Où les problèmes à résoudre ont été envisagés triangle rectangle, j'ai promis de décrire une technique pour mémoriser les définitions du sinus et du cosinus. En l'utilisant, vous vous souviendrez toujours rapidement quel côté appartient à l'hypoténuse (adjacent ou opposé). J'ai décidé de ne pas retarder trop longtemps, matériel requis ci-dessous, veuillez lire 😉

Le fait est que j'ai observé à plusieurs reprises à quel point les élèves de la 10e à la 11e année ont du mal à se souvenir de ces définitions. Ils se souviennent très bien que la jambe fait référence à l'hypoténuse, mais laquelle- ils oublient et confus. Le prix d’une erreur, comme on le sait lors d’un examen, est un point perdu.

Les informations que je présenterai directement n'ont rien à voir avec les mathématiques. Elle est liée à pensée imaginative, et avec des méthodes de communication verbale-logique. C'est exactement comme ça que je m'en souviens, une fois pour toutesdonnées de définition. Si vous les oubliez, vous pourrez toujours vous en souvenir facilement en utilisant les techniques présentées.

Permettez-moi de vous rappeler les définitions du sinus et du cosinus dans un triangle rectangle :

Cosinus angle aigu dans un triangle rectangle, c'est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse :

Sinus L'angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse :

Alors, quelles associations avez-vous avec le mot cosinus ?

Probablement chacun a le sien 😉Rappelez-vous le lien:

Ainsi, l'expression apparaîtra immédiatement dans votre mémoire -

«… rapport de la jambe ADJACENTE à l'hypoténuse».

Le problème de la détermination du cosinus a été résolu.

Si vous avez besoin de vous rappeler la définition du sinus dans un triangle rectangle, puis en vous souvenant de la définition du cosinus, vous pouvez facilement établir que le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse. Après tout, il n'y a que deux branches ; si la branche adjacente est « occupée » par le cosinus, alors seule la branche opposée reste avec le sinus.

Qu'en est-il de la tangente et de la cotangente ? La confusion est la même. Les étudiants savent qu'il s'agit d'une relation de jambes, mais le problème est de se rappeler laquelle fait référence à laquelle - soit l'opposé de l'adjacent, soit vice versa.

Définitions :

Tangente L'angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé au côté adjacent :

Cotangente L'angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté adjacent au côté opposé :

Comment se souvenir ? Il y a deux manières. L’un utilise également une connexion verbale-logique, l’autre une connexion mathématique.

MÉTHODE MATHÉMATIQUE

Il existe une telle définition - la tangente d'un angle aigu est le rapport du sinus de l'angle à son cosinus :

*Après avoir mémorisé la formule, vous pouvez toujours déterminer que la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé au côté adjacent.

De même.La cotangente d'un angle aigu est le rapport du cosinus de l'angle à son sinus :

Donc! En vous souvenant de ces formules, vous pouvez toujours déterminer que :

- la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé au côté adjacent

— la cotangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté adjacent au côté opposé.

MÉTHODE LOGIQUE PAR MOTS

À propos de la tangente. Rappelez-vous le lien:

Autrement dit, si vous avez besoin de vous souvenir de la définition de la tangente, en utilisant cette connexion logique, vous pouvez facilement vous rappeler de quoi il s'agit.

"... le rapport du côté opposé au côté adjacent"

Si nous parlons de cotangente, alors en vous rappelant la définition de la tangente, vous pouvez facilement exprimer la définition de la cotangente -

"... le rapport du côté adjacent au côté opposé"

Il existe une astuce intéressante pour mémoriser la tangente et la cotangente sur le site " Tandem mathématique " , regarder.

MÉTHODE UNIVERSELLE

Vous pouvez simplement le mémoriser.Mais comme le montre la pratique, grâce aux connexions verbales-logiques, une personne se souvient longtemps des informations, et pas seulement mathématiques.

J'espère que le matériel vous a été utile.

Cordialement, Alexandre Krutitskikh

P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.

Tableau des valeurs des fonctions trigonométriques

Note. Ce tableau de valeurs de fonctions trigonométriques utilise le signe √ pour indiquer racine carrée. Pour indiquer une fraction, utilisez le symbole "/".

voir également matériel utile :

Pour déterminer la valeur d'une fonction trigonométrique, trouvez-le à l'intersection de la ligne indiquant la fonction trigonométrique. Par exemple, sinus 30 degrés - nous recherchons la colonne avec le titre sin (sinus) et trouvons l'intersection de cette colonne du tableau avec la ligne "30 degrés", à leur intersection nous lisons le résultat - une moitié. De même on retrouve cosinus 60 degrés, sinus 60 degrés (encore une fois, à l'intersection de la colonne sin (sine) et de la ligne 60 degrés on trouve valeur du péché 60 = √3/2), etc. Les valeurs des sinus, cosinus et tangentes d'autres angles « populaires » se trouvent de la même manière.

Sinus pi, cosinus pi, tangente pi et autres angles en radians

Le tableau ci-dessous des cosinus, sinus et tangentes convient également pour trouver la valeur des fonctions trigonométriques dont l'argument est donné en radians. Pour ce faire, utilisez la deuxième colonne de valeurs d'angle. Grâce à cela, vous pouvez convertir la valeur des angles populaires de degrés en radians. Par exemple, trouvons l'angle de 60 degrés sur la première ligne et lisons sa valeur en radians en dessous. 60 degrés équivaut à π/3 radians.

Le nombre pi exprime sans ambiguïté la dépendance de la circonférence par rapport à la mesure en degré de l'angle. Ainsi, pi radians est égal à 180 degrés.

Tout nombre exprimé en pi (radians) peut être facilement converti en degrés en remplaçant pi (π) par 180..

Exemples:
1. Sinus pi.
péché π = péché 180 = 0
ainsi, le sinus de pi est le même que le sinus de 180 degrés et il est égal à zéro.

2. Cosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
ainsi, le cosinus de pi est le même que le cosinus de 180 degrés et il est égal à moins un.

3. Tangente pi
tg π = tg 180 = 0
ainsi, la tangente pi est la même que la tangente 180 degrés et elle est égale à zéro.

Tableau des valeurs sinus, cosinus et tangentes pour les angles 0 - 360 degrés (valeurs communes)

valeur de l'angle α (degrés)	valeur de l'angle α en radians (via pi)	péché (sinus)	parce que (cosinus)	tg (tangente)	CTG (cotangente)	seconde (sécante)	cosec (cosécante)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Si dans le tableau des valeurs des fonctions trigonométriques un tiret est indiqué à la place de la valeur de la fonction (tangente (tg) 90 degrés, cotangente (ctg) 180 degrés), alors pour une valeur donnée du degré mesure de l'angle la fonction n'a pas de valeur spécifique. S'il n'y a pas de tiret, la cellule est vide, ce qui signifie que nous n'y sommes pas encore entrés Valeur souhaitée. Nous sommes intéressés par les requêtes que les utilisateurs nous contactent et complètent le tableau avec de nouvelles valeurs, malgré le fait que les données actuelles sur les valeurs des cosinus, des sinus et des tangentes des valeurs d'angle les plus courantes sont tout à fait suffisantes pour résoudre la plupart problèmes.

Tableau des valeurs des fonctions trigonométriques sin, cos, tg pour les angles les plus courants
0, 15, 30, 45, 60, 90... 360 degrés
(valeurs numériques « selon les tables Bradis »)

valeur de l'angle α (degrés)	valeur de l'angle α en radians	péché (sinus)	cos (cosinus)	tg (tangente)	ctg (cotangente)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Exemples:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Argument et signification

Cosinus d'un angle aigu

Cosinus d'un angle aigu peut être déterminé à l'aide d'un triangle rectangle - il est égal au rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse.

Exemple :

1) Soit un angle donné et nous devons déterminer le cosinus de cet angle.

2) Complétons n’importe quel triangle rectangle sur cet angle.

3) Après avoir mesuré les côtés requis, nous pouvons calculer le cosinus.

Cosinus d'un nombre

Le cercle numérique vous permet de déterminer le cosinus de n'importe quel nombre, mais vous trouvez généralement le cosinus des nombres lié d'une manière ou d'une autre à : \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

Par exemple, pour le nombre \(\frac(π)(6)\) - le cosinus sera égal à \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . Et pour le nombre \(-\)\(\frac(3π)(4)\) il sera égal à \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (environ \ (-0,71\)).

Pour le cosinus d'autres nombres souvent rencontrés dans la pratique, voir.

La valeur du cosinus est toujours comprise entre \(-1\) et \(1\). Dans ce cas, le cosinus peut être calculé pour absolument n'importe quel angle et n'importe quel nombre.

Cosinus de n'importe quel angle

Grâce au cercle numérique, vous pouvez déterminer le cosinus non seulement d'un angle aigu, mais aussi d'un angle obtus, négatif et même supérieur à \(360°\) (tour complet). Comment faire cela est plus facile à voir une fois qu'à entendre \(100\) fois, alors regardez l'image.

Maintenant une explication : supposons que nous devions déterminer le cosinus de l'angle KOA avec une mesure de degré en \(150°\). Combiner le point À PROPOS avec le centre du cercle et le côté D'ACCORD– avec l’axe \(x\). Après cela, réservez \(150°\) dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Puis l'ordonnée du point UN va nous montrer le cosinus de cet angle.

Si l'on s'intéresse à un angle avec une mesure en degré, par exemple en \(-60°\) (angle KOV), on fait la même chose, mais on règle \(60°\) dans le sens des aiguilles d'une montre.

Et enfin, l'angle est supérieur à \(360°\) (angle CBS) - tout est semblable au stupide, seulement après avoir fait un tour complet dans le sens des aiguilles d'une montre, nous passons au deuxième cercle et "obtenons le manque de degrés". Plus précisément, dans notre cas, l'angle \(405°\) est tracé comme \(360° + 45°\).

Il est facile de deviner que pour tracer un angle, par exemple en \(960°\), il faut faire deux tours (\(360°+360°+240°\)), et pour un angle en \(2640 °\) - sept entiers.

Comme vous pourriez le remplacer, le cosinus d’un nombre et le cosinus d’un angle arbitraire sont définis presque de la même manière. Seule la façon dont le point est trouvé sur le cercle change.

Signes cosinus par quarts

À l'aide de l'axe des cosinus (c'est-à-dire l'axe des abscisses, surligné en rouge sur la figure), il est facile de déterminer les signes des cosinus le long du cercle numérique (trigonométrique) :

Là où les valeurs sur l'axe vont de \(0\) à \(1\), le cosinus aura un signe plus (quarts I et IV - zone verte),
- où les valeurs sur l'axe vont de \(0\) à \(-1\), le cosinus aura un signe moins (quarts II et III - zone violette).

Relation avec d'autres fonctions trigonométriques :

- le même angle (ou numéro) : principal identité trigonométrique\(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- le même angle (ou nombre) : par la formule \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- et le sinus de même angle (ou nombre) : la formule \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
Pour les autres formules les plus couramment utilisées, voir.

Solution de l'équation \(\cos⁡x=a\)

La solution de l'équation \(\cos⁡x=a\), où \(a\) est un nombre non supérieur à \(1\) et non inférieur à \(-1\), c'est-à-dire \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

Si \(a>1\) ou \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

Exemple . Résolvez l'équation trigonométrique \(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\.
Solution:

Résolvons l'équation en utilisant le cercle numérique. Pour ça:
1) Construisons les axes.
2) Construisons un cercle.
3) Sur l'axe cosinus (axe \(y\)) marquez le point \(\frac(1)(2)\) .
4) Tracez une perpendiculaire à l’axe du cosinus passant par ce point.
5) Marquez les points d'intersection de la perpendiculaire et du cercle.
6) Signons les valeurs de ces points : \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Notons toutes les valeurs correspondant à ces points à l'aide de la formule \(x=t+2πk\), \(k∈Z\) :
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

Répondre: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

Fonction \(y=\cos(x)\)

Si l'on trace les angles en radians le long de l'axe \(x\), et les valeurs de cosinus correspondant à ces angles le long de l'axe \(y\), on obtient le graphique suivant :

Ce graphe est appelé et possède les propriétés suivantes :

Le domaine de définition est n'importe quelle valeur de x : \(D(\cos(⁡x))=R\)
- plage de valeurs – de \(-1\) à \(1\) inclus : \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- même : \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- périodique de période \(2π\) : \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- points d'intersection avec les axes de coordonnées :
axe des abscisses : \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), où \(n ϵ Z\)
Axe Y : \((0;1)\)
- intervalles de constance de signe :
la fonction est positive sur les intervalles : \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), où \(n ϵ Z\)
la fonction est négative sur les intervalles : \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), où \(n ϵ Z\)
- intervalles d'augmentation et de diminution :
la fonction augmente sur les intervalles : \((π+2πn;2π+2πn)\), où \(n ϵ Z\)
la fonction décroît sur les intervalles : \((2πn;π+2πn)\), où \(n ϵ Z\)
- les maximums et les minimums de la fonction :
la fonction a une valeur maximale \(y=1\) aux points \(x=2πn\), où \(n ϵ Z\)
la fonction a une valeur minimale \(y=-1\) aux points \(x=π+2πn\), où \(n ϵ Z\).

Comprenons des concepts simples : sinus et cosinus et calcul cosinus au carré et sinus au carré.

Le sinus et le cosinus sont étudiés en trigonométrie (l'étude des triangles rectangles).

Par conséquent, rappelons d’abord les concepts de base d’un triangle rectangle :

Hypoténuse- le côté toujours opposé à l'angle droit (angle de 90 degrés). L'hypoténuse est le côté le plus long d'un triangle rectangle.

Les deux côtés restants d’un triangle rectangle sont appelés jambes.

N’oubliez pas non plus que la somme de trois angles dans un triangle fait toujours 180°.

Passons maintenant à cosinus et sinus de l'angle alpha (∠α)(cela peut être appelé n'importe quel angle indirect dans un triangle ou utilisé comme désignation x - "x", ce qui ne change rien à l'essentiel).

Sinus de l'angle alpha (sin ∠α)- c'est une attitude opposé jambe (le côté opposé à l’angle correspondant) à l’hypoténuse. Si vous regardez la figure, alors sin ∠ABC = AC / BC

Cosinus de l'angle alpha (cos ∠α)- attitude adjacentà l'angle de la jambe par rapport à l'hypoténuse. En regardant à nouveau la figure ci-dessus, cos ∠ABC = AB / BC

Et pour rappel : le cosinus et le sinus ne seront jamais supérieurs à un, puisque tout roulis est plus court que l'hypoténuse (et l'hypoténuse est le côté le plus long de tout triangle, car le côté le plus long est situé à l'opposé du plus grand angle du triangle) .

Cosinus au carré, sinus au carré

Passons maintenant aux formules trigonométriques de base : calculer le cosinus au carré et le sinus au carré.

Pour les calculer, il faut retenir l’identité trigonométrique de base :

péché 2 α + cos 2 α = 1(le sinus carré plus le cosinus carré d'un angle sont toujours égaux à un).

De l'identité trigonométrique, nous tirons des conclusions sur le sinus :

péché 2 α = 1 - cos 2 α

sinus carré alpha est égal à un moins le cosinus du double angle alpha et divisez le tout par deux.

péché 2 α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​De l'identité trigonométrique, nous tirons des conclusions sur le cosinus :

cos 2 α = 1 - péché 2 α

ou une version plus complexe de la formule : cosinus carré alpha est égal à un plus le cosinus du double angle alpha et divise également le tout par deux.

cos 2α = (1 + cos(2α)) / 2

Ces deux formules plus complexes pour le sinus au carré et le cosinus au carré sont également appelées « réduction de la puissance des fonctions trigonométriques au carré ». Ceux. il y avait un deuxième degré, ils l'ont abaissé au premier et les calculs sont devenus plus pratiques.

Je n'essaierai pas de vous convaincre de ne pas rédiger d'aide-mémoire. Écrire! Y compris des aide-mémoire sur la trigonométrie. Plus tard, j'ai l'intention d'expliquer pourquoi les aide-mémoire sont nécessaires et pourquoi les aide-mémoire sont utiles. Et voici des informations sur la façon de ne pas apprendre, mais de mémoriser quelques formules trigonométriques. Donc - la trigonométrie sans aide-mémoire ! Nous utilisons des associations pour la mémorisation.

1. Formules d'addition :

Les cosinus « viennent toujours par paires » : cosinus-cosinus, sinus-sinus. Et encore une chose : les cosinus sont « inadéquats ». « Tout ne va pas » pour eux, alors ils changent les signes : « - » en « + », et vice versa.

Sinus – « mélanger »: sinus-cosinus, cosinus-sinus.

2. Formules de somme et de différence :

les cosinus « viennent toujours par paires ». En ajoutant deux cosinus - « koloboks », nous obtenons une paire de cosinus - « koloboks ». Et en soustrayant, nous n'obtiendrons certainement pas de koloboks. Nous obtenons quelques sinus. Aussi avec un moins à venir.

Sinus – « mélanger » :

3. Formules pour convertir un produit en somme et différence.

Quand obtenons-nous une paire de cosinus ? Quand on ajoute des cosinus. C'est pourquoi

Quand avons-nous quelques sinus ? Lors de la soustraction des cosinus. D'ici:

Le « mélange » est obtenu à la fois en ajoutant et en soustrayant des sinus. Quoi de plus amusant : ajouter ou soustraire ? C'est vrai, pliez-vous. Et pour la formule ils prennent l'addition :

Dans les première et troisième formules, la somme est entre parenthèses. Réorganiser les places des termes ne change pas la somme. L'ordre n'est important que pour la deuxième formule. Mais, pour ne pas se tromper, pour faciliter la mémorisation, dans les trois formules des premières parenthèses, nous prenons la différence

et deuxièmement - le montant

Des aide-mémoire dans votre poche vous permettent d'avoir l'esprit tranquille : si vous oubliez la formule, vous pouvez la copier. Et ils vous donnent confiance : si vous n’utilisez pas l’aide-mémoire, vous pouvez facilement mémoriser les formules.