Trois types de parallélépipèdes. cuboïde

En géométrie, les concepts clés sont le plan, le point, la droite et l'angle. En utilisant ces termes, n'importe quelle figure géométrique peut être décrite. Les polyèdres sont généralement décrits en termes de plus chiffres simples qui se trouvent dans le même plan, comme un cercle, un triangle, un carré, un rectangle, etc. Dans cet article, nous examinerons ce qu'est un parallélépipède, décrirons les types de parallélépipèdes, ses propriétés, les éléments qui le composent, et donnerons également les formules de base pour calculer l'aire et le volume de chaque type de parallélépipède.

Définition

Un parallélépipède dans l'espace tridimensionnel est un prisme dont tous les côtés sont des parallélogrammes. En conséquence, il ne peut avoir que trois paires de parallélogrammes parallèles ou six faces.

Pour visualiser la boîte, imaginez une brique standard standard. Brique - bon exemple parallélépipède rectangle que même un enfant peut imaginer. D'autres exemples sont à plusieurs étages maisons à panneaux, armoires, conteneurs de stockage produits alimentaires forme appropriée, etc.

Variétés de la figure

Il n'y a que deux types de parallélépipèdes :

1. Rectangulaire, dont toutes les faces latérales forment un angle de 90° avec la base et sont des rectangles.
2. Incliné, dont les faces latérales sont situées à un certain angle par rapport à la base.

En quels éléments ce chiffre peut-il être divisé?

• Comme dans toute autre figure géométrique, dans un parallélépipède, 2 faces avec une arête commune sont appelées adjacentes, et celles qui n'en ont pas sont appelées parallèles (basé sur la propriété d'un parallélogramme qui a deux côtés opposés parallèles).
• Les sommets d'un parallélépipède qui ne se trouvent pas sur la même face sont appelés sommets opposés.
• Le segment reliant ces sommets est une diagonale.
• Les longueurs des trois arêtes d'un cuboïde qui se rejoignent à un sommet sont ses dimensions (à savoir, sa longueur, sa largeur et sa hauteur).

Propriétés de la forme

1. Il est toujours construit symétriquement par rapport au milieu de la diagonale.
2. Le point d'intersection de toutes les diagonales divise chaque diagonale en deux segments égaux.
3. Les faces opposées sont de longueur égale et reposent sur des lignes parallèles.
4. Si vous additionnez les carrés de toutes les dimensions de la boîte, la valeur résultante sera égale au carré de la longueur de la diagonale.

Formules de calcul

Les formules pour chaque cas particulier d'un parallélépipède seront différentes.

Pour un parallélépipède arbitraire, l'affirmation est vraie que son volume est égal à valeur absolue le triple produit scalaire de vecteurs de trois côtés issus d'un même sommet. Cependant, il n'y a pas de formule pour calculer le volume d'un parallélépipède arbitraire.

Pour un parallélépipède rectangle, les formules suivantes s'appliquent :

• V=a*b*c ;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• V est le volume de la figure ;
• Sb - surface latérale ;
• Sp - zone pleine surface;
• a - longueur;
• b - largeur;
• c - hauteur.

Un autre cas particulier d'un parallélépipède dont tous les côtés sont des carrés est un cube. Si l'un des côtés du carré est désigné par la lettre a, les formules suivantes peuvent être utilisées pour la surface et le volume de cette figure :

• S=6*a*2 ;
• V=3*a.

• S est l'aire de la figure,
• V est le volume de la figure,
• a - la longueur du visage de la figure.

Le dernier type de parallélépipède que nous considérons est un parallélépipède droit. Quelle est la différence entre un cuboïde et un cuboïde, demandez-vous. Le fait est que la base d'un parallélépipède rectangle peut être n'importe quel parallélogramme, et la base d'une droite ne peut être qu'un rectangle. Si nous désignons le périmètre de la base, égal à la somme des longueurs de tous les côtés, comme Po, et désignons la hauteur comme h, nous avons le droit d'utiliser les formules suivantes pour calculer le volume et les aires du plein et latéral surfaces.

Un parallélépipède est un prisme dont les bases sont des parallélogrammes. Dans ce cas, toutes les arêtes seront parallélogrammes.
Chaque parallélépipède peut être considéré comme un prisme à trois différentes façons, puisque toutes les deux faces opposées peuvent être prises comme bases (sur la Fig. 5, les faces ABCD et A "B" C "D", ou ABA "B" et CDC "D", ou BC "C" et ADA "D" ).
Le corps considéré a douze arêtes, quatre égales et parallèles entre elles.
Théorème 3 . Les diagonales du parallélépipède se coupent en un point, coïncidant avec le milieu de chacune d'elles.
Le parallélépipède ABCDA"B"C"D" (Fig. 5) a quatre diagonales AC", BD", CA", DB". Nous devons prouver que les milieux de deux d'entre eux, par exemple, AC et BD", coïncident. Cela découle du fait que la figure ABC"D", qui a égal et côtés parallèles AB et C"D" est un parallélogramme.
Définition 7 . Un parallélépipède droit est un parallélépipède qui est aussi un prisme droit, c'est-à-dire un parallélépipède dont les bords latéraux sont perpendiculaires au plan de base.
Définition 8 . Un parallélépipède rectangle est un parallélépipède rectangle dont la base est un rectangle. Dans ce cas, toutes ses faces seront des rectangles.
cuboïde est un prisme droit, quelle que soit celle de ses faces que nous prenons pour base, puisque chacune de ses arêtes est perpendiculaire aux arêtes émergeant du même sommet avec lui, et sera donc perpendiculaire aux plans des faces définis par ces bords. En revanche, une boîte droite, mais non rectangulaire, ne peut être considérée comme un prisme droit que d'une seule manière.
Définition 9 . Les longueurs de trois arêtes d'un cuboïde, dont deux ne sont pas parallèles entre elles (par exemple, trois arêtes sortant du même sommet), sont appelées ses dimensions. Deux |parallélépipèdes rectangles ayant des dimensions correspondantes égales sont évidemment égaux l'un à l'autre.
Définition 10 Un cube est un parallélépipède rectangle dont les trois dimensions sont égales entre elles, de sorte que toutes ses faces sont des carrés. Deux cubes dont les arêtes sont égales sont égaux.
Définition 11 . Un parallélépipède incliné dans lequel toutes les arêtes sont égales et les angles de toutes les faces sont égaux ou complémentaires est appelé un rhomboèdre.
Toutes les faces d'un rhomboèdre sont des losanges égaux. (La forme d'un rhomboèdre a des cristaux ayant grande importance, par exemple, des cristaux de spath islandais.) Dans un rhomboèdre, on peut trouver un tel sommet (et même deux sommets opposés) que tous les angles qui lui sont adjacents sont égaux les uns aux autres.
Théorème 4 . Les diagonales d'un parallélépipède rectangle sont égales entre elles. Le carré de la diagonale est égal à la somme des carrés des trois dimensions.
Dans un parallélépipède rectangle ABCDA "B" C "D" (Fig. 6), les diagonales AC "et BD" sont égales, puisque le quadrilatère ABC "D" est un rectangle (la ligne AB est perpendiculaire au plan BC "C" , dans lequel se trouve BC") .
De plus, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 d'après le théorème du carré de l'hypoténuse. Mais d'après le même théorème AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2, d'où :
AC "2 \u003d AB 2 + AA" 2 + A "D" 2 \u003d AB 2 + AA "2 + AD 2.

Le parallélépipède est figure géométrique, dont les 6 faces sont des parallélogrammes.

Selon le type de ces parallélogrammes, il existe les genres suivants parallélépipède:

• droit;
• incliné;
• rectangulaire.

Un parallélépipède rectangle est un prisme quadrangulaire dont les arêtes font un angle de 90° avec le plan de base.

Un parallélépipède rectangle est un prisme quadrangulaire dont toutes les faces sont des rectangles. Le cube est une variété prisme quadrangulaire, dans lequel toutes les faces et les arêtes sont égales les unes aux autres.

Les traits d'une figure prédéterminent ses propriétés. Celles-ci incluent les 4 déclarations suivantes :

Se souvenir de toutes les propriétés ci-dessus est simple, elles sont faciles à comprendre et sont dérivées logiquement en fonction du type et des caractéristiques du corps géométrique. Cependant, des déclarations simples peuvent être extrêmement utiles pour décider tâches typiques USE et vous fera gagner du temps pour réussir le test.

Formules parallélépipédiques

Pour trouver des réponses au problème, il ne suffit pas de connaître uniquement les propriétés de la figure. Vous aurez peut-être aussi besoin de formules pour trouver l'aire et le volume d'un corps géométrique.

L'aire des bases se trouve également comme l'indicateur correspondant d'un parallélogramme ou d'un rectangle. Vous pouvez choisir vous-même la base du parallélogramme. En règle générale, lors de la résolution de problèmes, il est plus facile de travailler avec un prisme basé sur un rectangle.

La formule pour trouver la surface latérale d'un parallélépipède peut également être nécessaire dans les tâches de test.

Exemples de résolution de tâches USE typiques

Exercice 1.

Donné: un cuboïde avec des mesures de 3, 4 et 12 cm.
Nécessaire Trouver la longueur de l'une des diagonales principales de la figure.
Décision: Toute solution à un problème géométrique doit commencer par la construction d'un dessin correct et clair, sur lequel seront indiqués "donné" et la valeur souhaitée. La figure ci-dessous est un exemple conception correcte conditions de la tâche.

Après avoir examiné le dessin réalisé et se souvenant de toutes les propriétés d'un corps géométrique, nous arrivons au seul le droit chemin solutions. En appliquant la propriété 4 du parallélépipède, on obtient l'expression suivante :

Après des calculs simples, on obtient l'expression b2=169, donc b=13. La réponse à la tâche a été trouvée, cela ne devrait pas prendre plus de 5 minutes pour la rechercher et la dessiner.

Traduit de grec parallélogramme signifie plan. Un parallélépipède est un prisme dont la base est un parallélogramme. Il existe cinq types de parallélogrammes : parallélépipède oblique, droit et rectangle. Le cube et le rhomboèdre appartiennent aussi au parallélépipède et en sont la variété.

Avant de passer aux concepts de base, donnons quelques définitions :

• La diagonale d'un parallélépipède est un segment qui unit les sommets du parallélépipède opposés.
• Si deux faces ont une arête commune, nous pouvons les appeler arêtes adjacentes. S'il n'y a pas d'arête commune, alors les faces sont dites opposées.
• Deux sommets qui ne se trouvent pas sur la même face sont dits opposés.

Quelles sont les propriétés d'un parallélépipède ?

1. Les faces d'un parallélépipède situées sur des côtés opposés sont parallèles entre elles et égales entre elles.
2. Si vous dessinez des diagonales d'un sommet à un autre, le point d'intersection de ces diagonales les divisera en deux.
3. Les côtés d'un parallélépipède faisant le même angle avec la base seront égaux. En d'autres termes, les angles des côtés codirectionnels seront égaux entre eux.

Quels sont les types de parallélépipèdes ?

Voyons maintenant ce que sont les parallélépipèdes. Comme mentionné ci-dessus, il existe plusieurs types de cette figure: un parallélépipède droit, rectangle, oblique, ainsi qu'un cube et un rhomboèdre. Comment diffèrent-ils les uns des autres? Tout dépend des plans qui les forment et des angles qu'ils forment.

Examinons de plus près chacun des types de parallélépipèdes répertoriés.

• Comme son nom l'indique, une boîte inclinée a des faces inclinées, à savoir les faces qui ne forment pas un angle de 90 degrés par rapport à la base.
• Mais pour un parallélépipède droit, l'angle entre la base et la face n'est que de quatre-vingt-dix degrés. C'est pour cette raison que ce type de parallélépipède porte un tel nom.
• Si toutes les faces du parallélépipède sont les mêmes carrés, alors cette figure peut être considérée comme un cube.
• Le parallélépipède rectangle tire son nom des plans qui le forment. Si ce sont tous des rectangles (y compris la base), alors c'est un cuboïde. Ce type de parallélépipède n'est pas si courant. En grec, rhomboèdre signifie face ou base. C'est le nom d'une figure tridimensionnelle, dans laquelle les faces sont des losanges.

Formules de base pour un parallélépipède

Le volume d'un parallélépipède est égal au produit de l'aire de la base par sa hauteur perpendiculaire à la base.

L'aire de la surface latérale sera égale au produit du périmètre de la base et de la hauteur.
Connaissant les définitions et les formules de base, vous pouvez calculer la surface de base et le volume. Vous pouvez choisir la base de votre choix. Cependant, en règle générale, un rectangle est utilisé comme base.

Ou (de manière équivalente) un polyèdre à six faces et chacune d'elles - parallélogramme.

Types de boîte

Il existe plusieurs types de parallélépipèdes :

• Un cuboïde est un cuboïde dont les faces sont toutes des rectangles.
• Un parallélépipède droit est un parallélépipède dont les 4 faces latérales sont des rectangles.
• Une boîte oblique est une boîte dont les faces latérales ne sont pas perpendiculaires aux bases.

Principaux éléments

Deux faces d'un parallélépipède qui n'ont pas d'arête commune sont dites opposées, et celles qui ont une arête commune sont dites adjacentes. Deux sommets d'un parallélépipède qui n'appartiennent pas à la même face sont dits opposés. Le segment de droite reliant les sommets opposés est appelé la diagonale du parallélépipède. Les longueurs de trois arêtes d'un cuboïde qui ont un sommet commun sont appelées ses dimensions.

Propriétés

• Le parallélépipède est symétrique par rapport au milieu de sa diagonale.
• Tout segment dont les extrémités appartiennent à la surface du parallélépipède et passant par le milieu de sa diagonale est divisé par lui en deux ; en particulier, toutes les diagonales du parallélépipède se coupent en un point et le bissectent.
• Les faces opposées d'un parallélépipède sont parallèles et égales.
• Le carré de la longueur de la diagonale d'un cuboïde est égal à la somme des carrés de ses trois dimensions.

Formules de base

Parallélépipède droit

Surface latérale S b \u003d R o * h, où R o est le périmètre de la base, h est la hauteur

Superficie totale S p \u003d S b + 2S o, où S o est l'aire de la base

Volume V=S o *h

cuboïde

Surface latérale S b \u003d 2c (a + b), où a, b sont les côtés de la base, c est le bord latéral du parallélépipède rectangle

Superficie totale S p \u003d 2 (ab + bc + ac)

Volume V=abc, où a, b, c sont les dimensions du cuboïde.

cube

Superficie: $S=6a^2$
Volume: $V=a^3$, où $un$- le bord du cube.

Boîte arbitraire

Le volume et les rapports dans une boîte asymétrique sont souvent définis à l'aide de l'algèbre vectorielle. Le volume du parallélépipède est égal à la valeur absolue du produit mixte trois vecteurs, défini par les trois côtés du parallélépipède issus d'un sommet. Le rapport entre les longueurs des côtés du parallélépipède et les angles entre eux donne l'affirmation que le déterminant de Gram de ces trois vecteurs est égal au carré de leur produit mélangé :215 .

En analyse mathématique

À analyse mathematique sous un cuboïde à n dimensions $B$ comprendre de nombreux points $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$ gentil $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

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Remarques

Liens

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Un extrait caractérisant le Parallélépipède

- On dit que les rivaux se sont réconciliés grâce à l'angine... [On dit que les rivaux se sont réconciliés grâce à cette maladie.]
Le mot angine fut répété avec grand plaisir.
- Le vieux comte est touchant a ce qu'on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait dangereux. dit ce cas dangereux.]
Oh, ce serait une perte terrible. C "est une femme ravissante. [Oh, ce serait une grande perte. Une si belle femme.]
« Vous parlez de la pauvre comtesse », dit Anna Pavlovna en s'approchant. - J"ai envoyé le savoir de ses nouvelles. On m"a dit qu"elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c"est la plus charmante femme du monde, - dit Anna Pavlovna avec un sourire sur son enthousiasme. - Nous appartenons à des camps différents, mais cela ne m'empêche pas de l'estimer, comme elle le mérite. Elle est bien malheureuse, [Tu parles de la pauvre comtesse... que j'ai envoyée s'informer de sa santé. On m'a dit qu'elle allait un peu mieux. Oh, sans aucun doute, c'est la plus belle femme du monde. Nous appartenons à des camps différents, mais cela ne m'empêche pas de la respecter selon ses mérites. Elle est si malheureuse.] Anna Pavlovna a ajouté.
Estimant qu'avec ces mots, Anna Pavlovna a légèrement levé le voile du secret sur la maladie de la comtesse, un jeune homme insouciant s'est permis d'exprimer sa surprise que des médecins célèbres n'aient pas été appelés, mais un charlatan qui pouvait donner des moyens dangereux traitait la comtesse.
"Vos informations peuvent être meilleures que les miennes", a soudainement attaqué Anna Pavlovna à l'inexpérimenté un jeune homme. Mais je sais de bonne source que ce médecin est un homme très savant et très habile. C"est le medecin intime de la Reine d"Espagne. [Vos nouvelles sont peut-être plus précises que les miennes... mais je viens de bonnes sources Je sais que ce médecin est une personne très savante et compétente. C'est le médecin de la vie de la reine d'Espagne.] - Et détruisant ainsi le jeune homme, Anna Pavlovna se tourna vers Bilibin, qui dans un autre cercle, ramassant la peau et, apparemment, sur le point de la dissoudre, pour dire un mot, parla sur les Autrichiens.
- Je trouve que c'est charmant ! - il a dit à propos d'un papier diplomatique, sous lequel les bannières autrichiennes prises par Wittgenstein étaient envoyées à Vienne, le heros de Petropol [le héros de Petropolis] (comme il a été appelé à Pétersbourg).
- Comment, comment ça va ? Anna Pavlovna se tourna vers lui, suscitant le silence pour entendre mot, ce qu'elle savait déjà.
Et Bilibine répéta les paroles authentiques suivantes de la dépêche diplomatique qu'il avait rédigée :
- L "Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens," dit Bilibin, "drapes amis et egares qu" il a trouve hors de la route, fini Bilibin en desserrant la peau.
- Charmant, charmant, [Charmant, charmant,] - a déclaré le prince Vasily.
- C'est la route de Varsovie peut être, [C'est la route de Varsovie, peut-être.] - dit le prince Hippolyte à haute voix et de façon inattendue. joyeuse surprise autour de lui. Lui, comme d'autres, ne comprenait pas ce que signifiaient les mots qu'il prononçait. Au cours de sa carrière diplomatique, il a remarqué plus d'une fois que des mots soudainement prononcés de cette manière se sont avérés très spirituels, et juste au cas où, il dit ces mots: "Peut-être que ça se passera très bien", pensa-t-il, "mais si ce n'est pas le cas, ils pourront l'arranger là-bas." Anna Pavlovna, et elle, souriant et agitant son doigt vers Ippolit, invita le prince Vasily à la table, et, lui apportant deux bougies et un manuscrit, lui demanda de commencer.