où l'on obtient les deuxième et troisième formules de 1.). La première des formules 1.) est obtenue par intégration terme par terme de la série 1.1). Notez que les termes de la série trigonométrique sont des fonctions π-périodiques définies sur l'axe réel. Par conséquent, la somme d’une série trigonométrique (si cette série converge) est aussi une fonction π-périodique. Définition 1. Soit f une fonction π-périodique absolument intégrable sur l'intervalle [, π]. Série trigonométrique à coefficients a k, b k, certaines formules 1.), est appelée série de Fourier trigonométrique de la fonction f, et les coefficients a k, b k sont les coefficients de la série de Fourier de la fonction f.

6 6 O.V. Besov. Série de Fourier trigonométrique Dans ce cas on écrit fx) a 0 + a k cos kx + b k sin kx, 1.3) signifiant par cette notation que la fonction f est associée à sa série de Fourier. Le lemme 1.1 peut être reformulé ainsi : une série trigonométrique uniformément convergente est la série de Fourier de sa somme. Exercice 1.1. Montrer que la série trigonométrique sin kx k 1+ε, ε > 0, est une série de Fourier. Notons que si une fonction π-périodique f est absolument intégrable sur tout segment de longueur π, alors elle sera absolument intégrable sur tout segment décalé et, de plus, b+π a+π fx) dx = fx) dx. b Cette propriété, évidente d'un point de vue géométrique, peut être facilement prouvée analytiquement. En particulier, les coefficients de Fourier d'une fonction f π-périodique peuvent être calculés en remplaçant dans les formules 1.) l'intégrale sur le segment [, π] par l'intégrale sur n'importe quel segment . En revanche, chaque fonction absolument intégrable donnée peut, si nécessaire, changer de valeur au point a π ou au point a + π, ou aux deux points) et continuer vers une fonction π-périodique définie sur tout l'axe. Dans ce cas, changer sa valeur en un ou deux points ne changera pas les coefficients de Fourier de sa continuation πpériodique 1.), et donc la série de Fourier 1.3). Par conséquent, la convergence et d'autres propriétés de la série de Fourier peuvent être étudiées en considérant que la fonction f est définie uniquement sur un segment de longueur π, par exemple sur [, π]. un

7 1. Définition de la série de Fourier et principe de localisation. 7 Nous étudierons tout d'abord les enjeux de convergence de la série de Fourier en un point donné, sur un segment, de convergence uniforme sur tout l'axe numérique, etc. Le cas le plus intéressant est celui où la série de Fourier d'une fonction f converge dans un sens ou dans un autre vers la fonction f. Dans ce cas, la fonction f est dite développée en série de Fourier. Théorème 1.1 de Riemann sur l'oscillation). Soit la fonction f absolument intégrable sur un intervalle fini ou infini a, b). Alors lim λ b a fx) cos λx dx = lim λ b a fx) sin λx dx = 0. Preuve. Sans perte de généralité, nous supposerons que a, b) =, +) si ce n'est pas le cas, alors la fonction f peut être étendue de zéro à, +) \ a, b)). On sait que toute fonction f absolument intégrable est continue dans la moyenne, c'est-à-dire + fx + h) fx) dx 0 pour h) Cette propriété peut être prouvée en approximant f en moyenne par une fonction continue de support compact. En remplaçant la variable x par x + π λ, on obtient : Iλ) + Par 1.4) Iλ) 1 fx) cos λx dx = + f = x + π) λ f [ f x + π) cos λx dx = λ x + π ) ] fx) cos λx dx. λ fx) dx 0 λ). Pour l’intégrale + fx) sin λx dx la preuve est similaire.

8 8 O.V. Besov. Série de Fourier trigonométrique Corollaire 1. Les coefficients de Fourier 1.) d'une fonction absolument intégrable sur l'intervalle [, π] tendent vers zéro lorsque k. Soit une fonction π-périodique f absolument intégrable sur [, π]. Somme partielle de la série de Fourier S n x ; f) a n 0 + a k cos kx + b k sin kx est appelée la somme des séries de Fourier d'ordre n N 0 de la fonction f. Réduisons-le à une forme compacte pratique pour des recherches ultérieures. Appelons la fonction D n x) 1 n sin n + 1) + x cos kx = sin x le noyau de Dirichlet. 1.5) La dernière égalité, le membre de droite s'entend en x = = mπ, m Z, comme la limite du quotient en x mπ) s'établit comme suit. Pour x mπ D n x) = 1 sin x = 1 sin x) sin x n + sin x cos kx = sin x + n sin k + 1) x sin k 1 x = sin n + 1) x = sin x Noyau de Dirichlet 1,5 ) est évidemment une fonction π-périodique, paire et continue, max D n x) = D n 0) = n + 1, π D n x) dx = 1 D n x) dx =) π 0 π.

9 1. Définition de la série de Fourier et principe de localisation. 9 Transformez la somme de Fourier S n x ; f), en y substituant à la place des coefficients de Fourier leurs expressions 1.). Nous obtenons S n x ; f) = = 1 π ft) dt + = 1 π n 1 π ft)cos kt cos kx + sin kt sin kx) dt = 1 n ft) + cos kt x) dt = 1 π D n t x)ft) dt. 1.7) En remplaçant la variable t par t+x dans la dernière intégrale, dite intégrale de Dirichlet, et en décalant le segment d'intégration, on obtient S n x ; f) = 1 π D n t)fx + t) dt = = π 0 = 1 π 0) Dt)fx + t) dt = D n t) dt. 1.8) Pour δ arbitraire, 0< δ < π, представим последний интеграл в виде S n x; f) = 1 δ) fx + t) + fx t) + π 0 δ sin t sin n + 1)) t dt. Во втором из этих интегралов знаменатель дроби sin t sin δ >0, donc la fraction elle-même est absolument intégrable en fonction de t. Par conséquent, la deuxième intégrale tend vers zéro lorsque n par le théorème d'oscillation de Riemann. Nous arrivons ainsi à l'énoncé suivant.

10 10 O.V. Besov. Séries trigonométriques de Fourier Théorème 1. principe de localisation). Soit une fonction π-périodique f absolument intégrable sur l'intervalle [, π], x 0 R, 0< δ < π. Пределы lim S nx; f), n n + 1)) t dt 1 δ fx 0 + t) + fx 0 t) lim n π 0 sin t sin существуют или не существуют одновременно и совпадают в случае их существования. Мы видим, таким образом, что сходимость ряда Фурье функции f в точке x 0 и величина его суммы в случае сходимости определяются поведением функции f на интервале x 0 δ, x 0 + δ), т.е. в сколь угодно малой окрестности точки x 0.. Сходимость ряда Фурье Пусть x 0 точка разрыва первого рода функции f. Введем следующие обобщения односторонних производных: f +x fx 0 + h) fx 0 + 0) 0) = lim, h 0+0 h f x fx 0 h) fx 0 0) 0) = lim, h 0+0 h которые также будем называть односторонними производными. Определение.1. Точку x 0 назовем почти регулярной точкой функции f, если существуют fx 0 + 0), fx 0 0), f + +x 0), f x 0). Если при этом fx 0) = fx 0 0) + fx 0 + 0), то x 0 назовем регулярной точкой функции f. Если функция f непрерывна в точке x 0 и имеет в ней правую и левую производные, то x 0 регулярная точка функции f. Теорема.1. Пусть π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на отрезке [, π], и x 0 ее почти регулярная точка. Тогда ряд Фурье функции f сходится в точке x 0 к fx 0 0) + fx 0 + 0). Если же при этом x 0 регулярная

onze . Convergence de la série de Fourier. 11 point f en particulier, si f est continue au point x 0), alors la série de Fourier au point x 0 converge vers fx 0). Preuve. Soit x 0 un point presque régulier de la fonction f. A partir de la formule 1.8) en utilisant 1.6) nous obtenons S n x ; f) fx 0 0) + fx 0 + 0) = = 1 π 0 = 1 D n t) dt π 0 fx 0 + 0) + fx 0 0) π D n t) dt = π 0 fx 0 + t) + fx 0 t) fx 0) sin t sin n + 1 = 1 [ fx0 + t) fx 0 + 0) + π 0 t ] ​​​​t + fx 0 t) fx 0 0) t sin t sin)) t dt = n + 1)) tdt. La fraction t sin t, étendue de un à t = 0, est continue sur la fonction. La fraction fx 0 + t) fx 0 + 0) t est absolument intégrable sur une fonction, puisque son numérateur l'est, et à t 0+0 elle a une limite finie. Il en va de même pour la deuxième fraction entre crochets. Par conséquent, le facteur pour sin n + 1)) t dans l'intégrande de la dernière intégrale est une fonction absolument intégrable. Selon le théorème d'oscillation de Riemann, la dernière intégrale tend vers zéro lorsque n, c'est-à-dire Snx0 ; f) fx 0 0) fx 0 + 0) à n. Note 1. L'exigence de l'existence de f + +x 0), f x 0) dans les conditions du théorème peut être, comme le montre le pré-

12 1 O.V. Besov. Preuves trigonométriques des séries de Fourier) être remplacées par une exigence plus faible pour le respect des inégalités fx 0 + h) fx 0 + 0) Mh α, fx 0 h) fx 0 0) Mh α, h 0, δ), h 0, δ),.1) pour certains α 0, 1], δ > 0, M > 0. Les conditions 1) sont appelées conditions de Hölder unilatérales de degré α, et pour α = 1 également conditions de Lipschitz unilatérales. Corollaire 1. Soit une fonction π-périodique f absolument intégrable sur l'intervalle [, π], et soit f x 0) exister. Alors la série de Fourier de la fonction f converge au point x 0 vers fx 0). Remarque : La continuité sur R d'une fonction π-périodique n'est pas une condition suffisante pour la convergence de sa série de Fourier en un point donné x 0. Il existe des exemples de fonctions π-périodiques continues sur R dont les séries de Fourier divergent en chaque point rationnel. Le théorème.1, la remarque.1 et le corollaire fournissent des conditions suffisantes pour la convergence de la série de Fourier en un point donné. Il existe également des conditions suffisantes beaucoup plus générales pour une telle convergence. Remarque 3. Soit la fonction f donnée et absolument intégrable sur un intervalle de longueur π, par exemple sur [, π]. Pour déterminer la convergence de sa série de Fourier aux extrémités du segment, on peut appliquer le théorème 1, en étendant la fonction f (si nécessaire, en changeant ses valeurs à une ou aux deux extrémités) en une fonction π-périodique. Après une telle suite, le point x = sera presque régulier si et seulement si f +), f π). Dans ce cas, la série de Fourier de la fonction f f + 0) + fπ 0) converge au point x 0 = k La question de la convergence de la série de Fourier au point x 0 = π est résolue de la même manière. Exemple 1. Trouvons la série de Fourier de la fonction fx) = π x, x.

13 3. Convergence uniforme de la série de Fourier. 13 Soit f : R R fonction π-périodique, fx) = fx) à 0< x < π, f0) = 0. Как мы знаем, коэффициенты Фурье функции f можно вычислить по формулам 1.) либо отличающихся от них сдвигом отрезка интегрирования. В силу нечетности f, a k = 0 k N 0. Интегрируя по частям, получаем b k = 1 π π 0 π x sin kx dx = = 1 π π x) cos kx x π 0 1 π cos kx dx = 1 πk 0 k. Заметим, что всякая точка x R является регулярной точкой функции f. Следовательно, sin kx fx) = x R..) k Итак, на отрезке сумма ряда Фурье f функции f совпадает с f на интервале 0, π) и отличается от f в концах интервала. 3. Равномерная сходимость ряда Фурье Определение 3.1. Функцию f называют кусочно-непрерывно дифференцируемой на отрезке , если существует такое разбиение {a i } m i=0 отрезка a = a 0 < a 1 < a < < < b m = b), что: 1. Производная f непрерывна на каждом интервале a i 1, a i);. Существуют односторонние пределы f a i 1 + 0), f a i 0) для i = 1,..., m. π-периодическую функцию будем называть кусочно-непрерывной кусочно-непрерывно дифференцируемой), если она кусочно-непрерывна кусочно-непрерывно дифференцируема) на отрезке [, π].

14 14 O.V. Besov. Série de Fourier trigonométrique Théorème 3.1. Soit f une fonction π-périodique continue et continûment différentiable par morceaux. Alors la série de Fourier de f converge vers f uniformément sur R et sup S n x ; f) fx) C ln n pour n, x R n où C ne dépend pas de n. Preuve. Soit M 0 = max f, M 1 = max f, fx + t) + fx t) fx) g x t) sin t. En utilisant le théorème d'incrément fini de Lagrange, nous trouvons qu'à 0< t π Следовательно, fx + t) + fx t) fx) M 1 t. g x t) M 1t sin t πm 1, d dt g xt) f x + t) f 1 x t) sin t + cos t + fx + t) + fx t) fx) 4 sin t πm 1 + π M 1 π M 1. t t t Пусть 0 < δ = δ n < π. Как и при доказательстве теоремы.1 S n x; f) fx) = 1 δ) + g x t) sin n + 1)) t dt = I n +J n. π 0 δ Очевидно, что I n δm 1. C помощью интегрирования по частям имеем J n = 1 cos n + 1) π g t π xt) n d cos n + 1) δ π δ dt g t xt) n + 1 dt.

15 D'où 3. Convergence uniforme de la série de Fourier. 15 J n M 1 n nm 1 δ n + 1) = Fixation δ = δ n = n 1, on obtient que pour n 1 + π) 1 M 1 δ n + 1. sup S n x ; f) fx) I n + J n C ln n, x R n où C ne dépend pas de n. L'énoncé du théorème découle de la dernière inégalité. Nous soulignons que le théorème 3.1 établit non seulement la convergence uniforme de la série de Fourier, mais donne également une estimation de la rapidité avec laquelle le reste de cette série tend vers zéro. La convergence uniforme de la série de Fourier d'une fonction périodique peut également être établie dans des conditions plus générales que dans le théorème 3.1, par exemple pour les fonctions satisfaisant la condition de Hölder. Définition. Une fonction f : R est dite satisfaire la condition de Hölder de degré α, 0< α 1 или условию Липшица в случае α = 1), если M α >0 : fx) fy) M α x y α x, y . Notez que les fonctions satisfaisant la condition de Hölder sont continues et que la classe des fonctions satisfaisant la condition de Hölder de degré α se rétrécit à mesure que α augmente. Si une fonction f est continue et continuellement différentiable par morceaux sur , alors elle satisfait à la condition de Lipschitz. Le théorème suivant généralise le théorème 3.1. Théorème 3. Soit une fonction π-périodique f satisfaisant sur R la condition de Hölder de degré α, 0< α 1. Тогда ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на R и ln n sup S n x; f) fx) C α x n α n,

16 16 O.V. Besov. Série de Fourier trigonométrique où C α ne dépend pas de n. Preuve. Utilisons la formule 1) sous la forme S n x ; f) fx) = 1 fx + t) fx) π sin t sin n + 1)) t dt. Soit fx + t) fx) h x t) = sin t, λ = λ n = n + 1, δ 8 n > π λ. Tout comme dans la démonstration du théorème d'oscillation de Riemann, on obtient S n x ; f) fx) 1 h x t + π) h x t) dt = λ = 1 δ... dt + 1 δ) +... dt = I δ,n x) + J δ,n x). 3.1) δ δ Rappelons que π t< sin t < t при 0 < t < π. Заметим, что при t δ h x t) M α t α = π t M α t α 1, так что I δ,n x) π δ M α t α 1 dt = π 0 α M α α δ α. 3.) Если же t >δ, alors h x t + π) f h x t) = λ f = x + t + π) λ fx) sin t + π λ x + t + π) λ fx) sin t + π λ 1 1 fx + t) fx) sin t = 1 sin t + π λ sin t fx + t) fx)), 3.3)

17 donc 3. Convergence uniforme de la série de Fourier. 17) α h x t + π) M πλ α π sin λ π h x t) λ t + π π M α t α + λ t + π λ t J δ,n x) δ C M α λ α dt t C M α λ α ln 1 δ. C M α t λ α, en fixant δ = n 8 et en collectant les estimations, nous arrivons à l'énoncé du théorème. La partie du théorème 3.1, qui concerne uniquement le fait de convergence uniforme, admet la généralisation suivante. Théorème 3.3. Soit une fonction π-périodique f absolument intégrable sur [, π]. Soit f continue sur un intervalle a, b) et f soit continue par morceaux. Alors la série de Fourier de la fonction f converge uniformément vers f sur tout intervalle a, b). Preuve. Soit n 8 δ< δ, a, b), x . Воспользуемся оценкой 3.1). В силу 3.) при α = 1 I δ,n x) C 1 M 1 δ. Для получения оценки J δ,n используем преобразование 3.3) разности в подынтегральном выражении. Тогда J δ,n x) 1 f u + π) fu) du+ 4πδ λ) π + π3 4δ fu) du + π sup f. λ Пусть задано ε >0. Alors il existe un δ = δε) > 0 suffisamment petit tel que sup I δ,n< ε. При выбранном δ n δ N: sup J δ,n < ε n n δ.

18 18 O.V. Besov. Série de Fourier trigonométrique Puis de 3.1) et des estimations obtenues il s'ensuit que sup S n x ; f) fx) 0 pour n x et le théorème est établi. Notons que le théorème 3.3 développe le principe de localisation formulé précédemment, montrant que pour énoncer la convergence uniforme de la série de Fourier sur un intervalle il suffit de connaître le comportement de cette fonction uniquement au voisinage a ε, b+ε) de cet intervalle pour arbitrairement petit ε > 0. Du théorème 3.3, il s'ensuit, par exemple, que la série sin kx k sur tout intervalle [ε, π ε], ε > 0, converge uniformément vers la fonction fx) = π x. Le théorème 3.3 peut être généralisé en remplaçant la condition de différentiabilité continue par morceaux par la condition de Hölder de degré α > 0 par . 4. Approximation de fonctions continues par des polynômes Définition 4.1. Une fonction de la forme A 0 n + A k cos kx + B k sin kx A n + Bn > 0) trigonome- est appelé un polynôme trigonométrique (polynôme tric) de degré n. Théorème de Weierstrass 4.1). Soit f une fonction continue π-périodique. Alors pour chaque ε >< ε. x R Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим ε >0. Soit τ = (x j ) J j=0, x j = + j π J, partition du segment [, π]. Construisons une ligne brisée inscrite dans le graphe de la fonction f), la reliant à des segments

19 4. Approximation de fonctions continues par des polynômes. 19 points consécutifs x j, fx j)) graphiques f. Notons Λ J : R R une fonction continue π-périodique dont le graphe coïncide sur [, π] avec la ligne brisée construite. Évidemment, Λ J est une fonction linéaire par morceaux sur [, π] et, par conséquent, continûment différentiable par morceaux, c'est-à-dire Λ J est continu par morceaux). Une fonction continue f est uniformément continue. Donc fx) fx)< ε 4 при x x π J, если J = Jε) N достаточно велико. Тогда max fx) Λ J x) < ε. Функция Λ J удовлетворяет условиям теоремы.1, поэтому ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на R. Следовательно, существует такое n = nε), что max x R Λ jx) S n x; Λ J) < ε. Из последних двух неравенств получаем, что max x R fx) S nx; Λ J) < ε, т.е. утверждение теоремы при T x) = S n x; Λ J). Теорему 4.1 в эквивалентной форму можно сформулировать следующим образом: Теорема 4.1. Вейерштрасса). Пусть функция f непрерывна на отрезке [, π] и f) = fπ). Тогда для каждого ε >0 il existe un polynôme trigonométrique T tel que max fx) T x)< ε. x π

20 0 O.V. Besov. Série de Fourier trigonométrique Exercice 4.1. Montrer que le dernier théorème cesse d'être vrai si l'on écarte la condition f) = fπ). Notez que dans le théorème 4.1, il est généralement impossible de prendre S n x comme polynôme trigonométrique T ; f) la somme partielle des séries de Fourier de la fonction f), puisque la série de Fourier d'une fonction continue n'est pas obligée de converger uniformément et n'est même pas obligée de converger ponctuellement) vers la fonction f. Cependant, comme T on peut prendre σ n x ; f) la somme Fejér de la fonction f) pour un n suffisamment grand, où σ n x ; f) = S 0x ; f) + S 1x ; f) + + S n x ; f) n + 1 moyenne sommes arithmétiques Fourier, comme suit du théorème de Fejer : Théorème 4. Fejer). Soit f une fonction continue π-périodique. Alors σ n x ; f) fx) pour n. R Nous ne donnerons pas de démonstrations de ce théorème. Le fait de convergence de la séquence des sommes de Fejer dans le théorème de Fejer s'exprime également comme suit : La série de Fourier d'une fonction continue π-périodique f est sommée à fx) par la méthode des moyennes arithmétiques. La méthode de sommation d'une série par des moyens arithmétiques d'une suite de ses sommes partielles permet à certaines séries divergentes de définir la notion de leur somme comme limite de la suite de ces moyennes arithmétiques. Pour une série convergente, cette notion coïncide avec la notion de somme d'une série. Exemple 4.1. Nous résumons les séries divergentes en utilisant la méthode des moyennes arithmétiques jusqu'au nombre 1. En utilisant le théorème 4.1 de Weierstrass, nous prouvons également la possibilité d'approcher avec précision une fonction continue sur un intervalle par un polynôme algébrique P approprié.

21 4. Approximation de fonctions continues par des polynômes. 1 Théorème de Weierstrass 4.3). Soit la fonction f continue sur l'intervalle. Alors pour tout ε > 0 il existe un polynôme algébrique P tel que max fx) P x)< ε. a x b Д о к а з а т е л ь с т в о. Отобразим линейно отрезок на отрезок : и положим f t) = f x = a + b a t, 0 t π, a x b, π a + b a π t), 0 t π. Продолжим ее четным образом на отрезок [, 0] и затем на всю ось с периодом π, сохранив обозначение f. Полученная функция f: R R является π-периодической и непрерывной на R. По теореме 4.1 для каждого ε >0 il existe un polynôme trigonométrique T tel que max f t) T t) max f t) T t)< ε 0 t π x R. Функции cos kt, sin kt а значит и T t)) раскладываются в степенные ряды с радиусом сходимости R = +, и, следовательно, равномерно сходящиеся на каждом отрезке. Поэтому существует такой номер n = nε), что max T t) P nt) < ε 0 t π, где P n многочлен Тейлора функции T. Из последних двух неравенств получаем, что max f t) P n t) < ε 0 t π + ε = ε, или возвращаясь к переменной x) max a x b fx) P n π x a) < ε. b a Теорема доказана. Теорему 4.3 можно переформулировать следующим образом:

22 O.V. Besov. Série de Fourier trigonométrique Toute fonction continue sur un intervalle est la limite uniforme d'une certaine séquence de polynômes algébriques. 5. Différenciation terme par terme des séries trigonométriques. Vitesse à laquelle les coefficients et le reste de la série de Fourier tendent vers zéro Théorème 5.1. Soit une fonction π-périodique f continue et dérivable continûment par morceaux, et soit fx) = a 0 + a k cos kx + b k sin kx son développement en série de Fourier. Alors f x) ka k sin kx + kb k cos kx, c'est-à-dire La série de Fourier de la dérivée est obtenue à partir de la série de Fourier de la fonction par différenciation terme à terme. Preuve. Soit f x) α 0 + α k cos kx + β k sin kx. Puis, en intégrant par parties, on obtient α k = 1 π β k = 1 π α 0 = 1 π f x) cos kx dx = f x) dx = 1 = 0, π = 1 π fx) cos kx π f x) sin kx dx = = 1 π fx) sin kx π + k π k π fx) sin kx dx = kb k, fx) cos kx dx = ka k.

23 5. Différenciation terme par terme des séries de Fourier. 3 Lemme 5.1. Soit une fonction π-périodique f avoir des dérivées continues jusqu'à l'ordre m 1 inclus et une dérivée continue par morceaux d'ordre m N. Alors les estimations suivantes sont satisfaites pour les coefficients de Fourier de la fonction f : 1 a k + b k = o k m pour k. 5.1) Preuve. Soient m 1 et f m) x) α k cos kx + β k sin kx. En appliquant le théorème 5,1 m fois, on obtient que α k + β k = k m a k + b k), k N 0. Puisque α k, β k 0 k) par le lemme sur la tendance des coefficients de Fourier vers zéro, à partir de la dernière égalité on obtenir 5.1). Le lemme 5.1 montre que les coefficients de Fourier d’une fonction f tendent vers zéro plus vite sont meilleures les propriétés différentielles de la fonction f. L’énoncé du lemme 5.1 peut être quelque peu renforcé si nous utilisons les inégalités de Bessel pour des fonctions πpériodiques continues par morceaux : a 0 + a k + b k) 1 π f x) dx. 5.) Cette inégalité sera établie ci-dessous. En appliquant 5.) à la dérivée f m), on obtient que dans les conditions du lemme 5,1 k m a k + b k) 1 f m) x)) dx<. π Установим оценки скорости приближения функции ее суммами Фурье в зависимости от дифференциальных свойств функции. Изучим для этого характер сходимости ряда, сопряжен-

24 4 O.V. Besov. Série de Fourier trigonométrique avec la série de Fourier d'une fonction f continue et continuellement différentiable par morceaux π-périodique, c'est-à-dire rangée Sx ; f) a k sin kx b k cos kx, 5.3) où a k, b k sont les coefficients de Fourier de la fonction f. Le noyau de Dirichlet conjugué est appelé D n x) = n cos x n cos + 1 sin kx = sin x) x La dernière égalité s'établit de la même manière que 1.5). idem 1.8) il est établi que la somme partielle n S n x ; f) = a k sin kx b k cos kx série 5.3) peut être représenté par S n x ; f) = où 0. Donc D n t) dt = = 1 h x t) cos n + 1)) t dt + π fx), 0 fx + t) fx t) h x t) sin t, fx) 1 fx + t) fx t) π 0 tg t dt. Lemme 5.. Soit une fonction π-périodique f continue et continûment différentiable par morceaux, a k, b k ses coefficients de Fourier. Alors pour certains C > 0 et n sup a k sin kx b k cos kx C ln n n. 5.4)xRn+1

25 5. Différenciation terme par terme des séries de Fourier. 5 Preuve. Mettons M 1 max R f. En utilisant le théorème d'incrément fini de Lagrange, nous obtenons fx + t) fx t) M 1 t, 0< t π, откуда следует, в частности, что fx) существует для каждого x как интеграл от непрерывной на 0, π] и fonction limitée). Estimons fx) S n x ; f) = 1 h x t) cos n + 1) t dt, π en utilisant les estimations h x t) πm 1, d dt h xt) f x + t) + f 1 x t) sin t + 0 cos t + fx + h) fx h) 4 sin t πm 1 t + π M 1 t π M 1 t. Tout comme dans la démonstration du théorème 1. on obtient sup fx) S n x ; f) C ln n x R n n qui découle de 5.4). pour n, Théorème 5.. Soit pour m N une fonction π-périodique f avoir des dérivées continues jusqu'à l'ordre m 1 inclus et une dérivée continue par morceaux f m). Alors la série de Fourier de f converge vers f uniformément et max x R fx) S nx ; f) = O ln n n m) = = o 1) n m ε pour n et ε > 0.

26 6 O.V. Besov. Série de Fourier trigonométrique Preuve. Le cas m = 1 coïncide avec le théorème 3.1. Soient ϕ f m 1) et α k, β k les coefficients de Fourier de la fonction ϕ. Par le théorème 3.1 sup α k cos kx + β k sin kx C ln n n. 5.5) n x R Soient a k, b k les coefficients de Fourier de la fonction f. Soit m 1 pair en premier. Alors, en vertu du théorème 5.1 appliqué m 1 fois, pour x R nous avons r n x ; f) = a k cos kx + b k sin kx = 1 = k m 1 α k cos kx + β k sin kx). Appliquons la transformation d'Abel à la dernière série, en tenant compte de la convergence de la série α k cos kx + β k sin kx et de l'estimation établie dans le cas m = 1 de ce théorème) sup α k cos kx + β k péché kx C ln n n. Nous obtenons r n x ; f) = x R j=n+1 1 k + 1) m 1 1 k m 1 α j cos jx + β j sin jx) C ln n n et 5.5) dans ce cas est établi. = C ln n n 1 k + 1) m 1 1 k m 1 = 1 ln n C n + 1) m 1 n m,

27 5. Différenciation terme par terme des séries de Fourier. 7 Soit maintenant m 1 impair. Alors rnx; f) = a k cos kx + b k sin kx = 1 = k m 1 α k sin kx β k cos kx). La série α k sin kx β k cos kx converge par le lemme 5.. En appliquant la transformation d'Abel et l'estimation 5.5), nous obtenons que r n x ; f) = α j sin jx β j cos jx j=n+1 1 k + 1) m 1 1 k m 1) C ln n n 1 ln n C n + 1) m 1 n m, et le théorème est prouvé. Le théorème 5 montre que plus une fonction f a de dérivées, plus sa série de Fourier converge rapidement. Remarque. Le lemme 5.1 et le théorème 5 peuvent être reformulés pour une fonction f définie uniquement sur l'intervalle [, π] en ajoutant des conditions aux extrémités de l'intervalle qui garantissent la réalisation des conditions du lemme 5.1 et respectivement pour son extension π-périodique. Théorème 5. À savoir, les conditions supplémentaires suivantes sur les dérivées unilatérales doivent être considérées comme satisfaites pour la fonction f : [, π] R : f j)) = f j) π) pour j = 0, 1,..., m 1 . Avec une reformulation appropriée du Théorème 3.1 et du Théorème 5.1 pour la fonction f : [, π] R nous devrions supposer que l'égalité f) = fπ) est vérifiée. Parallèlement au théorème 5, nous établirons un autre théorème 5, bien que moins fort, mais indiquant également le lien entre la différentielle

28 8 O.V. Besov. Série de Fourier trigonométrique avec les propriétés différentielles d'une fonction π-périodique et le taux de convergence de sa série de Fourier. La preuve du Théorème 5, contrairement au Théorème 5, repose non pas sur l’analyse de la convergence des séries conjuguées à la série de Fourier, mais sur l’inégalité de Bessel (5), qui sera établie précédemment. Le lecteur pourra, à sa discrétion, se limiter à l'étude de l'un de ces deux théorèmes. Lemme 5.3. Soit f une fonction π-périodique et continue par morceaux, a k, b k ses coefficients de Fourier. Alors l’inégalité de Bessel 5.) est valide. Preuve. Soit d'abord f une fonction π-périodique continue et continûment différentiable par morceaux. D'après le théorème 5, il se développe en une série de Fourier uniformément convergente : fx) = a 0 + a k cos kx + b k sin kx. 5.6) Multiplier l'égalité 5.6) terme par fx) et intégrer la série résultante, également uniformément convergente) terme par terme. Grâce aux formules 1.) pour les coefficients de Fourier, on obtient l'égalité a 0 + a k + b k) = 1 π f x) dx, 5.7) dont est une conséquence.) L'égalité de Parseval 5.7) et l'inégalité de Bessel 5.) seront plus tard être étendu aux fonctions f avec beaucoup plus les propriétés générales. Soit maintenant la fonction f satisfaisant les conditions du lemme et Λ J : R R Fonction continue π-périodique, linéaire par morceaux sur [, π], construite dans la preuve du théorème de Weierstrass 4.1, le graphe de Λ J est inscrit dans

29 5. Différenciation terme par terme des séries de Fourier. 9 graphique en ligne pointillée). Notons a k f), b k f) les coefficients de Fourier de la fonction f. De 5.) découle l'inégalité a 0 Λ J) n + a k Λ J) + b k Λ J)) 1 π Λ Jx) dx n N. 5.8) Soient n N fixé et J. Alors, comme il est facile de le voir , a k Λ J) a k f), b k Λ J) b k f), Λ Jx) dx f x) dx. En passant à la limite dans l'inégalité 5.5), on obtient que a 0 f) n + a k f) + b k f)) 1 f x) dx. π En passant à la limite comme n dans la dernière inégalité, on arrive à l'énoncé du lemme. Théorème 5. Soit pour m N une fonction π-périodique f ayant des dérivées continues jusqu'à l'ordre m 1 inclus et une dérivée continue par morceaux f m). Alors la série de Fourier de la fonction f y converge uniformément sur R et) 1 max fx) S nx ; f) = o pour n. 5.9) x R n m 1 Preuve. La convergence uniforme vers une fonction f de sa série de Fourier est établie dans le théorème 3.1. Estimons le reste de sa série de Fourier. rnx; f) = a k cos kx + b k sin kx a k + b k) α k + β k) 1 k m,

30 30 O.V. Besov. Série de Fourier trigonométrique où α k, β k sont les coefficients de Fourier de la fonction f m), et la dernière inégalité a été obtenue par application m fois du théorème 5.1. En vertu de l'inégalité de Cauchy-Schwartz, N α k + β k) 1 k m N α k + β k) N 1 k m. Passer à la limite dans la dernière inégalité pour N montre qu'elle reste vraie si N y est substitué. En l'utilisant, nous obtenons que r n x ; f) αk + β k) 1 k m = = ε n 1, 5.10) km où ε n 0 n) dû à la convergence de la série αk + + βk), qui découle de l'inégalité de Bessel pour la fonction f m) voir Lemme 5.3 ). Notez que 1 k m m dx x m dx x m = 1 m 1)n m 1. k 1 D'ici et de 5.10) il découle 5.9). Remarque finale Ce manuel ne couvre pas les questions d'intégration terme par terme des séries de Fourier, des séries de Fourier de fonctions l-périodiques et de la forme complexe des séries de Fourier. Une présentation standard de ces questions peut être trouvée dans de nombreux manuels. Nous n’avons pas non plus abordé les questions de convergence des séries de Fourier au sens de carré moyen, dans lequel

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1

La possibilité d'approcher des séries de Fourier dans le cas d'un signal linéaire peut être nécessaire pour construire des fonctions dans le cas de signaux discontinus. éléments périodiques. La possibilité d'utiliser cette méthode pour les construire et les décomposer à l'aide de sommes finies de la série de Fourier est utilisée pour résoudre de nombreux problèmes de diverses sciences, telles que la physique, la sismologie, etc. Les processus des marées océaniques et de l'activité solaire sont considérés par la méthode de décomposition des processus oscillatoires et des fonctions décrites par ces transformations. Avec développement la technologie informatique Les séries de Fourier ont commencé à être utilisées pour des problèmes de plus en plus complexes, et grâce à cela, il est devenu possible d'utiliser ces transformations dans des sciences indirectes, comme la médecine et la chimie. La transformée de Fourier est décrite à la fois sous forme réelle et complexe, la deuxième distribution a permis de faire une percée dans la recherche Cosmos. Le résultat de ce travail est l'application des séries de Fourier à la linéarisation fonction discontinue et sélection du nombre de coefficients de série pour une imposition plus précise de la série sur la fonction. De plus, en utilisant le développement en série de Fourier, cette fonction cesse d'être discontinu et déjà à des valeurs suffisamment petites, une bonne approximation de la fonction utilisée est obtenue.

série de Fourier

Transformée de Fourier

spectre de phases.

1. Alasheyeva E.A., Rogova N.V. Méthode numérique pour résoudre le problème de l'électrodynamique dans l'approximation du fil mince. Science et paix. International Revue scientifique, n° 8(12), 2014. Volume 1. Volgograd. P.17-19.

2. Vorobyov N.N. Théorie des séries. Éd. Science, Rédaction principale de littérature physique et mathématique, M., 1979, -408 S.

3. Kalinina V.N., Pankin V.F. Statistiques mathématiques. - M. : Ecole Supérieure, 2001.

4. Série R. Edwards Fourier dans une présentation moderne. Éd. Monde. En 2 tomes. Tome 1. 1985. 362 p.

5. V.P. Sigorski Appareil mathématique d'ingénieur. Éd. 2ème stéréotype. "Techniques", 1997. – 768 p.

La représentation d'une fonction arbitraire avec une période spécifique sous la forme d'une série est appelée série de Fourier. Un développement dans une base orthogonale s’appelle cette décision V vue générale. L'expansion des fonctions de la série de Fourier est un outil assez puissant pour résoudre une variété de problèmes. Parce que Les propriétés de cette transformation lors de l'intégration, de la différenciation, ainsi que du déplacement d'une expression par argument et convolution sont bien connues et étudiées. Une personne qui n'est pas familière avec les mathématiques supérieures, ainsi qu'avec les travaux du scientifique français Fourier, ne comprendra probablement pas ce que sont ces « séries » et à quoi elles servent. Cette transformée de Fourier fait désormais partie intégrante de nos vies. Il est utilisé non seulement par les mathématiciens, mais aussi par les physiciens, les chimistes, les médecins, les astronomes, les sismologues, les océanographes et bien d'autres.

Les séries de Fourier sont utilisées pour résoudre de nombreux problèmes appliqués. La transformée de Fourier peut être réalisée à l'aide de méthodes analytiques, numériques et autres. Des processus tels que les marées océaniques et les ondes lumineuses Les cycles d'activité solaire font référence à la méthode numérique de décomposition de tout processus oscillatoire en une série de Fourier. À l’aide de ces techniques mathématiques, vous pouvez analyser des fonctions, représentant tout processus oscillatoire comme une série de composants sinusoïdaux qui se déplacent du minimum au maximum et inversement. La transformée de Fourier est une fonction qui décrit la phase et l'amplitude des sinusoïdes correspondant à une fréquence spécifique. Cette transformation est utilisée pour résoudre très équations complexes, qui décrivent des processus dynamiques survenant sous l'influence de la chaleur, de la lumière ou énergie électrique. Aussi, les séries de Fourier permettent d'isoler des composantes constantes dans des signaux oscillatoires complexes, permettant d'interpréter correctement les observations expérimentales obtenues en médecine, chimie et astronomie.

Avec le développement de la technologie, c'est-à-dire l'avènement et le développement de l'ordinateur ont amené la transformée de Fourier à nouveau niveau. Cette technique solidement implanté dans presque tous les domaines de la science et de la technologie. Un exemple est l’audio et la vidéo numériques. Ce qui est devenu une claire prise de conscience de la croissance du processus scientifique et de l’application des séries de Fourier. Ainsi, la série de Fourier sous une forme complexe a permis de faire une percée dans l'étude de l'espace. En outre, cela a influencé l'étude des matériaux semi-conducteurs et de la physique des plasmas, de l'acoustique des micro-ondes, de l'océanographie, du radar et de la sismologie.

Considérons le spectre de phase d'un signal périodique déterminé à partir de l'expression suivante :

où les symboles et désignent respectivement les parties imaginaire et réelle de la quantité entre crochets.

Si on le multiplie par une valeur constante réelle K, alors le développement en série de Fourier a la forme suivante :

De l'expression (1), il résulte que le spectre de Fourier de phase a les propriétés suivantes :

1) est fonction de , c'est-à-dire que contrairement au spectre de puissance, qui ne dépend pas de , il change à mesure que le signal se déplace le long de l'axe du temps ;

2) ne dépend pas de K, c'est-à-dire qu'il est invariant à l'amplification ou à l'atténuation du signal, alors que le spectre de puissance est fonction de K.

3) c'est-à-dire que c'est une fonction impaire de n.

Note. Compte tenu de l’interprétation géométrique des considérations ci-dessus, il peut être exprimé en termes de spectre de puissance et de spectre de phase comme suit :

Parce que le

puis de (2) et (3) il s'ensuit qu'il peut être reconstruit sans ambiguïté si les spectres d'amplitude (ou de puissance) et de phase sont connus.

Regardons un exemple. On nous a donné une fonction entre

Vue générale de la série de Fourier :

Remplaçons nos valeurs et obtenons :

Remplaçons nos valeurs et obtenons.

Le chapitre 10 décrit l'application des séries de Fourier à l'étude des vibrations élastiques d'une corde. Dans ce chapitre, nous examinerons quelques problèmes de flexion élastique des poutres.

L'utilisation des séries de Fourier pour résoudre des problèmes de statique des corps élastiques s'effectue selon le schéma suivant.

Tout d’abord, à partir de considérations physiques, on dérive une relation qui relie la fonction qui décrit l’état géométrique du corps déformé aux charges appliquées au corps. Cette relation, d'une manière générale, contient, outre la fonction d'état elle-même, ses dérivées, ainsi que certaines caractéristiques intégrales.

Ensuite, sur la base des contours géométriques du corps et des conditions cinématiques limitant ses mouvements, un système orthogonal de fonctions est sélectionné, selon lequel la fonction d'état spécifiée est développée en une série de Fourier.

La substitution de cette série de Fourier dans la relation dérivée conduit à l'égalité identique des deux séries de Fourier, à partir de laquelle, en utilisant le théorème 2 de la section 14 du chapitre 9, on peut procéder à l'égalité des coefficients pour des fonctions identiques. A partir de ces dernières égalités il est possible de calculer les valeurs des coefficients de Fourier et ainsi décrire l'état du corps déformé.

Ce processus de substitution de la série de Fourier dans la relation caractérisant la flexion doit être effectué avec beaucoup de précautions, car au cours de celui-ci il est nécessaire de différencier plusieurs fois terme par terme la série de Fourier dont les coefficients ne sont calculés qu'ultérieurement. Vérifier la validité de cette différenciation, c'est-à-dire (voir § 10 du chapitre 5) la convergence uniforme des séries compilées

à partir des dérivées des séries différentiables est a priori assez difficile. Par conséquent, lors de la résolution de chaque tâche spécifique Nous raisonnerons approximativement comme suit.

Dans un premier temps, nous supposerons que la série de Fourier écrite avec des coefficients encore inconnus peut (au sens du théorème du § 10 du chapitre 5) être différenciée terme par terme le nombre de fois requis. En écrivant les dérivées et en résolvant les équations résultantes, nous trouverons les coefficients de Fourier qui nous intéressent. Cela signifie que si la série de Fourier peut être différenciée terme par terme (et d'ailleurs autant de fois que nécessaire), alors elle est complètement définie, la série que nous avons trouvée. Si maintenant, de l'examen des coefficients obtenus, il apparaît clairement que cette série construite et bien définie est bien différentiable terme par terme, alors toutes les opérations effectivement effectuées sur cette série étaient légales, et les coefficients de Fourier trouvés sont ceux recherchés. S'il s'avère que le résultat est une série non différenciable, cela signifie que les actions précédemment effectuées avec celle-ci étaient mathématiquement incorrectes et que le résultat obtenu sur leur base était sans fondement, bien que peut-être correct. Nous examinerons ensuite des exemples des deux types de résultats.