Table d'angle trigonométrique complète. Sinus, cosinus, tangente et cotangente - tout ce que vous devez savoir pour l'OGE et l'USE
Les notions de sinus (), cosinus (), tangente (), cotangente () sont inextricablement liées à la notion d'angle. Afin de bien comprendre ces concepts, à première vue complexes (qui provoquent un état d'horreur chez de nombreux écoliers), et pour s'assurer que « le diable n'est pas aussi terrible qu'on le peint », commençons par le tout début et comprendre le concept d’angle.
Notion d'angle : radian, degré
Regardons la photo. Le vecteur a « tourné » par rapport au point d’un certain montant. Donc la mesure de cette rotation par rapport à la position initiale sera coin.
Que devez-vous savoir d’autre sur le concept d’angle ? Et bien sûr, les unités d'angle !
L'angle, tant en géométrie qu'en trigonométrie, peut être mesuré en degrés et en radians.
L'angle (un degré) est l'angle au centre d'un cercle sous-tendu par un arc de cercle égal à une partie du cercle. Ainsi, le cercle entier est constitué de « morceaux » d’arcs de cercle, ou l’angle décrit par le cercle est égal.
Autrement dit, la figure ci-dessus montre un angle égal à, c'est-à-dire que cet angle repose sur un arc de cercle de la taille de la circonférence.
Un angle en radians est l'angle au centre d'un cercle sous-tendu par un arc de cercle dont la longueur est égale au rayon du cercle. Eh bien, avez-vous compris ? Sinon, comprenons-le à partir du dessin.
Ainsi, la figure montre un angle égal à un radian, c'est-à-dire que cet angle repose sur un arc de cercle dont la longueur est égale au rayon du cercle (la longueur est égale à la longueur ou le rayon est égal au longueur de l'arc). Ainsi, la longueur de l'arc est calculée par la formule :
Où est l’angle central en radians.
Eh bien, sachant cela, pouvez-vous répondre combien de radians sont contenus dans l’angle décrit par le cercle ? Oui, pour cela, vous devez vous rappeler la formule de la circonférence. Elle est là:
Eh bien, corrélons maintenant ces deux formules et constatons que l’angle décrit par le cercle est égal. Autrement dit, en corrélant la valeur en degrés et en radians, nous obtenons cela. Respectivement, . Comme vous pouvez le constater, contrairement à « degrés », le mot « radian » est omis, car l'unité de mesure ressort généralement clairement du contexte.
Combien y a-t-il de radians ? C'est exact!
J'ai compris? Alors allez-y et corrigez-le :
Vous rencontrez des difficultés ? Alors regarde réponses:
Triangle rectangle : sinus, cosinus, tangente, cotangente d'un angle
Nous avons donc compris le concept d'angle. Mais qu’est-ce que le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d’un angle ? Voyons cela. Pour ce faire, un triangle rectangle nous aidera.
Comment s’appellent les côtés d’un triangle rectangle ? C'est vrai, l'hypoténuse et les jambes : l'hypoténuse est le côté qui se trouve à l'opposé de l'angle droit (dans notre exemple c'est le côté) ; les jambes sont les deux côtés restants et (ceux adjacents à l'angle droit), et si l'on considère les jambes par rapport à l'angle, alors la jambe est la jambe adjacente et la jambe est l'opposée. Alors maintenant, répondons à la question : que sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d’un angle ?
Sinus d'angle- c'est le rapport de la jambe opposée (éloignée) à l'hypoténuse.
Dans notre triangle.
Cosinus de l'angle- c'est le rapport entre la jambe adjacente (fermée) et l'hypoténuse.
Dans notre triangle.
Tangente de l'angle- c'est le rapport du côté opposé (éloigné) au côté adjacent (proche).
Dans notre triangle.
Cotangente d'angle- c'est le rapport entre la jambe adjacente (proche) et la jambe opposée (éloignée).
Dans notre triangle.
Ces définitions sont nécessaires souviens-toi! Pour qu'il soit plus facile de se rappeler quelle jambe diviser en quoi, vous devez clairement comprendre que dans tangente Et cotangente seules les jambes sont assises et l'hypoténuse n'apparaît que dans sinus Et cosinus. Et puis vous pouvez créer une chaîne d’associations. Par exemple, celui-ci :
Cosinus → toucher → toucher → adjacent ;
Cotangente → toucher → toucher → adjacent.
Tout d'abord, vous devez vous rappeler que le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente, comme les rapports des côtés d'un triangle, ne dépendent pas des longueurs de ces côtés (au même angle). Ne crois pas? Assurez-vous ensuite en regardant la photo :
Prenons par exemple le cosinus d’un angle. Par définition, à partir d'un triangle : , mais on peut calculer le cosinus d'un angle à partir d'un triangle : . Vous voyez, les longueurs des côtés sont différentes, mais la valeur du cosinus d'un angle est la même. Ainsi, les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente dépendent uniquement de la grandeur de l'angle.
Si vous comprenez les définitions, alors allez-y et consolidez-les !
Pour le triangle représenté dans la figure ci-dessous, nous trouvons.
Eh bien, tu l'as eu ? Alors essayez-le vous-même : calculez la même chose pour l’angle.
Cercle unitaire (trigonométrique)
Comprenant les notions de degré et de radian, nous avons considéré un cercle de rayon égal à. Un tel cercle s'appelle célibataire. Ce sera très utile lors de l’étude de la trigonométrie. Par conséquent, regardons-le un peu plus en détail.
Comme vous pouvez le voir, ce cercle est construit dans le système de coordonnées cartésiennes. Le rayon du cercle est égal à un, tandis que le centre du cercle se trouve à l'origine des coordonnées, la position initiale du vecteur rayon est fixée le long de la direction positive de l'axe (dans notre exemple, il s'agit du rayon).
Chaque point du cercle correspond à deux nombres : la coordonnée de l'axe et la coordonnée de l'axe. Quels sont ces numéros de coordonnées ? Et de manière générale, qu’ont-ils à voir avec le sujet abordé ? Pour ce faire, nous devons nous souvenir du triangle rectangle considéré. Dans la figure ci-dessus, vous pouvez voir deux triangles rectangles entiers. Considérons un triangle. Il est rectangulaire car perpendiculaire à l’axe.
A quoi est égal le triangle ? C'est exact. De plus, nous savons qu’il s’agit du rayon du cercle unité, ce qui signifie . Remplaçons cette valeur dans notre formule du cosinus. Voici ce qui se passe :
A quoi est égal le triangle ? Oui bien sur, ! Remplacez la valeur du rayon dans cette formule et obtenez :
Alors, pouvez-vous dire quelles sont les coordonnées d’un point appartenant à un cercle ? Eh bien, pas question ? Et si vous vous rendiez compte de cela et que vous n’étiez que des chiffres ? A quelle coordonnée correspond-il ? Et bien sûr, les coordonnées ! Et à quelle coordonnée correspond-elle ? C'est vrai, les coordonnées ! Donc point final.
À quoi valent donc et sont égaux ? C'est vrai, utilisons les définitions correspondantes de tangente et de cotangente et obtenons cela, a.
Et si l'angle est plus grand ? Par exemple, comme sur cette photo :
Qu'est-ce qui a changé dans cet exemple ? Voyons cela. Pour ce faire, revenons à un triangle rectangle. Considérons un triangle rectangle : angle (comme adjacent à un angle). Quelles sont les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente pour un angle ? C'est vrai, nous adhérons aux définitions correspondantes des fonctions trigonométriques :
Eh bien, comme vous pouvez le constater, la valeur du sinus de l'angle correspond toujours à la coordonnée ; la valeur du cosinus de l'angle - la coordonnée ; et les valeurs de tangente et de cotangente aux rapports correspondants. Ainsi, ces relations s’appliquent à toute rotation du rayon vecteur.
Il a déjà été mentionné que la position initiale du rayon vecteur se situe dans la direction positive de l’axe. Jusqu’à présent, nous avons fait pivoter ce vecteur dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, mais que se passe-t-il si nous le faisons pivoter dans le sens des aiguilles d’une montre ? Rien d'extraordinaire, vous obtiendrez aussi un angle d'une certaine valeur, mais seulement il sera négatif. Ainsi, en faisant tourner le rayon vecteur dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, nous obtenons angles positifs, et en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre - négatif.
Ainsi, nous savons qu’une révolution entière du rayon vecteur autour d’un cercle est ou. Est-il possible de faire pivoter le rayon vecteur vers ou vers ? Bien sûr que tu peux! Dans le premier cas, le rayon vecteur fera donc un tour complet et s'arrêtera en position ou.
Dans le deuxième cas, c'est-à-dire que le rayon vecteur fera trois tours complets et s'arrêtera en position ou.
Ainsi, à partir des exemples ci-dessus, nous pouvons conclure que les angles qui diffèrent par ou (où est un nombre entier) correspondent à la même position du rayon vecteur.
La figure ci-dessous montre un angle. La même image correspond au coin, etc. Cette liste peut être poursuivie indéfiniment. Tous ces angles peuvent être écrits par la formule générale ou (où est un nombre entier)
Maintenant, connaissant les définitions des fonctions trigonométriques de base et en utilisant le cercle unité, essayez de répondre quelles sont les valeurs :
Voici un cercle unitaire pour vous aider :
Vous rencontrez des difficultés ? Alors découvrons-le. Nous savons donc que :
A partir de là, on détermine les coordonnées des points correspondant à certaines mesures d'angle. Bon, commençons dans l'ordre : l'angle à correspond à un point avec des coordonnées, donc :
N'existe pas;
De plus, en adhérant à la même logique, nous découvrons que les coins correspondent respectivement à des points avec des coordonnées. Sachant cela, il est facile de déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques aux points correspondants. Essayez-le vous-même d'abord, puis vérifiez les réponses.
Réponses:
N'existe pas
N'existe pas
N'existe pas
N'existe pas
Ainsi, nous pouvons faire le tableau suivant :
Il n’est pas nécessaire de mémoriser toutes ces valeurs. Il suffit de rappeler la correspondance entre les coordonnées des points sur le cercle unité et les valeurs des fonctions trigonométriques :
Mais les valeurs des fonctions trigonométriques des angles dans et, données dans le tableau ci-dessous, il faut se souvenir:
N'ayez pas peur, nous allons maintenant vous montrer un exemple assez simple pour retenir les valeurs correspondantes:
Pour utiliser cette méthode, il est essentiel de mémoriser les valeurs du sinus pour les trois mesures d'angle (), ainsi que la valeur de la tangente de l'angle. Connaissant ces valeurs, il est assez simple de restituer l'intégralité du tableau - les valeurs du cosinus sont transférées conformément aux flèches, soit :
Sachant cela, vous pouvez restaurer les valeurs de. Le numérateur " " correspondra et le dénominateur " " correspondra. Les valeurs cotangentes sont transférées conformément aux flèches indiquées sur la figure. Si vous comprenez cela et que vous vous souvenez du diagramme avec les flèches, il suffira alors de mémoriser toutes les valeurs du tableau.
Coordonnées d'un point sur un cercle
Est-il possible de trouver un point (ses coordonnées) sur un cercle, connaître les coordonnées du centre du cercle, son rayon et son angle de rotation?
Bien sûr que tu peux! Sortons-le formule générale pour trouver les coordonnées d'un point.
Par exemple, voici un cercle devant nous :
On nous dit que le point est le centre du cercle. Le rayon du cercle est égal. Il faut trouver les coordonnées d'un point obtenues en faisant pivoter le point de degrés.
Comme le montre la figure, la coordonnée du point correspond à la longueur du segment. La longueur du segment correspond à la coordonnée du centre du cercle, c'est-à-dire qu'elle est égale. La longueur d'un segment peut être exprimée en utilisant la définition du cosinus :
Ensuite, nous avons cela pour la coordonnée du point.
En utilisant la même logique, nous trouvons la valeur de coordonnée y du point. Ainsi,
Ainsi, en général, les coordonnées des points sont déterminées par les formules :
Coordonnées du centre du cercle,
Rayon du cercle,
L'angle de rotation du rayon vectoriel.
Comme vous pouvez le constater, pour le cercle unité que nous considérons, ces formules sont considérablement réduites, puisque les coordonnées du centre sont égales à zéro et le rayon est égal à un :
Eh bien, essayons ces formules en nous entraînant à trouver des points sur un cercle ?
1. Trouvez les coordonnées d'un point sur le cercle unité obtenu en faisant pivoter le point.
2. Trouvez les coordonnées d'un point sur le cercle unité obtenu en faisant pivoter le point.
3. Trouvez les coordonnées d'un point sur le cercle unité obtenu en faisant pivoter le point.
4. Le point est le centre du cercle. Le rayon du cercle est égal. Il faut retrouver les coordonnées du point obtenu en faisant tourner le rayon vecteur initial de.
5. Le point est le centre du cercle. Le rayon du cercle est égal. Il faut retrouver les coordonnées du point obtenu en faisant tourner le rayon vecteur initial de.
Vous avez du mal à trouver les coordonnées d'un point sur un cercle ?
Résolvez ces cinq exemples (ou apprenez à les résoudre) et vous apprendrez à les trouver !
1.
Vous pouvez le remarquer. Mais on sait ce qui correspond à une révolution complète du point de départ. Ainsi, le point souhaité sera dans la même position que lors du virage. Sachant cela, on trouve les coordonnées recherchées du point :
2. Le cercle unité est centré en un point, ce qui signifie que nous pouvons utiliser des formules simplifiées :
Vous pouvez le remarquer. On sait ce qui correspond à deux tours complets du point de départ. Ainsi, le point souhaité sera dans la même position que lors du virage. Sachant cela, on trouve les coordonnées recherchées du point :
Le sinus et le cosinus sont des valeurs de tableau. Nous rappelons leurs significations et obtenons :
Ainsi, le point souhaité possède des coordonnées.
3. Le cercle unité est centré en un point, ce qui signifie que nous pouvons utiliser des formules simplifiées :
Vous pouvez le remarquer. Représentons l'exemple en question dans la figure :
Le rayon fait des angles égaux à et avec l'axe. Sachant que les valeurs du tableau du cosinus et du sinus sont égales, et ayant déterminé que le cosinus prend ici une valeur négative et que le sinus prend une valeur positive, nous avons :
De tels exemples sont discutés plus en détail lors de l'étude des formules de réduction des fonctions trigonométriques dans le sujet.
Ainsi, le point souhaité possède des coordonnées.
4.
Angle de rotation du rayon du vecteur (par condition)
Pour déterminer les signes correspondants du sinus et du cosinus, nous construisons un cercle et un angle unitaires :
Comme vous pouvez le voir, la valeur est positive et la valeur est négative. Connaissant les valeurs tabulaires des fonctions trigonométriques correspondantes, on obtient que :
Remplaçons les valeurs obtenues dans notre formule et trouvons les coordonnées :
Ainsi, le point souhaité possède des coordonnées.
5. Pour résoudre ce problème, nous utilisons des formules sous forme générale, où
Coordonnées du centre du cercle (dans notre exemple,
Rayon du cercle (par condition)
Angle de rotation du rayon du vecteur (par condition).
Remplaçons toutes les valeurs dans la formule et obtenons :
et - les valeurs du tableau. Rappelons-les et substituons-les dans la formule :
Ainsi, le point souhaité possède des coordonnées.
RÉSUMÉ ET FORMULES DE BASE
Le sinus d'un angle est le rapport entre la jambe opposée (lointaine) et l'hypoténuse.
Le cosinus d'un angle est le rapport entre la jambe adjacente (fermée) et l'hypoténuse.
La tangente d'un angle est le rapport entre le côté opposé (éloigné) et le côté adjacent (proche).
La cotangente d'un angle est le rapport entre le côté adjacent (proche) et le côté opposé (éloigné).
Au Ve siècle avant JC, l'ancien philosophe grec Zénon d'Élée formula ses célèbres apories, dont la plus célèbre est l'aporie « Achille et la tortue ». Voici à quoi cela ressemble :Disons qu'Achille court dix fois plus vite que la tortue et se trouve mille pas derrière elle. Pendant le temps qu'il faudra à Achille pour parcourir cette distance, la tortue fera cent pas dans la même direction. Quand Achille fait cent pas, la tortue rampe encore dix pas, et ainsi de suite. Le processus se poursuivra à l'infini, Achille ne rattrapera jamais la tortue.
Ce raisonnement est devenu un choc logique pour toutes les générations suivantes. Aristote, Diogène, Kant, Hegel, Hilbert... Tous ont considéré, d'une manière ou d'une autre, l'aporie de Zénon. Le choc a été si fort que " ... les discussions se poursuivent à ce jour ; la communauté scientifique n'a pas encore réussi à se mettre d'accord sur l'essence des paradoxes... l'analyse mathématique, la théorie des ensembles, de nouvelles approches physiques et philosophiques ont été impliquées dans l'étude de la question. ; aucun d'entre eux n'est devenu une solution généralement acceptée au problème..."[Wikipédia, "L'aporie de Zeno". Tout le monde comprend qu'on se laisse berner, mais personne ne comprend en quoi consiste la tromperie.
D'un point de vue mathématique, Zénon dans son aporie a clairement démontré le passage de la quantité à . Cette transition implique des applications plutôt que des applications permanentes. D’après ce que je comprends, l’appareil mathématique permettant d’utiliser des unités de mesure variables n’a pas encore été développé, ou bien il n’a pas été appliqué à l’aporie de Zénon. Appliquer notre logique habituelle nous conduit dans un piège. En raison de l'inertie de la pensée, nous appliquons des unités de temps constantes à la valeur réciproque. D'un point de vue physique, cela ressemble à un temps qui ralentit jusqu'à s'arrêter complètement au moment où Achille rattrape la tortue. Si le temps s'arrête, Achille ne peut plus distancer la tortue.
Si l’on renverse notre logique habituelle, tout se met en place. Achille court à une vitesse constante. Chaque segment suivant de son chemin est dix fois plus court que le précédent. Ainsi, le temps consacré à le surmonter est dix fois inférieur au précédent. Si nous appliquons le concept « d'infini » dans cette situation, alors il serait correct de dire « Achille rattrapera la tortue infiniment rapidement ».
Comment éviter ce piège logique ? Restez en unités de temps constantes et ne passez pas aux unités réciproques. Dans la langue de Zeno, cela ressemble à ceci :
Le temps qu'il faut à Achille pour faire mille pas, la tortue rampera cent pas dans la même direction. Au cours du prochain intervalle de temps égal au premier, Achille fera encore mille pas et la tortue rampera cent pas. Achille a désormais huit cents longueurs d'avance sur la tortue.
Cette approche décrit adéquatement la réalité sans aucun paradoxe logique. Mais cela ne constitue pas une solution complète au problème. La déclaration d’Einstein sur l’irrésistibilité de la vitesse de la lumière est très similaire à l’aporie de Zénon « Achille et la tortue ». Nous devons encore étudier, repenser et résoudre ce problème. Et la solution ne doit pas être recherchée en nombres infiniment grands, mais en unités de mesure.
Une autre aporie intéressante de Zénon parle d'une flèche volante :
Une flèche volante est immobile, puisqu'à tout instant elle est au repos, et puisqu'elle est au repos à tout instant, elle est toujours au repos.
Dans cette aporie, le paradoxe logique est surmonté très simplement - il suffit de préciser qu'à chaque instant une flèche volante est au repos en différents points de l'espace, ce qui, en fait, est un mouvement. Un autre point doit être souligné ici. À partir d'une photographie d'une voiture sur la route, il est impossible de déterminer ni le fait de son mouvement ni la distance qui la sépare. Pour déterminer si une voiture bouge, vous avez besoin de deux photographies prises du même point à des moments différents, mais vous ne pouvez pas déterminer la distance qui les sépare. Pour déterminer la distance jusqu'à une voiture, vous avez besoin de deux photographies prises à partir de différents points de l'espace à un moment donné, mais à partir d'elles, vous ne pouvez pas déterminer le fait du mouvement (bien sûr, vous avez toujours besoin de données supplémentaires pour les calculs, la trigonométrie vous aidera ). Ce sur quoi je souhaite attirer particulièrement l’attention, c’est que deux points dans le temps et deux points dans l’espace sont des choses différentes qu’il ne faut pas confondre, car ils offrent des opportunités de recherche différentes.
mercredi 4 juillet 2018
Les différences entre set et multiset sont très bien décrites sur Wikipédia. Voyons.
Comme vous pouvez le voir, « il ne peut pas y avoir deux éléments identiques dans un ensemble », mais s'il y a des éléments identiques dans un ensemble, un tel ensemble est appelé « multiensemble ». Les êtres raisonnables ne comprendront jamais une logique aussi absurde. C'est le niveau des perroquets parlants et des singes dressés, qui n'ont aucune intelligence du mot « complètement ». Les mathématiciens agissent comme de simples formateurs, nous prêchant leurs idées absurdes.
Il était une fois les ingénieurs qui ont construit le pont se trouvaient dans un bateau sous le pont pendant qu'ils testaient le pont. Si le pont s'effondrait, l'ingénieur médiocre mourait sous les décombres de sa création. Si le pont pouvait résister à la charge, le talentueux ingénieur construisait d'autres ponts.
Peu importe la manière dont les mathématiciens se cachent derrière l’expression « attention, je suis à la maison » ou plutôt « les mathématiques étudient les concepts abstraits », il existe un cordon ombilical qui les relie inextricablement à la réalité. Ce cordon ombilical, c'est de l'argent. Appliquons la théorie mathématique des ensembles aux mathématiciens eux-mêmes.
Nous avons très bien étudié les mathématiques et maintenant nous sommes assis à la caisse et distribuons les salaires. Alors un mathématicien vient nous voir pour son argent. Nous lui comptons le montant total et le disposons sur notre table en différentes piles, dans lesquelles nous mettons des billets de même valeur. Ensuite, nous prenons une facture de chaque pile et donnons au mathématicien son « salaire mathématique ». Expliquons au mathématicien qu'il ne recevra les factures restantes que lorsqu'il prouvera qu'un ensemble sans éléments identiques n'est pas égal à un ensemble avec des éléments identiques. C'est là que le plaisir commence.
Tout d’abord, la logique des députés fonctionnera : « Cela peut s’appliquer aux autres, mais pas à moi ! Ensuite, ils commenceront à nous rassurer sur le fait que les billets de même valeur ont des numéros de billets différents, ce qui signifie qu'ils ne peuvent pas être considérés comme les mêmes éléments. D'accord, comptons les salaires en pièces - il n'y a pas de chiffres sur les pièces. Ici, le mathématicien commencera à se souvenir frénétiquement de la physique : différentes pièces de monnaie ont différentes quantités de saleté, la structure cristalline et la disposition des atomes sont uniques pour chaque pièce...
Et maintenant j'ai la question la plus intéressante : où est la ligne au-delà de laquelle les éléments d'un multiset se transforment en éléments d'un ensemble et vice versa ? Une telle ligne n'existe pas - tout est décidé par les chamans, la science n'est même pas près de mentir ici.
Regardez ici. Nous sélectionnons des stades de football ayant la même superficie de terrain. Les zones des champs sont les mêmes, ce qui signifie que nous avons un multiset. Mais si on regarde les noms de ces mêmes stades, on en trouve beaucoup, car les noms sont différents. Comme vous pouvez le constater, le même ensemble d’éléments est à la fois un ensemble et un multiensemble. Qui est correct? Et ici, le mathématicien-chaman-aiguiseur sort un as d'atout de sa manche et commence à nous parler soit d'un ensemble, soit d'un multiensemble. En tout cas, il nous convaincra qu’il a raison.
Pour comprendre comment les chamanes modernes opèrent avec la théorie des ensembles, en la liant à la réalité, il suffit de répondre à une question : en quoi les éléments d'un ensemble diffèrent-ils des éléments d'un autre ensemble ? Je vais vous le montrer, sans aucun « concevable comme un tout unique » ou « non concevable comme un tout unique ».
dimanche 18 mars 2018
La somme des chiffres d’un nombre est une danse de chamanes avec un tambourin, qui n’a rien à voir avec les mathématiques. Oui, dans les cours de mathématiques, on nous apprend à trouver la somme des chiffres d’un nombre et à l’utiliser, mais c’est pourquoi ils sont chamanes, pour enseigner à leurs descendants leurs compétences et leur sagesse, sinon les chamanes disparaîtront tout simplement.
Avez-vous besoin d'une preuve ? Ouvrez Wikipédia et essayez de trouver la page "Somme des chiffres d'un nombre". Elle n'existe pas. Il n’existe aucune formule mathématique permettant de calculer la somme des chiffres d’un nombre quelconque. Après tout, les nombres sont des symboles graphiques avec lesquels nous écrivons des nombres, et dans le langage mathématique, la tâche ressemble à ceci : « Trouvez la somme des symboles graphiques représentant n'importe quel nombre ». Les mathématiciens ne peuvent pas résoudre ce problème, mais les chamanes peuvent le faire facilement.
Voyons quoi et comment nous faisons pour trouver la somme des chiffres d'un nombre donné. Et donc, ayons le nombre 12345. Que faut-il faire pour trouver la somme des chiffres de ce nombre ? Considérons toutes les étapes dans l'ordre.
1. Notez le numéro sur une feuille de papier. Qu'avons-nous fait? Nous avons converti le nombre en un symbole numérique graphique. Ce n'est pas une opération mathématique.
2. Nous découpons une image résultante en plusieurs images contenant des numéros individuels. Découper une image n’est pas une opération mathématique.
3. Convertissez des symboles graphiques individuels en nombres. Ce n'est pas une opération mathématique.
4. Ajoutez les nombres résultants. Maintenant, ce sont des mathématiques.
La somme des chiffres du nombre 12345 est 15. Ce sont les « cours de coupe et de couture » dispensés par les chamanes et utilisés par les mathématiciens. Mais ce n'est pas tout.
D'un point de vue mathématique, peu importe dans quel système numérique nous écrivons un nombre. Ainsi, dans différents systèmes numériques, la somme des chiffres d’un même nombre sera différente. En mathématiques, le système numérique est indiqué en indice à droite du nombre. Avec le grand nombre 12345, je ne veux pas me tromper, considérons le nombre 26 de l'article sur. Écrivons ce nombre dans les systèmes numériques binaires, octaux, décimaux et hexadécimaux. Nous n’examinerons pas chaque étape au microscope ; nous l’avons déjà fait. Regardons le résultat.
Comme vous pouvez le constater, dans différents systèmes numériques, la somme des chiffres d'un même nombre est différente. Ce résultat n'a rien à voir avec les mathématiques. C’est comme si vous déterminiez l’aire d’un rectangle en mètres et en centimètres, vous obtiendriez des résultats complètement différents.
Le zéro se ressemble dans tous les systèmes numériques et n’a pas de somme de chiffres. C'est un autre argument en faveur du fait que. Question pour les mathématiciens : comment désigne-t-on en mathématiques quelque chose qui n'est pas un nombre ? Quoi, pour les mathématiciens, rien n’existe à part les nombres ? Je peux autoriser cela pour les chamanes, mais pas pour les scientifiques. La réalité n’est pas qu’une question de chiffres.
Le résultat obtenu doit être considéré comme la preuve que les systèmes numériques sont des unités de mesure des nombres. Après tout, nous ne pouvons pas comparer des nombres avec des unités de mesure différentes. Si les mêmes actions avec différentes unités de mesure d’une même quantité conduisent à des résultats différents après les avoir comparées, cela n’a rien à voir avec les mathématiques.
Que sont les vraies mathématiques ? C'est alors que le résultat d'une opération mathématique ne dépend pas de la taille du nombre, de l'unité de mesure utilisée et de la personne qui effectue cette action.
Oh! Ce n'est pas les toilettes des femmes ?
- Jeune femme! Il s'agit d'un laboratoire pour l'étude de la sainteté indéphilique des âmes lors de leur ascension au ciel ! Halo en haut et flèche vers le haut. Quelles autres toilettes ?
Femelle... Le halo en haut et la flèche vers le bas sont masculins.
Si une telle œuvre d'art du design clignote devant vos yeux plusieurs fois par jour,
Il n’est alors pas surprenant que vous trouviez soudainement une étrange icône dans votre voiture :
Personnellement, je m'efforce de voir moins quatre degrés chez une personne qui fait caca (une image) (une composition de plusieurs images : un signe moins, le chiffre quatre, une désignation de degrés). Et je ne pense pas que cette fille soit une idiote qui ne connaît pas la physique. Elle a juste un fort stéréotype de perception des images graphiques. Et les mathématiciens nous l’enseignent tout le temps. Voici un exemple.
1A n’est pas « moins quatre degrés » ou « un a ». Il s’agit de « l’homme qui fait caca » ou du nombre « vingt-six » en notation hexadécimale. Les personnes qui travaillent constamment dans ce système numérique perçoivent automatiquement un chiffre et une lettre comme un seul symbole graphique.
Dans l'article, nous comprendrons parfaitement à quoi cela ressemble tableau des valeurs trigonométriques, sinus, cosinus, tangente et cotangente. Considérons la signification fondamentale des fonctions trigonométriques, sous un angle de 0,30,45,60,90,...,360 degrés. Et voyons comment utiliser ces tableaux pour calculer les valeurs des fonctions trigonométriques.
Regardons d'abord table de cosinus, sinus, tangente et cotangente sous un angle de 0, 30, 45, 60, 90,... degrés. La définition de ces grandeurs permet de déterminer la valeur des fonctions des angles de 0 et 90 degrés :
sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 00 = 0, la cotangente de 00 sera indéfinie
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0, la tangente à partir de 90 0 sera incertaine
Si vous prenez des triangles rectangles dont les angles vont de 30 à 90 degrés. On a:
sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tan 30 0 = √3/3, cos 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tan 45 0 = 1, cos 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3, lit bébé 60 0 = √3/3
Représentons toutes les valeurs obtenues sous la forme table trigonométrique:
Tableau des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes !
Si nous utilisons la formule de réduction, notre tableau augmentera en ajoutant des valeurs pour des angles jusqu'à 360 degrés. Cela ressemblera à :
De plus, en fonction des propriétés de périodicité, le tableau peut être augmenté si nous remplaçons les angles par 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z, dans lequel z est un nombre entier. Dans ce tableau, il est possible de calculer la valeur de tous les angles correspondant aux points d'un même cercle.
Voyons comment utiliser le tableau dans une solution.
Tout est très simple. Puisque la valeur dont nous avons besoin se situe au point d’intersection des cellules dont nous avons besoin. Par exemple, prenons le cosinus d'un angle de 60 degrés, dans le tableau cela ressemblera à :
Dans le tableau final des principales valeurs des fonctions trigonométriques, on procède de la même manière. Mais dans ce tableau, il est possible de savoir quelle est la tangente d'un angle de 1020 degrés, elle = -√3 Vérifions 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Trouvons-le à l'aide du tableau.
Table Bradis. Pour sinus, cosinus, tangente et cotangente.
Les tables de Bradis sont divisées en plusieurs parties, constituées de tables de cosinus et de sinus, de tangente et de cotangente - qui sont divisées en deux parties (tg des angles jusqu'à 90 degrés et ctg des petits angles).
Sinus et cosinus
tg d'angle commençant par 00 se terminant par 760, ctg d'angle commençant par 140 se terminant par 900.
tg jusqu'à 900 et ctg des petits angles.
Voyons comment utiliser les tables de Bradis pour résoudre des problèmes.
Trouvons la désignation sin (désignation dans la colonne du bord gauche) 42 minutes (la désignation est sur la ligne du haut). Par intersection on cherche la désignation, elle = 0,3040.
Les valeurs des minutes sont indiquées avec un intervalle de six minutes, que faire si la valeur dont nous avons besoin se situe exactement dans cet intervalle. Prenons 44 minutes, mais il n'y en a que 42 dans le tableau. On prend 42 comme base et on utilise les colonnes supplémentaires du côté droit, on prend le 2ème amendement et on ajoute à 0,3040 + 0,0006 on obtient 0,3046.
Avec sin 47 minutes, on prend 48 minutes comme base et on en soustrait 1 correction, soit 0,3057 - 0,0003 = 0,3054
Lors du calcul du cos, nous travaillons de la même manière que le péché, sauf que nous prenons comme base la ligne du bas du tableau. Par exemple cos 20 0 = 0,9397
Les valeurs de l'angle tg jusqu'à 90 0 et du cot d'un petit angle sont correctes et ne contiennent aucune correction. Par exemple, trouvez tg 78 0 37min = 4,967 
et ctg 20 0 13min = 25,83 
Eh bien, nous avons examiné les tables trigonométriques de base. Nous espérons que ces informations vous ont été extrêmement utiles. Si vous avez des questions sur les tableaux, n'hésitez pas à les écrire dans les commentaires !
Remarque : Les pare-chocs muraux sont des panneaux pare-chocs destinés à protéger les murs. Suivez le lien sur les pare-chocs muraux sans cadre (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/) et découvrez-en plus.
Nous commencerons notre étude de la trigonométrie par le triangle rectangle. Définissons ce que sont le sinus et le cosinus, ainsi que la tangente et la cotangente d'un angle aigu. Ce sont les bases de la trigonométrie.
Rappelons que angle droit est un angle égal à 90 degrés. En d’autres termes, un demi-angle tourné.
Angle vif- moins de 90 degrés.
Angle obtus- supérieur à 90 degrés. Par rapport à un tel angle, « obtus » n'est pas une insulte, mais un terme mathématique :-)
Traçons un triangle rectangle. Un angle droit est généralement noté . Veuillez noter que le côté opposé au coin est indiqué par la même lettre, seulement en petite. Ainsi, le côté opposé à l'angle A est désigné .
L'angle est indiqué par la lettre grecque correspondante.
Hypoténuse d'un triangle rectangle est le côté opposé à l'angle droit.
Jambes- les côtés opposés aux angles aigus.
La jambe située à l'opposé de l'angle s'appelle opposé(par rapport à l'angle). L'autre jambe, qui se trouve sur l'un des côtés de l'angle, s'appelle adjacent.
Sinus L'angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse :
Cosinus angle aigu dans un triangle rectangle - le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse :
Tangente angle aigu dans un triangle rectangle - le rapport du côté opposé au côté adjacent :
Autre définition (équivalente) : la tangente d'un angle aigu est le rapport du sinus de l'angle à son cosinus :
Cotangente angle aigu dans un triangle rectangle - le rapport du côté adjacent au côté opposé (ou, ce qui revient au même, le rapport du cosinus au sinus) :
Notez les relations de base pour le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente ci-dessous. Ils nous seront utiles pour résoudre des problèmes.
Prouvons-en quelques-uns.
D'accord, nous avons donné des définitions et des formules écrites. Mais pourquoi avons-nous encore besoin de sinus, cosinus, tangente et cotangente ?
Nous savons que la somme des angles de tout triangle est égale à.
Nous connaissons la relation entre des soirées triangle rectangle. C'est le théorème de Pythagore : .
Il s'avère qu'en connaissant deux angles dans un triangle, vous pouvez trouver le troisième. Connaissant les deux côtés d’un triangle rectangle, vous pouvez trouver le troisième. Cela signifie que les angles ont leur propre rapport et que les côtés ont le leur. Mais que faire si dans un triangle rectangle vous connaissez un angle (sauf l'angle droit) et un côté, mais que vous devez trouver les autres côtés ?
C’est ce que les gens rencontraient autrefois lorsqu’ils dressaient des cartes de la région et du ciel étoilé. Après tout, il n’est pas toujours possible de mesurer directement tous les côtés d’un triangle.
Sinus, cosinus et tangente - on les appelle aussi fonctions d'angle trigonométrique- donner des relations entre des soirées Et coins Triangle. Connaissant l'angle, vous pouvez retrouver toutes ses fonctions trigonométriques à l'aide de tableaux spéciaux. Et connaissant les sinus, cosinus et tangentes des angles d’un triangle et d’un de ses côtés, vous pouvez trouver le reste.
Nous dresserons également un tableau des valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente pour les « bons » angles de à.
Veuillez noter les deux tirets rouges dans le tableau. Aux valeurs d'angle appropriées, la tangente et la cotangente n'existent pas.
Examinons plusieurs problèmes de trigonométrie de la banque de tâches FIPI.
1. Dans un triangle, l’angle est , . Trouver .
Le problème est résolu en quatre secondes.
Parce que le , .
2. Dans un triangle, l'angle est , , . Trouver .
Trouvons-le en utilisant le théorème de Pythagore.
Le problème est résolu.
Souvent, dans les problèmes, il y a des triangles avec des angles et ou avec des angles et. Retenez par cœur les ratios de base pour eux !
Pour un triangle avec des angles et la branche opposée à l'angle en est égale à la moitié de l'hypoténuse.
Un triangle avec des angles et est isocèle. Dans celui-ci, l'hypoténuse est plusieurs fois plus grande que la jambe.
Nous avons examiné des problèmes pour résoudre des triangles rectangles, c'est-à-dire trouver des côtés ou des angles inconnus. Mais ce n'est pas tout! Il existe de nombreux problèmes dans l'examen d'État unifié en mathématiques qui impliquent le sinus, le cosinus, la tangente ou la cotangente d'un angle externe d'un triangle. Plus d’informations à ce sujet dans le prochain article.
Données de référence pour la tangente (tg x) et la cotangente (ctg x). Définition géométrique, propriétés, graphiques, formules. Tableau des tangentes et cotangentes, dérivées, intégrales, développements en séries. Expressions via des variables complexes. Connexion avec les fonctions hyperboliques.
Définition géométrique
|BD| - longueur de l'arc de cercle de centre au point A.
α est l'angle exprimé en radians.
Tangente ( bronzage α) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égal au rapport de la longueur de la branche opposée |BC| à la longueur de la jambe adjacente |AB| .
Cotangente ( ctg α) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égal au rapport de la longueur de la branche adjacente |AB| à la longueur de la jambe opposée |BC| .
Tangente
Où n- entier.
Dans la littérature occidentale, la tangente est notée comme suit :
.
;
;
.
Graphique de la fonction tangente, y = tan x
Cotangente
Où n- entier.
Dans la littérature occidentale, la cotangente est notée comme suit :
.
Les notations suivantes sont également acceptées :
;
;
.
Graphique de la fonction cotangente, y = ctg x
Propriétés de la tangente et de la cotangente
Périodicité
Fonctions y = tgx et y = ctg x sont périodiques de période π.
Parité
Les fonctions tangente et cotangente sont impaires.
Zones de définition et de valeurs, croissantes, décroissantes
Les fonctions tangente et cotangente sont continues dans leur domaine de définition (voir preuve de continuité). Les principales propriétés de la tangente et de la cotangente sont présentées dans le tableau ( n- entier).
| y= tgx | y= ctg x | |
| Portée et continuité | ||
| Plage de valeurs | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| En augmentant | - | |
| Descendant | - | |
| Extrêmes | - | - |
| Des zéros, y = 0 | ||
| Intercepter les points avec l'axe des ordonnées, x = 0 | y= 0 | - |
Formules
Expressions utilisant le sinus et le cosinus
;
;
;
;
;
Formules pour la tangente et la cotangente de la somme et de la différence
Les formules restantes sont faciles à obtenir, par exemple
Produit de tangentes
Formule pour la somme et la différence des tangentes
Ce tableau présente les valeurs des tangentes et des cotangentes pour certaines valeurs de l'argument. 
Expressions utilisant des nombres complexes
Expressions via des fonctions hyperboliques
;
;
Dérivés
; .
.
Dérivée du nième ordre par rapport à la variable x de la fonction :
.
Dériver des formules pour la tangente > > > ; pour cotangente > > >
Intégrales
Extensions de série
Pour obtenir le développement de la tangente en puissances de x, il faut prendre plusieurs termes du développement en série entière pour les fonctions péché x Et parce que x et divisez ces polynômes les uns par les autres, . Cela produit les formules suivantes.
À .
à .
Où Bn- Les nombres de Bernoulli. Ils sont déterminés soit à partir de la relation de récurrence :
;
;
Où .
Ou selon la formule de Laplace : 
Fonctions inverses
Les fonctions inverses de tangente et de cotangente sont respectivement arctangente et arccotangente.
Arctangente, arctg
, Où n- entier.
Arccotangente, arcctg
, Où n- entier.
Les références:
DANS. Bronstein, KA. Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.
G. Korn, Manuel de mathématiques pour les scientifiques et les ingénieurs, 2012.